Утверждение доказано.

Действительно, например, 2 < 3, но

Свойство 4. Если a > b и c > d, то a + c > b+ d.

Доказательство. Так как a>b и c >d, то разности a-b и c-d - положительные числа. Тогда сумма этих чисел также положительное число (a-b)+(c-d). Раскроем скобки и сгруппируем (a-b)+(c-d) = a-b+ c-d= (a+с)-(b+ d). В виду этого равенства полученное выражение (a+с)-(b+ d) будет положительным числом. Следовательно, a+ c> b+ d.

Неравенства вида a>b, c >d или a < b, c< d называют неравенствами одинакового смысла, а неравенства a>b , c

Свойство 5. Если a > b, c > d, то ac> bd, где a, b, c , d- положительные числа.

Доказательство. Так как a>b и с - положительное число, то, используя свойство 3, получим aс > bс. Так как c >d и b- положительное число, то bc > bd. Следовательно, по первому свойству ac > bd. Смысл доказанного свойства в следующем: «Если умножить почленно неравенства одинакового смысла, у которых левая и правая части - положительные числа, то получим неравенство того же смысла»

Например, 6 < a < 7, 4 < b< 5 тогда, 24 < ab < 35.

Свойство 6. Если a < b, a и b - положительные числа, то an< bn, где n- натуральное число.

Доказательство. Если почленно перемножить n данных неравенств a < b, то, согласно утверждению свойства 5, получим an< bn. Прочесть доказанное утверждение можно так: «Если обе части неравенства - положительные числа, то их можно возвести в одну и ту же натуральную степень, сохранив знак неравенства».

§ 3 Применение свойств

Рассмотрим пример на применение рассмотренных нами свойств.

Пусть 33 < a < 34, 3 < b< 4. Оценить сумму a + b, разность a - b, произведение a ∙ b и частное a: b.

1) Оценим сумму a + b. Используя свойство 4, получим 33 + 3< a + b < 34 + 4 или

36 < a+ b <38.

2) Оценим разность a - b. Так как нет свойства на вычитание, то разность a - b заменим суммой a +(-b). Сначала оценим (- b). Для этого, используя свойство 3, обе части неравенства 3 < b< 4 умножим на -1, при этом меняем знак неравенства на противоположный знак 3 ∙ (-1) > b∙ (-1) > 4 ∙ (-1). Получим -4< -b< -3. Теперь можно сложить два неравенства одного знака 33< a < 34 и -4< -b< -3. Имеем 2 9< a - b <31.

3) Оценим произведение a ∙ b. По свойству 5 перемножим неравенства одного знака

1) Основное понятие неравенства

2) Основные свойства числовых неравенств. Неравенства содержащие переменную.

3) Графическое решение неравенств второй степени

4) Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными.

5) Решение рациональных неравенств методом интервалов

6) Решение неравенств, содержащих переменную под знаком модуля

1. Основное понятие неравенства

Неравенство — соотношение между числами (или любыми математическими выражениями, способными принимать численное значение), указывающее, какое из них больше или меньше другого. Над этими выражениями можно по определенным правилам производить следующие действия: сложение, вычитание, умножение и деление (причем при умножении или делении Н. на отрицательное число смысл его меняется на противоположный). Одно из основных понятий линейного программирования — линейные неравенства вида

a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n * b ,

где a 1 ,..., a n , b — постоянные и знак * — один из знаков неравенства, напр. ≥,

· алгебраические

· трансцендентные

Алгебраические неравенства подразделяются на неравенства первой, второй, и т. д. степени.

Неравенство - алгебраическое, второй степени.

Неравенство - трансцендентное.

2. Основные свойства числовых неравенств . Неравенства содержащие переменную

1) Графиком квадратичной функции y = ах 2 +bх + с является парабола с ветвями, направленными вверх, если а > 0 , и вниз, если а (иногда говорят, что парабола направлена выпуклостью вниз, если а > 0 и выпуклостью вверх, если а). При этом возможны три случая:

2) Парабола пересекает ось 0х (т. е. уравнение ах 2 + bх + с = 0 имеет два различных корня). То есть, если а

y = ах 2 +bх + с a>0 D>0 y = ах 2 +bх + с a D >0,

Парабола имеет вершину на оси 0х (т. е. уравнение ах 2 + х + с = 0 имеет один корень, так называемый двукратный корень) То есть, если d=0, то при a>0 решением неравенства служит вся числовая прямая, а при a ах 2 + х + с

y = ах 2 +bх + с a>0 D = 0 y = ах 2 +bх + с a D =0,

3) Если d0 и ниже ее при a

y = ах 2 +bх + с a>0 D 0 y = ах 2 +bх + с a D0,

4) Решить неравенство графическим способом

1. Пусть f(x) = 3х 2 -4х - 7 тогда найдем такие х при которых f(x) ;

2. Найдем нули функции.

f(x) при х .

Ответ f(x) при х .

Пусть f(x)=х 2 +4х +5 тогда Найдем такие х при которых f(x)>0,

D=-4 Нет нулей.

4. Системы неравенств. Неравенства и системы неравенств с двумя переменными

1) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств.

2) Множество решений неравенства f(х;у)>0 можно графически изобразить на координатной плоскости. Обычно линия, заданная уравнением f(х;у)=0 ,разбивает плоскость на 2 части, одна из которых является решением неравенства. Чтобы определить, какая из частей, надо подставить координаты произвольной точки М(х0;у0) , не лежащей на линии f(х;у)=0, в неравенство. Если f(х0;у0) > 0 , то решением неравенства является часть плоскости, содержащая точку М0. если f(х0;у0)

3) Множество решений системы неравенств есть пересечение множеств решений входящих в нее неравенств. Пусть, например, задана система неравенств:

Для первого неравенства множество решений есть круг радиусом 2 и с центром в начале координат, а для второго- полуплоскость, расположенная над прямой 2х+3у=0. Множеством решений данной системы служит пересечение указанных множеств, т.е. полукруг.

4) Пример. Решить систему неравенств:

Решением 1-го неравенства служит множество , 2-го множество (2;7) и третьего - множество .

Пересечением указанных множеств является промежуток(2;3], который и есть множество решений системы неравенств.

5. Решение рациональных неравенств методом интервалов

В основе метода интервалов лежит следующее свойство двучлена (х-а ): точка х=α делит числовую ось на две части — справа от точки α двучлен (х‑α)>0 , а слева от точки α (х-α) .

Пусть требуется решить неравенство (x-α 1)(x-α 2)...(x-α n)>0 , где α 1 , α 2 ...α n-1 , α n — фиксированные числа, среди которых нет равных, причем такие, что α 1 (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n)>0 методом интервалов поступают следующим образом: на числовую ось наносят числа α 1 , α 2 ...α n-1 , α n ; в промежутке справа от наибольшего из них, т.е. числа α n , ставят знак «плюс», в следующем за ним справа налево интервале ставят знак «минус», затем — знак «плюс», затем знак «минус» и т.д. Тогда множество всех решений неравенства (x-α 1)(x‑α 2)...(x-α n)>0 будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «плюс», а множество решений неравенства (x-α 1)(x-α 2)...(x‑α n) будет объединение всех промежутков, в которых поставлен знак «минус».

1) Решение рациональных неравенств (т.е неравенств вида P(x) Q(x) где - многочлены) основано на следующем свойстве непрерывной функции: если непрерывная функция обращается в нуль в точках х1 и х2 (х1;х2) и между этими точками не имеет других корней, то в промежутках(х1;х2) функция сохраняет свой знак.

Поэтому для нахождения промежутков знакопостоянства функции y=f(x) на числовой прямой отмечают все точки, в которых функция f(x) обращается в нуль или терпит разрыв. Эти точки разбивают числовую прямую на несколько промежутков, внутри каждого из которых функция f(x) непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, достаточно найти знак функции в какой либо точке рассматриваемого промежутка числовой прямой.

2) Для определения интервалов знакопостоянства рациональной функции, т.е. Для решения рационального неравенства, отмечаем на числовой прямой корни числителя и корни знаменателя, которые как и являются корнями и точками разрыва рациональной функции.

Решение неравенств методом интервалов

Решение . Область допустимых значений определяется системой неравенств:

Для функции f(x) = - 20. Находим f(x) :

откуда x = 29 и x = 13.

f (30) = - 20 = 0,3 > 0,

f (5) = - 1 - 20 = - 10

Ответ: }