Понятие о прямой пропорциональности
Представьте, что вы задумали купить своих любимых конфет (или чего угодно, что вам очень нравится). У конфет в магазине своя цена. Предположим, 300 рублей за килограмм. Чем больше конфет вы купите, тем больше денег заплатите. То есть если захотите 2 килограмма – заплатите 600 р., а захотите 3 кило – отдадите 900 рублей. С этим вроде бы все ясно, верно?
Если да, то тогда вам сейчас ясно и что такоепрямая пропорциональность– это понятие, которое описывает отношение двух зависящих друг от друга величин. И отношение этих величин остается неизменным и постоянным: на сколько частей увеличивается или уменьшается одна из них, на столько же частей пропорционально увеличивается или уменьшается вторая.
Описать прямую пропорциональность можно такой вот формулой:f(x) = a*x, и a в этой формуле – постоянная величина (a = const). В нашем примере про конфеты цена – это постоянная величина, константа. Она не возрастает и не уменьшается, сколько бы конфет вы не задумали купить. Независимая переменная (аргумент)x– это то, сколько килограммов конфет купить вы собираетесь. А зависимая переменнаяf(x) (функция) – то, сколько денег вы в итоге заплатите за свою покупку. Так что можем подставить в формулу цифры и получить: 600 р. = 300 р. * 2 кг.
Промежуточный вывод такой: если возрастает аргумент, возрастает и функция, если аргумент убывает, функция тоже убывает
Функция и ее свойства
Функцией прямой пропорциональности является частный случай линейной функции. Если линейная функция это y = k*x + b, то для прямой пропорциональности это выглядит так: y = k*x, гдеk называется коэффициентом пропорциональности, и это всегда не равно нулю число. Вычислитьk легко – он находится как частное функции и аргумента: k = у/х.
Чтобы было нагляднее, возьмем еще один пример. Представьте, что из пункта А в пункт Б движется автомобиль. Его скорость – 60 км/ч. Если предположить, что скорость движения остается постоянной, то ее можно принять за константу. И тогда запишем условия в виде: S = 60*t , и эта формула аналогична функции прямой пропорциональности y = k *x . Проведем параллель дальше: если k = у/х, то и скорость автомобиля можно вычислить, зная расстояние между А и Б и затраченное на дорогу время: V = S /t .
А теперь от прикладного применения знаний о прямой пропорциональности вернемся обратно к ее функции. К свойствам которой относится:
областью ее определения является множество всех действительных чисел (а также его подмножества);
функция нечетная;
изменение переменных прямо пропорционально осуществляется по всей длине числовой прямой.
Прямая пропорциональность и ее график
График функции прямой пропорциональности – это прямая, которая пересекает точку начала координат. Чтобы его построить, достаточно отметить только еще одну точку. И соединить ее и начало координат прямой.
В случае с графикомk– это угловой коэффициент. Если угловой коэффициент меньше нуля (k < 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k > 0), график и ось абсцисс образуют острый угол, а функция – возрастающая.
И еще одно свойство графика функции прямой пропорциональности напрямую связано с угловым коэффициентомk. Предположим, у нас две не идентичных функции и, соответственно, два графика. Так вот, если коэффициентыkэтих функций равны, их графики расположены на оси координат параллельно. А если коэффициентыkне равны друг другу, графики пересекаются.
Примеры задач
А теперь решим пару задач на прямую пропорциональность
Начнем с простого.
Задача 1: Представьте, что 5 куриц за 5 дней снесли 5 яиц. А если будет 20 куриц, сколько яиц они снесут за 20 дней?
Решение: Обозначим неизвестное какх. И рассуждать будем следующим образом: во сколько раз больше куриц стало? Разделим 20 на 5 и узнаем, что в 4 раза. А во сколько раз больше яиц снесут 20 куриц за те же 5 дней? Тоже в 4 раза больше. Значит, находим нашх так: 5*4*4 = 80 яиц снесут 20 куриц за 20 дней.
Теперь пример чуть сложнее, перефразируем задачу из «Всеобщей арифметики» Ньютона. Задача 2: Писатель за 8 дней может сочинить 14 страниц новой книги. Если бы у него были помощники, сколько бы человек понадобилось, чтобы написать 420 страниц за 12 дней?
Решение: Рассуждаем, что количество человек (писатель + помощники) увеличивается с увеличением объема работы, если бы ее пришлось сделать за то же количество времени. Но во сколько раз? Разделив 420 на 14, узнаем, что увеличивается в 30 раз. Но так как по условию задачи на работу дается больше времени, то количество помощников увеличивается не в 30 раз, а таким образом: х = 1 (писатель) * 30 (раз) : 12/8 (дней). Преобразуем и выясним, что х = 20 человек напишут 420 страниц за 12 дней.
Решим еще задачу, похожую на те, что были у нас в примерах.
Задача 3: В одно и то же путешествие отправилось два автомобиля. Один двигался со скоростью 70 км/ч и за 2 часа проделал тот же путь, что другой за 7 часов. Найдите скорость второго автомобиля.
Решение: Как вы помните, путь определяется через скорость и время – S = V *t . Поскольку путь оба автомобиля проделали одинаковый, мы можем приравнять два выражения: 70*2 = V*7. Откуда найдем, что скорость второго автомобиля, это V = 70*2/7 = 20 км/ч.
И еще пару примеров заданий с функциями прямой пропорциональности. Иногда в задачах требуется найти коэффициент k.
Задача 4 : Даны функции у = - х/16 и у = 5х/2, определите их коэффициенты пропорциональности.
Решение: Как вы помните, k = у/х. Значит, для первой функции коэффициент равен -1/16, а для второй k = 5/2.
А еще вам может встретиться задание, как Задача 5 : Запишите формулой прямую пропорциональность. Ее график и график функции у = -5х + 3 расположены параллельно.
Решение: Функция, которая дана нам в условии, – линейная. Нам известно, что прямая пропорциональность – частный случай линейной функции. А также мы знаем, что если коэффициенты k функций равны, их графики параллельны. Значит, все, что требуется – это вычислить коэффициент известной функции и задать прямую пропорциональность по знакомой нам формуле: y = k *x . Коэффициент k = -5, прямая пропорциональность: у = -5*х.
Вывод
Теперь вы узнали (или вспомнили, если уже проходили эту тему раньше), что называется прямой пропорциональностью , и рассмотрели ее примеры . Мы также поговорили о функции прямой пропорциональности и ее графике, решили несколько задач для примера.
Если эта статья оказалась полезной и помогла разобраться в теме, расскажите нам об этом в комментариях. Чтобы мы знали, смогли ли принести вам пользу.
blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.
Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:
1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;
2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;
3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.
Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».
Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.
1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?
(Рассуждаем так:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):
12:10=х:3,5
Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
Значит, потребуется 4,2 кг металла.
Ответ: 4,2 кг.
2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?
(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).
Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):
15:12=1680:х
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:
Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.
Ответ: 1344 рубля.
Типы зависимостей
Рассмотрим зарядку батареи. В качестве первой величины возьмем время, которое она заряжается. Вторая величина – время, которое она будет работать после зарядки. Чем дольше будет заряжаться батарея, тем дольше она будет работать. Процесс будет длиться до тех пор, пока батарея не полностью зарядится.
Зависимость времени работы батареи от времени, которое она заряжается
Замечание 1
Такая зависимость называется прямой :
С увеличением одной величины увеличивается и вторая. С уменьшением одной величины уменьшается и вторая величина.
Рассмотрим другой пример.
Чем больше книг прочитает ученик, тем меньше ошибок сделает в диктанте. Или чем выше подняться в горы, тем ниже будет атмосферное давление.
Замечание 2
Такая зависимость называется обратной :
С увеличением одной величины уменьшается вторая. С уменьшением одной величины увеличивается вторая величина.
Таким образом, в случае прямой зависимости обе величины изменяются одинаково (обе либо увеличиваются, либо уменьшаются), а в случае обратной зависимости – противоположно (одна увеличивается, а другая уменьшается либо наоборот).
Определение зависимостей между величинами
Пример 1
Время, затраченное для похода в гости к другу, составляет $20$ минут. При увеличении скорости (первой величины) в $2$ раза найдем, как изменится время (вторая величина), которое будет затрачено на путь к другу.
Очевидно, что время уменьшится в $2$ раза.
Замечание 3
Такую зависимость называют пропорциональной :
Во сколько раз изменится одна величина, во столько раз изменится и вторая.
Пример 2
За $2$ булки хлеба в магазине нужно заплатить 80 рублей. Если нужно купить $4$ булки хлеба (количество хлеба увеличивается в $2$ раза), во сколько раз придется больше заплатить?
Очевидно, что стоимость также увеличится в $2$ раза. Имеем пример пропорциональной зависимости.
В обоих примерах были рассмотрены пропорциональные зависимости. Но в примере с булками хлеба величины изменяются в одну сторону, следовательно, зависимость является прямой . А в примере с походом к другу зависимость между скоростью и временем – обратная . Таким образом, существует прямо пропорциональная зависимость и обратно пропорциональная зависимость .
Прямая пропорциональность
Рассмотрим $2$ пропорциональные величины: количество булок хлеба и их стоимость. Пусть $2$ булки хлеба стоят $80$ рублей. При увеличении количества булок в $4$ раза ($8$ булок) их общая стоимость будет составлять $320$ рублей.
Отношение количества булок: $\frac{8}{2}=4$.
Отношение стоимости булок: $\frac{320}{80}=4$.
Как видно, эти отношения равны между собой:
$\frac{8}{2}=\frac{320}{80}$.
Определение 1
Равенство двух отношений называется пропорцией .
При прямо пропорциональной зависимости получается отношение, когда изменение первой и второй величины совпадает:
$\frac{A_2}{A_1}=\frac{B_2}{B_1}$.
Определение 2
Две величины называются прямо пропорциональными , если при изменении (увеличении или уменьшении) одной из них во столько же раз изменяется (увеличивается или уменьшается соответственно) и другая величина.
Пример 3
Автомобиль проехал $180$ км за $2$ часа. Найти время, за которое он с той же скоростью проедет в $2$ раза большее расстояние.
Решение .
Время прямо пропорционально расстоянию:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличится расстояние, при постоянной скорости, во столько же раз увеличится время:
$\frac{2S}{v}=2t$;
$\frac{3S}{v}=3t$.
Автомобиль проехал $180$ км – за время $2$ часа
Автомобиль проедет $180 \cdot 2=360$ км – за время $x$ часов
Чем больше расстояние проедет автомобиль, тем большее время ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами прямо пропорциональная.
Составим пропорцию:
$\frac{180}{360}=\frac{2}{x}$;
$x=\frac{360 \cdot 2}{180}$;
Ответ : автомобилю потребуется $4$ часа.
Обратная пропорциональность
Определение 3
Решение .
Время обратно пропорционально скорости:
$t=\frac{S}{v}$.
Во сколько раз увеличивается скорость, при том же пути, во столько же раз уменьшается время:
$\frac{S}{2v}=\frac{t}{2}$;
$\frac{S}{3v}=\frac{t}{3}$.
Запишем условие задачи в виде таблицы:
Автомобиль проехал $60$ км - за время $6$ часов
Автомобиль проедет $120$ км – за время $x$ часов
Чем больше скорость автомобиля, тем меньше времени ему понадобится. Следовательно, зависимость между величинами обратно пропорциональная.
Составим пропорцию.
Т.к. пропорциональность обратная, второе отношение в пропорции переворачиваем:
$\frac{60}{120}=\frac{x}{6}$;
$x=\frac{60 \cdot 6}{120}$;
Ответ : автомобилю потребуется $3$ часа.
АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ «ГОРОД САРАТОВ»
МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
"СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 95 С УГЛУБЛЕННЫМ
ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ"
урока алгебры в 7 классе
по теме:
«Прямая пропорциональность
и её график».
Учитель математики
Горюнова Е.В.
2014 – 2015 учебный год
к уроку по теме:
«Прямая пропорциональность и её график».
Учитель математики Горюнова Елена Викторовна.
Вашему вниманию представлен урок в 7 классе. Учитель работает по программе, составленной на основе Примерных программ основного общего образования и авторской программы для общеобразовательных учреждений Ю.Н. Макарычев. Алгебра.7-9 классы //Сборник программ по алгебре 7-9 классы. М.Просвещение, 2009 составитель Т.А. Бурмистрова. Программа соответствует учебнику алгебры Ю.Н. Макарычев, Н.Г Миндюк, К.И. Нешков., С.Б Суворова., под редакцией С.А. Теляковского «Алгебра 7 класс» (издательство «Просвещение» 2009 год).
На изучение темы «Функции» отводится 14 часов, из них 6 часа на раздел «Функции и их графики», 3 часа - на раздел «Прямая пропорциональность и её график» , 4 часа- на раздел «Линейная функция и её график» и 1ч К/Р.
ЦЕЛИ:
Образовательные:
Развивающие:
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю.
Воспитательные:
Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей
Достижение этих целей выполняется с помощью ряда задач:
Формирование умения сочетать знания и навыки, которые обеспечивают успешное выполнение деятельности;
Вести работу над развитием связанной речи учащихся, умением ставить и разрешать проблемы.
Оборудование урока:
На уроке использовались индивидуальные карточки с заданиями и мультимедийный проектор, все факты об Р. Декарте были взяты учителем в Интернете с официальных сайтов СМИ и переработаны специально для данного урока с учётом темы урока, учебник.
Тип и структура урока:
Данный урок является уроком освоения новых знаний и навыков (типы уроков по В.А. Онищуку), поэтому рационально было применить элементы исследовательской деятельности.
Реализация принципов обучения:
На уроке были реализованы принципы:
Научности обучения.
Принцип систематичности и последовательности в обучении был осуществлён при постоянной опоре на ранее изученный материал.
Сознательность, активность и самостоятельность учащихся достигалась в виде стимулирования познавательной активности с помощью эффективных приёмов и средств наглядности (таких как показ слайдов, предоставления исторических фактов и сведений из жизни математика и философа Р.Декарте, индивидуальных печатных листов учащихся.
На уроке был реализован принцип комфортности.
Формы и методы обучения:
Во время урока были применены различные формы обучения – это индивидуальная и фронтальная работа, взаимопроверка. Такие формы более рациональны для данного типа урока, так как позволяют ребёнку развивать самостоятельность мышления, критичность мысли, способность отстаивания своей точки зрения, умение сравнивать и делать выводы.
Основным методом данного урока является частично-поисковый метод, который характеризуется работой учащихся по решению проблемных познавательных задач.
Физ. минутка представляла собой одновременно и физические упражнения и закрепление только что изученного материала.
В конце урока целесообразно провести обобщение проведённой работы на уроке.
Общие результаты урока:
Считаю, что задачи, поставленные на урок, реализованы, дети применяли знания в новой ситуации, каждый мог высказать свою точку зрения. Использование наглядности в виде презентации, индивидуальных печатных листов учащихся позволяет мотивировать учащихся на каждом этапе урока и избегать перегрузки и переутомления учащихся.
Тема урока :
Дидактическая задача: знакомство с прямой пропорциональностью и построением ее графика.
Цели :
Образовательные:
1. Организовать деятельность учащихся по восприятию темы «Прямая пропорциональность и её график» и первичному закреплению: определения прямой пропорциональности и построения её графика, формировать навыки грамотного построения графиков
2. Создавать условия для создания в памяти учащихся системы опорных знаний и умений, стимулировать поисковую деятельность
Развивающие:
1. Развивать аналитико – синтезирующее мышления (способствовать развитию наблюдательности, умению анализировать, развитие умений классифицировать факты, делать обобщающие выводы).
2. Развивать абстрактное мышление (развитие умений выделять общие и существенные признаки, отличать несущественные признаки и отвлекаться от них).
3. Побуждать учеников к самоконтролю и взаимоконтролю
Воспитательные:
Прививать чувство уважения к одноклассникам, внимание к слову, способствовать воспитанию самостоятельности, ответственности, аккуратности при построении чертежей.
Оборудование: компьютер, презентация, карточки на печатной основе с заданиями на каждого ученика.
План урока:
1.Организационный момент.
2.Мотивация урока.
3.Актуализация знаний.
4.Изучение нового материала.
5. Закрепление материала.
6. Итог урока.
Ход урока.
1.Организационный момент.
Доброе утро, ребята! Мне бы хотелось начать урок со следующих слов. (Слайд 1)
Французский учёный Рене Декарт однажды заметил: «Мыслю, следовательно существую ».
Ребята приготовили сообщение о французском учёном Р.Декарте.
Рене Декарт больше известен как великий философ, чем математик. Но именно он был пионером современной математики, и его заслуги в этой области столь велики, что он по справедливости входит в число великих математиков современности.
Сообщение ученика: (Слайд 2)
Родился Декарт родился во Франции, в небольшом городке Лаэ. Отец его был юристом, мать умерла, когда Рене был 1 год. После окончания коллежа для сыновей аристократических семейств, он по примеру своего брата стал изучать правоведение. В 22–летнем возрасте уехал из Франции и в качестве офицера–добровольца служил в войсках разных военачальников, участвовавших в 13-летней войне. Декарт в своем философском учении развивал идею о всемогуществе человеческого разума, и поэтому преследовался католической церковью. Желая найти убежище для спокойной работы по философии и математике, которыми он интересовался с детства, Декарт в 1629 году поселился в Голландии, где прожил почти до конца жизни. Все крупные произведения Декарта по философии, математике, физике, космологии и физиологии написаны им в Голландии.
Математические труды Декарта собраны в его книге „Геометрия" (1637). В „Геометрии" Декарт дал основы аналитической геометрии и алгебры. Декарт первый ввел в математику понятие переменной функции. Он обратил внимание на то, что кривая на плоскости характеризуется уравнением, обладающим тем свойством, что координаты любой точки, лежащей на этой линии, удовлетворяют данному уравнению. Он разделил кривые, заданные алгебраическим уравнением, на классы в зависимости от наибольшей степени неизвестной величины в уравнении. Декарт ввел в математику знаки плюс и минус для обозначения положительных и отрицательных величин, обозначение степении знак для обозначения бесконечно большой величины. Для переменных и неизвестных величин Декарт принял обозначения х, у, z , а для величин известных и постоянных -a .b .c , как известно, эти обозначения применяются в математике до сегодняшнего дня. Несмотря на то, что в области аналитической геометрии Декарт продвинулся не очень далеко, его труды оказали решающее влияние на дальнейшее развитие математики. На протяжении 150 лет математика развивалась путями, предначертанными Декартом.
Давайте следовать совету учёного. Будем активны, внимательны, будем рассуждать, мыслить и узнавать новое, ведь знания пригодятся вам в дальнейшей жизни.А эти слова(Слайд3) Р.Декарта мне хочется предложить как девиз нашего урока: «Уважение других даёт повод к уважению самого себя».
2.Мотивация.
Проверим с каким настроением вы пришли на урок. Рисуем на полях смайлик.
Возьмите карточки. Тут так же написаны слова Р.Декарта: « Для того, чтобы совершенствовать свой ум надо больше рассуждать, чем заучивать». Эти слова будут для нас руководством в нашей работе.
Задание №1 с математическими терминами, которые мы будем употреблять на уроке. Исправьте ошибки, допущенные в написании этих терминов. (Слайд 4)
Поменяйтесь, листочками и проверьте, все ли ошибки исправлены. (Слайд 5) -Что вы заметили? В каком слове нет ошибок? (функция, график)
3.Актуализация знания.
а) С понятием «функция» мы познакомились на предыдущих уроках. Давайте вспомним основные понятия и определения по этой теме.
С графиками функций мы тоже работали. Какие из слов диктанта мы употребляли при работе по теме «Графики функций»? Что они обозначают?
На этом слайде определите какая из линий будет графиком функции? (Слайд 6)
А кто скажет о чем мы будем рассуждать на этом уроке? Какие цели поставим на урок? (Слайд7)
На листах учащихся записать число и напишем тему урока: «Прямая пропорциональность и ее график»
Вспомним материал прошлых уроков
Составьте формулы, для решения следующих задач. (Слайд 9,10)
Какие переменные зависимые, независимые? Что от чего зависит? Какая зависимость? (Слайд)
Какая из формул отличается от других? (Слайд)
в) Как можно записать формулы в общем виде? (Слайд)
y =kx , y - зависимая переменная
x – независимая переменная
k – постоянное число (коэффициент)
Мы записали формулу, а это один из способов задания функции. Прямая пропорциональная зависимость – функция.
4.Изучение нового материала.
Определение. Прямой пропорциональностью называется функция, которую можно задать формулой у=кх, где х – независимая переменная, а к – некоторое число, неравное нулю, коэффициент прямой пропорциональности (неизменное отношение пропорциональных величин)
Прочитаем правило в учебнике на стр.65
Область определения этой функции? (Множество всех чисел)
Закрепление материала.
Выполните задание в листах №4(Слайд) Распредели формулы на 2 группы в соответствии с темой урока: (читаем правило в учебнике на стр.65)
у=2х, у=3х-7 , у=-0,2х, у= х, у=х², у=х, у=-5,8+3х, у=-х, у=50х,
1 группа:_____________________________________________________
2группа:_____________________________________________________
Подчеркните коэффициент прямой пропорциональности.
Выполняем №298 на стр.68 (устно), я диктую, вы на слух определяете формулу пр.пропорциональности и жмурите глаза, если не пр.пропорцинальностью, то вращаете глаза слева на право.
Придумай и запиши 4 формулы функции прямой пропорциональности:
1)у=_________2)у=__________3) у=_________4) у=__________
Изучение нового материала
Каков график этой функции? Хотите узнать?
Мы уже строили в задании№2 график функции, эту функцию мы можем назвать пр.пропорцинальностью? Значит мы уже строили график пр.пропорцинальности. Правило в учебнике на стр. 67.
Посмотрим как будем строить график этой функции (Слайд)
Закрепление материала.
Построим график №7 в листах учащихся (Слайд)
Какую точку мы будем иметь в любом графике пр.пропорцинальности?
Работаем по готовым чертежам. (Слайд)
Вывод: графиком является прямая, проходящая через начало координат.
Т.К. график – прямая, то сколько точек необходимо для ее построения? Одна уже есть (0;0)
Выполняем № 300
Итог урока. Обобщим работу на сегодняшнем уроке (Слайд) . Всё сделали. Что запланировали?
Рефлексия. (Слайд)
Проверить настроение учащихся на конец урока.(смайлик) (Слайд)
§ 129. Предварительные разъяснения.
Человек постоянно имеет дело с самыми разнообразными величинами. Служащий и рабочий стараются к определённому времени попасть на службу, на работу, пешеход спешит дойти до известного места кратчайшим путём, истопник парового отопления беспокоится о том, что температура в котле медленно поднимается, хозяйственник строит планы снижения стоимости продукции и т. д.
Таких примеров можно было бы привести сколько угодно. Время, расстояние, температура, стоимость - всё это разнообразные величины. В первой и во второй частях настоящей книги мы ознакомились с некоторыми особенно часто встречающимися величинами: площадью, объёмом, весом. Со многими величинами мы встречаемся при изучении физики и других наук.
Представьте себе, что вы едете в поезде. Время от времени вы смотрите на часы и замечаете, как долго вы уже находитесь в пути. Вы говорите, например, что со времени отправления вашего поезда прошло 2, 3, 5, 10, 15 часов и т. д. Эти числа обозначают различные промежутки времени; они называются значениями этой величины (времени). Или вы смотрите в окно и следите по дорожным столбам за расстоянием, которое проходит ваш поезд. Перед вами мелькают числа 110, 111, 112, 113, 114 км. Эти числа обозначают различные расстояния, которые прошёл поезд от места отправления. Они тоже называются значениями, на этот раз другой величины (пути или расстояния между двумя пунктами). Таким образом, одна величина, например время, расстояние, температура, может принимать сколько угодно различных значений.
Обратите внимание на то, что человек почти никогда не рассматривает только одну величину, а всегда с в я з ы в а е т её с какими-нибудь другими величинами. Ему приходится одновременно иметь дело с двумя, тремя и большим числом величин. Представьте себе, что вам нужно к 9 часам попасть в школу. Вы смотрите на часы и видите, что в вашем распоряжении 20 минут. Тогда вы быстро соображаете, стоит ли вам садиться в трамвай или вы успеете дойти до школы пешком. Подумав, вы решаете идти пешком. Заметьте, что в то время, когда вы думали, вы решали некоторую задачу. Эта задача стала простой и привычной, так как вы решаете такие задачи каждый день. В ней вы быстро сопоставили несколько величин. Именно вы посмотрели на часы, значит, учли время, затем вы мысленно представили себе р а с с т о я н и е от вашего дома до школы; наконец, вы сравнили две величины: скорость вашего шага и скорость трамвая, и сделали вывод, что за данное время (20 мин.) вы успеете дойти пешком. Из этого простого примера вы видите, что в нашей практике некоторые величины связаны между собой, т. е. зависят друг от друга
В главе двенадцатой было рассказано об отношении однородных величин. Например, если один отрезок равен 12 м, а другой 4 м, то отношение этих отрезков будет 12: 4.
Мы говорили, что это есть отношение двух однородных величин. Можно сказать иначе, что это есть отношение двух чисел одного наименования.
Теперь, когда мы больше познакомились с величинами и ввели понятие значения величины, можно по-новому высказать определение отношения. В самом деле, когда мы рассматривали два отрезка 12 м и 4 м, то мы говорили об одной величине - длине, а 12 м и 4 м - это были только два разных значения этой величины.
Поэтому в дальнейшем, когда мы станем говорить об отношении, то будем рассматривать при этом два значения одной какой-нибудь величины, а отношением одного значения величины к другому значению той же величины будем называть частное от деления первого значения на второе.
§ 130. Величины прямо пропорциональные.
Рассмотрим задачу, в условие которой входят две величины: расстояние и время.
Задача 1. Тело, движущееся прямолинейно и равномерно, проходит в каждую секунду 12 см. Определить путь, пройденный телом в 2, 3, 4, ..., 10 секунд.
Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением времени и расстояния.
Таблица даёт нам возможность сопоставить эти два ряда значений. Мы видим из неё, что когда значения первой величины (времени) постепенно увеличиваются в 2, 3, ..., 10 раз, то и значения второй величины (расстояния) тоже увеличиваются в 2, 3,..., 10 раз. Таким образом, при увеличении значений одной величины в несколько раз значения другой величины увеличиваются во столько же раз, а при уменьшении значений одной величины в несколько раз значения другой величины уменьшаются во столько же раз.
Рассмотрим теперь задачу, в которую входят две такие величины: количество материи и стоимость её.
Задача 2. 15 м ткани стоят 120 руб. Вычислить стоимость этой ткани для нескольких других количеств метров, указанных в таблице.
По этой таблице мы можем проследить, каким образом постепенно возрастает стоимость товара в зависимости от увеличения его количества. Несмотря на то что в этой задаче фигурируют совсем другие величины (в первой задаче - время и расстояние, а здесь - количество товара и его стоимость), тем не менее в поведении этих величин можно обнаружить большое сходство.
В самом деле, в верхней строке таблицы идут числа, обозначающие число метров ткани, под каждым из них написано число, выражающее стоимость соответствующего количества товара. Даже при беглом взгляде на эту таблицу видно, что числа и в верхнем и в нижнем ряду возрастают ; при более же внимательном рассмотрении таблицы и при сравнении отдельных столбцов обнаруживается, что во всех случаях значения второй величины возрастают во столько же раз, во сколько возрастают значения первой, т. е. если значение первой величины возросло, положим, в 10 раз, то и значение второй величины увеличилось тоже в 10 раз.
Если мы станем просматривать таблицу справа налево , то обнаружим, что указанные значения величин будут уменьшаться в одинаковое число раз. В этом смысле между первой задачей и второй имеется безусловное сходство.
Пары величин, с которыми мы встретились в первой и второй задачах, называются прямо пропорциональными.
Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой увеличивается (уменьшается) во столько же раз, то такие величины называются прямо пропорциональными.
О таких величинах говорят также, что они связаны между собой прямо пропорциональной зависимостью.
В природе и в окружающей нас жизни встречается множество подобных величин. Приведём примеры:
1. Время работы (день, два дня, три дня и т. д.) и заработок , полученный за это время при подённой оплате труда.
2. Объём какого-нибудь предмета, сделанного из однородного материала, и вес этого предмета.
§ 131. Свойство прямо пропорциональных величин.
Возьмём задачу, в которую входят следующие две величины: рабочее время и заработок. Если ежедневный заработок 20 руб., то заработок за 2 дня будет 40 руб., и т. д. Удобнее всего составить таблицу, в которой определённому числу дней будет соответствовать определённый заработок.
Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли 10 различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённое значение второй величины, например 2 дням соответствуют 40 руб.; 5 дням соответствуют 100 руб. В таблице эти числа написаны одно под другим.
Мы уже знаем, что если две величины прямо пропорциональны, то каждая из них в процессе своего изменения увеличивается во столько же раз, во сколько раз увеличивается и другая. Отсюда сразу следует: если мы возьмём отношение каких-нибудь двух значений первой величины, то оно будет равно отношению двух соответствующих значений второй величины. В самом деле:
Почему это происходит? А потому, что эти величины прямо пропорциональны, т. е. когда одна из них (время) увеличилась в 3 раза, то и другая (заработок) увеличилась в 3 раза.
Мы пришли, следовательно, к такому выводу: если взять два каких-нибудь значения первой величины и разделить их одно на другое, а потом разделить одно на другое соответствующие им значения второй величины, то в обоих случаях получится одно и то же число, т. е. одно и то же отношение. Значит, два отношения, которые мы выше написали, можно соединить знаком равенства, т. е.
Нет сомнения в том, что если бы мы взяли не эти отношения, а другие и не в том порядке, а в обратном, то также получили бы равенство отношений. В самом деле, будем рассматривать значения наших величин слева направо и возьмём третьи и девятые значения:
60:180 = 1 / 3 .
Значит, мы можем написать:
Отсюда вытекает такой вывод: если две величины прямо пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений первой величины равно отношению двух соответствующих значений второй величины.
§ 132. Формула прямой пропорциональности.
Составим таблицу стоимости различных количеств конфет, если 1 кг их стоит 10,4 руб.
Теперь поступим таким образом. Возьмём любое число второй строки и разделим его на соответствующее число первой строки. Например:
Вы видите, что в частном всё время получается одно и то же число. Следовательно, для данной пары прямо пропорциональных величин частное от деления любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся). В нашем примере это частное равно 10,4. Это постоянное число называется коэффициентом пропорциональности. В данном случае оно выражает цену единицы измерения, т. е. одного килограмма товара.
Как найти или вычислить коэффициент пропорциональности? Чтобы это сделать, нужно взять любое значение одной величины и разделить его на соответствующее значение другой.
Обозначим это произвольное значение одной величины буквой у , а соответствующее значение другой величины - буквой х , тогда коэффициент пропорциональности (обозначим его К ) найдём посредством деления:
В этом равенстве у - делимое, х - делитель и К - частное, а так как по свойству деления делимое равно делителю, умноженному на частное, то можно написать:
y = Kx
Полученное равенство называется формулой прямой пропорциональности. Пользуясь этой формулой, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из прямо пропорциональных величин, если знаем соответствующие значения другой величины и коэффициент пропорциональности.
Пример. Из физики мы знаем, что вес Р какого-либо тела равен его удельному весу d , умноженному на объём этого тела V , т. е. Р = d V .
Возьмём пять железных болванок различного объёма; зная удельный вес железа (7,8), можем вычислить веса этих болванок по формуле:
Р = 7,8 V .
Сравнивая эту формулу с формулой у = Кх , видим, что у = Р , х = V , а коэффициент пропорциональности К = 7,8. Формула та же, только буквы другие.
Пользуясь этой формулой, составим таблицу: пусть объем 1-й болванки равен 8 куб. см, тогда вес её равен 7,8 8 = 62,4 (г). Объём 2-й болванки 27 куб. см. Её вес равен 7,8 27 = 210,6 (г). Таблица будет иметь такой вид:
Вычислите сами числа, недостающие в этой таблице, пользуясь формулой Р = d V .
§ 133. Другие способы решения задач с прямо пропорциональными величинами.
В предыдущем параграфе мы решили задачу, в условие которой входили прямо пропорциональные величины. Для этой цели мы предварительно вывели формулу прямой пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем два других способа решения подобных задач.
Составим задачу по числовым данным, приведённым в таблице предыдущего параграфа.
Задача. Болванка объёмом 8 куб. см весит 62,4 г. Сколько будет весить болванка объёмом 64 куб. см?
Решение. Вес железа, как известно, пропорционален его объёму. Если 8 куб. см весят 62,4 г, то 1 куб. см будет весить в 8 раз меньше, т. е.
62,4: 8 = 7,8 (г).
Болванка объёмом 64 куб. см будет весить в 64 раза больше, чем болванка в 1 куб. см, т. е.
7,8 64 = 499,2(г).
Мы решили нашу задачу способом приведения к единице. Смысл этого названия оправдывается тем, что для её решения нам пришлось в первом вопросе найти вес единицы объёма.
2. Способ пропорции. Решим эту же задачу способом пропорции.
Так как вес железа и его объём - величины прямо пропорциональные, то отношение двух значений одной величины (объёма) равно отношению двух соответствующих значений другой величины (веса), т. е.
(буквой Р мы обозначили неизвестный вес болванки). Отсюда:
(г).
Задача решена способом пропорций. Это значит, что для её решения была составлена пропорция из чисел, входящих в условие.
§ 134. Величины обратно пропорциональные.
Рассмотрим следующую задачу: «Пять каменщиков могут сложить кирпичные стены дома в 168 дней. Определить, во сколько дней могли бы выполнить ту же работу 10, 8, 6 и т. д. каменщиков».
Если 5 каменщиков сложили стены дома за 168 дней, то (при одинаковой производительности труда) 10 каменщиков могли бы выполнить это вдвое скорее, так как в среднем 10 человек выполняют работу в два раза большую, чем 5 человек.
Составим таблицу, по которой можно было бы следить за изменением числа рабочих и рабочего времени.
Например, чтобы узнать, сколько дней потребуется 6 рабочим, надо сначала вычислить, сколько дней требуется одному рабочему (168 5 = 840), а затем - шести рабочим (840: 6 = 140). Рассматривая эту таблицу, мы видим, что обе величины приняли шесть различных значений. Каждому значению первой величины соответствует определённее; значение второй величины, например 10-ти соответствует 84, числу 8 - число 105 и т. д.
Если мы будем рассматривать значения обеих величин слева направо, то увидим, что значения верхней величины возрастают , a значения нижней убывают . Возрастание и убывание подчинено следующему закону: значения числа рабочих увеличиваются во столько же раз, во сколько раз уменьшаются значения затраченного рабочего времени. Ещё проще эту мысль можно выразить так: чем б о л ь ш е занято в каком-либо деле рабочих, тем меньше им нужно времени для выполнения определённой работы. Две величины, с которыми мы встретились в этой задаче, называются обратно пропорциональными.
Таким образом, если две величины связаны между собой так, что с увеличением (уменьшением) значения одной из них в несколько раз значение другой уменьшается (увеличивается) во столько же раз, то такие величины называются обратно пропорциональными.
В жизни встречается много подобных величин. Приведём примеры.
1. Если на 150 руб. нужно купить несколько килограммов конфет, то количество конфет будет зависеть от ц е н ы одного килограмма. Чем выше цена, тем меньше можно купить на эти деньги товара; это видно из таблицы:
С повышением в несколько раз цены конфет уменьшается во столько же раз число килограммов конфет, какое можно купить на 150 руб. В этом случае две величины (вес товара и его цена) обратно пропорциональны.
2. Если расстояние между двумя городами 1 200 км, то оно может быть пройдено в различное время в зависимости от скорости передвижения. Существуют разные способы передвижения: пешком, на лошади, на велосипеде, на пароходе, в автомобиле, поездом, на самолёте. Чем меньше скорость , тем больше нужно времени для передвижения. Это видно из таблицы:
С увеличением скорости в несколько раз время передвижения уменьшается во столько же раз. Значит, при данных условиях скорость и время - величины обратно пропорциональные.
§ 135. Свойство обратно пропорциональных величин.
Возьмём второй пример, который мы рассматривали в предыдущем параграфе. Там мы имели дело с двумя величинами - скоростью движения и временем. Если мы будем рассматривать по таблице значения этих величин слева направо, то увидим, что значения первой величины (скорости) возрастают, а значения второй (времени) убывают, причём скорость увеличивается во столько же раз, во сколько раз уменьшается время. Нетрудно сообразить, что если написать отношение каких-нибудь значений одной величины, то оно не будет равно отношению соответствующих значений другой величины. В самом деле, если мы возьмём отношение четвёртого значения верхней величины к седьмому значению (40: 80), то оно не будет равно отношению четвёртого и седьмого значений нижней величины (30: 15). Это можно написать так:
40: 80 не равно 30: 15, или 40: 80 =/= 30: 15.
Но если вместо одного из этих отношений взять обратное, то получится равенство, т. е. из этих отношений можно будет составить пропорцию. Например:
80: 40 = 30: 15,
40: 80 = 15: 30."
На основании изложенного мы можем сделать такой вывод: если две величины обратно пропорциональны, то отношение двух произвольно взятых значений одной величины равно обратному отношению соответствующих значений другой величины.
§ 136. Формула обратной пропорциональности.
Рассмотрим задачу: «Имеется 6 кусков шёлковой ткани разной величины и различных сортов. Стоимость всех кусков одинаковая. В одном куске 100 м ткани ценой по 20 руб. за метр. Сколько метров в каждом из остальных пяти кусков, если метр ткани в эгих кусках соответственно стоит 25, 40, 50, 80, 100 руб.?» Для решения этой задачи составим таблицу:
Нам нужно заполнить пустые клетки в верхней строке этой таблицы. Попробуем сначала определить, сколько метров во втором куске. Это можно сделать следующим образом. Из условия задачи известно, что стоимость всех кусков одинаковая. Стоимость первого куска определить легко: в нём 100 м и каждый метр стоит 20 руб., значит, в первом куске шёлка на 2 000 руб. Так как во втором куске шёлка на столько же рублей, то, разделив 2 000 руб. на цену одного метра, т. е. на 25, мы найдём величину второго куска: 2 000: 25 = 80 (м). Таким же образом мы найдём величину всех остальных кусков. Таблица примет вид:
Нетрудно видеть, что между числом метров и ценой существует обратно пропорциональная зависимость.
Если вы сами проделаете необходимые вычисления, то заметите, что каждый раз вам придётся делить число 2 000 на цену 1 м. Наоборот, если вы теперь начнёте умножать величину куска в метрах на цену 1 м, то всё время будете получать число 2 000. Этого и нужно было ожидать, так как каждый кусок стоит 2 000 руб.
Отсюда можно сделать такой вывод: для данной пары обратно пропорциональных величин произведение любого значения одной величины на соответствующее значение другой величины есть число постоянное (т. е. не изменяющееся).
В нашей задаче это произведение равно 2 000. Проверьте, что и в предыдущей задаче, где говорилось о скорости движения и времени, необходимом для переезда из одного города в другой, существовало также постоянное для той задачи число (1 200).
Принимая во внимание все сказанное, легко вывести формулу обратной пропорциональности. Обозначим некоторое значение одной величины буквой х , а соответствующее значение другой ве личины - буквой у . Тогда на основании изложенного произведение х на у должно быть равно некоторой постоянной величине, которую обозначим буквой К , т. е.
х у = К .
В этом равенстве х - множимое, у - множитель и K - произведение. По свойству умножения множитель равен произведению, делённому на множимое. Значит,
Это и есть формула обратной пропорциональности. Пользуясь ею, мы можем вычислить сколько угодно значений одной из обратно пропорциональных величин, зная значения другой и постоянное число К .
Рассмотрим ещё задачу: «Автор одного сочинения рассчитал, что если его книга будет иметь обычный формат, то в ней будет 96 страниц, если же карманный формат, то в ней окажется 300 страниц. Он испробовал разные варианты, начал с 96 страниц, и тогда у него на странице получилось 2 500 букв. Затем он взял те числа страниц, какие указаны ниже в таблице, и снова вычислил, сколько букв будет на странице».
Попробуем и мы вычислить, сколько будет букв на странице, если в книге будет 100 страниц.
Во всей книге 240 000 букв, так как 2 500 96 = 240 000.
Принимая это во внимание, воспользуемся формулой обратной пропорциональности (у - число букв на странице, х - число страниц):
В нашем примере К = 240 000, следовательно,
Итак, на странице 2 400 букв.
Подобно этому узнаем, что если в книге будет 120 страниц, то число букв на странице будет:
Наша таблица примет вид:
Остальные клетки заполните самостоятельно.
§ 137. Другие способы решения задач с обратно пропорциональными величинами.
В предыдущем параграфе мы решали задачи, в условия которых входили обратно пропорциональные величины. Мы предварительно вывели формулу обратной пропорциональности и потом эту формулу применяли. Теперь мы покажем для таких задач два других способа решения.
1. Способ приведения к единице.
Задача. 5 токарей могут сделать некоторую работу в 16 дней. Во сколько дней могут выполнить эту работу 8 токарей?
Решение. Между числом токарей и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость. Если 5 токарей делают работу за 16 дней, то одному человеку для этого понадобится в 5 раз больше времени, т. е.
5 токарей выполняют работу в 16 дней,
1 токарь выполнит её в 16 5 = 80 дней.
В задаче спрашивается, во сколько дней выполнят работу 8 токарей. Очевидно, они справятся с работой в 8 раз скорее, чем 1 токарь, т. е. за
80: 8 = 10 (дней).
Это и есть решение задачи способом приведения к единице. Здесь пришлось прежде всего определить время выполнения работы одним рабочим.
2. Способ пропорции. Решим ту же задачу вторым способом.
Так как между числом рабочих и рабочим временем существует обратно пропорциональная зависимость, то можно написать: продолжительность работы 5 токарей новое число токарей (8) продолжительность работы 8 токарей прежнее число токарей (5) Обозначим искомую продолжительность работы буквой х и подставим в пропорцию, выраженную словами, необходимые числа:
Та же самая задача решена способом пропорций. Для её решения нам пришлось составить пропорцию из чисел, входящих в условие задачи.
Примечание. В предыдущих параграфах мы рассмотрели вопрос о прямой и обратной пропорциональности. Природа и жизнь дают нам множество примеров прямой и обратной пропорциональной зависимости величин. Однако нужно заметить, что эти два вида зависимости являются только простейшими. Наряду с ними встречаются иные, более сложные зависимости между величинами. Кроме того, не нужно думать, что если какие-нибудь две величины одновременно возрастают, то между ними обязательно существует прямая пропорциональность. Это далеко не так. Например, плата за проезд по железной дороге возрастает в зависимости от расстояния: чем дальше мы едем, тем больше платим, ко это не значит, что плата пропорциональна расстоянию.