Логарифмические уравнения. Продолжаем рассматривать задачи из части В ЕГЭ по математике. Мы с вами уже рассмотрели решения некоторых уравнений в статьях « » , « » . В этой статье рассмотрим логарифмические уравнения. Сразу скажу, что никаких сложных преобразований при решении таких уравнений на ЕГЭ не будет. Они просты.
Достаточно знать и понимать основное логарифмическое тождество, знать свойства логарифма. Обратите внимание на то, то после решения ОБЯЗАТЕЛЬНО нужно сделать проверку — подставить полученное значение в исходное уравнение и вычислить, в итоге должно получиться верное равенство.
Определение :
Логарифмом числа a по основанию b называется показатель степени, в который нужно возвести b, чтобы получить a.
Например:
Log 3 9 = 2, так как 3 2 = 9
Свойства логарифмов:
Частные случаи логарифмов:
Решим задачи. В первом примере мы сделаем проверку. В последующих проверку сделайте самостоятельно.
Найдите корень уравнения: log 3 (4–x) = 4
Так как log b a = x b x = a, то
3 4 = 4 – x
x = 4 – 81
x = – 77
Проверка:
log 3 (4–(–77)) = 4
log 3 81 = 4
3 4 = 81 Верно.
Ответ: – 77
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 2 (4 – x) = 7
Найдите корень уравнения log 5 (4 + x) = 2
Используем основное логарифмическое тождество.
Так как log a b = x b x = a, то
5 2 = 4 + x
x =5 2 – 4
x = 21
Проверка:
log 5 (4 + 21) = 2
log 5 25 = 2
5 2 = 25 Верно.
Ответ: 21
Найдите корень уравнения log 3 (14 – x) = log 3 5.
Имеет место следующее свойство, смысл его таков: если в левой и правой частях уравнения имеем логарифмы с одинаковым основанием, то можем приравнять выражения, стоящие под знаками логарифмов.
14 – x = 5
x = 9
Сделайте проверку.
Ответ: 9
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (5 – x) = log 5 3.
Найдите корень уравнения: log 4 (x + 3) = log 4 (4x – 15).
Если log c a = log c b, то a = b
x + 3 = 4x – 15
3x = 18
x = 6
Сделайте проверку.
Ответ: 6
Найдите корень уравнения log 1/8 (13 – x) = – 2.
(1/8) –2 = 13 – x
8 2 = 13 – x
x = 13 – 64
x = – 51
Сделайте проверку.
Небольшое дополнение – здесь используется свойство
степени ().
Ответ: – 51
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 1/7 (7 – x) = – 2
Найдите корень уравнения log 2 (4 – x) = 2 log 2 5.
Преобразуем правую часть. воспользуемся свойством:
log a b m = m∙log a b
log 2 (4 – x) = log 2 5 2
Если log c a = log c b, то a = b
4 – x = 5 2
4 – x = 25
x = – 21
Сделайте проверку.
Ответ: – 21
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения: log 5 (5 – x) = 2 log 5 3
Решите уравнение log 5 (x 2 + 4x) = log 5 (x 2 + 11)
Если log c a = log c b, то a = b
x 2 + 4x = x 2 + 11
4x = 11
x = 2,75
Сделайте проверку.
Ответ: 2,75
Решите самостоятельно:
Найдите корень уравнения log 5 (x 2 + x) = log 5 (x 2 + 10).
Решите уравнение log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) +1.
Необходимо с правой стороны уравнения получить выражение вида:
log 2 (......)
Представляем 1 как логарифм с основанием 2:
1 = log 2 2
log с (ab) = log с a + log с b
log 2 (2 – x) = log 2 (2 – 3x) + log 2 2
Получаем:
log 2 (2 – x) = log 2 2 (2 – 3x)
Если log c a = log c b, то a = b, значит
2 – x = 4 – 6x
5x = 2
x = 0,4
Сделайте проверку.
Ответ: 0,4
Решите самостоятельно: Далее необходимо решить квадратное уравнение. Кстати,
корни равны 6 и – 4.
Корень "– 4" не является решением, так как основание логарифма должно быть больше нуля, а при " – 4" оно равно « – 5». Решением является корень 6. Сделайте проверку.
Ответ: 6.
Решите самостоятельно:
Решите уравнение log x –5 49 = 2. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Как вы убедились, никаких сложных преобразований с логарифмическими уравнениями нет. Достаточно знать свойства логарифма и уметь применять их. В задачах ЕГЭ, связанных с преобразованием логарифмических выражений, выполняются более серьёзные преобразования и требуются более глубокие навыки в решении. Такие примеры мы рассмотрим, не пропустите! Успехов вам!!!
С уважением, Александр Крутицких.
P.S: Буду благодарен Вам, если расскажете о сайте в социальных сетях.
Логарифмом положительного числа b по основанию a (a>0, a не равно 1) называют такое число с, что a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       
Обратите внимание: логарифм от неположительного числа не определен. Кроме того, в основании логарифма должно быть положительное число, не равное 1. Например, если мы возведем -2 в квадрат, получим число 4, но это не означает, что логарифм по основанию -2 от 4 равен 2.
Основное логарифмическое тождество
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)Важно, что области определения правой и левой частей этой формулы отличаются. Левая часть определена только при b>0, a>0 и a ≠ 1. Правая часть определена при любом b, а от a вообще не зависит. Таким образом, применение основного логарифмического "тождества" при решении уравнений и неравенств может привести к изменению ОДЗ.
Два очевидных следствия определения логарифма
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)
Действительно, при возведении числа a в первую степень мы получим то же самое число, а при возведении в нулевую степень - единицу.
Логарифм произведения и логарифм частного
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)Log
a
b
c
=
log
a
b −
log
a
c
(a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)
(6)
Хотелось бы предостеречь школьников от бездумного применения данных формул при решении логарифмических уравнений и неравенств. При их использовании "слева направо" происходит сужение ОДЗ, а при переходе от суммы или разности логарифмов к логарифму произведения или частного - расширение ОДЗ.
Действительно, выражение log a (f (x) g (x)) определено в двух случаях: когда обе функции строго положительны либо когда f(x) и g(x) обе меньше нуля.
Преобразуя данное выражение в сумму log a f (x) + log a g (x) , мы вынуждены ограничиваться только случаем, когда f(x)>0 и g(x)>0. Налицо сужение области допустимых значений, а это категорически недопустимо, т. к. может привести к потере решений. Аналогичная проблема существует и для формулы (6).
Степень можно выносить за знак логарифма
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:
Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)
Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть - только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.
Формула перехода к новому основанию
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.
Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):
Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)
Несколько простых примеров с логарифмами
Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.
Пример 2. Вычислите: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).
Таблица формул, связанных с логарифмами
a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) |
log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) |
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) |
log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) |
log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) |
log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) |
log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) |
Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.
Виды логарифмов
- log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
- lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
- ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).
Как решать логарифмы?
Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:
Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.
- a log a b = b – основное логарифмическое тождество
- log a 1 = 0
- log a a = 1
- log a (x · y ) = log a x + log a y
- log a x/ y = log a x – log a y
- log a 1/x = -log a x
- log a x p = p log a x
- log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
- log a x = log a c x c
- log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
- log a x = 1/log x a
Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения
- Для начала запишите необходимое уравнение.
Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.
Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.
Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).
Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.
Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.
Что такое логарифм?
Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Что такое логарифм? Как решать логарифмы? Эти вопросы многих выпускников вводят в ступор. Традиционно тема логарифмов считается сложной, непонятной и страшной. Особенно - уравнения с логарифмами.
Это абсолютно не так. Абсолютно! Не верите? Хорошо. Сейчас, за какие-то 10 - 20 минут вы:
1. Поймете, что такое логарифм .
2. Научитесь решать целый класс показательных уравнений. Даже если ничего о них не слышали.
3. Научитесь вычислять простые логарифмы.
Причём для этого вам нужно будет знать только таблицу умножения, да как возводится число в степень...
Чувствую, сомневаетесь вы... Ну ладно, засекайте время! Поехали!
Для начала решите в уме вот такое уравнение:
Если Вам нравится этот сайт...
Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Начнем со свойства логарифма единицы . Его формулировка такова: логарифм единицы равен нулю, то есть, log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Доказательство не вызывает сложностей: так как a 0 =1 для любого a , удовлетворяющего указанным выше условиям a>0 и a≠1 , то доказываемое равенство log a 1=0 сразу следует из определения логарифма.
Приведем примеры применения рассмотренного свойства: log 3 1=0 , lg1=0 и .
Переходим к следующему свойству: логарифм числа, равного основанию, равен единице , то есть, log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, так как a 1 =a для любого a , то по определению логарифма log a a=1 .
Примерами использования этого свойства логарифмов являются равенства log 5 5=1 , log 5,6 5,6 и lne=1 .
К примеру, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 и .
Логарифм произведения двух положительных чисел x и y равен произведению логарифмов этих чисел: log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 . Докажем свойство логарифма произведения. В силу свойств степени a log a x+log a y =a log a x ·a log a y , а так как по основному логарифмическому тождеству a log a x =x и a log a y =y , то a log a x ·a log a y =x·y . Таким образом, a log a x+log a y =x·y , откуда по определению логарифма вытекает доказываемое равенство.
Покажем примеры использования свойства логарифма произведения: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 и .
Свойство логарифма произведения можно обобщить на произведение конечного числа n положительных чисел x 1 , x 2 , …, x n как log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Данное равенство без проблем доказывается .
Например, натуральных логарифм произведения можно заменить суммой трех натуральных логарифмов чисел 4 , e , и .
Логарифм частного двух положительных чисел x и y равен разности логарифмов этих чисел. Свойству логарифма частного соответствует формула вида , где a>0 , a≠1 , x и y – некоторые положительные числа. Справедливость этой формулы доказывается как и формула логарифма произведения: так как , то по определению логарифма .
Приведем пример использования этого свойства логарифма: .
Переходим к свойству логарифма степени . Логарифм степени равен произведению показателя степени на логарифм модуля основания этой степени. Запишем это свойство логарифма степени в виде формулы: log a b p =p·log a |b| , где a>0 , a≠1 , b и p такие числа, что степень b p имеет смысл и b p >0 .
Сначала докажем это свойство для положительных b . Основное логарифмическое тождество позволяет нам представить число b как a log a b , тогда b p =(a log a b) p , а полученное выражение в силу свойство степени равно a p·log a b . Так мы приходим к равенству b p =a p·log a b , из которого по определению логарифма заключаем, что log a b p =p·log a b .
Осталось доказать это свойство для отрицательных b . Здесь замечаем, что выражение log a b p при отрицательных b имеет смысл лишь при четных показателях степени p (так как значение степени b p должно быть больше нуля, в противном случае логарифм не будет иметь смысла), а в этом случае b p =|b| p . Тогда b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b| , откуда log a b p =p·log a |b| .
Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .
Из предыдущего свойства вытекает свойство логарифма из корня : логарифм корня n -ой степени равен произведению дроби 1/n на логарифм подкоренного выражения, то есть, , где a>0 , a≠1 , n – натуральное число, большее единицы, b>0 .
Доказательство базируется на равенстве (смотрите ), которое справедливо для любых положительных b , и свойстве логарифма степени: .
Вот пример использования этого свойства: .
Теперь докажем формулу перехода к новому основанию логарифма вида . Для этого достаточно доказать справедливость равенства log c b=log a b·log c a . Основное логарифмическое тождество позволяет нам число b представить как a log a b , тогда log c b=log c a log a b . Осталось воспользоваться свойством логарифма степени: log c a log a b =log a b·log c a . Так доказано равенство log c b=log a b·log c a , а значит, доказана и формула перехода к новому основанию логарифма .
Покажем пару примеров применения этого свойства логарифмов: и .
Формула перехода к новому основанию позволяет переходить к работе с логарифмами, имеющими «удобное» основание. Например, с ее помощью можно перейти к натуральным или десятичным логарифмам, чтобы можно было вычислить значение логарифма по таблице логарифмов . Формула перехода к новому основанию логарифма также позволяет в некоторых случаях находить значение данного логарифма, когда известны значения некоторых логарифмов с другими основаниями.
Часто используется частный случай формулы перехода к новому основанию логарифма при c=b вида . Отсюда видно, что log a b и log b a – . К примеру, .
Также часто используется формула , которая удобна при нахождении значений логарифмов. Для подтверждения своих слов покажем, как с ее помощью вычисляется значение логарифма вида . Имеем . Для доказательства формулы достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию логарифма a : .
Осталось доказать свойства сравнения логарифмов.
Докажем, что для любых положительных чисел b 1
и b 2
, b 1 log a b 2
, а при a>1
– неравенство log a b 1 Наконец, осталось доказать последнее из перечисленных свойств логарифмов. Ограничимся доказательством его первой части, то есть, докажем, что если a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b>log a 2 b
. Остальные утверждения этого свойства логарифмов доказываются по аналогичному принципу. Воспользуемся методом от противного. Предположим, что при a 1 >1
, a 2 >1
и a 1 1
справедливо log a 1 b≤log a 2 b
. По свойствам логарифмов эти неравенства можно переписать как и соответственно, а из них следует, что log b a 1 ≤log b a 2
и log b a 1 ≥log b a 2
соответственно. Тогда по свойствам степеней с одинаковыми основаниями должны выполняться равенства b log b a 1 ≥b log b a 2
и b log b a 1 ≥b log b a 2
, то есть, a 1 ≥a 2
. Так мы пришли к противоречию условию a 1
Список литературы.
- Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала анализа: Учебник для 10 - 11 классов общеобразовательных учреждений.
- Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы).