КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
Определители второго и третьего порядка.
Свойства определителей. Теорема разложения.
Теорема Крамера.
Заключение
Литература
В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопрос ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражениевида:
(1)
Числа а11, …, а22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а11; а22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а12; а21 - п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида:
Элементы а11; а22; а33 – образуют главную диагональ.
Числа а13; а22; а31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
" + " " – "
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопрос СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину.
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца) можно выносить за знак определителя.
.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = - D Ю 2 D = 0 Ю D = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента аi j обозначается Мi j . Так для элемента а11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1)k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента аi j обозначается Аi j.
Таким образом, Аi j = .
Выпишем алгебраические дополнения для элементов а11 и а12.
.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс, если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус, если эта сумма нечетная.
ПРИМЕР. Найти миноры и алгебраические дополнения для элементов первой строки определителя:
Ясно, что миноры и алгебраические дополнения могут отличаться только знаком.
Рассмотрим без доказательства важную теорему – теорему разложения определителя.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Определитель равен сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца на их алгебраические дополнения.
Используя эту теорему, запишем разложение определителя третьего порядка по первой строке.
.
В развернутом
виде:
.
Последнюю формулу можно использовать как основную при вычислении определителя третьего порядка.
Теорема разложения позволяет свести вычисление определителя третьего порядка к вычислению трех определителей второго порядка.
Теорема разложения дает второй способ вычисления определителей третьего порядка.
ПРИМЕРЫ. Вычислить определитель, используя теорему разложения.
использовали разложения по второй строке.
Теорема разложения позволяет также вычислять определители более высокого порядка, сводя их к вычислению нескольких определителей третьего или второго порядка.
Так, определитель четвертого порядка можно свести к вычислению четырех определителей третьего порядка.
3-ий учебный вопрос ТЕОРЕМА КРАМЕРА
Применим рассмотренную теорию определителей к решению систем линейных уравнений.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
(3)
Здесь х1, х2 – неизвестные;
а11, …, а22 – коэффициенты при неизвестных, занумерованные двумя индексами, где первый индекс означает номер уравнения, а второй индекс – номер неизвестного.
b1, b2 – свободные члены.
Напомним, что под решением системы (3) понимается пара значений х1, х2, которые при подстановке в оба уравнения обращают их в верные равенства.
В случае, когда система имеет единственное решение, это решение можно найти с помощью определителей второго порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 5 . Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.
Обозначим определитель системы D.
В столбцах определителя D стоят коэффициенты соответственно при х1 и при, х2.
Введем два д о п о л н и т е л ь н ы х о п р е д е л и т е л я, которые получаются из определителя системы заменой одного из столбцов столбцом свободных членов:
Рассмотрим без доказательства следующую теорему:
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 2)
Если определитель D системы (3) отличен от нуля (D № 0), то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
(4)
Формулы (4) называются формулами Крамера.
ПРИМЕР. Решить систему по правилу Крамера.
Ответ: х1 = 3; х2 = -1
2. Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными:
(5)
В случае единственного решения систему (5) можно решить с помощью определителей третьего порядка.
Определитель системы D имеет вид:
Введем три дополнительных определителя:
Аналогично формулируется теорема.
ТЕОРЕМА КРАМЕРА (для случая n = 3)
Если определитель D системы (5) отличен от нуля, то система имеет единственное решение, которое находится по формулам:
Формулы (6) – это формулы Крамера.
ЗАМЕЧАНИЕ. Г. Крамер (1704 – 1752) – швейцарский математик.
Заметим, что теорема Крамера применима, когда число уравнений равно числу неизвестных и когда определитель системы D отличен от нуля.
Если определитель системы равен нулю, то в этом случае система может либо не иметь решений, либо иметь бесчисленное множество решений. Эти случаи исследуются особо, с ними можно подробно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Отметим только один случай:
Если определитель системы равен нулю (D = 0), а хотя бы один из дополнительных определителей отличен от нуля, то система решений не имеет (т.е. является несовместной).
Теорему Крамера можно обобщать для системы n линейных уравнений с n неизвестными.
Если
,
то единственное
решение системы
находится по
формулам Крамера:
Дополнительный
определитель
получается
из определителя
D, если в
нем столбец
коэффициентов
при неизвестном
xi заменить столбцом свободных членов.
Заметим, что определители D, D1, … , Dn имеют порядок n.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
На лекции рассмотрена новое понятие – определитель, подробно рассмотрены определители второго и третьего порядков, часто встречающиеся на практике. Для определителя третьего порядка приводятся два способа вычисления. Рассмотрена теорема Крамера, которая дает практический способ решения систем линейных уравнений, для случая, когда решение единственное. Более подробно с этой темой можно познакомиться в рекомендуемой литературе.
Похожие рефераты:
Правила произведения матрицы и вектора, нахождения обратной матрицы и ее определителя. Элементарные преобразования матрицы: умножение на число, прибавление, перестановка и удаление строк, транспонирование. Решение системы уравнений методом Гаусса.
В настоящем реферате рассмотрены определители второго и третьего порядка, приведены примеры решения систем уравнений методом определителей.
Определение алгебраического дополнения элемента определителя, матрицы, ее размера и видов. Неоднородная система линейных алгебраических уравнений. Решение системы уравнений методом Крамера. Скалярные и векторные величины, их примеры, разложение вектора.
КОСТРОМСКОЙ ФИЛИАЛ ВОЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА РХБ ЗАЩИТЫ
Кафедра «Автоматизации управления войсками»
Только для преподавателей
"Утверждаю"
Начальник кафедры № 9
полковник ЯКОВЛЕВ А.Б.
«____»______________ 2004 г.
доцент А.И.СМИРНОВА
"ОПРЕДЕЛИТЕЛИ.
РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ"
ЛЕКЦИЯ № 2 / 1
Обсуждено на заседании кафедры № 9
«____»___________ 2004г.
Протокол № ___________
Кострома, 2004.
Введение
1. Определители второго и третьего порядка.
2. Свойства определителей. Теорема разложения.
3. Теорема Крамера.
Заключение
Литература
1. В.Е. Шнейдер и др., Краткий курс высшей математики, том I, гл. 2, п.1.
2. В.С. Щипачев, Высшая математика, гл.10, п.2.
ВВЕДЕНИЕ
На лекции рассматриваются определители второго и третьего порядков, их свойства. А также теорема Крамера, позволяющая решать системы линейных уравнений с помощью определителей. Определители используются также в дальнейшем в теме "Векторная алгебра" при вычислении векторного произведения векторов.
1-ый учебный вопросОПРЕДЕЛИТЕЛИ ВТОРОГО И ТРЕТЬЕГО
ПОРЯДКА
Рассмотрим таблицу из четырех чисел вида
Числа в таблице обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, второй – номер столбца.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Определителем второго порядка называют выражение вида :
(1)
Числа а 11, …, а 22 называют э л е м е т а м и определителя.
Диагональ, образованная элементами а 11 ; а 22 называется г л а в н ой, а диагональ, образованная элементами а 12 ; а 21 -п о б о ч н ой.
Таким образом, определитель второго порядка равен разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.
Заметим, что в ответе получается число.
ПРИМЕРЫ. Вычислить:
Рассмотрим теперь таблицу из девяти чисел, записанных в три строки и три столбца:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Определителем третьего порядка называется выражение вида :
Элементы а 11; а 22 ; а 33 – образуют главную диагональ.
Числа а 13; а 22 ; а 31 – образуют побочную диагональ.
Изобразим, схематически, как образуются слагаемые с плюсом и с минусом:
" + " " – "
С плюсом входят: произведение элементов на главной диагонали, остальные два слагаемых являются произведением элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали.
Слагаемые с минусом образуются по той же схеме относительно побочной диагонали.
Это правило вычисления определителя третьего порядка называют
п р а в и л о м т р е у г о л ь н и к о в.
ПРИМЕРЫ. Вычислить по правилу треугольников:
ЗАМЕЧАНИЕ. Определители называют также д е т е р м и н а н т а м и.
2-ой учебный вопросСВОЙСТВА ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ.
ТЕОРЕМА РАЗЛОЖЕНИЯ
Свойство 1. Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
.
Раскрывая оба определителя, убеждаемся в справедливости равенства.
Свойство 1 устанавливает равноправность строк и столбцов определителя. Поэтому все дальнейшие свойства определителя будем формулировать и для строк и для столбцов.
Свойство 2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменяет знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину .
.
Свойство 3. Общий множитель элементов строки (или столбца ) можно выносить за знак определителя.
.
Свойство 4. Если определитель имеет две одинаковые строки (или столбца), то он равен нулю.
Это свойство можно доказать непосредственной проверкой, а можно использовать свойство 2.
Обозначим определитель за D. При перестановке двух одинаковых первой и второй строк он не изменится, а по второму свойству он должен поменять знак, т.е.
D = - DÞ 2 D = 0 ÞD = 0.
Свойство 5. Если все элементы какой–то строки (или столбца ) равны нулю, то определитель равен нулю.
Это свойство можно рассматривать как частный случай свойства 3 при
Свойство 6. Если элементы двух строк (или столбцов ) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.
.
Можно доказать непосредственной проверкой или с использованием свойств 3 и 4.
Свойство 7. Величина определителя не изменится, если к элементам какой-либо строки (или столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и то же число.
.
Доказывается непосредственной проверкой.
Применение указанных свойств может в ряде случаев облегчить процесс вычисления определителей, особенно третьего порядка.
Для дальнейшего нам понадобится понятия минора и алгебраического дополнения. Рассмотрим эти понятия для определения третьего порядка.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Минором данного элемента определителя третьего порядка называется определитель второго порядка, полученный из данного вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Минор элемента а i j обозначается М i j . Так для элемента а 11 минор
Он получается, если в определителе третьего порядка вычеркнуть первую строку и первый столбец.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Алгебраическим дополнением элемента определителя называют его минор, умноженный на (-1) k , где k - сумма номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент.
Алгебраическое дополнение элемента а i j обозначается А i j .
Таким образом, А i j =
.Выпишем алгебраические дополнения для элементов а 11 и а 12.
.
.
Полезно запомнить правило: алгебраическое дополнение элемента определителя равно его минору со знаком плюс , если сумма номеров строки и столбца, в которых стоит элемент, четная, и со знаком минус , если эта сумма нечетная .
Определителем второго порядка
и вычисляется по правилу
Числа
называютсяэлементами
определителя
(первый индекс указывает номер строки,
а второй
номер
столбца, на пересечении которых стоит
этот элемент); диагональ, образованная
элементами
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
побочной
.
Аналогично вводится понятие определителя третьего порядка.
Определителем третьего порядка называется число, которое обозначается символом
и вычисляется по правилу
Диагональ,
образованная элементами
,
,
,
называетсяглавной
,
элементами
,
,
побочной
.
Чтобы запомнить
какие произведения в правой части
равенства (1) берутся со знаком «
»,
а какие со знаком «
», полезно использовать следующее
«правило треугольников»:
Можно ввести понятие определителя 4-го, 5-го и т. д. порядков.
Минором
некоторого элемента определителя
называется определитель, образованный
из данного вычёркиванием строки и
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент.
Алгебраическим
дополнением
некоторого элемента определителя
называется минор этого элемента,
умноженный на
,
где
номер
строки,
номер
столбца, на пересечении которых находится
этот элемент:
.
Свойства определителей.
Величина определителя не изменится, если его строки поменять местами со столбцами.
Рассмотренная операция называется транспонированием. Свойство 1
устанавливает равноправность строк и столбцов определителя.
Задача 1. Вычислить определители:
1) 2)3)4).
Задача 2. Вычислить определители, разложив их по элементам первого столбца:
1)
2)
Задача 3.
Найти
из уравнений:
1)
2)
1.2. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей. Формулы Крамера
I) Система двух линейных неоднородных уравнений с двумя неизвестными
Обозначим
основной
определитель системы;
,
вспомогательные
определители.
а) Если определитель
системы
, 
.
(1)
б) Если определитель
системы
,
то возможны случаи:
1)
(уравнения пропорциональны), тогда
система содержит только одно уравнение,
например,
и имеет бесконечно много решений
(неопределённая система). Для её решения
необходимо выразить одну переменную
через другую, значение которой выбирается
произвольно;
2) если хотя бы один
из определителей
отличен от нуля, то система не имеет
решений (несовместная система).
II) Система двух линейных однородных уравнений с тремя переменными
(2)
Линейное уравнение называется однородным , если свободный член этого уравнения равен нулю.
а) Если
,
то система (2) сводится к одному уравнению
(например, первому), из которого одно
неизвестное выражается через два других,
значения которых выбираются произвольно.
б) Если условие
не выполнено, то для решения системы
(2) перенесем одну переменную вправо и
решим систему двух линейных неоднородных
уравнений с использованием формул
Крамера (1).
III) Система трёх линейных неоднородных уравнений с тремя неизвестными:
Составим и вычислим
основной определитель
и вспомогательные определители
,
.
а) Если
,
то система имеет единственное решение,
которое находится по формулам Крамера:
, 
,
(3)
б) Если
,
то возможны случаи:
1)
,
тогда система будет иметь бесконечно
много решений, она будет сводиться либо
к системе состоящей из одного, либо из
двух уравнений (одну неизвестную
перенесём направо и решим систему двух
уравнений с двумя неизвестными);
2) хотя бы один из
определителей
отличен от нуля, система не имеет решения.
IV) Система трёх линейных однородных уравнений с тремя неизвестными:
Эта система всегда совместна, так как имеет нулевое решение.
а) Если определитель
системы
,
то она имеет единственное нулевое
решение.
б) Если же
,
то система сводится либо к двум уравнениям
(третье является их следствием), либо к
одному уравнению (остальные два являются
его следствием) и имеет бесконечно много
решений (см. п.II).
Задача 4. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы
Так как
,
то система имеет единственное решение.
Воспользуемся формулами Крамера (3). Для
этого вычислим вспомогательные
определители:
,
,
, 
,
Задача 5. Решить систему уравнений
Решение. Вычислим определитель системы:
Следовательно, система однородных уравнений имеет бесконечно много решение, отличных от нулевого. Решаем систему первых двух уравнений (третье уравнение является их следствием):
Перенесём переменную
в правую часть равенства:
Отсюда по формулам (1) получаем
,
.
Задачи для самостоятельного решения
Задача 6. Решить с помощью определителей системы уравнений:
|
1)
|
2)
|
3)
|
|
4) |
5)
|
6)
|
|
7)
|
8)
|
9)
|
|
10)
|
11)
|
12)
|
Системы линейных уравнений
Система уравнений следующего вида:
где а ij , b i – числовые коэффициенты, x i – переменные, называется системой линейных уравнений.
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают уравнения системы в тождества.
Система линейных уравнений называется:
совместной, если она имеет хотя бы одно решение;
несовместной, если она не имеет решений;
определенной, если она имеет единственное решение;
однородной, если все b i = 0;
неоднородной, если все b i ≠ 0.
Правило Крамера
(Габриель Крамер (1704-1752) швейцарский математик)
Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, т.е. ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных.
Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся 0.
= det A 0;
Теорема. (Правило Крамера):
Система из n уравнений с n неизвестными
В случае, если определитель матрицы системы не равен нулю, то система имеет единственное решение и это решение находится по формулам:
х i
=
;
где - главный определитель , составленный из числовых коэффициентов при неизвестных, а i – вспомогательный определитель , получаемый из главного заменой i -го столбца столбцом свободных членов b i .
i
=
Пример. Решить систему, используя правило Крамера.
;
1 =
;
2 =
;
3 =
;
x 1
=
; x 2
=
; x 3
=
;
Пример. Найти решение системы уравнений:
=
= 5(4 – 9) + (2 – 12) – (3 – 8) = -25 – 10 + 5 = -30;
1 =
= (28 – 48) – (42 – 32) = -20 – 10 = -30.
2 =
= 5(28 – 48) – (16 – 56) = -100 + 40 = -60.
3 =
= 5(32 – 42) + (16 – 56) = -50 – 40 = -90.
Если система однородна, т.е. b i = 0, то при 0 система имеет единственное нулевое решение x 1 = x 2 = … = x n = 0.
Матричный метод
Матричный метод применим к решению систем уравнений, где число уравнений равно числу неизвестных.
Этот метод удобен для решения систем невысокого порядка. Он основан на применении свойств умножения матриц.
Пусть дана система уравнений:
Введем обозначения:
A =
- матрица коэффициентов системы;
B = матрица – столбец свободных членов;
X = - матрица – столбец неизвестных.
Систему уравнений можно записать в матричной форме:
Сделаем следующее преобразование: A -1 AX = A -1 B,
т.к. А -1 А = Е, то ЕХ = А -1 В, получим
Х = А -1 В - решение матричного уравнения
Пример.
Решить систему матричным методом
Решение.Обозначим:
, 
, 
.
Получаем матричное уравнение
.
Его решение
,
т.е.
(Нахождение обратной матрицы было рассмотрено ранее).
Метод Гаусса
(Карл Фридрих Гаусс (1777-1855) немецкий математик)
В отличие от матричного метода и метода Крамера, метод Гаусса может быть применен к системам линейных уравнений с произвольным числом уравнений и неизвестных. Суть метода заключается в последовательном исключении неизвестных.
Рассмотрим систему линейных уравнений:
Определение: Матрица, составленная из коэффициентов при неизвестных системы, называется матрицей системы.
Определение: Матрица называется расширенной матрицей системы, если к матрице А присоединить столбец свободных членов системы.
Расширенная матрица – это закодированная запись системы. Строки матрицы соответствуют уравнениям системы. Умножение уравнения на число и сложение этого произведения с другим уравнением эквивалентно умножению строки матрицы на это число и почленному сложению произведения с другой строкой матрицы. Таким образом, работу с уравнениями можно заменить работой со строками матрицы.
Определение: Матрицу А называют ступенчатой, если:
А) любая ее строка имеет хотя бы один отличный от нуля элемент,
Б) первый отличный от нуля элемент каждой ее строки, начиная со второй, расположен правее неравного нулю элемента предыдущей строки.
Метод Гаусса является эффективным методом решения и исследования систем линейных уравнений. Он состоит в том, что данная система линейных уравнений преобразуется в равносильную ей систему ступенчатого вида, которая легко решается и исследуется. Применение метода Гаусса не зависит ни от числа уравнений, ни от числа неизвестных в системе.
Разберем идею метода Гаусса на конкретных примерах.
Пример. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем к виду:
,
откуда получаем: x 3
= 2; x 2
= 5; x 1
= 1.
Пример. Решить систему методом Гаусса.
Составим расширенную матрицу системы.
Таким образом, исходная система может быть представлена в виде:
Курсовой проект пояснительная записка
Курсовой проектИ третий столбец матрицы, находим вспомогательные определители : Находим коэффициенты полинома: Таким образом... произведение: Найдем произведение: Найдем главный определитель : Находим вспомогательные определители и, подставляя матрицу поочередно в...
Методические рекомендации по выполнению внеурочной самостоятельной работы студента Дисциплина «Математика» для специальности
Методические рекомендацииПример: вычислить определитель второго порядка 1) 2) 2. Вычислить определитель третьего порядка Определителем третьего порядка называется... из коэффициентов при неизвестных Составим вспомогательные определители системы следующим образом: … Тогда...
Российской Федерации в качестве учебника для студентов высших учебных заведений, обучающихся по лингвистическим специальностям Москва «Высшая школа» 2002
УчебникВосполнителями, вспомогательные глаголы, аспектные и фазисные глаголы, наречия-интенсификаторы, указательные определители ; гетерогенными... путем сочетания «вещественного» слова с «вспомогательно -грамматическим» словом. Соответственно этому и...
Ответ:.Метод Крамера основан на использовании определителей в решении систем линейных уравнений. Это значительно ускоряет процесс решения.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы и обозначается (дельта).
Определители
получаются путём замены коэффициентов при соответствующих неизвестных свободными членами:
;
.
Формулы Крамера для нахождения неизвестных:
.
Найти значения и возможно только при условии, если
Этот вывод следует из следующей теоремы.
Теорема Крамера. Если определитель системы отличен от нуля, то система линейных уравнений имеет одно единственное решение, причём неизвестное равно отношению определителей. В знаменателе – определитель системы, а в числителе – определитель, полученный из определителя системы путём замены коэффициентов при этом неизвестном свободными членами. Эта теорема имеет место для системы линейных уравнений любого порядка.
Пример 1. Решить систему линейных уравнений:
Согласно теореме Крамера имеем:
Итак, решение системы (2):
9.операции над множествами. диаграммы Вьена.
Диаграммы Эйлера-Венна – геометрические представления множеств. Построение диаграммы заключается в изображении большого прямоугольника, представляющего универсальное множество U, а внутри его – кругов (или каких-нибудь других замкнутых фигур), представляющих множества. Фигуры должны пересекаться в наиболее общем случае, требуемом в задаче, и должны быть соответствующим образом обозначены. Точки, лежащие внутри различных областей диаграммы, могут рассматриваться как элементы соответствующих множеств. Имея построенную диаграмму, можно заштриховать определенные области для обозначения вновь образованных множеств.
Операции над множествами рассматриваются для получения новых множеств из уже существующих.
Определение. Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А, В (рис. 1):
Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат одновременно как множеству А, так и множеству В (рис. 2):
Определение. Разностью множеств А и В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В (рис. 3):
Определение. Симметрической разностью множеств А и В называется множество элементов этих множеств, которые принадлежат либо только множеству А, либо только множеству В (рис. 4):
11.отображения (функция), область определения, образы множеств при отображении, множество значений функции и её график.
Ответ: Отображением множества E в множество F, или функцией, определенной на E со значениями в F, называется правило, или закон f, который каждому элементу ставит в соответствие определенный элемент .
Элемент называют независимым элементом, или аргументом функции f, элемент называют значением функции f, илиобразом; при этом элемент называется прообразом элемента .
Отображение (функцию) обычно обозначают буквой f или символом , указывая тем самым, что f отображает множество E в F. Употребляется также обозначение , указывающее, что элементу x соответствует элемент f(x). Иногда функцию удобно задавать посредством равенства, в котором содержится закон соответствия. Например, можно говорить, что "функция f определена равенством ". Если "y" - общее наименование элементов множества F, т. е. F = {y}, то отображение записывают в виде равенстваy = f(x) и говорят, что это отображение задано явно.
2. Образ и прообраз множества при заданном отображении
Пусть задано отображение и множество .
Множество элементов из F, каждый из которых является образом хотя бы одного элемента из D при отображении f, называется образоммножества D и обозначается f(D).
Очевидно, .
Пусть теперь задано множество .
Множество элементов таких, что , называется прообразом множества Y при отображении f и обозначается f -1 (Y).
Если , то . Если при каждом множество f -1 (y) состоит не более чем из одного элемента , то f называетсявзаимно однозначным отображением E в F. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение f множества E на F.
Отображение называется:
Инъективным (или инъекцией, или взаимно однозначным отображением множества E в F), если , или если уравнение f(x) = y имеет не более одного решения;
Сюръективным (или сюръекцией, или отображением множества E на F), если f(E) = F и если уравнение f(x) = y имеет по крайней мере одно решение;
Биективным (или биекцией, или взаимно однозначным отображением множества E на F), если оно инъективно и сюръективно, или если уравнение f(x) = y имеет одно и только одно решение.
3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отображения
1) Пусть и . Поскольку , то отображение g каждому элементу относит определенный элемент .
Таким образом, каждому посредством правила поставлен в соответствие элемент
Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией отображений, или суперпозицией отображений, или сложным отображением.
2) Пусть - биективное отображение и F = {y}. В силу биективности f каждому соответствует единичный образ x, который обозначим через f -1 (y), и такой, что f(x) = y. Таким образом, определено отображение , которое называется обратным отображению f, или обратной функцией функции f.
Очевидно, отображение f обратно отображению f -1 . Поэтому отображения f и f -1 называют взаимно обратными. Для них справедливы соотношения
причем хотя бы одно из этих отображений, например , биективно. Тогда существует обратное отображение , а значит, .
Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помощью отображений ; причем переменная из называется параметром.
4) Пусть на множестве определено отображение , где множество содержит нулевой элемент. Предположим, что существуют множества такие, что при каждом фиксированном уравнение имеет единственное решение . Тогда на множестве E можно определить отображение , ставящее каждому в соответствие то значение , которое при указанном x является решением уравнения .
Относительно так определенного отображения
говорят, что оно задано неявно посредством уравнения .
5) Отображение называется продолжением отображения , а g - сужением отображения f, если и .
Сужение отображения на множество иногда обозначают символом .
6) Графиком отображения называется множество
Ясно, что .
12. монотонные функции. Обратная функция, теорема существования. Функции y=arcsinx y=arcos x х свойства и графики.
Ответ: Моното́нная фу́нкция - это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательно, либо всегда неположительно. Если в дополнение приращение не равно нулю то функция называется стро́го моното́нной.
Пусть имеется функция f(x) определенная на отрезке
то говорят, что на отрезке
Обратите внимание на отличие этого определения от определения заполненности отрезка
Обычно, говоря об обратной функции, заменяют х на у а y на x(x «y) и пишут y=f (-1) (x). Очевидно, что исходная функция f(x) и обратная функция f (-1) (x) удовлетворяют соотношению
f (-1) (f(x))=f(f (-1) (x))=x.
Графики исходной и обратной функции получаются друг из друга зеркальным отображением относительно биссектрисы первого квадранта.
Теорема. Пусть функция f(x) определена, непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает) на отрезке . Тогда на отрезке определена обратная функция f (-1) (x), которая также непрерывна и строго монотонно возрастает (убывает).
Доказательство.
Докажем теорему для случая, когда f(x) строго монотонно возрастает.
1. Существование обратной функции.
Так как по условию теоремы f(x) непрерывна, то, согласно предыдущей теореме, отрезок заполнен сплошь. Это означает, что.
Докажем, что х единственно. Действительно, если взять х’>x, то будет f(x’)>f(x)=y и поэтому f(x’)>y. Если взять х’’ 2. Монотонность обратной функции. Сделаем обычную замены x «y и будем писать y= f (-1) (x). Это значит, что x=f(y). Пусть x 1 >x 2 . Тогда: y 1 = f (-1) (x 1); x 1 =f(y 1) y 2 = f (-1) (x 2); x 2 =f(y 2) Какое же соотношение между y 1 и y 2 ? Проверим возможные варианты. а) y 1 б) y 1 =y 2 ? Но тогда f(y 1)=f(y 2) и x 1 =x 2 , а у нас было x 1 >x 2 . в) Остается единственный вариант y 1 >y 2 , т.е. Но тогда f (-1) (x 1)>f (-1) (x 2), а это и означает, что f (-1) (…) строго монотонно возрастает. 3. Непрерывность обратной функции. Т.к. значения обратной функции заполняют сплошь отрезок , то по предыдущей теоремеf (-1) (…) непрерывна. < <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0);"> <="" a="" style="color: rgb(0, 0, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);">
<="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> 13.композиция функций. Элементарные функции. Функции y=arctg x , y = arcctg x, их свойства и графики.
Ответ: В математике компози́ция фу́нкций (суперпози́ция фу́нкций) - это применение одной функции к результату другой. Композиция функций G и F обычно обозначается G∘F, что обозначает применение функции G к результату функции F. Пусть F:X→Y и G:F(X)⊂Y→Z две функции. Тогда их композицией называется функция G∘F:X→Z, определённая равенством: (G∘F)(x)=G(F(x)),x∈X. Элементарные функции - функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций : Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения. Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции. <="" a="" style="color: rgb(255, 68, 0); font-family: Arial; font-size: 11px; font-style: normal; font-variant: normal; font-weight: normal; letter-spacing: normal; line-height: normal; orphans: auto; text-align: start; text-indent: 0px; text-transform: none; white-space: normal; widows: auto; word-spacing: 0px; -webkit-text-stroke-width: 0px; background-color: rgb(0, 171, 160);"> y = arcsin x
y = arccos x
функция обратная функции y = sin x, - / 2 x / 2
функция обратная функции y = cos x, 0 x
y = arctg x
y = arcctg x
функция обратная функции y = tg x, - / 2 < x < / 2
функция обратная функции y = ctg x, 0 < x <
y > 0 при x R
ЭКСТРЕМУМЫ:
нет
нет
ПРОМЕЖУТКИ МОНОТОННОСТИ:
возрастает при x R
убывает при x R