Šioje pamokoje bus kalbama apie sudėjimą ir atimtį. algebrinės trupmenos Su skirtingus vardiklius. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrosios trupmenos su skirtingais vardikliais. Norėdami tai padaryti, trupmenas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Tuo pačiu mes jau žinome, kaip sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas yra vienas svarbiausių ir sunkios temos 8 klasės kursuose. Tuo pačiu metu ši tema atsiras daugelyje algebros kursų temų, kurias studijuosite ateityje. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių.

Pažvelkime į paprasčiausią paprastųjų trupmenų pavyzdį.

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisyklę. Norėdami pradėti, trupmenos turi būti sumažintos iki bendro vardiklio. Bendras paprastųjų trupmenų vardiklis yra mažiausias bendras kartotinis(LCM) iš pradinių vardiklių.

Apibrėžimas

Mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų skaičių ir .

Norėdami rasti LCM, turite įtraukti vardiklius į pirminius veiksnius, tada pasirinkti visus pirminius veiksnius, įtrauktus į abiejų vardiklių išplėtimą.

; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .

Suradę bendrą vardiklį, kiekvienai trupmenai reikia rasti papildomą koeficientą (iš tikrųjų bendrąjį vardiklį padalinkite iš atitinkamos trupmenos vardiklio).

Tada kiekviena trupmena padauginama iš gauto papildomo koeficiento. Gauname trupmenas su tais pačiais vardikliais, kurias išmokome sudėti ir atimti ankstesnėse pamokose.

Mes gauname: .

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą. Pirmiausia pažvelkime į trupmenas, kurių vardikliai yra skaičiai.

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Sprendimo algoritmas yra visiškai panašus į ankstesnį pavyzdį. Nesunku rasti bendrą šių trupmenų vardiklį: ir papildomus kiekvienos iš jų veiksnius.

.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas:

1. Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį.

2. Kiekvienai trupmenai raskite papildomų koeficientų (bendrąjį vardiklį padalydami iš duotosios trupmenos vardiklio).

3. Padauginkite skaitiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų.

4. Sudėkite arba atimkite trupmenas, vadovaudamiesi trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklėmis.

Dabar panagrinėkime pavyzdį su trupmenomis, kurių vardiklyje yra pažodiniai posakiai.

3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Kadangi raidžių išraiškos abiejuose vardikliuose yra vienodos, turėtumėte rasti bendrą skaitmenų vardiklį. Galutinis bendras vardiklis atrodys taip: . Taigi šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip:.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Atimti trupmenas: .

Sprendimas:

Jei negalite „apgauti“ rinkdamiesi bendrą vardiklį (negalite jo skaičiuoti ar naudoti sutrumpintų daugybos formulių), tuomet kaip bendrą vardiklį turite paimti abiejų trupmenų vardklių sandaugą.

Atsakymas:.

Apskritai, sprendžiant tokius pavyzdžius, labiausiai sunki užduotis yra rasti bendrą vardiklį.

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.

5 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Surasdami bendrą vardiklį, pirmiausia turite pabandyti apskaičiuoti pradinių trupmenų vardiklius (kad būtų supaprastintas bendrasis vardiklis).

Šiuo konkrečiu atveju:

Tada nesunku nustatyti bendrą vardiklį: .

Mes nustatome papildomus veiksnius ir išsprendžiame šį pavyzdį:

Atsakymas:.

Dabar nustatykime trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles.

6 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Atsakymas:.

7 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

.

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime pavyzdį, kuriame pridedamos ne dvi, o trys trupmenos (juk sudėties ir atimties taisyklės daugiau trupmenos lieka tos pačios).

8 pavyzdys. Supaprastinti:.

Penktame amžiuje prieš Kristų senovės graikų filosofas Zenonas iš Elėjos suformulavo savo garsiąsias aporijas, iš kurių garsiausia yra „Achilo ir vėžlio“ aporija. Štai kaip tai skamba:

Tarkime, Achilas bėga dešimt kartų greičiau už vėžlį ir atsilieka nuo jo tūkstančiu žingsnių. Per tą laiką, per kurį Achilas nubėgs šį atstumą, vėžlys nušliaups šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Kai Achilas nubėga šimtą žingsnių, vėžlys šliaužia dar dešimt žingsnių ir t.t. Procesas tęsis iki begalybės, Achilas niekada nepasivys vėžlio.

Šis samprotavimas tapo logišku šoku visoms vėlesnėms kartoms. Aristotelis, Diogenas, Kantas, Hegelis, Hilbertas... Visi jie vienaip ar kitaip svarstė Zenono aporiją. Šokas buvo toks stiprus, kad " ... diskusijos tęsiasi iki šiol, mokslo bendruomenė dar nesugebėjo prieiti prie bendros nuomonės apie paradoksų esmę... į klausimo tyrimą įtraukta matematinė analizė, aibių teorija, nauji fizikiniai ir filosofiniai požiūriai; ; nė vienas iš jų netapo visuotinai priimtu problemos sprendimu..."[Wikipedia, "Zeno aporia". Visi supranta, kad yra kvailinami, bet niekas nesupranta, iš ko susideda apgaulė.

Matematiniu požiūriu Zenonas savo aporijoje aiškiai pademonstravo perėjimą nuo kiekybės prie . Šis perėjimas reiškia taikymą, o ne nuolatinį. Kiek suprantu, matematinis aparatas kintamiems matavimo vienetams naudoti arba dar nėra sukurtas, arba nebuvo pritaikytas Zenono aporijai. Taikydami savo įprastą logiką, mes patenkame į spąstus. Mes, dėl mąstymo inercijos, abipusei vertei taikome pastovius laiko vienetus. Iš fizinės pusės tai atrodo kaip laikas sulėtėjęs, kol visiškai sustoja tuo metu, kai Achilas pasiveja vėžlį. Jei laikas sustos, Achilas nebegali aplenkti vėžlio.

Jei apverstume savo įprastą logiką, viskas stoja į savo vietas. Achilas bėga pastoviu greičiu. Kiekviena paskesnė jo kelio atkarpa yra dešimt kartų trumpesnė nei ankstesnė. Atitinkamai, laikas, skirtas jai įveikti, yra dešimt kartų mažesnis nei ankstesnis. Jei šioje situacijoje taikytume „begalybės“ sąvoką, būtų teisinga sakyti: „Achilas be galo greitai pasivys vėžlį“.

Kaip išvengti šių loginių spąstų? Laikykitės pastovių laiko vienetų ir neperjunkite prie abipusių vienetų. Zenono kalba tai atrodo taip:

Per tą laiką, kurio prireiks Achilui nubėgti tūkstantį žingsnių, vėžlys nuropos šimtą žingsnių ta pačia kryptimi. Per kitą laiko intervalą, lygų pirmajam, Achilas nubėgs dar tūkstantį žingsnių, o vėžlys nuropos šimtą žingsnių. Dabar Achilas aštuoniais šimtais žingsnių lenkia vėžlį.

Šis požiūris adekvačiai apibūdina tikrovę be jokių loginių paradoksų. Bet taip nėra pilnas sprendimas problemų. Einšteino teiginys apie šviesos greičio nenugalimą yra labai panašus į Zenono aporiją „Achilas ir vėžlys“. Dar turime studijuoti, permąstyti ir išspręsti šią problemą. Ir sprendimo reikia ieškoti ne be galo dideliais skaičiais, o matavimo vienetais.

Kita įdomi Zenono aporija pasakoja apie skraidančią strėlę:

Skraidanti strėlė yra nejudanti, nes kiekvienu laiko momentu ji yra ramybės būsenoje, o kadangi ji ilsisi kiekvienu laiko momentu, ji visada yra ramybės būsenoje.

Šioje aporijoje loginis paradoksas įveikiamas labai paprastai – pakanka paaiškinti, kad kiekvienu laiko momentu skraidanti strėlė ilsisi skirtinguose erdvės taškuose, o tai iš tikrųjų yra judėjimas. Čia reikia atkreipti dėmesį į dar vieną dalyką. Iš vienos automobilio nuotraukos kelyje neįmanoma nustatyti nei jo judėjimo fakto, nei atstumo iki jo. Norint nustatyti, ar automobilis juda, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš to paties taško skirtingu laiku, tačiau negalite nustatyti atstumo nuo jų. Norint nustatyti atstumą iki automobilio, reikia dviejų nuotraukų, padarytų iš skirtingus taškus erdvės vienu laiko momentu, tačiau iš jų neįmanoma nustatyti judėjimo fakto (natūralu, kad skaičiavimams dar reikia papildomų duomenų, jums padės trigonometrija). Į ką noriu atkreipti dėmesį ypatingas dėmesys, yra tai, kad du laiko taškai ir du erdvės taškai yra skirtingi dalykai, kurių nereikėtų painioti, nes jie suteikia skirtingas tyrimo galimybes.

2018 m. liepos 4 d., trečiadienis

Vikipedijoje labai gerai aprašyti rinkinio ir kelių rinkinių skirtumai. Pažiūrėsim.

Kaip matote, „rinkinyje negali būti dviejų identiškų elementų“, bet jei rinkinyje yra identiškų elementų, toks rinkinys vadinamas „daugiarūšiu“. Protingos būtybės niekada nesupras tokios absurdiškos logikos. Tai kalbančių papūgų ir dresuotų beždžionių lygis, kurie neturi intelekto iš žodžio „visiškai“. Matematikai veikia kaip paprasti treneriai, skelbiantys mums savo absurdiškas idėjas.

Kadaise tiltą statę inžinieriai, bandydami tiltą, buvo valtyje po tiltu. Jei tiltas sugriuvo, vidutinis inžinierius mirė po savo kūrinio griuvėsiais. Jei tiltas atlaikė apkrovą, talentingas inžinierius pastatė kitus tiltus.

Kad ir kaip matematikai slepiasi po fraze „mink mane, aš esu namuose“, tiksliau, „matematika tiria abstrakčias sąvokas“, yra viena virkštelė, neatskiriamai susiejanti jas su tikrove. Ši virkštelė yra pinigai. Taikykime matematinių aibių teoriją patiems matematikams.

Labai gerai mokėmės matematikos, o dabar sėdime prie kasos, išduodame atlyginimus. Taigi matematikas ateina pas mus už savo pinigus. Suskaičiuojame jam visą sumą ir išdėliojame ant savo stalo į skirtingas krūvas, į kurias dedame to paties nominalo kupiūras. Tada paimame vieną sąskaitą iš kiekvienos krūvos ir pateikiame matematikui jo „matematinį atlyginimo rinkinį“. Paaiškinkime matematikui, kad likusias sąskaitas jis gaus tik tada, kai įrodys, kad aibė be identiškų elementų nėra lygi aibei su identiškais elementais. Čia ir prasideda linksmybės.

Visų pirma, pasiteisins deputatų logika: „Tai gali būti taikoma kitiems, bet ne man! Tada jie pradės mus raminti, kad to paties nominalo banknotai turi skirtingus vekselių numerius, o tai reiškia, kad jie negali būti laikomi tais pačiais elementais. Gerai, skaičiuokime atlyginimus monetomis – ant monetų nėra skaičių. Čia matematikas pradės pašėlusiai prisiminti fiziką: įjungta skirtingos monetos prieinama skirtingi kiekiai purvas, kristalų struktūra o atomų išsidėstymas kiekvienoje monetoje yra unikalus...

O dabar turiu daugiausia įdomus klausimas: kur yra ta linija, už kurios multiaibės elementai virsta aibės elementais ir atvirkščiai? Tokios linijos nėra – viską sprendžia šamanai, mokslas čia nė iš tolo nemeluoja.

Pažiūrėk čia. Mes pasirenkame futbolo stadionus, kurių aikštės plotas yra toks pat. Laukų plotai vienodi – tai reiškia, kad turime multiset. Bet jei pažiūrėtume į tų pačių stadionų pavadinimus, gautume daug, nes pavadinimai skirtingi. Kaip matote, tas pats elementų rinkinys yra ir rinkinys, ir kelių rinkinys. Kuris teisingas? O štai matematikas-šamanas-aštrininkas iš rankovės išsitraukia kozirių tūzą ir pradeda pasakoti arba apie rinkinį, arba apie multisetą. Bet kokiu atveju jis įtikins mus, kad yra teisus.

Norint suprasti, kaip šiuolaikiniai šamanai operuoja su aibių teorija, siedami ją su realybe, pakanka atsakyti į vieną klausimą: kuo vienos aibės elementai skiriasi nuo kitos aibės elementų? Aš jums parodysiu be jokių „neįsivaizduojamų kaip viena visuma“ ar „neįsivaizduojama kaip viena visuma“.

2018 m. kovo 18 d., sekmadienis

Skaičiaus skaitmenų suma – tai šamanų šokis su tamburinu, neturintis nieko bendro su matematika. Taip, matematikos pamokose mus moko rasti skaičiaus skaitmenų sumą ir ja naudotis, bet todėl jie yra šamanai, mokyti savo palikuonis savo įgūdžių ir išminties, kitaip šamanai tiesiog išmirs.

Ar jums reikia įrodymų? Atidarykite Vikipediją ir pabandykite rasti puslapį „Skaičiaus skaitmenų suma“. Ji neegzistuoja. Matematikoje nėra formulės, pagal kurią būtų galima rasti bet kurio skaičiaus skaitmenų sumą. Juk skaičiai yra grafiniai simboliai, kurio pagalba rašome skaičius ir matematikos kalba užduotis skamba taip: „Suraskite bet kurį skaičių vaizduojančių grafinių simbolių sumą“. Matematikai negali išspręsti šios problemos, bet šamanai gali tai padaryti lengvai.

Išsiaiškinkime, ką ir kaip darome, kad rastume skaičių sumą duotas numeris. Taigi, turėkime skaičių 12345. Ką reikia padaryti, norint rasti šio skaičiaus skaitmenų sumą? Apsvarstykime visus veiksmus eilės tvarka.

1. Užrašykite numerį ant popieriaus lapo. Ką mes padarėme? Mes konvertavome skaičių į grafinį skaičiaus simbolį. Tai nėra matematinė operacija.

2. Vieną gautą paveikslėlį supjaustome į kelias nuotraukas, kuriose yra atskiri skaičiai. Paveikslėlio iškirpimas nėra matematinis veiksmas.

3. Konvertuokite atskirus grafinius simbolius į skaičius. Tai nėra matematinė operacija.

4. Sudėkite gautus skaičius. Dabar tai yra matematika.

Skaičiaus 12345 skaitmenų suma yra 15. Tai šamanų „kirpimo ir siuvimo kursai“, kuriuos naudoja matematikai. Bet tai dar ne viskas.

Matematiniu požiūriu nesvarbu, kurioje skaičių sistemoje rašome skaičių. Taigi, į skirtingos sistemos Skaičiuojant to paties skaičiaus skaitmenų suma bus skirtinga. Matematikoje skaičių sistema nurodoma kaip indeksas dešinėje nuo skaičiaus. SU didelis skaičius 12345 Nenoriu suklaidinti galvos, pažiūrėkime į skaičių 26 iš straipsnio apie . Parašykime šį skaičių dvejetainėje, aštuntainėje, dešimtainėje ir šešioliktainėje skaičių sistemomis. Mes nežiūrėsime į kiekvieną žingsnį po mikroskopu, mes jau tai padarėme. Pažiūrėkime į rezultatą.

Kaip matote, skirtingose ​​skaičių sistemose to paties skaičiaus skaitmenų suma skiriasi. Šis rezultatas neturi nieko bendra su matematika. Tai tas pats, kaip jei nustatytumėte stačiakampio plotą metrais ir centimetrais, gautumėte visiškai skirtingus rezultatus.

Nulis visose skaičių sistemose atrodo vienodai ir neturi skaitmenų sumos. Tai dar vienas argumentas už tai, kad. Klausimas matematikams: kaip matematikoje įvardijamas tai, kas nėra skaičius? O matematikams nieko nėra, išskyrus skaičius? Galiu tai leisti šamanams, bet ne mokslininkams. Realybė yra ne tik skaičiai.

Gautas rezultatas turėtų būti laikomas įrodymu, kad skaičių sistemos yra skaičių matavimo vienetai. Juk negalime lyginti skaičių su skirtingais matavimo vienetais. Jei tie patys veiksmai su skirtingais to paties dydžio matavimo vienetais lemia skirtingus rezultatus jas palyginus, tai reiškia, kad tai neturi nieko bendra su matematika.

Kas yra tikroji matematika? Tai yra tada, kai matematinės operacijos rezultatas nepriklauso nuo skaičiaus dydžio, naudojamo matavimo vieneto ir nuo to, kas atlieka šį veiksmą.

Užrašas ant durų Jis atidaro duris ir sako:

O! Ar tai ne moterų tualetas?
- Jauna moteris! Tai laboratorija, skirta sielų nedefiliniam šventumui joms kylant į dangų tirti! Halo viršuje ir rodyklė aukštyn. Koks dar tualetas?

Moteriška... Aureole viršuje ir rodyklė žemyn yra vyriškos lyties.

Jei toks dizaino meno kūrinys prieš akis blyksteli kelis kartus per dieną,

Tada nenuostabu, kad staiga savo automobilyje randate keistą piktogramą:

Asmeniškai aš stengiuosi pamatyti minus keturis laipsnius kakiojančiame žmoguje (viena nuotrauka) (kelių paveikslėlių kompozicija: minuso ženklas, skaičius keturi, laipsnių žymėjimas). Ir nemanau, kad ši mergina yra kvailė, kuri neišmano fizikos. Ji tiesiog turi stiprų grafinių vaizdų suvokimo stereotipą. Ir matematikai mus nuolat to moko. Štai pavyzdys.

1A nėra „minus keturi laipsniai“ arba „vienas a“. Tai yra „pooping man“ arba skaičius „dvidešimt šeši“ šešioliktaine tvarka. Tie žmonės, kurie nuolat dirba šioje skaičių sistemoje, skaičių ir raidę automatiškai suvokia kaip vieną grafinį simbolį.

Kai kurios iš jų yra sunkiausiai suprantamos studentui skirtingi veiksmai su paprastosiomis trupmenomis. Taip yra dėl to, kad vaikams vis dar sunku mąstyti abstrakčiai, o trupmenos iš tikrųjų jiems atrodo būtent taip. Todėl, pristatydami medžiagą, mokytojai dažnai griebiasi analogijų ir trupmenų atėmimą bei sudėjimą aiškina pažodžiui ant pirštų. Nors nei viena mokyklinė matematikos pamoka neapsieina be taisyklių ir apibrėžimų.

Pagrindinės sąvokos

Prieš pradedant bet kurį, patartina išmokti keletą pagrindiniai apibrėžimai ir taisykles. Iš pradžių svarbu suprasti, kas yra trupmena. Tai reiškia skaičių, kuris reiškia vieną ar daugiau vieneto dalių. Pavyzdžiui, jei batoną supjaustysite į 8 dalis ir 3 jų riekeles įdėsite į lėkštę, tai 3/8 bus trupmena. Be to, šiame rašte tai bus paprasta trupmena, kur skaičius virš eilutės yra skaitiklis, o žemiau jo yra vardiklis. Bet jei užrašysite kaip 0,375, tai jau bus dešimtainė trupmena.

Be to, paprastos frakcijos skirstomos į tinkamas, netinkamas ir mišrias. Pirmieji apima visus tuos, kurių skaitiklis mažiau nei vardiklis. Jei, priešingai, vardiklis yra mažesnis už skaitiklį, tai jau bus netinkama trupmena. Jei prieš teisingą skaičių rašomas sveikasis skaičius, jie vadinami mišriaisiais skaičiais. Taigi trupmena 1/2 yra tinkama, bet 7/2 ne. Ir jei parašysite tokia forma: 3 1/2, tada jis taps mišrus.

Kad būtų lengviau suprasti, kas yra trupmenų pridėjimas ir kad būtų lengviau tai atlikti, taip pat svarbu prisiminti jo esmę toliau. Jei skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, trupmena nepasikeis. Būtent ši savybė leidžia atlikti paprastas operacijas su įprastomis ir kitomis trupmenomis. Tiesą sakant, tai reiškia, kad 1/15 ir 3/45 iš esmės yra tas pats skaičius.

Sudėjus trupmenas su panašiais vardikliais

Šio veiksmo atlikimas paprastai nesukelia didelių sunkumų. Šiuo atveju trupmenų pridėjimas yra labai panašus į panašią operaciją su sveikaisiais skaičiais. Vardiklis lieka nepakitęs, o skaitikliai tiesiog sudedami. Pavyzdžiui, jei jums reikia pridėti trupmenas 2/7 ir 3/7, tada mokyklos problemos sprendimas sąsiuvinyje bus toks:

2/7 + 3/7 = (2+3)/7 = 5/7.

Be to, šį frakcijų pridėjimą galima paaiškinti naudojant paprastas pavyzdys. Paimkite įprastą obuolį ir supjaustykite, pavyzdžiui, į 8 dalis. Pirmiausia išdėliokite 3 dalis atskirai, o tada pridėkite prie jų dar 2. Dėl to puodelyje bus 5/8 viso obuolio. Pats aritmetinis uždavinys parašytas taip, kaip parodyta žemiau:

3/8 + 2/8 = (3+2)/8 = 5/8.

Tačiau dažnai kyla sudėtingesnių problemų, kai reikia sudėti, pavyzdžiui, 5/9 ir 3/5. Čia ir iškyla pirmieji sunkumai dirbant su trupmenomis. Juk sudėjus tokius skaičius reikės papildomų žinių. Dabar turėsite visiškai atsiminti pagrindinę jų savybę. Norėdami pridėti trupmenas iš pavyzdžio, pirmiausia turite jas sujungti į vieną bendrą vardiklį. Norėdami tai padaryti, jums tiesiog reikia padauginti 9 ir 5 kartu, skaitiklį „5“ padauginti iš 5 ir „3“ atitinkamai iš 9. Taigi šios trupmenos jau yra susumuotos: 25/45 ir 27/45 . Dabar belieka pridėti skaitiklius ir gauti atsakymą 52/45. Ant popieriaus lapo pavyzdys atrodytų taip:

5/9 + 3/5 = (5 x 5)/(9 x 5) + (3 x 9)/(5 x 9) = 25/45 + 27/45 = (25+27)/45 = 52/ 45 = 17/45.

Tačiau sudėjus trupmenas su tokiais vardikliais ne visada reikia tiesiog padauginti skaičius po eilute. Pirmiausia jie ieško mažiausio bendro vardiklio. Pavyzdžiui, kaip trupmenoms 2/3 ir 5/6. Jiems tai bus skaičius 6. Tačiau atsakymas ne visada akivaizdus. Tokiu atveju verta prisiminti taisyklę, kaip rasti dviejų skaičių mažiausią bendrą kartotinį (sutrumpintai LCM).

Tai reiškia mažiausią bendras daugiklis du sveikieji skaičiai. Norėdami jį rasti, jie išskaido kiekvieną į pagrindinius veiksnius. Dabar užrašykite tuos iš jų, kurie rodomi bent kartą kiekviename skaičiuje. Jie padaugina juos kartu ir gauna tą patį vardiklį. Realiai viskas atrodo kiek paprasčiau.

Pavyzdžiui, reikia pridėti trupmenas 4/15 ir 1/6. Taigi, 15 gaunamas padauginus paprasti skaičiai 3 ir 5, o šeši yra du ir trys. Tai reiškia, kad LCM jiems bus 5 x 3 x 2 = 30. Dabar 30 padalijus iš pirmosios trupmenos vardiklio, gauname jo skaitiklio daugiklį - 2. O antrosios trupmenos tai bus skaičius 5 Taigi, belieka sudėti paprastas trupmenas 8/30 ir 5/30 ir gauti atsakymą 13/30. Viskas nepaprastai paprasta. Savo užrašų knygelėje šią užduotį turėtumėte užsirašyti taip:

4/15 + 1/6 = (4 x 2)/(15 x 2) + (1 x 5)/(6 x 5) = 8/30 + 5/30 = 13/30.

LCM(15; 6) = 30.

Mišrių skaičių pridėjimas

Dabar, kai žinote visus pagrindinius paprastų trupmenų pridėjimo būdus, galite išbandyti sudėtingesnius pavyzdžius. Ir tai bus mišrūs skaičiai, kurie reiškia šios formos trupmeną: 2 2/3. Čia prieš parašant tinkamą trupmeną visa dalis. Ir daugelis žmonių, atlikdami veiksmus su tokiais skaičiais, sutrinka. Tiesą sakant, čia galioja tos pačios taisyklės.

Norėdami pridėti mišrius skaičius, atskirai pridėkite visas dalis ir tinkamas trupmenas. Ir tada šie 2 rezultatai yra sumuojami. Praktiškai viskas daug paprasčiau, tereikia šiek tiek pasitreniruoti. Pavyzdžiui, norint išspręsti problemą, reikia pridėti šiuos mišrius skaičius: 1 1/3 ir 4 2/5. Norėdami tai padaryti, pirmiausia pridėkite 1 ir 4, kad gautumėte 5. Tada pridėkite 1/3 ir 2/5 naudodami mažiausio bendro vardiklio metodus. Sprendimas bus 11/15. Ir galutinis atsakymas yra 5 11/15. Mokykliniame sąsiuvinyje jis atrodys daug trumpesnis:

1 1 / 3 + 4 2 / 5 = (1 + 4) + (1/3 + 2/5) = 5 + 5/15 + 6/15 = 5 + 11/15 = 5 11 / 15 .

Dešimtainių skaičių pridėjimas

Be paprastųjų trupmenų, yra ir po kablelio. Beje, gyvenime jie kur kas dažnesni. Pavyzdžiui, kaina parduotuvėje dažnai atrodo taip: 20,3 rub. Tai ta pati frakcija. Žinoma, tokius sulankstyti daug lengviau nei paprastus. Iš esmės jums tereikia pridėti 2 įprasti skaičiai, svarbiausia, į reikiamoje vietojeįdėti kablelį. Čia ir kyla sunkumų.

Pavyzdžiui, reikia pridėti 2,5 ir 0,56. Kad tai padarytumėte teisingai, pabaigoje prie pirmojo reikia pridėti nulį ir viskas bus gerai.

2,50 + 0,56 = 3,06.

Svarbu žinoti, kad bet kurį dešimtainį skaičių galima paversti trupmena, bet ne bet kokį paprastoji trupmena galima rašyti dešimtainiu skaičiumi. Taigi iš mūsų pavyzdžio 2,5 = 2 1/2 ir 0,56 = 14/25. Tačiau tokia trupmena kaip 1/6 bus tik apytiksliai lygi 0,16667. Ta pati situacija bus ir su kitais panašiais skaičiais – 2/7, 1/9 ir pan.

Išvada

Daugelis moksleivių, nesuprasdami praktinės darbo su trupmenomis pusės, šią temą traktuoja nerūpestingai. Tačiau šios pagrindinės žinios leis spustelėti kaip riešutus sudėtingų pavyzdžių su logaritmais ir išvestinių radimu. Todėl verta vieną kartą nuodugniai perprasti operacijas su trupmenomis, kad vėliau nusivylęs negraužtumėte alkūnių. Juk vargu ar gimnazijoje mokytojas grįš prie šios jau gvildentos temos. Bet kuris vidurinės mokyklos moksleivis turėtų sugebėti atlikti tokius pratimus.

Raskite skaitiklį ir vardiklį. Trupmeną sudaro du skaičiai: skaičius, esantis virš eilutės, vadinamas skaitikliu, o skaičius, esantis žemiau eilutės, vadinamas vardikliu. Vardiklis nurodo bendrą dalių, į kurias padalyta visuma, skaičių, o skaitiklis – tokių nagrinėjamų dalių skaičių.

• Pavyzdžiui, trupmenoje ½ skaitiklis yra 1, o vardiklis yra 2.

Nustatykite vardiklį. Jei dvi ar daugiau trupmenų turi bendrą vardiklį, tokios trupmenos po eilute turi tą patį skaičių, tai yra, šiuo atveju tam tikra visuma yra padalinta į tą patį skaičių dalių. Sudėti trupmenas su bendru vardikliu yra labai paprasta, nes sumuojamos trupmenos vardiklis bus toks pat kaip ir pridedamų trupmenų. Pavyzdžiui:

• Trupmenų 3/5 ir 2/5 bendras vardiklis yra 5.
• Trupmenų 3/8, 5/8, 17/8 bendras vardiklis yra 8.

Nustatykite skaitiklius. Norėdami pridėti trupmenas su bendru vardikliu, pridėkite jų skaitiklius ir parašykite rezultatą virš pridedamų trupmenų vardiklio.

• Trupmenų 3/5 ir 2/5 skaitikliai yra 3 ir 2.
• Trupmenos 3/8, 5/8, 17/8 turi skaitiklius 3, 5, 17.

Sudėkite skaitiklius. Užduotyje 3/5 + 2/5 pridėkite skaitiklius 3 + 2 = 5. Užduotyje 3/8 + 5/8 + 17/8 pridėkite skaitiklius 3 + 5 + 17 = 25.

Parašykite bendrą trupmeną. Atsiminkite, kad sudėjus trupmenas su bendru vardikliu, jis lieka nepakitęs – pridedami tik skaitikliai.

• 3/5 + 2/5 = 5/5
• 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8

Jei reikia, paverskite trupmeną. Kartais trupmeną galima parašyti kaip sveikąjį skaičių, o ne kaip trupmeną arba dešimtainis. Pavyzdžiui, trupmena 5/5 lengvai paverčiama į 1, nes bet kuri trupmena, kurios skaitiklis lygus jos vardikliui, yra 1. Įsivaizduokite pyragą, supjaustytą į tris dalis. Jei suvalgysite visas tris dalis, būsite suvalgę visą (vieną) pyragą.

• Bet kurią trupmeną galima konvertuoti į dešimtainę; Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio. Pavyzdžiui, trupmeną 5/8 galima parašyti taip: 5 ÷ 8 = 0,625.

Jei įmanoma, supaprastinkite trupmeną. Supaprastinta trupmena yra trupmena, kurios skaitiklis ir vardiklis neturi bendrų veiksnių.

• Pavyzdžiui, apsvarstykite trupmeną 3/6. Čia tiek skaitiklis, tiek vardiklis turi bendrą daliklį, lygų 3, tai yra, skaitiklis ir vardiklis visiškai dalijasi iš 3. Todėl trupmeną 3/6 galima užrašyti taip: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .

Jei reikia, pakeiskite netinkamą trupmeną į mišrią trupmeną (mišrus skaičius). U Ne tinkama trupmena skaitiklis yra didesnis už vardiklį, pavyzdžiui, 25/8 (tinkamos trupmenos skaitiklis yra mažesnis už vardiklį). Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, kurią sudaro sveikoji dalis (ty sveikasis skaičius) ir trupmenos dalis (ty tinkama trupmena). Norėdami konvertuoti netinkamą trupmeną, pvz., 25/8, į mišrų skaičių, atlikite šiuos veiksmus:

• Netinkamos trupmenos skaitiklį padalinkite iš vardiklio; užrašykite dalinį koeficientą (visą atsakymą). Mūsų pavyzdyje: 25 ÷ 8 = 3 plius likutis. IN šiuo atveju visas atsakymas yra visa mišraus skaičiaus dalis.
• Raskite likusią dalį. Mūsų pavyzdyje: 8 x 3 = 24; gautą rezultatą atimkite iš pradinio skaitiklio: 25 - 24 = 1, tai yra, liekana yra 1. Šiuo atveju liekana yra mišraus skaičiaus trupmeninės dalies skaitiklis.
• Parašykite mišrią trupmeną. Vardiklis nesikeičia (tai yra lygus netinkamosios trupmenos vardikliui), taigi 25/8 = 3 1/8.

Norint pridėti sveiką skaičių prie trupmenos, pakanka atlikti eilę veiksmų, tiksliau – skaičiavimų.

Pavyzdžiui, jūs turite 7 – sveikąjį skaičių, kurį turite pridėti prie trupmenos 1/2.

Mes elgiamės taip:

• 7 padauginame iš vardiklio (2), gauname 14,
• pridėti prie 14 viršutinė dalis(1), pasirodo 15,
• ir pakeiskite vardiklį.
• rezultatas 15/2.

Šiuo paprastu būdu prie trupmenų galite pridėti sveikus skaičius.

O norint atskirti sveikąjį skaičių nuo trupmenos, skaitiklį reikia padalyti iš vardiklio, o likutį – ir bus trupmena.

Sveikojo skaičiaus pridėjimo prie tinkamos paprastosios trupmenos operacija nėra sudėtinga ir kartais tiesiog apima formavimą mišri frakcija, kuriame sveikoji dalis dedama į kairę nuo trupmeninės dalies, pavyzdžiui, tokia trupmena bus sumaišyta:

Tačiau dažniausiai prie trupmenos pridėjus sveikąjį skaičių gaunama neteisinga trupmena, kurioje skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Ši operacija atliekama taip: visas skaičius pateikiamas kaip netinkama trupmena su tuo pačiu vardikliu kaip ir pridedama trupmena, o tada tiesiog pridedami abiejų trupmenų skaitikliai. Pavyzdyje jis atrodys taip:

5+1/8 = 5*8/8+1/8 = 40/8+1/8 = 41/8

Manau, kad tai labai paprasta.

Pavyzdžiui, mes turime trupmeną 1/4 (tai yra 0,25, tai yra ketvirtadalis viso skaičiaus).

Ir prie šio ketvirčio galite pridėti bet kokį sveikąjį skaičių, pavyzdžiui, 3. Jūs gaunate trys ir ketvirtadalis:

3.25. Arba trupmena išreiškiama taip: 3 1/4

Remdamiesi šiuo pavyzdžiu, galite pridėti bet kokias trupmenas su bet kokiais sveikaisiais skaičiais.

Turite padidinti sveikąjį skaičių iki trupmenos, kurios vardiklis yra 10 (6/10). Tada sukelkite esamą trupmeną iki bendro 10 vardiklio (35 = 610). Na, atlikite operaciją kaip su paprastosios trupmenos 610+610=1210 iš viso 12.

Yra du būdai tai padaryti.

1). Trupmeną galima paversti sveikuoju skaičiumi ir atlikti sudėtį. Pavyzdžiui, 1/2 yra 0,5; 1/4 lygu 0,25; 2/5 yra 0,4 ir tt

Paimkite sveikąjį skaičių 5, prie kurio reikia pridėti trupmeną 4/5. Paverskime trupmeną: 4/5 yra 4 padalintas iš 5 ir gauname 0,8. Prideda 0,8 prie 5 ir gauname 5,8 arba 5 4/5.

2). Antrasis metodas: 5 + 4/5 = 29/5 = 5 4/5.

Trupmenų pridėjimas yra paprastas matematinis veiksmas, pavyzdžiui, reikia pridėti sveikąjį skaičių 3 ir trupmeną 1/7. Norėdami pridėti šiuos du skaičius, turite turėti tą patį vardiklį, todėl turite padauginti tris iš septynių ir padalyti iš to skaičiaus, tada gausite 21/7+1/7, vardiklis vienas, pridėkite 21 ir 1, gausite atsakymą 22/ 7 .

Tiesiog paimkite ir prie šios trupmenos pridėkite sveikąjį skaičių. Tarkime, kad jums reikia 6 + 1/2 = 6 1/2. Na, jei tai yra dešimtainė trupmena, tai galite padaryti taip: 6+1,2=7,2.

Norėdami pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, turite pridėti trupmeną prie sveikojo skaičiaus ir įrašyti juos į formą kompleksinis skaičius, pavyzdžiui, sudėjus paprastąją trupmeną su sveikuoju skaičiumi, gauname: 1/2 +3 =3 1/2; pridedant dešimtainę trupmeną: 0,5 +3 =3,5.

Trupmena pati savaime nėra sveikasis skaičius, nes jos kiekis jo nepasiekia, todėl nereikia viso skaičiaus konvertuoti į šią trupmeną. Todėl sveikas skaičius lieka sveikuoju skaičiumi ir visiškai parodo visą reikšmę, o trupmena pridedama prie jos ir parodo, kiek šio sveikojo skaičiaus trūksta prieš pridedant kitą pilną tašką.

Akademinis pavyzdys.

10 + 7/3 = 10 visa ir 7/3.

Jei, žinoma, yra sveikųjų skaičių, jie sumuojami su sveikaisiais skaičiais.

12 + 5 7/9 = 17 ir 7/9.

Tai priklauso nuo to, kuris sveikasis skaičius ir kokia trupmena.

Jeigu abu terminai yra teigiami, ši trupmena turi būti pridėta prie sveikojo skaičiaus. Rezultatas bus mišrus skaičius. Be to, gali būti 2 atvejai.

1 atvejis.

• Trupmena teisinga, t.y. skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Tada po užduoties gautas mišrus skaičius bus atsakymas.

4/9 + 10 = 10 4/9 (dešimties taškų keturios devintosios).



2 atvejis.

• Trupmena yra netinkama, t.y. skaitiklis didesnis už vardiklį. Tada reikia šiek tiek konvertuoti. Netinkama trupmena turėtų būti paversta mišriu skaičiumi, kitaip tariant, reikia atskirti visą dalį. Tai daroma taip:



Po to prie sveikojo skaičiaus reikia pridėti visą netinkamos trupmenos dalį ir pridėti jos trupmeninę dalį prie gautos sumos. Lygiai taip pat prie mišraus skaičiaus pridedama visuma.

1) 11/4 + 5 = 2 3/4 + 5 = 7 3/4 (7 taškai trys ketvirčiai).

2) 5 1/2 + 6 = 11 1/2 (11 taško vienas).

Jei viena iš sąlygų arba abi neigiamas, tada atliekame sudėjimą pagal skaičių su skirtingais arba vienodais ženklais sudėjimo taisykles. Sveikasis skaičius vaizduojamas kaip to skaičiaus ir 1 santykis, o tada skaitiklis ir vardiklis padauginami iš skaičiaus, lygaus trupmenos, prie kurios pridedamas visas skaičius, vardikliui.

3) 1/5 + (-2) = 1/5 + -2/1 = 1/5 + -10/5 = -9/5 = -1 4/5 (atėmus 1 tašką keturios penktadalės).

4) -13/3 + (-4) = -13/3 + -4/1 = -13/3 + -12/3 = -25/3 = -8 1/3 (minus 8 taškai, vienas trečdalis).

komentuoti.

Po susitikimo neigiami skaičiai, studijuodami operacijas su jais, 6 klasės mokiniai turėtų suprasti, kad pridėti teigiamą sveikąjį skaičių prie neigiamos trupmenos yra tas pats, kas atimti iš natūralusis skaičius trupmena. Žinoma, kad šis veiksmas atliekamas taip:



Tiesą sakant, norint pridėti trupmeną ir sveikąjį skaičių, tiesiog reikia esamą sveikąjį skaičių paversti trupmena, o tai padaryti taip pat paprasta, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia paimti trupmenos vardiklį (pavyzdyje) ir padaryti jį sveikojo skaičiaus vardikliu, padauginus jį iš vardiklio ir padalijus, štai pavyzdys:

2+2/3 = 2*3/3+2/3 = 6/3+2/3 = 8/3