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Une équation est une égalité dans laquelle il existe un terme inconnu - x. Sa signification doit être trouvée.

La quantité inconnue est appelée la racine de l'équation. Résoudre une équation signifie trouver sa racine, et pour cela, vous devez connaître les propriétés des équations. Les équations pour la 5e année ne sont pas difficiles, mais si vous apprenez à les résoudre correctement, vous n'aurez plus de problèmes avec elles à l'avenir.

La principale propriété des équations

Lorsque les deux côtés de l'équation sont modifiés de la même quantité, il continue d'être la même équation avec la même racine. Résolvons quelques exemples pour mieux comprendre cette règle.

Comment résoudre des équations : addition ou soustraction

Supposons que nous ayons une équation de la forme :

• a + x = b - ici a et b sont des nombres et x est le terme inconnu de l'équation.

Si nous ajoutons (ou soustrayons) la valeur de c aux deux parties de l'équation, cela ne changera pas :

• une + x + c = b + c
• a + x - c = b - c.

Exemple 1

Utilisons cette propriété pour résoudre l'équation :

• 37+x=51

Soustrayez le nombre 37 des deux parties :

• 37+x-37=51-37

on a:

• x=51-37.

La racine de l'équation est x=14.

Si nous regardons attentivement la dernière équation, nous voyons qu'elle est la même que la première. Nous avons simplement déplacé le terme 37 d'un côté de l'équation à l'autre, en remplaçant le plus par un moins.

Il s'avère que n'importe quel nombre peut être transféré d'une partie de l'équation à une autre avec le signe opposé.

Exemple 2

• 37+x=37+22

Effectuons la même action, transférons le nombre 37 du côté gauche de l'équation vers la droite :

• x=37-37+22

Puisque 37-37=0, nous réduisons simplement ceci et obtenons :

• x = 22.

Les mêmes termes de l'équation avec le même signe, situés dans différentes parties de l'équation, peuvent être réduits (barrés).

Équations de multiplication et de division

Les deux côtés de l'équation peuvent également être multipliés ou divisés par le même nombre :

Si l'égalité a = b est divisée ou multipliée par c, elle ne changera pas :

• a/c = b/c,
• ac = bc.

Exemple 3

• 5x = 20

Divisez les deux membres de l'équation par 5 :

• 5x/5 = 20/5.

Depuis 5/5 \u003d 1, nous réduisons alors ces multiplicateurs et diviseurs du côté gauche de l'équation et obtenons:

• x=20/5, x=4

Exemple 4

• 5x = 5a

Si les deux membres de l'équation sont divisés par 5, nous obtenons :

• 5x/5 = 5a/5.

5 dans le numérateur et le dénominateur des parties gauche et droite sont réduits, il s'avère x \u003d a. Cela signifie que les mêmes facteurs des côtés gauche et droit des équations s'annulent.

Résolvons un autre exemple :

• 13 + 2x = 21

Nous transférons le terme 13 du côté gauche de l'équation au côté droit avec le signe opposé :

• 2x = 21 - 13
• 2x = 8.

On divise les deux membres de l'équation par 2, on obtient :

• x = 4.

L'une des compétences les plus importantes dans admission en 5ème est la capacité à résoudre des équations simples. Étant donné que la 5e année n'est pas si éloignée de l'école primaire, il n'y a pas tellement de types d'équations qu'un élève peut résoudre. Nous vous présenterons tous les principaux types d'équations que vous devez pouvoir résoudre si vous le souhaitez s'inscrire dans une école de physique et de mathématiques.

1 type : "bulbeux"
Ce sont des équations que vous rencontrerez presque certainement lorsque admission dans n'importe quelle école ou un cercle de 5e année en tant que tâche distincte. Ils sont faciles à distinguer des autres : ils ne contiennent qu'une seule variable. Par exemple, ou.
Ils sont résolus très simplement: il vous suffit "d'accéder" à l'inconnu, en "éliminant" progressivement tout ce qui est superflu qui l'entoure - comme si vous épluchiez un oignon - d'où son nom. Pour le résoudre, il suffit de rappeler quelques règles de la deuxième classe. Listons-les tous :

Ajout

1. terme1 + terme2 = somme
2. terme1 = somme - terme2
3. terme2 = somme - terme1

Soustraction

1. minuend - soustraire = différence
2. minuend = soustraire + différence
3. soustraire = diminuer - différence

Multiplication

1. multiplicateur1 * multiplicateur2 = produit
2. multiplicateur1 = produit : multiplicateur2
3. multiplicateur2 = produit : multiplicateur1

Division

1. dividende : diviseur = quotient
2. dividende = diviseur * quotient
3. diviseur = dividende : quotient

Voyons un exemple d'application de ces règles.

Notez que nous partageons sur et nous obtenons. Dans cette situation, nous connaissons le diviseur et le quotient. Pour trouver le dividende, il faut multiplier le diviseur par le quotient :

Nous nous sommes un peu rapprochés de nous-mêmes. Maintenant, nous voyons que pour ajoutée et obtenue. Ainsi, pour trouver l'un des termes, vous devez soustraire le terme connu de la somme :

Et une "couche" de plus est supprimée de l'inconnu! Nous voyons maintenant une situation avec une valeur connue du produit () et un multiplicateur connu ().

Maintenant, la situation est "réduite - soustraite = différence"

Et la dernière étape est le produit connu () et l'un des facteurs ()

2 type : équations entre parenthèses
Les équations de ce type se trouvent le plus souvent dans les problèmes - 90% de tous les problèmes pour admission en 5e année. Contrairement à "équations d'oignon" la variable ici peut se produire plusieurs fois, il est donc impossible de la résoudre en utilisant les méthodes du paragraphe précédent. Équations typiques : ou
La principale difficulté est d'ouvrir correctement les supports. Après avoir réussi à le faire correctement, nous devrions apporter des termes similaires (nombres aux nombres, variables aux variables), et après cela, nous obtenons le plus simple "équation d'oignon" que nous pouvons résoudre. Mais avant tout.

Extension de support. Nous donnerons quelques règles qui devraient être utilisées dans ce cas. Mais, comme le montre la pratique, l'étudiant ne commence à ouvrir correctement les crochets qu'après 70 à 80 problèmes résolus. La règle de base est la suivante : tout facteur en dehors des parenthèses doit être multiplié par chaque terme à l'intérieur des parenthèses. Et le moins avant le crochet change le signe de toutes les expressions qui sont à l'intérieur. Donc, les règles de base de la divulgation:

Apporter similaire. Tout est beaucoup plus facile ici: en transférant les termes par le signe égal, vous devez vous assurer que d'une part il n'y a que des termes avec l'inconnu et d'autre part - que des nombres. La règle de base est la suivante : chaque terme parcouru change de signe - s'il était avec, alors il deviendra avec, et vice versa. Après un transfert réussi, il faut compter le nombre total d'inconnues, le nombre final de l'autre côté de l'égalité que les variables, et résoudre un simple "équation d'oignon".

Multiplication du système d'équations normales NttXt1 + Bt1 = 0 par la matrice inverse N-1

recevoir:

(34)

(35)

Solution des équations normales par méthode d'inversion.

Par définition d'une matrice inverse, N-1N = E. Cette égalité sert à justifier la façon dont les éléments d'une matrice inverse sont définis. Soit t = 2.

Cela implique:

- 1er système d'équations normales pondérées.

- 2ème système d'équations normales pondérées.

Dans le cas général, à la suite de telles actions, nous obtenons t systèmes d'équations normales pondérées avec t équations dans chaque système. Ces systèmes ont la même matrice de coefficients que le principal, à δxj inconnu, et n'en diffèrent que par des colonnes de termes libres. Dans la j-ième équation du j-ième système, le terme libre est égal à -1, les autres sont égaux à zéro. Les systèmes d'équations normales pondérées sont résolus en parallèle avec le système principal, dans un schéma général, en utilisant des colonnes supplémentaires pour les membres libres de ces systèmes (tableau 9). Pour le contrôle, les valeurs calculées des éléments de la matrice inverse Qij sont substituées dans les équations totales compilées pour les systèmes de poids. Par exemple, pour t = 2, ces équations ressembleront à :

( + [pab])Q11 + ( + )Q12 - 1 = 0 ;

( + )Q21 + ( + ) Q22 - 1 = 0.

Les égalités Qij = Qji (i ≠ j) sont utilisées pour le contrôle préliminaire.

Les éléments de la matrice inverse Qij sont appelés coefficients de pondération.

Tableau 9

Détermination des éléments de la matrice inverse dans le schéma de Gauss

3.6. Estimation de la précision basée sur les matériaux d'ajustement

L'erreur quadratique moyenne de la fonction paramètre est déterminée par la formule :

où

(36)

L'erreur quadratique moyenne de l'unité de poids ;

(37)

Le poids réciproque de la fonction paramètre, ou sous forme matricielle :

(38)

Poids du paramètre inverse égal à l'élément diagonal de la matrice inverse.

3.7. Schéma fonctionnel de la méthode de réglage paramétrique

1. Analysez l'ensemble de mesures yi, déterminez t - le nombre de mesures requises. Définissez le système de poids de mesure pi (i = 1, 2, ..., n).

2. Choisissez des paramètres indépendants x1, x2, ..., xt dont le nombre est égal à t.

3. Composez des équations de communication paramétriques. Les valeurs ajustées de toutes les valeurs mesurées sont exprimées en fonction des paramètres sélectionnés.

4. Trouvez les valeurs approximatives des paramètres x0j.

5. Les équations paramétriques de communication conduisent à une forme linéaire, les coefficients et les termes libres des équations paramétriques de correction sont calculés.

6. Composez une fonction de paramètre pour évaluer sa précision. La fonction de poids est linéarisée.

7. Composez des équations normales, calculez les coefficients et les termes libres des équations normales.

8. Résolvez les équations normales, calculez les corrections aux valeurs approximatives des paramètres et contrôlez-les.

9. Calculez les corrections vi aux résultats de mesure et contrôlez νi et .

10. Calculer les paramètres, ajuster les résultats de mesure et effectuer le contrôle d'ajustement.

11. Calculez les poids réciproques des paramètres et les fonctions des paramètres.

12. Effectuez une évaluation de la précision des résultats de mesure, calculez l'erreur standard d'une unité de poids.

13. Calculez les erreurs quadratiques moyennes des valeurs égalisées.

Une équation à une inconnue, qui, après ouverture des parenthèses et réduction des termes semblables, prend la forme

hache + b = 0, où a et b sont des nombres arbitraires, s'appelle équation linéaire avec une inconnue. Aujourd'hui, nous allons découvrir comment résoudre ces équations linéaires.

Par exemple, toutes les équations :

2x + 3 \u003d 7 - 0,5x; 0,3x = 0 ; x / 2 + 3 \u003d 1/2 (x - 2) - linéaire.

La valeur de l'inconnue qui transforme l'équation en une vraie égalité s'appelle décision ou la racine de l'équation .

Par exemple, si dans l'équation 3x + 7 \u003d 13 nous substituons le nombre 2 au lieu de l'inconnu x, alors nous obtenons la bonne égalité 3 2 + 7 \u003d 13. Cela signifie que la valeur x \u003d 2 est la solution ou la racine de l'équation.

Et la valeur x \u003d 3 ne transforme pas l'équation 3x + 7 \u003d 13 en une véritable égalité, puisque 3 2 + 7 ≠ 13. Par conséquent, la valeur x \u003d 3 n'est pas une solution ou une racine de l'équation.

La solution de toute équation linéaire est réduite à la solution des équations de la forme

ax + b = 0.

Nous transférons le terme libre du côté gauche de l'équation vers la droite, tout en changeant le signe devant b à l'opposé, nous obtenons

Si a ≠ 0, alors x = – b/a .

Exemple 1 Résolvez l'équation 3x + 2 =11.

Nous transférons 2 du côté gauche de l'équation vers la droite, tout en changeant le signe devant 2 à l'opposé, nous obtenons
3x \u003d 11 - 2.

Faisons la soustraction, alors
3x = 9.

Pour trouver x, vous devez diviser le produit par un facteur connu, c'est-à-dire
x = 9:3.

Donc la valeur x = 3 est la solution ou la racine de l'équation.

Réponse : x = 3.

Si a = 0 et b = 0, nous obtenons alors l'équation 0x \u003d 0. Cette équation a une infinité de solutions, car en multipliant n'importe quel nombre par 0, nous obtenons 0, mais b est également 0. La solution de cette équation est n'importe quel nombre.

Exemple 2 Résolvez l'équation 5(x - 3) + 2 = 3 (x - 4) + 2x - 1.

Développons les parenthèses :
5x - 15 + 2 \u003d 3x - 12 + 2x - 1.

5x - 3x - 2x \u003d - 12 - 1 + 15 - 2.

Voici des membres similaires :
0x = 0.

Réponse : x est n'importe quel nombre.

Si a = 0 et b ≠ 0, alors on obtient l'équation 0x = - b. Cette équation n'a pas de solution, car en multipliant n'importe quel nombre par 0, nous obtenons 0, mais b ≠ 0.

Exemple 3 Résolvez l'équation x + 8 = x + 5.

Regroupons les termes contenant des inconnues à gauche, et les termes libres à droite :
x - x \u003d 5 - 8.

Voici des membres similaires :
0x = - 3.

Réponse : aucune solution.

Sur le Figure 1 le schéma de résolution de l'équation linéaire est illustré

Composons un schéma général pour résoudre des équations à une variable. Considérons la solution de l'exemple 4.

Exemple 4 Résolvons l'équation

1) Multipliez tous les termes de l'équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs, égal à 12.

2) Après réduction on obtient
4 (x - 4) + 3 2 (x + 1) - 12 = 6 5 (x - 3) + 24x - 2 (11x + 43)

3) Pour séparer les membres contenant des membres inconnus et libres, ouvrez les crochets :
4x - 16 + 6x + 6 - 12 \u003d 30x - 90 + 24x - 22x - 86.

4) On regroupe dans une partie les termes contenant des inconnues, et dans l'autre - les termes libres :
4x + 6x - 30x - 24x + 22x \u003d - 90 - 86 + 16 - 6 + 12.

5) Voici des membres similaires :
- 22x = - 154.

6) Diviser par - 22 , On obtient
x = 7.

Comme vous pouvez le voir, la racine de l'équation est sept.

En général, de tels les équations peuvent être résolues comme suit:

a) mettre l'équation sous une forme entière ;

b) parenthèses ouvertes ;

c) grouper les termes contenant l'inconnue dans une partie de l'équation, et les termes libres dans l'autre ;

d) apporter des membres similaires;

e) résoudre une équation de la forme aх = b, qui a été obtenue après avoir apporté des termes similaires.

Cependant, ce schéma n'est pas requis pour toutes les équations. Lors de la résolution de nombreuses équations plus simples, il faut commencer non pas par la première, mais par la seconde ( Exemple. 2), troisième ( Exemple. 13) et même à partir de la cinquième étape, comme dans l'exemple 5.

Exemple 5 Résolvez l'équation 2x = 1/4.

On trouve l'inconnu x \u003d 1/4 : 2,
x = 1/8 .

Considérez la solution de certaines équations linéaires rencontrées dans l'examen d'état principal.

Exemple 6 Résolvez l'équation 2 (x + 3) = 5 - 6x.

2x + 6 = 5 - 6x

2x + 6x = 5 - 6

Réponse : - 0,125

Exemple 7 Résolvez l'équation - 6 (5 - 3x) \u003d 8x - 7.

– 30 + 18x = 8x – 7

18x - 8x = - 7 +30

Réponse : 2.3

Exemple 8 Résous l'équation

3(3x - 4) = 4 7x + 24

9x - 12 = 28x + 24

9x - 28x = 24 + 12

Exemple 9 Trouver f(6) si f (x + 2) = 3 7

La solution

Puisque nous devons trouver f(6) et que nous connaissons f(x + 2),
alors x + 2 = 6.

Nous résolvons l'équation linéaire x + 2 = 6,
on obtient x \u003d 6 - 2, x \u003d 4.

Si x = 4 alors
f(6) = 3 7-4 = 3 3 = 27

Réponse : 27.

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