Atkarpa, jungianti apskritimo centrą ir jo perimetro taškus, vadinama spinduliu. Be to, kiekviename apskritime visi spinduliai yra lygūs vienas kitam. Apskritimo skersmuo yra tiesi linija, jungianti du apskritimo taškus ir einanti per jo centrą. Viso to mums prireiks norint teisingai apskaičiuoti apskritimo plotą. Be to, ši vertė apskaičiuojama naudojant skaičių Pi.

Kaip apskaičiuoti apskritimo plotą

Pavyzdžiui, turime keturių centimetrų spindulio apskritimą. Apskaičiuokime jo plotą: S=(3.14)*4^2=(3.14)*16=50.24. Taigi apskritimo plotas yra 50,24 kvadratinio centimetro.

Taip pat yra speciali formulė apskritimo plotui per skersmenį apskaičiuoti: S=(pi/4) d^2.

Pažvelkime į tokio apskritimo per jo skersmenį skaičiavimo pavyzdį, žinodami figūros spindulį. Pavyzdžiui, turime keturių centimetrų spindulio apskritimą. Pirmiausia reikia rasti skersmenį, kuris yra du kartus didesnis už patį spindulį: d=2R, d=2*4=8.

Dabar turėtumėte naudoti gautus duomenis, kad apskaičiuotumėte apskritimo plotą pagal aukščiau aprašytą formulę: S=((3.14)/4 )*8^2=0.785*64=50.24.

Kaip matote, galiausiai gauname tą patį atsakymą, kaip ir pirmuoju atveju.

Žinios apie pirmiau aprašytas standartines formules, skirtas teisingai apskaičiuoti apskritimo plotą, padės lengvai rasti trūkstamas reikšmes ir nustatyti sektorių plotą.

Taigi, žinome, kad apskritimo ploto apskaičiavimo formulė apskaičiuojama pastovią Pi reikšmę padauginus iš paties apskritimo spindulio kvadrato. Pats spindulys gali būti išreikštas per faktinį apskritimą, formulėje pakeičiant išraišką perimetru. Tai yra: R=l/2pi.

Dabar turime pakeisti šią lygybę į apskritimo ploto skaičiavimo formulę ir dėl to gauname formulę, kaip rasti šios srities plotą geometrinė figūra per perimetrą: S=pi((l/2pi))^2=l^2/(4pi).

Pavyzdžiui, mums duotas apskritimas, kurio apimtis yra aštuoni centimetrai. Reikšmę pakeičiame į nagrinėjamą formulę: S=(8^2)/(4*3.14)=64/(12.56)=5. Ir mes gauname apskritimo plotą, lygų penkiems kvadratiniams centimetrams.

Geometrijoje aplinkui yra tam tikra visuma visų plokštumos taškų, kurie yra pašalinti iš vieno taško, vadinamo jo centru, atstumu, ne didesniu už duotąjį, vadinamą spinduliu. Šiuo atveju išorinė apskritimo riba yra ratas, o jei spindulio ilgis lygus nuliui, ratas išsigimsta iki taško.

Apskritimo ploto nustatymas

Jei reikia apskritimo plotas galima apskaičiuoti pagal formulę:

r- apskritimo spindulys

D- apskritimo skersmuo

S- apskritimo plotas

π - 3.14

Ši geometrinė figūra labai dažnai sutinkama tiek technikoje, tiek architektūroje. Mašinų ir mechanizmų dizaineriai kuria įvairias dalis, kurių daugelio skyriai yra tiksliai ratas. Pavyzdžiui, tai yra velenai, strypai, strypai, cilindrai, ašys, stūmokliai ir pan. Gaminant šias dalis, ruošiniai iš įvairios medžiagos(metalas, mediena, plastikas), jų sekcijos taip pat tiksliai reprezentuoja ratas. Savaime suprantama, kad kūrėjams dažnai tenka skaičiuoti apskritimo plotas per skersmenį arba spindulį, tam panaudojant paprastas matematines formules, atrastas senovėje.

Būtent tada apvalūs elementai pradėta aktyviai ir plačiai naudoti architektūroje. Vienas ryškiausių to pavyzdžių – cirkas – pastato tipas, skirtas įvairiems pramoginiams renginiams rengti. Jų arenos yra suformuotos ratas, ir jie pirmą kartą pradėti statyti senovėje. Pats žodis" cirkas“ išversta iš lotynų kalba reiškia " ratas“ Jei senovėje jie eidavo į cirką teatro spektakliai ir vykdavo gladiatorių kovos, dabar jos tarnauja kaip vieta, kur beveik vien cirko pasirodymai vyksta, dalyvaujant treneriams, akrobatams, magai, klounai ir kt. Standartinis cirko arenos skersmuo yra 13 metrų, o tai visai ne atsitiktinis: faktas yra tas, kad būtent jis pateikia minimalius būtinus arenos geometrinius parametrus, kuriuose cirko žirgai gali šokinėti ratu. Jei paskaičiuotume apskritimo plotas per skersmenį paaiškėja, kad cirko arenai ši vertė yra 113,04 kv.

Architektūriniai elementai, galintys įgauti apskritimo formą, yra langai. Žinoma, dažniausiai jie būna stačiakampiai arba kvadratiniai (daugiausia dėl to, kad taip lengviau ir architektams, ir statybininkams), tačiau kai kuriuose pastatuose galima rasti ir apvalių langų. Be to, tokiuose transporto priemonių, kaip ir oro, jūrų ir upių laivai, dažniausiai yra būtent tokie.

Neretai baldų gamyboje naudojami apvalūs elementai, tokie kaip stalai ir kėdės. Yra net koncepcija " apvalus stalas“, o tai reiškia konstruktyvią diskusiją, kurios metu visapusiškai aptariami įvairūs svarbius klausimus ir kuriami jų sprendimo būdai. Kalbant apie pačių apvalios formos stalviršių gamybą, jų gamybai naudojami specializuoti įrankiai ir įranga, jei dalyvauja gana aukštos kvalifikacijos darbuotojai.

Apskritimas yra matomas daugelio taškų, esančių tokiu pat atstumu nuo centro, rinkinys. Norėdami rasti jo plotą, turite žinoti, koks yra spindulys, skersmuo, π skaičius ir apskritimas.

Kiekiai, naudojami apskaičiuojant apskritimo plotą

Atstumas, kurį riboja centrinis apskritimo taškas ir bet kuris apskritimo taškas, vadinamas šios geometrinės figūros spinduliu. Vieno apskritimo visų spindulių ilgiai yra vienodi. Atkarpa tarp bet kurių 2 apskritimo taškų, einančių per centrinį tašką, vadinama skersmeniu. Skersmens ilgis lygus spindulio ilgiui, padaugintam iš 2.

Apskritimo plotui apskaičiuoti naudojama skaičiaus π reikšmė. Ši vertė yra lygi apskritimo ir apskritimo skersmens ilgio santykiui ir turi pastovią vertę. Π = 3,1415926. Perimetras apskaičiuojamas pagal formulę L=2πR.

Raskite apskritimo plotą naudodami spindulį

Todėl apskritimo plotas yra lygus skaičiaus π ir apskritimo spindulio, pakelto iki 2 laipsnio, sandaugai. Paimkime, pavyzdžiui, apskritimo spindulio ilgį 5 cm, tada apskritimo S plotas bus lygus 3,14*5^2=78,5 kvadratinio metro. cm.

Apskritimo plotas per skersmenį

Apskritimo plotą taip pat galima apskaičiuoti žinant apskritimo skersmenį. Šiuo atveju S = (π/4)*d^2, kur d yra apskritimo skersmuo. Paimkime tą patį pavyzdį, kur spindulys yra 5 cm, tada jo skersmuo bus 5*2=10 cm Apskritimo plotas S = 3,14/4*10^2=78,5 kv.cm. Rezultatas, lygus pirmame pavyzdyje pateiktų skaičiavimų sumai, patvirtina skaičiavimų teisingumą abiem atvejais.

Apskritimo plotas per perimetrą

Jei apskritimo spindulys pavaizduotas per apskritimą, tada formulė bus tokia: R=(L/2)π. Pakeiskime šią išraišką į apskritimo ploto formulę ir gausime S=(L^2)/4π. Panagrinėkime pavyzdį, kuriame apskritimo ilgis yra 10 cm, tada apskritimo plotas yra S = (10^2)/4*3,14=7,96 kvadratinių metrų. cm.

Apskritimo plotas per įbrėžto kvadrato kraštinės ilgį

Jeigu į apskritimą įrašytas kvadratas, tai apskritimo skersmens ilgis lygus kvadrato įstrižainės ilgiui. Žinodami kvadrato kraštinės dydį, galite nesunkiai sužinoti apskritimo skersmenį pagal formulę: d^2=2a^2. Kitaip tariant, skersmuo iki 2 laipsnio lygus šonui kvadratas iki 2 laipsnio, padauginto iš 2.

Apskaičiavę apskritimo skersmens ilgį, galite sužinoti jo spindulį ir tada naudoti vieną iš formulių apskritimo plotui nustatyti.

Apskritimo sektoriaus plotas

Sektorius yra apskritimo dalis, apribota 2 spinduliais ir lanku tarp jų. Norėdami sužinoti jo plotą, turite išmatuoti sektoriaus kampą. Po to reikia sukurti trupmeną, kurios skaitiklis bus sektoriaus kampo reikšmė, o vardiklis – 360. Norint apskaičiuoti sektoriaus plotą, reikia padalyti trupmeną gautą reikšmę. padauginamas iš apskritimo ploto, apskaičiuoto naudojant vieną iš aukščiau pateiktų formulių.

Apskritimai reikalauja kruopštesnio požiūrio ir yra daug rečiau paplitę atliekant B5 užduotis. Tuo pačiu metu bendroji sprendimo schema yra dar paprastesnė nei daugiakampių atveju (žr. pamoką „Daugiakampių plotai koordinačių tinklelyje“).

Viskas, ko reikia atliekant tokias užduotis, yra rasti apskritimo R spindulį. Tada galite apskaičiuoti apskritimo plotą naudodami formulę S = πR 2. Iš šios formulės taip pat išplaukia, kad norint ją išspręsti, pakanka rasti R 2.

Norint rasti nurodytas reikšmes, pakanka nurodyti apskritimo tašką, esantį tinklelio linijų sankirtoje. Ir tada naudokite Pitagoro teoremą. Pasvarstykime konkrečių pavyzdžių spindulio skaičiavimai:

Užduotis. Raskite paveikslėlyje pavaizduotų trijų apskritimų spindulius:

Kiekviename rate atlikime papildomas konstrukcijas:

Kiekvienu atveju apskritime pasirenkamas taškas B, kuris yra tinklelio linijų sankirtoje. C taškas 1 ir 3 apskritimuose užbaigia figūrą iki stačiakampis trikampis. Belieka rasti spindulius:

Apsvarstykite trikampį ABC pirmajame apskritime. Pagal Pitagoro teoremą: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Antram apskritimui viskas aišku: R = AB = 2.

Trečiasis atvejis panašus į pirmąjį. Iš trikampio ABC pagal Pitagoro teoremą: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 1 2 + 2 2 = 5.

Dabar mes žinome, kaip rasti apskritimo spindulį (ar bent jau jo kvadratą). Todėl galime rasti sritį. Yra problemų, kai reikia rasti sektoriaus plotą, o ne visą apskritimą. Tokiais atvejais nesunku išsiaiškinti, kokia apskritimo dalis yra šis sektorius, ir taip surasti sritį.

Užduotis. Raskite užtamsinto sektoriaus plotą S. Atsakyme nurodykite S/π.

Akivaizdu, kad sektorius yra ketvirtadalis apskritimo. Todėl S = 0,25 S apskritimas.

Belieka rasti apskritimo S - apskritimo plotą. Norėdami tai padaryti, atliekame papildomą konstrukciją:

Trikampis ABC yra stačiakampis. Pagal Pitagoro teoremą gauname: R 2 = AB 2 = AC 2 + BC 2 = 2 2 + 2 2 = 8.

Dabar randame apskritimo ir sektoriaus plotą: S apskritimas = πR 2 = 8π ; S = 0,25 S apskritimas = 2π.

Galiausiai norima reikšmė yra S /π = 2.

Nežinomo spindulio sektoriaus sritis

Tai absoliučiai naujo tipo užduočių, nieko panašaus 2010–2011 m. Pagal sąlygą mums suteikiamas ratas tam tikra sritis(būtent plotas, o ne spindulys!). Tada šio apskritimo viduje pasirenkamas sektorius, kurio plotą reikia rasti.

Geros naujienos yra tai, kad tokie uždaviniai yra patys lengviausi iš visų sričių uždavinių, atsirandančių vieningame valstybiniame matematikos egzamine. Be to, apskritimas ir sektorius visada dedami į koordinačių tinklelį. Todėl norėdami sužinoti, kaip išspręsti tokias problemas, tiesiog pažiūrėkite į paveikslėlį:

Tegul pradinio apskritimo plotas S = 80. Tada jį galima padalyti į du sektorius, kurių kiekvieno plotas S = 40 (žr. 2 veiksmą). Panašiai kiekvieną iš šių „pusių“ sektorių galima dar kartą padalyti per pusę – gauname keturis sektorius, kurių kiekvieno plotas S = 20 (žr. 3 veiksmą). Galiausiai kiekvieną iš šių sektorių galime padalinti į dar du – gauname 8 „laužų“ sektorius. Kiekvieno iš šių „laužų“ plotas bus S = 10.

Atkreipkite dėmesį: nėra tikslesnio padalijimo nė vienoje iš vieningo valstybinio matematikos egzamino uždavinių! Taigi problemos B-3 sprendimo algoritmas yra toks:

1. Originalų apskritimą supjaustykite į 8 „iškarpų“ sektorius. Kiekvieno iš jų plotas yra lygiai 1/8 viso apskritimo ploto. Pavyzdžiui, jei pagal sąlygą apskritimo plotas S apskritimo = 240, tai „iškarpų“ plotas S = 240: 8 = 30;
2. Sužinokite, kiek „iškarpų“ telpa pirminiame sektoriuje, kurio plotą reikia rasti. Pavyzdžiui, jei mūsų sektoriuje yra 3 „iškarpos“, kurių plotas yra 30, tada norimo sektoriaus plotas yra S = 3 · 30 = 90. Tai bus atsakymas.

tai viskas! Problema sprendžiama praktiškai žodžiu. Jei kas nors vis tiek neaišku, nusipirkite picą ir supjaustykite į 8 dalis. Kiekvienas toks gabalas bus tas pats sektorius - "iškarpos", kurias galima sujungti į didesnes dalis.

Dabar pažvelkime į bandomojo vieningo valstybinio egzamino pavyzdžius:

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 40. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Taigi, apskritimo plotas yra 40. Padalinkite jį į 8 sektorius - kurių kiekvieno plotas S = 40: 5 = 8. Gauname:

Akivaizdu, kad tamsintas sektorius susideda iš lygiai dviejų „iškarpų“ sektorių. Todėl jo plotas yra 2 · 5 = 10. Štai visas sprendimas!

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 64. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Vėlgi, padalinkite visą apskritimą į 8 vienodus sektorius. Akivaizdu, kad vieno iš jų plotas yra būtent tai, ką reikia rasti. Todėl jo plotas yra S = 64: 8 = 8.

Užduotis. Ant languoto popieriaus nupiešiamas apskritimas, kurio plotas yra 48. Raskite užtamsintos figūros plotą.

Dar kartą padalykite apskritimą į 8 vienodus sektorius. Kiekvieno iš jų plotas lygus S = 48: 8 = 6. Reikalingame sektoriuje yra tiksliai trys sektoriai - "laužos" (žr. pav.). Todėl reikiamo sektoriaus plotas yra 3 6 = 18.

Instrukcijos

Norėdami rasti žinomos apskritimo srities spindulį, naudokite Pi. Ši konstanta nustato proporciją tarp apskritimo skersmens ir jo kraštinės (apskritimo) ilgio. Apskritimo ilgis yra didžiausias plokštumos plotas, kurį galima padengti jo pagalba, o skersmuo yra lygus dviem spinduliams, todėl plotas ir spindulys taip pat yra susiję vienas su kitu santykiu, kurį galima išreikšti per skaičius Pi. Ši konstanta (π) apibrėžiama kaip apskritimo plotas (S) ir kvadratinis spindulys (r). Iš to išplaukia, kad spindulį galima išreikšti kaip kvadratinė šaknis iš ploto, padalytos iš Pi, koeficiento: r=√(S/π).

Ilgą laiką Erastotenas daugiausiai vadovavo Aleksandrijos bibliotekai garsioji biblioteka senovės pasaulis. Be to, kad apskaičiavo mūsų planetos dydį, jis padarė nemažai svarbių išradimų ir atradimų. Išrado paprastą būdą nustatyti pirminiai skaičiai, dabar vadinamas „Erasstofeno sietu“.

Jis nubraižė „pasaulio žemėlapį“, kuriame parodė visas tuo metu senovės graikams žinomas pasaulio dalis. Žemėlapis buvo laikomas vienu geriausių savo laiku. Sukūrė ilgumos ir platumos sistemą bei kalendorių, į kurį įtraukta keliamieji metai. Išrado armiliarinę sferą – mechaninį įtaisą, kurį ankstyvieji astronomai naudojo, norėdami parodyti ir numatyti tariamą žvaigždžių judėjimą danguje. Jis taip pat sudarė žvaigždžių katalogą, kuriame buvo 675 žvaigždės.

Šaltiniai:

• Graikų mokslininkas Eratostenas Kirėnietis pirmasis pasaulyje apskaičiavo Žemės spindulį
• Eratostenas „Žemės apskritimo apskaičiavimas“.
• Eratostenas