Задачи на движение не любят многие, так как зачастую недопонимают, как их решать. Но, как известно, нет ничего невозможного, и поэтому можно научиться тому, как решать задачи на движение, было бы желание.
Как решать задачи на движение: теория
Все задачи, связанные с движением решаются по одной формуле, которую вы должны знать наизусть. Вот она: S=Vt. S – это расстояние, V- скорость движения, и t – это время.
Эта формула - ключ к решению всех этих задач, а все остальное написано в тексте задачи, главное, задачу внимательно прочесть и понять.
Второй важный момент, это приведение всех данных в задаче величин к единым единицам измерения. То есть, если время дается в часах, то расстояние должно измеряться в километрах, если в секундах, то расстояние в метрах соответственно.
Решение задач
Итак, рассмотрим три основных примера на решение задач на движение.
Два объекта выехали друг за другом.
Предположим, что вам дана такая задача: из города выехал первый автомобиль со скоростью 60 км/ч, через полчаса выехал второй автомобиль со скоростью 90 км/ч. Через сколько километров, второй автомобиль догонит первый?Для решения такой задачи у нас имеется формула: t = S /(v1 - v2).Так как время нам известно, а расстояние нет, то мы ее трансформируем S= t(v1 - v2).Подставляем цифры: S=0,5(90-60), S=15 км.То есть оба автомобиля встретятся через 15 км.
Два объекта выехали в противоположенном направлении
Если вам дана задача, в которой два объекта выехали навстречу друг другу, и нужно узнать, когда они встретятся, то нужно применять следующую формулу:t = S /(v1 + v2).Например, из пункта А и Б, между которыми 43 км, ехал автомобиль со скоростью 80 км/ч, а из пункта Б в А ехал автобус со скоростью 60 км/ч. Через сколько времени они встретятся?Решение: 43/(80+60)=0,30 часа.
Два объекта выехали одновременно в одном направлении
Дана задача: из пункта А в пункт Б вышел пешеход, двигающийся со скоростью 5 км/ч, а также выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Во сколько раз велосипедист быстрее доберется из пункта А в пункт Б, если известно, что расстояние между этими пунктами 10 км.Сначала нужно найти время, за которое пешеход пройдет это расстояние. Переделываем формулу S=Vt, получаем t =S/V. Подставляем числа 10/5=2. то есть пешеход потратит на дорогу 2 часа.
Теперь высчитываем время для велосипедиста. t =S/V или 10/15=0,7 часа.Третье действие совсем уж простое, мы должны найти разность времени пешехода и человека на велосипеде. 2/0,7=2,8. Ответ таков: велосипедист доберется до пункта Б быстрее пешехода в 2,8 раза.
Таким образом, применяя эти нехитрые формулы, вы всегда будет знать, как решаются задачи на движение. Нужно только очень внимательно прочитать задачу, принять во внимание все данные, привести их в одну систему измерения, а потом уж подобрать для решения нужную формулу.
Но будьте бдительны, не обязательно, что у вашей задачи будет одно только действие, иногда, прежде чем применить наши формулы, вам придется выполнить еще ряд промежуточных действий, чтобы найти необходимые данные. Не забывайте о них, и тогда у вас непременно все получится.
Для начала вспомним формулы, которые используют при решении подобных задач: S = υ·t
, υ = S: t
, t = S: υ
где S – расстояние, υ – скорость движения, t – время движения.
Когда два объекта движутся равномерно с разными скоростями, то расстояние между ними за каждую единицу времени или увеличивается, или уменьшается.
Скорость сближения
– это расстояние, на которое сближаются объекты за единицу времени.
Скорость удаления
– это расстояние, на которое удаляются объекты за единицу времени.
Движение на сближение встречное движение и движение вдогонку . Движение на удаление можно разделить на два вида: движение в противоположных направлениях и движение с отставанием .
Трудность для некоторых учеников заключается в том, чтобы правильно поставить «+» или «–» между скоростями при нахождении скорости сближения объектов или скорости удаления.
Рассмотрим таблицу.
Из неё видно, что при движении объектов в противоположные стороны их скорости складываются . При движении в одну сторону – вычитаются .
Примеры решения задач.
Задача №1.
Две автомашины движутся навстречу друг другу со скоростями 60км/ч и 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2
– скорость сближения в разных направлениях
)
υ сб = 60 + 80 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 140 км/ч.
Задача №2.
Из одного пункта в противоположных направлениях выехали две автомашины со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. Определите скорость удаления машин.
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 80 км/ч
Найти υ уд
Решение.
υ уд = υ 1 + υ 2
– скорость удаления (знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ уд = 80 + 60 = 140 (км/ч)
Ответ:
скорость удаления 140 км/ч.
Задача №3.
Из одного пункта в одном направлении выехали сначала автомобиль со скоростью 60 км/ч, а затем мотоцикл со скоростью 80 км/ч. Определите скорость сближения машин.
(Видим, что здесь случай движения вдогонку, поэтому находим скорость сближения)
υ ав = 60 км/ч
υ мот = 80 км/ч
Найти υ сб
Решение.
υ сб = υ 1 – υ 2
– скорость сближения (знак «–» так как из условия понятно, что машины движутся в одном направлении
)
υ сб = 80 – 60 = 20 (км/ч)
Ответ:
скорость сближения 20 км/ч.
То есть название скорости – сближения или удаления – не влияют на знак между скоростями. Имеет значение только направление движения .
Рассмотрим другие задачи.
Задача № 4.
Из одного пункта в противоположных направлениях вышли два пешехода. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 ч?
υ 1 = 5 км/ч
υ 2 = 4 км/ч
t = 3 ч
Найти S
Решение.
в разных направлениях
)
υ уд = 5 + 4 = 9 (км/ч)
S = υ уд ·t
S = 9·3 = 27 (км)
Ответ:
через 3 ч расстояние будет 27 км.
Задача № 5.
Два велосипедиста одновременно выехали навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 36 км. Скорость первого 10 км/ч, второго 8 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
S = 36 км
υ 1 = 10 км/ч
υ 2 = 8 км/ч
Найти t
Решение.
υ сб = υ 1 + υ 2 – скорость сближения
(знак «+» так как из условия понятно, что машины движутся в разных направлениях
)
υ сб = 10 + 8 = 18 (км/ч)
(время встречи можно рассчитать по формуле)
t = S: υ сб
t = 36: 18 = 2 (ч)
Ответ:
встретятся через 2 ч.
Задача №6. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 60 км/ч и 70км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 260 км?
υ 1 = 60 км/ч
υ 2 = 70 км/ч
S = 260 км
Найти t
Решение
.
1 способ
υ уд = υ 1 + υ 2 – скорость удаления
(знак «+» так как из условия понятно, что пешеходы движутся в разных направлениях
)
υ уд = 60 + 70 = 130 (км/ч)
(Пройденное расстояние находим по формуле)
S = υ уд ·t
⇒ t
= S: υ уд
t = 260: 130 = 2 (ч)
Ответ:
через 2 ч расстояние между ними будет 260 км.
2 способ
Сделаем пояснительный рисунок:
Из рисунка видно, что
1) через заданное время расстояние между поездами будет равно сумме расстояний, которые прошли каждый из поездов:
S = S 1 + S 2
;
2) каждый из поездов ехал одинаковое время (из условия задачи), значит,
S 1 =υ 1 · t
—расстояние которое проехал 1 поезд
S 2 =υ 2 · t
— расстояние которое проехал 2 поезд
Тогда,
S =
S 1 + S 2
= υ 1 · t + υ 2 · t = t · (υ 1 + υ 2)
= t · υ уд
t = S: (υ 1 + υ 2)
— время за которое оба поезда проедут 260 км
t = 260: (70 + 60) = 2 (ч)
Ответ:
расстояние между поездами будет 260 км через 2 ч.
1. Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км. Скорость одного из них 5 км/ч, другого – 4 км/ч. Через сколько часов они встретятся? (2 ч)
2. Два поезда отошли от одной станции в противоположных направлениях. Их скорости 10 км/ч и 20 км/ч. Через сколько часов расстояние между ними будет 60 км? (2 ч)
3. Из двух сел, расстояние между которыми 28 км, одновременно навстречу друг другу вышли два пешехода. Скорость первого 4 км/ч, скорость второго 5 км/ч. На сколько километров за час пешеходы сближаются друг с другом? Какое расстояние будет между ними через 3 часа? (9 км, 27 км)
4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 час до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие? (140 км, есть)
5. Велосипедист и мотоциклист выехали одновременно из одного пункта в одном направлении. Скорость мотоциклиста 40 км/ч, а велосипедиста 12 км/ч. Какова скорость их удаления друг от друга? Через сколько часов расстояние между ними будет 56 км? (28 км/ч, 2 ч)
6. Из двух пунктов, удаленных друг от друга на 30 км, выехали одновременно в одном направлении два мотоциклиста. Скорость первого 40 км/ч, второго 50 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?
7. Расстояние между городами А и В 720 км. Из А в В вышел скорый поезд со скоростью 80 км/ч. Через 2 часа навстречу ему из В в А вышел пассажирский поезд со скоростью 60 км/ч. Через сколько часов они встретятся?
8. Из села вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 3 часа вслед за ним выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. За сколько часов велосипедист догонит пешехода?
9. Расстояние от города до села 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час навстречу ему из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?
10. Старинная задача.
Некий юноша пошел из Москвы к Вологде. Он проходил в день 40 верст. Через день вслед за ним был послан другой юноша, проходивший в день 45 верст. Через сколько дней второй догонит первого?
11. Старинная задача
. Собака усмотрела в 150 саженях зайца, который пробегает в 2 минуты по 500 сажен, а собака за 5 минут – 1300 сажен. Спрашивается, в какое время собака догонит зайца?
12. Старинная задача
. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?
Урок математики в 4 классе.
Урок провела учитель начальных классов первой категории Моргачева Наталья Юрьевна
Тема урока: Решение текстовых задач. Движение навстречу друг другу.
Цели урока:
Образовательная :
Познакомить учащихся с решением задач на встречное движение. Обеспечить условия для усвоения всеми учащимися понятий скорости сближения.
Определить уровень восприятия, осмысления и первичного запоминания материала, провести коррекцию уровня сформированности умений и навыков в ходе урока.
Развивающая : Развивать умение сравнивать, анализировать, обобщать. Развивать творческие способности.
Воспитательная : Воспитывать у учащихся чувство уверенности в своих силах.
Тип урока: урок изучения новых знаний
Вид урока: комбинированный.
Формы работы: фронтальная работа, работа в парах, в группах, самостоятельная работа.
Ход урока:
Организационый момент.
Слайды 1 - 3
Вы талантливые, дети! Когда-нибудь вы сами приятно поразитесь, какие вы умные, как много и хорошо умеете, если будете постоянно работать над собой, ставить новые цели стремиться к их достижению…» (Ж.Ж.Руссо)
-Девочки, мальчики садитесь, пожалуйста!
-Какой урок сейчас?
-Проверяем готовность.
-Какое нужно настроение, чтобы урок получился удачный?
-Я желаю вам сохранить хорошее настроение на весь урок.
Актуализация знаний.
Посмотрите на ребус. Отгадайте слово.
Учащиеся читают слово: Задача.
Сделайте вывод. Чем будем заниматься на уроке?
(Будем решать задачи).
Б) – Обратите внимание на формулы. - Объясните, что они обозначают.
(Чтобы найти расстояние, нужно скорость умножить на время.)
(Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость).
(Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время).
В каких единицах измеряется расстояние? (км, м, дм, см).
В каких единицах измеряется время? (ч, мин, с, сут.).
В каких единицах измеряется скорость? (км/ч, м/мин, м/с, км/мин, км/с).
Что такое скорость? (Расстояние, пройденное за единицу времени).
В) – Вспомните, с какой скоростью могут двигаться объекты .
Составьте простые задачи, используя эти данные.
(Составляют задачи и решают устно).
3.Формирование новых знаний и умений (постановка учебной задачи).
Как называются задачи, в которых используются взаимосвязи между скоростью, временем и расстоянием? (Задачи на движение).
Что такое движение?
Сформулируйте тему урока.
(Задачи на встречное движение).
Какова цель нашего урока? (Научиться решать задачи на встречное движение).
Как вы думаете, все ли мы знаем о встречном движении? Хотелось бы узнать?
4.Открытие нового знания.
Введение понятия «Скорость сближения».
Сначала практически продемонстрируем, как происходит встречное движение.
(2 учащихся показывают, как происходит встречное движение).
Расскажите, как движутся два пешехода. (Одновременно навстречу друг другу)
Что значит «одновременно»? (одинаковое время)
Что происходит с пешеходами, когда они идут навстречу друг другу?
(Они сближаются)
Представим, что скорость одного пешехода – 6 км/ч, а другого – 5 км/ч.
На сколько км они сблизятся за час? (на 11 км/ч).
Как вы узнали? (6 +5=11 км/ч).
Ребята, то, что мы с вами сейчас определили при встречном движении называется скоростью сближения.
Сделайте вывод, что такое скорость сближения. (Запись на доске и в тетрадях:
V= V1 + V2)
5. Первичное закрепление.
Решение задачи №.
Задача 1
6. Физкультминутка
7. Первичное закрепление.
Послушайте условия задачи.
А) От двух противоположных берегов поплыли одновременно навстречу друг другу две черепахи и встретились через 5 часов. Одна черепаха плыла со скоростью 29 км/ч, а другая 35 км/ч. Какое расстояние было между черепахами?
Как двигались черепахи?
Д. Навстречу друг другу.
Как это показано на чертеже?
Д. Стрелками.
Что известно о времени их выхода?
Д. Они вышли одновременно.
Как обозначено место встречи?
Д. Флажком.
Сколько времени будет плыть до встречи каждая черепаха?
Д. 5 часов каждая черепаха будет плыть до места встречи.
Известны ли скорости черепах?
Д. Известны, одна черепаха плывет со скоростью 29 км/ч, а другая со скоростью 35 км/ч.
Какая из черепах проплывет до встречи большее расстояние? Почему?
Д. Вторая черепаха. Она плыла с большей скоростью, а времени затратила столько же, сколько и первая черепаха.
Что же требуется узнать?
Д. Расстояние между черепахами.
Как видим по чертежу, часть этого расстояния проплыла одна черепаха, а другую часть – другая черепаха. Покажи эти части на чертеже? Как узнать расстояние между черепахами?
Д. Сначала узнать, какое расстояние проплыла за 5 часов одна черепаха, затем расстояние, которое проплыла вторая черепаха, после этого можно будет узнать все расстояние.
Запишите решение задачи (1 ученик работает у доски).
Эту задачу можно решить другим способом. (Кто хочет побыть черепахой?)
Покажите откуда вы начали движение. Вы начали движение одновременно и плыли один час. Сколько км проплыли за час обе черепахи.
Д. 64 км. (или на сколько сблизились обе черепахи за один час: скорость сближения.)
Прошел второй час. На сколько км еще сблизились черепахи?
Д. Еще на 64 км. … и так далее.
Кто догадался, как по другому решить задачу?
Запишите решение задачи.
Послушайте условие следующей задачи.
От двух противоположных берегов, расстояние между которыми 320 км, одновременно навстречу друг другу поплыли две черепахи. Одна черепаха плыла со скоростью 29 км/ч, а другая 35 м/ч. Через сколько часов черепахи встретились?
Как узнать через, сколько часов черепахи встретились? (Сначала узнаем скорость сближения, а потом расстояние разделим на скорость и узнаем время.)
Запишите решение задачи.
От двух противоположных берегов, расстояние между которыми 320 км, поплыли одновременно на встречу друг другу две черепахи и встретились через 5 часов. Одна черепаха плыла со скоростью 29 км/ч. С какой скоростью плыла другая черепаха?
(Два способа решения: 1 способ. (320-29х5):5=35 2 способ. 320:5- 29 = 35)
Запишем формулу нахождения скорости сближения.
1 вариант
2 вариант
7. Рефлексия. - Чему учились на уроке? Что узнали нового? Что такое скорость сближения?
Как оцениваете свою работу на уроке?
10. Домашнее задание.
Составить задачу на встречное движение.
Какое расстояние проехал всадник за 3 часа, если его скорость 18 км/ч? (18*3=54)
Сколько часов в 240 минут? (240:60=4)
Чему равна длина прямоугольника, если его площадь 42 см2, а ширина 6 см? (42:6=7)
Чему равен периметр квадрата со стороной 12 дм? (12*4=48 дм)
Сколько см в 3 м? (300 см)
Сколько минут потратила гусеница, если она преодолела расстояние в 40 дм со скоростью 2 дм/мин? (40:2=20 мин)
Найдите площадь квадрата со стороной 4 см? (4*4=16 см2)
Через сколько часов встретятся два поезда, если расстояние между ними 900 км, а скорости равны 45 км/ч и 55 км/ч? (900: (45+55) =9 ч)
В задачах на движение обычно используются формулы, выражающие закон равномерного движения, т.е.
s = v · t.
При составлении уравнений в таких задачах удобно использовать геометрическую иллюстрацию процесса движения.
При движении по окружности удобно пользоваться понятием угловой скорости, т.е. угла, на который поворачивается вокруг центра движущийся объект за единицу времени. Бывает, что для усложнения задачи, ее условие формулируют в разных единицах измерения. В таких случаях для составления уравнений необходимо выразить все данные значения через одну и ту же единицу измерения.
Источником составления уравнений в задачах на движение служат следующие соображения:
1) Объекты, начавшие движение навстречу друг другу одновременно, движутся до момента встречи одинаковое время. Время, через которое они встретятся, находят по формуле
t = s/(v 1 + v 2) (*).
2) Если одно тело догоняет другое, то время, через которое первый догонит второго, вычисляется по формуле
t = s/(v 1 – v 2) (**).
3) Если объекты прошли одинаковое расстояние, то величину этого расстояния удобно принять за общее неизвестное задачи.
4) Если при одновременном движении двух объектов по окружности из одной точки, один из них догоняет в первый раз другого, то разность пройденных ими к этому моменту расстояний равна длине окружности
5) Для времени новой встречи при движении в противоположных направлениях получим формулу (*), если в одном направлении – то формулу (**).
6) При движении по течению реки скорость объекта равна сумме скоростей в стоячей воде и скорости течения. При движении против течения скорость движения есть разность этих скоростей.
Аналитическое решение задач на движение
Задача 1.
Два пешехода одновременно вышли навстречу друг другу и через 3 часа 20 минут встретились. Сколько времени понадобилось каждому пешеходу, чтобы пройти все расстояние, если известно, что первый пришел в пункт, из которого вышел второй, на 5 часов позже, чем второй пришел в пункт, откуда вышел первый?
Решение.
В этой задаче нет никаких данных о пройденном расстоянии. Это является ее главной особенностью. В таких случаях будет удобно принять за единицу все расстояние, тогда скорость первого пешехода будет равна
v 1 = 1/x, а второго – v 2 = 1/y, где x часов – время в пути первого, а y – время в пути второго пешеходов.
Условия задачи позволяют составить систему уравнений:
{3⅓ · 1/x + 3⅓ · 1/y = 1,
{x – y = 5.
Решая эту систему, получим, что y = 5, x = 10.
Ответ: 10 часов и 5 часов.
Задача 2.
Из пункта А в пункт В выехал велосипедист. Через 3 часа навстречу ему из пункта В выехал мотоциклист, со скоростью в 3 раза большей, чем скорость велосипедиста. Встреча велосипедиста и мотоциклиста происходит посередине, между пунктами А и В. В случае выезда мотоциклиста позже велосипедиста на 2 часа, их встреча произошла бы на 15 километров ближе а пункту А. Найти расстояние АВ.
Решение.
Сделаем иллюстрацию к задаче (рис. 1).
Пусть АВ = s км, v км/ч – скорость велосипедиста, 3v км/ч – скорость мотоциклиста.
t 1 = 0,5 s/v часов – время до встречи велосипедиста,
t 2 = 0,5 s/3v часов – время до встречи мотоциклиста.
По условию t 1 – t 2 = 3, значит 0,5 s/v – 0,5s / 3v = 3, откуда s = 9v.
Если бы мотоциклист выехал на 2 часа позже велосипедиста, то они встретились бы в точке F.
AF = 0,5s – 15, BF = 0,5s + 15.
Составим уравнение: (0,5s – 15)/v – (0,5s + 15)/3v = 2, откуда s – 60 = 6v.
Получим систему уравнений:
{s = 9v,
{s = 60 + 6v.
{v = 20,
{s = 180.
Ответ: v = 20 км/ч, s = 180 км.
Графический метод при решении задач на движение
Существует и графический метод решения заданий. Рассмотрим применение этого метода для решения задач на движение. Графическое изображение функций, описывающих условие задачи – зачастую очень удобный прием, который позволяет наглядно представить ситуацию задачи. Так же он позволяет составить новые уравнения или заменить алгебраическое решение задачи чисто геометрическим.
Задача 3.
Пешеход вышел из пункта А в пункт В. Вслед за ним из пункта А выехал велосипедист, но с задержкой в 2 часа. Еще через 30 минут по направлению к пункту В выехал мотоциклист. Пешеход, велосипедист и мотоциклист двигались в пункт В без остановок и равномерно. Через некоторое время после того, как выехал мотоциклист, оказалось, что к этому моменту все трое преодолели одинаковую часть пути от А до В. На сколько минут раньше пешехода велосипедист прибыл в пункт В, если мотоциклист прибыл в пункт В на 1 час раньше пешехода?
Решение.
Для алгебраического решения требуется введение многих переменных и составления громоздкой системы. Графически ситуация, описанная в задаче, представлена на рисунке 2.
Используя подобие треугольников AOL и KOM, а так же треугольников AOP и KON можно составить пропорцию:
x = 4/5 ч = 48 минут.
Ответ: 48 минут.
Задача 4.
Из двух городов навстречу друг другу одновременно вышли два посыльных. После встречи один из них был в пути еще 16 часов, а второй – 9 часов. Определить, сколько времени был в пути каждый посыльный.
Решение.
Пусть время движения до встречи каждого посыльного будет t. По условию задачи строим график (рис. 3).
Аналогично задаче 3, необходимо использовать подобие треугольников.
Значит, 12 + 16 = 28 (часов) – был в пути первый, 12 + 9 = 21 (час) – был в пути второй.
Ответ: 21 час и 28 часов.
Вот мы и разобрали основные методы решения задач на движение. В ЕГЭ они встречаются очень часто, поэтому обязательно практикуйтесь в решении данных задач.
Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи на движение?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.