एक पॉलीहेड्रॉन, जिसमें चेहरे में से एक बहुभुज है, और अन्य सभी चेहरे एक आम वर्टेक्स के साथ त्रिभुज हैं, जिसे पिरामिड कहा जाता है।

इन त्रिकोण, जिनमें से पिरामिड की रचना की जाती है, को बुलाया जाता है साइड एज, और शेष बहुभुज - आधार पिरामिड।

पिरामिड के आधार पर एक ज्यामितीय आकृति - एन-स्क्वायर है। इस मामले में, पिरामिड को अभी तक बुलाया जाता है एन-कोयला.

त्रिकोणीय पिरामिड, जिनकी सभी पसलियों के बराबर होते हैं, बुलाया जाता है टेट्राहेड्रोम

पिरामिड की पसलियों जो जमीन से संबंधित नहीं हैं, उन्हें बुलाया जाता है पक्षऔर उनका सामान्य बिंदु है शिखर पिरामिड। अन्य पसलियों पिरामिड आमतौर पर बुलाए जाते हैं आधार के लिए पार्टियां.

पिरामिड ने फोन किया सहीयदि यह आधार पर सही बहुभुज है, और सभी पक्ष पसलियों एक दूसरे के बराबर हैं।

पिरामिड के शीर्ष से फाउंडेशन प्लेन तक की दूरी कहा जाता है ऊंचाई पिरामिड। यह कहा जा सकता है कि पिरामिड की ऊंचाई एक सेगमेंट, लंबवत आधार है, जिसका अंत पिरामिड और बेस प्लेन के शीर्ष पर है।

किसी भी पिरामिड के लिए, निम्नलिखित सूत्र होते हैं:

1) एस फुल \u003d एस साइड + एस भूमिकहां है

पूर्ण - पिरामिड की पूरी सतह का क्षेत्र;

एस साइड - साइड सतह क्षेत्र, यानी पिरामिड के सभी तरफ के चेहरे के क्षेत्रों का योग;

एस ओएसएन - पिरामिड का आधार क्षेत्र।

2) वी \u003d 1/3 एस ओएसएनकहां है

V पिरामिड की मात्रा है;

एच पिरामिड की ऊंचाई है।

के लिये उचित पिरामिड होता है:

एस साइड \u003d 1/2 पी ओएसएन एचकहां है

पी पिरामिड के आधार का परिधि है;

एच एपोनमी की लंबाई है, यानी, साइड एज की ऊंचाई की लंबाई, पिरामिड के शीर्ष से कम हो गई।

पिरामिड का हिस्सा दो विमानों के बीच निष्कर्ष निकाला गया - आधार विमान और सुरक्षित विमान, आधार के साथ समानांतर में किया जाता है, को बुलाया जाता है छिद्रित पिरामिड.

पिरामिड का आधार और विमान के समानांतर पिरामिड के क्रॉस सेक्शन को बुलाया जाता है घाटियों छिद्रित पिरामिड। बाकी को बुलाया जाता है पक्ष। आधार विमानों के बीच की दूरी कहा जाता है ऊंचाई छिद्रित पिरामिड। पसलियों जो मैदान से संबंधित नहीं हैं उन्हें बुलाया जाता है पक्ष.

इसके अलावा, एक छिद्रित पिरामिड के आधार समान एन-वर्ग। यदि छिद्रित पिरामिड के आधार सही बहुभुज हैं, और सभी पक्ष पसलियों एक दूसरे के बराबर हैं, तो इस तरह के एक छिद्रित पिरामिड को बुलाया जाता है सही.

के लिये मनमानी छंटनी पिरामिड निम्नलिखित सूत्र होते हैं:

1) एस फुल \u003d एस साइड + एस 1 + एस 2कहां है

पूर्ण पूर्ण सतह क्षेत्र;

एस साइड - साइड सतह क्षेत्र, यानी एक छिद्रित पिरामिड के सभी तरफ के क्षेत्रों के क्षेत्रों का योग, जो ट्रेपेज़ियम हैं;

एस 1, एस 2 बेस क्षेत्र;

2) वी \u003d 1/3 (एस 1 + एस 2 + √ (एस 1 · एस 2)) एचकहां है

V छिद्रित पिरामिड की मात्रा है;

एच एक छिड़काव पिरामिड की ऊंचाई है।

के लिये उचित छिद्रित पिरामिड हमारे पास भी है:

एस साइड \u003d 1/2 (पी 1 + पी 2) · एच, कहा पे

पी 1, पी 2 - आधार के परिधि;

एच - अपोफेम (साइड एज की ऊंचाई, जो एक ट्रेपेज़ियम है)।

छिद्रित पिरामिड पर कई कार्यों पर विचार करें।

कार्य 1।

एक त्रिभुज में 10 की ऊंचाई के साथ छिद्रित पिरामिड में, अड्डों में से एक के किनारे 27, 2 9 और 52 के बराबर होते हैं। यदि किसी अन्य आधार का परिधि 72 है तो छिद्रित पिरामिड की मात्रा निर्धारित करें।

फेसला।

1 C 1 1 में एबा 1 के छोटा पिरामिड पर विचार करें आकृति 1।

1. छिद्रित पिरामिड की मात्रा सूत्र द्वारा पाया जा सकता है

वी \u003d 1/3 एच · (एस 1 + एस 2 + √ (एस 1 एस 2)), जहां एस 1 - मैदानों में से एक का क्षेत्र, गेरोना फॉर्मूला के अनुसार पाया जा सकता है

एस \u003d √ (पी (पी - ए) (पी - बी) (पी - सी)),

चूंकि कार्य को त्रिभुज के तीन किनारों की लंबाई दी जाती है।

हमारे पास है: पी 1 \u003d (27 + 2 9 + 52) / 2 \u003d 54।

एस 1 \u003d √ (54 (54 - 27) (54 - 2 9) (54 - 52)) \u003d √ (54 · 27 · 25 · 2) \u003d 270।

2. पिरामिड काट दिया गया, और इसलिए, आधार पर समान बहुभुज हैं। हमारे मामले में, एबीसी त्रिभुज एक त्रिभुज के समान है जो 1 सी 1 में 1 है। इसके अलावा, समानता कारक को विचाराधीन त्रिकोणों के परिधि के दृष्टिकोण के रूप में पाया जा सकता है, और उनके क्षेत्र का अनुपात समानता गुणांक के वर्ग के बराबर होगा। इस प्रकार, हमारे पास है:

एस 1 / एस 2 \u003d (पी 1) 2 / (पी 2) 2 \u003d 108 2/72 2 \u003d 9/4। इसलिए एस 2 \u003d 4 एस 1/9 \u003d 4 · 270/9 \u003d 120।

तो, वी \u003d 1/3 · 10 (270 + 120 + √ (270 · 120)) \u003d 1 9 00।

उत्तर: 1 9 00।

कार्य 2।

त्रिकोणीय छंटनी पिरामिड में, एक विमान विपरीत साइड एज के समानांतर किया गया था। कटा हुआ पिरामिड की मात्रा से किस दृष्टिकोण से अलग किया गया था, यदि आधारों के संबंधित आधार 1: 2 के रूप में संबंधित हैं?

फेसला।

1 C 1 में एबा 1 पर विचार करें - एक छोटा पिरामिड पर चित्रित किया गया अंजीर। 2।

चूंकि, आधारों में, पार्टियां 1: 2 के रूप में संदर्भित करती हैं, फिर आधार क्षेत्रों को 1: 4 के रूप में माना जाता है (एबीसी त्रिभुज एक त्रिकोण के समान है 1 एस 1 में 1)।

फिर छंटनी पिरामिड की मात्रा है:

वी \u003d 1/3 एच · (एस 1 + एस 2 + √ (एस 1 · एस 2)) \u003d 1/3 एच · (4 एस 2 + एस 2 + 2 एस 2) \u003d 7/3 · एच · एस 2, जहां एस 2 - शीर्ष आधार क्षेत्र, एच ऊंचाई है।

लेकिन एडीईए की मात्रा 1 बी 1 सी 1 प्रिज्म वी 1 \u003d एस 2 · एच है और इसका मतलब है कि

वी 2 \u003d वी - वी 1 \u003d 7/3 · एच · एस 2 - एच · एस 2 \u003d 4/3 · एच · एस 2।

तो, वी 2: वी 1 \u003d 3: 4।

उत्तर: 3: 4।

कार्य 3।

सही क्वाड्रैंगलर काट दिया गया पिरामिड के आधार के पक्ष 2 और 1 के बराबर हैं, और ऊंचाई 3. पिरामिड के अड्डों के समानांतर पिरामिड विकर्णों के चौराहे के बिंदु के बाद, एक विमान दो भागों में पिरामिड को विभाजित करता है बाहर किया गया। उनमें से प्रत्येक की मात्रा का पता लगाएं।

फेसला।

1 सी 1 डी 1 में एवीडीए 1 के छिद्रित पिरामिड पर विचार करें अंजीर। 3।

1 o 2 \u003d x द्वारा निरूपित करें, फिर oo₂ \u003d o 1 o - o 1 o 2 \u003d 3 - x।

1 ओ 2 डी 1 में एक त्रिकोण पर विचार करें और 2 डी के त्रिभुज:

1 ओ 2 डी 1 का कोण 2 डी लंबवत के रूप में के कोने के बराबर है;

सीडीओ 2 का कोण कोण डी 1 बी 1 ओ 2 के बराबर है और कोण ओ 2 सीडी कोण बी 1 डी 1 ओ 2 के बराबर है क्योंकि बी 1 डी 1 के तहत क्लच के रूप में क्रमशः बीडी और सेकेंड b₁d और bd₁।

नतीजतन, 1 ओ 2 डी 1 में त्रिकोण 2 डी के त्रिभुज के समान है और पार्टियों का अनुपात है:

बी 1 डी 1 / सीडी \u003d ओ 1 ओ 2 / OO 2 या 1/2 \u003d x / (x - 3), जहां x \u003d 1।

1 डी 1 वी और एक त्रिकोण लो 2 बी में एक त्रिभुज पर विचार करें: सामान्य के कोण, साथ ही साथ बी 1 डी 1 में एक तरफा कोनों की एक जोड़ी है एलएम, जिसका अर्थ है, 1 डी 1 में एक त्रिकोण त्रिभुज लो 2 बी के समान है, जहां से 1 डी में: लो 2 \u003d OO 1: OO 2 \u003d 3: 2, यानी

लो 2 \u003d 2/3 · बी 1 डी 1, एलएन \u003d 4/3 · बी 1 डी 1।

फिर s klmn \u003d 16/9 · s 1 b 1 c 1 d 1 \u003d 16/9।

तो, वी 1 \u003d 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) \u003d 152/27।

वी 2 \u003d 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) \u003d 37/27।

उत्तर: 152/27; 37/27।

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- यह एक पॉलीहेड्रॉन है, जो पिरामिड के आधार और इसके समानांतर क्रॉस सेक्शन द्वारा गठित किया जाता है। यह कहा जा सकता है कि काट दिया गया पिरामिड एक कट टिप के साथ एक पिरामिड है। इस आंकड़े में कई अद्वितीय गुण हैं:

• पिरामिड के पक्ष के चेहरे trapezes हैं;
• एक ही लंबाई के सही छिद्रित पिरामिड के साइड किनारों और एक ही कोण पर आधार के इच्छुक;
• आधार समान बहुभुज हैं;
• सही छिद्रित पिरामिड में, चेहरे एक ही अप्राप्य ट्रैपेज़ होते हैं, जिसका क्षेत्र बराबर होता है। वे एक कोने में आधार पर भी झुका हुआ है।

एक छिद्रित पिरामिड के पक्ष की सतह क्षेत्र का सूत्र अपने पक्षों के क्षेत्रों का योग है:

चूंकि छिद्रित पिरामिड के किनारे ट्रैपेट हैं, फिर पैरामीटर की गणना करने के लिए सूत्र का उपयोग करना होगा स्क्वायर ट्रैपेज़ियम। सही छिद्रित पिरामिड के लिए, आप क्षेत्र की गणना के लिए एक और सूत्र लागू कर सकते हैं। चूंकि उसके सभी पक्ष, चेहरे, और आधार पर कोण बराबर होते हैं, फिर आप आधार और अपोफेम के परिधि को लागू कर सकते हैं, साथ ही आधार पर कोण के माध्यम से क्षेत्र को प्राप्त कर सकते हैं।

यदि, सही छिद्रित पिरामिड में स्थितियों के अनुसार, अपोफेम (पक्ष की ऊंचाई) और बेस पक्ष की लंबाई दी जाती है, तो के अर्ध-उत्पादन की मात्रा के अर्द्ध उत्पादन के माध्यम से क्षेत्र की गणना करना संभव है आधार और अपोफेम:

आइए एक छिद्रित पिरामिड की तरफ की सतह के क्षेत्र की गणना करने का एक उदाहरण मानें।
दाना सही पेंटागोनल पिरामिड है। अपोथेम एल \u003d 5 सेमी, बड़े आधार में चेहरे की लंबाई बराबर है ए। \u003d 6 सेमी, और एक छोटे से आधार में एक चेहरा बी \u003d 4 सेमी। एक छिड़काव पिरामिड के क्षेत्र की गणना करें।

शुरू करने के लिए, हम आधार के परिधि पाएंगे। चूंकि हमें पेंटागोनल पिरामिड दिया जाता है, इसलिए हम समझते हैं कि नींव पेंटागोन हैं। तो, आधार पर पांच समान पार्टियों के साथ एक आंकड़ा है। हमें एक बड़े आधार का परिधि मिलती है:

इसी तरह, हमें एक छोटे से आधार का परिधि मिलती है:

अब हम दाएं छिद्रित पिरामिड के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। हम सूत्र में डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

इस प्रकार, हमने परिधि और अपोफेम के माध्यम से सही छिद्रित पिरामिड के क्षेत्र की गणना की।

दाएं पिरामिड के पक्ष की सतह क्षेत्र की गणना करने का एक और तरीका एक सूत्र है आधार पर और इन नींव के क्षेत्र में कोनों के माध्यम से.

आइए गणना उदाहरण देखें। हमें याद है कि यह सूत्र केवल सही छिद्रित पिरामिड के लिए लागू होता है।

सही चतुर्भुज पिरामिड दिया जाए। निचले आधार का चेहरा एक \u003d 6 सेमी है, और ऊपरी चेहरे बी \u003d 4 सेमी है। आधार β \u003d 60 ° पर दो-घुड़सवार कोण। सही छिद्रित पिरामिड के पक्ष की सतह क्षेत्र का पता लगाएं।

शुरू करने के लिए, हम आधार क्षेत्र की गणना करते हैं। चूंकि पिरामिड सही है, मैदान एक दूसरे के बराबर हैं। यह मानते हुए कि आधार पर एक चतुर्भुज है, हम समझते हैं कि गणना करना आवश्यक होगा वर्ग क्षेत्र। यह लंबाई के लिए चौड़ाई का एक उत्पाद है, लेकिन वर्ग में इन मूल्यों को संयोग होता है। हम बड़े आधार का क्षेत्र पाएंगे:


अब हम पक्ष सतह क्षेत्र की गणना के लिए पाए गए मूल्यों का उपयोग करते हैं।

कुछ सरल सूत्रों को जानना, हमने आसानी से विभिन्न मूल्यों के माध्यम से एक छिद्रित पिरामिड के पार्श्व ट्रैपेज़ॉइड के स्लाइसर की गणना की।

• 09.10.2014

  आंकड़े में दिखाए गए प्री-एम्पलीफायर को एक माइक्रोफोन, सीडी प्लेयर, रेडियो टेप रिकॉर्डर इत्यादि जैसे चौथे प्रकार के ध्वनि स्रोतों के उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया है। एक ही समय में, प्री-एम्पलीफायर में एक इनपुट होता है जो बदल सकता है 50 एमवी से 500 एमबी की संवेदनशीलता। आउटपुट वोल्टेज एम्पलीफायर 1000 एमबी। SA1 स्विच को स्विच करते समय सिग्नल के विभिन्न स्रोतों को जोड़ना, हम हमेशा प्राप्त करते हैं ...

• 20.09.2014

  बीपी को 15 की क्षमता के साथ लोड करने के लिए डिज़ाइन किया गया है ... 20 डब्ल्यू। स्रोत एक आवेग उच्च आवृत्ति कनवर्टर के आरेख के अनुसार किया जाता है। ट्रांजिस्टर ने एक ऑटोजेरेटर को 20 की आवृत्ति पर संचालित किया ... 40 किलोहर्ट्ज। आवृत्ति सी 5 क्षमता के साथ कॉन्फ़िगर किया गया है। तत्व वीडी 5, वीडी 6 और सी 6 ऑटो जनरेटर स्टार्ट सर्किट बनाते हैं। द्वितीयक सर्किट में पुल सुधारक के बाद, चिप पर एक पारंपरिक रैखिक स्टेबलाइज़र है, जो आपको करने की अनुमति देता है ...

• 28.09.2014

  यह आंकड़ा K174HA11 चिप पर जनरेटर दिखाता है, जिसकी आवृत्ति वोल्टेज द्वारा नियंत्रित होती है। 560 से 4700 पीएफ तक सी 1 में बदलाव के साथ, आप आवृत्तियों की एक विस्तृत श्रृंखला प्राप्त कर सकते हैं, और प्रतिरोध आर 4 को बदलकर आवृत्ति सेटिंग की जाती है। उदाहरण के लिए, लेखक ने पाया कि, सी 1 \u003d 560 पीएफ के साथ, जेनरेटर आवृत्ति को 600 हर्ट्ज से 200 किलोहर्ट्ज तक आर 4 का उपयोग करके बदला जा सकता है ...

• 03.10.2014

  यूनिट को एक शक्तिशाली यूएनजी को पावर करने के लिए डिज़ाइन किया गया है, इसे आउटपुट वोल्टेज ± 27 वी के लिए डिज़ाइन किया गया है और इसलिए प्रत्येक कंधे पर 3 ए तक लोड किया गया है। जटिल यौगिक ट्रांजिस्टर केटी 825-केटी 827 पर बने दो ध्रुवीय के बीपी। स्टेबलाइज़र के दोनों कंधे एक योजना में किए जाते हैं, लेकिन एक और कंधे में (यह नहीं दिखाया गया है) कैपेसिटर्स की ध्रुवीयता बदल जाती है और दूसरे के ट्रांजिस्टर ...

स्थानिक आंकड़ों की मात्रा की गणना करने की क्षमता ज्यामिति पर कई व्यावहारिक कार्यों के समाधान के साथ महत्वपूर्ण है। आम आंकड़ों में से एक पिरामिड है। इस लेख में, पूर्ण और छिड़काव दोनों के पिरामिड पर विचार करें।

एक थोक आकृति के रूप में पिरामिड

हर कोई मिस्र के पिरामिड के बारे में जानता है, इसलिए यह अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व करता है, किस तरह का आंकड़ा भाषण होगा। फिर भी, मिस्र के पत्थर की संरचनाएं पिरामिड की एक बड़ी श्रेणी का एक निजी मामला हैं।

सामान्य रूप से माना जाने वाला ज्यामितीय वस्तु एक बहुभुज आधार है, जिनमें से प्रत्येक कशेरुक अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु से जुड़ा होता है जो बेस प्लेन से संबंधित नहीं होता है। यह परिभाषा एक एन-स्क्वायर और एन त्रिकोण शामिल एक आकृति की ओर ले जाती है।

किसी भी पिरामिड में एन + 1 चेहरे, 2 * एन किनारों और एन + 1 कोने होते हैं। चूंकि प्रश्न में आकृति एक आदर्श पॉलीहेड्रॉन है, इसलिए नोटेड तत्वों की संख्या यूलर समानता के अधीन है:

2 * n \u003d (n + 1) + (n + 1) - 2।

बहुभुज, जो पिरामिड के नाम पर आधारित है, उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय, पेंटगोनल और इतने पर। विभिन्न आधारों के साथ पिरामिड का एक सेट नीचे की तस्वीर में दिखाया गया है।

जिस बिंदु में एन त्रिकोण संयुक्त होते हैं, जिसे पिरामिड की चोटी कहा जाता है। यदि यह इसे लंबवत आधार पर छोड़ दिया गया है और यह इसे ज्यामितीय केंद्र में पार करेगा, तो इस तरह के एक आंकड़े को सीधे कहा जाएगा। यदि यह स्थिति नहीं की जाती है, तो एक इच्छुक पिरामिड होता है।

प्रत्यक्ष आंकड़ा, जिसका आधार समतुल्य (समेकित) एन-कार्बन द्वारा गठित किया जाता है, को उचित कहा जाता है।

पिरामिड वॉल्यूम फॉर्मूला

पिरामिड की मात्रा की गणना करने के लिए, हम अभिन्न कैलकुस का उपयोग करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम पतली परतों की अनंत संख्या में एकांत विमानों द्वारा आधार के समानांतर आकृति को तोड़ते हैं। नीचे दिया गया आंकड़ा चतुर्भुज पिरामिड ऊंचाई एच और साइड एल की लंबाई दिखाता है, जिसमें चतुर्भुज को खंड की पतली परत के साथ चिह्नित किया जाता है।

इस तरह की प्रत्येक परत का क्षेत्र सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है:

ए (जेड) \u003d ए 0 * (एच - जेड) 2 / एच 2।

यहां 0 आधार क्षेत्र है, जेड लंबवत समन्वय का मूल्य है। यह देखा जा सकता है कि यदि z \u003d 0, तो सूत्र मूल्य 0 देता है।

एक पिरामिड वॉल्यूम फॉर्मूला प्राप्त करने के लिए, आपको आकृति की पूरी ऊंचाई पर अभिन्न गणना करनी चाहिए, यह है कि:

वी \u003d ∫ एच 0 (ए (जेड) * डीजेड)।

निर्भरता को प्रतिस्थापित करना (z) और आदिम की गणना करना, हम अभिव्यक्ति पर पहुंचते हैं:

V \u003d -a 0 * (एच-जेड) 3 / (3 * एच 2) | एच 0 \u003d 1/3 * ए 0 * एच।

हमने पिरामिड का सूत्र प्राप्त किया। वी के मूल्य को खोजने के लिए, आधार क्षेत्र पर आकृति की ऊंचाई को गुणा करने के लिए पर्याप्त है, और फिर परिणाम तीन में बांटा गया है।

ध्यान दें कि परिणामी अभिव्यक्ति मनमाने ढंग से प्रकार के पिरामिड की मात्रा की गणना के लिए मान्य है। यही है, यह इच्छुक हो सकता है, और इसका आधार एक मनमाना एन-स्क्वायर है।

और इसकी मात्रा

उपरोक्त अनुच्छेद में प्राप्त कुल सूत्र को सही आधार के साथ पिरामिड के मामले में स्पष्ट किया जा सकता है। इस तरह के आधार का क्षेत्र निम्नलिखित सूत्र द्वारा गणना की जाती है:

एक 0 \u003d एन / 4 * एल 2 * सीटीजी (पीआई / एन)।

यहां एल एन कोर्टिस के साथ सही बहुभुज की लंबाई है। पीआई प्रतीक संख्या पीआई है।

सामान्य सूत्र के लिए 0 के लिए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करना, हम सही पिरामिड की मात्रा प्राप्त करते हैं:

वी एन \u003d 1/3 * एन / 4 * एल 2 * एच * सीटीजी (पीआई / एन) \u003d एन / 12 * एल 2 * एच * सीटीजी (पीआई / एन)।

उदाहरण के लिए, त्रिकोणीय पिरामिड के लिए, यह सूत्र निम्न अभिव्यक्ति की ओर जाता है:

वी 3 \u003d 3/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (60 ओ) \u003d √3 / 12 * एल 2 * एच।

सही चतुर्भुज पिरामिड के लिए, वॉल्यूम फॉर्मूला फॉर्म प्राप्त करता है:

वी 4 \u003d 4/12 * एल 2 * एच * सीटीजी (45 ओ) \u003d 1/3 * एल 2 * एच।

सही पिरामिड की मात्रा निर्धारित करने के लिए उनके आधार और आकृति की ऊंचाई के ज्ञान की आवश्यकता होती है।

पिरामिड काट दिया गया

मान लीजिए कि हमने एक मनमानी पिरामिड लिया और ऊर्ध्वाधर सतह की तरफ काट दिया। शेष आंकड़े को एक छोटा पिरामिड कहा जाता है। इसमें पहले से ही दो एन-कोयले के आधार और एन ट्रैपेटिंग शामिल हैं जो जुड़े हुए हैं। यदि सेकेंड प्लेन आकृति के आधार के समानांतर था, तो एक छोटा पिरामिड समानांतर समान आधारों के साथ गठित होता है। यही है, उनमें से एक के किनारों की लंबाई प्राप्त की जा सकती है, कुछ गुणांक के पर दूसरी लंबाई को गुणा कर सकती है।

उपरोक्त ड्राइंग एक छोटा सा सही दिखाता है जो ऊपरी आधार भी निचले, दाएं हेक्सागोन द्वारा गठित निचले के समान होता है।

फॉर्मूला जिसे समान अभिन्न कैलकुस का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, इसका फॉर्म है:

V \u003d 1/3 * h * (0 + ए 1 + √ (एक 0 * ए 1))।

जहां 0 और 1 क्रमशः निचले (बड़े) और ऊपरी (छोटे) अड्डों का क्षेत्र है। परिवर्तनीय एच को छिद्रित पिरामिड की ऊंचाई से दर्शाया गया है।

हूप के पिरामिड की मात्रा।

यह उस मात्रा को निर्धारित करने के कार्य को हल करने के लिए उत्सुक है जिसमें आपके भीतर सबसे महान मिस्र के पिरामिड शामिल हैं।

1 9 84 में, ब्रिटिश मिस्रोलिस्ट मार्क लेहनेर और जॉन गुडमैन (जॉन गुडमैन) ने होप पिरामिड के सटीक आयामों की स्थापना की। इसकी प्रारंभिक ऊंचाई 146.50 मीटर थी (वर्तमान में लगभग 137 मीटर)। संरचना के चार पक्षों में से प्रत्येक की औसत लंबाई 230,363 मीटर थी। उच्च सटीकता के साथ पिरामिड का आधार वर्ग है।

हम इस पत्थर के विशालकाय की मात्रा निर्धारित करने के लिए फ़िल्टर किए गए नंबरों का उपयोग करते हैं। चूंकि पिरामिड सही चतुर्भुज है, फिर सूत्र इसके लिए मान्य है:

हम संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, प्राप्त करें:

वी 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 मीटर 3।

चेप्स के peyramid की मात्रा लगभग 2.6 मिलियन मीटर 3 के बराबर है। तुलना के लिए, हम ध्यान देते हैं कि ओलंपिक पूल में 2.5 हजार मीटर 3 की मात्रा है। यही है, पूरे पिरामिड को भरने के लिए 1000 से अधिक ऐसे पूल लगेंगे!

पिरामिड। छिद्रित पिरामिड

पिरामिड पॉलीहेड्रॉन कहा जाता है, जिसमें बहुभुज के चेहरे में से एक ( आधार ), और अन्य सभी चेहरे कुल चरम के साथ त्रिकोण हैं ( साइड एज ) (चित्र 15)। पिरामिड ने फोन किया सही यदि इसका आधार सही बहुभुज है और पिरामिड की चोटी को आधार के केंद्र (चित्र 16) के लिए डिज़ाइन किया गया है। त्रिकोणीय पिरामिड, जो सभी पसलियों के बराबर होते हैं, बुलाया जाता है चतुर्पाश्वीय .

साइड एज पिरामिड को साइड चेहरे का पक्ष कहा जाता है जो आधार से संबंधित नहीं होता है ऊंचाई पिरामिड को अपने शीर्ष से बेस प्लेन तक की दूरी कहा जाता है। दाएं पिरामिड की सभी तरफ पसलियां एक-दूसरे के बराबर होती हैं, सभी तरफ चेहरे बराबर त्रिकोण के बराबर होते हैं। शीर्ष से बिताए गए दाएं पिरामिड के पक्ष के चेहरे की ऊंचाई कहा जाता है एफ़ोफिकियन . विकर्ण क्रॉस अनुभाग पिरामिड क्रॉस सेक्शन को विमान को दो तरफ पसलियों से गुजरने वाला विमान कहा जाता है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं होते हैं।

साइड सतह क्षेत्र पिरामिड को सभी तरफ के चेहरे के क्षेत्र का योग कहा जाता है। सतह क्षेत्रफल सभी तरफ चेहरे और अड्डों के क्षेत्र का योग कहा जाता है।

प्रमेय।

1. यदि पिरामिड में, सभी तरफ किनारे बेस प्लेन के बराबर होते हैं, तो पिरामिड की चोटी को आधार के पास वर्णित सर्कल के केंद्र में डिज़ाइन किया गया है।

2. यदि पिरामिड में, सभी तरफ पसलियों में बराबर लंबाई होती है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार के पास वर्णित सर्कल के केंद्र में डिज़ाइन किया गया है।

3. यदि पिरामिड में, सभी पहलुओं को बेस प्लेन की योजना बनाई गई है, तो पिरामिड के शीर्ष को आधार में अंकित सर्कल के केंद्र में डिज़ाइन किया गया है।

मनमानी पिरामिड की मात्रा की गणना करने के लिए, सूत्र सत्य है:

कहा पे वी - मात्रा;

एस ओएसएन आधार क्षेत्र;

एच - पिरामिड की ऊंचाई।

सही पिरामिड के लिए, वफादार सूत्र:

कहा पे पी - नींव का परिधि;

एच ए। - अपोही;

एच - ऊंचाई;

पूर्ण

साइड

एस ओएसएन आधार क्षेत्र;

वी - सही पिरामिड की मात्रा।

छिद्रित पिरामिड पिरामिड का एक हिस्सा, आधार और सुरक्षित विमान के बीच निष्कर्ष निकाला, पिरामिड (चित्र 17) के आधार के समानांतर। उचित छिद्रित पिरामिड इसे सही पिरामिड का हिस्सा कहा जाता है, जो पिरामिड के आधार के समानांतर आधार और सुरक्षित विमान के बीच निष्कर्ष निकाला जाता है।

आधार छोटा पिरामिड - समान बहुभुज। साइड एज - ट्रेपेज़ियम। ऊंचाई छिद्रित पिरामिड अपने अड्डों के बीच की दूरी है। विकर्ण छंटनी पिरामिड को अपने कोने को जोड़ने वाले सेगमेंट कहा जाता है जो एक चेहरे में झूठ नहीं बोल रहे हैं। विकर्ण क्रॉस अनुभाग एक छोटा पिरामिड का एक क्रॉस-सेक्शन एक विमान है जो दो तरफ पसलियों से गुजर रहा है जो एक चेहरे से संबंधित नहीं है।

छिद्रित पिरामिड के लिए, सूत्र मान्य हैं:

(4)

कहा पे एस 1 , एस 2 - ऊपर और नीचे के मैदान;

पूर्ण - पूर्ण सतह का क्षेत्र;

साइड - साइड सतह क्षेत्र;

एच - ऊंचाई;

वी - छिद्रित पिरामिड की मात्रा।

सही छिद्रित पिरामिड के लिए, सूत्र सत्य है:

कहा पे पी 1 , पी 2 - नींव की परिधि;

एच ए। - सही छिद्रित पिरामिड का अपोफेम।

उदाहरण 1। सही त्रिकोणीय पिरामिड में, आधार पर बौने कोण 60º है। बेस प्लेन के लिए साइड रिब के झुकाव के टेंगेंट कोण को ढूंढें।

फेसला। एक ड्राइंग (चित्र 18) बनाओ।

पिरामिड सही है, जिसका अर्थ है कि समतुल्य त्रिभुज के आधार पर और सभी पक्ष के चेहरे बराबर त्रिकोण के बराबर हैं। आधार पर बौना कोण पिरामिड के आधार विमान के पक्ष में झुकाव का कोण है। रैखिक कोण एक कोण होगा ए। दो लंबवत के बीच: और यानी। पिरामिड का शीर्ष त्रिभुज के केंद्र में डिजाइन किया गया है (वर्णित सर्कल का केंद्र और त्रिभुज में अंकित सर्कल एबीसी)। साइड एज के झुकाव का कोण (उदाहरण के लिए) एसबी।) किनारे के बीच कोण और नींव विमान पर इसके प्रक्षेपण के बीच कोण है। रिब के लिए एसबी। यह कोण एक कोण होगा एसबीडी।। टेंगेंट खोजने के लिए आपको कैथेट जानने की जरूरत है तोह फिर। तथा ओबी।। कट की लंबाई दें बीडी। 3 के बराबर। लेकिन अ। बिंदु के बारे में अनुभाग बीडी। भागों में विभाजित: और खोजने से तोह फिर।: खोजने से:

उत्तर:

उदाहरण 2। सही छिद्रित चतुर्भुज पिरामिड की मात्रा का पता लगाएं यदि उसके अड्डों के विकर्ण सेमी और सेमी के बराबर हैं, और ऊंचाई 4 सेमी है।

फेसला। छिद्रित पिरामिड की मात्रा को खोजने के लिए, हम सूत्र (4) का उपयोग करते हैं। जमीन क्षेत्रों को खोजने के लिए, वर्गों के किनारों को ढूंढना, उनके विकर्णों को जानना आवश्यक है। आधार के किनारे क्रमशः 2 सेमी हैं, और 8 सेमी हैं। तो जमीन क्षेत्र और सूत्र में सभी डेटा को प्रतिस्थापित करना, छिद्रित पिरामिड की मात्रा की गणना:

उत्तर: 112 सेमी 3।

उदाहरण 3। सही त्रिकोणीय छिद्रित पिरामिड के पक्ष का चेहरा क्षेत्र ढूंढें, जिनके पक्षों के पक्ष 10 सेमी और 4 सेमी के बराबर हैं, और पिरामिड 2 सेमी की ऊंचाई के बराबर हैं।

फेसला। एक ड्राइंग (चित्र 19) बनाओ।

इस पिरामिड का साइड चेहरा एक संतुलन ट्रेपेज़ियम है। ट्रेपेज़ियम के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आधार और ऊंचाई को जानना आवश्यक है। आधारों को शर्त से दिया जाता है, यह केवल अज्ञात ऊंचाई बनी हुई है। हम कहाँ से पाएंगे लेकिन अ 1 इ। बिंदु से लंबवत लेकिन अ 1 कम बेस प्लेन पर, ए। 1 डी - से लंबवत लेकिन अ 1 पर एसी. लेकिन अ 1 इ। \u003d 2 सेमी, क्योंकि यह पिरामिड की ऊंचाई है। ढूँढ़ने के लिए डे। हम अतिरिक्त रूप से ड्राइंग करेंगे, जो एक शीर्ष दृश्य (चित्र 20) को दर्शाता है। बिंदु के बारे में - ऊपरी और निचले अड्डों के केंद्रों का प्रक्षेपण। चूंकि (चित्र 20 देखें) और दूसरी ओर ठीक है - परिसंचरण में अंकित त्रिज्या और ओह। - एक सर्कल में अंकित त्रिज्या:

एमके \u003d डी।.

पाइथागोरियो प्रमेय के अनुसार

साइड साइड:

उत्तर:

उदाहरण 4। पिरामिड के आधार पर एक संतुलन ट्रेपेज़ियम है, जिनमें से नींव है लेकिन अतथा बी (ए।> बी)। प्रत्येक पक्ष का चेहरा पिरामिड कोण के आधार के विमान के साथ समान होता है जे।। पिरामिड की पूरी सतह का क्षेत्र खोजें।

फेसला। चलो एक ड्राइंग (चित्र 21) बनाते हैं। पिरामिड की पूरी सतह का वर्ग SABCD। वर्ग के योग और ट्रैपेज़ के वर्ग के बराबर ऐ बी सी डी।.

हम इस बात का उपयोग करते हैं कि यदि पिरामिड के सभी किनारों को बेस प्लेन में रखा जाता है, तो वर्टेक्स को सर्कल के आधार पर अंकित केंद्र के लिए डिज़ाइन किया गया है। बिंदु के बारे में - चरम का प्रक्षेपण एस पिरामिड के आधार पर। त्रिकोण सोड। एक ऑर्थोगोनल त्रिभुज प्रक्षेपण है सीएसडी। बेस प्लेन पर। एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण क्षेत्र पर प्रमेय द्वारा, हमें मिलता है:

इसी तरह, इसका मतलब है इस प्रकार, ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए कार्य कम हो गया था Assd।। एक ट्रेपेज़ियम दिखाएं ऐ बी सी डी।अलग से (FIG.22)। बिंदु के बारे में - सर्कल के सर्कल में अंकित केंद्र।

चूंकि एक ट्रैपेज़ में आप सर्कल दर्ज कर सकते हैं, फिर या पायथागोर प्रमेय से हमारे पास है