Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimo formulės lentelė. Pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo metodai

Kartą mačiau dviejų pareiškėjų pokalbį:

– Kada reikia pridėti 2πn, o kada – πn? Aš tiesiog neprisimenu!

– Ir aš turiu tą pačią problemą.

Aš tiesiog norėjau jiems pasakyti: „Jums nereikia įsiminti, bet suprasti!

Šis straipsnis visų pirma skirtas aukštųjų mokyklų studentams ir, tikiuosi, padės jiems išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis su „supratimu“:

Skaičių ratas

Kartu su skaičių linijos sąvoka yra ir skaičių apskritimo sąvoka. Kaip žinome stačiakampėje koordinačių sistemoje apskritimas, kurio centras yra taške (0;0), o spindulys 1, vadinamas vienetiniu apskritimu.Įsivaizduokime skaičių tiesę kaip ploną siūlą ir apvyniokime ją aplink šį apskritimą: pradinę (tašką 0) pritvirtinsime prie vienetinio apskritimo „dešiniojo“ taško, teigiamą pusašį apvyniosime prieš laikrodžio rodyklę, o neigiamą pusašį. -ašį kryptimi (1 pav.). Toks vienetinis apskritimas vadinamas skaitiniu apskritimu.

Skaičių apskritimo savybės

Kiekvienas tikrasis skaičius yra viename skaičių apskritimo taške.
Kiekviename skaičių apskritimo taške yra be galo daug realūs skaičiai. Kadangi vienetinio apskritimo ilgis yra 2π, skirtumas tarp bet kurių dviejų skaičių viename apskritimo taške yra lygus vienam iš skaičių ±2π; ±4π ; ±6π ; ...

Darykime išvadą: žinodami vieną iš taško A skaičių, galime rasti visus taško A skaičius.

Nubraižykime kintamosios srovės skersmenį (2 pav.). Kadangi x_0 yra vienas iš taško A skaičių, tai skaičiai x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; ... ir tik jie bus taško C skaičiai. Išsirinkime vieną iš šių skaičių, tarkime, x_0+π, ir juo užrašykime visus taško C skaičius: x_C=x_0+π+2πk ,k∈ Z. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiai taškuose A ir C gali būti sujungti į vieną formulę: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (jei k = 0; ±2; ±4; ... gauname skaičius taškas A, o k = ±3 … – taško C skaičiai;

Darykime išvadą: žinodami vieną iš skaičių viename iš skersmens AC taškų A arba C, šiuose taškuose galime rasti visus skaičius.

Du priešingi skaičiai yra apskritimo taškuose, kurie yra simetriški abscisių ašies atžvilgiu.

Nubrėžkime vertikalią stygą AB (2 pav.). Kadangi taškai A ir B yra simetriški Ox ašiai, skaičius -x_0 yra taške B, todėl visi taško B skaičiai pateikiami pagal formulę: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Skaičius taškuose A ir B užrašome naudodami vieną formulę: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Darykime išvadą: žinodami vieną iš vertikalios stygos AB taškų A arba B viename iš skaičių, šiuose taškuose galime rasti visus skaičius. Panagrinėkime horizontaliąją stygą AD ir raskime taško D skaičius (2 pav.). Kadangi BD yra skersmuo, o skaičius -x_0 priklauso taškui B, tai -x_0 + π yra vienas iš taško D skaičių, todėl visi šio taško skaičiai pateikiami pagal formulę x_D=-x_0+π+ 2πk ,k∈Z. Skaičius taškuose A ir D galima užrašyti naudojant vieną formulę: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (jei k= 0; ±2; ±4; … gauname taško A skaičius, o k = ±1; ±3; ±5; … – taško D skaičius).

Darykime išvadą: Žinodami vieną iš skaičių viename iš horizontalios stygos AD taškų A arba D, šiuose taškuose galime rasti visus skaičius.

Šešiolika pagrindinių skaičių apskritimo taškų

Praktiškai sprendžiant daugumą paprasčiausių trigonometrinių lygčių, reikia šešiolikos apskritimo taškų (3 pav.). Kas tai yra taškai? Raudoni, mėlyni ir žali taškai padalija apskritimą į 12 lygių dalių. Kadangi puslankio ilgis yra π, tai lanko A1A2 ilgis yra π/2, lanko A1B1 ilgis yra π/6, o lanko A1C1 ilgis yra π/3.

Dabar galime nurodyti vieną skaičių vienu metu:

π/3 ant C1 ir

Oranžinio kvadrato viršūnės yra kiekvieno ketvirčio lankų vidurio taškai, todėl lanko A1D1 ilgis yra lygus π/4, todėl π/4 yra vienas iš taško D1 skaičių. Naudodamiesi skaičių apskritimo savybėmis, formulėmis galime užrašyti visus skaičius visuose pažymėtuose mūsų apskritimo taškuose. Paveiksle pažymėtos ir šių taškų koordinatės (jų gavimo aprašymo praleisime).

Įvaldę tai, kas išdėstyta pirmiau, dabar turime pakankamai pasiruošimo, kad išspręstume ypatingus atvejus (devynioms skaičiaus reikšmėms a) paprasčiausias lygtis.

Išspręskite lygtis

1)sinx = 1⁄ (2).

– Ko iš mūsų reikalaujama?

– Raskite visus tuos skaičius x, kurių sinusas yra 1/2.

Prisiminkime sinuso apibrėžimą: sinx – skaičių apskritimo taško, kuriame yra skaičius x, ordinatė. Turime du apskritimo taškus, kurių ordinatė lygi 1/2. Tai yra horizontalios stygos B1B2 galai. Tai reiškia, kad reikalavimas „išspręsti lygtį sinx=1⁄2“ yra lygiavertis reikalavimui „rasti visus skaičius taške B1 ir visus skaičius taške B2“.

2)sinx=-√3⁄2 .

Turime rasti visus skaičius taškuose C4 ir C3.

3) sinx=1. Apskritime turime tik vieną tašką su ordinate 1 - tašką A2, todėl mums reikia rasti tik visus šio taško skaičius.

Atsakymas: x=π/2+2πk, k∈Z.

4)sinx=-1 .

Tik taško A_4 ordinatė yra -1. Visi šio taško skaičiai bus lygties arkliai.

Atsakymas: x=-π/2+2πk, k∈Z.

5) sinx=0 .

Ant apskritimo turime du taškus, kurių ordinatė yra 0 – taškus A1 ir A3. Skaičius kiekviename taške galite nurodyti atskirai, tačiau atsižvelgiant į tai, kad šie taškai yra diametraliai priešingi, geriau juos sujungti į vieną formulę: x=πk,k∈Z.

Atsakymas: x=πk ,k∈Z .

6)cosx=√2⁄2 .

Prisiminkime kosinuso apibrėžimą: cosx yra skaičių apskritimo taško, kuriame yra skaičius x, abscisė. Ant apskritimo turime du taškus su abscise √2⁄2 – horizontalios stygos D1D4 galus. Turime rasti visus skaičius šiuose taškuose. Užsirašykime juos, sujungdami į vieną formulę.

Atsakymas: x=±π/4+2πk, k∈Z.

7) cosx=-1⁄2 .

Turime rasti skaičius taškuose C_2 ir C_3.

Atsakymas: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Tik taškų A2 ir A4 abscisė yra 0, o tai reiškia, kad visi skaičiai kiekviename iš šių taškų bus lygties sprendiniai.
.

Sistemos lygties sprendiniai yra skaičiai taškuose B_3 ir B_4 Į cosx nelygybę<0 удовлетворяют только числа b_3
Atsakymas: x=-5π/6+2πk, k∈Z.

Atkreipkite dėmesį, kad bet kuriai leistinai x reikšmei antrasis koeficientas yra teigiamas, todėl lygtis yra lygiavertė sistemai

Sistemos lygties sprendiniai yra taškų D_2 ir D_3 skaičius. Taško D_2 skaičiai netenkina nelygybės sinx≤0,5, bet taško D_3 skaičiai tenkina.

blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Lygybė, turinti nežinomąjį po trigonometrinės funkcijos ženklu („sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“), vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.

Paprasčiausios lygtys vadinamos „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

`|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, jis neturi realiųjų skaičių sprendinių.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

paverčiant jį paprasčiausiu;
išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių išplaukia du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

„sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
„cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

„a sin x+b cos x=0“ ( vienalytė lygtis pirmas laipsnis) arba `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Parašykime dešinę pusę kaip „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.

Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

„tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
„tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Perėjimas prie pusės kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikykime formules dvigubas kampas, gaunasi: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ 2 x/2''

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikant aukščiau pateiktą algebrinis metodas, gauname:

„tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
„tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, imame `\varphi=arcsin 4/5` kaip pagalbinį kampą. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin (x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z.

Atsakymas. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z.

Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

„sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
„1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, todėl pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.

Pamoka ir pristatymas tema: „Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas“

Papildomos medžiagos
Mieli vartotojai, nepamirškite palikti savo komentarų, atsiliepimų, pageidavimų! Visa medžiaga buvo patikrinta antivirusine programa.

Vadovai ir treniruokliai „Integral“ internetinėje parduotuvėje 10 klasei nuo 1C
Sprendžiame geometrijos uždavinius. Interaktyvios užduotys kuriant erdvėje
Programinės įrangos aplinka "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Ką mes studijuosime:
1. Kas yra trigonometrinės lygtys?

3. Du pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai.
4. Homogeninės trigonometrinės lygtys.
5. Pavyzdžiai.

Kas yra trigonometrinės lygtys?

Vaikinai, mes jau ištyrėme arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dabar pažvelkime į trigonometrines lygtis apskritai.

Trigonometrinės lygtys yra lygtys, kuriose kintamasis yra po trigonometrinės funkcijos ženklu.

Pakartokime paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimo formą:

1)Jei |a|≤ 1, tai lygtis cos(x) = a turi sprendimą:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Jei |a|≤ 1, tai lygtis sin(x) = a turi sprendimą:

3) Jei |a| > 1, tada lygtis sin(x) = a ir cos(x) = a neturi sprendinių 4) Lygtis tg(x)=a turi sprendimą: x=arctg(a)+ πk

5) Lygtis ctg(x)=a turi sprendimą: x=arcctg(a)+ πk

Visoms formulėms k yra sveikas skaičius

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys turi tokią formą: T(kx+m)=a, T yra kokia nors trigonometrinė funkcija.

Pavyzdys.

Išspręskite lygtis: a) sin(3x)= √3/2

Sprendimas:

A) Pažymime 3x=t, tada perrašysime savo lygtį į formą:

Šios lygties sprendimas bus toks: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iš verčių lentelės gauname: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Grįžkime prie mūsų kintamojo: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Atsakymas: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, kur n yra sveikas skaičius. (-1)^n – atėmus vieną iki n laipsnio.

Daugiau trigonometrinių lygčių pavyzdžių.

Išspręskite lygtis: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Sprendimas:

A) Šį kartą pereikime tiesiai prie lygties šaknų skaičiavimo:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada x/5= πk => x=5πk

Atsakymas: x=5πk, kur k yra sveikas skaičius.

B) Rašome tokia forma: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Žinome, kad: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Atsakymas: x=2π/9 + πk/3, kur k yra sveikas skaičius.

Išspręskite lygtis: cos(4x)= √2/2. Ir raskite visas šaknis segmente.

Sprendimas:

Mes nuspręsime bendras vaizdas mūsų lygtis: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x = ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Dabar pažiūrėkime, kokios šaknys patenka į mūsų segmentą. Ties k Kai k=0, x= π/16, esame duotame atkarpoje.
Kai k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, pataikome dar kartą.
Jei k=2, x= π/16+ π=17π/16, bet čia nepataikėme, vadinasi, esant dideliam k, taip pat akivaizdžiai nepataikėme.

Atsakymas: x= π/16, x= 9π/16

Du pagrindiniai sprendimo būdai.

Mes pažvelgėme į paprasčiausias trigonometrines lygtis, tačiau yra ir sudėtingesnių. Jiems išspręsti naudojamas naujo kintamojo įvedimo ir faktorizavimo metodas. Pažiūrėkime į pavyzdžius.

Išspręskime lygtį:

Sprendimas:
Norėdami išspręsti mūsų lygtį, naudosime naujo kintamojo įvedimo metodą, žymėdami: t=tg(x).

Dėl pakeitimo gauname: t 2 + 2t -1 = 0

Raskime šaknis kvadratinė lygtis: t=-1 ir t=1/3

Tada tg(x)=-1 ir tg(x)=1/3, gauname paprasčiausią trigonometrinę lygtį, suraskime jos šaknis.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Atsakymas: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Lygties sprendimo pavyzdys

Išspręskite lygtis: 2sin 2 (x) + 3 cos (x) = 0

Sprendimas:

Naudokime tapatybę: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Mūsų lygtis bus tokia: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos (x) -2 = 0

Įveskime pakeitimą t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas yra šaknys: t=2 ir t=-1/2

Tada cos(x)=2 ir cos(x)=-1/2.

Nes kosinusas negali būti didesnis už vieną, tada cos(x)=2 neturi šaknų.

Jei cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Atsakymas: x= ±2π/3 + 2πk

Homogeninės trigonometrinės lygtys.

Apibrėžimas: a sin(x)+b cos(x) formos lygtys vadinamos pirmojo laipsnio vienarūšėmis trigonometrinėmis lygtimis.

Formos lygtys

antrojo laipsnio vienarūšės trigonometrinės lygtys.

Norėdami išspręsti homogeninę pirmojo laipsnio trigonometrinę lygtį, padalinkite ją iš cos (x): Negalite dalyti iš kosinuso, jei taip lygus nuliui, įsitikinkime, kad taip nėra:
Tegu cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, bet sinusas ir kosinusas nelygu nuliui tuo pačiu metu gauname prieštaravimą, todėl galime drąsiai dalyti nuliu.

Išspręskite lygtį:
Pavyzdys: cos 2 (x) + sin (x) cos (x) = 0

Sprendimas:

Išimsime bendras daugiklis: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Tada turime išspręsti dvi lygtis:

Cos(x)=0 ir cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0, kai x= π/2 + πk;

Apsvarstykite lygtį cos(x)+sin(x)=0 Padalinkite mūsų lygtį iš cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Atsakymas: x= π/2 + πk ir x= -π/4+πk

Kaip išspręsti vienarūšes antrojo laipsnio trigonometrines lygtis?
Vaikinai, visada laikykitės šių taisyklių!

1. Pažiūrėkite, kam lygus koeficientas a, jei a=0, mūsų lygtis bus formos cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), kurios sprendimo pavyzdys yra ankstesnėje skaidrėje

2. Jei a≠0, tuomet reikia padalyti abi lygties puses iš kosinuso kvadrato, gauname:

Keičiame kintamąjį t=tg(x) ir gauname lygtį:

Išspręskite pavyzdį Nr.:3

Išspręskite lygtį:
Sprendimas:

Abi lygties puses padalinkime iš kosinuso kvadrato:

Keičiame kintamąjį t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Raskime kvadratinės lygties šaknis: t=-3 ir t=1

Tada: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Atsakymas: x=-arctg(3) + πk ir x= π/4+ πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:4

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Galime išspręsti tokias lygtis: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Atsakymas: x= - π/4 + 2πk ir x=5π/4 + 2πk

Išspręskite pavyzdį Nr.:5

Išspręskite lygtį:

Sprendimas:
Pakeiskime savo išraišką:

Įveskime pakaitalą tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Mūsų kvadratinės lygties sprendimas bus šaknys: t=-2 ir t=1/2

Tada gauname: tg(2x)=-2 ir tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Atsakymas: x=-arctg(2)/2 + πk/2 ir x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Savarankiško sprendimo problemos.

1) Išspręskite lygtį

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Išspręskite lygtis: sin(3x)= √3/2. Ir suraskite visas šaknis atkarpoje [π/2; π].

3) Išspręskite lygtį: 2 lovelė (x) + 2 lovytė (x) + 1 =0

4) Išspręskite lygtį: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Išspręskite lygtį: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Išspręskite lygtį: cos 2 (2x) -1 - cos (x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Pavyzdžiai:

\(2\sin(⁡x) = \sqrt(3)\)
tg\((3x)=-\) \(\frac(1)(\sqrt(3))\)
\(4\cos^2⁡x+4\sin⁡x-1=0\)
\(\cos⁡4x+3\cos⁡2x=1\)

Kaip išspręsti trigonometrines lygtis:

Bet kuri trigonometrinė lygtis turėtų būti sumažinta iki vieno iš šių tipų:

\(\sin⁡t=a\), \(\cos⁡t=a\), tg\(t=a\), ctg\(t=a\)

kur \(t\) yra išraiška su x, \(a\) yra skaičius. Tokios trigonometrinės lygtys vadinamos paprasčiausias. Juos galima lengvai išspręsti naudojant () arba specialias formules:

Pavyzdys . Išspręskite trigonometrinę lygtį \(\sin⁡x=-\)\(\frac(1)(2)\).
Sprendimas:

Atsakymas: \(\left[ \begin(surinkta)x=-\frac(π)(6)+2πk, \\ x=-\frac(5π)(6)+2πn, \end(surinkta)\right.\) \(k,n∈Z\)

Ką reiškia kiekvienas simbolis trigonometrinių lygčių šaknų formulėje, žr.

Dėmesio! Lygtys \(\sin⁡x=a\) ir \(\cos⁡x=a\) neturi sprendinių, jei \(a ϵ (-∞;-1)∪(1;∞)\). Kadangi bet kurio x sinusas ir kosinusas yra didesni arba lygūs \(-1\) ir mažesni arba lygūs \(1\):

\(-1≤\sin x≤1\) \(-1≤\cos⁡x≤1\)

Pavyzdys . Išspręskite lygtį \(\cos⁡x=-1,1\).
Sprendimas: \(-1,1<-1\), а значение косинуса не может быть меньше \(-1\). Значит у уравнения нет решения.
Atsakymas : sprendimų nėra.

Pavyzdys . Išspręskite trigonometrinę lygtį tg\(⁡x=1\).
Sprendimas:

Išspręskime lygtį naudodami skaičių apskritimą. Norėdami tai padaryti:
1) Sukurkite apskritimą)
2) Sukonstruoti ašis \(x\) ir \(y\) ir liestinės ašį (ji eina per tašką \((0;1)\) lygiagrečiai ašiai \(y\)).
3) Liestinės ašyje pažymėkite tašką \(1\).
4) Sujunkite šį tašką ir koordinačių pradžią – tiesę.
5) Pažymėkite šios tiesės ir skaičių apskritimo susikirtimo taškus.
6) Pasižymime šių taškų reikšmes: \(\frac(π)(4)\) ,\(\frac(5π)(4)\)
7) Užrašykime visas šių taškų reikšmes. Kadangi jie yra tiksliai \(π\) atstumu vienas nuo kito, visas reikšmes galima parašyti vienoje formulėje:

Atsakymas: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πk\), \(k∈Z\).

Pavyzdys . Išspręskite trigonometrinę lygtį \(\cos⁡(3x+\frac(π)(4))=0\).
Sprendimas:

Vėl panaudokime skaičių apskritimą.
1) Sukurkite apskritimą, ašis \(x\) ir \(y\).
2) Kosinuso ašyje (\(x\) ašis) pažymėkite \(0\).
3) Per šį tašką nubrėžkite statmeną kosinuso ašiai.
4) Pažymėkite statmens ir apskritimo susikirtimo taškus.
5) Pasirašykime šių taškų reikšmes: \(-\) \(\frac(π)(2)\),\(\frac(π)(2)\).
6) Užrašome visą šių taškų reikšmę ir prilyginame kosinusui (tam, kas yra kosinuso viduje).

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\)

\(3x+\)\(\frac(π)(4)\) \(=\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x+\)\(\frac( π)(4)\) \(=-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)

8) Kaip įprasta, \(x\) išreikšime lygtimis.
Nepamirškite skaičių traktuoti su \(π\), taip pat \(1\), \(2\), \(\frac(1)(4)\) ir kt. Tai tokie patys skaičiai kaip ir visi kiti. Jokios skaitmeninės diskriminacijos!

\(3x=-\)\(\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\) \(3x=-\)\ (\frac(π)(4)\) \(+\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\)
\(3x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\) \(3x=-\)\(\frac(3π)(4)\) \(+2πk\) \(|:3\)
\(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\)

Atsakymas: \(x=\)\(\frac(π)(12)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) \(x=-\)\(\frac(π)( 4)\) \(+\)\(\frac(2πk)(3)\) , \(k∈Z\).

Sumažinti trigonometrines lygtis iki paprasčiausių yra kūrybinga užduotis, sprendžiant lygtis, ir specialius metodus:
- Metodas (populiariausias vieningame valstybiniame egzamine).
- Metodas.
- Pagalbinių argumentų metodas.

Panagrinėkime kvadratinės trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdį

Pavyzdys . Išspręskite trigonometrinę lygtį \(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)
Sprendimas:

\(2\cos^2⁡x-5\cos⁡x+2=0\)	Pakeiskime \(t=\cos⁡x\).

	Mūsų lygtis tapo tipiška. Galite tai išspręsti naudodami.
\(D = 25-4 \cdot 2 \cdot 2 = 25-16 = 9\)
\(t_1=\)\(\frac(5-3)(4)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\) ; \(t_2=\)\(\frac(5+3)(4)\) \(=2\)	Atliekame atvirkštinį pakeitimą.
\(\cos⁡x=\)\(\frac(1)(2)\); \(\cos⁡x=2\)	Pirmąją lygtį išsprendžiame naudodami skaičių apskritimą. Antroji lygtis neturi sprendinių, nes \(\cos⁡x∈[-1;1]\) ir negali būti lygus dviem bet kuriam x.
	Užrašykime visus šiuose taškuose gulinčius skaičius.

Atsakymas: \(x=±\)\(\frac(π)(3)\) \(+2πk\), \(k∈Z\).

Trigonometrinės lygties sprendimo pavyzdys tiriant ODZ:

Pavyzdys (naudoti) . Išspręskite trigonometrinę lygtį \(=0\)

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Yra trupmena ir yra kotangentas – tai reiškia, kad turime ją užrašyti. Leiskite jums priminti, kad kotangentas iš tikrųjų yra trupmena: ctg\(x=\)\(\frac(\cos⁡x)(\sin⁡x)\) Todėl ctg\(x\) ODZ: \(\sin⁡x≠0\).
ODZ: ctg\(x ≠0\); \(\sin⁡x≠0\) \(x≠±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\); \(x≠πn\); \(k,n∈Z\)	Skaičių apskritime pažymėkime „nesprendimus“.

\(\frac(2\cos^2⁡x-\sin(⁡2x))(ctg x)\)\(=0\)	Atsikratykime lygtyje esančio vardiklio, padaugindami jį iš ctg\(x\). Galime tai padaryti, nes aukščiau rašėme ctg\(x ≠0\).
\(2\cos^2⁡x-\sin⁡(2x)=0\)	Taikykime dvigubo kampo formulę sinusui: \(\sin⁡(2x)=2\sin⁡x\cos⁡x\).
\(2\cos^2⁡x-2\sin⁡x\cos⁡x=0\)	Jei jūsų rankos ištiestos, kad padalintumėte iš kosinuso, patraukite jas atgal! Galite padalyti iš išraiškos su kintamuoju, jei jis tikrai nėra lygus nuliui (pavyzdžiui, šie: \(x^2+1.5^x\)). Vietoj to išimkime \(\cos⁡x\) iš skliaustų.
\(\cos⁡x (2\cos⁡x-2\sin⁡x)=0\)	„Padalinkime“ lygtį į dvi dalis.
\(\cos⁡x=0\); \(2\cos⁡x-2\sin⁡x=0\)	Išspręskime pirmąją lygtį naudodami skaičių apskritimą. Padalinkime antrąją lygtį iš \(2\) ir perkelkime \(\sin⁡x\) į dešinę pusę.

\(x=±\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πk\), \(k∈Z\). \(\cos⁡x=\sin⁡x\)	Gautos šaknys nėra įtrauktos į ODZ. Todėl atsakydami jų nerašysime. Antroji lygtis yra tipiška. Padalinkime jį iš \(\sin⁡x\) (\(\sin⁡x=0\) negali būti lygties sprendimas, nes šiuo atveju \(\cos⁡x=1\) arba \(\cos⁡ x=-1\)).
	Vėl naudojame apskritimą.
\(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\)	Šių šaknų neatmeta ODZ, todėl galite jas parašyti atsakyme.

Atsakymas: \(x=\)\(\frac(π)(4)\) \(+πn\), \(n∈Z\).

Paprastų trigonometrinių lygčių sprendimas.

Sprendžiant bet kokio sudėtingumo trigonometrines lygtis galiausiai reikia išspręsti paprasčiausias trigonometrines lygtis. Ir čia trigonometrinis ratas vėl pasirodo kaip geriausias asistentas.

Prisiminkime kosinuso ir sinuso apibrėžimus.

Kampo kosinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, abscisė (ty koordinatė išilgai ašies).

Kampo sinusas yra vienetinio apskritimo taško, atitinkančio sukimąsi tam tikru kampu, ordinatė (ty koordinatė išilgai ašies).

Teigiama judėjimo kryptis trigonometriniame apskritime yra prieš laikrodžio rodyklę. 0 laipsnių (arba 0 radianų) pasukimas atitinka tašką su koordinatėmis (1; 0)

Šiuos apibrėžimus naudojame paprastoms trigonometrinėms lygtims išspręsti.

1. Išspręskite lygtį

Šią lygtį tenkina visos sukimosi kampo reikšmės, atitinkančios apskritimo taškus, kurių ordinatė yra lygi .

Ordinačių ašyje pažymėkime tašką su ordinatėmis:

Nubrėžkite horizontalią liniją, lygiagrečią x ašiai, kol ji susikirs su apskritimu. Gauname du taškus, gulinčius ant apskritimo ir turinčius ordinatę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus radianais:

Jei palikdami tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui, apvažiuosime visą apskritimą, tada pateksime į tašką, atitinkantį sukimosi kampą radianui ir turintį tą pačią ordinatę. Tai yra, šis sukimosi kampas taip pat atitinka mūsų lygtį. Galime padaryti tiek „tuščiosios eigos“ apsisukimų, kiek norime, grįždami į tą patį tašką, ir visos šios kampų reikšmės patenkins mūsų lygtį. „Tuščiosios eigos“ apsisukimų skaičius bus pažymėtas raide (arba). Kadangi šiuos apsisukimus galime padaryti tiek teigiama, tiek neigiama kryptimi, (arba) galime įgauti bet kokias sveikųjų skaičių reikšmes.

Tai yra, pirmoji pradinės lygties sprendinių serija turi tokią formą:

, , - sveikųjų skaičių rinkinys (1)

Panašiai antroji sprendimų serija turi tokią formą:

, Kur,. (2)

Kaip jau galėjote atspėti, ši sprendimų serija pagrįsta tašku apskritime, atitinkančiu sukimosi kampą .

Šios dvi sprendimų serijos gali būti sujungtos į vieną įrašą:

Jei imsime (ty net) šiame įraše, tada gausime pirmąją sprendimų seriją.

Jei imsime (ty nelyginį) šiame įraše, gausime antrą sprendinių seriją.

2. Dabar išspręskime lygtį

Kadangi tai yra vienetinio apskritimo taško abscisė, gauta pasukus kampu, tašką pažymime abscise ašyje:

Nubrėžkite vertikalią liniją, lygiagrečią ašiai, kol ji susikirs su apskritimu. Gausime du taškus, gulėdami ant apskritimo ir turėdami abscisę. Šie taškai atitinka sukimosi kampus ir radianais. Prisiminkite, kad judant pagal laikrodžio rodyklę gauname neigiamą sukimosi kampą:

Užrašykime dvi sprendimų serijas:

(Į norimą tašką patenkame eidami iš pagrindinio pilno rato, tai yra.

Sujungkime šias dvi serijas į vieną įrašą:

3. Išspręskite lygtį

Liestinė eina per tašką, kurio koordinatės (1,0) yra lygiagrečios OY ašiai

Pažymėkime jame tašką, kurio ordinatė lygi 1 (ieškome kampų liestinės, lygios 1):

Sujungkime šį tašką prie koordinačių pradžios tiesia linija ir pažymėkime tiesės susikirtimo taškus su vienetiniu apskritimu. Tiesios linijos ir apskritimo susikirtimo taškai atitinka sukimosi kampus ir :

Kadangi taškai, atitinkantys mūsų lygtį atitinkančius sukimosi kampus, yra vienas nuo kito radianų atstumu, sprendimą galime parašyti taip:

4. Išspręskite lygtį

Kotangentų linija eina per tašką, kurio vieneto apskritimo koordinatės yra lygiagrečios ašiai.

Kotangentų eilutėje pažymėkime tašką abscise -1:

Sujungkime šį tašką su tiesės pradžia ir tęskime tol, kol susikirs su apskritimu. Ši tiesi linija kirs apskritimą taškuose, kurie atitinka sukimosi kampus į ir radianais:

Kadangi šie taškai yra atskirti vienas nuo kito atstumu, lygiu , bendrąjį šios lygties sprendinį galime parašyti taip:

Pateiktuose pavyzdžiuose, iliustruojančiuose paprasčiausių trigonometrinių lygčių sprendimą, buvo panaudotos trigonometrinių funkcijų lentelės reikšmės.

Tačiau jei dešinėje lygties pusėje yra ne lentelės reikšmė, tada reikšmę pakeičiame bendruoju lygties sprendiniu: