Lygčių su trupmenomis sprendimas Pažiūrėkime į pavyzdžius. Pavyzdžiai yra paprasti ir iliustruojantys. Su jų pagalba galėsite suprasti suprantamiau.
Pavyzdžiui, reikia išspręsti paprastą lygtį x/b + c = d.

Tokio tipo lygtis vadinama tiesine, nes Vardiklyje yra tik skaičiai.

Sprendimas atliekamas abi lygties puses padauginus iš b, tada lygtis įgauna formą x = b*(d – c), t.y. kairėje pusėje esantis trupmenos vardiklis anuliuoja.

Pavyzdžiui, kaip išspręsti trupmeninė lygtis:
x/5+4=9
Abi puses padauginame iš 5. Gauname:
x+20=45
x=45-20=25

Kitas pavyzdys, kai vardiklyje yra nežinomasis:

Tokio tipo lygtys vadinamos trupmeninėmis-racionaliosiomis arba tiesiog trupmeninėmis.

Trupmenų lygtį išspręstume atsikratę trupmenų, po kurių ši lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine lygtimi, kurią galima išspręsti įprastu būdu. Jums tereikia atsižvelgti į šiuos dalykus:

• kintamojo, kuris vardiklį paverčia 0, reikšmė negali būti šaknis;
• Negalite padalyti ar padauginti lygties iš išraiškos =0.

Čia įsigalioja leistinų verčių srities (ADV) sąvoka - tai lygties šaknų reikšmės, kurioms lygtis turi prasmę.

Taigi, sprendžiant lygtį, būtina rasti šaknis ir patikrinti, ar jos atitinka ODZ. Tos šaknys, kurios neatitinka mūsų ODZ, neįtraukiamos į atsakymą.

Pavyzdžiui, jums reikia išspręsti trupmeninę lygtį:

Remiantis aukščiau pateikta taisykle, x negali būti = 0, t.y. ODZ viduje šiuo atveju: x – bet kokia reikšmė, išskyrus nulį.

Vardiklio atsikratome visus lygties narius padauginę iš x

Ir mes išsprendžiame įprastą lygtį

5x – 2x = 1
3x = 1
x = 1/3

Atsakymas: x = 1/3

Išspręskime sudėtingesnę lygtį:

ODZ taip pat yra čia: x -2.

Spręsdami šią lygtį neperkelsime visko į vieną pusę ir nesumažinsime trupmenų iki bendras vardiklis. Iš karto padauginsime abi lygties puses iš išraiškos, kuri vienu metu panaikins visus vardiklius.

Norint sumažinti vardiklius, reikia kairę pusę padauginti iš x+2, o dešinę – iš 2. Tai reiškia, kad abi lygties puses reikia padauginti iš 2(x+2):

Tai yra labiausiai paplitęs trupmenų dauginimas, kurį jau aptarėme aukščiau.

Parašykime tą pačią lygtį, bet šiek tiek kitaip

Kairė pusė sumažinama (x+2), o dešinė – 2. Sumažinus gauname įprastą tiesinę lygtį:

x = 4 – 2 = 2, o tai atitinka mūsų ODZ

Atsakymas: x = 2.

Lygčių su trupmenomis sprendimas ne taip sunku, kaip gali pasirodyti. Šiame straipsnyje mes tai parodėme pavyzdžiais. Jei turite kokių nors sunkumų su kaip išspręsti lygtis su trupmenomis, tada atsisakykite prenumeratos komentaruose.

Iki šiol mes sprendėme tik sveikųjų skaičių lygtis nežinomojo atžvilgiu, tai yra lygtis, kurių vardikliuose (jei tokių yra) nežinomasis nėra.

Dažnai tenka spręsti lygtis, kurių vardikliuose yra nežinomasis: tokios lygtys vadinamos trupmeninėmis lygtimis.

Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginame abi puses iš tai yra iš daugianario, kuriame yra nežinomasis. Ar naujoji lygtis bus lygiavertė šiai? Norėdami atsakyti į klausimą, išspręskime šią lygtį.

Abi puses padauginus iš , gauname:

Išspręsdami šią pirmojo laipsnio lygtį, randame:

Taigi (2) lygtis turi vieną šaknį

Pakeitę jį į (1) lygtį, gauname:

Tai reiškia, kad tai taip pat yra (1) lygties šaknis.

(1) lygtis neturi kitų šaknų. Mūsų pavyzdyje tai matyti, pavyzdžiui, iš to, kad (1) lygtyje

Kaip nežinomas daliklis turi būti lygus dividendui 1, padalintam iš koeficiento 2, tai yra

Taigi (1) ir (2) lygtys turi vieną šaknį. Tai reiškia, kad jos yra lygiavertės.

2. Išspręskime šią lygtį:

Paprasčiausias bendras vardiklis: ; padauginkite iš jos visus lygties narius:

Po sumažinimo gauname:

Išplėskime skliaustus:

Turėdami panašias sąlygas, turime:

Išspręsdami šią lygtį, randame:

Pakeitę į (1) lygtį, gauname:

Kairėje pusėje gavome posakius, kurie neturi prasmės.

Tai reiškia, kad (1) lygtis nėra šaknis. Iš to išplaukia, kad (1) ir lygtys nėra lygiavertės.

Šiuo atveju jie sako, kad (1) lygtis įgijo pašalinę šaknį.

Palyginkime (1) lygties sprendinį su anksčiau nagrinėtų lygčių sprendiniu (žr. § 51). Spręsdami šią lygtį, turėjome atlikti dvi anksčiau neregėtas operacijas: pirma, abi lygties puses padauginome iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis (bendrasis vardiklis), ir antra, sumažinome algebrines trupmenas faktoriais, kuriuose yra nežinomasis. .

Lyginant (1) lygtį su (2) lygtimi, matome, kad ne visos x reikšmės, kurios galioja (2) lygčiai, galioja (1).

Būtent skaičiai 1 ir 3 nėra priimtinos (1) lygties nežinomojo reikšmės, tačiau dėl transformacijos jie tapo priimtini (2) lygčiai. Vienas iš šių skaičių pasirodė esąs (2) lygties sprendimas, bet, žinoma, jis negali būti (1) lygties sprendimas. (1) lygtis neturi sprendinių.

Šis pavyzdys rodo, kad padauginus abi lygties puses iš koeficiento, kuriame yra nežinomasis, ir atšaukti algebrinės trupmenos Gali būti gauta lygtis, kuri nėra lygiavertė šiai, būtent: gali atsirasti pašalinių šaknų.

Iš čia darome tokią išvadą. Sprendžiant lygtį, kurios vardiklyje yra nežinomasis, gautos šaknys turi būti patikrintos pakeičiant pradinę lygtį. Pašalinės šaknys turi būti išmestos.

Dalinis tirpalas racionalios lygtys

Nuorodų vadovas

Racionaliosios lygtys yra lygtys, kurių kairėje ir dešinėje pusėse yra racionalios išraiškos.

(Atminkite: racionalios išraiškos yra sveikosios ir trupmeninės išraiškos be radikalų, įskaitant sudėties, atimties, daugybos ar padalijimo operacijas, pvz.: 6x; (m – n)2; x/3y ir tt)

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai redukuojamos į formą:

Kur P(x) Ir K(x) yra daugianariai.

Norėdami išspręsti tokias lygtis, padauginkite abi lygties puses iš Q(x), todėl gali atsirasti pašalinių šaknų. Todėl sprendžiant trupmenines racionaliąsias lygtis, būtina patikrinti rastas šaknis.

Racionalioji lygtis vadinama visuma arba algebrine, jei ji nesidalija iš išraiškos, kurioje yra kintamasis.

Visos racionalios lygties pavyzdžiai:

5x – 10 = 3 (10 – x)

3x
- = 2x - 10
4

Jei racionaliojoje lygtyje yra dalijimasis iš išraiškos, kurioje yra kintamasis (x), tada lygtis vadinama trupmenine racionalia.

Trupmeninės racionalios lygties pavyzdys:

15
x + - = 5x - 17
x

Trupmeninės racionalios lygtys paprastai sprendžiamos taip:

1) raskite bendrąjį trupmenų vardiklį ir padauginkite iš jo abi lygties puses;

2) išspręskite gautą visą lygtį;

3) iš savo šaknų išbraukti tuos, kurie bendrąjį trupmenų vardiklį sumažina iki nulio.

Sveikųjų ir trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo pavyzdžiai.

1 pavyzdys. Išspręskime visą lygtį

x – 1 2x 5x
-- + -- = --.
2 3 6

Sprendimas:

Mažiausio bendro vardiklio radimas. Tai yra 6. Padalinkite 6 iš vardiklio ir gautą rezultatą padauginkite iš kiekvienos trupmenos skaitiklio. Gauname lygtį, lygiavertę tai:

3 (x – 1) + 4x 5x
------ = --
6 6

Kadangi kairė ir dešinė pusės turi tą patį vardiklį, jo galima praleisti. Tada gauname paprastesnę lygtį:

3 (x – 1) + 4x = 5x.

Mes tai išsprendžiame atidarydami skliaustus ir derindami panašius terminus:

3x – 3 + 4x = 5x

3x + 4x - 5x = 3

Pavyzdys išspręstas.

2 pavyzdys. Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį

x – 3 1 x + 5
-- + - = ---.
x – 5 x x (x – 5)

Bendro vardiklio radimas. Tai x(x – 5). Taigi:

x 2 – 3 x x – 5 x + 5
--- + --- = ---
x(x – 5) x(x – 5) x(x – 5)

Dabar vėl atsikratome vardiklio, nes jis yra vienodas visoms išraiškoms. Sumažiname panašius terminus, lygtį prilyginame nuliui ir gauname kvadratinę lygtį:

x 2 – 3x + x – 5 = x + 5

x 2 – 3x + x – 5 – x – 5 = 0

x 2 – 3x – 10 = 0.

Išsprendę kvadratinę lygtį, randame jos šaknis: –2 ir 5.

Patikrinkime, ar šie skaičiai yra pradinės lygties šaknys.

Esant x = –2, bendras vardiklis x(x – 5) neišnyksta. Tai reiškia, kad –2 yra pradinės lygties šaknis.

Kai x = 5, bendras vardiklis tampa nuliu, o dvi iš trijų išraiškų netenka prasmės. Tai reiškia, kad skaičius 5 nėra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: x = –2

Daugiau pavyzdžių

1 pavyzdys.

x 1 = 6, x 2 = - 2,2.

Atsakymas: -2,2;6.

2 pavyzdys.

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda susidurti su užduotimis su lygtimis, kurių užrašuose yra racionalių išraiškų. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

Racionali lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

Įvairiuose vadovuose galite rasti kitą formulę.

2 apibrėžimas

Racionali lygtis yra lygtis, kurios kairėje pusėje yra racionali išraiška, o dešinysis yra nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie kalba apie tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P Ir K lygtys P = Q Ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Pirmiausia pažiūrėsime paprasti pavyzdžiai, kurioje lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradėsime palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionaliosios lygtys skirstomos į dvi dideles grupes: sveikąsias ir trupmenines. Pažiūrėkime, kokios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei jos kairėje ir dešinėje pusėse yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant visas lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 Ir (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0, 5– ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties pusės vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Spręsti visas lygtis

Norint išspręsti tokias lygtis, jas paprastai reikia konvertuoti į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

• Pirma, mes gauname nulį dešinėje lygties pusėje, kad tai padarytume, turime perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę ir pakeisti ženklą;
• tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į standartinės formos daugianarį.

Turime gauti algebrinę lygtį. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia mums sumažinti visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę, kad išspręstume problemą. IN bendras atvejis sprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir ženklą pakeisime priešingu. Rezultate gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar paverskime kairėje pusėje esančią išraišką į standartinės formos daugianarį ir atlikime su šiuo daugianario reikiamus veiksmus:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums pavyko sumažinti sprendinį iki pradinės lygties iki sprendinio kvadratinė lygtis malonus x 2 − 5 x − 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, tikrosios šaknys bus du. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 arba x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo metu. Tam gautus skaičius pakeičiame į pradinę lygtį: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ir 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 Ir x = −1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties laipsnis“. Mes dažnai susidursime su šiuo terminu tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrine forma. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Visos lygties laipsnis- tai laipsnis algebrinė lygtis, atitinka pradinę sveikųjų skaičių lygtį.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antras.

Jei mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, temos aptarimas galėtų tuo ir baigtis. Bet tai nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, aukštesnėms nei ketvirtasis laipsnis, nėra bendrosios formulėsšaknys. Šiuo atžvilgiu norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
• Kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

4 pavyzdys

Raskite lygties (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkeliame išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę su priešingas ženklas: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kairiosios pusės konvertavimas į standartinės formos daugianarį yra netinkamas, nes taip gausime ketvirtojo laipsnio algebrinę lygtį: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Konvertavimo paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimkime jį iš skliaustų bendras daugiklis x 2 – 10 x + 13 . Taigi gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 Ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Atsakymas: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Lygiai taip pat galime naudoti naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių laipsniai yra mažesni už laipsnius pradinėje sveikųjų skaičių lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 · (y – 4). Perkelkime dešinę lygties pusę į kairę su priešingu ženklu ir atliksime reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = – 1 Ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 Ir x 2 + 3 · x = – 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę, kad surastume pirmosios lygties šaknis iš gautų: - 3 ± 5 2. Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:- 3 ± 5 2

Ištisos lygtys aukšti laipsniai gana dažnai susiduriama atliekant užduotis. Nereikia jų bijoti. Norėdami juos išspręsti, turite būti pasirengę naudoti nestandartinį metodą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradėsime nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) Ir q(x)– ištisos racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo būdas yra pagrįstas šiuo teiginiu: skaitinė trupmena u v, Kur v- tai skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendinį galima redukuoti iki dviejų sąlygų: p(x)=0 Ir q(x) ≠ 0. Tai yra pagrindas sudaryti trupmeninių racionaliųjų lygčių, kurių forma p (x) q (x) = 0, sprendimo algoritmą:

• rasti visos racionalios lygties sprendimą p(x)=0;
• patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga yra įvykdyta, tada rasta šaknis Jei ne, tada šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskime lygties 3 x - 2 5 x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0, kurioje p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x − 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, išraiškoje pakeiskite skaitinę reikšmę. Gauname: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia, kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo variantas p (x) q (x) = 0. Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamojo x leistinų verčių diapazone. Tai leidžia mums naudoti šį algoritmą sprendžiant lygtis p (x) q (x) = 0:

• išspręskite lygtį p(x)=0;
• rasti kintamojo x leistinų verčių diapazoną;
• imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių diapazone, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

7 pavyzdys

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Sprendimas

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknų formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties kintamojo x ODZ. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3.

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra leistinų kintamojo x verčių diapazone. Matome, kad jie ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3.

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Antrasis aprašytas sprendimo būdas yra paprastesnis nei pirmasis tais atvejais, kai lengvai randamas kintamojo x leistinų verčių diapazonas ir lygties šaknys p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 · 26 9. Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 Ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko tikrinant būklę q(x) ≠ 0: Daug lengviau pašalinti šaknis, kurios netinka pagal ODZ.

Tais atvejais, kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, p (x) q (x) = 0 formos lygtims spręsti tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greičiau raskite visos lygties šaknis p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, o ne rasti ODZ ir tada išspręsti lygtį p(x)=0šiame ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradėkime nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir surasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizuojant. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas yra kvadratinis. Šaknų paieška: iš pirmosios lygties x = 12, nuo antrojo - x=6, iš trečio – x = 7 , x = – 2 , iš ketvirto – x = −1.

Patikrinkime gautas šaknis. Šiuo atveju mums sunku nustatyti ODZ, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų eiti į nulį.

Paeiliui reiškinyje pakeisime kintamąjį x šaknimis x 5 – 15 x 4 + 57 x 3 – 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 30 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2, 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime dirbti su lygtimi (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau įsivaizduoti šią lygtį kaip kvadratinių ir tiesines lygtis 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x = 2.

Mums bus gana sunku pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas. Bus lengviau nustatyti kintamojo x ODZ. Šiuo atveju kintamojo x ODZ yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso kintamojo x leistinų verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x = 2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį – 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad esant jokiai x reikšmei, problemos teiginyje pateiktos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklyje yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš kintamojo x ODZ.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygties sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 Ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o tai savo ruožtu yra lygiaverčiai dviejų lygčių deriniui x 3 = 0 ir x + 5 = 0, kur matomos šios šaknys. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x = 0 Ir x = – 5.

Pasirodo, kad trupmeninė racionalioji lygtis 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 turi begalinį skaičių sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir -5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie trupmenines racionaliąsias lygtis savavališkas tipas ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), Kur r(x) Ir s(x)– racionalios išraiškos, ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Išsprendus tokias lygtis, išsprendžiamos lygtys, kurių forma yra p (x) q (x) = 0.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme būdus, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p(x)q(x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x leistinų verčių diapazono išplėtimą.

Visai įmanoma, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą naudojant bet kurį iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau išnagrinėti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį r(x) = s(x):

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
• pradinę išraišką paversti racionalia trupmena p (x) q (x) , nuosekliai atliekant operacijas su trupmenomis ir daugianariais;
• išspręskite lygtį p(x)=0;
• pašalines šaknis nustatome patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pašalinimas IŠORINĖS ŠAKNYS

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Norėdami tai padaryti, turėsime sumažinti racionaliąsias trupmenas iki bendro vardiklio ir supaprastinti išraišką:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Viskas, ką turime padaryti, tai patikrinti naudodami bet kurį iš metodų. Pažvelkime į juos abu.

Pakeiskime gautą reikšmę pradine lygtimi. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Mes pasiekėme teisingą skaitinę lygybę − 1 = − 1 . Tai reiškia, kad x = − 1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinkime ODZ. Nustatykime kintamojo x leistinų verčių diapazoną. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (esant x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = − 1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Prieiname prie lygties x = 0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra pašalinė iš pradinės lygties. Pakeiskime reikšmę į pradinę lygtį: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiaverčių transformacijų, tai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Iš dešinės ir kairės pusės atimkite 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad kairėje pusėje esanti vardiklio išraiška turi būti lygi dešiniosios pusės skaičiaus atvirkštinei daliai, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Iš abiejų pusių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogiškai 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, iš kur 1 5 - x 2 = 1 3, o tada 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Patikrinkime, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami identifikuoti tam tikras asmuo arba ryšį su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą paštu ir tt

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų surinkta asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Esant poreikiui – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teismine tvarka ir (arba) remiantis viešais prašymais ar prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.