Les formules ou règles de multiplication réduite sont utilisées en arithmétique, et plus spécifiquement en algèbre, pour un processus plus rapide de calcul de grandes expressions algébriques. Les formules elles-mêmes sont dérivées des règles existantes en algèbre pour la multiplication de plusieurs polynômes.

L'utilisation de ces formules fournit une solution assez rapide à divers problèmes mathématiques et contribue également à simplifier les expressions. Les règles des transformations algébriques permettent d'effectuer quelques manipulations avec des expressions, à la suite desquelles on peut obtenir l'expression du côté gauche de l'égalité qui est du côté droit, ou transformer le côté droit de l'égalité (pour obtenir l'expression du côté côté gauche après le signe égal).

Il est pratique de connaître les formules utilisées pour la multiplication abrégée par mémoire, car elles sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes et des équations. Les principales formules incluses dans cette liste et leurs noms sont énumérés ci-dessous.

carré somme

Pour calculer le carré de la somme, vous devez trouver la somme constituée du carré du premier terme, du double du produit du premier terme et du second, et du carré du second. Sous forme d'expression, cette règle s'écrit comme suit : (a + c)² = a² + 2ac + c².

Le carré de la différence

Pour calculer le carré de la différence, il faut calculer la somme constituée du carré du premier nombre, du double du produit du premier nombre par le second (pris avec le signe opposé), et du carré du second nombre. Sous forme d'expression, cette règle ressemble à ceci: (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².

Différence de carrés

La formule de la différence de deux nombres au carré est égale au produit de la somme de ces nombres et de leur différence. Sous la forme d'une expression, cette règle ressemble à ceci: a² - c² \u003d (a + c) (a - c).

cube somme

Pour calculer le cube de la somme de deux termes, il faut calculer la somme constituée du cube du premier terme, du triple du produit du carré du premier terme et du second, du triple produit du premier terme et du second carré, et le cube du second terme. Sous la forme d'une expression, cette règle ressemble à ceci : (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.

Somme de cubes

Selon la formule, il est égal au produit de la somme de ces termes et de leur carré incomplet de la différence. Sous la forme d'une expression, cette règle ressemble à ceci: a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).

Exemple. Il est nécessaire de calculer le volume de la figure, qui est formé en ajoutant deux cubes. Seules les grandeurs de leurs côtés sont connues.

Si les valeurs des côtés sont petites, il est facile d'effectuer des calculs.

Si les longueurs des côtés sont exprimées en nombres encombrants, dans ce cas, il est plus facile d'appliquer la formule "Somme des cubes", ce qui simplifiera grandement les calculs.

cube de différence

L'expression de la différence cubique ressemble à ceci : comme la somme de la troisième puissance du premier terme, triple le produit négatif du carré du premier terme par le second, triple le produit du premier terme par le carré du second , et le cube négatif du second terme. Sous la forme d'une expression mathématique, le cube de différence ressemble à ceci: (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.

Différence de cubes

La formule de la différence des cubes diffère de la somme des cubes par un seul signe. Ainsi, la différence des cubes est une formule égale au produit de la différence de ces nombres par leur carré incomplet de la somme. Sous la forme, la différence de cubes ressemble à ceci: a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).

Exemple. Il est nécessaire de calculer le volume du chiffre qui restera après avoir soustrait le chiffre volumétrique jaune, qui est aussi un cube, du volume du cube bleu. Seule la taille du côté d'un petit et d'un grand cube est connue.

Si les valeurs des côtés sont petites, les calculs sont assez simples. Et si les longueurs des côtés sont exprimées en nombres significatifs, alors il vaut la peine d'utiliser une formule intitulée "Difference of Cubes" (ou "Difference Cube"), qui simplifiera grandement les calculs.

Différence de carrés

Nous dérivons la formule de la différence des carrés $a^2-b^2$.

Pour ce faire, rappelez-vous la règle suivante :

Si un monôme est ajouté à l'expression et que le même monôme est soustrait, alors nous obtenons l'identité correcte.

Ajoutons à notre expression et soustrayons-en le monôme $ab$ :

Au total, on obtient :

Autrement dit, la différence des carrés de deux monômes est égale au produit de leur différence et de leur somme.

Exemple 1

Exprimer comme un produit de $(4x)^2-y^2$

\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]

\[((2x))^2-y^2=\gauche(2x-y\droite)(2x+y)\]

Somme de cubes

Nous dérivons la formule de la somme des cubes $a^3+b^3$.

Prenons les facteurs communs entre parenthèses :

Prenons $\left(a+b\right)$ entre parenthèses :

Au total, on obtient :

Autrement dit, la somme des cubes de deux monômes est égale au produit de leur somme par le carré incomplet de leur différence.

Exemple 2

Exprimer sous forme de produit $(8x)^3+y^3$

Cette expression peut être réécrite sous la forme suivante :

\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]

En utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :

\[((2x))^3+y^3=\gauche(2x+y\droite)(4x^2-2xy+y^2)\]

Différence de cubes

Nous dérivons la formule de la différence des cubes $a^3-b^3$.

Pour ce faire, nous utiliserons la même règle que ci-dessus.

Ajoutons à notre expression et soustrayons-en les monômes $a^2b\ et\ (ab)^2$ :

Prenons les facteurs communs entre parenthèses :

Prenons $\left(a-b\right)$ entre parenthèses :

Au total, on obtient :

Autrement dit, la différence des cubes de deux monômes est égale au produit de leur différence par le carré incomplet de leur somme.

Exemple 3

Exprimer comme un produit de $(8x)^3-y^3$

Cette expression peut être réécrite sous la forme suivante :

\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]

En utilisant la formule de la différence des carrés, on obtient :

\[((2x))^3-y^3=\gauche(2x-y\droite)(4x^2+2xy+y^2)\]

Un exemple de tâches pour utiliser les formules pour la différence des carrés et la somme et la différence des cubes

Exemple 4

Multiplier.

a) $((a+5))^2-9$

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

La solution:

a) $((a+5))^2-9$

\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]

En appliquant la formule de la différence des carrés, on obtient :

\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]

Écrivons cette expression sous la forme :

Appliquons la formule des cubes de cubes :

c) $-x^3+\frac(1)(27)$

Écrivons cette expression sous la forme :

\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]

Appliquons la formule des cubes de cubes :

\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\droite)\]

Dans les leçons précédentes, nous avons envisagé deux manières de factoriser un polynôme : le retrait du facteur commun entre parenthèses et la méthode de regroupement.

Dans cette leçon, nous verrons une autre façon de factoriser un polynôme utiliser des formules de multiplication abrégées.

Nous vous recommandons d'écrire chaque formule au moins 12 fois. Pour une meilleure mémorisation, notez vous-même toutes les formules de multiplication abrégées sur une petite feuille de triche.

Rappelez-vous à quoi ressemble la formule de la différence des cubes.

une 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)

La formule de la différence des cubes n'est pas très facile à retenir, nous vous recommandons donc d'utiliser une méthode spéciale pour la mémoriser.

Il est important de comprendre que toute formule de multiplication abrégée fonctionne également dans verso.

(a - b)(a 2 + ab + b 2) = une 3 - b 3

Prenons un exemple. Il faut factoriser la différence de cubes.

Notez que "27a 3" est "(3a) 3", ce qui signifie que pour la formule de la différence des cubes, au lieu de "a", nous utilisons "3a".

Nous utilisons la formule de la différence des cubes. A la place de "a 3", on a "27a 3", et à la place de "b 3", comme dans la formule, on a "b 3".

Application de la différence de cube à l'envers

Prenons un autre exemple. Il est nécessaire de convertir le produit de polynômes en différence de cubes en utilisant la formule de multiplication abrégée.

Veuillez noter que le produit des polynômes "(x − 1) (x 2 + x + 1)" Ressemble au côté droit de la formule pour la différence des cubes "", seulement au lieu de " a" est " x", Et dans la place de " b" est " 1" .

Pour "(x − 1)(x 2 + x + 1)", nous utilisons la formule de la différence des cubes dans la direction opposée.

Prenons un exemple plus difficile. Il est nécessaire de simplifier le produit de polynômes.

Si nous comparons "(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)" avec le côté droit de la formule pour la différence de cubes
« une 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)", alors vous pouvez comprendre qu'à la place de " a" de la première parenthèse est " y 2, et à la place de " b" est " 1".

Les formules de multiplication abrégées (FSU) sont utilisées pour exposer et multiplier des nombres et des expressions. Souvent, ces formules vous permettent d'effectuer des calculs de manière plus compacte et plus rapide.

Dans cet article, nous énumérerons les principales formules de multiplication abrégée, les regrouperons dans un tableau, considérerons des exemples d'utilisation de ces formules, et nous nous attarderons également sur les principes de démonstration des formules de multiplication abrégées.

Pour la première fois, le sujet de la FSU est abordé dans le cadre du cours "Algèbre" pour la 7e année. Voici 7 formules de base.

Formules de multiplication abrégées

1. somme carré formule : a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
2. formule du carré de différence: a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
3. formule du cube somme : a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
4. formule du cube de différence: a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
5. formule de différence des carrés: a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
6. formule pour la somme des cubes: a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
7. formule de différence de cube: a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2

Les lettres a, b, c dans ces expressions peuvent être n'importe quel nombre, variable ou expression. Pour plus de facilité d'utilisation, mieux vaut apprendre par cœur les sept formules de base. Nous les résumons dans un tableau et les donnons ci-dessous, en les entourant d'une case.

Les quatre premières formules permettent de calculer respectivement le carré ou le cube de la somme ou de la différence de deux expressions.

La cinquième formule calcule la différence des carrés des expressions en multipliant leur somme et leur différence.

Les sixième et septième formules sont, respectivement, la multiplication de la somme et de la différence des expressions par le carré incomplet de la différence et le carré incomplet de la somme.

La formule de multiplication abrégée est parfois aussi appelée les identités de multiplication abrégées. Ce n'est pas surprenant, puisque toute égalité est une identité.

Lors de la résolution d'exemples pratiques, des formules de multiplication abrégées sont souvent utilisées avec des parties gauche et droite réarrangées. Ceci est particulièrement pratique lors de la factorisation d'un polynôme.

Formules de multiplication abrégées supplémentaires

Nous ne nous limiterons pas au cours d'algèbre de 7e année et ajouterons quelques formules supplémentaires à notre tableau FSU.

Considérons d'abord la formule binomiale de Newton.

une + b n = C n 0 une n + C n 1 une n - 1 b + C n 2 une n - 2 b 2 + . . + C n n - 1 une b n - 1 + C n n b n

Ici C n k sont les coefficients binomiaux qui sont dans la ligne numéro n dans le triangle de pascal. Les coefficients binomiaux sont calculés par la formule :

C nk = n ! k ! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) k !

Comme vous pouvez le voir, le FSU pour le carré et le cube de la différence et de la somme est un cas particulier de la formule binomiale de Newton pour n=2 et n=3, respectivement.

Mais que se passe-t-il s'il y a plus de deux termes dans la somme à élever à une puissance ? La formule du carré de la somme de trois, quatre termes ou plus sera utile.

un 1 + un 2 + . . + une n 2 = une 1 2 + une 2 2 + . . + une n 2 + 2 une 1 une 2 + 2 une 1 une 3 + . . + 2 une 1 une n + 2 une 2 une 3 + 2 une 2 une 4 + . . + 2 une 2 une n + 2 une n - 1 une n

Une autre formule qui peut être utile est la formule de la différence des nièmes puissances de deux termes.

une n - b n = une - b une n - 1 + une n - 2 b + une n - 3 b 2 + . . + une 2 b n - 2 + b n - 1

Cette formule est généralement divisée en deux formules - respectivement pour les degrés pairs et impairs.

Pour les exposants pairs 2m :

une 2 m - b 2 m = une 2 - b 2 une 2 m - 2 + une 2 m - 4 b 2 + une 2 m - 6 b 4 + . . + b 2 m - 2

Pour les exposants impairs 2m+1 :

une 2 m + 1 - b 2 m + 1 = une 2 - b 2 une 2 m + une 2 m - 1 b + une 2 m - 2 b 2 + . . + b 2 m

Les formules pour la différence des carrés et la différence des cubes, vous l'avez deviné, sont des cas particuliers de cette formule pour n = 2 et n = 3, respectivement. Pour la différence de cubes, b est également remplacé par - b .

Comment lire les formules de multiplication abrégées ?

Nous donnerons les formulations correspondantes pour chaque formule, mais nous aborderons d'abord le principe de lecture des formules. La façon la plus simple de le faire est avec un exemple. Prenons la toute première formule du carré de la somme de deux nombres.

une + b 2 = une 2 + 2 une b + b 2 .

Ils disent : le carré de la somme de deux expressions a et b est égal à la somme du carré de la première expression, deux fois le produit des expressions et le carré de la seconde expression.

Toutes les autres formules se lisent de la même manière. Pour la différence au carré a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2 nous écrivons:

le carré de la différence de deux expressions a et b est égal à la somme des carrés de ces expressions moins deux fois le produit des première et seconde expressions.

Lisons la formule a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Le cube de la somme de deux expressions a et b est égal à la somme des cubes de ces expressions, trois fois le produit du carré de la première expression et de la seconde, et trois fois le produit du carré de la seconde expression et la première expression.

Nous procédons à la lecture de la formule de la différence des cubes a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3. Le cube de la différence de deux expressions a et b est égal au cube de la première expression moins trois fois le carré de la première expression et de la seconde, plus trois fois le carré de la seconde expression et de la première expression, moins le cube de la seconde expression.

La cinquième formule a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (différence des carrés) se lit comme suit : la différence des carrés de deux expressions est égale au produit de la différence et de la somme des deux expressions.

Des expressions comme a 2 + a b + b 2 et a 2 - a b + b 2 par commodité sont appelées, respectivement, le carré incomplet de la somme et le carré incomplet de la différence.

Dans cet esprit, les formules pour la somme et la différence des cubes se lisent comme suit :

La somme des cubes de deux expressions est égale au produit de la somme de ces expressions et du carré incomplet de leur différence.

La différence des cubes de deux expressions est égale au produit de la différence de ces expressions par le carré incomplet de leur somme.

Preuve FSU

Prouver FSU est assez simple. Sur la base des propriétés de la multiplication, nous allons effectuer la multiplication des parties des formules entre parenthèses.

Par exemple, considérons la formule du carré de la différence.

un - b 2 \u003d un 2 - 2 un b + b 2.

Pour élever une expression à la puissance seconde, l'expression doit être multipliée par elle-même.

a - b 2 \u003d a - b a - b.

Développons les parenthèses :

une - b une - b \u003d une 2 - une b - b une + b 2 \u003d une 2 - 2 une b + b 2.

La formule a fait ses preuves. Les autres FSO se prouvent de la même manière.

Exemples d'application de l'OFS

Le but de l'utilisation de formules de multiplication réduites est de multiplier et d'exposer rapidement et de manière concise des expressions. Cependant, ce n'est pas tout le champ d'application de l'OFS. Ils sont largement utilisés pour réduire des expressions, réduire des fractions, factoriser des polynômes. Donnons des exemples.

Exemple 1. OFS

Simplifions l'expression 9 y - (1 + 3 y) 2 .

Appliquez la formule de la somme des carrés et obtenez :

9 ans - (1 + 3 ans) 2 = 9 ans - (1 + 6 ans + 9 ans 2) = 9 ans - 1 - 6 ans - 9 ans 2 = 3 ans - 1 - 9 ans 2

Exemple 2. OFS

Réduire la fraction 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 .

Nous remarquons que l'expression au numérateur est la différence de cubes et au dénominateur - la différence de carrés.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 \u003d 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

On réduit et on obtient :

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

Les FSU aident également à calculer les valeurs des expressions. L'essentiel est de pouvoir remarquer où appliquer la formule. Montrons cela avec un exemple.

Mettons au carré le nombre 79. Au lieu de calculs fastidieux, nous écrivons :

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Il semblerait qu'un calcul complexe ait été effectué rapidement avec juste l'utilisation de formules de multiplication abrégées et d'une table de multiplication.

Un autre point important est le choix du carré du binôme. L'expression 4 x 2 + 4 x - 3 peut être convertie en 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 . De telles transformations sont largement utilisées en intégration.

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