1156.

Kvadratų lentelė

	_0	_1	_2	_3	_4	_5	_6	_7	_8	_9
0_	0	1	4	9	16	25	36	49	64	81
1_	100	121	144	169	196	225	256	289	324	361
2_	400	441	484	529	576	625	676	729	784	841
3_	900	961	1024	1089	1156	1225	1296	1369	1444	1521
4_	1600	1681	1764	1849	1936	2025	2116	2209	2304	2401
5_	2500	2601	2704	2809	2916	3025	3136	3249	3364	3481
6_	3600	3721	3844	3969	4096	4225	4356	4489	4624	4761
7_	4900	5041	5184	5329	5476	5625	5776	5929	6084	6241
8_	6400	6561	6724	6889	7056	7225	7396	7569	7744	7921
9_	8100	8281	8464	8649	8836	9025	9216	9409	9604	9801

Rodiniai ir ypatybės

Natūralaus skaičiaus kvadratas $n$ gali būti pavaizduota kaip pirmojo suma $n$ nelyginiai skaičiai:

1: $1\; =\; 1$
2: $4\; =\; 1\; +\; 3$
...
7: $49\; =\; 1\; +\; 3\; +\; 5\; +\; 7\; +\; 9\; +\; 11\; +\; 13$
...

Kitas būdas pavaizduoti natūraliojo skaičiaus kvadratą:
$n^2\; =\; 1\; +\; 1\; +\; 2\; +\; 2\; +\; ...\; +\; (n\; -\; 1)\; +\; (n\; -\; 1)\; +\; n$
Pavyzdys:

1: $1\; =\; 1$
2: $4\; =\; 1\; +\; 1\; +\; 2$
...
4: $16\; =\; 1\; +\; 1\; +\; 2\; +\; 2\; +\; 3\; +\; 3\; +\; 4$
...

Kiekvienas natūralusis skaičius gali būti pavaizduota kaip keturių kvadratų suma (Lagranžo keturių kvadratų sumos teorema).

Vienintelis skaičius > 1, kuris yra ir kvadrato, ir piramidės formos.

Iš eilės einančių trikampių skaičių porų sumos yra kvadratiniai skaičiai.

Dešimtaine tvarka kvadratiniai skaičiai turi šias savybes:

• Paskutinis kvadrato skaitmuo dešimtainiu būdu gali būti 0, 1, 4, 5, 6 arba 9 (kvadratinės liekanos modulo 10).
• Kvadratas negali baigtis nelyginiu nulių skaičiumi.
• Kvadratas dalijasi iš 4 arba palieka 1 likutį padalijus iš 8. Kvadratas dalijasi iš 9 arba palieka 1 likutį padalijus iš 3.
• Paskutiniai du kvadrato skaitmenys dešimtainiu būdu gali būti 00, 01, 04, 09, 16, 21, 24, 25, 29, 36, 41, 44, 49, 56, 61, 64, 69, 76, 81, 84, 89 arba 96 (kvadratinės liekanos modulio 100). Priešpaskutinio kvadrato skaitmens priklausomybę nuo paskutinio galima pateikti šioje lentelėje:

Geometrinis vaizdavimas

1

4

9

16

25
	matematikoje. Galite padėti projektui jį papildydami.

Ištrauka, apibūdinanti Pilną aikštę

Karatajevas nutilo, džiaugsmingai šypsodamasis žiūrėjo į ugnį ir ištiesino rąstus.
– Senis sako: Dievas tau atleis, bet mes visi esame Dievo nusidėjėliai, aš kenčiu už savo nuodėmes. Jis pats pradėjo verkti karčiomis ašaromis. Ką tu manai, sakale, – tarė Karatajevas, vis šviesiau ir šviesiau spindėdamas entuziastingai šypsodamasis, tarsi tai, ką jis dabar turėjo pasakyti, slypėtų pagrindinis žavesys ir visa istorijos prasmė, – ką tu manai, sakalai, šis žudikas. , kuris yra atsakingas, pasirodė . Aš, sako, sugadinau šešias sielas (buvau didelis piktadarys), bet labiausiai man gaila šio seno žmogaus. Tegul jis neverkia ant manęs. Pasirodė: nurašė, atsiuntė popierių kaip reikiant. Vieta toli, iki teismo ir bylos, kol visi popieriai nenurašyti taip, kaip turėtų, anot valdžios, tai yra. Tai pasiekė karalių. Iki šiol atėjo karališkasis dekretas: paleisti prekybininką, duoti jam apdovanojimų, kiek jie buvo apdovanoti. Atėjo popierius ir jie pradėjo ieškoti seno žmogaus. Kur toks senukas nekaltai veltui kentėjo? Popierius atėjo iš karaliaus. Jie pradėjo ieškoti. – Karatajevo apatinis žandikaulis drebėjo. – Ir Dievas jam jau atleido – mirė. Taigi, sakalas“, – baigė Karatajevas ir ilgai žiūrėjo į priekį, tyliai šypsodamasis.
Ne pati ši istorija, o jos paslaptinga prasmė, tas entuziastingas džiaugsmas, kuris švietė Karatajevo veide dėl šios istorijos, paslaptinga šio džiaugsmo prasmė, dabar ji miglotai ir džiaugsmingai užpildė Pierre'o sielą.

– A vos vietas! [Eik į savo vietas!] – staiga sušuko balsas.
Tarp kalinių ir sargybinių tvyrojo džiugus sumaištis ir kažko laimingo bei iškilmingo laukimas. Komandos šūksniai buvo girdėti iš visų pusių, o kairėje pusėje, trypdami aplink kalinius, pasirodė kavaleristai, gerai apsirengę, apsirengę. geri arkliai. Visuose veiduose tvyrojo įtampa, kurią žmonės patiria būdami šalia aukštesnių autoritetų. Kaliniai susiglaudė ir buvo nustumti nuo kelio; Sargybiniai išsirikiavo.
– Imperatorius! Imperatorius! Le marechal! Le duc! [Imperatorius! Imperatorius! Maršalas! Kunigaikštis!] – ir ką tik pravažiavo gerai pamaitinti sargybiniai, kai traukinyje griaudėjo karieta, ant pilkų arklių. Pjeras pažvelgė į ramų, gražų, storą ir baltą vyro veidą su trijų kampų skrybėle. Tai buvo vienas iš maršalų. Maršalo žvilgsnis nukrypo į didelę, ryškią Pierre'o figūrą, ir toje išraiškoje, kuria šis maršalas susiraukė ir nukreipė veidą, Pierre'as atrodė užjaučiantis ir trokštantis tai paslėpti.
Depą valdęs generolas raudonu, išsigandusiu veidu, varomas plonu arkliu, šuoliavo paskui vežimą. Susirinko keli karininkai ir kareiviai juos apsupo. Visų veidai buvo įsitempę, susijaudinę.
– Ar tu taip? Qu"est ce qu"il a dit?.. [Ką jis pasakė? Ką? Ką?..] - išgirdo Pierre'as.
Per maršalą kaliniai susiglaudė, o Pierre'as pamatė Karatajevą, kurio tą rytą nematė. Karatajevas sėdėjo apsivilkęs paltą, atsirėmęs į beržą. Jo veide, be vakarykščio džiaugsmingo švelnumo išraiškos, kai jis pasakojo istoriją apie nekaltas pirklio kančias, buvo ir tylaus iškilmingumo išraiška.
Karatajevas pažvelgė į Pierre'ą su savo malonumu, apvalios akys, dabar apsipylė ašaromis, ir, matyt, pasikvietė jį, norėjo kažką pasakyti. Tačiau Pierre'as per daug bijojo dėl savęs. Jis pasielgė taip, lyg nematytų savo žvilgsnio ir greitai nuėjo.
Kai kaliniai vėl išvyko, Pierre'as atsigręžė. Karatajevas sėdėjo kelio pakraštyje, prie beržo; o du prancūzai kažką kalbėjo aukščiau už jį. Pjeras daugiau neatsigręžė. Jis ėjo šlubuodamas į kalną.
Už nugaros, iš tos vietos, kur sėdėjo Karatajevas, pasigirdo šūvis. Pierre'as aiškiai girdėjo šį šūvį, bet tą pačią akimirką, kai išgirdo, Pierre'as prisiminė, kad dar nebaigė skaičiavimo, kurį pradėjo prieš maršalą, kiek pervažų liko iki Smolensko. Ir jis pradėjo skaičiuoti. Du prancūzų kareiviai, vienas iš kurių rankoje laikė nuimtą, rūkantį ginklą, prabėgo pro Pierre'ą. Jie abu buvo išblyškę, o jų veidų išraiškoje – vienas nedrąsiai pažvelgė į Pjerą – buvo kažkas panašaus į tai, ką jis matė jauname kareivyje egzekucijos metu. Pierre'as pažvelgė į kareivį ir prisiminė, kaip šis trečios dienos kareivis sudegino marškinius džiovindamas ant laužo ir kaip jie juokėsi iš jo.
Šuo kaukė iš nugaros, iš tos vietos, kur sėdėjo Karatajevas. – Koks kvailys, apie ką ji kaukia? - pagalvojo Pjeras.
Šalia Pierre'o einantys bendražygiai kareiviai neatsigręžė, kaip ir jis, į vietą, iš kurios pasigirdo šūvis, o paskui šuns kaukimas; bet griežta išraiška gulėjo visų veiduose.

Sandėlis, kaliniai ir maršalo vilkstinė sustojo Šamševos kaime. Viskas glaudėsi prie laužų. Pierre'as nuėjo prie ugnies, suvalgė keptą arklieną, atsigulė nugara į ugnį ir iškart užmigo. Jis vėl miegojo tuo pačiu miegu, kaip miegojo Mozhaiske po Borodino.
Vėl realybės įvykiai buvo derinami su sapnais, ir vėl kažkas, ar jis pats, ar kas nors kitas, pasakė jam mintis ir netgi tas pačias mintis, kokias jam kalbėjo Mozhaiske.
„Gyvenimas yra viskas. Gyvenimas yra Dievas. Viskas juda ir juda, ir šis judėjimas yra Dievas. Ir kol yra gyvybė, tol yra ir dievybės savimonės malonumas. Mylėk gyvenimą, mylėk Dievą. Sunkiausia ir palaimingiausia mylėti šį gyvenimą savo kančioje, kančios nekaltoje“.
„Karatajevas“ - prisiminė Pierre'as.
Ir staiga Pierre'as prisistatė gyvu, seniai pamirštu, švelniu senu mokytoju, kuris dėstė Pierre'ą geografiją Šveicarijoje. - Palauk, - tarė senis. Ir jis parodė Pierre'ui Žemės rutulį. Šis gaublys buvo gyvas, svyruojantis rutulys, kuris neturėjo matmenų. Visą rutulio paviršių sudarė lašai, tvirtai suspausti kartu. Ir šie lašai visi judėjo, judėjo ir tada susiliejo iš kelių į vieną, tada iš vieno jie buvo padalinti į daugybę. Kiekvienas lašas siekė išsiskirstyti, pagauti kuo didesnę erdvę, tačiau kiti, siekdami to paties, jį suspaudė, kartais naikino, kartais sujungė.
„Tai gyvenimas“, - sakė senas mokytojas.
„Kaip tai paprasta ir aišku“, – pagalvojo Pjeras. "Kaip aš galėjau to nežinoti anksčiau?"
– Viduryje yra Dievas, ir kiekvienas lašas siekia taip išsiplėsti didžiausi dydžiai atspindėti tai. Ir auga, susilieja ir traukiasi, o paviršiuje sunaikinama, eina į gelmes ir vėl išplaukia aukštyn. Štai jis, Karatajevas, perpildytas ir dingsta. „Vous avez compris, mon enfant, [suprantate.]“, – pasakė mokytojas.
„Vous avez compris, sacra nom, [suprantate, po velnių.]“, - sušuko balsas, ir Pierre'as pabudo.
Jis pakilo ir atsisėdo. Prancūzas, ką tik nustūmęs į šalį rusų kareivį, sėdėjo tupėdamas prie laužo ir kepė mėsą, uždėtą ant stulpo. Gysluotos, susiraitusios, plaukuotos, raudonos rankos trumpais pirštais mikliai suko spygliuką. Anglies šviesoje aiškiai matėsi rudas niūrus veidas surauktais antakiais.

Kaip jau minėjau, integraliniame skaičiavime nėra patogios trupmenos integravimo formulės. Ir todėl pastebima liūdna tendencija: kuo sudėtingesnė trupmena, tuo sunkiau rasti jos integralą. Šiuo atžvilgiu jūs turite griebtis įvairių gudrybių, apie kurias dabar papasakosiu. Pasiruošę skaitytojai gali iš karto pasinaudoti turinys:

• Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Dirbtinio skaitiklio konvertavimo metodas

1 pavyzdys

Beje, nagrinėjamą integralą galima išspręsti ir pakeitus kintamojo metodą, žymint , tačiau sprendinio rašymas užtruks daug ilgiau.

2 pavyzdys

Rasti neapibrėžtas integralas. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Reikėtų pažymėti, kad kintamojo pakeitimo metodas čia nebeveiks.

Dėmesio, svarbu! 1, 2 pavyzdžiai yra tipiški ir dažnai pasitaiko. Visų pirma, tokie integralai dažnai atsiranda sprendžiant kitus integralus, ypač integruojant neracionalias funkcijas (šaknis).

Nagrinėjama technika veikia ir byloje jei didžiausias skaitiklio laipsnis yra didesnis už aukščiausią vardiklio laipsnį.

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Mes pradedame pasirinkti skaitiklį.

Skaitiklio pasirinkimo algoritmas yra maždaug toks:

1) Skaitiklyje man reikia sutvarkyti , bet ten . Ką daryti? Dedu jį į skliaustus ir padauginu iš: .

2) Dabar bandau atidaryti šiuos skliaustus, kas atsitiks? . Hmm... tai geriau, bet iš pradžių skaitiklyje nėra dviejų. Ką daryti? Reikia padauginti iš:

3) Dar kartą atidarau skliaustus: . Ir štai pirmoji sėkmė! Tai pasirodė teisingai! Tačiau problema ta, kad atsirado papildomas terminas. Ką daryti? Kad išraiška nepasikeistų, tą patį turiu pridėti prie savo konstrukcijos:
. Gyvenimas tapo lengvesnis. Ar galima vėl tvarkyti skaitiklyje?

4) Tai įmanoma. Pabandykime: . Atidarykite antrojo termino skliaustus:
. Atsiprašome, bet ankstesniame žingsnyje iš tikrųjų turėjau , o ne . Ką daryti? Antrąjį terminą reikia padauginti iš:

5) Vėlgi, norėdamas patikrinti, atidarau skliaustus antrajame termine:
. Dabar tai normalu: gauta iš galutinės 3 punkto konstrukcijos! Bet vėl yra mažas „bet“, atsirado papildomas terminas, o tai reiškia, kad turiu papildyti savo posakį:

Jei viskas padaryta teisingai, tada atidarę visus skliaustus turėtume gauti pradinį integrando skaitiklį. Mes tikriname:
Gaubtas.

Taigi:

Paruošta. Paskutiniame termine naudojau funkcijos įtraukimo į diferencialą metodą.

Jei rasime atsakymo išvestinę ir sumažinsime išraišką į bendras vardiklis, tada gauname tiksliai pradinę integrando funkciją. Nagrinėjamas išskaidymo į sumą metodas yra ne kas kita, kaip atvirkštinis veiksmas, kai išraiška sujungiama į bendrą vardiklį.

Tokiuose pavyzdžiuose skaitiklio pasirinkimo algoritmą geriausia atlikti juodraštyje. Su tam tikrais įgūdžiais tai veiks protiškai. Prisimenu rekordinį atvejį, kai atlikau atranką į 11 laipsnį, o skaitiklio išplėtimas užėmė beveik dvi Verdo eilutes.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą. Atlikite patikrinimą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Paprastųjų trupmenų diferencialo ženklo sumavimo būdas

Pereikime prie kito trupmenų tipo.
, , , (koeficientai ir nėra lygūs nuliui).

Tiesą sakant, pamokoje jau buvo paminėti keli atvejai su arcsinusu ir arctangentu Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje. Tokie pavyzdžiai išspręsti pridedant funkciją po diferencialiniu ženklu ir toliau integruojant naudojant lentelę. Čia yra tipiškesni pavyzdžiai su ilgu ir dideliu logaritmu:

5 pavyzdys

6 pavyzdys

Čia patartina pasiimti integralų lentelę ir pažiūrėti, kokios formulės ir Kaip vyksta transformacija. Atkreipkite dėmesį kaip ir kodėlŠiuose pavyzdžiuose esantys kvadratai yra paryškinti. Visų pirma, 6 pavyzdyje pirmiausia turime pavaizduoti vardiklį formoje , tada pažymėkite jį po diferencialiniu ženklu. Ir visa tai reikia padaryti norint naudoti standartinę lentelės formulę .

Kam žiūrėti, pabandykite patys išspręsti 7, 8 pavyzdžius, juolab kad jie gana trumpi:

7 pavyzdys

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Jei ir jums pavyksta patikrinti šiuos pavyzdžius, tada didelė pagarba – jūsų diferenciacijos įgūdžiai puikūs.

Viso kvadrato pasirinkimo metodas

Formos integralai (koeficientai ir nėra lygūs nuliui) išsprendžiami izoliacijos metodas pilna aikštė , kuris jau pasirodė pamokoje Geometrinės grafikų transformacijos.

Tiesą sakant, tokie integralai redukuojasi iki vieno iš keturių lentelių integralų, kuriuos ką tik žiūrėjome. Ir tai pasiekiama naudojant pažįstamas sutrumpintas daugybos formules:

Formulės taikomos būtent šia kryptimi, tai yra, metodo idėja yra dirbtinai organizuoti išraiškas arba vardiklyje, o tada jas atitinkamai konvertuoti į bet kurią.

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai paprasčiausias pavyzdys, kuriame su terminu – vieneto koeficientas(o ne koks nors skaičius ar minusas).

Pažiūrėkime į vardiklį, čia viskas aiškiai priklauso nuo atsitiktinumo. Pradėkime vardiklio konvertavimą:

Akivaizdu, kad reikia pridėti 4. Ir, kad išraiška nepasikeistų, atimkite tuos pačius keturis:

Dabar galite taikyti formulę:

Baigus konvertuoti VISADA Patartina atlikti atvirkštinį judėjimą: viskas gerai, klaidų nėra.

Galutinis nagrinėjamo pavyzdžio dizainas turėtų atrodyti maždaug taip:

Paruošta. „Laisvosios“ kompleksinės funkcijos įtraukimas po diferencialo ženklu: , iš esmės gali būti nepaisomas

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, atsakymas yra pamokos pabaigoje

11 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Ką daryti, kai priešais minusas? Šiuo atveju turime išimti minusą iš skliaustų ir išdėstyti terminus tokia tvarka, kokia mums reikia: . Pastovus(„du“ in šiuo atveju) nelieskite!

Dabar skliausteliuose pridedame vieną. Analizuodami išraišką, darome išvadą, kad turime pridėti vieną už skliaustų:

Čia gauname formulę, taikome:

VISADA Mes patikriname juodraštį:
, ką reikėjo patikrinti.

Švarus pavyzdys atrodo maždaug taip:

Užduotį apsunkina

12 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Čia terminas yra nebe vieneto koeficientas, o „penki“.

(1) Jei yra konstanta at, tada iš karto išimame ją iš skliaustų.

(2) Apskritai visada geriau šią konstantą perkelti už integralo, kad ji netrukdytų.

(3) Akivaizdu, kad viskas priklausys nuo formulės. Turime suprasti terminą, būtent gauti „du“

(4) Taip, . Tai reiškia, kad mes pridedame prie išraiškos ir atimame tą pačią trupmeną.

(5) Dabar pasirinkite visą kvadratą. IN bendras atvejis taip pat turime apskaičiuoti , bet čia yra ilgojo logaritmo formulė , ir nėra prasmės atlikti veiksmą, paaiškės toliau.

(6) Tiesą sakant, mes galime pritaikyti formulę , tik vietoj „X“ turime , o tai nepaneigia lentelės integralo galiojimo. Griežtai tariant, vienas žingsnis buvo praleistas - prieš integruojant funkcija turėjo būti įtraukta į diferencialinį ženklą: , tačiau, kaip jau ne kartą esu pastebėjęs, tai dažnai nepaisoma.

(7) Atsakyme po šaknimi patartina išplėsti visus skliaustus atgal:

Sunku? Tai nėra pati sunkiausia integralinio skaičiavimo dalis. Nors nagrinėjami pavyzdžiai nėra tiek sudėtingi, kiek reikalauja gerų skaičiavimo metodų.

13 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą:

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Vardiklyje yra integralai su šaknimis, kurie, naudojant pakaitalą, redukuojami iki tokio tipo integralų, apie kuriuos galite perskaityti straipsnyje Sudėtingi integralai, bet jis skirtas labai pasiruošusiems studentams.

Priimant skaitiklį po diferencialo ženklu

Tai paskutinė pamokos dalis, tačiau tokio tipo integralai yra gana dažni! Jei pavargote, gal geriau paskaityti rytoj? ;)

Integralai, kuriuos svarstysime, yra panašūs į ankstesnės pastraipos integralus, jie turi formą: arba (koeficientai , ir nėra lygūs nuliui).

Tai yra, mūsų turimame skaitiklyje tiesinė funkcija. Kaip išspręsti tokius integralus?

Internetinis skaičiuotuvas.
Dvinalio kvadrato išskyrimas ir kvadratinio trinalio faktorius.

Ši matematikos programa skiria kvadratinį binomį nuo kvadratinio trinalio, t.y. atlieka transformaciją kaip:
\(ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+p)^2+q \) ir faktorizuoja kvadratinį trinarį: \(ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) \)

Tie. problemos susiveda ieškant skaičių \(p, q\) ir \(n, m\)

Programa ne tik pateikia atsakymą į problemą, bet ir parodo sprendimo procesą.

Ši programa gali būti naudinga aukštųjų mokyklų studentams vidurines mokyklas ruošiantis bandymai ir egzaminus, tikrinant žinias prieš Vieningą valstybinį egzaminą, tėvams kontroliuoti daugelio matematikos ir algebros uždavinių sprendimą. O gal jums per brangu samdyti dėstytoją ar pirkti naujus vadovėlius? O gal tiesiog norite tai padaryti kuo greičiau? namų darbai

matematikoje ar algebroje? Tokiu atveju taip pat galite naudoti mūsų programas su išsamiais sprendimais.

Tokiu būdu galite vesti savo ir (arba) jaunesnių brolių ar seserų mokymus, o išsilavinimo lygis problemų sprendimo srityje pakyla.

Jei nesate susipažinę su kvadratinio trinalio įvedimo taisyklėmis, rekomenduojame su jomis susipažinti.

Kvadratinio daugianario įvedimo taisyklės
Bet kuri lotyniška raidė gali veikti kaip kintamasis.

Pavyzdžiui: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\) ir kt.
Skaičiai gali būti įvesti kaip sveikieji arba trupmeniniai skaičiai. Be to, trupmeniniai skaičiai

galima įvesti ne tik kaip po kablelio, bet ir kaip paprastąją trupmeną.
Dešimtainių trupmenų įvedimo taisyklės.
Dešimtainėse trupmenose trupmeninė dalis gali būti atskirta nuo visos dalies tašku arba kableliu. Pavyzdžiui, galite įvesti po kablelio

kaip šis: 2,5x - 3,5x^2
Paprastųjų trupmenų įvedimo taisyklės.

Tik sveikas skaičius gali veikti kaip trupmenos skaitiklis, vardiklis ir sveikoji dalis.

Vardiklis negali būti neigiamas. /
Įvedant skaitinę trupmeną, skaitiklis nuo vardiklio atskiriamas dalybos ženklu: Visa dalis &
atskirtas nuo trupmenos ampersandu:
Įvestis: 3 ir 1/3 – 5 ir 6/5x +1/7x^2

Rezultatas: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) x + \frac(1)(7)x^2\) Įvedant išraišką galite naudoti skliaustus
. Šiuo atveju, sprendžiant, įvesta išraiška pirmiausia supaprastinama.

Pavyzdžiui: 1/2(x-1)(x+1)-(5x-10&1/2) Pavyzdys

detalus sprendimas Dvinalio kvadrato išskyrimas. $$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Atsakymas: $$2x^2+2x-4 = 2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$ Faktorizavimas.
$$ ax^2+bx+c \rodyklė dešinėn a(x+n)(x+m) $$ $$2x^2+2x-4 = $$
$$ 2\left(x^2+x-2 \right) = $$ $$ ax^2+bx+c \rowrrow a(x+p)^2+q $$ $$2x^2+2x-4 = $$ $$2x^2 +2 \cdot 2 \cdot\left( \frac(1)(2) \right)\cdot x+2 \cdot \left(\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) = $$ $$2\left (x^2 + 2 \cdot\left(\frac(1)(2) \right)\cdot x + \left(\frac(1)(2) \right)^2 \right)-\frac(9 )(2) = $$ $$2\left(x+\frac(1)(2) \right)^2-\frac(9)(2) $$$$ 2 \left(x^2+2x-1x-1 \cdot 2 \right) = $$ $$ 2 \left(x \left(x +2 \right) -1 \left(x +2 \right) ) \right) = $$ $$ 2 \left(x -1 \right) \left(x +2 \right) $$

Pavyzdžiui: 2x^2+2x-4

Buvo nustatyta, kad kai kurie scenarijai, reikalingi šiai problemai išspręsti, nebuvo įkelti ir programa gali neveikti.
Galbūt esate įjungę „AdBlock“.
Tokiu atveju išjunkite jį ir atnaujinkite puslapį.

Jūsų naršyklėje išjungtas JavaScript.
Kad sprendimas būtų rodomas, turite įjungti „JavaScript“.
Čia pateikiamos instrukcijos, kaip įjungti „JavaScript“ naršyklėje.

Nes Yra daug žmonių, norinčių išspręsti problemą, jūsų prašymas buvo įrašytas į eilę.
Po kelių sekundžių apačioje pasirodys sprendimas.
Palaukite sek...

Jeigu jūs sprendime pastebėjo klaidą, tuomet apie tai galite parašyti atsiliepimų formoje.
Nepamiršk nurodykite, kokia užduotis tu spręsk ką įveskite laukelius.

Mūsų žaidimai, galvosūkiai, emuliatoriai:

Šiek tiek teorijos.

Dvinalio kvadrato išskyrimas nuo kvadratinio trinalio

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas kaip a(x+p) 2 +q, kur p ir q yra realūs skaičiai, tada jie sako, kad nuo kvadratinis trinaris, dvinario kvadratas yra paryškintas.

Iš trinalio 2x 2 +12x+14 išskiriame dvinario kvadratą.

\(2x^2+12x+14 = 2(x^2+6x+7) \)

Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 6x kaip 2*3*x sandaugą, tada pridėkite ir atimkite 3 2. Mes gauname:
$2 ((x+3)^2-2) = 2(x+3)^2-4 $$

Tai. Mes ištraukite kvadratinį binomį iš kvadratinio trinalio, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+12x+14 = 2(x+3)^2-4 $$

Kvadratinio trinalio koeficientas

Jei kvadratinis trinaris ax 2 +bx+c pavaizduotas forma a(x+n)(x+m), kur n ir m yra tikrieji skaičiai, tada sakoma, kad operacija atlikta kvadratinio trinalio faktorizacija.

Parodykime pavyzdžiu, kaip ši transformacija atliekama.

Paskaičiuokime kvadratinį trinarį 2x 2 +4x-6.

Išimkime koeficientą a iš skliaustų, t.y. 2:
\(2x^2+4x-6 = 2(x^2+2x-3) \)

Transformuokime išraišką skliausteliuose.
Norėdami tai padaryti, įsivaizduokite 2x kaip skirtumą 3x-1x, o -3 kaip -1*3. Mes gauname:
$$ = 2(x^2+3 \ctaškas x -1 \ctaškas x -1 \ctaškas 3) = 2(x(x+3)-1 \ctaškas (x+3)) = $$
$$ = 2(x-1)(x+3) $$

Tai. Mes koeficientas kvadratinis trinomas, ir parodė, kad:
$$ 2x^2+4x-6 = 2(x-1)(x+3) $$

Atkreipkite dėmesį, kad kvadratinio trinalio faktorius galimas tik tada, kai kvadratinė lygtis, atitinkantis šį trinarį, turi šaknis.
Tie. mūsų atveju galima koeficientuoti trinarį 2x 2 +4x-6, jei kvadratinė lygtis 2x 2 +4x-6 =0 turi šaknis. Faktorizacijos procese nustatėme, kad lygtis 2x 2 + 4x-6 = 0 turi dvi šaknis 1 ir -3, nes su šiomis reikšmėmis lygtis 2(x-1)(x+3)=0 virsta tikrąja lygybe.

Knygos (vadovėliai) Vieningo valstybinio egzamino ir vieningo valstybinio egzamino testų tezės internete Žaidimai, galvosūkiai Funkcijų grafikų braižymas Rusų kalbos rašybos žodynas Jaunimo žargono žodynas Rusijos mokyklų katalogas Rusijos vidurinių mokyklų katalogas Rusijos universitetų katalogas Sąrašas užduočių

Šioje pamokoje priminsime visus anksčiau išnagrinėtus daugianario faktoringo metodus ir apsvarstysime jų taikymo pavyzdžius, be to, išnagrinėsime naujas metodas- viso kvadrato atpažinimo būdas ir išmokti jį pritaikyti sprendžiant įvairias problemas.

Tema:Faktoringo polinomai

Pamoka:Faktoringo polinomai. Viso kvadrato pasirinkimo būdas. Metodų derinys

Prisiminkime pagrindinius daugianario faktorinavimo metodus, kurie buvo tyrinėti anksčiau:

Metodas, kai skliausteliuose išskiriamas bendras veiksnys, tai yra veiksnys, kuris yra visose daugianario sąlygose. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Prisiminkite, kad monomialas yra laipsnių ir skaičių sandauga. Mūsų pavyzdyje abu terminai turi keletą bendrų identiškų elementų.

Taigi išimkime bendras daugiklis skliausteliuose:

;

Priminsime, kad išimtą koeficientą padauginus iš skliausto, galima patikrinti išimto koeficiento teisingumą.

Grupavimo metodas. Ne visada įmanoma išgauti bendrą daugianario veiksnį. Tokiu atveju reikia suskirstyti jos narius į grupes taip, kad kiekvienoje grupėje būtų galima išskirti bendrą veiksnį ir pabandyti jį suskaidyti taip, kad išėmus veiksnius grupėse atsirastų bendras veiksnys. visą išraišką ir galite tęsti skaidymą. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Sugrupuokime pirmąjį terminą su ketvirtuoju, antrąjį su penktuoju ir trečiąjį su šeštuoju:

Paimkime bendrus veiksnius grupėse:

Dabar išraiška turi bendrą veiksnį. Išimkime:

Sutrumpintų daugybos formulių taikymas. Pažiūrėkime į pavyzdį:

;

Parašykime išraišką išsamiai:

Akivaizdu, kad prieš mus yra skirtumo kvadratu formulė, nes tai yra dviejų išraiškų kvadratų suma ir iš jos atimama jų dviguba sandauga. Naudokime formulę:

Šiandien mes išmoksime kitą metodą - viso kvadrato parinkimo metodą. Jis pagrįstas sumos kvadrato ir skirtumo kvadrato formulėmis. Priminkime jiems:

Sumos kvadrato formulė (skirtumas);

Šių formulių ypatumas yra tas, kad jose yra dviejų išraiškų kvadratai ir jų dviguba sandauga. Pažiūrėkime į pavyzdį:

Užrašykime posakį:

Taigi, pirmoji išraiška yra , o antroji yra .

Norint sukurti sumos arba skirtumo kvadrato formulę, dvigubos išraiškų sandaugos nepakanka. Jį reikia pridėti ir atimti:

Užbaikime sumos kvadratą:

Transformuokime gautą išraišką:

Taikykime kvadratų skirtumo formulę, prisiminkime, kad dviejų išraiškų kvadratų skirtumas yra jų skirtumo sandauga ir suma:

Taigi, šis metodas visų pirma susideda iš išraiškų a ir b, kurios yra kvadratinės, identifikavimo, tai yra, nustatant, kurios išraiškos šiame pavyzdyje yra kvadratinės. Po to turite patikrinti, ar yra padvigubintas sandaugas, o jei jo nėra, pridėkite ir atimkite, tai nepakeis pavyzdžio prasmės, tačiau daugianarį galima koeficientuoti naudojant kvadrato formules. kvadratų suma arba skirtumas ir skirtumas, jei įmanoma.

Pereikime prie pavyzdžių sprendimo.

1 pavyzdys – koeficientas:

Raskime išraiškas, kurios yra kvadratinės:

Parašykime, koks turėtų būti jų dvigubas produktas:

Sudėkime ir atimkime dvigubą sandaugą:

Užbaikime sumos kvadratą ir pateiksime panašius:

Parašykime tai naudodami kvadratų skirtumo formulę:

2 pavyzdys – išspręskite lygtį:

;

Kairėje lygties pusėje yra trinaris. Turite tai įtraukti į veiksnius. Mes naudojame kvadrato skirtumo formulę:

Turime pirmosios išraiškos kvadratą ir dvigubą sandaugą, antrosios išraiškos kvadrato trūksta, pridėkime ir atimkime:

Sulenkime visą kvadratą ir suteikime panašius terminus:

Taikykime kvadratų skirtumo formulę:

Taigi turime lygtį

Žinome, kad sandauga lygi nuliui tik tada, kai bent vienas iš veiksnių lygus nuliui. Remdamiesi tuo, sukurkime tokias lygtis:

Išspręskime pirmąją lygtį:

Išspręskime antrąją lygtį:

Atsakymas: arba

;

Tęsiame panašiai kaip ankstesniame pavyzdyje – pasirinkite skirtumo kvadratą.

Apibrėžimas

Vadinamos 2 x 2 + 3 x + 5 formos išraiškos kvadratinis trinaris. Paprastai kvadratinis trinaris yra a x 2 + b x + c formos išraiška, kur a, b, c a, b, c yra savavališki skaičiai, o a ≠ 0.

Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - 4 x + 5. Parašykime tokia forma: x 2 - 2 · 2 · x + 5. Prie šios išraiškos pridėkime 2 2 ir atimkime 2 2, gausime: x 2 - 2 · 2 · x + 2 2 - 2 2 + 5. Atkreipkite dėmesį, kad x 2 - 2 2 x + 2 2 = (x - 2) 2, taigi x 2 - 4 x + 5 = (x - 2) 2 - 4 + 5 = (x - 2) 2 + 1 . Mūsų atlikta transformacija vadinama „tobulos kvadrato išskyrimas nuo kvadratinio trinario“.

Iš kvadratinio trinalio 9 x 2 + 3 x + 1 nustatykite tobulą kvadratą.

Atminkite, kad 9 x 2 = (3 x) 2, „3x=2*1/2*3x“. Tada „9x^2+3x+1=(3x)^2+2*1/2*3x+1“. Pridėkite ir atimkite „(1/2)^2“ prie gautos išraiškos, gauname

„((3x)^2+2*1/2*3x+(1/2)^2)+1-(1/2)^2=(3x+1/2)^2+3/4“.

Parodysime, kaip tobulo kvadrato išskyrimo iš kvadratinio trinalio metodas naudojamas kvadratiniam trinariui koeficientuoti.

Kvadratinio trinalio koeficientas 4 x 2 – 12 x + 5.

Iš kvadratinio trinalio pasirenkame tobulą kvadratą: 2 x 2 - 2 · 2 x · 3 + 3 2 - 3 2 + 5 = 2 x - 3 2 - 4 = (2 x - 3) 2 - 2 2. Dabar pritaikome formulę a 2 - b 2 = (a - b) (a + b) , gauname: (2 x - 3 - 2) (2 x - 3 + 2) = (2 x - 5) (2 x - 1) .

Kvadratinio trinalio koeficientas – 9 x 2 + 12 x + 5.

9 x 2 + 12 x + 5 = - 9 x 2 - 12 x + 5. Dabar pastebime, kad 9 x 2 = 3 x 2, - 12 x = - 2 3 x 2.

Prie išraiškos 9 x 2 - 12 x pridedame terminą 2 2, gauname:

3 x 2 - 2 3 x 2 + 2 2 - 2 2 + 5 = - 3 x - 2 2 - 4 + 5 = 3 x - 2 2 + 4 + 5 = - 3 x - 2 2 + 9 = 3 2 - 3 x - 2 2 .

Taikome kvadratų skirtumo formulę, turime:

9 x 2 + 12 x + 5 = 3 - 3 x - 2 3 + (3 x - 2) = (5 - 3 x) (3 x + 1) .

Kvadratinio trinalio koeficientas 3 x 2 - 14 x - 5 .

Negalime pateikti išraiškos 3 x 2 kaip kokios nors išraiškos kvadrato, nes to dar nesimokėme mokykloje. Tai atliksite vėliau, o užduotyje Nr.4 mes išnagrinėsime kvadratinės šaknys. Parodykime, kaip galite apskaičiuoti nurodytą kvadratinį trinarį:

`3x^2-14x-5=3(x^2-14/3 x-5/3)=3(x^2-2*7/3 x+(7/3)^2-(7/3) ^2-5/3)=`

`=3((x-7/3)^2-49/9-5/3)=3((x-7/3)^2-64/9)=3((x-7/3)^ 2-8/3)^2)=`

`=3 (x-7/3-8/3) (x-7/3+8/3) = 3 (x-5) (x+1/3) = (x-5) (3x+1) `.

Parodysime, kaip naudoti tobulo kvadrato metodą, kad surastumėte didžiausią arba mažiausią kvadratinio trinalio reikšmę.
Apsvarstykite kvadratinį trinarį x 2 - x + 3. Pasirinkite visą kvadratą:

„(x)^2-2*x*1/2+(1/2)^2-(1/2)^2+3=(x-1/2)^2+11/4“. Atminkite, kad kai „x=1/2“, kvadratinio trinalio reikšmė yra „11/4“, o kai „x!=1/2“ teigiamas skaičius pridedamas prie „11/4“ reikšmės, todėl mes gauti skaičių, didesnį nei „11/4“. Taigi, mažiausia vertė kvadratinis trinaris yra „11/4“ ir jis gaunamas, kai „x=1/2“.

Raskite didžiausią kvadratinio trinalio reikšmę – 16 2 + 8 x + 6.

Mes pasirenkame tobulą kvadratą iš kvadratinio trinalio: - 16 x 2 + 8 x + 6 = - 4 x 2 - 2 4 x 1 + 1 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 - 1 + 6 = - 4 x - 1 2 + 7 .

Kai „x=1/4“, kvadratinio trinalio reikšmė yra 7, o kai „x!=1/4“ teigiamas skaičius atimamas iš skaičiaus 7, tai yra, gauname skaičių, mažesnį nei 7. Taigi skaičius 7 yra didžiausia vertė kvadratinis trinaris, ir jis gaunamas, kai „x=1/4“.

Padalinkite trupmenos skaitiklį ir vardiklį „(x^2+2x-15)/(x^2-6x+9)“ ir sumažinkite trupmeną.

Atkreipkite dėmesį, kad trupmenos vardiklis x 2 - 6 x + 9 = x - 3 2. Padalinkime trupmenos skaitiklį iš viso kvadrato iš kvadratinio trinalio išskyrimo metodu. x 2 + 2 x - 15 = x 2 + 2 x 1 + 1 - 1 - 15 = x + 1 2 - 16 = x + 1 2 - 4 2 = = (x + 1 + 4) (x + 1 - 4 ) = (x + 5) (x - 3) .

Ši trupmena buvo sumažinta iki formos „((x+5)(x-3))/(x-3)^2“, sumažinus (x - 3), gauname „(x+5)/(x-3“ )".

Padalinkite daugianario koeficientą x 4 – 13 x 2 + 36.

Šiam daugianariui pritaikykime viso kvadrato išskyrimo metodą. `x^4-13x^2+36=(x^2)^2-2*x^2*13/2+(13/2)^2-(13/2)^2+36=(x^ 2-13/2)^2-169/4+36=(x^2-13/2)^2-25/4=`