Šiandien mes suprasime Gauso metodą tiesinių sistemų sprendimui algebrines lygtis. Apie tai, kas yra šios sistemos, galite perskaityti ankstesniame straipsnyje, skirtame tų pačių SLAE sprendimui naudojant Cramer metodą. Gauso metodas nereikalauja jokių specifinių žinių, reikia tik atidumo ir nuoseklumo. Nepaisant to, kad matematiniu požiūriu mokyklinio pasirengimo pakanka jį taikyti, studentams dažnai sunku įsisavinti šį metodą. Šiame straipsnyje mes stengsimės juos sumažinti iki nieko!

Gauso metodas

M Gauso metodas– universaliausias SLAE sprendimo būdas (išskyrus labai didelės sistemos). Skirtingai nei aptarta anksčiau, jis tinka ne tik sistemoms su vienintelis sprendimas, bet ir sistemoms, turinčioms begalinį sprendimų skaičių. Čia yra trys galimi variantai.

1. Sistema turi unikalų sprendimą (pagrindinės sistemos matricos determinantas nėra lygus nuliui);
2. Sistema turi begalinį sprendimų skaičių;
3. Sprendimų nėra, sistema nesuderinama.

Taigi mes turime sistemą (tegul ji turi vieną sprendimą) ir ketiname ją išspręsti Gauso metodu. Kaip tai veikia?

Gauso metodas susideda iš dviejų etapų – į priekį ir atvirkštinio.

Tiesioginis Gauso metodo smūgis

Pirmiausia užsirašykime išplėstinę sistemos matricą. Norėdami tai padaryti, į pagrindinę matricą pridėkite laisvų narių stulpelį.

Visa Gauso metodo esmė yra ta elementarios transformacijos suteikite šią matricą į laiptuotą (arba, kaip dar sakoma, trikampę) formą. Šioje formoje po (arba aukščiau) pagrindinės matricos įstrižainės turėtų būti tik nuliai.

Ką galite padaryti:

1. Galite pertvarkyti matricos eilutes;
2. Jei matricoje yra lygių (arba proporcingų) eilučių, galite pašalinti visas jas, išskyrus vieną;
3. Eilutę galite padauginti arba padalyti iš bet kurio skaičiaus (išskyrus nulį);
4. Nulinės eilutės pašalinamos;
5. Prie eilutės galite pridėti eilutę, padaugintą iš kito skaičiaus nei nulis.

Atvirkštinis Gauso metodas

Po to, kai mes transformavome sistemą tokiu būdu, vienas nežinomas Xn tampa žinomas, o visus likusius nežinomus galite rasti atvirkštine tvarka, sistemos lygtyse pakeisdami jau žinomus x iki pirmųjų.

Kai internetas visada yra po ranka, lygčių sistemą galite išspręsti naudodami Gauso metodą internete. Jums tereikia įvesti koeficientus į internetinę skaičiuotuvą. Tačiau reikia pripažinti, kad daug maloniau suvokti, kad pavyzdys neišspręstas kompiuterine programa, bet su savo smegenimis.

Lygčių sistemos sprendimo Gauso metodu pavyzdys

O dabar – pavyzdys, kad viskas taptų aišku ir suprantama. Tegul sistema duota tiesines lygtis, ir jūs turite tai išspręsti naudodami Gauso metodą:

Pirmiausia parašykime išplėstinę matricą:

Dabar atlikime transformacijas. Mes prisimename, kad turime pasiekti trikampę matricos išvaizdą. Padauginkime 1 eilutę iš (3). Padauginkite 2 eilutę iš (-1). Pridėkite 2-ąją eilutę prie 1-osios ir gaukite:

Tada padauginkite 3 eilutę iš (-1). Pridėkime 3 eilutę prie 2:

Padauginkime 1 eilutę iš (6). Padauginkime 2 eilutę iš (13). Pridėkime 2-ąją eilutę prie 1-osios:

Voila - sistema įvedama į atitinkamą formą. Belieka surasti nežinomuosius:

Šiame pavyzdyje pateikta sistema turi unikalų sprendimą. Sistemų su begaliniu skaičiumi sprendimus svarstysime atskirame straipsnyje. Galbūt iš pradžių nežinosite, nuo ko pradėti transformuoti matricą, bet po tinkamos praktikos susigausite ir gauso metodu kaip riešutus sulaužysite SLAE. Ir jei staiga susidursite su SLAE, kuris pasirodo esąs per kietas riešutas, susisiekite su mūsų autoriais! galite palikę prašymą korespondencijos skyriuje. Kartu mes išspręsime bet kokią problemą!

Tiesinių lygčių sistemų sprendimas Gauso metodu. Tarkime, kad turime rasti sistemos sprendimą n tiesines lygtis su n nežinomi kintamieji
kurios pagrindinės matricos determinantas skiriasi nuo nulio.

Gauso metodo esmė susideda iš nuoseklaus nežinomų kintamųjų pašalinimo: pirmiausia pašalinama x 1 iš visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios, toliau neįtraukiama x 2 nuo visų lygčių, pradedant trečiąja ir taip toliau, kol paskutinėje lygtyje lieka tik nežinomas kintamasis x n. Šis sistemos lygčių transformavimo procesas nuoseklus pašalinimas vadinami nežinomi kintamieji tiesioginis Gauso metodas. Užbaigę Gauso metodo progresavimą į priekį, iš paskutinės lygties randame x n, naudojant šią vertę iš priešpaskutinės lygties, kurią apskaičiuojame xn-1, ir t. t., iš pirmos rastos lygties x 1. Nežinomų kintamųjų skaičiavimo procesas, pereinant nuo paskutinės sistemos lygties prie pirmosios, vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Trumpai apibūdinkime nežinomų kintamųjų pašalinimo algoritmą.

Mes manysime, kad , nes mes visada galime tai pasiekti sukeisdami sistemos lygtis. Pašalinkite nežinomą kintamąjį x 1 nuo visų sistemos lygčių, pradedant nuo antrosios. Norėdami tai padaryti, prie antrosios sistemos lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , prie trečiosios lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš , ir pan. nth prie lygties pridedame pirmąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir .

Jei išreikštume, gautume tą patį rezultatą x 1 per kitus nežinomus kintamuosius pirmoje sistemos lygtyje ir gauta išraiška buvo pakeista į visas kitas lygtis. Taigi kintamasis x 1 neįtraukti iš visų lygčių, pradedant nuo antrosios.

Toliau elgiamės panašiai, bet tik su dalimi gautos sistemos, kuri pažymėta paveikslėlyje

Norėdami tai padaryti, prie trečiosios sistemos lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , prie ketvirtosios lygties pridedame antrąją, padaugintą iš , ir taip toliau. nth prie lygties pridedame antrąją, padaugintą iš . Lygčių sistema po tokių transformacijų įgaus formą

kur ir . Taigi kintamasis x 2 neįtraukti iš visų lygčių, pradedant nuo trečiosios.

Toliau pereiname prie nežinomybės pašalinimo x 3, šiuo atveju panašiai elgiamės ir su paveiksle pažymėta sistemos dalimi

Taigi mes tęsiame tiesioginį Gauso metodo progresą, kol sistema įgaus formą

Nuo šio momento pradedame atvirkštinį Gauso metodą: skaičiuojame x n iš paskutinės lygties as, naudojant gautą reikšmę x n randame xn-1 iš priešpaskutinės lygties ir pan., randame x 1 nuo pirmosios lygties.

Pavyzdys.

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodas.

Mokymo įstaiga „Baltarusijos valstybė

Žemės ūkio akademija“

Aukštosios matematikos katedra

Gairės

studijuoti temą „Gauso metodas sistemoms spręsti tiesinės

lygtys“ pateikė Buhalterinės apskaitos fakulteto studentai korespondencijos forma išsilavinimas (NISPO)

Gorkis, 2013 m

Gauso metodas tiesinių lygčių sistemoms spręsti

Ekvivalentinės lygčių sistemos

Dvi tiesinių lygčių sistemos laikomos lygiavertėmis, jei kiekvienas iš jų yra kitos sprendinys. Tiesinių lygčių sistemos sprendimo procesas susideda iš nuoseklaus jos transformavimo į lygiavertę sistemą, naudojant vadinamąją. elementarios transformacijos , kurios yra:

1) bet kurių dviejų sistemos lygčių pertvarkymas;

2) padauginus abi bet kurios sistemos lygties puses iš nuliui nepriklausančio skaičiaus;

3) prie bet kurios lygties pridedant kitą lygtį, padaugintą iš bet kurio skaičiaus;

4) iš nulių susidedančios lygties perbraukimas, t.y. formos lygtys

Gauso eliminacija

Apsvarstykite sistemą m tiesines lygtis su n nežinomas:

Gauso metodo arba nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodo esmė yra tokia.

Pirma, naudojant elementariąsias transformacijas, nežinomasis pašalinamas iš visų sistemos lygčių, išskyrus pirmąją. Tokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso pašalinimo žingsnis . Nežinomasis vadinamas įgalinantis kintamasis pirmajame transformacijos etape. Koeficientas vadinamas skiriamosios gebos koeficientas , vadinama pirmoji lygtis sprendžiant lygtį , o koeficientų stulpelis ties leidimų stulpelis .

Atliekant vieną Gauso pašalinimo žingsnį, reikia naudoti toliau nurodytas taisykles:

1) sprendžiamosios lygties koeficientai ir laisvasis terminas lieka nepakitę;

2) skyros stulpelio, esančio žemiau skiriamosios gebos koeficiento, koeficientai tampa lygūs nuliui;

3) visi kiti koeficientai ir laisvieji terminai atliekant pirmąjį žingsnį apskaičiuojami pagal stačiakampio taisyklę:

, Kur i=2,3,…,m; j=2,3,…,n.

Panašias transformacijas atliksime antrojoje sistemos lygtyje. Tai sukels sistemą, kurioje nežinomasis bus pašalintas visose lygtyse, išskyrus pirmąsias dvi. Dėl tokių transformacijų per kiekvieną sistemos lygtį (tiesioginė Gauso metodo eiga), pradinė sistema redukuojama į lygiavertę vieno iš šių tipų pakopų sistemą.

Atvirkštinis Gauso metodas

Žingsnių sistema

turi trikampę išvaizdą ir viskas (i=1,2,…,n). Tokia sistema turi unikalų sprendimą. Nežinomieji nustatomi pradedant nuo paskutinės lygties (Gauso metodo atvirkštinė dalis).

Žingsnių sistema turi formą

kur, t.y. sistemos lygčių skaičius yra mažesnis arba lygus nežinomųjų skaičiui. Ši sistema neturi sprendimų, nes paskutinė lygtis nebus įvykdyta jokioms kintamojo reikšmėms.

Žingsnio tipo sistema

turi daugybę sprendimų. Iš paskutinės lygties nežinomasis išreiškiamas per nežinomuosius . Tada priešpaskutinėje lygtyje vietoj nežinomybės jos išraiška pakeičiama nežinomaisiais . Tęsiant atvirkštinį Gauso metodą, nežinomieji gali būti išreikštas nežinomaisiais . Šiuo atveju nežinomieji yra vadinami nemokamai ir gali būti bet kokios reikšmės ir nežinomos pagrindinis.

Praktiškai sprendžiant sistemas, patogu visas transformacijas atlikti ne lygčių sistema, o išplėstine sistemos matrica, susidedančia iš nežinomųjų koeficientų ir laisvųjų terminų stulpelio.

1 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Sukurkime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

.

Išplėstoje sistemos matricoje skaičius 3 (jis paryškintas) yra skiriamosios gebos koeficientas, pirmoji eilutė yra skiriamosios gebos eilutė, o pirmoji stulpelis yra skiriamosios gebos stulpelis. Pereinant į kitą matricą, raiškos eilutė nesikeičia visi po skyros elementu esantys skyros stulpelio elementai pakeičiami nuliais. O visi kiti matricos elementai perskaičiuojami pagal keturkampę taisyklę. Vietoj elemento 4 antroje eilutėje rašome , vietoj elemento -3 antroje eilutėje bus rašoma ir tt Taigi bus gauta antroji matrica. Šios matricos skyros elementas bus 18 antroje eilutėje. Norėdami sudaryti kitą (trečiąją matricą), palikite antrą eilutę nepakeistą, stulpelyje po sprendžiamuoju elementu parašykite nulį ir perskaičiuokite likusius du elementus: vietoj skaičiaus 1 parašykite , o vietoj skaičiaus 16 rašome .

Dėl to pradinė sistema buvo sumažinta iki lygiavertės

Iš trečiosios lygties randame . Pakeiskime šią reikšmę į antrąją lygtį: y=3. Rastas reikšmes pakeiskime pirmąją lygtį y Ir z: , x=2.

Taigi šios lygčių sistemos sprendimas yra x=2, y=3, .

2 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Atlikime elementarias transformacijas išplėstoje sistemos matricoje:

Antroje matricoje kiekvienas trečiosios eilutės elementas yra padalintas iš 2.

Ketvirtoje matricoje kiekvienas trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 11.

. Gauta matrica atitinka lygčių sistemą

Išspręsdami šią sistemą, randame , , .

3 pavyzdys. Išspręskite lygčių sistemą

Sprendimas. Parašykime išplėstinę sistemos matricą ir atliksime elementarias transformacijas:

.

Antroje matricoje kiekvienas antros, trečios ir ketvirtos eilučių elementas buvo padalintas iš 7.

Dėl to buvo gauta lygčių sistema

lygiavertis originaliam.

Kadangi lygčių yra dviem mažiau nei nežinomųjų, tai iš antrosios lygties . Pirmoje lygtyje pakeiskime išraišką: , .

Taigi, formulės pateikite bendrą šios lygčių sistemos sprendimą. Nežinomieji yra nemokami ir gali turėti bet kokią vertę.

Tegu pvz. Tada Ir . Sprendimas yra vienas iš konkrečių sistemos sprendimų, kurių yra begalė.

Žinių savikontrolės klausimai

1) Kokios transformacijos tiesinės sistemos vadinami elementariais?

2) Kokios sistemos transformacijos vadinamos Gauso eliminacijos žingsniu?

3) Kas yra skiriamasis kintamasis, skiriamosios gebos koeficientas, skiriamoji stulpelis?

4) Kokios taisyklės turėtų būti taikomos atliekant vieną Gauso eliminacijos žingsnį?

1. Tiesinių algebrinių lygčių sistema

1.1 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos samprata

Lygčių sistema yra sąlyga, susidedanti iš kelių lygčių vienu metu vykdymo kelių kintamųjų atžvilgiu. Tiesinių algebrinių lygčių sistema (toliau – SLAE), turinti m lygčių ir n nežinomųjų, vadinama tokios formos sistema:

kur skaičiai a ij vadinami sistemos koeficientais, skaičiai b i vadinami laisvaisiais terminais, a ij Ir b i(i=1,…, m; b=1,…, n) reiškia kai kuriuos žinomi skaičiai ir x 1,…, x n– nežinomas. Koeficientų žymėjime a ij pirmasis indeksas i žymi lygties skaičių, o antrasis j yra nežinomojo skaičius, kuriame yra šis koeficientas. Reikia rasti skaičius x n. Tokią sistemą patogu parašyti kompaktiška matrica: AX = B.Čia A yra sistemos koeficientų matrica, vadinama pagrindine matrica;

– nežinomųjų xj stulpelio vektorius.
yra laisvųjų terminų bi stulpelio vektorius.

Apibrėžiama matricų A*X sandauga, nes matricoje A yra tiek stulpelių, kiek X matricoje eilučių (n vienetų).

Išplėstinė sistemos matrica yra sistemos matrica A, papildyta laisvųjų terminų stulpeliu

1.2 Tiesinių algebrinių lygčių sistemos sprendimas

Lygčių sistemos sprendimas yra sutvarkytas skaičių (kintamųjų reikšmių) rinkinys, kai juos pakeičiant vietoj kintamųjų, kiekviena sistemos lygtis virsta tikra lygybe.

Sistemos sprendimas yra n reikšmių nežinomųjų x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, kurias pakeitus visos sistemos lygtys tampa tikrosiomis lygybėmis. Bet koks sistemos sprendimas gali būti parašytas kaip stulpelių matrica

Lygčių sistema vadinama nuoseklia, jei ji turi bent vieną sprendinį, ir nenuosekliąja, jei sprendinio nėra.

Sakoma, kad nuosekli sistema yra apibrėžta, jei ji turi vieną sprendimą, ir neapibrėžta, jei ji turi daugiau nei vieną sprendimą. Pastaruoju atveju kiekvienas jo sprendimas vadinamas konkrečiu sistemos sprendimu. Visų konkrečių sprendimų rinkinys vadinamas bendras sprendimas.

Išspręsti sistemą reiškia išsiaiškinti, ar ji suderinama, ar nenuosekli. Jei sistema nuosekli, raskite jos bendrą sprendimą.

Dvi sistemos vadinamos lygiavertėmis (ekvivalentiškomis), jei jos turi tą patį bendrąjį sprendimą. Kitaip tariant, sistemos yra lygiavertės, jei kiekvienas vienos iš jų sprendimas yra kitos sprendimas, ir atvirkščiai.

Transformacija, kurios taikymas paverčia sistemą nauja sistema, lygiavertis pradiniam, vadinamas ekvivalentine arba lygiaverte transformacija. Lygiaverčių transformacijų pavyzdžiai apima šias transformacijas: dviejų sistemos lygčių sukeitimas, dviejų nežinomųjų sukeitimas kartu su visų lygčių koeficientais, abiejų bet kurios sistemos lygties pusių padauginimas iš nulinio skaičiaus.

Tiesinių lygčių sistema vadinama vienalyte, jei visi laisvieji nariai yra lygūs nuliui:

Vienalytė sistema visada yra nuosekli, nes x1=x2=x3=…=xn=0 yra sistemos sprendimas. Šis sprendimas vadinamas nuliniu arba trivialiu.

2. Gauso eliminacijos metodas

2.1 Gauso eliminacijos metodo esmė

Klasikinis tiesinių algebrinių lygčių sistemų sprendimo metodas yra nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas. Gauso metodas(jis dar vadinamas Gauso eliminacijos metodu). Tai kintamųjų nuoseklaus eliminavimo būdas, kai, naudojant elementariąsias transformacijas, lygčių sistema redukuojama į lygiavertę žingsninės (arba trikampės) formos sistemą, iš kurios paeiliui randami visi kiti kintamieji, pradedant nuo paskutinio (pagal skaičius) kintamieji.

Sprendimo procesas naudojant Gauso metodą susideda iš dviejų etapų: judesių pirmyn ir atgal.

1. Tiesioginis smūgis.

Pirmajame etape atliekamas vadinamasis tiesioginis judėjimas, kai elementariais transformavimais per eilutes sistema įvedama į laiptuotą arba trikampę formą arba nustatoma, kad sistema nesuderinama. Būtent tarp pirmojo matricos stulpelio elementų pasirinkite ne nulį, perkelkite jį į aukščiausią padėtį pertvarkydami eilutes ir gautą pirmąją eilutę atimkite iš likusių eilučių po pertvarkymo, padaugindami ją iš reikšmės. lygus kiekvienos iš šių eilučių pirmojo elemento ir pirmosios eilutės pirmojo elemento santykiui, taigi po juo esantis stulpelis nulinis.

Atlikus nurodytas transformacijas, pirmoji eilutė ir pirmasis stulpelis mintyse perbraukiamos ir tęsiamos tol, kol lieka nulinio dydžio matrica. Jei bet kurioje iteracijoje tarp pirmojo stulpelio elementų nėra nulinio elemento, eikite į kitą stulpelį ir atlikite panašią operaciją.

Pirmajame etape (tiesioginis smūgis) sistema sumažinama į laiptuotą (ypač trikampę).

Žemiau pateikta sistema turi laipsnišką formą:

,

Koeficientai aii vadinami pagrindiniais (pirmaujančiais) sistemos elementais.

(jei a11=0, pertvarkykite matricos eilutes taip a 11 nebuvo lygus 0. Tai visada įmanoma, nes kitu atveju matricoje yra nulinis stulpelis, jo determinantas lygus nuliui ir sistema nenuosekli).

Transformuokime sistemą pašalindami nežinomą x1 visose lygtyse, išskyrus pirmąją (naudojant elementariąsias sistemos transformacijas). Norėdami tai padaryti, padauginkite abi pirmosios lygties puses iš

ir pridėti terminą po termino su antrąja sistemos lygtimi (arba iš antrosios lygties terminą po termino atimti iš pirmosios, padaugintos iš ). Tada padauginame abi pirmosios lygties puses iš ir pridedame prie trečiosios sistemos lygties (arba iš trečiosios atimame pirmąją, padaugintą iš ). Taigi pirmąją eilutę padauginame iš skaičiaus ir pridedame prie i eilutė, skirta i= 2, 3, …,n.

Tęsdami šį procesą gauname lygiavertę sistemą:

– naujos nežinomųjų ir laisvųjų dėmenų koeficientų reikšmės paskutinėse sistemos m-1 lygtyse, kurios nustatomos pagal formules:

Taigi, pirmame žingsnyje, visi koeficientai, esantys po pirmuoju pagrindiniu elementu a 11, yra sunaikinti

0, antrajame žingsnyje sunaikinami elementai, esantys po antruoju pagrindiniu elementu a 22 (1) (jei 22 (1) 0) ir kt. Tęsdami šį procesą toliau, galiausiai (m-1) žingsnyje pradinę sistemą sumažiname į trikampę sistemą.

Jeigu redukuojant sistemą į pakopinę formą atsiranda nulinės lygtys, t.y. lygybės 0=0 formos, jos atmetamos. Jeigu atsiranda formos lygtis

tada tai rodo sistemos nesuderinamumą.

Čia ir baigiasi tiesioginė Gauso metodo progresija.

2. Atbulinė eiga.

Antrame etape atliekamas vadinamasis atvirkštinis judėjimas, kurio esmė yra išreikšti visus gautus pagrindinius kintamuosius ne pagrindiniais ir sukurti pagrindinę sprendimų sistemą arba, jei visi kintamieji yra pagrindiniai. , tada skaitiniu būdu išreikškite vienintelį tiesinių lygčių sistemos sprendimą.

Ši procedūra prasideda paskutine lygtimi, iš kurios išreiškiamas atitinkamas pagrindinis kintamasis (joje yra tik vienas) ir pakeičiamas į ankstesnes lygtis, ir taip toliau, einant „pakopomis“.

Kiekviena eilutė tiksliai atitinka vieną pagrindinį kintamąjį, todėl kiekviename žingsnyje, išskyrus paskutinę (viršutinę), situacija tiksliai pakartoja paskutinės eilutės atvejį.

Pastaba: praktikoje patogiau dirbti ne su sistema, o su jos išplėstine matrica, atliekant visas elementarias transformacijas jos eilutėse. Patogu, kad koeficientas a11 būtų lygus 1 (pertvarkykite lygtis arba padalykite abi lygties puses iš a11).

2.2 SLAE sprendimo Gauso metodu pavyzdžiai

Šiame skyriuje, naudodami tris skirtingus pavyzdžius, parodysime, kaip Gauso metodas gali išspręsti SLAE.

1 pavyzdys. Išspręskite 3 eilės SLAE.

Iš naujo nustatykime koeficientus ties

antroje ir trečioje eilutėse. Norėdami tai padaryti, padauginkite juos atitinkamai iš 2/3 ir 1 ir pridėkite prie pirmosios eilutės:

Gauso metodas yra paprastas! Kodėl? Garsus vokiečių matematikas Johanas Carlas Friedrichas Gaussas sulaukė pripažinimo per savo gyvenimą didžiausias matematikas visų laikų genijus ir netgi pravardžiuojamas „matematikos karaliumi“. Ir viskas išradinga, kaip žinome, yra paprasta! Beje, pinigų gauna ne tik siurbtukai, bet ir genijai – Gauso portretas buvo ant 10 Vokietijos markių banknoto (prieš euro įvedimą), o Gaussas iki šiol paslaptingai šypsosi vokiečiams iš paprastų pašto ženklų.

Gauso metodas yra paprastas tuo, kad Jį įsisavinti PAKAKAN PENKTOS KLASĖS MOKINIO ŽINIŲ. Jūs turite žinoti, kaip pridėti ir dauginti! Neatsitiktinai mokytojai dažnai svarsto nuoseklaus nežinomųjų išskyrimo metodą mokykliniuose matematikos pasirenkamuosiuose dalykuose. Paradoksas, bet studentams Gauso metodas yra sunkiausias. Nieko stebėtino – viskas apie metodiką, o apie metodo algoritmą pabandysiu pakalbėti prieinama forma.

Pirma, susisteminkime šiek tiek žinių apie tiesinių lygčių sistemas. Tiesinių lygčių sistema gali:

1) Turėkite unikalų sprendimą.
2) Turėkite be galo daug sprendimų.
3) Neturi sprendimų (būti ne sąnarių).

Gauso metodas yra galingiausias ir universaliausias sprendimas ieškant sprendimo bet koks tiesinių lygčių sistemos. Kaip prisimename, Cramerio taisyklė ir matricos metodas yra netinkami tais atvejais, kai sistema turi be galo daug sprendimų arba yra nenuosekli. Ir nuoseklaus nežinomųjų pašalinimo metodas Šiaip ar taip nuves mus prie atsakymo! Šioje pamokoje dar kartą apsvarstysime Gauso metodą atvejui Nr. 1 (vienintelis sistemos sprendimas), straipsnis skirtas punktų Nr. 2-3 situacijoms. Atkreipiu dėmesį, kad pats metodo algoritmas visais trimis atvejais veikia vienodai.

Iš pamokos grįžkime prie paprasčiausios sistemos Kaip išspręsti tiesinių lygčių sistemą?
ir išspręskite jį Gauso metodu.

Pirmas žingsnis – užsirašyti išplėstinė sistemos matrica:
. Manau, kiekvienas mato, kokiu principu rašomi koeficientai. Vertikali linija matricos viduje neturi jokios matematinės reikšmės – tai tiesiog perbraukta, kad būtų lengviau kurti.

Nuoroda :Rekomenduoju prisiminti terminai tiesinė algebra. Sistemos matrica yra matrica, sudaryta tik iš nežinomųjų koeficientų, šiame pavyzdyje sistemos matrica: . Išplėstinė sistemos matrica yra ta pati sistemos matrica ir laisvųjų terminų stulpelis šiuo atveju: . Trumpumui bet kurią matricą galima tiesiog pavadinti matrica.

Parašius išplėstinę sistemos matricą, su ja reikia atlikti kai kuriuos veiksmus, kurie taip pat vadinami elementarios transformacijos.

Egzistuoja šios elementarios transformacijos:

1) Stygos matricos Gali pertvarkyti kai kuriose vietose. Pavyzdžiui, nagrinėjamoje matricoje galite neskausmingai pertvarkyti pirmąją ir antrąją eilutes:

2) Jei matrica turi (arba atsirado) proporcinga (pvz ypatingas atvejis– identiškos) eilutės, tada seka ištrinti iš matricos visos šios eilutės, išskyrus vieną. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą . Šioje matricoje paskutinės trys eilutės yra proporcingos, todėl pakanka palikti tik vieną iš jų: .

3) Jei transformacijų metu matricoje atsiranda nulinė eilutė, tai taip pat turėtų būti ištrinti. Aš, žinoma, nebraižysiu, nulinė linija yra ta linija, kurioje visi nuliai.

4) Matricos eilutė gali būti padauginti (padalyti)į bet kurį skaičių ne nulis. Apsvarstykite, pavyzdžiui, matricą. Čia patartina pirmąją eilutę padalyti iš –3, o antrąją eilutę padauginti iš 2: . Šis veiksmas labai naudingas, nes supaprastina tolimesnes matricos transformacijas.

5) Ši transformacija sukelia daugiausiai sunkumų, tačiau iš tikrųjų nėra ir nieko sudėtingo. Į matricos eilutę galite pridėkite kitą eilutę, padaugintą iš skaičiaus, skiriasi nuo nulio. Pažvelkime į mūsų matricą iš praktinio pavyzdžio: . Pirmiausia labai išsamiai aprašysiu transformaciją. Padauginkite pirmąją eilutę iš –2: , Ir prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –2: . Dabar pirmąją eilutę galima padalyti „atgal“ iš –2: . Kaip matote, eilutė, kuri yra PRIDĖTA LI – nepasikeitė. Visada pasikeičia eilutė, PRIE KURIOS PRIDĖTA UT.

Praktiškai, žinoma, jie to nerašo taip išsamiai, bet parašo trumpai:

Dar kartą: į antrą eilutę pridėjo pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Paprastai eilutė padauginama žodžiu arba juodraštyje, o protinio skaičiavimo procesas vyksta maždaug taip:

„Perrašau matricą ir perrašau pirmą eilutę: »

„Pirmoji kolona. Apačioje man reikia gauti nulį. Todėl viršuje esantį padauginu iš –2: , o pirmąjį pridedu prie antros eilutės: 2 + (–2) = 0. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Dabar antra kolona. Viršuje padauginu -1 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: 1 + 2 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

„Ir trečia kolona. Viršuje padauginu -5 iš -2: . Pirmąją pridedu prie antros eilutės: –7 + 10 = 3. Rezultatą rašau antroje eilutėje: »

Prašome atidžiai suprasti šį pavyzdį ir suprasti nuoseklaus skaičiavimo algoritmą, jei tai suprantate, tada Gauso metodas yra praktiškai jūsų kišenėje. Bet, žinoma, mes vis tiek dirbsime ties šia pertvarka.

Elementariosios transformacijos nekeičia lygčių sistemos sprendinio

! DĖMESIO: apgalvotos manipuliacijos negalima naudoti, jei jums bus pasiūlyta užduotis, kai matricos pateikiamos „pačios“. Pavyzdžiui, su „klasika“ operacijos su matricomis Jokiu būdu neturėtumėte nieko pertvarkyti matricų viduje!

Grįžkime prie mūsų sistemos. Jis praktiškai suardomas į gabalus.

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas sumažinkime ją iki laiptuotas vaizdas:

(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Ir dar: kodėl pirmąją eilutę dauginame iš –2? Norint gauti nulį apačioje, o tai reiškia, kad reikia atsikratyti vieno kintamojo antroje eilutėje.

(2) Padalinkite antrąją eilutę iš 3.

Elementariųjų transformacijų paskirtis – sumažinti matricą į laipsnišką formą: . Užduoties formoje tai aiškiai nurodyta paprastu pieštuku„laiptai“, taip pat apibraukite skaičius, esančius ant „laiptų“. Pats terminas „pakopinis vaizdas“ nėra visiškai teorinis mokslinėje ir mokomojoje literatūroje trapecinis vaizdas arba trikampis vaizdas.

Dėl elementarių transformacijų mes gavome lygiavertis originali lygčių sistema:

Dabar sistemą reikia „išvynioti“ priešinga kryptimi - iš apačios į viršų, šis procesas vadinamas atvirkštinis Gauso metodas.

Apatinėje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą: .

Panagrinėkime pirmąją sistemos lygtį ir jau pakeiskime ją žinoma vertė"Y":

Panagrinėkime dažniausiai pasitaikančią situaciją, kai Gauso metodu reikia išspręsti trijų tiesinių lygčių su trimis nežinomaisiais sistemą.

1 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite lygčių sistemą:

Parašykime išplėstinę sistemos matricą:

Dabar iš karto nubraižysiu rezultatą, kurį pasieksime sprendimo metu:

Ir kartoju, mūsų tikslas yra suvesti matricą į laipsnišką formą naudojant elementarias transformacijas. Nuo ko pradėti?

Pirmiausia pažiūrėkite į viršutinį kairįjį skaičių:

Čia turėtų būti beveik visada vienetas. Paprastai tariant, tiks –1 (o kartais ir kiti skaičiai), bet kažkaip tradiciškai susiklostė taip, kad ten dažniausiai dedamas vienas. Kaip organizuoti padalinį? Mes žiūrime į pirmąjį stulpelį - turime baigtą įrenginį! Pirma transformacija: sukeiskite pirmą ir trečią eilutes:

Dabar pirmoji eilutė išliks nepakitusi iki sprendimo pabaigos. Jau lengviau.

Viršutiniame kairiajame kampe esantis padalinys yra organizuotas. Dabar šiose vietose reikia gauti nulius:

Mes gauname nulius naudodami „sudėtingą“ transformaciją. Pirmiausia susiduriame su antrąja eilute (2, –1, 3, 13). Ką reikia padaryti, kad pirmoje pozicijoje būtų nulis? Reikia prie antrosios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –2. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –2: (–2, –4, 2, –18). Ir mes nuosekliai atliekame (vėl mintyse arba pagal juodraštį) papildymą, prie antros eilutės pridedame pirmąją eilutę, jau padaugintą iš –2:

Rezultatą rašome antroje eilutėje:

Su trečiąja eilute elgiamės taip pat (3, 2, –5, –1). Norėdami gauti nulį pirmoje pozicijoje, jums reikia prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Protiškai arba juodraštyje pirmąją eilutę padauginkite iš –3: (–3, –6, 3, –27). IR prie trečios eilutės pridedame pirmąją eilutę, padaugintą iš –3:

Rezultatą rašome trečioje eilutėje:

Praktikoje šie veiksmai dažniausiai atliekami žodžiu ir užrašomi vienu žingsniu:

Nereikia visko skaičiuoti iš karto ir tuo pačiu metu. Skaičiavimų ir rezultatų „įrašymo“ tvarka nuoseklus ir dažniausiai būna taip: iš pradžių perrašome pirmąją eilutę ir pamažu pučiame ant savęs - nuosekliai ir DĖMESINGAI:


O pačių skaičiavimų protinį procesą aš jau aptariau aukščiau.

Šiame pavyzdyje tai padaryti lengva, antrą eilutę padalijame iš –5 (nes visi ten esantys skaičiai dalijasi iš 5 be liekanos). Tuo pačiu trečią eilutę dalijame iš –2, nes ką mažesnis skaičius, tie paprastesnis sprendimas:

Paskutiniame elementarių transformacijų etape čia reikia gauti dar vieną nulį:

Už tai prie trečios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –2:


Pabandykite patys išsiaiškinti šį veiksmą – mintyse padauginkite antrą eilutę iš –2 ir atlikite sudėjimą.

Paskutinis atliktas veiksmas yra rezultato šukuosena, trečią eilutę padalinkite iš 3.

Dėl elementariųjų transformacijų buvo gauta lygiavertė tiesinių lygčių sistema:

Kietas.

Dabar pradedamas naudoti atvirkštinis Gauso metodas. Lygtys „atsipalaiduoja“ iš apačios į viršų.

Trečioje lygtyje jau turime paruoštą rezultatą:

Pažvelkime į antrąją lygtį: . Žodžio „zet“ reikšmė jau žinoma, taigi:

Ir galiausiai pirmoji lygtis: . „Igrek“ ir „zet“ yra žinomi, tai tik smulkmenos:

Atsakymas:

Kaip jau ne kartą buvo pažymėta, bet kuriai lygčių sistemai galima ir būtina patikrinti rastą sprendimą, laimei, tai paprasta ir greita.

2 pavyzdys

Tai yra savarankiško sprendimo pavyzdys, galutinio dizaino pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Reikėtų pažymėti, kad jūsų sprendimo eiga gali nesutapti su mano sprendimo procesu, ir tai yra Gauso metodo bruožas. Bet atsakymai turi būti tie patys!

3 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Mes žiūrime į viršutinį kairįjį „žingsnį“. Ten turėtume turėti vieną. Bėda ta, kad pirmajame stulpelyje iš viso nėra vienetų, todėl eilučių pertvarkymas nieko neišspręs. Tokiais atvejais padalinys turi būti organizuojamas naudojant elementarią transformaciją. Paprastai tai galima padaryti keliais būdais. Aš padariau tai:
(1) Prie pirmosios eilutės pridedame antrą eilutę, padaugintą iš –1. Tai yra, mes mintyse padauginome antrą eilutę iš –1 ir pridėjome pirmą ir antrą eilutes, o antroji eilutė nepasikeitė.

Dabar viršuje kairėje yra „minusas vienas“, kuris mums visai tinka. Visi norintys gauti +1 gali atlikti papildomą judesį: pirmąją eilutę padauginkite iš –1 (pakeiskite jos ženklą).

(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 5, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

(3) Pirmoji eilutė buvo padauginta iš –1, iš esmės tai yra dėl grožio. Trečiosios linijos ženklas taip pat buvo pakeistas ir ji perkelta į antrą vietą, kad antrame „žingsnyje“ būtų reikalingas vienetas.

(4) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 2.

(5) Trečioji eilutė buvo padalinta iš 3.

Blogas ženklas, rodantis skaičiavimų klaidą (rečiau rašybos klaidą), yra „bloga“ išvada. Tai yra, jei gautume kažką panašaus į , žemiau ir atitinkamai , tada su didele tikimybe galime teigti, kad elementariųjų transformacijų metu buvo padaryta klaida.

Mes apmokestiname atvirkščiai, kurdami pavyzdžius jie dažnai neperrašo pačios sistemos, o lygtys yra „paimtos tiesiai iš pateiktos matricos“. Atvirkštinis potėpis, primenu, veikia iš apačios į viršų. Taip, čia yra dovana:

Atsakymas: .

4 pavyzdys

Išspręskite tiesinių lygčių sistemą Gauso metodu

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys, jis yra šiek tiek sudėtingesnis. Gerai, jei kas nors susipainios. Pilnas sprendimas ir projekto pavyzdys pamokos pabaigoje. Jūsų sprendimas gali skirtis nuo mano sprendimo.

Paskutinėje dalyje apžvelgsime kai kurias Gauso algoritmo ypatybes.
Pirmoji ypatybė yra ta, kad kartais sistemos lygtyse trūksta kai kurių kintamųjų, pavyzdžiui:

Kaip teisingai parašyti išplėstinę sistemos matricą? Apie tai jau kalbėjau klasėje. Cramerio taisyklė. Matricos metodas. Išplėstoje sistemos matricoje vietoj trūkstamų kintamųjų dedame nulius:

Beje, tai gražu lengvas pavyzdys, nes pirmame stulpelyje jau yra vienas nulis, o elementarių konversijų reikia atlikti mažiau.

Antroji savybė yra tokia. Visuose nagrinėjamuose pavyzdžiuose ant „žingsnių“ įdėjome arba –1, arba +1. Ar ten gali būti kitų skaičių? Kai kuriais atvejais jie gali. Apsvarstykite sistemą: .

Viršutiniame kairiajame „žingsnyje“ turime du. Bet mes pastebime faktą, kad visi skaičiai pirmajame stulpelyje dalijasi iš 2 be liekanos - o kitas yra du ir šeši. Ir du viršuje kairėje mums tiks! Pirmame žingsnyje reikia atlikti tokias transformacijas: į antrą eilutę pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –1; prie trečios eilutės pridėkite pirmąją eilutę, padaugintą iš –3. Taip pirmajame stulpelyje gausime reikiamus nulius.

Arba kažkas panašaus sąlyginis pavyzdys: . Čia mums tinka ir trys antrojo „žingsnio“, nes 12 (vieta, kur reikia gauti nulį) dalijasi iš 3 be liekanos. Būtina atlikti tokią transformaciją: prie trečios eilutės pridėkite antrą eilutę, padaugintą iš –4, dėl to bus gautas mums reikalingas nulis.

Gauso metodas yra universalus, tačiau yra vienas ypatumas. Užtikrintai išmoksite spręsti sistemas kitais metodais (Cramerio metodas, matricos metodas) galite tiesiogine prasme pirmą kartą – yra labai griežtas algoritmas. Tačiau norint pasitikėti Gauso metodu, reikia gerai jį išmokti ir išspręsti bent 5-10 sistemų. Todėl iš pradžių skaičiavimuose gali kilti painiavos ir klaidų, ir tame nėra nieko neįprasto ar tragiško.

Už lango lietingas rudeniškas oras.... Todėl visiems, kas nori daugiau sudėtingas pavyzdys nepriklausomam sprendimui:

5 pavyzdys

Gauso metodu išspręskite keturių tiesinių lygčių su keturiais nežinomaisiais sistemą.

Tokia užduotis praktikoje nėra tokia reta. Manau, net arbatinukas, gerai išstudijavęs šį puslapį, intuityviai supras tokios sistemos sprendimo algoritmą. Iš esmės viskas yra taip pat – tik veiksmų yra daugiau.

Pamokoje Nesuderinamos sistemos ir sistemos su bendruoju sprendimu aptariami atvejai, kai sistema neturi sprendinių (nenuosekli) arba turi be galo daug sprendimų. Čia galite pataisyti svarstomą Gauso metodo algoritmą.

Linkiu sėkmės!

Sprendimai ir atsakymai:

2 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir, naudodami elementariąsias transformacijas, perkelkime ją į laipsnišką formą.


Atliktos elementarios transformacijos:
(1) Pirmoji eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –2. Pirmoji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1. Dėmesio!Čia gali kilti pagunda atimti pirmą iš trečios eilutės. Labai rekomenduoju jos neatimti – klaidos rizika labai padidėja. Tiesiog sulenkite!
(2) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Antroji ir trečioji eilutės buvo pakeistos. Atkreipkite dėmesį, kad ant „laiptelių“ pasitenkiname ne tik vienu, bet ir –1, o tai dar patogiau.
(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 5.
(4) Pakeistas antrosios eilutės ženklas (padaugintas iš –1). Trečioji eilutė buvo padalinta iš 14.

Atvirkščiai:

Atsakymas: .

4 pavyzdys: Sprendimas : Užrašykime išplėstinę sistemos matricą ir naudodami elementariąsias transformacijas perkelkime ją į laipsnišką formą:

Atliktos konversijos:
(1) Prie pirmosios eilutės buvo pridėta antra eilutė. Taigi, norimas vienetas yra organizuojamas viršutiniame kairiajame „žingsnyje“.
(2) Pirmoji eilutė, padauginta iš 7, buvo pridėta prie antrosios eilutės.

Su antruoju "žingsniu" viskas blogėja , „kandidatai“ yra skaičiai 17 ir 23, o mums reikia arba vieno, arba –1. Transformacijomis (3) ir (4) bus siekiama gauti norimą vienetą

(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš –1.
(4) Trečia eilutė buvo pridėta prie antrosios eilutės, padauginta iš –3.
(3) Antroji eilutė buvo pridėta prie trečios eilutės, padauginta iš 4. Antroji eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –1.
(4) Antros eilutės ženklas buvo pakeistas. Ketvirtoji eilutė buvo padalinta iš 3 ir įdėta į trečiąją eilutę.
(5) Trečia eilutė buvo pridėta prie ketvirtos eilutės, padauginta iš –5.

Atvirkščiai: