Piramidė. Nupjauta piramidė

Piramidė yra daugiakampis, kurio vienas iš paviršių yra daugiakampis ( bazę ), o visi kiti veidai yra trikampiai su bendras viršus (šoniniai veidai ) (15 pav.). Piramidė vadinama teisinga , jei jo pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą (16 pav.). Vadinama trikampė piramidė, kurios visos briaunos lygios tetraedras .

Šoninis šonkaulis piramidės yra šoninio paviršiaus pusė, kuri nepriklauso pagrindui Aukštis piramidė yra atstumas nuo jos viršaus iki pagrindo plokštumos. Visi šoniniai šonkauliai taisyklinga piramidė lygūs vienas kitam, visi šoniniai paviršiai lygūs lygiašoniai trikampiai. Taisyklingos piramidės, ištrauktos iš viršūnės, šoninio paviršiaus aukštis vadinamas apotemas . Įstrižainė pjūvis vadinama piramidės pjūviu plokštuma, einančia per du šoninius kraštus, kurie nepriklauso tam pačiam paviršiui.

Šoninio paviršiaus plotas piramidė yra visų šoninių paviršių plotų suma. Plotas viso paviršiaus vadinama visų šoninių paviršių ir pagrindo plotų suma.

Teoremos

1. Jei piramidėje visos šoninės briaunos yra vienodai pasvirusios į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

2. Jei visos piramidės šoninės briaunos yra vienodo ilgio, tai piramidės viršūnė projektuojama į apskritimo, apibrėžiamo šalia pagrindo, centrą.

3. Jei piramidėje visi paviršiai vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai piramidės viršūnė projektuojama į pagrinde įbrėžto apskritimo centrą.

Norint apskaičiuoti savavališkos piramidės tūrį, teisinga formulė yra:

Kur V- tūris;

S bazė– bazinis plotas;

H– piramidės aukštis.

Įprastos piramidės atveju teisingos šios formulės:

Kur p– bazinis perimetras;

h a– apotemas;

H- aukštis;

S pilnas

S pusė

S bazė– bazinis plotas;

V– taisyklingos piramidės tūris.

Nupjauta piramidė vadinama piramidės dalis, uždaryta tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui (17 pav.). Taisyklinga nupjauta piramidė yra taisyklingos piramidės dalis, esanti tarp pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios piramidės pagrindui.

Pagrindai nupjauta piramidė – panašūs daugiakampiai. Šoniniai veidai – trapecijos. Aukštis Nupjautos piramidės atstumas tarp jos pagrindų. Įstrižainė nupjauta piramidė yra atkarpa, jungianti jos viršūnes, kurios nėra tame pačiame paviršiuje. Įstrižainė pjūvis yra nupjautinės piramidės atkarpa plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, nepriklausančius tam pačiam paviršiui.

Sutrumpintai piramidei galioja šios formulės:

(4)

Kur S 1 , S 2 – viršutinio ir apatinio pagrindo plotai;

S pilnas– bendras paviršiaus plotas;

S pusė– šoninio paviršiaus plotas;

H- aukštis;

V– nupjautinės piramidės tūris.

Taisyklingai sutrumpintai piramidei formulė yra teisinga:

Kur p 1 , p 2 – pagrindų perimetrai;

h a– taisyklingos nupjautinės piramidės apotema.

1 pavyzdys. Taisyklingoje trikampėje piramidėje dvikampis kampas prie pagrindo yra 60º. Raskite šoninės briaunos polinkio kampo į pagrindo plokštumą liestinę.

Sprendimas. Padarykime piešinį (18 pav.).

Piramidė yra taisyklinga, o tai reiškia, kad prie pagrindo yra lygiakraštis trikampis, o visi šoniniai paviršiai yra lygūs lygiašoniai trikampiai. Dvikampis kampas prie pagrindo yra piramidės šoninio paviršiaus pasvirimo kampas į pagrindo plokštumą. Linijinis kampas yra kampas a tarp dviejų statmenų: ir kt. Piramidės viršūnė projektuojama į trikampio centrą (apskritimo ir įbrėžto trikampio apskritimo centras ABC). Šoninio krašto pasvirimo kampas (pvz S.B.) yra kampas tarp paties krašto ir jo projekcijos į pagrindo plokštumą. Dėl šonkaulio S.B.šis kampas bus kampas SBD. Norėdami rasti liestinę, turite žinoti kojas TAIP Ir O.B.. Tegul segmento ilgis BD lygus 3 A. Taškas APIE segmentas BD yra padalintas į dalis: ir Iš randame TAIP: Iš randame:

Atsakymas:

2 pavyzdys. Raskite taisyklingos nupjautinės keturkampės piramidės tūrį, jei jos pagrindų įstrižainės lygios cm ir cm, o aukštis – 4 cm.

Sprendimas. Norėdami rasti nupjautos piramidės tūrį, naudojame formulę (4). Norėdami rasti pagrindų plotą, turite rasti pagrindo kvadratų kraštines, žinant jų įstrižaines. Pagrindų kraštinės yra atitinkamai lygios 2 cm ir 8 cm.

Atsakymas: 112 cm3.

3 pavyzdys. Raskite taisyklingos trikampės nupjautinės piramidės, kurios pagrindų kraštinės yra 10 cm ir 4 cm, o piramidės aukštis yra 2 cm, šoninio paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (19 pav.).

Šios piramidės šoninis paviršius yra lygiašonė trapecija. Norėdami apskaičiuoti trapecijos plotą, turite žinoti pagrindą ir aukštį. Pagrindai pateikiami pagal būklę, tik aukštis lieka nežinomas. Iš kur ją surasime A 1 E statmenai nuo taško A 1 apatinio pagrindo plokštumoje, A 1 D– statmenai nuo A 1 proc AC. A 1 E= 2 cm, nes tai yra piramidės aukštis. Norėdami rasti DE Padarykime papildomą brėžinį, kuriame parodytas vaizdas iš viršaus (20 pav.). Taškas APIE– viršutinio ir apatinio pagrindo centrų projekcija. kadangi (žr. 20 pav.) ir Kita vertus Gerai– spindulys, įrašytas į apskritimą ir OM– spindulys, įrašytas į apskritimą:

MK = DE.

Pagal Pitagoro teoremą iš

Šoninė veido sritis:

Atsakymas:

4 pavyzdys. Piramidės pagrinde yra lygiašonė trapecija, kurios pagrindai A Ir b (a> b). Kiekvienas šoninis paviršius sudaro kampą, lygų piramidės pagrindo plokštumai j. Raskite bendrą piramidės paviršiaus plotą.

Sprendimas. Padarykime piešinį (21 pav.). Bendras piramidės paviršiaus plotas SABCD lygus trapecijos plotų ir plotų sumai ABCD.

Pasinaudokime teiginiu, kad jei visi piramidės paviršiai yra vienodai pasvirę į pagrindo plokštumą, tai viršūnė projektuojama į pagrinde įrašyto apskritimo centrą. Taškas APIE– viršūnių projekcija S piramidės pagrindu. Trikampis SOD yra stačiakampio trikampio projekcija CSDį pagrindo plokštumą. Pagal ploto teoremą stačiakampė projekcija gauname plokščią figūrą:

Lygiai taip pat tai reiškia Taigi problema buvo sumažinta iki trapecijos ploto suradimo ABCD. Nubraižykime trapeciją ABCD atskirai (22 pav.). Taškas APIE– į trapeciją įbrėžto apskritimo centras.

Kadangi apskritimas gali būti įrašytas į trapeciją, tada arba Iš Pitagoro teoremos turime

Įvadas

Pradėję studijuoti stereometrines figūras, palietėme temą „Piramidė“. Ši tema mums patiko, nes piramidė labai dažnai naudojama architektūroje. Ir nuo mūsų ateities profesija architektė, įkvėpta šios figūros, manome, kad ji gali pastūmėti mus link puikių projektų.

Architektūrinių konstrukcijų tvirtumas yra svarbiausia jų kokybė. Susiejant tvirtumą, pirma, su medžiagomis, iš kurių jie sukurti, ir, antra, su dizaino sprendimų ypatybėmis, paaiškėja, kad konstrukcijos stiprumas yra tiesiogiai susijęs su jai pagrindine geometrine forma.

Kitaip tariant, kalbame apie geometrinę figūrą, kurią galima laikyti atitinkamos architektūrinės formos modeliu. Pasirodo, geometrinė forma lemia ir architektūrinės konstrukcijos tvirtumą.

Nuo seniausių laikų Egipto piramidės buvo laikomos patvariausiomis architektūros statiniais. Kaip žinote, jie turi taisyklingų keturkampių piramidžių formą.

Būtent ši geometrinė forma suteikia didžiausią stabilumą didelis plotas pagrindu. Kita vertus, piramidės forma užtikrina, kad masė mažėtų didėjant aukščiui virš žemės. Būtent šios dvi savybės daro piramidę stabilią, taigi ir stiprią gravitacijos sąlygomis.

Projekto tikslas: sužinokite ką nors naujo apie piramides, pagilinkite žinias ir raskite praktinį pritaikymą.

Norint pasiekti šį tikslą, reikėjo išspręsti šias užduotis:

· Sužinokite istorinę informaciją apie piramidę

· Apsvarstykite piramidę kaip geometrinė figūra

· Raskite pritaikymą gyvenime ir architektūroje

· Raskite piramidžių panašumus ir skirtumus skirtingos dalys Sveta

Teorinė dalis

Istorinė informacija

Piramidės geometrijos pradžia buvo nustatyta Senovės Egipte ir Babilone, tačiau ji buvo aktyviai plėtojama m. Senovės Graikija. Pirmasis piramidės tūrį nustatė Demokritas, o Eudoksas Knidas tai įrodė. Senovės graikų matematikas Euklidas susistemino žinias apie piramidę m XII tomas jo „Principų“ ir taip pat išvedė pirmąjį piramidės apibrėžimą: kūno figūrą, apribotą plokštumų, kurios iš vienos plokštumos susilieja viename taške.

Egipto faraonų kapai. Didžiausios iš jų – Cheopso, Khafre ir Mikerino piramidės El Gizoje – senovėje buvo laikomos vienu iš septynių pasaulio stebuklų. Piramidės statyba, kurioje graikai ir romėnai jau matė paminklą precedento neturinčiam karalių pasididžiavimui ir žiaurumui, pasmerkusiam visą Egipto žmones beprasmėms statyboms, buvo svarbiausias kulto veiksmas ir, matyt, turėjo išreikšti mistinė šalies ir jos valdovo tapatybė. Šalies gyventojai laisvą nuo žemės ūkio darbų metų dalį dirbo prie kapo statybos. Nemažai tekstų liudija, kokį dėmesį ir rūpestį patys karaliai (nors ir vėlesniu laiku) skyrė savo kapo statybai ir jo statytojams. Taip pat žinoma apie ypatingas kulto garbes, kurios buvo suteiktos pačiai piramidei.

Pagrindinės sąvokos

Piramidė vadinamas daugiakampiu, kurio pagrindas yra daugiakampis, o likusieji paviršiai yra trikampiai, turintys bendrą viršūnę.

Apotema- taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus aukštis, nubrėžtas iš jos viršūnės;

Šoniniai veidai- trikampiai, susitinkantys viršūnėje;

Šoniniai šonkauliai- bendrosios šoninių paviršių pusės;

Piramidės viršūnė- taškas, jungiantis šoninius šonkaulius ir negulintis pagrindo plokštumoje;

Aukštis- statmena atkarpa, nubrėžta per piramidės viršūnę iki jos pagrindo plokštumos (šios atkarpos galai yra piramidės viršūnė ir statmeno pagrindas);

Įstrižinė piramidės pjūvis- piramidės atkarpa, einanti per pagrindo viršų ir įstrižainę;

Bazė- daugiakampis, kuris nepriklauso piramidės viršūnei.

Pagrindinės taisyklingos piramidės savybės

Šoniniai kraštai, šoniniai paviršiai ir apotemos yra atitinkamai vienodi.

Dvikampiai kampai prie pagrindo yra lygūs.

Dvikampiai kampai prie šoninių kraštų yra lygūs.

Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių.

Kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių paviršių.

Pagrindinės piramidės formulės

Piramidės šoninio ir bendro paviršiaus plotas.

Piramidės šoninio paviršiaus (pilnos ir nupjautos) plotas yra visų jos šoninių paviršių plotų suma, bendras paviršiaus plotas yra visų jos paviršių plotų suma.

Teorema: Taisyklingos piramidės šoninio paviršiaus plotas yra lygus pusei piramidės pagrindo perimetro ir apotemos sandaugos.

p- bazinis perimetras;

h- apotemas.

Nupjautos piramidės šoninių ir pilnų paviršių plotas.

1 p, p 2 - baziniai perimetrai;

h- apotemas.

R- bendras taisyklingos nupjautos piramidės paviršiaus plotas;

S pusė- taisyklingos nupjautos piramidės šoninio paviršiaus plotas;

S 1 + S 2- bazinis plotas

Piramidės tūris

Forma tūris ula yra naudojamas bet kokios rūšies piramidėms.

H- piramidės aukštis.

Piramidės kampai

Kampai, kuriuos sudaro piramidės šoninis paviršius ir pagrindas, vadinami dvikampiais kampais piramidės pagrinde.

Dvikampį kampą sudaro du statmenai.

Norint nustatyti šį kampą, dažnai reikia naudoti trijų statmenų teoremą.

Vadinami kampai, kuriuos sudaro šoninis kraštas ir jo projekcija į pagrindo plokštumą kampai tarp šoninio krašto ir pagrindo plokštumos.

Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių briaunų, vadinamas dvikampis kampas prie piramidės šoninės briaunos.

Kampas, sudarytas iš dviejų šoninių vienos piramidės briaunos briaunų, vadinamas kampas piramidės viršuje.

Piramidės sekcijos

Piramidės paviršius yra daugiakampio paviršius. Kiekvienas jos paviršius yra plokštuma, todėl pjovimo plokštuma apibrėžta piramidės atkarpa yra trūkinė, susidedanti iš atskirų tiesių.

Įstrižainė pjūvis

Piramidės pjūvis plokštuma, kertanti du šoninius kraštus, kurie nėra tame pačiame paviršiuje, vadinama įstrižainė pjūvis piramidės.

Lygiagrečios sekcijos

Teorema:

Jei piramidę kerta plokštuma, lygiagreti pagrindui, tai piramidės šoninės briaunos ir aukščiai šia plokštuma dalijami į proporcingas dalis;

Šios plokštumos pjūvis yra daugiakampis, panašus į pagrindą;

Pjūvio ir pagrindo plotai yra susieti vienas su kitu kaip jų atstumų nuo viršūnės kvadratai.

Piramidės tipai

Teisinga piramidė– piramidė, kurios pagrindas yra taisyklingas daugiakampis, o piramidės viršūnė projektuojama į pagrindo centrą.

Įprastai piramidei:

1. šoniniai šonkauliai yra lygūs

2. šoniniai paviršiai lygūs

3. apotemai yra lygūs

4. dvikampiai kampai lygus bazėje

5. dvikampiai kampai prie šoninių briaunų yra lygūs

6. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų pagrindo viršūnių

7. kiekvienas aukščio taškas yra vienodu atstumu nuo visų šoninių kraštų

Nupjauta piramidė- piramidės dalis, esanti tarp jos pagrindo ir pjovimo plokštumos, lygiagrečios pagrindui.

Nupjautinės piramidės pagrindas ir atitinkama atkarpa vadinama nupjautinės piramidės pagrindai.

Statmenas, nubrėžtas iš bet kurio vieno pagrindo taško į kito pagrindo plokštumą, vadinamas nupjautos piramidės aukščio.

Užduotys

Nr. 1. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje taškas O yra pagrindo centras, SO=8 cm, BD=30 cm.

Problemų sprendimas

Nr. 1. Įprastoje piramidėje visi paviršiai ir briaunos yra lygūs.

Apsvarstykite OSB: OSB yra stačiakampis stačiakampis, nes.

SB 2 = SO 2 + OB 2

SB 2 =64+225=289

Piramidė architektūroje

Piramidė yra monumentali įprastos taisyklingos formos statinys geometrinė piramidė, kuriame kraštinės susilieja viename taške. Pagal savo funkcinę paskirtį piramidės senovėje buvo laidojimo ar kulto garbinimo vietos. Piramidės pagrindas gali būti trikampis, keturkampis arba daugiakampio formos su savavališku viršūnių skaičiumi, tačiau labiausiai paplitusi versija yra keturkampė bazė.

Žinomas nemaža suma pastatytos piramidės skirtingos kultūros Senovės pasaulis daugiausia kaip šventyklos ar paminklai. Didelės piramidės apima Egipto piramides.

Visoje Žemėje galite pamatyti piramidžių pavidalo architektūrines struktūras. Piramidės pastatai mena senovės laikus ir atrodo labai gražiai.

Egipto piramidės didžiausias architektūros paminklai Senovės Egiptas, tarp kurių vienas iš „Septynių pasaulio stebuklų“ yra Cheopso piramidė. Nuo pėdos iki viršūnės siekia 137,3 m, o kol neprarado viršūnės, jo aukštis siekė 146,7 m.

Apverstą piramidę primenantis radijo stoties pastatas Slovakijos sostinėje pastatytas 1983 m. Be biurų ir tarnybinių patalpų, tūrio viduje yra gana erdvi koncertų salė, kuriame yra vieni didžiausių vargonų Slovakijoje.

Luvras, kuris yra „tylus, nekintantis ir didingas, kaip piramidė“, per šimtmečius patyrė daug pokyčių, kol tapo didžiausiu muziejumi pasaulyje. Ji gimė kaip tvirtovė, kurią 1190 m. pastatė Pilypas Augustas, kuri netrukus tapo karališka rezidencija. 1793 m. rūmai tapo muziejumi. Kolekcijos praturtėja palikimais ar pirkimais.

Spręsdami uždavinį C2 koordinačių metodu, daugelis mokinių susiduria su ta pačia problema. Jie nemoka skaičiuoti taškų koordinatesįtraukta į formulę taškinis produktas. Iškyla didžiausi sunkumai piramidės. Ir jei baziniai taškai laikomi daugiau ar mažiau normaliais, tai viršūnės yra tikras pragaras.

Šiandien dirbsime ties įprasta keturkampe piramide. Taip pat yra trikampė piramidė (dar žinoma tetraedras). Tai sudėtingesnis dizainas, todėl jam bus skirta atskira pamoka.

Pirmiausia prisiminkime apibrėžimą:

Įprasta piramidė yra ta, kuri:

1. Pagrindas yra taisyklingas daugiakampis: trikampis, kvadratas ir kt.;
2. Aukštis, nubrėžtas į pagrindą, eina per jo centrą.

Visų pirma, keturkampės piramidės pagrindas yra kvadratas. Visai kaip Cheopsas, tik šiek tiek mažesnis.

Žemiau pateikiami piramidės, kurios visos briaunos lygios 1, skaičiavimai. Jei jūsų uždavinyje taip nėra, skaičiavimai nesikeičia – tiesiog skirsis skaičiai.

Keturkampės piramidės viršūnės

Taigi, tegul pateiktas yra teisingas keturkampė piramidė SABCD, kur S yra viršūnė, pagrindas ABCD yra kvadratas. Visos briaunos lygios 1. Reikia įvesti koordinačių sistemą ir rasti visų taškų koordinates. Turime:

Pristatome koordinačių sistemą, kurios pradžia yra taške A:

1. OX ašis nukreipta lygiagrečiai kraštinei AB;
2. OY ašis lygiagreti AD. Kadangi ABCD yra kvadratas, AB ⊥ AD;
3. Galiausiai nukreipiame OZ ašį aukštyn, statmenai ABCD plokštumai.

Dabar apskaičiuojame koordinates. Papildoma konstrukcija: SH – aukštis pritrauktas prie pagrindo. Patogumui piramidės pagrindą įdėsime į atskirą brėžinį. Kadangi taškai A, B, C ir D yra OXY plokštumoje, jų koordinatė yra z = 0. Turime:

1. A = (0; 0; 0) – sutampa su kilme;
2. B = (1; 0; 0) – žingsnis po 1 išilgai OX ašies nuo pradžios;
3. C = (1; 1; 0) - žingsnis po 1 išilgai OX ašies ir po 1 išilgai OY ašies;
4. D = (0; 1; 0) - žingsnis tik išilgai OY ašies.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - kvadrato centras, atkarpos AC vidurys.

Belieka surasti taško S koordinates. Atkreipkite dėmesį, kad taškų S ir H koordinatės x ir y yra vienodos, nes jos yra tiesėje, lygiagrečioje OZ ašiai. Belieka rasti taško S z koordinatę.

Apsvarstykite trikampius ASH ir ABH:

1. AS = AB = 1 pagal sąlygą;
2. Kampas AHS = AHB = 90°, nes SH yra aukštis, o AH ⊥ HB kaip kvadrato įstrižainės;
3. Šoninė AH yra dažna.

Vadinasi, stačiųjų trikampių ASH ir ABH lygus viena koja ir viena hipotenuzė. Tai reiškia, kad SH = BH = 0,5 BD. Bet BD yra kvadrato, kurio kraštinė yra 1, įstrižainė. Todėl turime:

Bendros taško S koordinatės:

Pabaigoje užrašome visų taisyklingos stačiakampės piramidės viršūnių koordinates:

Ką daryti, kai šonkauliai skiriasi

Ką daryti, jei piramidės šoniniai kraštai nėra lygūs pagrindo kraštams? Šiuo atveju apsvarstykite trikampį AHS:

Trikampis AHS - stačiakampis, o hipotenuzė AS taip pat yra originalios piramidės SABCD šoninis kraštas. Kojos AH nesunkiai apskaičiuojama: AH = 0,5 AC. Rasime likusią koją SH pagal Pitagoro teoremą. Tai bus taško S z koordinatė.

Užduotis. Duota taisyklinga keturkampė piramidė SABCD, kurios pagrinde yra kvadratas, kurio kraštinė 1. Šoninė briauna BS = 3. Raskite taško S koordinates.

Jau žinome šio taško x ir y koordinates: x = y = 0,5. Tai išplaukia iš dviejų faktų:

1. Taško S projekcija į OXY plokštumą yra taškas H;
2. Tuo pačiu metu taškas H yra kvadrato ABCD, kurio visos kraštinės lygios 1, centras.

Belieka rasti taško S koordinatę. Apsvarstykite trikampį AHS. Jis yra stačiakampis, su hipotenuze AS = BS = 3, o kojelė AH yra pusė įstrižainės. Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, mums reikia jo ilgio:

Pitagoro teorema trikampiui AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Turime:

Taigi taško S koordinatės:

Su piramidės koncepcija studentai susiduria dar gerokai prieš studijuodami geometriją. Dėl to kalti garsieji didieji Egipto pasaulio stebuklai. Todėl, pradėdami tyrinėti šį nuostabų daugiakampį, dauguma studentų jau aiškiai jį įsivaizduoja. Visi aukščiau paminėti atrakcionai turi tinkamą formą. Kas atsitiko taisyklinga piramidė, ir kokias savybes jis turi, bus aptarta toliau.

Apibrėžimas

Yra gana daug piramidės apibrėžimų. Nuo seniausių laikų jis buvo labai populiarus.

Pavyzdžiui, Euklidas jį apibrėžė kaip kūno figūrą, susidedančią iš plokštumų, kurios, pradedant nuo vienos, susilieja tam tikrame taške.

Heronas pateikė tikslesnę formulę. Jis tvirtino, kad tai yra ta figūra turi bazę ir lėktuvus trikampių pavidalu, susilieja viename taške.

Remiantis šiuolaikinė interpretacija, piramidė vaizduojama kaip erdvinis daugiakampis, susidedantis iš tam tikro k-gon ir k plokščios figūros trikampio formos su vienu bendru tašku.

Pažvelkime į tai išsamiau, iš kokių elementų jis susideda:

• K-gonas laikomas figūros pagrindu;
• 3 kampų formos išsikiša kaip šoninės dalies kraštai;
• viršutinė dalis, iš kurios kyla šoniniai elementai, vadinama viršūne;
• visos atkarpos, jungiančios viršūnę, vadinamos briaunomis;
• jei tiesi linija nuleista nuo viršūnės iki figūros plokštumos 90 laipsnių kampu, tai jos dalis, esanti vidinėje erdvėje, yra piramidės aukštis;
• bet kuriame šoniniame elemente statmenas, vadinamas apotemu, gali būti nubrėžtas į mūsų daugiakampio pusę.

Kraštinių skaičius apskaičiuojamas pagal formulę 2*k, kur k – k-kampio kraštinių skaičius. Kiek veidų turi daugiakampis, pavyzdžiui, piramidė, galima nustatyti naudojant išraišką k+1.

Svarbu! Piramidė teisinga forma vadinama stereometrine figūra, kurios pagrindinė plokštuma yra k-gon su lygiomis kraštinėmis.

Pagrindinės savybės

Teisinga piramidė turi daug savybių, kurios būdingos tik jai. Išvardinkime juos:

1. Pagrindas yra tinkamos formos figūra.
2. Šoninius elementus ribojančios piramidės briaunos turi vienodas skaitines reikšmes.
3. Šoniniai elementai yra lygiašoniai trikampiai.
4. Figūros aukščio pagrindas patenka į daugiakampio centrą, o kartu yra centrinis įbrėžto ir apibrėžto taškas.
5. Visi šoniniai šonkauliai yra pasvirę į pagrindo plokštumą tuo pačiu kampu.
6. Visi šoniniai paviršiai turi tas pats kampas pasvirimas pagrindo atžvilgiu.

Dėl visų išvardytų savybių elementų skaičiavimas yra daug paprastesnis. Remdamiesi aukščiau pateiktomis savybėmis, atkreipiame dėmesį į du ženklai:

1. Tuo atveju, kai daugiakampis tilps į apskritimą, šoniniai paviršiai turės pagrindą vienodi kampai.
2. Apibūdinant apskritimą aplink daugiakampį, visos piramidės briaunos, kylančios iš viršūnės, bus vienodo ilgio ir vienodo kampo su pagrindu.

Pagrindas yra kvadratas

Taisyklinga keturkampė piramidė - daugiakampis, kurio pagrindas yra kvadratas.

Jis turi keturis šoninius paviršius, kurie yra lygiašoniai.

Kvadratas vaizduojamas plokštumoje, bet remiasi visomis taisyklingo keturkampio savybėmis.

Pavyzdžiui, jei reikia susieti kvadrato kraštinę su jo įstrižaine, naudokite tokią formulę: įstrižainė yra lygi kvadrato kraštinės ir dviejų kvadratinės šaknies sandaugai.

Jis pagrįstas taisyklingu trikampiu

Taisyklinga trikampė piramidė yra daugiakampis, kurio pagrindas yra taisyklingas 3 kampų.

Jei pagrindas yra stačiakampis trikampis, o šoniniai kraštai lygūs pagrindo kraštams, tada tokia figūra vadinamas tetraedru.

Visi tetraedro paviršiai yra lygiakraščiai 3 kampų. IN šiuo atveju Skaičiuodami turite žinoti kai kuriuos dalykus ir nešvaistyti jiems laiko:

• šonkaulių pasvirimo kampas į bet kurį pagrindą yra 60 laipsnių;
• visų vidinių veidų dydis taip pat yra 60 laipsnių;
• bet koks veidas gali veikti kaip pagrindas;
• , nupieštas paveikslo viduje, tai yra vienodi elementai.

Daugiakampio pjūviai

Bet kuriame daugiakampyje yra kelių tipų skyriai butas. Dažnai į mokyklos kursas geometrijos veikia su dviem:

• ašinis;
• lygiagrečiai pagrindui.

Ašinis pjūvis gaunamas, kai plokštuma kerta daugiakampį, kuris eina per viršūnę, šonines briaunas ir ašį. Šiuo atveju ašis yra aukštis, nubrėžtas iš viršūnės. Pjovimo plokštumą riboja susikirtimo linijos su visais paviršiais, todėl susidaro trikampis.

Dėmesio! Taisyklingoje piramidėje ašinis pjūvis yra lygiašonis trikampis.

Jei pjovimo plokštuma eina lygiagrečiai pagrindui, rezultatas yra antrasis variantas. Šiuo atveju turime skerspjūvio figūrą, panašią į pagrindą.

Pavyzdžiui, jei pagrindas yra kvadratas, tada atkarpa lygiagreti pagrindui taip pat bus kvadratinė, tik mažesnių matmenų.

Spręsdami problemas pagal šią sąlygą, jie naudoja figūrų panašumo ženklus ir savybes, remiantis Talio teorema. Pirmiausia reikia nustatyti panašumo koeficientą.

Jei plokštuma nubrėžta lygiagrečiai pagrindui ir ji nupjaunama viršutinė dalis daugiakampis, tada apatinėje dalyje gaunama taisyklinga nupjauta piramidė. Tada sakoma, kad nupjauto daugiakampio pagrindai yra panašūs daugiakampiai. Šiuo atveju šoniniai veidai yra lygiakraštės trapecijos. Ašinė pjūvis taip pat lygiašonis.

Norint nustatyti nupjauto daugiakampio aukštį, reikia nubrėžti aukštį ašinėje pjūvėje, tai yra trapecijoje.

Paviršiaus plotai

Pagrindinės geometrinės problemos, kurias reikia išspręsti mokykliniame geometrijos kurse piramidės paviršiaus ploto ir tūrio radimas.

Yra dviejų tipų paviršiaus ploto vertės:

• šoninių elementų plotas;
• viso paviršiaus plotas.

Iš paties pavadinimo aišku, apie ką mes kalbame. Šoninis paviršius apima tik šoninius elementus. Iš to išplaukia, kad norint jį rasti, tereikia susumuoti šoninių plokštumų plotus, tai yra lygiašonių 3 kampų plotus. Pabandykime išvesti šoninių elementų ploto formulę:

1. Lygiašonio 3 kampo plotas yra Str = 1/2 (aL), kur a yra pagrindo kraštinė, L yra apotemas.
2. Šoninių plokštumų skaičius priklauso nuo pagrindo k-gon tipo. Pavyzdžiui, taisyklinga keturkampė piramidė turi keturias šonines plokštumas. Todėl būtina pridėti keturių plotas skaičiai Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L. Išraiška tokiu būdu supaprastinta, nes reikšmė 4a = Rosn, kur Rosn yra pagrindo perimetras. O išraiška 1/2*Rosn yra jos pusiau perimetras.
3. Taigi darome išvadą, kad taisyklingos piramidės šoninių elementų plotas yra lygus pagrindo pusperimetro ir apotemos sandaugai: Sside = Rosn * L.

Piramidės viso paviršiaus plotas susideda iš šoninių plokštumų ir pagrindo plotų sumos: Sp.p = Sside + Sbas.

Kalbant apie pagrindo plotą, čia formulė naudojama pagal daugiakampio tipą.

Taisyklingos piramidės tūris lygi bazinės plokštumos ploto ir aukščio sandaugai, padalytai iš trijų: V=1/3*Sbas*H, kur H – daugiakampio aukštis.

Kas yra taisyklinga piramidė geometrijoje

Taisyklingos keturkampės piramidės savybės