Инструкция
Подберите подкоренному числу такой множитель, вынесение которого из под корня действительно выражение - иначе операция потеряет . Например, если под знаком корня с показателем, равным трем (кубический корень), стоит число 128, то из под знака можно вынести, например, число 5. При этом подкоренное число 128 придется разделить на 5 в кубе: ³√128 = 5∗³√(128/5³) = 5∗³√(128/125) = 5∗³√1.024. Если наличие дробного числа под знаком корня не противоречит условиям задачи, то можно в таком виде. Если же нужен более простой вариант, то сначала разбейте подкоренное выражение на такие целочисленные множители, кубический корень одного из которых будет являться целым число м. Например: ³√128 = ³√(64∗2) = ³√(4³∗2) = 4∗³√2.
Используйте для подбора множителей подкоренного числа , если вычислять в уме степени числа не представляется возможным. Особенно это актуально к корня м с показателем степени больше двух. Если есть доступ в интернет, то можно производить вычисления встроенными в поисковые системы Google и Nigma вычислителями. Например, если надо найти наибольший целочисленный множитель, который можно вынести из под знака кубического корня для числа 250, то перейдя на сайт Google введите запрос «6^3», чтобы проверить, нельзя ли вынести из под знака корня шестерку. Поисковик покажет результат, равный 216. Увы, 250 нельзя разделить без остатка на это число . Тогда введите запрос 5^3. Результатом будет 125, а это позволяет разбить 250 на множители 125 и 2, а значит вынести из под знака корня число 5, оставив там число 2.
Источники:
- как вынести из под корня
- Квадратный корень из произведения
Вынести из-под корня один из сомножителей необходимо в ситуациях, когда нужно упростить математическое выражение. Бывают случаи, когда выполнить нужные вычисления с помощью калькулятора невозможно. Например, если вместо чисел используются буквенные обозначения переменных.
Инструкция
Разложите подкоренное выражение на простые сомножители. Посмотрите, какой из сомножителей повторяется столько же раз, указано в показателей корня , или больше. Например, вам нужно извлечь корень из числа а в четвертой степени. В этом случае число можно представить как а*а*а*а = а*(а*а*а)=а*а3. Показателю корня в этом случае будет соответствовать сомножитель а3. Его и нужно вынести за знак .
Извлеките корень получившихся подкоренных в отдельности там, где это возможно. Извлечение корня представляет собой алгебраическое действие, обратное возведению в степень. Извлечение корня произвольной степени из числа найти такое число, которое при возведении его в эту произвольную степень даст в результате данное число. Если извлечение корня произвести нельзя, оставьте подкоренное выражение под знаком корня так, как оно есть. В результате проведения перечисленных действий вы произведете вынесение из-под знака корня .
Видео по теме
Обратите внимание
Будьте внимательны при записи подкоренного выражения в виде сомножителей – ошибка на этом этапе приведёт к неправильным результатам.
При извлечении корней удобно пользоваться специальными таблицами или таблицами логарифмических корней – этим вы значительно сократите время на нахождение правильного решения.
Источники:
- знак извлечения корня в 2019
Упрощение алгебраических выражений требуется во многих разделах математики, в том числе при решении уравнений высших степеней, дифференцировании и интегрировании. При этом используется несколько методов, включая разложение на множители. Чтобы применить этот способ, нужно найти и вынести общий множитель за скобки .
Инструкция
Вынесение общего множителя за скобки – один из самых распространенных способов разложения . Этот прием применяется для упрощения структуры длинных алгебраических выражений, т.е. многочленов. Общим может быть число, одночлен или двучлен, а для его поиска применяется распределительное свойство умножения.
Число.Посмотрите внимательно на коэффициенты при каждом многочлена, можно ли разделить их на одно и то же число. Например, в выражении 12 z³ + 16 z² – 4 очевидным является множитель 4. После преобразования получится 4 (3 z³ + 4 z² - 1). Иными , это число является наименьшим общим целочисленным делителем всех коэффициентов.
Одночлен.Определите, ли одна и та же переменная в каждый из слагаемых многочлена. Предположим, что это так, теперь посмотрите на коэффициенты, как в предыдущем случае. Пример: 9 z^4 – 6 z³ + 15 z² – 3 z.
Каждый элемент этого многочлена содержит переменную z. Кроме того, все коэффициенты – числа, кратные 3. Следовательно, общим множителем будет одночлен 3 z:3 z (3 z³ – 2 z² + 5 z - 1).
Двучлен.За скобки общий множитель из двух , переменной и числа, которое является общего многочлена. Поэтому, если множитель -двучлен неочевиден, то нужно найти хотя бы один корень. Выделите свободный член многочлена, это коэффициент без переменной. Теперь примените метод подстановки в общее выражение всех целочисленных делителей свободного члена.
Рассмотрите : z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4. Проверьте, не является ли какой-либо из целых делителей числа 4 z^4 – 2 z³ + z² - 4 z + 4 = 0. Путем простой подстановки найдите z1 = 1 и z2 = 2, значит, за скобки можно вынести двучлены (z - 1) и (z - 2). Для того, чтобы найти оставшееся выражение, воспользуйтесь последовательным делением в столбик.
Формулы корней. Свойства квадратных корней.
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.
Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...
Начнём с самой простой. Вот она:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Пусть дано выражение . Мы можем этот корень представить в более простом виде, применив к нему теорему об извлечении корня из произведения (§ 97):
Точно так же
Такое преобразование называется вынесением множителя за знак корня.
В результате применения этого преобразования данное выражение упрощается и часто сокращаются требуемые вычисления. В этом можно убедиться на следующих примерах.
Пр и мер 1. Вычислить с точностью до 0,01 выражение
Вычислим каждый из корней с точностью до 0,01:
Нам пришлось извлечь квадратный корень из трёх чисел, и притом мы не можем быть уверены, что результат действительно даст величину выражения с точностью до 0,01 (для уверенности в этом нужно было бы вычислить корни с точностью большей, чем заданная).
Попробуем упростить данное выражение, вынося за знак радикала те множители, которые возможно:
Итак, после преобразования нам придётся извлечь квадратный корень только из одного числа.
Вычислив его с точностью до 0,01, найдём:
Теперь видно, что в первом вычислении мы сделали ошибку на одну сотую, то есть получили результат не с заданной точностью.
Пример 2. Вычислить выражение
Подставив в данное выражение получим:
Нам придётся извлечь корень из шестизначного числа.
Мы значительно упростим вычисления, если предварительно вынесем за знак корня те множители, которые возможно. Будем иметь:
Подставив теперь легко найдём:
Во всех предыдущих примерах подкоренное выражение мы разлагали на множители, выделяя такие, показатель которых делится на два, и извлекали из них корень. В дальнейшем надо приобрести навык сразу выносить нужные множители за знак корня, не прибегая к предварительному разложению на множители подкоренного выражения.
Как видно из примеров, для вынесения множителей из-под знака квадратного корня достаточно показатель каждого множителя разделить на два и записать перед знаком корня этот множитель с показателем, равным полученному частному, а под знаком корня тот же множитель с показателем, равным полученному остатку.
В предыдущем примере .
2. Внесение множителей под знак квадратного корня.
Иногда бывает полезно, наоборот, подвести под знак корня множители, стоящие перед ним.
Пусть, например, требуется вычислить с точностью до 0,001 выражение Вычислив с точностью до 0,001 и умножив результат на 20, получим:
Заранее можем сказать, что результат не соответствует заданной точности, так как, умножив приближённое число 2,646 на 20, мы увеличили в 20 раз и ошибку.
Чтобы получить ббльшую точность, возьмём с точностью до 0,0001. Получим:
Но мы не можем и теперь быть уверены, что достигли требуемой точности.
Произведём вычисление другим способом. Представим данное выражение в таком виде:
Вычислив с точностью до 0,001, получим:
Такоза действительная величина данного выражения, вычисленная с точностью до 0,001.
Рассмотренное преобразование называется внесением множителя под знак корня.
Приведённый пример показывает целесообразность в некоторых случаях такого преобразования.
Чтобы внести под знсис квадратного корня стоящие перед ним множители, достаточно возвести эти множители в квадрат и подкоренное выражение умножить на полученный результат.
В двух первых примерах сначала множитель, стоящий перед знаком корня, был подведён под знак корня, затем произведено умножение.
В третьем примере обе эти операции были выполнены сразу.
3. Приведение подкоренного выражения к целому виду.
Если подкоренное выражение дробное, то часто бывает целесообразно привести его к целому виду, или, как говорят, освободить подкоренное выражение от знаменателя.
Покажем на примерах, как это делается.
Пр имер 1.
Чтобы из знаменателя подкоренного выражения можно было извлечь корень, умножим числитель и знаменатель этого выражения на а. Получим.