रचनात्मकता के लिए क्षमता को आमतौर पर मानविकी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, विश्लेषण के साथ प्राकृतिक विज्ञान, एक व्यावहारिक दृष्टिकोण और सूत्रों और संख्याओं की एक सूखी भाषा को छोड़कर। गणित को मानवीय विषयों के लिए जिम्मेदार नहीं ठहराया जा सकता है। लेकिन "सभी विज्ञानों की रानी" में रचनात्मकता के बिना आप बहुत दूर नहीं जाएंगे - लोग लंबे समय तक इस बारे में जानते हैं। उदाहरण के लिए पाइथागोरस के समय से।

स्कूल की पाठ्यपुस्तकें, दुर्भाग्य से, आमतौर पर यह नहीं समझाती हैं कि गणित में न केवल रटना, स्वयंसिद्ध और सूत्रों का महत्व है। इसके मूल सिद्धांतों को समझना और महसूस करना महत्वपूर्ण है। और एक ही समय में अपने दिमाग को क्लिच और प्राथमिक सत्य से मुक्त करने का प्रयास करें - केवल ऐसी स्थितियों में सभी महान खोजों का जन्म होता है।

इन खोजों में शामिल है जिसे हम आज पाइथागोरस प्रमेय के रूप में जानते हैं। इसकी मदद से, हम यह दिखाने की कोशिश करेंगे कि गणित न केवल कर सकता है, बल्कि रोमांचक होना चाहिए। और यह साहसिक न केवल मोटे चश्मे में नर्ड के लिए उपयुक्त है, बल्कि उन सभी के लिए जो मन में मजबूत और आत्मा में मजबूत हैं।

मुद्दे के इतिहास से

सख्ती से बोलना, हालांकि प्रमेय को "पाइथागोरस प्रमेय" कहा जाता है, पाइथागोरस ने खुद इसकी खोज नहीं की थी। समकोण त्रिभुज और इसके विशेष गुणों का अध्ययन इसके बहुत पहले किया गया था। इस मुद्दे पर दो विपरीत बिंदु हैं। एक संस्करण के अनुसार, पाइथागोरस प्रमेय का पूरा प्रमाण खोजने वाला पहला व्यक्ति था। एक अन्य के अनुसार, प्रमाण पाइथागोरस के लेखकत्व से संबंधित नहीं है।

आज आप यह नहीं देख सकते कि कौन सही है और कौन गलत। यह केवल ज्ञात है कि पाइथागोरस का प्रमाण, यदि यह कभी अस्तित्व में था, तो जीवित नहीं रहा। हालांकि, ऐसे सुझाव हैं कि यूक्लिड के "तत्वों" से प्रसिद्ध प्रमाण पाइथागोरस से संबंधित हो सकता है, और यूक्लिड ने इसे रिकॉर्ड किया।

आज यह भी जाना जाता है कि प्राचीन भारतीय ग्रंथ "सुलवा सूत्र" और प्राचीन चीनी राजा "हम्मुराबी" के शासनकाल के दौरान बेबीलोन की मिट्टी की गोलियों पर, फिरौन अमेनेक्थ I के समय के मिस्र के स्रोतों में एक समकोण त्रिभुज के बारे में समस्याएं पाई जाती हैं। रचना "झोउ-बाय सुआन जिन"।

जैसा कि आप देख सकते हैं, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से गणितज्ञों के दिमाग पर कब्जा कर लिया है। लगभग 367 अलग-अलग साक्ष्य हैं जो आज भी मौजूद हैं। इसमें कोई अन्य प्रमेय इसका मुकाबला नहीं कर सकता है। उल्लेखनीय प्रमाण लेखकों में लियोनार्डो दा विंची और संयुक्त राज्य अमेरिका के बीसवें राष्ट्रपति जेम्स गारफील्ड शामिल हैं। यह सब गणित के लिए इस प्रमेय के अत्यधिक महत्व की बात करता है: ज्यामिति के अधिकांश प्रमेय इसे से या एक तरह से या इसके साथ जुड़े किसी अन्य से प्राप्त होते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण

स्कूल की पाठ्यपुस्तकों में, ज्यादातर बीजीय प्रमाण दिए गए हैं। लेकिन प्रमेय का सार ज्यामिति में है, इसलिए आइए सबसे पहले उन प्रमेय के उन प्रमाणों पर विचार करें, जो इस विज्ञान पर आधारित हैं।

प्रमाण १

एक समकोण त्रिभुज के लिए पायथागॉरियन प्रमेय के सबसे सरल प्रमाण के लिए, आपको आदर्श स्थितियां निर्धारित करने की आवश्यकता है: त्रिभुज को न केवल समकोण, बल्कि समद्विबाहु होने दें। यह विश्वास करने का कारण है कि इस त्रिकोण को मूल रूप से पुरातन के गणितज्ञों द्वारा माना गया था।

बयान "समकोण त्रिभुज के कर्ण पर निर्मित एक वर्ग इसके पैरों पर निर्मित वर्गों के योग के बराबर है" निम्नलिखित ड्राइंग द्वारा चित्रित किया जा सकता है:

समद्विबाहु समकोण त्रिभुज ABC को देखें: कर्ण एसी पर, आप मूल ABC के बराबर चार त्रिभुज से मिलकर एक वर्ग बना सकते हैं। और पैरों पर एबी और बीसी यह एक वर्ग में बनाया गया है, जिनमें से प्रत्येक में दो समान त्रिकोण हैं।

वैसे, यह ड्राइंग पाइथागोरस प्रमेय के लिए समर्पित कई उपाख्यानों और कार्टून का आधार बन गया। सबसे प्रसिद्ध शायद है "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं":

प्रमाण २

यह विधि बीजगणित और ज्यामिति को जोड़ती है और इसे गणितज्ञ भास्कर के प्राचीन भारतीय प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।

पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज का निर्माण करें ए, बी और सी (चित्र एक)। फिर दोनों पैरों की लंबाई के योग के बराबर भुजाओं वाले दो वर्गों का निर्माण करें, - (ए + बी)... प्रत्येक वर्ग में, आंकड़े 2 और 3 में निर्माण करें।

पहले वर्ग में, चित्र 1 में समान त्रिकोणों में से चार का निर्माण करें। परिणामस्वरूप, आपको दो वर्ग मिलते हैं: एक पक्ष के साथ, दूसरा पक्ष के साथ ख.

दूसरे वर्ग में, चार निर्मित समान त्रिभुज एक वर्ग बनाते हैं जिसमें कर्ण के बराबर एक भुजा होती है सी.

अंजीर में निर्मित वर्ग के क्षेत्रों का योग 2 उस वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है जिसे हमने अंजीर में साइड सी के साथ बनाया है। 3। यह अंजीर में वर्गों के क्षेत्रों की गणना करके आसानी से सत्यापित किया जा सकता है। 2 सूत्र द्वारा। और चित्रा 3 में खुदा हुआ वर्ग का क्षेत्रफल। एक पक्ष के साथ एक बड़े वर्ग के क्षेत्र से एक वर्ग सही त्रिकोण में खुदा चार बराबर के क्षेत्रों को घटाकर (ए + बी).

यह सब लिखते हुए, हमारे पास: a 2 + b 2 \u003d (a + b) 2 - 2ab... कोष्ठक का विस्तार करें, सभी आवश्यक बीजीय गणना करें और प्राप्त करें एक 2 + बी 2 \u003d एक 2 + बी 2... इस मामले में, क्षेत्र अंजीर में अंकित है। 3। वर्ग की गणना पारंपरिक सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है एस \u003d सी 2... उन। एक 2 + बी 2 \u003d सी 2 - आपने पाइथागोरस प्रमेय को साबित कर दिया।

प्रमाण ३

उसी प्राचीन भारतीय प्रमाण का वर्णन बारहवीं शताब्दी में "द क्राउन ऑफ नॉलेज" ("सिद्धान्त शिरोमणि") में किया गया है और मुख्य तर्क के रूप में लेखक गणितीय प्रतिभाओं और छात्रों और अनुयायियों के अवलोकन के लिए संबोधित अपील का उपयोग करता है: " देखो! ”

लेकिन हम इस प्रमाण का और अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे:

वर्ग के अंदर, ड्राइंग में संकेत के अनुसार चार समकोण त्रिभुज बनाएं। बड़े वर्ग के किनारे, यह भी कर्ण है, हम निरूपित करते हैं से... त्रिकोण के पैरों को कहा जाता है ए तथा ख... ड्राइंग के अनुसार, आंतरिक वर्ग का पक्ष है (ए-बी).

एक वर्ग सूत्र के क्षेत्र का उपयोग करें एस \u003d सी 2बाहरी वर्ग के क्षेत्र की गणना करने के लिए। और एक ही समय में, आंतरिक वर्ग के क्षेत्र और सभी चार सही त्रिकोण के क्षेत्रों को जोड़कर एक ही मूल्य की गणना करें: (a-b) 2 2 + 4 * 1 \\ 2 * a * b.

आप एक ही परिणाम देने के लिए एक वर्ग के क्षेत्र की गणना के लिए दोनों विकल्पों का उपयोग कर सकते हैं। और इससे आपको लिखने का अधिकार मिलता है सी 2 \u003d (ए-बी) 2 + 4 * 1 \\ 2 * ए * बी... समाधान के परिणामस्वरूप, आपको पायथागॉरियन प्रमेय का सूत्र प्राप्त होगा c 2 \u003d a 2 + b 2... प्रमेय सिद्ध है।

प्रमाण ४

इस जिज्ञासु प्राचीन चीनी प्रमाण को "ब्राइड्स चेयर" कहा जाता है - सभी निर्माणों के परिणामस्वरूप होने वाली कुर्सी जैसी आकृति के कारण:

यह उस ड्राइंग का उपयोग करता है जिसे हमने पहले ही दूसरे प्रमाण में चित्र 3 में देखा था। और साइड सी के साथ आंतरिक वर्ग का निर्माण उसी तरह किया गया है जैसे कि ऊपर दिए गए प्राचीन भारतीय प्रमाण में।

यदि आप अंजीर में ड्राइंग से मानसिक रूप से दो हरे-समकोण त्रिभुजों को काटते हैं, तो उन्हें साइड सी और कर्ण के साथ वर्ग के विपरीत दिशा में ले जाएं, बकाइन त्रिकोण के कर्ण के साथ संलग्न करें, आपको "दुल्हन की कुर्सी" नामक एक आकृति मिलती है। " (रेखा चित्र नम्बर 2)। स्पष्टता के लिए, आप पेपर स्क्वायर और त्रिकोण के साथ भी ऐसा कर सकते हैं। आप देखेंगे कि "दुल्हन की कुर्सी" दो वर्ग बनाती है: एक तरफ से छोटा ख और एक पक्ष के साथ बड़ा ए.

इन निर्माणों ने प्राचीन चीनी गणितज्ञों और हम, उनके पीछे, निष्कर्ष पर आने की अनुमति दी c 2 \u003d a 2 + b 2.

प्रमाण ५

यह ज्यामिति पर निर्भर पायथागॉरियन प्रमेय का हल खोजने का एक और तरीका है। इसे "द गारफील्ड विधि" कहा जाता है।

एक सही त्रिकोण का निर्माण एबीसी... हमें यह साबित करने की जरूरत है बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2.

ऐसा करने के लिए, पैर को जारी रखें जैसा और एक खंड ड्रा सीडीजो पैर के बराबर है अब... लंबवत कम करें विज्ञापन रेखा खंड ईडी... सेगमेंट ईडी तथा जैसा बराबर हैं। बिंदुओं को मिलाओ इ तथा में, तथा इ तथा से और नीचे की तस्वीर के अनुसार एक ड्राइंग प्राप्त करें:

टॉवर को साबित करने के लिए, हम फिर से उस विधि का सहारा लेते हैं, जिसे हमने पहले ही आजमाया है: परिणामी आकृति के क्षेत्र को दो तरीकों से ढूंढें और भावों को एक-दूसरे के बराबर करें।

एक बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए एक बिस्तर यह तीन त्रिभुजों के क्षेत्रों को जोड़कर संभव है जो इसे बनाते हैं। और उनमें से एक, ईआरयू, न केवल आयताकार है, बल्कि समद्विबाहु भी है। हम यह भी नहीं भूलते एबी \u003d सीडी, एसी \u003d ईडी तथा बीसी \u003d सीई - यह हमें रिकॉर्डिंग को सरल बनाने की अनुमति देगा और इसे अधिभार नहीं देगा। इसलिए, S ABED \u003d 2 * 1/2 (AB * AC) + 1 / 2BC 2.

इसके अलावा, यह स्पष्ट है कि एक बिस्तर एक ट्रेपोजॉइड है। इसलिए, हम सूत्र द्वारा इसके क्षेत्र की गणना करते हैं: S ABED \u003d (DE + AB) * 1 / 2AD... हमारी गणना के लिए यह खंड का प्रतिनिधित्व करने के लिए अधिक सुविधाजनक और स्पष्ट है विज्ञापन खंडों के योग के रूप में जैसा तथा सीडी.

आइए एक आकृति के क्षेत्र की गणना करने के लिए दोनों तरीके लिखते हैं, उनके बीच एक समान चिन्ह लगाते हैं: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d (DE + AB) * 1/2 (AC + CD)... हम पहले से ही ज्ञात सेगमेंट की समानता का उपयोग करते हैं और नोटेशन के दाईं ओर को सरल बनाने के लिए ऊपर वर्णित हैं: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1/2 (AB + AC) 2... अब हम कोष्ठक का विस्तार करते हैं और समानता को बदलते हैं: AB * AC + 1 / 2BC 2 \u003d 1 / 2АС 2 + 2 * 1/2 (AB * АС) + 1 / 2А + 2... सभी परिवर्तनों को पूरा करने के बाद, हमें वही मिलता है जिसकी हमें आवश्यकता होती है: बीसी 2 \u003d एसी 2 + एबी 2... हमने प्रमेय सिद्ध कर दिया है।

बेशक, सबूतों की यह सूची पूरी तरह से दूर है। पायथागॉरियन प्रमेय को वैक्टर, जटिल संख्या, अंतर समीकरण, स्टीरियोमेट्री, आदि का उपयोग करके भी साबित किया जा सकता है। और यहां तक \u200b\u200bकि भौतिकविदों: यदि, उदाहरण के लिए, तरल को वर्ग और त्रिकोणीय संस्करणों में डाला जाता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। तरल डालने से, एक परिणाम के रूप में क्षेत्रों और प्रमेय की समानता को साबित कर सकता है।

पाइथोगोरियन ट्रिपल के बारे में कुछ शब्द

यह मुद्दा स्कूल के पाठ्यक्रम में बहुत कम है या नहीं पढ़ा गया है। और फिर भी यह ज्यामिति में बहुत ही रोचक और महत्वपूर्ण है। कई गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग किया जाता है। उनका विचार आपकी आगे की शिक्षा के लिए उपयोगी हो सकता है।

तो पायथागॉरियन ट्रिपल क्या हैं? तथाकथित प्राकृतिक संख्याएं, तीन में एकत्र की जाती हैं, जिनमें से दो के वर्गों का योग वर्ग में तीसरी संख्या के बराबर है।

पायथागॉरियन ट्रिपल हो सकते हैं:

• आदिम (तीनों संख्याएँ परस्पर प्रधान हैं);
• आदिम नहीं (यदि ट्रिपल में प्रत्येक संख्या को उसी संख्या से गुणा किया जाता है, तो आपको एक नया ट्रिपल मिलता है, जो कि आदिम नहीं है)।

हमारे युग से पहले भी, प्राचीन मिस्रवासी पाइथागोरस की तीनों संख्याओं के उन्माद से मोहित थे: समस्याओं में वे 3,4 और 5 इकाइयों के पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज मानते थे। वैसे, कोई भी त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पायथागॉरियन ट्रिपलेट से संख्या के बराबर हैं, डिफ़ॉल्ट रूप से आयताकार है।

पायथागॉरियन ट्रिपल्स के उदाहरण: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15), (8, 15, 17), (12, 16) 20), (15, 20, 25), (7, 24, 25), (10, 24, 26), (20, 21, 29), (18, 24, 30), (10, 30, 34) ), (21, 28, 35), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (24, 32, 40), (9, 40, 41), (27, 36, 45) (14, 48, 50), (30, 40, 50), आदि।

प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

पाइथागोरस प्रमेय न केवल गणित में, बल्कि वास्तुकला और निर्माण, खगोल विज्ञान और यहां तक \u200b\u200bकि साहित्य में भी आवेदन पाता है।

सबसे पहले, निर्माण के बारे में: पाइथागोरस प्रमेय जटिलता के विभिन्न स्तरों की समस्याओं में इसमें व्यापक आवेदन पाता है। उदाहरण के लिए, रोमनस्क्यू विंडो देखें:

के रूप में खिड़की की चौड़ाई निरूपित करते हैं ख, तो अर्धवृत्त के त्रिज्या को निरूपित किया जा सकता है आर और के माध्यम से व्यक्त करते हैं बी: आर \u003d बी / २... छोटे अर्धवृत्त की त्रिज्या भी इसके माध्यम से व्यक्त की जाती है b: r \u003d b / 4... इस समस्या में, हम विंडो के आंतरिक सर्कल के त्रिज्या में रुचि रखते हैं (चलो इसे कॉल करें पी).

पाइथागोरस प्रमेय सिर्फ गणना करने के लिए काम में आता है आर... इसके लिए हम एक समकोण त्रिभुज का उपयोग करते हैं, जिसे आकृति में बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया गया है। त्रिभुज के कर्ण में दो त्रिज्या होते हैं: बी / ४ + पी... एक पैर त्रिज्या है बी 4, एक और बी / 2-पी... पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम लिखते हैं: (b / 4 + p) 2 \u003d (b / 4) 2 + (b / 2-p) 2... अगला, हम कोष्ठक खोलते हैं और प्राप्त करते हैं b 2/16 + bp / 2 + p 2 \u003d b 2/16 + b 2/4-bp + p 2... हम इस अभिव्यक्ति को बदल देते हैं बीपी / २ \u003d बी २ / ४-बीपी... और फिर सभी शर्तों को विभाजित करें ख, हम समान पाने के लिए देते हैं 3/2 * पी \u003d बी / 4... और अंत में हम पाएंगे पी \u003d बी / ६ - जो हमें चाहिए।

प्रमेय का उपयोग करके, आप एक विशाल छत के लिए बाद की लंबाई की गणना कर सकते हैं। निर्धारित करें कि सिग्नल को एक निश्चित निपटान तक पहुंचने के लिए मोबाइल टॉवर की कितनी उच्च आवश्यकता है। और यहां तक \u200b\u200bकि शहर के चौक में स्थायी रूप से एक क्रिसमस ट्री स्थापित किया। जैसा कि आप देख सकते हैं, यह प्रमेय न केवल पाठ्यपुस्तकों के पृष्ठों पर रहता है, बल्कि वास्तविक जीवन में अक्सर उपयोगी होता है।

साहित्य में, पाइथागोरस प्रमेय ने प्राचीन काल से लेखकों को प्रेरित किया है और हमारे समय में ऐसा करना जारी है। उदाहरण के लिए, उन्नीसवीं सदी के जर्मन लेखक एडेलबर्ट वॉन चामिसो को एक गीत लिखने के लिए प्रेरित किया गया था:

सत्य का प्रकाश जल्द नहीं घुल जाएगा
लेकिन, चमकते हुए, यह शायद ही भंग हो जाएगा
और, सदियों पहले की तरह,
संदेह और विवाद पैदा नहीं करेगा।

सबसे बुद्धिमान जब यह आंख को छूता है
सत्य का प्रकाश, देवताओं के लिए धन्यवाद;
और सौ बैल, छुरा, झूठ -
भाग्यशाली पाइथागोरस से एक पारस्परिक उपहार।

तब से, बैल बुरी तरह से गर्जना कर रहे हैं:
बैल जनजाति द्वारा हमेशा के लिए चिंतित
इस घटना का उल्लेख यहां किया गया है।

यह उन्हें लगता है: समय आने वाला है
और फिर से उनकी बलि दी जाएगी
कुछ महान प्रमेय।

(विक्टर टोपोरोव द्वारा अनुवाद)

और बीसवीं शताब्दी में, सोवियत लेखक येवगेनी वेल्टिस्टोव ने अपनी पुस्तक "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" में, पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाण के लिए एक पूरा अध्याय समर्पित किया। और द्वि-आयामी दुनिया की कहानी के लिए आधा अध्याय अधिक है, जो कि अस्तित्व में हो सकता है यदि पायथागॉरियन प्रमेय एक ही दुनिया के लिए मौलिक कानून और यहां तक \u200b\u200bकि धर्म बन गया। इसमें रहना बहुत आसान होगा, लेकिन बहुत अधिक उबाऊ भी: उदाहरण के लिए, कोई भी "गोल" और "शराबी" शब्दों के अर्थ को नहीं समझता है।

और पुस्तक में "द एडवेंचर्स ऑफ इलेक्ट्रॉनिक्स" लेखक, शिक्षक टीचर के मुंह के माध्यम से, तारेतार कहते हैं: "गणित में मुख्य चीज विचार, नए विचारों का आंदोलन है।" यह विचार की यह रचनात्मक उड़ान है जो पाइथागोरस प्रमेय को उत्पन्न करती है - यह कुछ भी नहीं है कि इसके कई अलग-अलग प्रमाण हैं। यह परिचित की सीमाओं से परे जाने में मदद करता है, और परिचित चीजों को नए तरीके से देखता है।

निष्कर्ष

यह लेख इसलिए बनाया गया था ताकि आप गणित में स्कूल के पाठ्यक्रम से परे देख सकें और न केवल पाइथागोरस प्रमेय के प्रमाणों का पता लगा सकें, जो कि पाठ्यपुस्तकों "ज्योमेट्री 7-9" (L. S. Atanasyan, V. N. रुडेंको) और "ज्योमेट्री 7" में दिए गए हैं। -11 "(एवी पोगोरेलोव), लेकिन प्रसिद्ध प्रमेय साबित करने के लिए अन्य दिलचस्प तरीके भी। और यह भी देखें कि रोजमर्रा की जिंदगी में पायथागॉरियन प्रमेय कैसे लागू किया जा सकता है।

सबसे पहले, यह जानकारी आपको गणित के पाठों में उच्च स्कोर के लिए अर्हता प्राप्त करने की अनुमति देगी - अतिरिक्त स्रोतों से इस विषय पर जानकारी हमेशा अत्यधिक सराहना की जाती है।

दूसरी बात, हम यह समझने में मदद करना चाहते थे कि गणित कितना रोचक है। विशिष्ट उदाहरणों के साथ सुनिश्चित करें कि इसमें रचनात्मकता के लिए हमेशा एक जगह है। हमें उम्मीद है कि पाइथागोरस प्रमेय और यह लेख गणित और अन्य विज्ञानों में आपकी स्वतंत्र खोज और रोमांचक खोजों को प्रेरित करेगा।

अगर आपको इस लेख में साक्ष्य रोचक लगे तो हमें टिप्पणियों में बताएं। क्या यह जानकारी आपके अध्ययन में आपके लिए उपयोगी थी? हमें लिखें कि आप पाइथागोरस प्रमेय और इस लेख के बारे में क्या सोचते हैं - हम आपके साथ इस सब पर चर्चा करने में प्रसन्न होंगे।

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एक बात में, आप एक सौ प्रतिशत सुनिश्चित हो सकते हैं कि यह पूछे जाने पर कि कर्ण का वर्ग क्या है, कोई भी वयस्क साहसपूर्वक उत्तर देगा: "पैरों के वर्ग का योग।" यह प्रमेय हर शिक्षित व्यक्ति के दिमाग में दृढ़ता से भरा हुआ है, लेकिन यह किसी को यह साबित करने के लिए कहने के लिए पर्याप्त है, और फिर कठिनाइयां पैदा हो सकती हैं। इसलिए, आइए पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों को याद रखें और विचार करें।

संक्षिप्त जीवनी

पाइथागोरस प्रमेय लगभग सभी को परिचित है, लेकिन किसी कारण से उस व्यक्ति की जीवनी जिसने इसे जन्म दिया, वह इतना लोकप्रिय नहीं है। यह निश्चित है। इसलिए, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों का अध्ययन करने से पहले, आपको उनके व्यक्तित्व से संक्षेप में परिचित होने की आवश्यकता है।

पाइथागोरस एक दार्शनिक, गणितज्ञ, विचारक हैं, जो मूल रूप से आज के हैं, इस महापुरुष की याद में बनाई गई किंवदंतियों से उनकी जीवनी को अलग करना बहुत मुश्किल है। लेकिन अपने अनुयायियों के लेखन के अनुसार, समोस के पाइथागोरस का जन्म समोस द्वीप पर हुआ था। उनके पिता एक साधारण पत्थर काटने वाले थे, लेकिन उनकी माँ एक कुलीन परिवार से थीं।

किंवदंती के अनुसार, पाइथागोरस के जन्म की भविष्यवाणी पायथिया नामक एक महिला ने की थी, जिसके सम्मान में लड़के का नाम रखा गया था। उसकी भविष्यवाणी के अनुसार, एक जन्मजात लड़के को मानवता के लिए कई लाभ और अच्छाईयां मिलनी चाहिए। जो उसने वास्तव में किया था।

प्रमेय का जन्म

अपनी युवावस्था में, पाइथागोरस मिस्र के प्रसिद्ध संतों के साथ वहाँ मिलने के लिए चले गए। उनसे मिलने के बाद, उन्हें अध्ययन के लिए भर्ती कराया गया, जहाँ उन्होंने मिस्र के दर्शन, गणित और चिकित्सा की सभी महान उपलब्धियों को सीखा।

संभवतः, यह मिस्र में था कि पाइथागोरस पिरामिड की महिमा और सुंदरता से प्रेरित था और उसने अपना महान सिद्धांत बनाया। इससे पाठकों को झटका लग सकता है, लेकिन आधुनिक इतिहासकारों का मानना \u200b\u200bहै कि पाइथागोरस ने अपने सिद्धांत को साबित नहीं किया। वह केवल अपने अनुयायियों के लिए अपने ज्ञान को पारित करता था, जिसने बाद में सभी आवश्यक गणितीय गणनाओं को पूरा किया।

जैसा कि यह हो सकता है, आज इस प्रमेय को साबित करने का एक तरीका नहीं है, लेकिन एक बार में कई। आज हम केवल अनुमान लगा सकते हैं कि प्राचीन यूनानियों ने वास्तव में अपनी गणना कैसे की थी, इसलिए यहां हम पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करेंगे।

पाइथागोरस प्रमेय

किसी भी गणना को शुरू करने से पहले, आपको यह पता लगाना होगा कि किस सिद्धांत को सिद्ध किया जाना है। पाइथागोरस प्रमेय इस तरह पढ़ता है: "एक त्रिकोण में, जिसमें कोणों में से एक 90 ° है, पैरों के वर्गों का योग कर्ण के वर्ग के बराबर है।"

कुल मिलाकर, पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के लिए 15 अलग-अलग तरीके हैं। यह एक काफी बड़ा आंकड़ा है, तो आइए उनमें से सबसे लोकप्रिय पर ध्यान दें।

विधि एक

सबसे पहले, आइए नामित करें कि हमें क्या दिया गया है। ये डेटा पायथागॉरियन प्रमेय साबित करने के अन्य तरीकों पर भी लागू होंगे, इसलिए आपको तुरंत सभी उपलब्ध संकेतन को याद रखना चाहिए।

मान लीजिए कि एक समकोण त्रिभुज दिया गया है, जिसमें पैर a, b और c के बराबर कर्ण है। प्रमाण की पहली विधि इस तथ्य पर आधारित है कि एक वर्ग को समकोण त्रिभुज से खींचना चाहिए।

ऐसा करने के लिए, आपको लेग बी के पैर के बराबर एक सेगमेंट खींचने की आवश्यकता है, और इसके विपरीत। यह वर्ग के दो बराबर पक्षों को बनाना चाहिए। यह केवल दो समानांतर रेखाएँ खींचने के लिए बनी हुई है, और वर्ग तैयार है।

परिणामी आकृति के अंदर, आपको मूल त्रिकोण के कर्ण के बराबर एक और वर्ग खींचने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, कोने और एसवी से, आपको सी के बराबर दो समानांतर खंड खींचने की आवश्यकता है। इस प्रकार, हम वर्ग के तीन पक्ष प्राप्त करते हैं, जिनमें से एक मूल समकोण त्रिभुज का कर्ण है। यह केवल चौथे खंड को समाप्त करने के लिए बनी हुई है।

परिणामी आकृति के आधार पर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल (a + b) 2 है। यदि आप आकृति के अंदर देखते हैं, तो आप देख सकते हैं कि आंतरिक वर्ग के अलावा, इसमें चार समकोण त्रिभुज हैं। प्रत्येक का क्षेत्र 0.5 एवी है।

इसलिए, क्षेत्र है: 4 * 0.5av + s 2 \u003d 2av + s 2

इसलिए (a + b) 2 \u003d 2ab + c 2

और इसलिए c 2 \u003d a 2 + b 2

प्रमेय सिद्ध है।

विधि दो: समान त्रिकोण

पायथागॉरियन प्रमेय के प्रमाण के लिए यह सूत्र समान त्रिकोण के बारे में ज्यामिति अनुभाग के एक बयान के आधार पर निकाला गया था। यह कहता है कि एक समकोण त्रिभुज का पैर अपने कर्ण के लिए आनुपातिक औसत और 90 ° कोण के शीर्ष से निकलने वाले कर्ण के खंड है।

प्रारंभिक डेटा समान रहता है, इसलिए आइए प्रमाण के साथ तुरंत शुरू करें। आइए, एस.डी. लंब के एक खंड को AB की ओर खींचें। उपरोक्त कथन के आधार पर, त्रिकोण के पैर हैं:

AC \u003d *AB * HELL, SV \u003d *AB * DV।

पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध किया जाए, इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, दोनों असमानताओं को चुकता करके प्रमाण को पूरा किया जाना चाहिए।

एसी 2 \u003d एबी * एचईएल और एसवी 2 \u003d एबी * डीवी

अब आपको परिणामी असमानताओं को जोड़ने की जरूरत है।

एसी 2 + एसवी 2 \u003d एबी * (एचईएल * डीवी), जहां एचईएल + डीवी \u003d एबी

यह पता चला:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी * एबी

और इसीलिए:

एसी 2 + सीबी 2 \u003d एबी 2

पाइथागोरस प्रमेय के सबूत और इसे हल करने के विभिन्न तरीकों को इस समस्या के लिए एक बहुमुखी दृष्टिकोण की आवश्यकता है। हालांकि, यह विकल्प सबसे सरल में से एक है।

एक और गणना तकनीक

पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों का वर्णन कुछ भी नहीं कह सकता है, जब तक कि आप अपने दम पर अभ्यास करना शुरू नहीं करते। कई तकनीकों में न केवल गणितीय गणना शामिल है, बल्कि मूल त्रिकोण से नए आंकड़ों का निर्माण भी शामिल है।

इस मामले में, बीसी पैर से एक और वीएसडी समकोण त्रिभुज को पूरा करना आवश्यक है। इस प्रकार, अब एक सामान्य पैर ईसा पूर्व के साथ दो त्रिकोण हैं।

यह जानते हुए कि इस तरह के आंकड़ों के क्षेत्रों में उनके समान रैखिक आयामों के वर्गों का अनुपात है, फिर:

S avd * s 2 - S avd * a 2 \u003d S avd * a 2 - S awd * a 2

S abc * (s 2 -v 2) \u003d a 2 * (S abd -S vd)

s 2 -v 2 \u003d a 2

c 2 \u003d a 2 + b 2

चूंकि यह विकल्प ग्रेड 8 के लिए पायथागॉरियन प्रमेय साबित करने के विभिन्न तरीकों से शायद ही उपयुक्त है, आप निम्न तकनीक का उपयोग कर सकते हैं।

पायथागॉरियन प्रमेय साबित करने का सबसे आसान तरीका। समीक्षा

इतिहासकारों का मानना \u200b\u200bहै कि इस पद्धति का उपयोग पहली बार प्राचीन ग्रीस में एक प्रमेय को साबित करने के लिए किया गया था। यह सबसे सरल है, क्योंकि इसके लिए किसी भी गणना की आवश्यकता नहीं है। यदि आप आंकड़ा सही ढंग से खींचते हैं, तो कथन का प्रमाण कि 2 + 2 \u003d c 2 में स्पष्ट रूप से दिखाई देगा।

इस पद्धति की शर्तें पिछले वाले से थोड़ी अलग होंगी। प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि समकोण त्रिभुज ABC है समद्विबाहु।

हम वर्ग के पक्ष के रूप में एसी कर्ण को लेते हैं और इसके तीन पक्षों को अधीन करते हैं। इसके अलावा, आपको परिणामी वर्ग में दो विकर्ण रेखाएं खींचने की आवश्यकता है। ताकि इसके अंदर चार समद्विबाहु त्रिभुज हों।

पैर एबी और सीबी तक, आपको प्रत्येक वर्ग में एक और एक विकर्ण रेखा खींचने की भी आवश्यकता है। पहली पंक्ति शीर्ष A से खींची गई है, दूसरी C से।

अब आपको परिणामस्वरूप ड्राइंग पर बारीकी से देखने की आवश्यकता है। चूंकि एसी कर्ण पर मूल एक के बराबर चार त्रिकोण हैं, और पैरों पर दो, यह इस प्रमेय की सच्चाई को इंगित करता है।

वैसे, पायथागॉरियन प्रमेय साबित करने के इस तरीके के लिए धन्यवाद, प्रसिद्ध वाक्यांश का जन्म हुआ: "पायथागॉरियन पैंट सभी दिशाओं में समान हैं।"

जे। गारफील्ड का प्रमाण

जेम्स गारफील्ड संयुक्त राज्य अमेरिका के 20 वें राष्ट्रपति हैं। संयुक्त राज्य के शासक के रूप में इतिहास पर अपनी छाप छोड़ने के अलावा, वह एक प्रतिभाशाली स्व-सिखाया हुआ व्यक्ति भी था।

अपने करियर की शुरुआत में, वह एक लोक विद्यालय में एक साधारण शिक्षक थे, लेकिन जल्द ही उच्च शिक्षा संस्थानों में से एक के निदेशक बन गए। स्व-विकास की इच्छा ने उन्हें पाइथागोरस प्रमेय साबित करने के लिए एक नए सिद्धांत का प्रस्ताव करने की अनुमति दी। प्रमेय और इसके समाधान का एक उदाहरण इस प्रकार है।

सबसे पहले, आपको कागज की शीट पर दो समकोण त्रिभुज खींचना होगा ताकि उनमें से एक का पैर दूसरे की एक निरंतरता हो। इन त्रिभुजों के शीर्षों को अंत में एक समलम्बाकार बनाने के लिए जुड़ा होना चाहिए।

जैसा कि आप जानते हैं, एक ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र उसके आधारों और ऊंचाई के आधे-योग के उत्पाद के बराबर है।

S \u003d a + b / 2 * (a + b)

यदि हम परिणामी समलम्बाकार को तीन त्रिभुजों वाली आकृति के रूप में मानते हैं, तो इसका क्षेत्र निम्नानुसार पाया जा सकता है:

एस \u003d एवी / 2 * 2 + एस 2/2

अब आपको दो मूल भावों की बराबरी करने की जरूरत है

2av / 2 + s / 2 \u003d (a + b) 2/2

c 2 \u003d a 2 + b 2

एक पाठ्यपुस्तक की एक से अधिक मात्रा पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीकों के बारे में लिखी जा सकती है। लेकिन क्या यह समझ में आता है जब यह ज्ञान व्यवहार में लागू नहीं किया जा सकता है?

पायथागॉरियन प्रमेय का व्यावहारिक अनुप्रयोग

दुर्भाग्य से, आधुनिक स्कूल पाठ्यक्रम केवल ज्यामितीय समस्याओं में इस प्रमेय के उपयोग के लिए प्रदान करते हैं। स्नातक जल्द ही स्कूल की दीवारों को छोड़ देंगे, न जाने कैसे वे अपने ज्ञान और कौशल को व्यवहार में लागू कर सकते हैं।

वास्तव में, हर कोई अपने दैनिक जीवन में पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग कर सकता है। और न केवल पेशेवर गतिविधियों में, बल्कि साधारण घरेलू कामों में भी। आइए कई मामलों पर विचार करें जब पाइथागोरस प्रमेय और इसके प्रमाण के तरीके अत्यंत आवश्यक हो सकते हैं।

प्रमेय और खगोल विज्ञान के बीच संबंध

ऐसा लगता है कि कागज पर तारों और त्रिकोणों को कैसे जोड़ा जा सकता है। वास्तव में, खगोल विज्ञान एक वैज्ञानिक क्षेत्र है जिसमें पाइथागोरस प्रमेय का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष में एक प्रकाश किरण की गति पर विचार करें। यह ज्ञात है कि प्रकाश एक ही गति से दोनों दिशाओं में चलता है। प्रक्षेपवक्र एबी, जिसे प्रकाश किरण चलती है, कहा जाता है एल. और प्रकाश का समय बिंदु A से बिंदु B तक पहुंचने में आधा समय लगता है, चलो कॉल करते हैं टी... और बीम की गति - सी. यह पता चला: c * t \u003d l

यदि आप एक अन्य विमान से इस किरण को देखते हैं, उदाहरण के लिए, एक अंतरिक्ष लाइनर से, जो गति v के साथ चलता है, तो निकायों के इस तरह के अवलोकन से उनकी गति बदल जाएगी। इस मामले में, यहां तक \u200b\u200bकि स्थिर तत्व विपरीत दिशा में गति वी के साथ आगे बढ़ेंगे।

मान लें कि कॉमिक लाइनर दाईं ओर नौकायन कर रहा है। फिर ए और बी को इंगित करता है, जिसके बीच किरण को फेंक दिया जाता है, बाईं ओर चलेगा। इसके अलावा, जब बीम बिंदु A से बिंदु B तक जाती है, तो बिंदु A के पास स्थानांतरित होने का समय होता है और, तदनुसार, प्रकाश पहले से ही एक नए बिंदु C. पर पहुंच जाएगा। आधी दूरी जिस बिंदु पर A स्थानांतरित हो गई है, उसे खोजने के लिए, आपको बीम के यात्रा समय से आधे तक लाइनर की गति को गुणा करना होगा (t ”)।

और यह जानने के लिए कि इस समय के दौरान प्रकाश किरण कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है, आपको एक नए अक्षर के साथ आधे रास्ते को नामित करने की आवश्यकता है और निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करें:

यदि हम कल्पना करते हैं कि प्रकाश सी और बी के बिंदु, साथ ही साथ अंतरिक्ष लाइनर समद्विबाहु त्रिकोण के कोने हैं, तो बिंदु ए से लाइनर तक का खंड इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करेगा। इसलिए, पायथागॉरियन प्रमेय के लिए धन्यवाद, आप उस दूरी को पा सकते हैं जो प्रकाश की किरण यात्रा कर सकती है।

यह उदाहरण, निश्चित रूप से, सबसे सफल नहीं है, क्योंकि कुछ ही प्रैक्टिस में इसे आज़माने के लिए पर्याप्त भाग्यशाली हो सकते हैं। इसलिए, हम इस प्रमेय के अधिक सांसारिक अनुप्रयोगों पर विचार करेंगे।

मोबाइल सिग्नल ट्रांसमिशन रेडियस

स्मार्टफोन के अस्तित्व के बिना आधुनिक जीवन की कल्पना करना पहले से ही असंभव है। लेकिन अगर वे मोबाइल संचार के माध्यम से ग्राहकों को कनेक्ट नहीं कर सकते हैं तो उनका बहुत उपयोग होगा! "

मोबाइल संचार की गुणवत्ता सीधे मोबाइल ऑपरेटर के एंटीना की ऊंचाई पर निर्भर करती है। मोबाइल टॉवर से फोन को कितनी दूर तक सिग्नल मिल सकता है, इसकी गणना करने के लिए, आप पाइथागोरस प्रमेय लागू कर सकते हैं।

मान लीजिए कि आपको एक स्थिर टॉवर की अनुमानित ऊँचाई खोजने की आवश्यकता है ताकि यह 200 किलोमीटर के दायरे में एक सिग्नल का प्रसार कर सके।

एबी (टॉवर ऊंचाई) \u003d x;

विमान (सिग्नल ट्रांसमिशन रेडियस) \u003d 200 किमी;

ओएस (ग्लोब की त्रिज्या) \u003d 6380 किमी;

OB \u003d OA + ABOV \u003d r + x

पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमें पता चलता है कि टॉवर की न्यूनतम ऊंचाई 2.3 किलोमीटर होनी चाहिए।

रोजमर्रा की जिंदगी में पाइथागोरस प्रमेय

अजीब तरह से, पाइथागोरस प्रमेय उदाहरण के लिए, जैसे कि एक अलमारी की ऊंचाई निर्धारित करने जैसे रोजमर्रा के मामलों में भी उपयोगी हो सकता है। पहली नज़र में, इस तरह की जटिल गणनाओं का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि आप केवल टेप माप के साथ माप ले सकते हैं। लेकिन कई आश्चर्य है कि विधानसभा प्रक्रिया के दौरान कुछ समस्याएं क्यों आती हैं, अगर सभी माप सही से अधिक लिए गए थे।

तथ्य यह है कि अलमारी को एक क्षैतिज स्थिति में इकट्ठा किया जाता है और उसके बाद ही यह उगता है और दीवार के खिलाफ स्थापित होता है। इसलिए, संरचना को उठाने की प्रक्रिया में कैबिनेट का पक्ष कमरे की ऊंचाई और तिरछे दोनों में स्वतंत्र रूप से पास होना चाहिए।

मान लीजिए कि आपके पास 800 मिमी की गहराई वाली एक अलमारी है। फर्श से छत तक की दूरी - 2600 मिमी। एक अनुभवी फर्नीचर निर्माता आपको बताएगा कि कैबिनेट की ऊंचाई कमरे की ऊंचाई से 126 मिमी कम होनी चाहिए। लेकिन ठीक 126 मिमी क्यों? आइए एक उदाहरण देखें।

आदर्श कैबिनेट आयामों के साथ, हम पायथागॉरियन प्रमेय की कार्रवाई की जाँच करते हैं:

एसी \u003d √AB 2 + 2BC 2

एसी \u003d mm2474 2 +800 2 \u003d 2600 मिमी - सब कुछ परिवर्तित होता है।

मान लीजिए कि कैबिनेट की ऊंचाई 2474 मिमी नहीं है, लेकिन 2505 मिमी है। फिर:

एसी \u003d \u003d2505 2 + 2800 2 \u003d 2629 मिमी।

इसलिए, यह कैबिनेट इस कमरे में स्थापना के लिए उपयुक्त नहीं है। चूंकि इसे एक ईमानदार स्थिति में उठाने से इसका शरीर खराब हो सकता है।

शायद, विभिन्न वैज्ञानिकों द्वारा पाइथागोरस प्रमेय को साबित करने के विभिन्न तरीकों पर विचार करने के बाद, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह सच से अधिक है। अब आप अपने रोजमर्रा के जीवन में प्राप्त जानकारी का उपयोग कर सकते हैं और पूरी तरह से सुनिश्चित करें कि सभी गणना न केवल उपयोगी होगी, बल्कि सही भी होगी।

सुनिश्चित करें कि आपके द्वारा दिया गया त्रिभुज समकोण है, क्योंकि पायथागॉरियन प्रमेय केवल समकोण त्रिभुज पर लागू होता है। समकोण त्रिभुजों में, तीन कोणों में से एक हमेशा 90 डिग्री होता है।

• एक समकोण त्रिभुज में एक समकोण एक वक्र के बजाय एक वर्ग आइकन द्वारा इंगित किया जाता है, जो तिरछा कोण इंगित करता है।

त्रिकोण के पक्षों के लिए दिशा-निर्देश जोड़ें। पैरों को "ए" और "बी" के रूप में लेबल करें (पैर - समकोण पर स्थित पक्ष), और कर्ण को "सी" (कर्ण - दाएं कोण का सबसे बड़ा पक्ष जो समकोण के विपरीत स्थित है)।

निर्धारित करें कि आप किस त्रिभुज को ढूंढना चाहते हैं। पाइथागोरस प्रमेय आपको एक सही त्रिकोण के किसी भी पक्ष को खोजने की अनुमति देता है (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)। निर्धारित करें कि किस पक्ष (ए, बी, सी) को खोजने के लिए।

• उदाहरण के लिए, 5 के बराबर कर्ण दिया जाता है, और 3. के बराबर एक पैर दिया जाता है। इस मामले में, आपको दूसरा पैर खोजने की आवश्यकता है। हम बाद में इस उदाहरण पर वापस आएंगे।
• यदि अन्य दो पक्ष अज्ञात हैं, तो पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करने में सक्षम होने के लिए अज्ञात पक्षों में से एक की लंबाई का पता लगाना आवश्यक है। ऐसा करने के लिए, मूल त्रिकोणमितीय फ़ंक्शंस का उपयोग करें (यदि आपको तिरछे कोणों में से एक का मान दिया जाता है)।

सूत्र 2 + b 2 \u003d c 2 में दिए गए मान आपके लिए दिए गए मान (या आपके द्वारा पाए गए मान)। याद रखें कि ए और बी पैर हैं और सी कर्ण है।

• हमारे उदाहरण में, लिखें: 3² + b² \u003d 5:।

प्रत्येक पक्ष को आप जानते हैं। या डिग्री छोड़ दें - आप बाद में संख्याओं को वर्ग कर सकते हैं।

• हमारे उदाहरण में, लिखें: 9 + b² \u003d 25।

समीकरण के एक तरफ अज्ञात पक्ष को अलग करें। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मानों को समीकरण के दूसरी तरफ स्थानांतरित करें। यदि आप कर्ण को खोजते हैं, तो पाइथागोरस प्रमेय में यह समीकरण के एक तरफ पहले से ही अलग है (इसलिए कुछ भी करने की आवश्यकता नहीं है)।

• हमारे उदाहरण में, अज्ञात b² को अलग करने के लिए समीकरण के दाईं ओर 9 स्थानांतरित करें। आपको b² \u003d 16 मिलेगा।

समीकरण के दोनों किनारों के वर्गमूल को निकालें, समीकरण के एक तरफ एक अज्ञात (चुकता) है और दूसरी तरफ एक अवरोधन (संख्या) है।

• हमारे उदाहरण में, b our \u003d 16. समीकरण के दोनों पक्षों का वर्गमूल लें और b \u003d 4 प्राप्त करें। इसलिए दूसरा पैर 4 है।

अपने दैनिक जीवन में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें, क्योंकि यह विभिन्न प्रकार की व्यावहारिक स्थितियों में लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, रोज़मर्रा के जीवन में समकोण त्रिभुजों को पहचानना सीखें - किसी भी स्थिति में जिसमें दो वस्तुएं (या रेखाएं) समकोण पर प्रतिच्छेद करती हैं, और एक तीसरी वस्तु (या रेखा) पहले दो वस्तुओं (या रेखाओं) के शीर्ष (तिरछे) को जोड़ती है, आप अज्ञात पक्ष को खोजने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें (यदि अन्य दो पक्ष ज्ञात हैं)।

• उदाहरण: एक इमारत के खिलाफ एक सीढ़ी चढ़ा दिया। दीवार के आधार से सीढ़ियों के नीचे 5 मीटर है। सीढ़ियों का शीर्ष जमीन से 20 मीटर (दीवार के ऊपर) है। सीढ़ियां कितनी लंबी हैं?
  • "दीवार के आधार से 5 मीटर" का अर्थ है कि एक \u003d 5; "जमीन से 20 मीटर की दूरी पर है" का अर्थ है कि b \u003d 20 (यानी, आपको एक दाहिने त्रिकोण के दो पैर दिए गए हैं, क्योंकि भवन की दीवार और पृथ्वी की सतह समकोण पर स्थित है)। सीढ़ी की लंबाई कर्ण की लंबाई है, जो अज्ञात है।
    • a² + b² \u003d c²
    • (5) 5 + (20) ² \u003d c²
    • 25 + 400 \u003d c +
    • 425 \u003d c²
    • c \u003d 25425
    • s \u003d 20.6। इस प्रकार, सीढ़ियों की अनुमानित लंबाई 20.6 मीटर है।

अनुदेश

यदि आपको पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार गणना करने की आवश्यकता है, तो निम्न एल्गोरिथ्म का उपयोग करें: - त्रिकोण में निर्धारित करें कि कौन से पक्ष पैर और कर्ण हैं। नब्बे डिग्री का कोण बनाने वाले दोनों पक्ष पैर हैं, शेष तीसरा कर्ण है। (सेमी) - इस त्रिकोण के प्रत्येक पैर को दूसरी शक्ति तक बढ़ाएं, अर्थात, अपने आप से गुणा करें। उदाहरण 1. यदि कर्ण में एक पैर 12 सेमी है, और दूसरा 5 सेमी है, तो कर्ण की गणना करना आवश्यक है। सबसे पहले, पैरों के वर्ग बराबर हैं: 12 * 12 \u003d 144 सेमी और 5 * 5 \u003d 25 सेमी - अगला, वर्गों का योग निर्धारित करें। पैर। एक निश्चित संख्या है कर्ण, आपको खोजने के लिए संख्या की दूसरी शक्ति से छुटकारा पाने की आवश्यकता है लंबाई त्रिकोण के इस तरफ। ऐसा करने के लिए, वर्गमूल के नीचे से पैरों के वर्गों का योग निकालें। उदाहरण 1.14 + 25 \u003d 169। 169 का वर्गमूल 13. होगा। इसलिए, दी गई लंबाई कर्ण 13 सेमी के बराबर है।

लंबाई की गणना करने का दूसरा तरीका कर्ण एक त्रिभुज में साइन और कोणों की शब्दावली में समाहित हैं। परिभाषा के अनुसार: कोण अल्फा की साइन - कर्ण के विपरीत पैर। अर्थात्, आकृति को देखते हुए, पाप a \u003d CB / AB। इसलिए, कर्ण AB \u003d CB / sin a। उदाहरण 2। कोण को 30 डिग्री होने दें, और विपरीत पैर 4 सेमी है। आपको कर्ण को खोजने की आवश्यकता है। हल: एबी \u003d 4 सेमी / पाप 30 \u003d 4 सेमी / 0.5 \u003d 8 सेमी। उत्तर: लंबाई कर्ण 8 सेमी के बराबर है।

खोजने का एक समान तरीका कर्ण कोण के कोसाइन की परिभाषा से। कोण का कोसाइन आसन्न पैर का अनुपात है और कर्ण... अर्थात्, a \u003d AC / AB, इसलिए AB \u003d AC / cos a। उदाहरण 3. त्रिभुज ABC में, AB कर्ण है, कोण BAC 60 डिग्री है, पैर AC 2 सेमी है। AB खोजें।
हल: AB \u003d AC / cos 60 \u003d 2 / 0.5 \u003d 4 cm। उत्तर: कर्ण लंबाई में 4 सेमी है।

उपयोगी सलाह

जब किसी कोण की साइन या कोसाइन वैल्यू का पता लगाते हैं, तो साइन और कोसाइन टेबल या ब्रैडिस टेबल का उपयोग करें।

टिप 2: एक सही त्रिकोण में कर्ण की लंबाई कैसे पता करें

समकोण त्रिभुज में सबसे लंबे पक्ष को कर्ण कहा जाता है, इसलिए यह आश्चर्य की बात नहीं है कि इस शब्द का ग्रीक से "खिंचाव" के रूप में अनुवाद किया गया है। यह पक्ष हमेशा 90 ° के कोण के विपरीत होता है, और इस कोण को बनाने वाले पक्षों को पैर कहा जाता है। इन पक्षों की लंबाई और इन मूल्यों के विभिन्न संयोजनों में तीव्र कोणों के परिमाण को जानने के बाद, कर्ण की लंबाई की गणना करना संभव है।

अनुदेश

यदि दोनों त्रिभुजों (ए और बी) की लंबाई ज्ञात है, तो कर्ण की लंबाई (सी) का उपयोग करें, शायद सबसे प्रसिद्ध गणितीय पश्चात - पायथागॉरियन प्रमेय। यह कहता है कि कर्ण की लंबाई का वर्ग पैरों की लंबाई के वर्गों का योग है, जिसमें से यह इस प्रकार है कि आपको दो पक्षों के वर्ग लंबाई के योग की गणना करनी चाहिए: C \u003d √ (A² + B²)। उदाहरण के लिए, यदि एक पैर की लंबाई 15, - 10 सेंटीमीटर है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 18.0277564 सेंटीमीटर होगी, चूंकि √ (15² + 10²) \u003d √ (225 + 100) \u003d √325≈18.0277564।

यदि एक समकोण त्रिभुज में केवल एक पैर (A) की लंबाई ज्ञात है, साथ ही इसके विपरीत कोण (α) का मान है, तो कर्ण की लंबाई (C) त्रिकोणमितीय कार्यों में से एक का उपयोग करके की जा सकती है - साइन। ऐसा करने के लिए, ज्ञात कोण की साइन द्वारा ज्ञात पक्ष की लंबाई को विभाजित करें: C \u003d A / sin (α)। उदाहरण के लिए, यदि पैरों में से एक की लंबाई 15 सेंटीमीटर है, और त्रिकोण के विपरीत शीर्ष पर कोण 30 ° है, तो कर्ण की लंबाई 30 सेंटीमीटर होगी, 15 / sin (30 °) - 15 या 0.5 \u003d 30 के बाद से।

यदि एक तीव्र कोण (α) और आसन्न पैर (B) की लंबाई को एक समकोण त्रिभुज में जाना जाता है, तो कर्ण की लंबाई (C) - कोसाइन की गणना करने के लिए एक और त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है। आपको ज्ञात कोण के कोसाइन द्वारा ज्ञात पैर की लंबाई को विभाजित करना चाहिए: C \u003d B / cos (α)। उदाहरण के लिए, यदि इस पैर की लंबाई 15 सेंटीमीटर है, और इससे सटे तीव्र कोण 30 ° है, तो कर्ण की लंबाई लगभग 17.3205081 सेंटीमीटर होगी, चूंकि 15 / cos (30 °) 15 / (0.5 *) √3) \u003d 30 / ≈3≈17.3205081।

यह एक खंड के दो बिंदुओं के बीच की दूरी को लंबाई से निरूपित करने के लिए प्रथागत है। यह एक सीधी रेखा, एक टूटी हुई रेखा या एक बंद रेखा हो सकती है। यदि आप खंड के कुछ अन्य संकेतकों को जानते हैं तो लंबाई की गणना काफी सरल तरीके से की जा सकती है।

अनुदेश

यदि आपको एक वर्ग के एक पक्ष की लंबाई का पता लगाने की आवश्यकता है, तो यह काम नहीं करेगा यदि आप इसके क्षेत्र को जानते हैं। इस तथ्य के कारण कि एक वर्ग के सभी पक्ष हैं

प्रत्येक छात्र जानता है कि कर्ण का वर्ग हमेशा पैरों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक को चुकता किया जाता है। इस कथन को पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। यह सामान्य रूप से त्रिकोणमिति और गणित में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है। आइए इसे और अधिक विस्तार से विचार करें।

एक सही त्रिकोण की अवधारणा

पाइथागोरस प्रमेय के विचार पर आगे बढ़ने से पहले, जिसमें कर्ण का वर्ग वर्ग के पैरों के योग के बराबर है, एक को समकोण त्रिभुज की अवधारणा और गुणों पर विचार करना चाहिए, जिसके लिए प्रमेय मान्य है।

त्रिभुज एक समतल आकृति है जिसमें तीन कोने और तीन भुजाएँ होती हैं। एक समकोण त्रिभुज, जैसा कि इसके नाम से पता चलता है, इसका एक समकोण है, अर्थात यह कोण 90 o है।

सभी त्रिभुजों के लिए सामान्य गुणों से, यह ज्ञात है कि इस आकृति के सभी तीन कोणों का योग 180 o है, जिसका अर्थ है कि एक त्रिभुज के लिए दो कोणों का योग जो सही नहीं है 180 o - 90 o \u003d 90 o है। उत्तरार्द्ध तथ्य का मतलब है कि एक सही त्रिकोण में कोई भी कोण जो सही नहीं है, हमेशा 90 ओ से कम होगा।

समकोण के विपरीत स्थित पक्ष को कर्ण कहा जाता है। अन्य दो पक्ष त्रिकोण के पैर हैं, वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं, या वे अलग-अलग हो सकते हैं। यह त्रिकोणमिति से ज्ञात होता है कि त्रिभुज में जितना बड़ा कोण होता है, उसके विपरीत इस पक्ष की लंबाई उतनी ही अधिक होती है। इसका मतलब यह है कि एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण (कोण 90 o के विपरीत स्थित है) हमेशा किसी भी पैर से अधिक होगा (कोण के विपरीत झूठ)< 90 o).

पाइथागोरस प्रमेय का गणितीय अंकन

यह प्रमेय बताता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक पहले से चुकता है। इस सूत्रीकरण को गणितीय रूप से लिखने के लिए, एक समकोण त्रिभुज पर विचार करें जिसमें क्रमशः a, b, और c दो पैर और एक कर्ण हैं। इस मामले में, प्रमेय, जो कि कर्ण के वर्ग के रूप में तैयार किया गया है, पैरों के वर्गों के योग के बराबर है, निम्न सूत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है: c 2 \u003d a 2 + b 2। यहाँ से, अभ्यास सूत्र के लिए अन्य महत्वपूर्ण प्राप्त किए जा सकते हैं: a \u003d c (c 2 - b 2), b \u003d - (c 2 - a 2) और c \u003d √ (a 2 + b 2)।

ध्यान दें कि समकोण समबाहु त्रिभुज के मामले में, अर्थात, \u003d b, सूत्रीकरण: कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक को चुकता किया गया है, गणितीय रूप से निम्नानुसार लिखा गया है: c 2 \u003d a 2 + b 2 \u003d 2a 2, जो समानता का तात्पर्य करता है: c \u003d a√2।

इतिहास का संदर्भ

पाइथागोरस प्रमेय, जो कहता है कि कर्ण का वर्ग पैरों के योग के बराबर है, जिनमें से प्रत्येक को चुकता किया गया था, प्रसिद्ध ग्रीक दार्शनिक ने इस पर ध्यान आकर्षित करने से बहुत पहले जाना था। प्राचीन मिस्र के कई पिपरी, साथ ही बेबीलोनियों की मिट्टी की गोलियाँ, पुष्टि करती हैं कि इन लोगों ने एक समकोण त्रिभुज के पक्षों की विख्यात संपत्ति का उपयोग किया था। उदाहरण के लिए, पहले मिस्र के पिरामिडों में से एक, खाफरे का पिरामिड, जिसका निर्माण XXVI सदी ईसा पूर्व (पाइथागोरस के जीवन से 2000 साल पहले) से हुआ था, एक समकोण त्रिभुज 3x4x5 में पहलू अनुपात के ज्ञान के आधार पर बनाया गया था।

फिर, प्रमेय का नाम अब ग्रीक के नाम पर क्यों रखा गया है? इसका उत्तर सरल है: पाइथागोरस इस प्रमेय को गणितीय रूप से सिद्ध करने वाला पहला था। जीवित बेबीलोन और मिस्र के लिखित स्रोत केवल इसके उपयोग की बात करते हैं, लेकिन कोई गणितीय प्रमाण नहीं दिया गया है।

यह माना जाता है कि पाइथागोरस ने समान त्रिभुजों के गुणों का उपयोग करके प्रमेय को विचाराधीन साबित कर दिया, जो उन्होंने 90 ओ के कोण से कर्ण को एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई खींचकर प्राप्त किया था।

पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने का एक उदाहरण

एक साधारण समस्या पर विचार करें: एक इच्छुक सीढ़ी एल की लंबाई निर्धारित करना आवश्यक है यदि यह ज्ञात है कि इसमें एच \u003d 3 मीटर की ऊंचाई है, और दीवार से उस दूरी की दूरी जिसके खिलाफ सीढ़ियां पी \u003d 2.5 मीटर है।

इस मामले में, एच और पी पैर हैं, और एल कर्ण है। चूंकि कर्ण की लंबाई पैरों के वर्गों के योग के बराबर होती है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं: L 2 \u003d H 2 + P 2, whence L \u003d √ (H 2 + P 2) \u003d √ (3 2 + 2.5 2) 3.905 मीटर या 3 m और 90। 5 से.मी.