Tarp įvairių algebroje nagrinėjamų išraiškų svarbią vietą užima monomijų sumos. Štai tokių posakių pavyzdžiai:
\(5a^4 - 2a^3 + 0,3a^2 - 4,6a + 8\)
\(xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2\)
Vienanarių suma vadinama daugianario. Dauginamo terminai vadinami daugianario nariais. Monomai taip pat priskiriami daugianariams, nes mononomas yra daugianomas, susidedantis iš vieno nario.
Pavyzdžiui, daugianario
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 \)
galima supaprastinti.
Visus terminus pateiksime standartinės formos monomijomis:
\(8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = \)
\(= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16\)
Pateikiame panašius terminus gautame polinome:
\(8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 \)
Gaunamas daugianaris, kurio visi nariai yra standartinės formos mononomai, o tarp jų nėra panašių. Tokie daugianariai vadinami standartinės formos daugianariai.
Už daugianario laipsnis standartinės formos turi didžiausią iš jos narių galių. Taigi dvinaris \(12a^2b - 7b\) turi trečiąjį laipsnį, o trinaris \(2b^2 -7b + 6\) – antrąjį.
Paprastai standartinės formos polinomų, turinčių vieną kintamąjį, terminai yra išdėstyti jo laipsnio rodiklių mažėjimo tvarka. Pavyzdžiui:
\(5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1\)
Kelių daugianarių suma gali būti paversta (supaprastinta) į standartinės formos daugianarį.
Kartais daugianario terminus reikia suskirstyti į grupes, kiekvieną grupę įrašant skliausteliuose. Kadangi skliausteliuose yra atvirkštinė atidarymo skliaustų transformacija, ją lengva suformuluoti skliaustų atidarymo taisyklės:
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „+“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi tais pačiais ženklais.
Jei prieš skliaustus dedamas ženklas „-“, tada skliausteliuose esantys terminai rašomi priešingais ženklais.
Vienanario ir daugianaro sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Naudodami daugybos skirstomąją savybę, galite paversti (supaprastinti) vienanario ir daugianario sandaugą į daugianarį. Pavyzdžiui:
\(9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = \)
\(= 9a^2b \ctaškas 7a^2 + 9a^2b \ctaškas (-5ab) + 9a^2b \ctaškas (-4b^2) = \)
\(= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 \)
Vienanario ir daugianario sandauga yra identiškai lygi šio vienanalio sandaugų ir kiekvieno daugianalio nario sandaugų sumai.
Šis rezultatas paprastai formuluojamas kaip taisyklė.
Norėdami padauginti vienanarį iš daugianario, turite padauginti tą vienanarį iš kiekvieno daugianario nario.
Šią taisyklę jau kelis kartus naudojome padaugindami iš sumos.
Daugiavardžių sandauga. Dviejų daugianario sandaugos transformacija (supaprastinimas).
Apskritai dviejų daugianario sandauga yra identiškai lygi vieno daugianario kiekvieno nario sandaugos ir kiekvieno kito daugianalio sandaugos sumai.
Paprastai naudojama ši taisyklė.
Norėdami padauginti daugianarį iš daugianario, turite padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito nario ir pridėti gautas sandaugas.
Sutrumpintos daugybos formulės. Sumos kvadratai, kvadratų skirtumai ir skirtumas
Su kai kuriomis algebrinių transformacijų išraiškomis tenka susidurti dažniau nei su kitomis. Bene dažniausios išraiškos yra \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) ir \(a^2 - b^2 \), t.y. sumos kvadratas, kvadratas kvadratų skirtumas ir skirtumas. Pastebėjote, kad šių posakių pavadinimai atrodo neišsamūs, pavyzdžiui, \((a + b)^2 \), žinoma, yra ne tik sumos kvadratas, bet ir a ir b sumos kvadratas. . Tačiau a ir b sumos kvadratas dažniausiai pasitaiko nedažnai, vietoj raidžių a ir b jame yra įvairių, kartais gana sudėtingų išraiškų.
Išraiškos \((a + b)^2, \; (a - b)^2 \) gali būti lengvai konvertuojamos (supaprastintos) į standartinės formos polinomus :
\((a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = \)
\(= a^2 + 2ab + b^2 \)
Naudinga atsiminti gautas tapatybes ir jas taikyti be tarpinių skaičiavimų. Tam padeda trumpos žodinės formuluotės.
\((a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \) – sumos kvadratas lygi sumai kvadratų ir padvigubinkite gaminį.
\((a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab \) - skirtumo kvadratas yra lygus kvadratų sumai be padvigubinto sandaugos.
\(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \) - kvadratų skirtumas lygus skirtumo ir sumos sandaugai.
Šios trys tapatybės leidžia transformuojant kairiąsias dalis pakeisti dešiniosiomis ir atvirkščiai – dešiniąsias dalis kairiosiomis. Sunkiausia pamatyti atitinkamas išraiškas ir suprasti, kaip jose pakeičiami kintamieji a ir b. Pažvelkime į kelis sutrumpintų daugybos formulių naudojimo pavyzdžius.
Bet kokia kalba gali išreikšti tą pačią informaciją skirtingais žodžiais ir revoliucijos. Ne išimtis ir matematinė kalba. Tačiau tą pačią išraišką galima lygiaverčiai parašyti skirtingais būdais. Ir kai kuriose situacijose vienas iš įrašų yra paprastesnis. Šioje pamokoje kalbėsime apie posakių supaprastinimą.
Žmonės bendrauja toliau skirtingomis kalbomis. Mums svarbus palyginimas yra pora „rusų kalba - matematinė kalba“. Ta pati informacija gali būti perduodama skirtingomis kalbomis. Tačiau, be to, vienoje kalboje jis gali būti tariamas įvairiai.
Pavyzdžiui: „Petya draugauja su Vasya“, „Vasya draugauja su Petya“, „Petya ir Vasya yra draugai“. Sakė kitaip, bet tą patį. Iš bet kurios iš šių frazių suprastume, apie ką kalbame.
Pažiūrėkime į šią frazę: „Berniukas Petya ir berniukas Vasya yra draugai“. Mes suprantame, apie ką kalbame. Tačiau mums nepatinka šios frazės skambesys. Ar negalime supaprastinti, pasakyti tą patį, bet paprasčiau? „Berniukas ir berniukas“ - galite pasakyti vieną kartą: „Berniukai Petya ir Vasya yra draugai“.
„Berniukai“... Ar iš jų vardų neaišku, kad tai ne mergaitės? Mes pašaliname „berniukus“: „Petya ir Vasya yra draugai“. O žodį „draugai“ galima pakeisti „draugais“: „Petya ir Vasya yra draugai“. Dėl to pirmoji, ilga, negraži frazė buvo pakeista lygiaverčiu teiginiu, kurį lengviau pasakyti ir suprasti. Mes supaprastinome šią frazę. Supaprastinti reiškia pasakyti paprasčiau, bet neprarasti ar neiškreipti prasmės.
Matematinėje kalboje vyksta maždaug tas pats. Galima sakyti vieną ir tą patį, parašyti skirtingai. Ką reiškia supaprastinti išraišką? Tai reiškia, kad originaliai išraiškai yra daug lygiaverčių posakių, ty tų, kurie reiškia tą patį. Ir iš visos šios įvairovės turime pasirinkti patį paprasčiausią, mūsų nuomone, arba tinkamiausią mūsų tolimesniems tikslams.
Pavyzdžiui, apsvarstykite skaitmeninę išraišką . Jis bus lygiavertis.
Jis taip pat bus lygiavertis pirmiesiems dviem: 
.
Pasirodo, supaprastinome savo posakius ir radome trumpiausią ekvivalentinę išraišką.
Skaitmeninėms išraiškoms visada reikia atlikti visus veiksmus ir gauti lygiavertę išraišką kaip vieną skaičių.
Pažvelkime į pažodinės išraiškos pavyzdį . Aišku, bus paprasčiau.
Supaprastinant pažodines išraiškas, būtina atlikti visus įmanomus veiksmus.
Ar visada reikia supaprastinti išraišką? Ne, kartais mums bus patogiau turėti lygiavertį, bet ilgesnį įrašą.
Pavyzdys: iš skaičiaus reikia atimti skaičių.
Skaičiuoti galima, bet jei pirmasis skaičius būtų pavaizduotas lygiaverčiu jo žymėjimu: , tada skaičiavimai būtų momentiniai: .
Tai yra, supaprastinta išraiška ne visada mums naudinga atliekant tolesnius skaičiavimus.
Nepaisant to, labai dažnai susiduriame su užduotimi, kuri skamba kaip „supaprastinti išraišką“.
Supaprastinkite posakį: .
Sprendimas
1) Atlikite veiksmus pirmajame ir antrame skliausteliuose: .
2) Apskaičiuokime produktus: .
Akivaizdu, kad paskutinė išraiška yra paprastesnė nei pradinė. Mes tai supaprastinome.
Siekiant supaprastinti išraišką, ji turi būti pakeista ekvivalentu (lygu).
Norėdami nustatyti lygiavertę išraišką, jums reikia:
1) atlikti visus įmanomus veiksmus,
2) skaičiavimams supaprastinti naudoti sudėties, atimties, daugybos ir dalybos savybes.
Sudėjimo ir atimties savybės:
1. Komutacinė sudėties savybė: terminų pertvarkymas nekeičia sumos.
2. Sudėties jungtinė savybė: norėdami prie dviejų skaičių sumos pridėti trečią skaičių, prie pirmojo skaičiaus galite pridėti antrojo ir trečiojo skaičių sumą.
3. Sumos atėmimo iš skaičiaus savybė: norėdami atimti sumą iš skaičiaus, galite atimti kiekvieną narį atskirai.
Daugybos ir dalybos savybės
1. Komutacinė daugybos savybė: perstačius veiksnius sandauga nekeičiama.
2. Kombinacinė savybė: norėdami skaičių padauginti iš dviejų skaičių sandaugos, pirmiausia galite jį padauginti iš pirmojo koeficiento, o tada gautą sandaugą padauginti iš antrojo koeficiento.
3. Paskirstomoji nuosavybė daugyba: norėdami padauginti skaičių iš sumos, turite jį padauginti iš kiekvieno sudėjimo atskirai.
Pažiūrėkime, kaip iš tikrųjų atliekame protinius skaičiavimus.
Apskaičiuokite:
Sprendimas
1) Įsivaizduokime, kaip
2) Įsivaizduokime pirmąjį veiksnį kaip bitų terminų sumą ir atliksime dauginimą:
3) galite įsivaizduoti, kaip ir atlikti daugybą:
4) Pakeiskite pirmąjį koeficientą lygiaverte suma:
Paskirstymo įstatymas taip pat gali būti naudojamas atvirkštinė pusė: .
Atlikite šiuos veiksmus:
1) 
2) 
Sprendimas
1) Patogumui galite naudoti paskirstymo dėsnį, bet naudoti jį priešinga kryptimi – išimkite bendrą koeficientą iš skliaustų.
2) Išimkime bendrą koeficientą iš skliaustų
Būtina nusipirkti linoleumą virtuvei ir prieškambariui. Virtuvės zona - , prieškambaris - . Yra trijų tipų linoleumai: už ir rubliai. Kiek kainuos kiekvienas? trijų tipų linoleumas? (1 pav.)
Ryžiai. 1. Problemos teiginio iliustracija
Sprendimas
1 būdas. Galite atskirai sužinoti, kiek pinigų reikės norint nusipirkti linoleumą virtuvei, o paskui koridoriuje ir susumuoti gautus gaminius.
Algebrinė išraiška, kurioje kartu su sudėties, atimties ir daugybos operacijomis taip pat naudojamas padalijimas į raidžių išraiškas, vadinama trupmenine algebrine išraiška. Tokie yra, pavyzdžiui, posakiai
Algebrine trupmena vadiname algebrinę išraišką, kurios forma yra dviejų sveikųjų skaičių dalybos koeficientas algebrinės išraiškos(pavyzdžiui, vienanariai arba daugianariai). Tokie yra, pavyzdžiui, posakiai
Trečias iš posakių).
Identiškos trupmeninių algebrinių išraiškų transformacijos dažniausiai yra skirtos jas pavaizduoti formoje algebrinė trupmena. Norint rasti bendrą vardiklį, naudojamas trupmenų vardikų faktorius – terminai, siekiant rasti jų mažiausią bendrą kartotinį. Mažinant algebrines trupmenas, gali būti pažeista griežta išraiškų tapatybė: būtina neįtraukti dydžių reikšmių, kai koeficientas, kuriuo redukuojama, tampa nuliu.
Pateiksime identiškų trupmeninių algebrinių reiškinių transformacijų pavyzdžių.
1 pavyzdys: supaprastinkite išraišką
Visus terminus galima redukuoti iki bendro vardiklio (patogu pakeisti ženklą paskutinio termino vardiklyje ir ženklą prieš jį):
Mūsų išraiška yra lygi visoms reikšmėms, išskyrus šias reikšmes, ji neapibrėžta, o trupmenos mažinimas yra neteisėtas.
2 pavyzdys. Pateikite išraišką kaip algebrinę trupmeną
Sprendimas. Už bendras vardiklis galime priimti posakį . Iš eilės randame:
Pratimai
1. Raskite nurodytų parametrų verčių algebrinių išraiškų reikšmes:
2. Faktorizuoti.
§ 1 Pažodinės išraiškos supaprastinimo samprata
Šioje pamokoje susipažinsime su „panašių terminų“ sąvoka ir, pasitelkę pavyzdžius, išmoksime atlikti panašių terminų redukciją, taip supaprastinant pažodinius posakius.
Išsiaiškinkime sąvokos „supaprastinimas“ reikšmę. Žodis „supaprastinimas“ yra kilęs iš žodžio „supaprastinti“. Supaprastinti reiškia padaryti paprastą, paprastesnį. Todėl, norint supaprastinti raidžių išraišką, reikia ją sutrumpinti, atliekant minimalų veiksmų skaičių.
Apsvarstykite išraišką 9x + 4x. Tai pažodinė išraiška, kuri yra suma. Terminai čia pateikiami kaip skaičiaus ir raidės sandauga. Skaitinis tokių terminų koeficientas vadinamas koeficientu. Šioje išraiškoje koeficientai bus skaičiai 9 ir 4. Atkreipkite dėmesį, kad koeficientas, pavaizduotas raide, yra vienodas abiejose šios sumos sąlygose.
Prisiminkime paskirstymo daugybos dėsnį:
Norėdami padauginti sumą iš skaičiaus, galite padauginti kiekvieną terminą iš to skaičiaus ir pridėti gautus produktus.
IN bendras vaizdas parašyta taip: (a + b) ∙ c = ac + bc.
Šis dėsnis galioja abiem kryptimis ac + bc = (a + b) ∙ c
Taikykime tai savo pažodinei išraiškai: 9x ir 4x sandaugų suma yra lygi sandaugai, kurios pirmasis koeficientas yra lygus 9 ir 4 sumai, antrasis koeficientas yra x.
9 + 4 = 13, tai yra 13x.
9x + 4x = (9 + 4)x = 13x.
Vietoj trijų išraiškos veiksmų liko tik vienas veiksmas – daugyba. Tai reiškia, kad savo pažodinę išraišką supaprastinome, t.y. jį supaprastino.
§ 2 Panašių terminų sumažinimas
Terminai 9x ir 4x skiriasi tik savo koeficientais – tokie terminai vadinami panašiais. Panašių terminų raidinė dalis yra ta pati. Panašūs terminai taip pat apima skaičius ir vienodus terminus.
Pavyzdžiui, reiškinyje 9a + 12 - 15 panašūs terminai bus skaičiai 12 ir -15, o sandaugos 12 ir 6a sumoje skaičius 14 ir sandauga 12 ir 6a (12 ∙ 6a + 14 + 12 ∙ 6a) lygūs dėmenys, pavaizduoti 12 ir 6a sandauga.
Svarbu pažymėti, kad nariai, kurių koeficientai lygūs, bet raidžių koeficientai skiriasi, nėra panašūs, nors kartais naudinga jiems taikyti skirstymo daugybos dėsnį, pavyzdžiui, sandaugų 5x ir 5y suma yra lygus skaičiaus 5 ir x bei y sumos sandaugai
5x + 5y = 5(x + y).
Supaprastinkime išraišką -9a + 15a - 4 + 10.
Panašūs terminai šiuo atveju yra terminai -9a ir 15a, nes jie skiriasi tik savo koeficientais. Jų raidžių daugiklis yra vienodas, o terminai -4 ir 10 taip pat yra panašūs, nes tai yra skaičiai. Pridėkite panašių terminų:
9a + 15a - 4 + 10
9a + 15a = 6a;
Mes gauname: 6a + 6.
Supaprastinę išraišką radome panašių terminų sumas matematikoje tai vadinama panašių terminų redukcija.
Jei sunku pridėti tokius terminus, galite sugalvoti jiems žodžius ir pridėti objektų.
Pavyzdžiui, apsvarstykite išraišką:
Kiekvienai raidei paimame savo objektą: b-obuolių, c-kriaušių, tada gauname: 2 obuoliai minus 5 kriaušės plius 8 kriaušės.
Ar galima iš obuolių atimti kriaušes? Žinoma, kad ne. Bet prie minus 5 kriaušių galime pridėti 8 kriaušes.
Pateiksime panašius terminus -5 kriaušės + 8 kriaušės. Panašūs terminai turi tą pačią raidės dalį, todėl vedant panašius terminus pakanka pridėti koeficientus ir prie rezultato pridėti raidės dalį:
(-5 + 8) kriaušės - gausite 3 kriaušes.
Grįžtant prie mūsų pažodinės išraiškos, turime -5 s + 8 s = 3 s. Taigi, atvedę panašius terminus, gauname išraišką 2b + 3c.
Taigi, šioje pamokoje susipažinote su „panašių terminų“ sąvoka ir išmokote supaprastinti raidžių išraiškas sumažinant panašius terminus.
Naudotos literatūros sąrašas:
- Matematika. 6 klasė: I.I. vadovėlio pamokų planai. Zubareva, A.G. Mordkovičius // autorius-kompiliatorius L.A. Topilina. Mnemosyne 2009.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis mokiniams švietimo įstaigų. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovičius - M.: Mnemosyne, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms/G.V. Dorofejevas, I. F. Šaryginas, S.B. Suvorovas ir kiti / redagavo G.V. Dorofejeva, I.F. Šarygina; Rusijos mokslų akademija, Rusijos švietimo akademija. M.: „Švietimas“, 2010 m.
- Matematika. 6 klasė: studijos bendrojo ugdymo įstaigoms/N.Ya. Vilenkinas, V.I. Zhokhovas, A.S. Česnokovas, S.I. Schwartzburd. – M.: Mnemosyna, 2013 m.
- Matematika. 6 klasė: vadovėlis/G.K. Muravinas, O.V. Muravina. – M.: Bustard, 2014 m.
Naudoti vaizdai: