Daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis, o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendras viršus, vadinama piramide.

Šie trikampiai, sudarantys piramidę, vadinami šoniniai veidai, o likęs daugiakampis yra pagrindu piramidės.

Piramidės apačioje guli geometrinė figūra– n-gon. Šiuo atveju piramidė taip pat vadinama n-anglies.

Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos yra lygios tetraedras.

Piramidės briaunos, nepriklausančios pagrindui, vadinamos šoninis, o jų bendra esmė yra viršūnė piramidės. Kiti piramidės kraštai paprastai vadinami pagrindo šalys.

Piramidė vadinama teisinga, jei jo bazėje yra taisyklingas daugiakampis ir visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai.

Atstumas nuo piramidės viršūnės iki pagrindo plokštumos vadinamas aukščio piramidės. Galime sakyti, kad piramidės aukštis yra statmenas pagrindui atkarpa, kurios galai yra piramidės viršuje ir pagrindo plokštumoje.

Bet kuriai piramidei taikomos šios formulės:

1) S pilnas = S pusė + S pagrindinis, Kur

S bendras – plotas viso paviršiaus piramidės;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų piramidės šoninių paviršių plotų suma;

S pagrindinis – piramidės pagrindo plotas.

2) V = 1/3 S bazės N, Kur

V – piramidės tūris;

H – piramidės aukštis.

Už taisyklinga piramidė vyksta:

S pusė = 1/2 P pagrindinė h, Kur

P main – piramidės pagrindo perimetras;

h yra apotemos ilgis, tai yra, šoninio paviršiaus, nuleisto nuo piramidės viršaus, aukščio ilgis.

Piramidės dalis, esanti tarp dviejų plokštumų – pagrindo plokštumos ir pjovimo plokštumos lygiagreti pagrindui, vadinama nupjauta piramidė.

Piramidės pagrindas ir piramidės skerspjūvis lygiagreti plokštuma yra vadinami priežasčių nupjauta piramidė. Likę veidai vadinami šoninis. Atstumas tarp pagrindų plokštumų vadinamas aukščio nupjauta piramidė. Vadinamos briaunos, kurios nepriklauso pagrindams šoninis.

Be to, nupjautinės piramidės pagrindas panašūs n-gonai. Jei nupjautinės piramidės pagrindai yra taisyklingi daugiakampiai, o visos šoninės briaunos yra lygios viena kitai, tai tokia nupjauta piramidė vadinama teisinga.

Už savavališka nupjauta piramidė taikomos šios formulės:

1) S pilnas = S pusė + S 1 + S 2, Kur

S total – bendras paviršiaus plotas;

S pusė – šoninio paviršiaus plotas, t.y. visų nupjautinės piramidės šoninių paviršių, kurie yra trapecijos, plotų suma;

S 1, S 2 – baziniai plotai;

2) V = 1/3 (S 1 + S 2 + √ (S 1 · S 2)) H, Kur

V – nupjautinės piramidės tūris;

H – nupjautinės piramidės aukštis.

Už taisyklinga nupjauta piramidė taip pat turime:

P pusė = 1/2 (P 1 + P 2) h, Kur

P 1, P 2 – pagrindų perimetrai;

h – apotema (šoninio paviršiaus aukštis, kuris yra trapecijos formos).

Panagrinėkime keletą problemų, susijusių su nupjauta piramide.

1 užduotis.

Trikampėje nupjautinėje piramidėje, kurios aukštis lygus 10, vienos iš pagrindų kraštinės yra 27, 29 ir 52. Nustatykite nupjautinės piramidės tūrį, jei kito pagrindo perimetras yra 72.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCA 1 B 1 C 1, parodytą paveikslėlyje 1 pav.

1. Nupjautos piramidės tūrį galima rasti naudojant formulę

V = 1/3H · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)), kur S 1 yra vienos iš bazių plotas, galima rasti naudojant Herono formulę

S = √(p(p – a)(p – b)(p – c)),

nes Uždavinys pateikia trijų trikampio kraštinių ilgius.

Turime: p 1 = (27 + 29 + 52) / 2 = 54.

S 1 = √(54 (54 – 27) (54 – 29) (54 – 52)) = √ (54 27 25 2) = 270.

2. Piramidė yra nupjauta, o tai reiškia, kad panašūs daugiakampiai yra prie pagrindų. Mūsų atveju trikampis ABC yra panašus į trikampį A 1 B 1 C 1. Be to, panašumo koeficientą galima rasti kaip nagrinėjamų trikampių perimetrų santykį, o jų plotų santykis bus lygus panašumo koeficiento kvadratui. Taigi mes turime:

S 1 / S 2 = (P 1) 2 / (P 2) 2 = 108 2 / 72 2 = 9/4. Taigi S 2 = 4S 1 /9 = 4 270/9 = 120.

Taigi, V = 1/3 10(270 + 120 + √(270 120)) = 1900.

Atsakymas: 1900 m.

2 užduotis.

Trikampėje nupjautoje piramidėje per viršutinio pagrindo kraštą nubrėžta plokštuma, lygiagreti priešingam šoniniam kraštui. Kokiu santykiu dalijamas nupjautinės piramidės tūris, jei atitinkamos pagrindų kraštinės yra santykiu 1:2?

Sprendimas.

Apsvarstykite ABCA 1 B 1 C 1 - nupjautą piramidę, parodytą paveikslėlyje ryžių. 2.

Kadangi pagrinduose kraštinės yra santykiu 1:2, tai pagrindų plotai yra santykiu 1:4 (trikampis ABC panašus į trikampį A 1 B 1 C 1).

Tada nupjautos piramidės tūris yra:

V = 1/3 h · (S 1 + S 2 + √(S 1 · S 2)) = 1/3 h · (4S 2 + S 2 + 2S 2) = 7/3 · h · S 2, kur S 2 – viršutinio pagrindo plotas, h – aukštis.

Bet prizmės ADEA 1 B 1 C 1 tūris yra V 1 = S 2 h, todėl

V 2 = V – V 1 = 7/3 · h · S 2 - h · S 2 = 4/3 · h · S 2.

Taigi, V 2: V 1 = 3: 4.

Atsakymas: 3:4.

3 užduotis.

Taisyklingos keturkampės nupjautinės piramidės pagrindų kraštinės lygios 2 ir 1, o aukštis 3. Per piramidės įstrižainių susikirtimo tašką, lygiagrečią piramidės pagrindams, brėžiama plokštuma, dalijanti piramidę į dvi dalis. Raskite kiekvieno iš jų tūrį.

Sprendimas.

Apsvarstykite nupjautą piramidę ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, parodytą paveikslėlyje ryžių. 3.

Pažymime O 1 O 2 = x, tada OO₂ = O 1 O – O 1 O 2 = 3 – x.

Apsvarstykite trikampį B 1 O 2 D 1 ir trikampį BO 2 D:

kampas B 1 O 2 D 1 lygus kampui VO 2 D kaip vertikali;

kampas BDO 2 lygus kampui D 1 B 1 O 2, o kampas O 2 ВD lygus kampui B 1 D 1 O 2, esančiam skersai ties B 1 D 1 || BD ir sekantai B₁D ir BD₁ atitinkamai.

Todėl trikampis B 1 O 2 D 1 yra panašus į trikampį BO 2 D, o kraštinių santykis yra:

В1D 1 /ВD = О 1 О 2 /ОО 2 arba 1/2 = x/(x – 3), iš kur x = 1.

Apsvarstykite trikampį B 1 D 1 B ir trikampį LO 2 B: kampas B yra bendras, taip pat yra pora vienpusių kampų ties B 1 D 1 || LM, o tai reiškia, kad trikampis B 1 D 1 B yra panašus į trikampį LO 2 B, iš kurio B 1 D: LO 2 = OO 1: OO 2 = 3: 2, t.y.

LO 2 = 2/3 · B 1 D 1 , LN = 4/3 · B 1 D 1 .

Tada S KLMN = 16/9 · S A 1 B 1 C 1 D 1 = 16/9.

Taigi, V 1 = 1/3 · 2 (4 + 16/9 + 8/3) = 152/27.

V 2 = 1/3 · 1 · (16/9 + 1 + 4/3) = 37/27.

Atsakymas: 152/27; 37/27.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

yra daugiakampis, sudarytas iš piramidės pagrindo ir jam lygiagrečios atkarpos. Galima sakyti, kad nupjauta piramidė yra piramidė su nupjauta viršūne. Ši figūra turi daug unikalių savybių:

• Šoniniai piramidės paviršiai yra trapecijos formos;
• Taisyklingos nupjautinės piramidės šoniniai kraštai yra vienodo ilgio ir pasvirę į pagrindą tokiu pat kampu;
• Pagrindai yra panašūs daugiakampiai;
• Įprastoje nupjautoje piramidėje veidai yra identiški lygiašonės trapecijos, kurio plotas lygus. Jie taip pat yra pasvirę į pagrindą vienu kampu.

Nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto formulė yra jos kraštinių plotų suma:

Kadangi nupjautos piramidės kraštinės yra trapecijos, norėdami apskaičiuoti parametrus turėsite naudoti formulę trapecijos plotas. Įprastai sutrumpintai piramidei galite taikyti kitokią ploto skaičiavimo formulę. Kadangi visos jo kraštinės, paviršiai ir kampai prie pagrindo yra lygūs, galima taikyti pagrindo ir apotemos perimetrus, taip pat išvesti plotą per kampą prie pagrindo.

Jei pagal sąlygas taisyklingoje nupjautinėje piramidėje pateikiamas apotemas (kraštinės aukštis) ir pagrindo kraštinių ilgiai, tai plotas gali būti apskaičiuojamas per perimetrų sumos pusgaminį. bazės ir apotemas:

Pažvelkime į nupjautos piramidės šoninio paviršiaus ploto apskaičiavimo pavyzdį.
Duota taisyklinga penkiakampė piramidė. Apotema l= 5 cm, krašto ilgis dideliame pagrinde yra a= 6 cm, o kraštas yra ties mažesniu pagrindu b= 4 cm Apskaičiuokite nupjautos piramidės plotą.

Pirma, suraskime pagrindų perimetrus. Kadangi mums duota penkiakampė piramidė, suprantame, kad pagrindai yra penkiakampiai. Tai reiškia, kad pagrinduose yra figūra su penkiomis identiškomis kraštinėmis. Raskime didesnės bazės perimetrą:

Tuo pačiu būdu randame mažesnio pagrindo perimetrą:

Dabar galime apskaičiuoti taisyklingos nupjautos piramidės plotą. Pakeiskite duomenis į formulę:

Taigi, mes apskaičiavome taisyklingos nupjautos piramidės plotą per perimetrus ir apotemą.

Kitas būdas apskaičiuoti taisyklingos piramidės šoninį paviršiaus plotą yra formulė per kampus prie pagrindo ir tų pačių pagrindų plotą.

Pažvelkime į skaičiavimo pavyzdį. Prisimename, kad ši formulė galioja tik taisyklingai nupjautai piramidei.

Tegu duota taisyklinga keturkampė piramidė. Apatinio pagrindo kraštas a = 6 cm, o viršutinio pagrindo kraštas b = 4 cm Dvikampis kampas prie pagrindo yra β = 60°. Raskite taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotą.

Pirmiausia apskaičiuokime pagrindų plotą. Kadangi piramidė yra taisyklinga, visos pagrindų briaunos yra lygios viena kitai. Atsižvelgiant į tai, kad pagrindas yra keturkampis, suprantame, kad reikės skaičiuoti aikštės plotas. Tai yra pločio ir ilgio sandauga, tačiau kvadratu šios reikšmės yra vienodos. Raskime didesnės bazės plotą:


Dabar mes naudojame rastas vertes šoninio paviršiaus plotui apskaičiuoti.

Žinodami keletą paprastų formulių, naudodami įvairias reikšmes, lengvai apskaičiavome nupjautos piramidės šoninės trapecijos plotą.

• 09.10.2014

  Paveikslėlyje parodytas pirminis stiprintuvas skirtas naudoti su 4 tipų garso šaltiniais, pavyzdžiui, mikrofonu, CD grotuvu, radiju ir tt Šiuo atveju pirminis stiprintuvas turi vieną įėjimą, kuris gali keisti jautrumą nuo 50 mV iki 500 mV. stiprintuvo išėjimo įtampa 1000mV. Jungdami skirtingus signalo šaltinius perjungdami jungiklį SA1, visada gausime...

• 20.09.2014

  Maitinimo šaltinis skirtas 15…20 W apkrovai. Šaltinis pagamintas pagal vieno ciklo impulsinio aukšto dažnio keitiklio grandinę. Tranzistorius naudojamas 20…40 kHz dažniu veikiančiam savaiminiam generatoriui surinkti. Dažnis reguliuojamas talpa C5. Elementai VD5, VD6 ir C6 sudaro generatoriaus paleidimo grandinę. Antrinėje grandinėje po tilto lygintuvo yra įprastas linijinis mikroschemos stabilizatorius, kuris leidžia turėti ...

• 28.09.2014

  Paveikslėlyje parodytas K174XA11 mikroschemos pagrindu sukurtas generatorius, kurio dažnį valdo įtampa. Pakeitus talpą C1 nuo 560 iki 4700 pF, galima gauti platų dažnių diapazoną, o dažnis reguliuojamas keičiant varžą R4. Pavyzdžiui, autorius išsiaiškino, kad esant C1 = 560pF, generatoriaus dažnis gali būti keičiamas naudojant R4 nuo 600Hz iki 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Įrenginys skirtas maitinti galingą ULF, jis skirtas ±27V išėjimo įtampai ir iki 3A apkrovai kiekvienai rankai. Maitinimo šaltinis yra dviejų polių, pagamintas iš sudėtinių tranzistorių KT825-KT827. Abi stabilizatoriaus petys pagamintos pagal tą pačią grandinę, tačiau kitoje (neparodyta) keičiamas kondensatorių poliškumas ir naudojami kitokio tipo tranzistoriai...

Gebėjimas apskaičiuoti erdvinių figūrų tūrį yra svarbus sprendžiant daugybę praktinių geometrijos uždavinių. Viena iš labiausiai paplitusių figūrų yra piramidė. Šiame straipsnyje mes apsvarstysime tiek pilnas, tiek sutrumpintas piramides.

Piramidė kaip trimatė figūra

Visi žino apie Egipto piramidės, todėl jis puikiai supranta, apie kokią figūrą kalbėsime. Tačiau Egipto akmens konstrukcijos yra tik ypatingas didžiulės piramidžių klasės atvejis.

Svarstomas geometrinis objektas bendras atvejis yra daugiakampis pagrindas, kurio kiekviena viršūnė yra sujungta su tam tikru erdvės tašku, kuris nepriklauso pagrindo plokštumai. Šis apibrėžimas gaunama figūra, susidedanti iš vieno n kampo ir n trikampių.

Bet kuri piramidė susideda iš n+1 paviršių, 2*n briaunų ir n+1 viršūnių. Kadangi nagrinėjama figūra yra tobulas daugiakampis, pažymėtų elementų skaičiai paklūsta Eulerio lygybei:

2*n = (n+1) + (n+1) – 2.

Daugiakampis, esantis prie pagrindo, suteikia piramidės pavadinimą, pavyzdžiui, trikampis, penkiakampis ir pan. Piramidžių rinkinys su skirtingais pagrindais parodytas žemiau esančioje nuotraukoje.

Taškas, kuriame susikerta n figūros trikampių, vadinamas piramidės viršūne. Jei statmenas nuo jo nuleistas ant pagrindo ir jis kerta jį geometriniame centre, tada tokia figūra bus vadinama tiesia linija. Jei ši sąlyga neįvykdoma, atsiranda pasvirusi piramidė.

Stačioji figūra, kurios pagrindą sudaro lygiakraštis (lygiakampis) n-kampis, vadinama taisyklingu.

Piramidės tūrio formulė

Piramidės tūriui apskaičiuoti naudosime integralinį skaičiavimą. Norėdami tai padaryti, padalijame figūrą, išpjaudami plokštumas, lygiagrečias pagrindui, į begalinį skaičių plonų sluoksnių. Žemiau esančiame paveikslėlyje pavaizduota h aukščio ir kraštinės ilgio L keturkampė piramidė, kurioje keturkampis žymi ploną pjūvio sluoksnį.

Kiekvieno tokio sluoksnio plotą galima apskaičiuoti pagal formulę:

A(z) = A0*(h-z)2/h2.

Čia A 0 yra pagrindo plotas, z yra vertikalios koordinatės reikšmė. Matyti, kad jei z = 0, tai formulė suteikia reikšmę A 0 .

Norėdami gauti piramidės tūrio formulę, turėtumėte apskaičiuoti integralą per visą figūros aukštį, tai yra:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Pakeitę priklausomybę A(z) ir apskaičiavę antidarinį, gauname išraišką:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 = 1/3 * A 0 * val.

Gavome piramidės tūrio formulę. Norėdami rasti V reikšmę, tiesiog padauginkite figūros aukštį iš pagrindo ploto ir padalykite rezultatą iš trijų.

Atkreipkite dėmesį, kad gauta išraiška galioja apskaičiuojant bet kokio tipo piramidės tūrį. Tai yra, jis gali būti pasviręs, o jo pagrindas gali būti savavališkas n-kampis.

ir jo apimtis

Gauta aukščiau esančioje pastraipoje bendroji formulė tūriui galima nurodyti piramidės atveju su teisinga priežastis. Tokio pagrindo plotas apskaičiuojamas pagal šią formulę:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Čia L yra taisyklingo daugiakampio su n viršūnių kraštinės ilgis. Simbolis pi yra skaičius pi.

Pakeitę A 0 išraišką į bendrą formulę, gauname taisyklingos piramidės tūrį:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Pavyzdžiui, trikampei piramidei ši formulė suteikia tokią išraišką:

V 3 = 3/12*L 2 *h*ctg(60 o) = √3/12*L 2 *val.

Už dešinę keturkampė piramidė Tūrio formulė yra tokia:

V 4 = 4/12*L 2 *h*ctg(45 o) = 1/3*L 2 *val.

Norint nustatyti taisyklingų piramidžių tūrius, reikia žinoti jų pagrindo kraštą ir figūros aukštį.

Nupjauta piramidė

Tarkime, kad paėmėme savavališką piramidę ir nupjovėme dalį jos šoninio paviršiaus, kuriame yra viršūnė. Likusi figūra vadinama nupjautąja piramide. Jį jau sudaro du n kampų pagrindai ir n juos jungiančios trapecijos. Jei pjovimo plokštuma buvo lygiagreti figūros pagrindui, tada susidaro nupjauta piramidė su panašiais lygiagrečiais pagrindais. Tai yra, vienos iš jų kraštinių ilgius galima gauti padauginus kitos ilgius iš tam tikro koeficiento k.

Aukščiau pateiktame paveikslėlyje pavaizduotas nupjautas taisyklingas Matyti, kad jo viršutinis pagrindas, kaip ir apatinis, suformuotas taisyklingo šešiakampio.

Formulė, kurią galima gauti naudojant integralinį skaičiavimą, panašų į aukščiau pateiktą, yra:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 * A 1)).

Kur A 0 ir A 1 yra atitinkamai apatinių (didelių) ir viršutinių (mažų) bazių plotai. Kintamasis h reiškia nupjautinės piramidės aukštį.

Cheopso piramidės tūris

Įdomu išspręsti didžiausios Egipto piramidės viduje esančio tūrio nustatymo problemą.

1984 metais britų egiptologai Markas Lehneris ir Jonas Goodmanas nustatė tikslius Cheopso piramidės matmenis. Pradinis jo aukštis buvo 146,50 metro (šiuo metu apie 137 metrai). Vidutinis ilgis kiekviena iš keturių konstrukcijos kraštų buvo 230,363 metro. Piramidės pagrindas yra kvadratinis su dideliu tikslumu.

Naudokime pateiktus skaičius šio akmens milžino tūriui nustatyti. Kadangi piramidė yra taisyklinga keturkampė, tada jai galioja formulė:

Pakeitę skaičius, gauname:

V 4 = 1/3*(230,363) 2 *146,5 ≈ 2591444 m 3.

Cheopso piramidės tūris – beveik 2,6 mln.m3. Palyginimui pažymime, kad olimpinio baseino tūris yra 2,5 tūkst. Tai yra, norint užpildyti visą Cheopso piramidę, jums reikės daugiau nei 1000 tokių baseinų!

Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazę ), o visi kiti paviršiai yra trikampiai su bendra viršūne ( šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visos taisyklingosios piramidės šoninės briaunos yra lygios viena kitai, visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Bendras paviršiaus plotas vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė vadinama taisyklingosios piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Priežastys nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Dešinėje trikampė piramidė dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo - tai piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Norėdami rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, kuriame parodytas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Pagal ploto teoremą stačiakampė projekcija plokščia figūra gauname:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime