Paprastoji trupmena

Ketvirčiai

1. Tvarkingumas. a Ir b yra taisyklė, leidžianti vienareikšmiškai identifikuoti vieną ir tik vieną iš trijų santykių tarp jų: ​​“< », « >" arba " = ". Ši taisyklė vadinama užsakymo taisyklė ir yra suformuluotas taip: du neneigiami skaičiai ir yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip du sveikieji skaičiai ir ; du neteigiami skaičiai a Ir b yra susiję tuo pačiu ryšiu kaip ir du neneigiami skaičiai ir ; jei staiga a ne neigiamas, bet b- Tada neigiamai a > b.

   

   src="/pictures/wiki/files/57/94586b8b651318d46a00db5413cf6c15.png" border="0">

2. Trupmenų pridėjimas Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams yra vadinamasis sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius paskambino suma a Ir b numeriai ir žymimas , ir vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas sumavimas .
3. . Sumavimo taisyklė turi tokią formą: Papildymo operacija. a Ir b Bet kokiems racionaliems skaičiams Daugybos operacija. daugybos taisyklė sumavimo taisyklė c sumavimo taisyklė. Tuo pačiu ir pats skaičius , kuris jiems priskiria tam tikrą racionalų skaičių suma a Ir b dirbti ir žymimas , taip pat vadinamas tokio skaičiaus radimo procesas daugyba .
4. . Daugybos taisyklė atrodo taip: Užsakymo santykio tranzityvumas. a , b Ir sumavimo taisyklė Bet kuriam racionaliųjų skaičių trigubui a Jeigu b Ir b Jeigu sumavimo taisyklė mažiau a Jeigu sumavimo taisyklė, Tai a, o jei b Ir b, o jei sumavimo taisyklė mažiau a, o jei sumavimo taisyklė lygus
5. . 6435">Sudėties komutaciškumas. Pakeitus racionalių terminų vietas, suma nekeičiama.
6. Papildymo asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių pridėjimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
7. Nulio buvimas. Yra racionalusis skaičius 0, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių, kai pridedamas.
8. Priešingų skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi priešingą racionalųjį skaičių, kurį pridėjus gaunamas 0.
9. Daugybos komutaciškumas. Pakeitus racionalių veiksnių vietas, produktas nekeičiamas.
10. Daugybos asociatyvumas. Trijų racionalių skaičių padauginimo tvarka rezultatui įtakos neturi.
11. Vieneto prieinamumas. Yra racionalusis skaičius 1, kuris išsaugo kiekvieną kitą racionalųjį skaičių padauginus.
12. Abipusių skaičių buvimas. Bet kuris racionalusis skaičius turi atvirkštinį racionalųjį skaičių, kurį padauginus iš gaunamas 1.
13. Daugybos pasiskirstymas sudėjimo atžvilgiu. Tą patį racionalųjį skaičių galima pridėti prie kairiosios ir dešiniosios racionalios nelygybės pusių.
14. /pictures/wiki/files/51/358b88fcdff63378040f8d9ab9ba5048.png" border="0"> Archimedo aksioma. a Kad ir koks būtų racionalus skaičius a, galite paimti tiek vienetų, kad jų suma viršytų

.

src="/pictures/wiki/files/55/70c78823302483b6901ad39f68949086.png" border="0">

Papildomos savybės

Visos kitos racionaliesiems skaičiams būdingos savybės nėra išskiriamos kaip pagrindinės, nes paprastai jos nebėra tiesiogiai pagrįstos sveikųjų skaičių savybėmis, o gali būti įrodytos remiantis nurodytomis pagrindinėmis savybėmis arba tiesiogiai apibrėžiant kokį nors matematinį objektą. . Tokių papildomų savybių yra labai daug. Tikslinga čia išvardyti tik keletą iš jų.

Src="/pictures/wiki/files/48/0caf9ffdbc8d6264bc14397db34e8d72.png" border="0">

Aibės skaičiuojamumas

Racionaliųjų skaičių numeracija Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. Paprasčiausias iš šių algoritmų atrodo taip. Kiekviename yra sudaryta begalinė paprastųjų trupmenų lentelė i- kiekvienoje eilutėje Norint įvertinti racionaliųjų skaičių skaičių, reikia rasti jų aibės kardinalumą. Nesunku įrodyti, kad racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Tam pakanka pateikti algoritmą, kuris išvardija racionalius skaičius, t.y. nustato bijekciją tarp racionaliųjų ir natūraliųjų skaičių aibių. j i stulpelis, kurio trupmena yra. Aiškumo dėlei daroma prielaida, kad šios lentelės eilutės ir stulpeliai yra sunumeruoti pradedant nuo vieno. Lentelės langeliai žymimi , kur

- lentelės eilutės, kurioje yra langelis, numeris ir

- stulpelio numeris.

Gauta lentelė perkeliama naudojant „gyvatę“ pagal šį formalų algoritmą.

Vadovaudamiesi šiuo algoritmu, galime surašyti visus teigiamus racionalius skaičius. Tai reiškia, kad teigiamų racionaliųjų skaičių aibė yra skaičiuojama. Nesunku nustatyti bijekciją tarp teigiamų ir neigiamų racionaliųjų skaičių aibių, tiesiog kiekvienam racionaliajam skaičiui priskiriant priešingą. Tai. neigiamų racionaliųjų skaičių aibė taip pat yra skaičiuojama. Jų sąjunga taip pat skaičiuojama pagal skaičiuojamų aibių savybę. Racionaliųjų skaičių aibė taip pat skaičiuojama kaip skaičiuojamos aibės sąjunga su baigtiniu.

Teiginys apie racionaliųjų skaičių aibės skaičiuojamumą gali sukelti tam tikrą painiavą, nes iš pirmo žvilgsnio atrodo, kad ji yra daug platesnė nei natūraliųjų skaičių aibė. Tiesą sakant, taip nėra ir yra pakankamai natūraliųjų skaičių, kad būtų galima surašyti visus racionalius.

Racionalių skaičių trūkumas

Tokio trikampio hipotenuzė negali būti išreikšta jokiu racionaliu skaičiumi

1 formos racionalieji skaičiai / n laisvėje n galima išmatuoti savavališkai mažus kiekius. Šis faktas sukuria klaidinantį įspūdį, kad racionalūs skaičiai gali būti naudojami bet kokiems geometriniams atstumams matuoti. Nesunku parodyti, kad tai netiesa.

Iš Pitagoro teoremos žinome, kad stačiojo trikampio hipotenuzė išreiškiama kaip kvadratinė šaknis iš jo kojų kvadratų sumos. Tai. lygiašonio hipotenuzės ilgis stačiakampis trikampis su vienetine kojele yra lygus, ty skaičiui, kurio kvadratas yra 2.

Jei darysime prielaidą, kad skaičių galima pavaizduoti kokiu nors racionaliu skaičiumi, tai yra toks sveikasis skaičius m ir toks natūralusis skaičius n, kad , o trupmena yra neredukuojama, t.y. skaičiai m Ir n- abipusiai paprasta.

Jei, tada , t.y. m 2 = 2n 2. Todėl skaičius m 2 yra lyginis, bet dviejų sandauga nelyginiai skaičiai nelyginis, o tai reiškia, kad pats skaičius m taip pat net. Taigi yra natūralusis skaičius k, kad numeris m gali būti pavaizduotas formoje m = 2k. Skaičių kvadratas mšia prasme m 2 = 4k 2, bet kita vertus m 2 = 2n 2 reiškia 4 k 2 = 2n 2, arba n 2 = 2k 2. Kaip parodyta anksčiau su numeriu m, tai reiškia, kad skaičius n- net kaip m. Bet tada jie nėra palyginti pagrindiniai, nes abu yra padalinti į dvi dalis. Gautas prieštaravimas įrodo, kad tai nėra racionalus skaičius.

Veiksmai su trupmenomis. Šiame straipsnyje apžvelgsime pavyzdžius, viską išsamiai su paaiškinimais. Mes svarstysime bendrosios trupmenos. Dešimtaines pažiūrėsime vėliau. Rekomenduoju žiūrėti viską ir studijuoti paeiliui.

1. Trupmenų suma, trupmenų skirtumas.

Taisyklė: sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais, gaunama trupmena, kurios vardiklis lieka toks pat, o jo skaitiklis bus lygi sumai trupmenų skaitikliai.

Taisyklė: skaičiuodami skirtumą tarp trupmenų su vienodais vardikliais, gauname trupmeną - vardiklis lieka toks pat, o antrosios skaitiklis atimamas iš pirmosios trupmenos skaitiklio.

Formalus trupmenų su vienodais vardikliais sumos ir skirtumo žymėjimas:

Pavyzdžiai (1):

Aišku, kad kai pateikiamos paprastosios trupmenos, tada viskas paprasta, o jei jos sumaišomos? Nieko sudėtingo...

1 variantas– galite konvertuoti juos į paprastus ir tada apskaičiuoti.

2 variantas– galite „dirbti“ atskirai su sveikosiomis ir trupmeninėmis dalimis.

Pavyzdžiai (2):

Daugiau:

Ir jei būtų skiriamas dviejų skirtumas mišrios frakcijos o pirmosios trupmenos skaitiklis bus mažesnis už antrosios trupmenos skaitiklį? Taip pat galite veikti dviem būdais.

Pavyzdžiai (3):

*Pavertė į paprastąsias trupmenas, apskaičiavo skirtumą, gautą netinkamąją trupmeną pavertė mišriąja trupmena.

*Mes suskirstėme jį į sveikąsias ir trupmenines dalis, gavome trejetą, tada pateikėme 3 kaip 2 ir 1 sumą, o vieną pateikiame kaip 11/11, tada nustatėme skirtumą tarp 11/11 ir 7/11 ir apskaičiavome rezultatą. . Aukščiau pateiktų transformacijų prasmė yra paimti (pasirinkti) vienetą ir pateikti jį trupmenos pavidalu su mums reikalingu vardikliu, tada iš šios trupmenos galime atimti kitą.

Kitas pavyzdys:

Išvada: yra universalus požiūris - norint apskaičiuoti mišrių trupmenų su vienodais vardikliais sumą (skirtumą), jas visada galima konvertuoti į netinkamas, tada atlikti reikiamą veiksmą. Po to, jei rezultatas yra netinkama trupmena, konvertuojame ją į mišrią trupmeną.

Aukščiau pažvelgėme į pavyzdžius su trupmenomis, kurių vardikliai yra vienodi. Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tokiu atveju trupmenos sumažinamos iki to paties vardiklio ir atliekamas nurodytas veiksmas. Norint pakeisti (pakeisti) trupmeną, naudojama pagrindinė trupmenos savybė.

Pažvelkime į paprastus pavyzdžius:

Šiuose pavyzdžiuose iš karto matome, kaip vieną iš trupmenų galima transformuoti, kad būtų gauti vienodi vardikliai.

Jei nurodysime būdus, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio, vadinsime tai PIRMAS METODAS.

Tai yra, iš karto „įvertindami“ trupmeną turite išsiaiškinti, ar šis metodas veiks – patikriname, ar didesnis vardiklis dalijasi iš mažesnio. O jei dalijasi, tada atliekame transformaciją – skaitiklį ir vardiklį padauginame taip, kad abiejų trupmenų vardikliai būtų lygūs.

Dabar pažvelkite į šiuos pavyzdžius:

Šis metodas jiems netaikomas. Yra ir kitų būdų, kaip sumažinti trupmenas iki bendras vardiklis, apsvarstykime juos.

ANTRAS metodas.

Pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginame iš antrosios vardiklio, o antrosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš pirmosios:

*Tiesą sakant, mes sumažiname trupmenas, kad susidarytų, kai vardikliai tampa lygūs. Toliau naudojame taisyklę, kad sudėtų trupmenas su vienodais vardikliais.

Pavyzdys:

*Šį metodą galima pavadinti universaliu ir jis visada veikia. Vienintelis trūkumas yra tas, kad atlikus skaičiavimus galite gauti dalį, kurią reikės dar labiau sumažinti.

Pažiūrėkime į pavyzdį:

Matyti, kad skaitiklis ir vardiklis dalijasi iš 5:

TREČIAS metodas.

Turite rasti vardiklių mažiausiąjį bendrąjį kartotinį (LCM). Tai bus bendras vardiklis. Koks čia skaičius? Tai mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš kiekvieno skaičiaus.

Žiūrėkite, čia yra du skaičiai: 3 ir 4, yra daug skaičių, kurie iš jų dalijasi - tai yra 12, 24, 36, ... Mažiausias iš jų yra 12. Arba 6 ir 15, 30, 60, 90 yra dalijasi iš jų.... Mažiausias yra 30. Kyla klausimas – kaip nustatyti šį mažiausią bendrą kartotinį?

Yra aiškus algoritmas, tačiau dažnai tai galima padaryti iš karto be skaičiavimų. Pavyzdžiui, pagal aukščiau pateiktus pavyzdžius (3 ir 4, 6 ir 15) algoritmo nereikia, mes paėmėme dideli skaičiai(4 ir 15) juos padvigubino ir pamatė, kad jie dalijasi iš antrojo skaičiaus, tačiau skaičių poros gali būti skirtingos, pavyzdžiui, 51 ir 119.

Algoritmas. Norėdami nustatyti mažiausią bendrąjį kelių skaičių kartotinį, turite:

- išskaidykite kiekvieną skaičių į PAPRASTUS veiksnius

— užrašykite DIDESNIŲJŲ iš jų skaidymą

- padauginkite jį iš kitų skaičių TRŪKSTAMŲ faktorių

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

50 ir 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5

išplečiant didesnį skaičių vienas trūksta 5

=> LCM(50,60) = 2,2∙3∙5∙5 = 300

48 ir 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3

išplečiant didesnį skaičių trūksta dviejų ir trijų

=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144

* Mažiausias bendras dviejų pirminių skaičių kartotinis yra jų sandauga

Klausimas! Kodėl naudinga rasti mažiausią bendrąjį kartotinį, nes galite naudoti antrąjį metodą ir tiesiog sumažinti gautą trupmeną? Taip, tai įmanoma, bet ne visada patogu. Pažiūrėkite į skaičių 48 ir 72 vardiklį, jei juos tiesiog padauginsite iš 48∙72 = 3456. Sutiksite, kad su mažesniais skaičiais dirbti maloniau.

Pažiūrėkime į pavyzdžius:

*51 = 3∙17 119 = 7∙17

didesnio skaičiaus išplėtimui trūksta trigubo

=> NOC(51,119) = 3∙7∙17

Dabar naudokime pirmąjį metodą:

*Pažiūrėkite į skaičiavimų skirtumus, pirmuoju atveju jų yra minimumas, o antruoju reikia dirbti atskirai ant popieriaus lapo ir net trupmeną, kurią gavote, reikia sumažinti. LOC radimas labai supaprastina darbą.

Daugiau pavyzdžių:

*Antrame pavyzdyje aišku, kad mažiausias skaičius kuris dalijasi iš 40 ir 60 yra lygus 120.

REZULTATAS! BENDRAS SKAIČIAVIMO ALGORITMAS!

- sumažinti trupmenas iki įprastų trupmenų, jei tokių yra visa dalis.

- trupmenas suvedame į bendrą vardiklį (pirmiausia žiūrime, ar vienas vardiklis dalijasi iš kito; jei dalijasi, tada padauginame šios kitos trupmenos skaitiklį ir vardiklį; jei jis nedalomas, veikiame kitais metodais nurodyta aukščiau).

- Gavę trupmenas su vienodais vardikliais, atliekame operacijas (sudėti, atimti).

- jei reikia, sumažiname rezultatą.

- jei reikia, tada pasirinkite visą dalį.

2. Trupmenų sandauga.

Taisyklė paprasta. Dauginant trupmenas, jų skaitikliai ir vardikliai dauginami:

Pavyzdžiai:

Gyvenime su trupmenomis susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (ir ši tema pradinės mokyklos pabaigoje pradėti mokytis) abstrakčios matematinės sąvokos vis dar bauginančiai nesuprantamos, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama ir netinkama trupmena, paprastoji ir dešimtainė, kokias operacijas su jomis galima atlikti ir, svarbiausia, kokias tai reikalinga.

Kas yra trupmenos?

Susipažinimas nauja tema mokykloje pradedama paprastosiomis trupmenomis. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.

Be įprastų, yra ir po kablelio. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu skaičių sekoms atskirti kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!

Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima išskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), tai ji yra netaisyklinga. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nesikeičia. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

Mišrūs skaičiai

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir rašoma horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją - norėdami tai padaryti, turite padauginti sveikojo skaičiaus dalį iš vardiklio ir pridėti gautą reikšmę prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklis yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, abiejų trupmenų apačioje turi būti vienodi skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 jis bus 9; ½ ir 1/7 - 14, nes nėra mažesnės vertės, dalijamos iš 2 ir 7 be liekanos.

Naudojimas

Kam naudojamos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį ir gauti mišrus skaičius- ir viskas tuo baigiasi! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.

Paimkime tokį pavyzdį: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuose skliausteliuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).

Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Dažnos klaidos

Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Bet to nereikėtų daryti jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra grubi klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2 Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš terminų, tik su visa suma.

Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime dvi tinkamas neredukuojamas trupmenas ir padalinkime viena iš kitos: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kurioje matematinėje išraiškoje operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų pirmenybė ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į "Paint" grafinį redaktorių ir suklijuoja juos, nubrėždami tarp jų horizontalią liniją. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomų funkcijų, kurios jums pravers ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kokius matematinius ženklus, kurių nėra klaviatūroje, taip pat rašyti trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinių (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) prireiks daugelyje. mokykliniai dalykai. Beveik bet kurioje fizikos užduotyje, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti mintyse, net nerašydami posakių ant popieriaus, bet vis daugiau sudėtingų pavyzdžių. Taigi sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, laikykitės savo mokymo programos, atlikite namų darbus laiku ir jums pasiseks.

1 Kas yra paprastosios trupmenos? Trupmenų rūšys.
Trupmena visada reiškia kokią nors visumos dalį. Faktas yra tas, kad kiekis ne visada gali būti išreikštas natūraliaisiais skaičiais, tai yra, perskaičiuojamas: 1, 2, 3 ir kt. Kaip, pavyzdžiui, paskirti pusę arbūzo ar ketvirtį valandos? Štai kodėl jie atsirado trupmeniniai skaičiai, arba trupmenomis.

Pirmiausia reikia pasakyti, kad apskritai yra dviejų tipų trupmenos: paprastosios trupmenos ir dešimtainės trupmenos. Paprastosios trupmenos rašomos taip:
Dešimtainės trupmenos rašomos skirtingai:

Paprastosios trupmenos susideda iš dviejų dalių: viršuje – skaitiklis, apačioje – vardiklis. Skaitiklis ir vardiklis atskiriami trupmenos linija. Taigi atsiminkite:

Bet kuri trupmena yra visumos dalis. Paprastai imamasi kaip visuma 1 (vienetas). Trupmenos vardiklis parodo, kiek dalių visuma yra padalinta į ( 1 ), o skaitiklis rodo, kiek dalių buvo paimta. Jei pyragą supjaustysime į 6 lygias dalis (matematikoje sakoma akcijų ), tada kiekviena pyrago dalis bus lygi 1/6. Jei Vasya suvalgė 4 gabalus, tai reiškia, kad jis suvalgė 4/6.

Kita vertus, pasvirasis brūkšnys yra ne kas kita, kaip padalijimo ženklas. Todėl trupmena yra dviejų skaičių – skaitiklio ir vardiklio – koeficientas. Užduočių tekste ar receptuose trupmenos dažniausiai rašomos taip: 2/3, 1/2 ir t.t. Kai kurios trupmenos turi savo pavadinimus, pavyzdžiui, 1/2 - "pusė", 1/3 - "trečia", 1/4 - "ketvirtis"
Dabar išsiaiškinkime, kokių tipų yra paprastosios trupmenos.

2 Paprastųjų trupmenų rūšys

Yra trijų tipų paprastosios trupmenos: tinkama, netinkama ir mišri:

Tinkama trupmena

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tada tokia trupmena vadinama teisinga, Pavyzdžiui: Tinkama trupmena visada yra mažesnė nei 1.

Netinkama trupmena

Jei skaitiklis didesnis už vardiklį arba lygus vardikliui, tokia trupmena vadinama negerai, Pavyzdžiui:

Netinkama trupmena yra didesnė už vienetą (jei skaitiklis didesnis už vardiklį) arba lygi vienetui (jei skaitiklis lygus vardikliui)

Mišri frakcija

Jei trupmeną sudaro sveikas skaičius (sveikoji dalis) ir tinkama trupmena (trupmeninė dalis), tada tokia trupmena vadinama sumaišytas, Pavyzdžiui:

Mišri trupmena visada yra didesnė už vienetą.

3 Trupmenų konversijos

Matematikoje paprastosios trupmenos dažnai turi būti konvertuojamos, tai yra, mišri trupmena turi būti paversta netinkamąja trupmena ir atvirkščiai. Tai būtina norint atlikti tam tikras operacijas, tokias kaip daugyba ir padalijimas.

Taigi, bet kokia mišri frakcija gali būti paversta netinkama trupmena. Norėdami tai padaryti, visa dalis padauginama iš vardiklio ir pridedamas trupmeninės dalies skaitiklis. Gauta suma laikoma skaitikliu, o vardiklis paliekamas toks pat, pavyzdžiui:

Bet kokia netinkama frakcija gali būti paversta mišria frakcija. Norėdami tai padaryti, padalykite skaitiklį iš vardiklio (su likučiu) Gautas skaičius bus sveikoji dalis, o likusi dalis bus trupmeninės dalies skaitiklis, pavyzdžiui:

Tuo pat metu jie sako: „Mes išskyrėme visą dalį nuo netinkamos frakcijos“.

Dar viena taisyklė, kurią reikia atsiminti: Bet koks sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1, Pavyzdžiui:

Pakalbėkime apie tai, kaip palyginti trupmenas.

4 Trupmenų palyginimas

Lyginant trupmenas gali būti keli variantai: Lengva lyginti trupmenas su tais pačiais vardikliais, bet daug sunkiau, jei vardikliai skiriasi. Taip pat yra mišrių trupmenų palyginimas. Bet nesijaudinkite, dabar mes išsamiai išnagrinėsime kiekvieną parinktį ir išmoksime palyginti trupmenas.

Lyginant trupmenas su tais pačiais vardikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais vardikliais, bet skirtingais skaitikliais, trupmena su didesniu skaitikliu yra didesnė, pavyzdžiui:

Lyginant trupmenas su tais pačiais skaitikliais

Iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais, bet skirtingus vardiklius Didesnė trupmena yra ta, kurios vardiklis yra mažesnis, pavyzdžiui:

Mišrių ir netinkamų trupmenų palyginimas su tinkamomis trupmenomis

Netinkama arba mišri trupmena visada yra didesnė už tinkamą trupmeną, pavyzdžiui:

Dviejų mišrių frakcijų palyginimas

Lyginant dvi mišrias trupmenas, didesnė dalis, kurios visa dalis yra didesnė, pvz.:

Jei mišrių trupmenų sveikosios dalys yra vienodos, trupmena, kurios trupmeninė dalis yra didesnė, yra didesnė, pavyzdžiui:

Palyginti trupmenas su skirtingais skaitikliais ir vardikliais

Negalite palyginti trupmenų su skirtingais skaitikliais ir vardikliais jų nekonvertuodami. Pirmiausia trupmenas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada lyginti jų skaitiklius. Kuo didesnė yra trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis. Tačiau kitose dviejose straipsnio dalyse apžvelgsime, kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Pirmiausia pažvelgsime į pagrindinę trupmenų savybę ir mažindami trupmenas, o tada tiesiogiai sumažinsime trupmenas iki to paties vardiklio.

5 Pagrindinė trupmenos savybė. Mažinančios frakcijos. GCD samprata.

Prisiminkite: Galite sudėti, atimti ir palyginti tik tas trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi. Jei vardikliai skiriasi, pirmiausia turite suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, ty vieną iš trupmenų paversti taip, kad jos vardiklis taptų toks pat kaip ir antrosios trupmenos.

Trupmenos turi vieną svarbią savybę, dar vadinamą pagrindinė trupmenos savybė:

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, tada trupmenos reikšmė nesikeičia:

Šio turto dėka galime sumažinti frakcijas:

Norint sumažinti trupmeną, skaitiklį ir vardiklį reikia padalyti iš to paties skaičiaus.(žr. pavyzdį aukščiau). Kai sumažiname trupmeną, savo veiksmus galime užrašyti taip:

Dažniau sąsiuviniuose trupmena trumpinama taip:

Tačiau atminkite: veiksnius galite tik sumažinti. Jei skaitiklyje arba vardiklyje yra suma arba skirtumas, terminų sumažinti negalima.

Pavyzdys:

Pirmiausia turite konvertuoti sumą į daugiklį: Kartais, dirbant su dideliais skaičiais, norint sumažinti trupmeną, patogu rasti

didžiausias bendras skaitiklio ir vardiklio daliklis (GCD) Didžiausias bendras daliklis (GCD)

keli skaičiai yra didžiausias natūralusis skaičius, iš kurio šie skaičiai dalijasi be liekanos.

Norėdami rasti dviejų skaičių gcd (pavyzdžiui, trupmenos skaitiklį ir vardiklį), turite abu skaičius sudėti į pirminius veiksnius, pažymėti tuos pačius veiksnius abiejose faktorinizacijose ir šiuos veiksnius padauginti. Gautas produktas bus GCD. Pavyzdžiui, turime sumažinti trupmeną:

Raskime skaičių 96 ir 36 gcd:

GCD rodo, kad tiek skaitiklio, tiek vardiklio koeficientas yra 12, ir mes galime nesunkiai sumažinti trupmeną.

6 Kartais, norint suvesti trupmenas į tą patį vardiklį, pakanka sumažinti vieną iš trupmenų. Tačiau dažniau reikia pasirinkti papildomus abiejų frakcijų veiksnius. Dabar pažiūrėsime, kaip tai daroma. Taigi:

Kaip sumažinti trupmenas iki to paties vardiklio. Mažiausias bendras kartotinis (LCM).

Kai sumažiname trupmenas iki to paties vardiklio, vardikliui pasirenkame skaičių, kuris dalijasi ir iš pirmojo, ir iš antrojo vardiklio (tai yra, matematiškai tai būtų abiejų vardklių kartotinis). Ir pageidautina, kad šis skaičius būtų kuo mažesnis, patogiau skaičiuoti. Taigi turime rasti abiejų vardiklių LCM. Mažiausias dviejų skaičių kartotinis (LCM)

yra mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų šių skaičių be liekanos. Kartais LCM galima rasti žodžiu, tačiau dažniau, ypač dirbant su dideliais skaičiais, LCM reikia rasti raštu, naudojant šį algoritmą:

1. Norėdami rasti kelių skaičių LCM, jums reikia:
2. Padalinkite šiuos skaičius į pirminius veiksnius
3. Paimkite didžiausią išplėtimą ir parašykite šiuos skaičius kaip produktą
4. Kituose plėtiniuose pasirinkite skaičius, kurie nepasirodo didžiausiame išplėtime (arba joje pasitaiko mažiau kartų), ir pridėkite juos prie gaminio.

Padauginkite visus gaminio skaičius, tai bus LCM.

Tačiau grįžkime prie savo trupmenų. Radę arba parašę apskaičiavę abiejų vardiklių LCM, šių trupmenų skaitiklius turime padauginti iš papildomi daugikliai. Juos galite rasti padalydami LCM iš atitinkamos trupmenos vardiklio, pavyzdžiui:

Taigi mes sumažinome savo trupmenas iki to paties vardiklio - 15.

7 Trupmenų pridėjimas ir atėmimas

Trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite pridėti jų skaitiklius, tačiau vardiklį palikite tą patį, pavyzdžiui:

Norėdami atimti trupmenas su tais pačiais vardikliais, turite atimti antrosios trupmenos skaitiklį iš pirmosios trupmenos skaitiklio ir vardiklį palikti tą patį, pavyzdžiui:

Mišrių trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimas ir atėmimas

Norėdami pridėti mišrias trupmenas, turite atskirai pridėti visas jų dalis, tada pridėti jų trupmenines dalis ir parašyti rezultatą kaip mišrią trupmeną:

Jei pridėdami trupmenines dalis gaunate netinkamą trupmeną, pasirinkite iš jos visą dalį ir pridėkite prie visos dalies, pvz.:

Atimtis atliekama panašiai: sveikoji dalis atimama iš visos dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies:

Jei trupmeninė dalis yra didesnė už trupmeninę mažmeninės dalies dalį, mes „pasiskoliname“ vieną iš visos dalies, paverčiame miniatiūrą netinkama trupmena ir tęsiame kaip įprasta:

Taip pat atimti trupmeną iš sveikojo skaičiaus:

Kaip pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną

Norėdami pridėti sveikąjį skaičių ir trupmeną, tiesiog pridėkite šį skaičių prieš trupmeną, kad sukurtumėte mišrią trupmeną, pavyzdžiui:

Jeigu mes pridedant sveikąjį skaičių ir mišriąją trupmeną, pridedame šį skaičių prie visos trupmenos dalies, pavyzdžiui:

Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas.

Norėdami pridėti arba atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia turite jas perkelti į tą patį vardiklį, o tada tęsti taip, kaip pridedant trupmenas su tais pačiais vardikliais (pridėkite skaitiklius):

Atimdami elgiamės taip pat:

Jei dirbame su mišriomis trupmenomis, jų trupmenines dalis sumažiname iki to paties vardiklio ir atimame kaip įprasta: visą dalį iš visos, o trupmeninę dalį iš trupmeninės:

8 Trupmenų dauginimas ir dalijimas.

Padauginti ir padalyti trupmenas yra daug lengviau nei sudėti ir atimti, nes nereikia jų sumažinti iki to paties vardiklio. Prisimink paprastos taisyklės trupmenų dauginimas ir dalijimas:

Prieš padauginant skaičius skaitiklyje ir vardiklyje, patartina sumažinti trupmeną, tai yra, atsikratyti tų pačių skaitiklio ir vardiklio veiksnių, kaip ir mūsų pavyzdyje.

Trupmeną padalyti iš natūraliojo skaičiaus, reikia padauginti vardiklį iš šio skaičiaus ir palikti skaitiklį nepakeistą:

Pavyzdžiui:

Trupmenos dalijimas iš trupmenos

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinio skaičiaus (atvirkštinė trupmena). Kokia tai yra atvirkštinė trupmena?

Jei trupmeną apverčiame, tai yra, sukeičiame skaitiklį ir vardiklį, gauname grįžtamąją trupmeną. Trupmenos sandauga ir atvirkštinė jos sandauga suteikia vieną. Matematikoje tokie skaičiai vadinami atvirkštiniais:

Pavyzdžiui, skaičiai - yra tarpusavyje atvirkštiniai, nes

Taigi, grįžkime prie trupmenos padalijimo iš trupmenos:

Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite padauginti dividendą iš daliklio atvirkštinės vertės:

Pavyzdžiui:

Dalydami mišrias trupmenas, kaip ir daugindami, pirmiausia turite jas konvertuoti į netinkamas trupmenas:

Dauginant ir dalijant trupmenas iš sveikųjų skaičių natūraliuosius skaičius , šiuos skaičius taip pat galite pateikti kaip trupmenas su vardikliu 1 .

Ir kada sveikąjį skaičių padalijus iš trupmenos pavaizduokite šį skaičių kaip trupmeną su vardikliu 1 :

Ar norite jaustis kaip sapierius? Tada ši pamoka kaip tik tau! Nes dabar mes tyrinėsime trupmenas - tai tokie paprasti ir nekenksmingi matematiniai objektai, kurie savo gebėjimu „išpūsti protą“ pranoksta likusį algebros kursą.

Pagrindinis frakcijų pavojus yra tai, kad jos atsiranda tikras gyvenimas. Tuo jie skiriasi, pavyzdžiui, nuo daugianarių ir logaritmų, kuriuos išstudijavę ir po egzamino lengvai pamiršite. Todėl šioje pamokoje pateiktą medžiagą galima neperdedant vadinti sprogstamąja.

Skaičiaus trupmena (arba tiesiog trupmena) yra sveikųjų skaičių pora, parašyta pasviruoju brūkšniu arba horizontalia juosta.

Per horizontalią liniją parašytos trupmenos:

Tos pačios trupmenos parašytos pasviruoju brūkšniu:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Trupmenos paprastai rašomos per horizontalią eilutę - taip su jomis dirbti lengviau ir jos atrodo geriau. Viršuje užrašytas skaičius vadinamas trupmenos skaitikliu, o žemiau parašytas skaičius – vardikliu.

Bet kuris sveikasis skaičius gali būti pavaizduotas kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1. Pavyzdžiui, 12 = 12/1 yra trupmena iš anksčiau pateikto pavyzdžio.

Paprastai į trupmenos skaitiklį ir vardiklį galite įrašyti bet kurį sveikąjį skaičių. Vienintelis apribojimas yra tas, kad vardiklis turi skirtis nuo nulio. Prisiminkite seną gerą taisyklę: „Jūs negalite dalyti iš nulio!

Jei vardiklis vis dar turi nulį, trupmena vadinama neapibrėžta trupmena. Toks įrašas yra beprasmis ir negali būti naudojamas skaičiuojant.

Pagrindinė trupmenos savybė

Laikoma, kad trupmenos a /b ir c /d yra lygios, jei ad = bc.

Iš šio apibrėžimo matyti, kad tą pačią trupmeną galima parašyti įvairiais būdais. Pavyzdžiui, 1/2 = 2/4, nes 1 · 4 = 2 · 2. Žinoma, yra daug trupmenų, kurios nėra lygios viena kitai. Pavyzdžiui, 1/3 ≠ 5/4, nes 1 4 ≠ 3 5.

Kyla pagrįstas klausimas: kaip rasti visas trupmenas, lygias duotai? Pateikiame atsakymą apibrėžimo forma:

Pagrindinė trupmenos savybė yra ta, kad skaitiklį ir vardiklį galima padauginti iš to paties skaičiaus, išskyrus nulį. Dėl to trupmena bus lygi duotajai.

Tai labai svarbi savybė – atsiminkite tai. Naudodami pagrindinę trupmenos savybę, galite supaprastinti ir sutrumpinti daugybę išraiškų. Ateityje jis nuolat „iššoks“ formoje įvairių savybių ir teoremos.

Netinkamos trupmenos. Visos dalies pasirinkimas

Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tai vadinama tinkama trupmena. Kitu atveju (t. y. kai skaitiklis didesnis už vardiklį arba jam lygus) trupmena vadinama netinkamąja ir joje galima išskirti sveikąją dalį.

Visa dalis parašyta su dideliu skaičiumi prieš trupmeną ir atrodo taip (pažymėta raudona):

Norėdami atskirti visą netinkamos trupmenos dalį, turite atlikti tris paprastus veiksmus:

1. Raskite, kiek kartų vardiklis telpa į skaitiklį. Kitaip tariant, suraskite didžiausią sveikąjį skaičių, kuris, padauginus iš vardiklio, vis tiek bus mažesnis už skaitiklį (daugiausia lygus). Šis skaičius bus sveikoji dalis, todėl rašome jį priešais;
2. Padauginkite vardiklį iš sveikojo skaičiaus dalies, rastos ankstesniame žingsnyje, ir atimkite rezultatą iš skaitiklio. Gautas „šakas“ vadinamas likusia padalijimo dalimi, ji visada bus teigiama (kraštutiniais atvejais – nulis). Jį įrašome į naujos trupmenos skaitiklį;
3. Vardiklį perrašome be pakeitimų.

Na, ar sunku? Iš pirmo žvilgsnio gali būti sunku. Tačiau šiek tiek praktikuodami galėsite tai padaryti beveik žodžiu. Tuo tarpu pažvelkite į pavyzdžius:

Užduotis. Pasirinkite visą dalį nurodytomis trupmenomis:

Visuose pavyzdžiuose visa dalis paryškinta raudonai, o likusi padalijimo dalis – žaliai.

Atkreipkite dėmesį į paskutinę trupmeną, kurioje pasirodo likusi padalijimo dalis lygus nuliui. Pasirodo, skaitiklis yra visiškai padalintas iš vardiklio. Tai gana logiška, nes 24: 6 = 4 yra sunkus faktas iš daugybos lentelės.

Jei viskas bus padaryta teisingai, naujos trupmenos skaitiklis tikrai bus mažesnis už vardiklį, t.y. trupmena taps teisinga. Taip pat pažymėsiu, kad visą dalį geriau paryškinti pačioje problemos pabaigoje, prieš užrašant atsakymą. Priešingu atveju skaičiavimai gali būti labai sudėtingi.

Ėjimas į netinkamą trupmeną

Taip pat yra atvirkštinė operacija, kai atsikratome visos dalies. Tai vadinama netinkamų trupmenų perėjimu ir yra daug dažniau, nes dirbti su netinkamomis trupmenomis yra daug lengviau.

Perėjimas prie netinkamos trupmenos taip pat atliekamas trimis etapais:

1. Padauginkite visą dalį iš vardiklio. Rezultatas gali būti gana didelis, tačiau tai neturėtų mūsų varginti;
2. Pridėkite gautą skaičių prie pradinės trupmenos skaitiklio. Įrašykite rezultatą į netinkamosios trupmenos skaitiklį;
3. Perrašyti vardiklį – dar kartą, be pakeitimų.

Štai konkretūs pavyzdžiai:

Užduotis. Konvertuoti į netinkamą trupmeną:

Aiškumo dėlei sveikoji dalis vėl paryškinama raudonai, o pradinės trupmenos skaitiklis – žaliai.

Apsvarstykite atvejį, kai trupmenos skaitiklyje arba vardiklyje yra neigiamas skaičius. Pavyzdžiui:

Iš principo čia nėra nieko nusikalstamo. Tačiau dirbti su tokiomis trupmenomis gali būti nepatogu. Todėl matematikoje minusus įprasta dėti kaip trupmenos ženklus.

Tai padaryti labai lengva, jei atsimenate taisykles:

1. „Pliusas už minusą suteikia minusą“. Todėl, jei skaitiklyje yra neigiamas skaičius, o vardiklyje yra teigiamas skaičius (arba atvirkščiai), nubraukite minusą ir padėkite jį prieš visą trupmeną;
2. „Du neigiami dalykai yra teigiami“. Kai ir skaitiklyje, ir vardiklyje yra minusas, juos tiesiog nubraukiame – jokių papildomų veiksmų nereikia.

Žinoma, šios taisyklės gali būti taikomos ir priešinga kryptimi, t.y. Po trupmenos ženklu (dažniausiai skaitiklyje) galite įvesti minuso ženklą.

Mes sąmoningai nesvarstome „pliuso ant plius“ atvejo - manau, kad su juo viskas aišku. Pažiūrėkime, kaip šios taisyklės veikia praktiškai:

Užduotis. Išimkite keturių aukščiau parašytų trupmenų negatyvus.

Atkreipkite dėmesį į paskutinę trupmeną: prieš ją jau yra minuso ženklas. Tačiau jis „sudeginamas“ pagal taisyklę „minusas už minusą suteikia pliusą“.

Taip pat nejudinkite minusų trupmenomis, kai paryškinta visa dalis. Šios trupmenos pirmiausia konvertuojamos į netinkamas trupmenas – ir tik tada pradedami skaičiavimai.