Pakėlimas į neigiamą laipsnį yra vienas iš pagrindinių matematikos elementų, dažnai sutinkamas sprendžiant algebrinius uždavinius. Žemiau pateikiamos išsamios instrukcijos.

Kaip pakelti į neigiamą galią – teorija

Kai pakeliame skaičių iki paprasto laipsnio, jo reikšmę padauginame kelis kartus. Pavyzdžiui, 3 3 = 3×3×3 = 27. Su neigiama trupmena yra atvirkščiai. Bendras vaizdas pagal formulę atrodys taip: a -n = 1/a n. Taigi, norėdami padidinti skaičių iki neigiamos laipsnio, turite padalyti vieną iš duotas numeris, bet teigiamai.

Kaip pakelti iki neigiamo laipsnio – įprastų skaičių pavyzdžiai

Turėdami omenyje aukščiau pateiktą taisyklę, išspręskime keletą pavyzdžių.

4 -2 = 1/4 2 = 1/16
Atsakymas: 4 -2 = 1/16

4 -2 = 1/-4 2 = 1/16.
Atsakymas -4 -2 = 1/16.

Bet kodėl atsakymai pirmame ir antrame pavyzdžiuose yra vienodi? Faktas yra tas, kad kai neigiamas skaičius padidinamas iki lyginės laipsnio (2, 4, 6 ir tt), ženklas tampa teigiamas. Jei laipsnis būtų lygus, minusas liktų:

4 -3 = 1/(-4) 3 = 1/(-64)

Kaip padidinti skaičių nuo 0 iki 1 iki neigiamos laipsnio

Prisiminkite, kad kai skaičius tarp 0 ir 1 padidinamas iki teigiamo laipsnio, vertė mažėja, kai galia didėja. Pavyzdžiui, 0,5 2 = 0,25. 0.25< 0,5. В случае с отрицательной степенью все обстоит наоборот. При возведении десятичного (дробного) числа в отрицательную степень, значение увеличивается.

3 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -2
Sprendimas: 0,5 -2 = 1/1/2 -2 = 1/1/4 = 1 × 4/1 = 4.
Atsakymas: 0,5 -2 = 4

Analizė (veiksmų seka):

• Paverskite dešimtainę trupmeną 0,5 į trupmeną 1/2. Taip lengviau.
  Pakelkite 1/2 iki neigiamos galios. 1/(2) -2 . Padalinkite 1 iš 1/(2) 2, gausime 1/(1/2) 2 => 1/1/4 = 4

4 pavyzdys: Apskaičiuokite 0,5 -3
Sprendimas: 0,5 -3 = (1/2) -3 = 1/(1/2) 3 = 1/(1/8) = 8

5 pavyzdys: Apskaičiuokite -0,5 -3
Sprendimas: -0,5 -3 = (-1/2) -3 = 1/(-1/2) 3 = 1/(-1/8) = -8
Atsakymas: -0,5 -3 = -8

Remdamiesi 4 ir 5 pavyzdžiais, galime padaryti keletą išvadų:

• Teigiamam skaičiui intervale nuo 0 iki 1 (4 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus teigiama. Be to, kuo aukštesnis laipsnis, tuo didesnė vertė.
• Neigiamam skaičiui diapazone nuo 0 iki 1 (5 pavyzdys), padidintam iki neigiamo laipsnio, nesvarbu, ar laipsnis lyginis, ar nelyginis, išraiškos reikšmė bus neigiama. Šiuo atveju kuo aukštesnis laipsnis, tuo mažesnė vertė.

Kaip pakelti į neigiamą laipsnį – laipsnį trupmeninio skaičiaus pavidalu

Išraiškos šio tipo turi tokią formą: a -m/n, kur a yra reguliarus skaičius, m yra laipsnio skaitiklis, n yra laipsnio vardiklis.

Pažiūrėkime į pavyzdį:
Apskaičiuokite: 8 -1/3

Sprendimas (veiksmų seka):

• Prisiminkime skaičiaus didinimo iki neigiamo laipsnio taisyklę. Gauname: 8 -1/3 = 1/(8) 1/3.
• Atkreipkite dėmesį, kad vardiklio skaičius 8 yra trupmenos laipsnis. Bendra trupmeninės galios skaičiavimo forma yra tokia: a m/n = n √8 m.
• Taigi 1/(8) 1/3 = 1/(3 √8 1). Gauname aštuonių kubinę šaknį, kuri yra lygi 2. Iš čia 1/(8) 1/3 = 1/(1/2) = 2.
• Atsakymas: 8 -1/3 = 2

Viename iš ankstesnių straipsnių jau minėjome skaičiaus galią. Šiandien mes bandysime naršyti jo prasmės paieškos procese. Kalbant moksliškai, mes išsiaiškinsime, kaip teisingai pakelti galią. Išsiaiškinsime, kaip šis procesas vykdomas, ir tuo pačiu paliesime visus galimus rodiklius: natūralius, neracionalius, racionalius, sveikuosius skaičius.

Taigi, atidžiau pažvelkime į pavyzdžių sprendimus ir išsiaiškinkime, ką tai reiškia:

1. Sąvokos apibrėžimas.
2. Pakėlimas į neigiamą meną.
3. Visas rodiklis.
4. Pakeliant skaičių iki ir racionalus laipsnis.

Čia yra apibrėžimas, kuris tiksliai atspindi prasmę: „Eksponentiškumas yra skaičiaus laipsnio vertės apibrėžimas“.

Atitinkamai, skaičiaus a didinimas str. r ir laipsnio a reikšmės su rodikliu r radimo procesas yra tapačios sąvokos. Pavyzdžiui, jei užduotis yra apskaičiuoti galios reikšmę (0,6) 6″, tada ją galima supaprastinti iki išraiškos „Pakelkite skaičių 0,6 iki 6 laipsnio“.

Po to galite pereiti tiesiai prie statybos taisyklių.

Pakėlimas į neigiamą galią

Siekiant aiškumo, turėtumėte atkreipti dėmesį į šią posakių grandinę:

110=0,1=1* 10 minus 1 valgomasis šaukštas,

1100 = 0,01 = 1 * 10 minus 2 laipsniais,

11 000 = 0,0001 = 1 * 10 minus 3 st.,

110000=0,00001=1*10 iki minus 4 laipsnių.

Dėl šių pavyzdžių galite aiškiai matyti galimybę akimirksniu apskaičiuoti 10 bet kuriame minuso laipsnis. Šiuo tikslu pakanka tiesiog perkelti dešimtainį komponentą:

• 10 iki -1 laipsnio – prieš vieną yra 1 nulis;
• in -3 - trys nuliai prieš vieną;
• -9 yra 9 nuliai ir pan.

Iš šios diagramos taip pat nesunku suprasti, kiek bus 10 minus 5 šaukštai. -

1100000=0,000001=(1*10)-5.

Kaip padidinti skaičių iki natūralios galios

Prisimindami apibrėžimą, atsižvelgiame į tai natūralusis skaičius a str. n lygi n faktorių sandaugai, kurių kiekvienas lygus a. Pavaizduokime: (a*a*…a)n, kur n yra padaugintų skaičių skaičius. Atitinkamai, norint a pakelti į n, reikia apskaičiuoti tokios formos sandaugą: a*a*…a padalytas iš n kartų.

Iš to tampa aišku, kad kėlimas į natūralią šv. priklauso nuo gebėjimo atlikti dauginimą(ši medžiaga yra pateikta skyriuje apie realiųjų skaičių dauginimą). Pažvelkime į problemą:

Pakelkite -2 į 4-ąją g.

Mes susiduriame su natūraliu rodikliu. Atitinkamai, sprendimo eiga bus tokia: (-2) str. 4 = (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Dabar belieka padauginti sveikuosius skaičius: (-2)*(-2)*(-2)*(-2). Mes gauname 16.

Atsakymas į problemą:

(-2) str. 4=16.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite reikšmę: trijų taškų dvi septintos kvadratas.

Šis pavyzdys yra lygus šiai sandaugai: trys taškai dvi septintos padaugintos iš trijų taško dvi septintos. Prisimindami, kaip dauginami mišrūs skaičiai, užbaigiame konstrukciją:

• 3 taškas 2 septintosios padaugintos iš savęs;
• lygus 23 septintosioms dalims, padaugintoms iš 23 septintųjų;
• lygus 529 keturiasdešimt devintoms dalims;
• sumažiname ir gauname 10 trisdešimt devynių keturiasdešimt devintųjų.

Atsakymas: 10 39/49

Kalbant apie padidinimą iki neracionalaus eksponento, reikia pažymėti, kad skaičiavimai pradedami atlikti baigus preliminarų laipsnio pagrindo apvalinimą iki bet kurio skaitmens, kuris leistų gauti vertę tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, skaičių P (pi) turime paversti kvadratu.

Pradedame nuo P apvalinimo iki šimtųjų ir gauname:

P kvadratu = (3,14)2 = 9,8596. Tačiau jei sumažinsime P iki dešimties tūkstantųjų dalių, gausime P = 3,14159. Tada kvadratūra suteikia visiškai kitą skaičių: 9.8695877281.

Čia reikia pažymėti, kad daugelyje problemų nereikia neracionalių skaičių kelti į laipsnius. Paprastai atsakymas įvedamas faktinio laipsnio forma, pavyzdžiui, 6 šaknis iki 3 laipsnio, arba, jei išraiška leidžia, atliekama jo transformacija: šaknis nuo 5 iki 7 laipsnių = 125 šaknis iš 5.

Kaip pakelti skaičių iki sveikojo skaičiaus laipsnio

Ši algebrinė manipuliacija yra tinkama atsižvelgti į sekančių atvejų:

• sveikiesiems skaičiams;
• nuliniam indikatoriui;
• teigiamam sveikajam rodikliui.

Kadangi beveik visi teigiami sveikieji skaičiai sutampa su natūraliųjų skaičių mase, teigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio nustatymas yra toks pat procesas, kaip ir 2 str. natūralus. Šį procesą aprašėme ankstesnėje pastraipoje.

Dabar pakalbėkime apie šv. nulinis. Mes jau sužinojome aukščiau nulinis laipsnis skaičiai a gali būti nustatyti bet kokiam nuliui skirtingam a (tikrajam), o a str. 0 bus lygus 1.

Atitinkamai, bet kurį realųjį skaičių padidinus iki nulio st. duos vieną.

Pavyzdžiui, 10 st. 0 = 1, (-3,65) 0 = 1 ir 0 st. 0 negalima nustatyti.

Norint užbaigti didinimą iki sveikojo skaičiaus laipsnio, belieka nuspręsti dėl sveikųjų skaičių parinkčių neigiamos reikšmės. Prisimename, kad str. iš a su sveikuoju skaičiumi -z bus apibrėžta kaip trupmena. Trupmenos vardiklis yra šv. su visuma teigiama vertė, kurios prasmę jau išmokome rasti. Dabar belieka apsvarstyti statybos pavyzdį.

Pavyzdys:

Apskaičiuokite skaičiaus 2 kubą su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu reikšmę.

Sprendimo procesas:

Pagal laipsnio apibrėžimą su neigiamu rodikliu žymime: du minus 3 laipsnius. lygus nuo vieno iki dviejų trečiajam laipsniui.

Vardiklis apskaičiuojamas paprastai: du kubeliai;

3 = 2*2*2=8.

Atsakymas: du iki minus 3 str. = viena aštuntoji.

Tęsiant pokalbį apie skaičiaus galią, logiška išsiaiškinti, kaip rasti galios vertę. Šis procesas vadinamas eksponencija. Šiame straipsnyje mes išnagrinėsime, kaip atliekamas eksponentas, o paliesime visus galimus eksponentus - natūralius, sveikuosius, racionalius ir neracionalius. Ir pagal tradiciją mes išsamiai apsvarstysime skaičių didinimo į įvairias galias pavyzdžių sprendimus.

Puslapio naršymas.

Ką reiškia "eksponentacija"?

Pradėkime nuo paaiškinimo, kas vadinama eksponencija. Čia yra atitinkamas apibrėžimas.

Apibrėžimas.

Eksponentiškumas- tai yra skaičiaus galios vertės nustatymas.

Taigi skaičiaus a laipsnio su laipsniu r radimas ir skaičiaus a pakėlimas į laipsnį r yra tas pats. Pavyzdžiui, jei užduotis yra „apskaičiuoti laipsnio reikšmę (0,5) 5“, tada ją galima performuluoti taip: „Pakelkite skaičių 0,5 iki laipsnio 5“.

Dabar galite pereiti tiesiai prie taisyklių, pagal kurias atliekamas eksponentas.

Skaičiaus pakėlimas iki natūralios galios

Praktikoje lygybė grindžiama paprastai taikoma formoje . Tai reiškia, kad keliant skaičių a iki trupmeninės laipsnio m/n, pirmiausia imama n-oji skaičiaus a šaknis, po kurios gautas rezultatas pakeliamas iki sveikojo skaičiaus laipsnio m.

Pažvelkime į trupmeninės galios didinimo pavyzdžių sprendimus.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite laipsnio reikšmę.

Sprendimas.

Parodysime du sprendimus.

Pirmas būdas. Pagal laipsnio apibrėžimą su trupmeniniu rodikliu. Apskaičiuojame laipsnio reikšmę po šaknies ženklu, o tada ištraukiame kubo šaknį: .

Antras būdas. Apibrėžiant laipsnį su trupmeniniu rodikliu ir remiantis šaknų savybėmis, yra teisingos šios lygybės: . Dabar ištraukiame šaknį , galiausiai padidiname jį iki sveikojo skaičiaus laipsnio .

Akivaizdu, kad gauti pakėlimo iki trupmeninės galios rezultatai sutampa.

Atsakymas:

Atkreipkite dėmesį, kad trupmeninis rodiklis gali būti parašytas kaip dešimtainis arba mišrus skaičius, šiais atvejais jis turėtų būti pakeistas atitinkama įprasta trupmena, o tada padidintas iki laipsnio.

Pavyzdys.

Apskaičiuokite (44,89) 2.5.

Sprendimas.

Parašykime eksponentą formoje bendroji trupmena(jei reikia, žiūrėkite straipsnį): . Dabar atliekame kėlimą iki trupmeninės galios:

Atsakymas:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Taip pat reikėtų pasakyti, kad skaičių didinimas iki racionalių laipsnių yra gana daug darbo jėgos reikalaujantis procesas (ypač kai trupmeninio rodiklio skaitiklyje ir vardiklyje yra pakankamai daug skaičių), kuris dažniausiai atliekamas naudojant kompiuterinės technologijos.

Baigdami šį klausimą, mes sutelksime dėmesį į skaičiaus nulį padidinimą iki trupmeninės laipsnio. Formos nulio trupmeninei galiai suteikėme tokią reikšmę: kai turime , o esant nuliui iki galios m/n neapibrėžta. Taigi nuo nulio iki trupmeninės teigiamos galios lygus nuliui, Pavyzdžiui, . Ir nulis trupmeninėje neigiamoje galioje neturi prasmės, pavyzdžiui, posakiai 0 -4,3 neturi prasmės.

Pakėlimas į neracionalią galią

Kartais prireikia išsiaiškinti skaičiaus su neracionaliuoju rodikliu laipsnio reikšmę. Šiuo atveju praktiniais tikslais dažniausiai pakanka gauti laipsnio reikšmę, tikslią tam tikram ženklui. Iš karto atkreipkime dėmesį, kad praktiškai ši vertė apskaičiuojama naudojant elektroninius kompiuterius, nes norint ją padidinti iki neracionalios galios rankiniu būdu reikia didelis kiekis sudėtingi skaičiavimai. Bet vis tiek apibūdinsime bendras kontūras veiksmo esmė.

Norint gauti apytikslę skaičiaus a laipsnio reikšmę su neracionaliuoju laipsniu, imamas tam tikras rodiklio dešimtainis aproksimacija ir apskaičiuojama laipsnio reikšmė. Ši reikšmė yra apytikslė skaičiaus a laipsnio reikšmė su neracionaliuoju rodikliu. Kuo tikslesnis dešimtainis skaičiaus aproksimavimas iš pradžių, tuo tikslesnė laipsnio reikšmė galiausiai bus gauta.

Kaip pavyzdį apskaičiuokime apytikslę 2 laipsnio reikšmę 1,174367... . Paimkime tokią iracionaliojo rodiklio dešimtainę aproksimaciją: . Dabar pakeliame 2 iki racionalios galios 1,17 (šio proceso esmę aprašėme ankstesnėje pastraipoje), gauname 2 1,17 ≈2,250116. Taigi, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Pavyzdžiui, jei paimsime tikslesnį neracionalaus rodiklio dešimtainį aproksimaciją, gausime tikslesnę pradinio eksponento reikšmę: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Nuorodos.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematikos vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 7 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 8 klasei. švietimo įstaigų.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: vadovėlis 9 klasei. švietimo įstaigų.
• Kolmogorovas A.N., Abramovas A.M., Dudnicinas Yu.P. ir kt. Algebra ir analizės pradžia: Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų 10 - 11 klasėms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Skaičiuoklė padeda greitai padidinti skaičių iki galios internete. Laipsnio pagrindas gali būti bet koks skaičius (ir sveikieji, ir realieji skaičiai). Rodiklis taip pat gali būti sveikas arba realus skaičius, taip pat gali būti teigiamas arba neigiamas. Reikėtų prisiminti, kad dėl neigiamus skaičius kėlimas į ne sveikąjį skaičių yra neapibrėžtas, todėl skaičiuotuvas praneš apie klaidą, jei bandysite tai padaryti.

Laipsnio skaičiuoklė

Pakelti į valdžią

Eksponentiniai koeficientai: 20880

Kas yra natūrali skaičiaus galia?

Skaičius p vadinamas n-tuoju skaičiaus laipsniu, jei p yra lygus skaičiui a, padaugintam iš savęs n kartų: p = a n = a·...·a
n - paskambino eksponentas, o skaičius a yra laipsnio pagrindu.

Kaip pakelti skaičių iki natūralios galios?

Norėdami suprasti, kaip pakelti įvairius skaičius iki natūralių galių, apsvarstykite kelis pavyzdžius:

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių tris iki ketvirtos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 3 4
Sprendimas: kaip minėta aukščiau, 3 4 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Atsakymas: 3 4 = 81 .

2 pavyzdys. Pakelkite skaičių penktą iki penktos laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 5 5
Sprendimas: panašiai, 5 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3125.
Atsakymas: 5 5 = 3125 .

Taigi, norint padidinti skaičių iki natūralios laipsnio, tereikia jį padauginti iš savęs n kartų.

Kas yra neigiama skaičiaus galia?

Neigiamas a laipsnis -n yra padalintas iš a iki n laipsnio: a -n = .

Šiuo atveju neigiama galia egzistuoja tik nuliniams skaičiams, nes kitaip įvyktų padalijimas iš nulio.

Kaip padidinti skaičių iki neigiamo sveikojo skaičiaus laipsnio?

Norėdami pakelti ne nulį skaičių iki neigiamo laipsnio, turite apskaičiuoti šio skaičiaus reikšmę iki tos pačios teigiamos galios ir padalyti vieną iš rezultato.

1 pavyzdys. Pakelkite skaičių du iki neigiamos ketvirtosios laipsnio. Tai yra, reikia apskaičiuoti 2 -4

Sprendimas: kaip nurodyta aukščiau, 2 -4 = = = 0,0625.

Atsakymas: 2 -4 = 0.0625 .

Laipsnio formulės naudojamas mažinant ir supaprastinant sudėtingas išraiškas, sprendžiant lygtis ir nelygybes.

Skaičius c yra n- skaičiaus laipsnis a Kada:

Operacijos su laipsniais.

1. Padauginus laipsnius iš tos pačios bazės, pridedami jų rodikliai:

a m·a n = a m + n .

2. Dalijant laipsnius su ta pačia baze, jų eksponentai atimami:

3. Produkto galia 2 arba daugiau faktoriai yra lygūs šių veiksnių galių sandaugai:

(abc…) n = a n · b n · c n …

4. Trupmenos laipsnis lygus dividendo ir daliklio laipsnių santykiui:

(a/b) n = a n/b n .

5. Padidinus laipsnį į laipsnį, rodikliai dauginami:

(a m) n = a m n .

Kiekviena aukščiau pateikta formulė yra teisinga kryptimis iš kairės į dešinę ir atvirkščiai.

Pavyzdžiui. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operacijos su šaknimis.

1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:

2. Santykio šaknis lygi dividendo ir šaknų daliklio santykiui:

3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių:

4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n vieną kartą ir tuo pačiu metu integruoti į n laipsnis yra radikalus skaičius, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n tuo pačiu metu ištraukite šaknį n- radikalaus skaičiaus laipsnis, tada šaknies reikšmė nepasikeis:

Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neteigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip laipsnis, padalytas iš to paties skaičiaus laipsnio, kurio rodiklis lygus absoliučiai neteigiamojo eksponento vertei:

Formulė a m:a n =a m - n gali būti naudojamas ne tik m> n, bet ir su m< n.

Pavyzdžiui. a4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Į formulę a m:a n =a m - n tapo teisinga, kai m=n, būtinas nulinis laipsnis.

Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio skaičiaus, nelygaus nuliui, su nuliniu rodikliu, laipsnis yra lygus vienetui.

Pavyzdžiui. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti tikrąjį skaičių A iki laipsnio m/n, reikia ištraukti šaknį n laipsnis m-šio skaičiaus laipsnis A.