Vienas iš svarbiausių mokslų, kurio taikymas matomas tokiose disciplinose kaip chemija, fizika ir net biologija, yra matematika. Šio mokslo studijos leidžia išsiugdyti kai kurias psichines savybes ir pagerinti gebėjimą susikaupti. Viena iš matematikos kurso temų, kuriai nusipelno ypatingo dėmesio, yra trupmenų sudėjimas ir atėmimas. Daugeliui studentų sunku mokytis. Galbūt mūsų straipsnis padės geriau suprasti šią temą.

Kaip atimti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi

Trupmenos yra tie patys skaičiai, su kuriais galite atlikti įvairias operacijas. Jų skirtumas nuo sveikųjų skaičių yra vardiklio buvimas. Štai kodėl, atliekant operacijas su trupmenomis, reikia išstudijuoti kai kurias jų savybes ir taisykles. Paprasčiausias atvejis yra atimtis paprastosios trupmenos, kurių vardikliai pavaizduoti kaip tas pats skaičius. Atlikti šį veiksmą nebus sunku, jei žinosite paprastą taisyklę:

• Norint iš vienos trupmenos atimti sekundę, reikia iš redukuojamos trupmenos skaitiklio atimti atimtos trupmenos skaitiklį. Šį skaičių įrašome į skirtumo skaitiklį, o vardiklį paliekame tą patį: k/m - b/m = (k-b)/m.

Trupmenų, kurių vardikliai yra vienodi, atėmimo pavyzdžiai

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Iš trupmenos „7“ skaitiklio atimame atimamos trupmenos „3“ skaitiklį, gauname „4“. Šį skaičių įrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje įdedame tą patį skaičių, kuris buvo pirmosios ir antrosios trupmenų vardikliuose - „19“.

Žemiau esančioje nuotraukoje pateikti dar keli panašūs pavyzdžiai.

Panagrinėkime sudėtingesnį pavyzdį, kai atimamos trupmenos su panašiais vardikliais:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Iš trupmenos skaitiklio „29“ sumažinamas paeiliui atimant visų vėlesnių trupmenų skaitiklius - „3“, „8“, „2“, „7“. Dėl to gauname rezultatą „9“, kurį užrašome atsakymo skaitiklyje, o vardiklyje užrašome skaičių, kuris yra visų šių trupmenų vardikliuose - „47“.

Sudėjus trupmenas, turinčias tą patį vardiklį

Paprastųjų trupmenų pridėjimas ir atėmimas atliekamas tuo pačiu principu.

• Norėdami pridėti trupmenas, kurių vardikliai yra vienodi, turite pridėti skaitiklius. Gautas skaičius yra sumos skaitiklis, o vardiklis išliks toks pat: k/m + b/m = (k + b)/m.

Pažiūrėkime, kaip tai atrodo, naudodami pavyzdį:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Prie pirmojo trupmenos nario skaitiklio - „1“ - pridėkite antrojo trupmenos nario skaitiklį - „2“. Rezultatas - "3" - įrašomas į sumos skaitiklį, o vardiklis paliekamas toks pat kaip ir trupmenose - "4".

Skirtingus vardiklius turinčios trupmenos ir jų atėmimas

Mes jau svarstėme operaciją su trupmenomis, kurios turi tą patį vardiklį. Kaip matome, žinodami paprastos taisyklės, tokius pavyzdžius išspręsti gana paprasta. Bet ką daryti, jei reikia atlikti operaciją su trupmenomis, kurios turi skirtingus vardiklius? Daugelis vidurinių mokyklų moksleivių glumina tokie pavyzdžiai. Bet ir čia, žinant sprendimo principą, pavyzdžiai tau nebebus sunkūs. Čia taip pat yra taisyklė, be kurios išspręsti tokias trupmenas tiesiog neįmanoma.

Norėdami atimti trupmenas iš skirtingus vardiklius, būtina juos sumažinti iki to paties mažiausio vardiklio.



Mes kalbėsime išsamiau apie tai, kaip tai padaryti.

Trupmenos savybė

Norint suvesti kelias trupmenas į tą patį vardiklį, sprendime reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę: skaitiklį ir vardiklį padalijus arba padauginus iš tas pats numeris gausite trupmeną, lygią duotajai.

Taigi, pavyzdžiui, trupmena 2/3 gali turėti vardiklius, tokius kaip „6“, „9“, „12“ ir tt, tai yra, ji gali turėti bet kokio skaičiaus, kuris yra „3“ kartotinis, formą. Padauginus skaitiklį ir vardiklį iš „2“, gauname trupmeną 4/6. Padauginę pradinės trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš „3“, gauname 6/9, o jei panašus veiksmas gamina su skaičiumi „4“, gauname 8/12. Vieną lygybę galima parašyti taip:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Kaip paversti kelias trupmenas į tą patį vardiklį

Pažiūrėkime, kaip sumažinti kelias trupmenas iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui, paimkime toliau esančiame paveikslėlyje parodytas trupmenas. Pirmiausia turite nustatyti, kuris skaičius gali tapti jų visų vardikliu. Kad viskas būtų lengviau, suskirstykime esamus vardiklius.

Trupmenos 1/2 ir trupmenos 2/3 vardiklis negali būti koeficientas. Vardiklis 7/9 turi du koeficientus 7/9 = 7/(3 x 3), trupmenos vardiklis 5/6 = 5/(2 x 3). Dabar turime nustatyti, kurie veiksniai bus mažiausi visoms šioms keturioms trupmenoms. Kadangi pirmosios trupmenos vardiklyje yra skaičius „2“, tai reiškia, kad ji turi būti visuose vardikliuose 7/9 yra du trejetai, o tai reiškia, kad jie abu turi būti ir vardiklyje. Atsižvelgdami į tai, kas išdėstyta pirmiau, nustatome, kad vardiklis susideda iš trijų veiksnių: 3, 2, 3 ir yra lygus 3 x 2 x 3 = 18.



Panagrinėkime pirmąją trupmeną – 1/2. Jo vardiklyje yra „2“, tačiau nėra nė vieno „3“ skaitmens, bet turėtų būti du. Norėdami tai padaryti, vardiklį padauginame iš dviejų trigubų, tačiau, atsižvelgiant į trupmenos savybę, skaitiklį turime padauginti iš dviejų trigubų:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Su likusiomis trupmenomis atliekame tas pačias operacijas.

• 2/3 – vardiklyje trūksta vieno trijų ir vieno dviejų:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 arba 7/(3 x 3) – vardiklyje trūksta dviejų:
  7/9 = (7 x 2) / (9 x 2) = 14/18.
• 5/6 arba 5/(2 x 3) – vardiklyje trūksta trijų:
  5/6 = (5 x 3) / (6 x 3) = 15/18.

Viskas kartu atrodo taip:



Kaip atimti ir pridėti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius

Kaip minėta aukščiau, norint pridėti ar atimti trupmenas, turinčias skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio, o tada naudoti jau aptartas trupmenų, turinčių tą patį vardiklį, atėmimo taisykles.

Pažvelkime į tai kaip pavyzdį: 4/18 – 3/15.

Skaičių 18 ir 15 kartotinių radimas:

• Skaičius 18 sudarytas iš 3 x 2 x 3.
• Skaičius 15 sudarytas iš 5 x 3.
• Bendrasis kartotinis bus šie veiksniai: 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Suradus vardiklį reikia apskaičiuoti koeficientą, kuris kiekvienai trupmenai skirsis, tai yra skaičių, iš kurio reikės padauginti ne tik vardiklį, bet ir skaitiklį. Norėdami tai padaryti, rastą skaičių (bendrąjį kartotinį) padaliname iš trupmenos, kuriai reikia nustatyti papildomus veiksnius, vardiklio.

• 90 padalytas iš 15. Gautas skaičius „6“ bus daugiklis 3/15.
• 90 padalytas iš 18. Gautas skaičius „5“ bus daugiklis 4/18.

Kitas mūsų sprendimo etapas yra sumažinti kiekvieną trupmeną iki vardiklio „90“.

Mes jau kalbėjome apie tai, kaip tai daroma. Pažiūrėkime, kaip tai parašyta pavyzdyje:

(4 x 5)/(18 x 5) – (3 x 6)/(15 x 6) = 20/90 – 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jei trupmenos su mažais skaičiais, tuomet galite bendras vardiklis nustatykite, kaip parodyta toliau esančiame paveikslėlyje pateiktame pavyzdyje.



Tas pats pasakytina ir apie tuos, kurie turi skirtingus vardiklius.

Atimtis ir sveikųjų dalių turėjimas

Mes jau išsamiai aptarėme trupmenų atėmimą ir jų pridėjimą. Bet kaip atimti, jei trupmena turi visa dalis? Vėlgi, pasinaudokime keliomis taisyklėmis:

• Konvertuoti visas trupmenas, turinčias sveikąją dalį, į netinkamas. Kalbėdamas paprastais žodžiais, nuimkite visą dalį. Norėdami tai padaryti, sveikosios dalies skaičių padauginkite iš trupmenos vardiklio ir gautą sandaugą pridėkite prie skaitiklio. Skaičius, kuris pasirodo po šių veiksmų, yra netinkamos trupmenos skaitiklis. Vardiklis lieka nepakitęs.
• Jei trupmenos turi skirtingus vardiklius, jas reikia sumažinti iki to paties vardiklio.
• Sudėti arba atimti su tais pačiais vardikliais.
• Gavę netinkamą trupmeną, pasirinkite visą dalį.



Yra ir kitas būdas, kuriuo galite sudėti ir atimti trupmenas su sveikomis dalimis. Tam veiksmai atliekami atskirai su ištisomis dalimis, o veiksmai su trupmenomis atskirai, o rezultatai registruojami kartu.



Pateiktame pavyzdyje yra trupmenų, turinčių tą patį vardiklį. Tuo atveju, kai vardikliai skiriasi, jie turi būti suvienodinti, o tada atlikti veiksmus, kaip parodyta pavyzdyje.

Trupmenų atėmimas iš sveikųjų skaičių

Kitas operacijos su trupmenomis tipas yra atvejis, kai reikia atimti trupmeną Iš pirmo žvilgsnio toks pavyzdys atrodo sunkiai išsprendžiamas. Tačiau čia viskas gana paprasta. Norėdami tai išspręsti, turite paversti visą skaičių į trupmeną ir su tuo pačiu vardikliu, kuris yra atimtoje trupmenoje. Toliau atliekame atimtį, panašų į atimtį su vienodais vardikliais. Pavyzdyje tai atrodo taip:

7 – 4/9 = (7 x 9)/9 – 4/9 = 53/9 – 4/9 = 49/9.

Šiame straipsnyje pateikta trupmenų atėmimas (6 klasė) yra pagrindas spręsti daugiau sudėtingų pavyzdžių, kurie bus aptariami tolesniuose užsiėmimuose. Šios temos žinios vėliau panaudojamos sprendžiant funkcijas, išvestines ir pan. Todėl labai svarbu suprasti ir suprasti aukščiau aptartas operacijas su trupmenomis.

Veiksmai su trupmenomis.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Taigi, kas yra trupmenos, trupmenų rūšys, transformacijos – prisiminėme. Pereikime prie pagrindinio klausimo.

Ką galite padaryti su trupmenomis? Taip, viskas taip pat, kaip ir su įprastais skaičiais. Sudėti, atimti, dauginti, padalyti.

Visi šie veiksmai su dešimtainis darbas su trupmenomis nesiskiria nuo darbo su sveikaisiais skaičiais. Tiesą sakant, tuo jie ir yra gerai, dešimtainiai. Vienintelis dalykas yra tai, kad reikia teisingai dėti kablelį.

Mišrūs skaičiai, kaip jau sakiau, yra mažai naudingi daugeliui veiksmų. Jas dar reikia paversti paprastosiomis trupmenomis.

Tačiau veiksmai su paprastosios trupmenos jie bus gudresni. Ir daug svarbiau! Leiskite man jums priminti: visi veiksmai su trupmeninėmis išraiškomis su raidėmis, sinusais, nežinomaisiais ir pan., niekuo nesiskiria nuo veiksmų su paprastomis trupmenomis! Veiksmai su paprastosiomis trupmenomis yra visos algebros pagrindas. Būtent dėl ​​šios priežasties mes čia labai detaliai išanalizuosime visą šią aritmetiką.

Trupmenų pridėjimas ir atėmimas.

Kiekvienas gali pridėti (atimti) trupmenas su tais pačiais vardikliais (labai tikiuosi!). Na, priminsiu tiems, kurie visiškai užmiršta: pridedant (atimant) vardiklis nesikeičia. Skaitikliai sudedami (atimami), kad būtų gautas rezultato skaitiklis. Tipas:

Trumpai tariant, į bendras vaizdas:

Ką daryti, jei vardikliai skiriasi? Tada, naudodami pagrindinę trupmenos savybę (čia ji vėl praverčia!), vardiklius padarome vienodus! Pavyzdžiui:

Čia turėjome padaryti trupmeną 4/10 iš trupmenos 2/5. Vien tam, kad vardikliai būtų vienodi. Leiskite man, tik tuo atveju, pažymėti, kad 2/5 ir 4/10 yra ta pati trupmena! Tik 2/5 mums nepatogūs, o 4/10 tikrai gerai.

Beje, tai yra bet kokių matematikos uždavinių sprendimo esmė. Kai mes iš nepatogu darome išraiškas tas pats, bet patogiau spręsti.

Kitas pavyzdys:

Situacija panaši. Čia mes gauname 48 iš 16. Paprasčiausiai dauginant iš 3. Viskas aišku. Bet mes susidūrėme su tokiu dalyku:

Kaip būti?! Sunku iš septynių surinkti devynetą! Bet mes protingi, žinome taisykles! Transformuokime kas trupmeną, kad vardikliai būtų vienodi. Tai vadinama „sumažinti iki bendro vardiklio“:

Oho! Iš kur aš sužinojau apie 63? Labai paprasta! 63 yra skaičius, kuris tuo pačiu metu dalijasi iš 7 ir 9. Tokį skaičių visada galima gauti padauginus vardiklius. Pavyzdžiui, jei skaičių padauginsime iš 7, rezultatas tikrai bus dalinamas iš 7!

Jei reikia pridėti (atimti) kelias trupmenas, nereikia to daryti poromis, žingsnis po žingsnio. Jums tereikia rasti visoms trupmenoms bendrą vardiklį ir kiekvieną trupmeną sumažinti iki to paties vardiklio. Pavyzdžiui:

O koks bus bendras vardiklis? Žinoma, galite padauginti iš 2, 4, 8 ir 16. Gauname 1024. Košmaras. Lengviau įvertinti, kad skaičius 16 puikiai dalijasi iš 2, 4 ir 8. Todėl iš šių skaičių nesunku gauti 16. Šis skaičius bus bendras vardiklis. Paverskime 1/2 į 8/16, 3/4 į 12/16 ir t.t.

Beje, jei imsite 1024 kaip bendrą vardiklį, viskas susitvarkys, galų gale viskas sumažės. Tačiau ne visi pasieks šį tikslą, dėl skaičiavimų...

Užbaikite pavyzdį patys. Ne koks logaritmas... Turėtų būti 29/16.

Taigi, trupmenų pridėjimas (atėmimas) aiškus, tikiuosi? Žinoma, lengviau dirbti sutrumpinta versija, su papildomais daugikliais. Bet šis malonumas prieinamas tiems, kurie sąžiningai dirbo žemesnėse klasėse... Ir nieko nepamiršo.

Ir dabar mes atliksime tuos pačius veiksmus, bet ne su trupmenomis, o su trupmeninės išraiškos. Čia bus atrastas naujas grėblys, taip...

Taigi, turime pridėti dvi trupmenines išraiškas:

Reikia, kad vardikliai būtų vienodi. Ir tik su pagalba daugyba! Tai lemia pagrindinė trupmenos savybė. Todėl aš negaliu pridėti vieneto prie X pirmoje vardiklio trupmenoje. (būtų malonu!). Bet jei padauginsite vardiklius, pamatysite, viskas auga kartu! Taigi užrašome trupmenos eilutę, viršuje paliekame tuščią vietą, tada pridedame, o žemiau užrašome vardklių sandaugą, kad nepamirštume:

Ir, žinoma, mes nieko nedauginame dešinėje pusėje, neatidarome skliaustų! Ir dabar, žiūrėdami į bendrą vardiklį dešinėje, suprantame: norint gauti vardiklį x(x+1) pirmoje trupmenoje, reikia šios trupmenos skaitiklį ir vardiklį padauginti iš (x+1) . O antroje trupmenoje - iki x. Štai ką jūs gaunate:

Atkreipkite dėmesį! Štai skliaustai! Tai grėblys, ant kurio užlipa daugelis žmonių. Žinoma, ne skliausteliuose, o jų nebuvime. Skliaustai atsiranda, nes dauginamės visi skaitiklis ir visi vardiklis! Ir ne jų atskiros dalys...

Dešinės pusės skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, viskas kaip skaitinėse trupmenose, tada dešinės pusės skaitiklyje skliaustus atverčiame, t.y. Viską padauginame ir duodame panašius. Nereikia vardikliuose atversti skliaustų ar nieko dauginti! Apskritai vardikliuose (bet kokiuose) produktas visada yra malonesnis! Mes gauname:

Taigi mes gavome atsakymą. Procesas atrodo ilgas ir sunkus, bet tai priklauso nuo praktikos. Kai išspręsite pavyzdžius, priprasite, viskas taps paprasta. Tie, kurie laiku įvaldė trupmenas, visas šias operacijas atlieka viena kaire ranka, automatiškai!

Ir dar viena pastaba. Daugelis protingai elgiasi su trupmenomis, bet įstringa ties pavyzdžiais visa skaičių. Patinka: 2 + 1/2 + 3/4= ? Kur tvirtinti dviejų dalių? Nereikia niekur tvirtinti, reikia padaryti trupmeną iš dviejų. Tai nėra lengva, bet labai paprasta! 2 = 2/1. kaip tai. Bet koks sveikas skaičius gali būti parašytas trupmena. Skaitiklis yra pats skaičius, vardiklis yra vienas. 7 yra 7/1, 3 yra 3/1 ir pan. Tas pats ir su raidėmis. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1 ir kt. Ir tada mes dirbame su šiomis trupmenomis pagal visas taisykles.

Na, o trupmenų sudėjimo ir atėmimo žinios buvo atnaujintos. Buvo pakartotas trupmenų konvertavimas iš vienos rūšies į kitą. Taip pat galite pasitikrinti. Ar šiek tiek sutvarkysime?)

Apskaičiuokite:

Atsakymai (netvarkingai):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Trupmenų daugyba/dalyba – į kita pamoka. Taip pat yra užduočių visoms operacijoms su trupmenomis.

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

Jūsų vaikas atnešė namų darbai iš mokyklos ir nežinai kaip tai išspręsti? Tada ši mini pamoka skirta tau!

Kaip pridėti dešimtainių skaičių

Stulpelyje patogiau sudėti dešimtaines trupmenas. Norėdami atlikti papildymą po kablelio, turite laikytis vienos paprastos taisyklės:

• Vieta turi būti po vieta, kablelis po kableliu.

Kaip matote pavyzdyje, visi vienetai yra vienas po kito, dešimtosios ir šimtinės skaitmenys yra vienas po kito. Dabar sudedame skaičius, nepaisydami kablelio. Ką daryti su kableliu? Kablelis perkeliamas į vietą, kurioje jis buvo sveikųjų skaičių kategorijoje.

Sudėjus trupmenas su vienodais vardikliais

Norėdami atlikti sudėjimą su bendruoju vardikliu, vardiklį turite palikti nepakeistą, rasti skaitiklių sumą ir gauti trupmeną, kuri bus bendra suma.

Trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas naudojant bendrąjį kartotinį metodą

Pirmas dalykas, į kurį reikia atkreipti dėmesį, yra vardikliai. Vardikliai skirtingi, ar jie vienas iš kito nedalomi, ar ne pirminiai skaičiai. Pirmiausia turite jį sujungti į vieną bendrą vardiklį, yra keli būdai tai padaryti:

• 1/3 + 3/4 = 13/12, norėdami išspręsti šį pavyzdį, turime rasti mažiausią bendrąjį kartotinį (LCM), kuris dalijasi iš 2 vardiklių. Mažiausiam a ir b kartotiniui pažymėti – LCM (a;b). Šiame pavyzdyje LCM (3;4) = 12. Tikriname: 12:3=4; 12:4=3.
• Padauginame koeficientus ir sudedame gautus skaičius, gauname 13/12 – ne teisinga trupmena.

• Norėdami neteisingą trupmeną paversti tinkama, padalykite skaitiklį iš vardiklio, gauname sveikąjį skaičių 1, likusią dalį 1 yra skaitiklis, o 12 - vardiklį.

Trupmenų sudėjimas naudojant kryžminio daugybos metodą

Norėdami pridėti trupmenas su skirtingais vardikliais, yra kitas metodas, naudojant formulę „kryžius į kryžių“. Tai garantuotas būdas išlyginti vardiklius, kad tai padarytumėte, skaitiklius padauginkite iš vienos trupmenos vardiklio ir atvirkščiai. Jei esate tik pradiniame trupmenų mokymosi etape, šis metodas yra paprasčiausias ir tiksliausias būdas gauti teisingą rezultatą pridedant trupmenas su skirtingais vardikliais.

Atkreipkite dėmesį! Prieš rašydami galutinį atsakymą, pažiūrėkite, ar galite sutrumpinti gautą trupmeną.

Atimant trupmenas su panašiais vardikliais, pavyzdžiai:

,

,

Tinkamos trupmenos atėmimas iš vieneto.

Jei reikia iš tinkamo vieneto atimti trupmeną, vienetas paverčiamas netinkamosios trupmenos forma, jo vardiklis lygus atimtos trupmenos vardikliui.

Tinkamos trupmenos atėmimo iš vieneto pavyzdys:

Atimamos trupmenos vardiklis = 7 , t.y., mes vaizduojame vieną kaip netinkamą trupmeną 7/7 ir atimame ją pagal trupmenų su panašiais vardikliais atėmimo taisyklę.

Tinkamos trupmenos atėmimas iš sveikojo skaičiaus.

Trupmenų atėmimo taisyklės - teisinga iš sveikojo skaičiaus (natūralus numeris):

• Duotas trupmenas, kuriose yra sveikoji dalis, paverčiame netinkamomis. Gauname normalius terminus (nesvarbu, ar jie turi skirtingus vardiklius), kuriuos apskaičiuojame pagal aukščiau pateiktas taisykles;
• Tada apskaičiuojame skirtumą tarp gautų trupmenų. Dėl to atsakymą beveik rasime;
• Atliekame atvirkštinę transformaciją, tai yra, atsikratome netinkamos trupmenos – trupmenoje parenkame visą dalį.

Iš sveikojo skaičiaus atimkite tinkamą trupmeną: įsivaizduokite natūralusis skaičius kaip mišrus skaičius. Tie. Paimame vieną iš natūraliojo skaičiaus ir paverčiame jį netinkamos trupmenos forma, vardiklis yra toks pat kaip ir atimtosios trupmenos.

Trupmenų atėmimo pavyzdys:

Pavyzdyje vieną pakeitėme netinkama trupmena 7/7 ir vietoj 3 parašėme mišrus skaičius o iš trupmeninės dalies buvo atimta trupmena.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimas.

Arba kitaip tariant, atimant skirtingas trupmenas.

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo taisyklė. Norint atimti trupmenas su skirtingais vardikliais, pirmiausia reikia šias trupmenas sumažinti iki mažiausio bendro vardiklio (LCD) ir tik po to atlikti atimtį kaip ir su trupmenomis su tais pačiais vardikliais.

Kelių trupmenų bendras vardiklis yra LCM (mažiausias bendras kartotinis) natūraliuosius skaičius, kurie yra šių trupmenų vardikliai.

Dėmesio! Jei paskutinėje trupmenoje skaitiklis ir vardiklis turi bendrus veiksnius, tada trupmeną reikia sumažinti. Netinkama trupmena geriausiai vaizduojama kaip mišri trupmena. Atimties rezultato palikimas nesumažinant trupmenos, jei įmanoma, yra neišsamus pavyzdžio sprendimas!

Trupmenų su skirtingais vardikliais atėmimo tvarka.

• rasti visų vardiklių LCM;
• pridėti papildomų koeficientų visoms trupmenoms;
• padauginkite visus skaitiklius iš papildomo koeficiento;
• Gautas sandaugas įrašome į skaitiklį, po visomis trupmenomis pasirašydami bendrąjį vardiklį;
• atimkite trupmenų skaitiklius, bendrąjį vardiklį pažymėdami po skirtumu.

Tuo pačiu būdu trupmenos pridedamos ir atimamos, jei skaitiklyje yra raidžių.

Trupmenų atėmimas, pavyzdžiai:

Mišrių trupmenų atėmimas.

At atimti mišrios frakcijos(skaičiai) atskirai sveikoji dalis atimama iš sveikosios dalies, o trupmeninė dalis atimama iš trupmeninės dalies.

Pirmasis mišrių trupmenų atėmimo variantas.

Jei trupmeninės dalys identiškas minuendinės trupmeninės dalies vardikliai ir skaitiklis (iš jo atimame) ≥ potraukio trupmeninės dalies skaitiklis (atimame).

Pavyzdžiui:

Antrasis variantas mišrioms trupmenoms atimti.

Kai trupmeninės dalys skirtinga vardikliai. Pirmiausia trupmenines dalis suvedame į bendrą vardiklį, o po to iš visos dalies atimame visą dalį, o iš trupmeninės dalies – trupmeninę.

Pavyzdžiui:

Trečias mišrių trupmenų atėmimo variantas.

Trupmeninė minuend dalis yra mažesnė už trupmeninę pogrupio dalį.

Pavyzdys:

Nes Trupmenų dalys turi skirtingus vardiklius, o tai reiškia, kaip ir antrajame variante, įprastąsias trupmenas pirmiausia sujungiame į bendrą vardiklį.

Mažosios dalies trupmeninės dalies skaitiklis yra mažesnis už pogrupio trupmeninės dalies skaitiklį.3 < 14. Tai reiškia, kad mes paimame vienetą iš visos dalies ir sumažiname šį vienetą iki netinkamos trupmenos formos su tuo pačiu vardikliu ir skaitikliu = 18.

Dešinėje pusėje esančiame skaitiklyje rašome skaitiklių sumą, tada dešinėje esančiame skaitiklyje atveriame skliaustus, tai yra viską padauginame ir pateikiame panašius. Vardiklyje skliaustų neatidarome. Įprasta prekę palikti vardikliuose. Mes gauname:

Šioje pamokoje bus kalbama apie sudėjimą ir atimtį. algebrinės trupmenos su skirtingais vardikliais. Mes jau žinome, kaip pridėti ir atimti bendrąsias trupmenas su skirtingais vardikliais. Norėdami tai padaryti, trupmenas reikia sumažinti iki bendro vardiklio. Pasirodo, algebrinės trupmenos laikosi tų pačių taisyklių. Tuo pačiu mes jau žinome, kaip sumažinti algebrines trupmenas iki bendro vardiklio. Trupmenų su skirtingais vardikliais sudėjimas ir atėmimas yra vienas svarbiausių ir sunkios temos 8 klasės kursuose. Tuo pačiu metu ši tema atsiras daugelyje algebros kursų temų, kurias studijuosite ateityje. Pamokos metu išnagrinėsime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles, taip pat analizuosime keletą tipiškų pavyzdžių.

Pasvarstykime paprasčiausias pavyzdys paprastosioms trupmenoms.

1 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Prisiminkime trupmenų pridėjimo taisyklę. Norėdami pradėti, trupmenos turi būti sumažintos iki bendro vardiklio. Bendras paprastųjų trupmenų vardiklis yra mažiausias bendras kartotinis(LCM) iš pradinių vardiklių.

Apibrėžimas

Mažiausias natūralusis skaičius, kuris dalijasi iš abiejų skaičių ir .

Norėdami rasti LCM, turite įtraukti vardiklius į pirminius veiksnius, tada pasirinkti visus pirminius veiksnius, įtrauktus į abiejų vardiklių išplėtimą.

; . Tada skaičių LCM turi sudaryti du du ir du trejetukai: .

Suradę bendrą vardiklį, kiekvienai trupmenai reikia rasti papildomą koeficientą (iš tikrųjų bendrąjį vardiklį padalinkite iš atitinkamos trupmenos vardiklio).

Tada kiekviena trupmena dauginama iš gauto papildomo koeficiento. Gauname trupmenas su tais pačiais vardikliais, kurias išmokome sudėti ir atimti ankstesnėse pamokose.

Mes gauname: .

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimą. Pirmiausia pažvelkime į trupmenas, kurių vardikliai yra skaičiai.

2 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Sprendimo algoritmas yra visiškai panašus į ankstesnį pavyzdį. Nesunku rasti bendrą šių trupmenų vardiklį: ir papildomus kiekvienos iš jų veiksnius.

.

Atsakymas:.

Taigi, suformuluokime algebrinių trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo algoritmas:

1. Raskite mažiausią bendrąjį trupmenų vardiklį.

2. Kiekvienai trupmenai raskite papildomų koeficientų (bendrąjį vardiklį padalydami iš duotosios trupmenos vardiklio).

3. Padauginkite skaitiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų.

4. Sudėkite arba atimkite trupmenas, vadovaudamiesi trupmenų su panašiais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisyklėmis.

Dabar panagrinėkime pavyzdį su trupmenomis, kurių vardiklyje yra pažodiniai posakiai.

3 pavyzdys. Sudėkite trupmenas: .

Sprendimas:

Kadangi raidžių išraiškos abiejuose vardikliuose yra vienodos, turėtumėte rasti bendrą skaitmenų vardiklį. Galutinis bendras vardiklis atrodys taip: . Taigi šio pavyzdžio sprendimas atrodo taip:.

Atsakymas:.

4 pavyzdys. Atimti trupmenas: .

Sprendimas:

Jei negalite „apgauti“ rinkdamiesi bendrą vardiklį (negalite jo skaičiuoti ar naudoti sutrumpintų daugybos formulių), tuomet kaip bendrą vardiklį turite paimti abiejų trupmenų vardklių sandaugą.

Atsakymas:.

Apskritai, sprendžiant tokius pavyzdžius, labiausiai sunki užduotis yra rasti bendrą vardiklį.

Pažvelkime į sudėtingesnį pavyzdį.

5 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Surasdami bendrą vardiklį, pirmiausia turite pabandyti apskaičiuoti pradinių trupmenų vardiklius (kad būtų supaprastintas bendrasis vardiklis).

Šiuo konkrečiu atveju:

Tada nesunku nustatyti bendrą vardiklį: .

Mes nustatome papildomus veiksnius ir išsprendžiame šį pavyzdį:

Atsakymas:.

Dabar nustatykime trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimo ir atėmimo taisykles.

6 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

Atsakymas:.

7 pavyzdys. Supaprastinti:.

Sprendimas:

.

Atsakymas:.

Dabar panagrinėkime pavyzdį, kuriame pridedamos ne dvi, o trys trupmenos (juk sudėties ir atimties taisyklės daugiau trupmenos lieka tos pačios).

8 pavyzdys. Supaprastinti:.