Сумма квадратов косинусов. Синус, косинус, тангенс: что такое? Как найти синус, косинус и тангенс

Тригонометрические тождества — это равенства, которые устанавливают связь между синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом одного угла, которая позволяет находить любую из данных функций при условии, что будет известна какая-либо другая.

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}, \enspace ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Данное тождество говорит о том, что сумма квадрата синуса одного угла и квадрата косинуса одного угла равна единице, что на практике дает возможность вычислить синус одного угла, когда известен его косинус и наоборот.

При преобразовании тригонометрических выражений очень часто используют данное тождество, которое позволяет заменять единицей сумму квадратов косинуса и синуса одного угла и также производить операцию замены в обратном порядке.

Нахождение тангенса и котангенса через синус и косинус

tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha},\enspace

Данные тождества образуются из определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Ведь если разобраться, то по определению ординатой y является синус, а абсциссой x — косинус. Тогда тангенс будет равен отношению \frac{y}{x}=\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} , а отношение \frac{x}{y}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — будет являться котангенсом.

Добавим, что только для таких углов \alpha , при которых входящие в них тригонометрические функции имеют смысл, будут иметь место тождества , ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} .

Например: tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} является справедливой для углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2}+\pi z , а ctg \alpha=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} — для угла \alpha , отличного от \pi z , z — является целым числом.

Зависимость между тангенсом и котангенсом

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Данное тождество справедливо только для таких углов \alpha , которые отличны от \frac{\pi}{2} z . Иначе или котангенс или тангенс не будут определены.

Опираясь на вышеизложенные пункты, получаем, что tg \alpha = \frac{y}{x} , а ctg \alpha=\frac{x}{y} . Отсюда следует, что tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}=1 . Таким образом, тангенс и котангенс одного угла, при котором они имеют смысл, являются взаимно обратными числами.

Зависимости между тангенсом и косинусом, котангенсом и синусом

tg^{2} \alpha + 1=\frac{1}{\cos^{2} \alpha} — сумма квадрата тангенса угла \alpha и 1 , равна обратному квадрату косинуса этого угла. Данное тождество справедливо для всех \alpha , отличных от \frac{\pi}{2}+ \pi z .

1+ctg^{2} \alpha=\frac{1}{\sin^{2}\alpha} — сумма 1 и квадрат котангенса угла \alpha , равняется обратному квадрату синуса данного угла. Данное тождество справедливо для любого \alpha , отличного от \pi z .

Примеры с решениями задач на использование тригонометрических тождеств

Пример 1

Найдите \sin \alpha и tg \alpha , если \cos \alpha=-\frac12 и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi ;

Показать решение

Решение

Функции \sin \alpha и \cos \alpha связывает формула \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 . Подставив в эту формулу \cos \alpha = -\frac12 , получим:

\sin^{2}\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Это уравнение имеет 2 решения:

\sin \alpha = \pm \sqrt{1-\frac14} = \pm \frac{\sqrt 3}{2}

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти синус положителен, поэтому \sin \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} .

Для того, чтобы найти tg \alpha , воспользуемся формулой tg \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}

tg \alpha = \frac{\sqrt 3}{2} : \frac12 = \sqrt 3

Пример 2

Найдите \cos \alpha и ctg \alpha , если и \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi .

Показать решение

Решение

Подставив в формулу \sin^{2}\alpha + \cos^{2} \alpha = 1 данное по условию число \sin \alpha=\frac{\sqrt3}{2} , получаем \left (\frac{\sqrt3}{2}\right)^{2} + \cos^{2} \alpha = 1 . Это уравнение имеет два решения \cos \alpha = \pm \sqrt{1-\frac34}=\pm\sqrt\frac14 .

По условию \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi . Во второй четверти косинус отрицателен, поэтому \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12 .

Для того, чтобы найти ctg \alpha , воспользуемся формулой ctg \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} . Соответствующие величины нам известны.

ctg \alpha = -\frac12: \frac{\sqrt3}{2} = -\frac{1}{\sqrt 3} .

Я думаю, вы заслуживаете больше, чем это. Вот мой ключ к тригонометрии:

Нарисуйте купол, стену и потолок
Тригонометрические функции - это не что иное, как процентное отношение этих трех форм.

Метафора для синуса и косинуса: купол

Вместо того, чтобы просто смотреть на сами треугольники, представьте их в действии, найдя какой-то частный пример из жизни.

Представьте, будто вы находитесь посередине купола и хотите подвесить экран для кинопроектора. Вы указываете пальцем на купол под неким углом “x”, и к этой точке должен быть подвешен экран.

Угол, на который вы указываете, определяет:

синус(x) = sin(x) = высота экрана (от пола до точки крепления на куполе)
косинус(x) = cos(x) = расстояние от вас до экрана (по полу)
гипотенуза, расстояние от вас к верхушке экрана, всегда одинаковое, равно радиусу купола

Хотите, чтобы экран был максимально большой? Повесьте его прямо над собой.

Хотите, чтобы экран висел на максимально большом расстоянии от вас? Вешайте его прямо перпендикулярно. У экрана будет нулевая высота в этом положении, и он будет висеть наиболее отдаленно, как вы и просили.

Высота и расстояние от экрана обратно пропорциональны: чем ближе висит экран, тем его высота будет больше.

Синус и косинус - это проценты

Никто в годы моей учебы, увы, не объяснил мне, что тригонометрические функции синус и косинус - это не что иное, как проценты. Их значения варьируются от +100% до 0 и до -100%, или от положительного максимума до нуля и до отрицательного максимума.

Скажем, я заплатил налог 14 рублей. Вы не знаете, насколько это много. Но если сказать, что я заплатил 95% в качестве налога, вы поймете, что меня просто ободрали, как липку.

Абсолютная высота ни о чем не говорит. Но если значение синуса составляет 0.95, то я понимаю, что телевизор висит почти на верхушке вашего купола. Очень скоро он достигнет максимальной высоты по центру купола, а затем начнет снова снижаться.

Как мы можем вычислить этот процент? Очень просто: поделите текущее значение высоты экрана на максимально возможное (радиус купола, который также называют гипотенузой).

Вот почему нам говорят, что “косинус = противоположный катет / гипотенуза”. Это всё для того, чтобы получить процент! Лучше всего определить синус как “процент текущей высоты от максимально возможной”. (Синус становится отрицательным, если ваш угол указывает “под землю”. Косинус становится отрицательным, если угол указывает на точку купола позади вас).

Давайте упростим расчеты, предположив, что мы находимся в центре единичной окружности (радиус = 1). Мы можем пропустить деление и просто взять синус, равный высоте.

Каждая окружность, по сути, является единичной, увеличенной или уменьшенной в масштабе до нужного размера. Поэтому определите связи наединичной окружности и примените результаты к вашему конкретному размеру окружности.

Поэкспериментируйте: возьмите любой угол и посмотрите, какое процентное соотношение высоты к ширине он отображает:

График роста значения синуса - не просто прямая линия. Первые 45 градусов покрывают 70% высоты, а последние 10 градусов (с 80°до 90°) покрывают всего 2%.

Так вам станет понятнее: если идти по кругу, при 0° вы подымаетесь почти вертикально, но по мере подхода к верхушке купола, высота изменяется всё меньше и меньше.

Тангенс и секанс. Стена

Однажды сосед построил стену прямо впритык к вашему куполу. Плакали ваш вид из окна и хорошая цена для перепродажи!

Но можно ли как-то выиграть в этой ситуации?

Конечно, да. А что, если мы повесим киноэкран прямо на соседскую стену? Вы нацеливаетесь на угол (х) и получаете:

тангенс(x) = tan(x) = высота экрана на стене
расстояние от вас до стены: 1 (это радиус вашего купола, стена никуда не двигается от вас, верно?)
секанс(x) = sec(x) = “длина лестницы” от вас, стоящего в центре купола, до верхушки подвешенного экрана

Давайте уточним пару моментов касательно тангенса, или высоты экрана.

он начинается на 0, и может подниматься бесконечно высоко. Вы можете растягивать экран все выше и выше на стене, чтобы получить просто бесконечное полотно для просмотра любимого фильма! (На такой огромный, конечно, придется прилично потратиться).
тангенс - это просто увеличенная версия синуса! И пока прирост синуса замедляется по мере продвижения к верхушке купола, тангенс продолжает расти!

Секансу тоже есть, чем похвастаться:

cеканс начинается с 1 (лестница лежит на полу, от вас к стене) и начинает подниматься оттуда
cеканс всегда длиннее тангенса. Наклоненная лестница, с помощью которой вы вешаете свой экран, должна быть длиннее, чем сам экран, верно? (При нереальных размерах, когда экран оооочень длинный, и лестницу нужно ставить практически вертикально, их размеры почти одинаковы. Но даже тогда секанс будет чуточку длиннее).

Помните, значения являются процентами . Если вы решили повесить экран под углом 50 градусов, tan(50)=1.19. Ваш экран на 19% больше, чем расстояние к стене (радиус купола).

(Введите x=0 и проверьте свою интуицию - tan(0) = 0, а sec(0) = 1.)

Котангенс и косеканс. Потолок

Невероятно, но ваш сосед теперь решил возвести перекрытие над вашим куполом. (Что с ним такое? Он, видимо, не хочет, чтобы вы за ним подглядывали, пока он разгуливает по двору голышом…)

Ну что ж, настало время построить выход на крышу и поговорить с соседом. Вы выбираете угол наклона, и начинаете строительство:

вертикальное расстояние между выходом на крыше и полом всегда равно 1 (радиусу купола)
котангенс(x) = cot(x) = расстояние между верхушкой купола и местом выхода
косеканс(x) = csc(x) = длина вашего пути на крышу

Тангенс и секанс описывает стену, а КОтангенс и КОсеканс описывает перекрытие.

Наши интуитивные умозаключения в этот раз похожи на предыдущие:

eсли вы возьмете угол, равный 0°, ваш выход на крышу будет длиться бесконечно, так как никогда не достигнет перекрытия. Проблемка.
cамый короткий “трап” на крышу получится, если строить его под углом 90 градусов к полу. Котангенс будет равен 0 (мы вообще не передвигаемся вдоль крыши, выходим строго перпендикулярно), а косеканс равен 1 (“длина трапа” будет минимальной).

Визуализируйте связи

Если все три случая нарисовать в комбинации купол-стена-перекрытие, получится следующее:

Ну надо же, это всё один тот же треугольник, увеличенный в размере, чтобы достать до стены и до перекрытия. У нас есть вертикальные стороны (синус, тангенс), горизонтальные стороны (косинус, котангенс) и “гипотенузы” (секанс, косеканс). (По стрелкам вы можете видеть, докуда доходит каждый элемент. Косеканс - это полное расстояние от вас до крыши).

Немного волшебства. Все треугольники объединяют одни и те же равенства:

Из теоремы Пифагора (a 2 + b 2 = c 2) мы видим, как связаны стороны каждого треугольника. Кроме того, соотношения типа “высота к ширине” должны быть также одинаковыми для всех треугольников. (Просто отступите от самого большого треугольника к меньшему. Да, размер изменился, но пропорции сторон останутся прежними).

Зная, какая сторона в каждом треугольнике равна 1 (радиусу купола), мы легко вычислим, что “sin/cos = tan/1”.

Я всегда пытался запомнить эти факты путем простой визуализации. На картинке ты четко видишь эти зависимости, и понимаешь, откуда они берутся. Этот прием гораздо лучше заучивания сухих формул.

Не стоит забывать о других углах

Тсс… Не нужно зацикливаться на одном графике, думая, что тангенс всегда меньше 1. Если увеличить угол, можно дойти до потолка, не достигнув стены:

Связи Пифагора всегда работают, но относительные размеры могут быть разными.

(Вы, наверное, заметили, что соотношение синус и косинус всегда самые маленькие, потому что они заключены внутри купола).

Подытожим: что нам нужно запомнить?

Для большинства из нас, я бы сказал, что этого будет достаточно:

тригонометрия поясняет анатомию математических объектов, таких как окружности и повторяющиеся интервалы
аналогия купол/стена/крыша показывает связь между различными тригонометрическими функциями
результатом тригонометрических функций являются проценты, которые мы применяем к нашему сценарию.

Вам не нужно запоминать формулы, типа 1 2 + cot 2 = csc 2 . Они годятся разве что для глупых тестов, в которых знание факта выдаётся за его понимание. Потратьте минутку, чтобы нарисовать полуокружность в виде купола, стену и крышу, подпишите элементы, и все формулы сами напросятся вам на бумагу.

Приложение: обратные функции

Любая тригонометрическая функция использует в качестве входного параметра угол и возвращает результат в виде процента. sin(30) = 0.5. Это означает, что угол в 30 градусов занимает 50% от максимальной высоты.

Обратная тригонометрическая функция записывается как sin -1 или arcsin (“арксинус”). Также часто пишут asin в различных языках программирования.

Если наша высота составляет 25% от высоты купола, каков наш угол?

В нашей табличке пропорций можно найти соотношение, где секанс делится на 1. Например, секанс на 1 (гипотенуза к горизонтали) будет равно 1 поделить на косинус:

Допустим, наш секанс равен 3.5, т.е. 350% от радиуса единичной окружности. Какому углу наклона к стене это значение соответствует?

Приложение: Несколько примеров

Пример: Найти синус угла x.

Скучная задачка. Давайте усложним банальное “найти синус” до “Какая высота в процентах от максимума (гипотенузы)?”.

Во-первых, заметьте, что треугольник повернут. В этом нет ничего страшного. Всё также у треугольника есть высота, она на рисунке указана зеленым.

А чему равна гипотенуза? По теореме Пифагора, мы знаем, что:

3 2 + 4 2 = гипотенуза 2 25 = гипотенуза 2 5 = гипотенуза

Хорошо! Синус - это процент высоты от самой длинной стороны треугольника, или гипотенузы. В нашем примере синус равен 3/5 или 0.60.

Конечно, мы можем пойти несколькими путями. Теперь мы знаем, что синус равен 0.60, и мы можем просто найти арксинус:

Asin(0.6)=36.9

А вот еще один подход. Заметьте, что треугольник стоит “лицом к лицу к стене”, так что вместо синуса мы можем использовать тангенс. Высота равна 3, расстояние стене - 4, так что тангенс равен ¾ или 75%. Мы можем использовать арктангенс, чтобы из процентного значения вернуться обратно в угол:

Tan = 3/4 = 0.75 atan(0.75) = 36.9 Пример: А доплывете ли вы до берега?

Вы в лодке, и у вас есть достаточно топлива, чтобы проплыть 2 км. Сейчас вы находитесь в 0.25 км от берега. Под каким максимальным углом к берегу вы можете доплыть до него так, чтобы хватило топлива? Дополнение к условию задачи: у нас в наличии есть только таблица значений арккосинусов.

Что мы имеем? Береговую линию можно представить как “стену” в нашем знаменитом треугольнике, а “длину лестницы”, приставленной к стене - максимально возможным преодолимым расстоянием на лодке к берегу (2 км). Вырисовывается секанс.

Сначала, нужно перейти на проценты. У нас есть 2 / 0.25 = 8, то есть мы можем проплыть расстояние, в 8 раз больше прямой дистанции до берега (или до стены).

Возникает вопрос “Чему равен секанс 8?”. Но мы не можем дать на него ответ, так как у нас есть только арккосинусы.

Мы используем наши ранее выведенные зависимости, чтобы привязать секанс к косинусу: “sec/1 = 1/cos”

Секанс 8 равен косинусу ⅛. Угол, косинус которого ⅛ равен acos(1/8) = 82.8. И это самый большой угол, который мы можем себе позволить на лодке с указанным количеством горючего.

Неплохо, правда? Без аналогии с куполом-стеной-потолком, я бы запутался в куче формул и вычислений. Визуализация задачи сильно упрощает поиск решения, к тому же, интересно увидеть, какая тригонометрическая функция в итоге поможет.

При решении каждой задачи думайте следующим образом: меня интересует купол (sin/cos), стена (tan/sec) или потолок (cot/csc)?

И тригонометрия станет куда приятнее. Легких вам вычислений!

Позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса . В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи .

Навигация по странице.

Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

Возьмем единичную окружность , отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A 1 (x, y) .

Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти , если точка А 1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A 1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

Для синуса и косинуса это сделать просто.

По определению синус угла α - это ордината точки А 1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

В свою очередь косинус угла α - это абсцисса точки A 1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A 1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A 1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A 1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A 1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Свойство периодичности

Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А 1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A 1 .

С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α - угол поворота в радианах, z – любое , абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

Это свойство вместе с формулами приведения очень часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса «больших» углов.

Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

Пусть А 1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А 2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А 1 и А 2 либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A 1 имеет координаты (x, y) , то точка А 2 будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

Список литературы.

Алгебра: Учеб. для 9 кл. сред. шк./Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под ред. С. А. Теляковского.- М.: Просвещение, 1990.- 272 с.: ил.- ISBN 5-09-002727-7
Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др.; Под ред. А. Н. Колмогорова.- 14-е изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
Башмаков М. И. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. сред. шк. - 3-е изд. - М.: Просвещение, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

2. Область значений: [-1;1]
3. Нечетная функция.
7. Промежутки, на которых функция положительна: (2*pi*n; pi+2*pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi + 2*pi*n; 2*pi*n)
9. Промежутки возрастания: [-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n]
10. Промежутки убывания:
11. Точки минимума: -pi/2 +2*pi*n
12. Минимум функции: -1
13. Точки максимума: pi/2 +2*pi*n
14. Максимум функции: 1

Свойства косинуса

1. Область определения: вся числовая ось
2. Область значений: [-1;1]
3. Четная функция.
4. Наименьший положительный период: 2*pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 +pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;1)
7. Промежутки, на которых функция положительна: (-pi/2 +2*pi*n; pi/2 +2*pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (pi/2 +2*pi*n; 3*pi/2 +2*pi*n)
9. Промежутки возрастания: [-pi + 2*pi*n; 2*pi*n]
10. Промежутки убывания:
11. Точки минимума: pi+2*pi*n
12. Минимум функции: -1
13. Точки максимума: 2*pi*n
14. Максимум функции: 1

Свойства тангенса

1. Область определения: (-pi/2 +pi*n; pi/2 +pi*n)
3. Нечетная функция.
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: (0;0)
9. Функция возрастает на промежутках (-pi/2 + pi*n; pi/2 + pi*n)

Свойства котангенса

1. Область определения: (pi*n; pi +pi*n)
2. Область значений: вся числовая ось
3. Нечетная функция.
4. Наименьший положительный период: pi
5. Координаты точек пересечения графика функции с осью Ох: (pi/2 + pi*n; 0)
6. Координаты точек пересечения графика функции с осью Оу: нет
7. Промежутки, на которых функция положительна: (pi*n; pi/2 +pi*n)
8. Промежутки, на которых функция отрицательна: (-pi/2 +pi*n; pi*n)
9. Функция убывает на промежутках (pi*n; pi +pi*n)
10. Точек максимума и минимума нет.

На рисунке ниже представлены несколько единичных окружностей, в которых указаны знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса в различных координатных четвертях.

С центром в точке A .
α - угол, выраженный в радианах.

Тангенс (tg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины противолежащего катета |BC| к длине прилежащего катета |AB| .

Котангенс (ctg α ) - это тригонометрическая функция, зависящая от угла α между гипотенузой и катетом прямоугольного треугольника, равная отношению длины прилежащего катета |AB| к длине противолежащего катета |BC| .

Тангенс

Где n - целое.

В западной литературе тангенс обозначается так:
.
;
;
.

График функции тангенс, y = tg x

Котангенс

Где n - целое.

В западной литературе котангенс обозначается так:
.
Также приняты следующие обозначения:
;
;
.

График функции котангенс, y = ctg x

Свойства тангенса и котангенса

Периодичность

Функции y = tg x и y = ctg x периодичны с периодом π .

Четность

Функции тангенс и котангенс - нечетные.

Области определения и значений, возрастание, убывание

Функции тангенс и котангенс непрерывны на своей области определения (см. доказательство непрерывности). Основные свойства тангенса и котангенса представлены в таблице (n - целое).

	y = tg x	y = ctg x
Область определения и непрерывность
Область значений	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Возрастание		-
Убывание	-
Экстремумы	-	-
Нули, y = 0
Точки пересечения с осью ординат, x = 0	y = 0	-

Формулы

Выражения через синус и косинус

; ;
; ;
;

Формулы тангенса и котангенс от суммы и разности

Остальные формулы легко получить, например

Произведение тангенсов

Формула суммы и разности тангенсов

В данной таблице представлены значения тангенсов и котангенсов при некоторых значениях аргумента.

Выражения через комплексные числа

Выражения через гиперболические функции

;
;

Производные

; .

.
Производная n-го порядка по переменной x от функции :
.
Вывод формул для тангенса > > > ; для котангенса > > >

Интегралы

Разложения в ряды

Чтобы получить разложение тангенса по степеням x , нужно взять несколько членов разложения в степенной ряд для функций sin x и cos x и разделить эти многочлены друг на друга , . При этом получаются следующие формулы.

При .

при .
где B n - числа Бернулли. Они определяются либо из рекуррентного соотношения:
;
;
где .
Либо по формуле Лапласа:

Обратные функции

Обратными функциями к тангенсу и котангенсу являются арктангенс и арккотангенс , соответственно.

Арктангенс, arctg

, где n - целое.

Арккотангенс, arcctg