Trupmenų lygtys. ODZ.

Dėmesio!
Yra papildomų
Specialiajame 555 skyriuje nurodytos medžiagos.
Tiems, kurie labai „nelabai...“
Ir tiems, kurie „labai…“)

Mes ir toliau įvaldome lygtis. Mes jau žinome, kaip dirbti su tiesinėmis ir kvadratinėmis lygtimis. Liko paskutinis vaizdas - trupmenines lygtis. Arba jie taip pat vadinami daug garbingiau - trupmenines racionaliąsias lygtis. Tai tas pats dalykas.

Trupmenų lygtys.

Kaip rodo pavadinimas, šiose lygtyse būtinai yra trupmenų. Bet ne tik trupmenos, bet ir trupmenos, kurios turi vardiklis nežinomas. Bent jau viename. Pavyzdžiui:

Leiskite jums priminti, kad jei vardikliai yra tik skaičių, tai tiesinės lygtys.

Kaip nuspręsti trupmenines lygtis? Visų pirma, atsikratykite trupmenų! Po to lygtis dažniausiai virsta tiesine arba kvadratine. Ir tada mes žinome, ką daryti... Kai kuriais atvejais tai gali virsti tapatybe, pvz., 5=5 arba neteisinga išraiška, pavyzdžiui, 7=2. Tačiau taip nutinka retai. Tai paminėsiu žemiau.

Bet kaip atsikratyti trupmenų!? Labai paprasta. Taikant tas pačias identiškas transformacijas.

Turime padauginti visą lygtį iš tos pačios išraiškos. Kad visi vardikliai būtų sumažinti! Viskas iš karto taps lengviau. Leiskite paaiškinti pavyzdžiu. Turime išspręsti lygtį:

Kaip jus mokė pradinėje mokykloje? Viską perkeliame į vieną pusę, suvedame į bendrą vardiklį ir t.t. Pamiršk kaip blogas sapnas! Tai reikia padaryti, kai pridedate arba atimsite trupmenas. Arba dirbate su nelygybėmis. O lygtyse iš karto padauginame abi puses iš išraiškos, kuri suteiks galimybę sumažinti visus vardiklius (t. y. iš esmės bendras vardiklis). Ir kas yra ši išraiška?

Kairėje pusėje, norint sumažinti vardiklį, reikia padauginti iš x+2. O dešinėje reikia dauginti iš 2 Tai reiškia, kad lygtis turi būti padauginta iš 2 (x+2). Padauginti:

Tai yra įprastas trupmenų dauginimas, bet aš tai išsamiai aprašysiu:

Atkreipkite dėmesį, kad aš dar neatidarau laikiklio (x + 2)! Taigi, visą tai rašau:

Kairėje pusėje jis visiškai susitraukia (x+2), o dešinėje 2. Ko ir reikėjo! Po sumažinimo gauname linijinis lygtis:

Ir kiekvienas gali išspręsti šią lygtį! x = 2.

Išspręskime kitą pavyzdį, šiek tiek sudėtingesnį:

Jei prisiminsime, kad 3 = 3/1, ir 2x = 2x/ 1, galime rašyti:

Ir vėl atsikratome to, kas mums nelabai patinka – trupmenomis.

Matome, kad norėdami sumažinti vardiklį su X, turime trupmeną padauginti iš (x – 2). O kelios mums netrukdo. Na, padauginkime. Visi kairėje pusėje ir visi dešinė pusė:

Vėl skliausteliuose (x – 2) Aš neatskleisiu. Aš dirbu su skliaustu kaip visuma taip, lyg tai būtų vienas skaičius! Tai turi būti daroma visada, kitaip niekas nesumažės.

Su gilaus pasitenkinimo jausmu sumažiname (x – 2) ir gauname lygtį be jokių trupmenų, su liniuote!

Dabar atidarykime skliaustus:

Atvežame panašius, perkeliame viską į kairę pusę ir gauname:

Bet prieš tai išmoksime spręsti kitas problemas. Dėl palūkanų. Beje, tai grėblys!

Jei jums patinka ši svetainė...

Beje, turiu jums dar keletą įdomių svetainių.)

Galite praktikuotis spręsdami pavyzdžius ir sužinoti savo lygį. Testavimas su momentiniu patvirtinimu. Mokykimės – su susidomėjimu!)

Galite susipažinti su funkcijomis ir išvestinėmis.

§ 1 Sveikųjų skaičių ir trupmeninės racionalios lygtys

Šioje pamokoje apžvelgsime tokias sąvokas kaip racionalioji lygtis, racionali išraiška, sveikųjų skaičių išraiška, trupmeninė išraiška. Apsvarstykime sprendimą racionalios lygtys.

Racionalioji lygtis yra lygtis, kurios kairioji ir dešinė pusės yra racionalios išraiškos.

Racionalios išraiškos yra šios:

Trupmeninis.

Sveikojo skaičiaus išraišką sudaro skaičiai, kintamieji, sveikųjų skaičių laipsniai, naudojant sudėjimo, atimties, daugybos ir padalijimo iš kito skaičiaus nei nulis operacijas.

Pavyzdžiui:

Trupmeninės išraiškos apima padalijimą iš kintamojo arba išraišką su kintamuoju. Pavyzdžiui:

Trupmeninė išraiška neturi prasmės visoms į ją įtrauktų kintamųjų reikšmėms. Pavyzdžiui, išraiška

ties x = -9 tai nėra prasmės, nes esant x = -9 vardiklis eina į nulį.

Tai reiškia, kad racionalioji lygtis gali būti sveikoji arba trupmeninė.

Visa racionali lygtis yra racionali lygtis, kurioje kairioji ir dešinė pusės yra sveikos išraiškos.

Pavyzdžiui:

Trupmeninė racionali lygtis yra racionali lygtis, kurios kairioji arba dešinė pusė yra trupmeninės išraiškos.

Pavyzdžiui:

§ 2 Visos racionalios lygties sprendimas

Panagrinėkime visos racionalios lygties sprendimą.

Pavyzdžiui:

Padauginkime abi lygties puses iš mažiausio į ją įtrauktų trupmenų vardiklio bendro vardiklio.

Norėdami tai padaryti:

1. Raskite vardiklių 2, 3, 6 bendrą vardiklį. Jis lygus 6;

2. kiekvienai trupmenai raskite papildomą koeficientą. Norėdami tai padaryti, padalykite bendrą vardiklį 6 iš kiekvieno vardiklio

papildomas trupmenos koeficientas

papildomas trupmenos koeficientas

3. trupmenų skaitiklius padauginkite iš atitinkamų papildomų koeficientų. Taigi gauname lygtį

kuri yra lygiavertė pateiktai lygčiai

Atidarykime skliaustus kairėje, dešinę dalį perkelkime į kairę, pakeisdami termino ženklą perkeliant į priešingą.

Pateikime panašius daugianario narius ir gaukime

Matome, kad lygtis yra tiesinė.

Išsprendę tai, kad x = 0,5.

§ 3 Trupmeninės racionalios lygties sprendimas

Apsvarstykime, kaip išspręsti trupmeninę racionaliąją lygtį.

Pavyzdžiui:

1. Padauginkite abi lygties puses iš į ją įtrauktų racionaliųjų trupmenų vardiklio mažiausio bendro vardiklio.

Raskime vardiklių x + 7 ir x - 1 bendrą vardiklį.

Jis lygus jų sandaugai (x + 7)(x - 1).

2. Kiekvienai racionaliajai trupmenai raskime papildomą koeficientą.

Norėdami tai padaryti, padalykite bendrą vardiklį (x + 7) (x - 1) iš kiekvieno vardiklio. Papildomas koeficientas trupmenoms

lygus x - 1,

papildomas trupmenos koeficientas

lygus x+7.

3. Padauginkite trupmenų skaitiklius iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Gauname lygtį (2x - 1)(x - 1) = (3x + 4)(x + 7), kuri yra lygiavertė šiai lygčiai

4. Padauginkite dvinarį iš dvinario kairėje ir dešinėje ir gaukite šią lygtį

5. Perkeliame dešinę pusę į kairę, keisdami kiekvieno termino ženklą, kai pereiname į priešingą:

6. Pateikime panašius daugianario narius:

7. Abi dalis galima padalyti iš -1. Gauname kvadratinę lygtį:

8. Išsprendę, rasime šaknis

Kadangi Eq.

kairė ir dešinė pusės yra trupmeninės išraiškos, o trupmeninėse išraiškose kai kurioms kintamųjų reikšmėms vardiklis gali tapti nuliu, tada reikia patikrinti, ar bendras vardiklis nevirsta į nulį, kai randami x1 ir x2 .

Esant x = -27, bendras vardiklis (x + 7)(x - 1) neišnyksta, kai yra x = -1, bendras vardiklis taip pat neišnyksta lygus nuliui.

Todėl ir šaknys -27 ir -1 yra lygties šaknys.

Sprendžiant trupmeninę racionaliąją lygtį, geriau iš karto nurodyti priimtinų reikšmių diapazoną. Pašalinkite tas vertes, kuriose bendras vardiklis tampa nuliu.

Panagrinėkime kitą trupmeninės racionalios lygties sprendimo pavyzdį.

Pavyzdžiui, išspręskime lygtį

Skaičiuojame dešinėje lygties pusėje esančios trupmenos vardiklį

Gauname lygtį

Raskime vardiklių (x - 5), x, x(x - 5) bendrą vardiklį.

Tai bus išraiška x(x - 5).

Dabar suraskime priimtinų lygties verčių diapazoną

Norėdami tai padaryti, bendrąjį vardiklį prilyginame nuliui x(x - 5) = 0.

Gauname lygtį, kurią išsprendę nustatome, kad esant x = 0 arba x = 5 bendras vardiklis eina į nulį.

Tai reiškia, kad x = 0 arba x = 5 negali būti mūsų lygties šaknys.

Dabar galima rasti papildomų daugiklių.

Papildomas koeficientas racionaliosioms trupmenoms

papildomas trupmenos koeficientas

bus (x - 5),

ir papildomas trupmenos koeficientas

Skaitiklius padauginame iš atitinkamų papildomų koeficientų.

Gauname lygtį x(x - 3) + 1(x - 5) = 1(x + 5).

Atidarykime skliaustus kairėje ir dešinėje, x2 - 3x + x - 5 = x + 5.

Perkelkime sąlygas iš dešinės į kairę, pakeisdami perduotų sąlygų ženklą:

X2 - 3x + x - 5 - x - 5 = 0

Ir atvedę panašius terminus gauname kvadratinę lygtį x2 - 3x - 10 = 0. Ją išsprendę randame šaknis x1 = -2; x2 = 5.

Bet mes jau išsiaiškinome, kad esant x = 5 bendras vardiklis x(x - 5) eina į nulį. Todėl mūsų lygties šaknis

bus x = -2.

§ 4 Trumpa santrauka pamoka

Svarbu atsiminti:

Spręsdami trupmenines racionaliąsias lygtis, atlikite šiuos veiksmus:

1. Raskite į lygtį įtrauktų trupmenų bendrą vardiklį. Be to, jei trupmenų vardiklius galima išskaičiuoti, tada suskaičiuokite juos ir raskite bendrą vardiklį.

2.Padauginkite abi lygties puses iš bendro vardiklio: raskite papildomų koeficientų, padauginkite skaitiklius iš papildomų koeficientų.

3.Išspręskite gautą visą lygtį.

4. Pašalinkite iš jos šaknų tuos, dėl kurių bendras vardiklis išnyksta.

Naudotos literatūros sąrašas:

1. Makarychev Yu.N., N.G. Mindyuk, Neshkov K.I., Suvorova S.B. / Redagavo Telyakovsky S.A. Algebra: vadovėlis. 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijose. - M.: Švietimas, 2013 m.
2. Mordkovičius A.G. Algebra. 8 klasė: iš dviejų dalių. 1 dalis: Vadovėlis. bendrajam lavinimui institucijose. - M.: Mnemosyne.
3. Rurukin A.N. Pamokų plėtra algebroje: 8 klasė - M.: VAKO, 2010 m.
4. Algebra 8 klasė: pamokų planai pagal Yu.N. vadovėlį. Makarycheva, N.G. Mindjukas, K.I. Neškova, S.B. Suvorova / Aut.-komp. T.L. Afanasjeva, L.A. Tapilina. -Volgogradas: Mokytojas, 2005 m.

Susipažinkime su racionaliosiomis ir trupmeninėmis racionaliosiomis lygtimis, pateikime jų apibrėžimą, pateiksime pavyzdžių, taip pat išanalizuokime dažniausiai pasitaikančias problemų rūšis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Racionalioji lygtis: apibrėžimas ir pavyzdžiai

Pažintis su racionaliais posakiais prasideda 8-oje mokyklos klasėje. Šiuo metu algebros pamokose mokiniai vis dažniau pradeda susidurti su užduotimis su lygtimis, kurių užrašuose yra racionalių išraiškų. Atnaujinkime savo atmintį, kas tai yra.

1 apibrėžimas

Racionalioji lygtis yra lygtis, kurios abiejose pusėse yra racionalių išraiškų.

Įvairiuose vadovuose galite rasti kitą formulę.

2 apibrėžimas

Racionalioji lygtis- tai lygtis, kurios kairėje pusėje yra racionali išraiška, o dešinėje - nulis.

Apibrėžimai, kuriuos pateikėme racionaliosioms lygtims, yra lygiaverčiai, nes jie kalba apie tą patį. Mūsų žodžių teisingumą patvirtina tai, kad bet kokiems racionaliems posakiams P Ir K lygtys P = Q Ir P − Q = 0 bus lygiavertės išraiškos.

Dabar pažiūrėkime į pavyzdžius.

1 pavyzdys

Racionalios lygtys:

x = 1, 2 x − 12 x 2 y z 3 = 0, x x 2 + 3 x - 1 = 2 + 2 7 x - a (x + 2), 1 2 + 3 4 - 12 x - 1 = 3 .

Racionaliosiose lygtyse, kaip ir kitų tipų lygtyse, gali būti bet koks kintamųjų skaičius nuo 1 iki kelių. Pirmiausia pažiūrėsime paprasti pavyzdžiai, kurioje lygtyse bus tik vienas kintamasis. Ir tada mes pradėsime palaipsniui apsunkinti užduotį.

Racionaliosios lygtys skirstomos į dvi dideles grupes: sveikąsias ir trupmenines. Pažiūrėkime, kokios lygtys bus taikomos kiekvienai grupei.

3 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus sveikasis skaičius, jei jos kairėje ir dešinėje pusėse yra visos racionalios išraiškos.

4 apibrėžimas

Racionalioji lygtis bus trupmeninė, jei vienoje ar abiejose jos dalyse yra trupmena.

Trupmeninės racionalios lygtys būtinai turi dalijimąsi iš kintamojo arba kintamasis yra vardiklyje. Rašant visas lygtis tokio padalijimo nėra.

2 pavyzdys

3 x + 2 = 0 Ir (x + y) · (3 · x 2 - 1) + x = - y + 0, 5– ištisos racionalios lygtys. Čia abi lygties pusės vaizduojamos sveikųjų skaičių išraiškomis.

1 x - 1 = x 3 ir x: (5 x 3 + y 2) = 3: (x - 1): 5 yra trupmeninės racionalios lygtys.

Visos racionalios lygtys apima tiesines ir kvadratines lygtis.

Spręsti visas lygtis

Norint išspręsti tokias lygtis, jas paprastai reikia konvertuoti į lygiavertes algebrines lygtis. Tai galima pasiekti atlikus lygiavertes lygčių transformacijas pagal šį algoritmą:

• pirmiausia gauname nulį dešinėje lygties pusėje, kad tai padarytume, reikia perkelti išraišką, esančią dešinėje lygties pusėje, į kairę pusę ir pakeisti ženklą;
• tada kairėje lygties pusėje esančią išraišką transformuojame į standartinės formos daugianarį.

Turime gauti algebrinę lygtį. Ši lygtis bus lygiavertė pradinei lygčiai. Paprasti atvejai leidžia mums sumažinti visą lygtį į tiesinę arba kvadratinę, kad išspręstume problemą. IN bendras atvejis sprendžiame algebrinę laipsnio lygtį n.

3 pavyzdys

Būtina rasti visos lygties šaknis 3 (x + 1) (x - 3) = x (2 x - 1) - 3.

Sprendimas

Transformuokime pradinę išraišką, kad gautume lygiavertę algebrinę lygtį. Norėdami tai padaryti, dešinėje lygties pusėje esančią išraišką perkelsime į kairę ir ženklą pakeisime priešingu. Rezultate gauname: 3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = 0.

Dabar paverskime kairėje pusėje esančią išraišką į standartinės formos daugianarį ir atliksime reikiamus veiksmus su šiuo polinomu:

3 (x + 1) (x - 3) - x (2 x - 1) + 3 = (3 x + 3) (x - 3) - 2 x 2 + x + 3 = = 3 x 2 - 9 x + 3 x - 9 - 2 x 2 + x + 3 = x 2 - 5 x - 6

Mums pavyko sumažinti sprendinį iki pradinės lygties iki sprendinio kvadratinė lygtis tipo x 2 − 5 x − 6 = 0. Šios lygties diskriminantas yra teigiamas: D = (− 5) 2 − 4 · 1 · (− 6) = 25 + 24 = 49 . Tai reiškia, tikrosios šaknys bus du. Raskime juos naudodami kvadratinės lygties šaknų formulę:

x = - - 5 ± 49 2 1,

x 1 = 5 + 7 2 arba x 2 = 5 - 7 2,

x 1 = 6 arba x 2 = - 1

Patikrinkime lygties šaknų teisingumą, kurią radome sprendimo metu. Tam gautus skaičius pakeičiame į pradinę lygtį: 3 (6 + 1) (6 - 3) = 6 (2 6 - 1) - 3 Ir 3 · (− 1 + 1) · (− 1 − 3) = (− 1) · (2 ​​· (− 1) − 1) − 3. Pirmuoju atveju 63 = 63 , antrajame 0 = 0 . Šaknys x=6 Ir x = −1 iš tikrųjų yra lygties, pateiktos pavyzdinėje sąlygoje, šaknys.

Atsakymas: 6 , − 1 .

Pažiūrėkime, ką reiškia „visos lygties laipsnis“. Mes dažnai susidursime su šiuo terminu tais atvejais, kai turime pavaizduoti visą lygtį algebrine forma. Apibrėžkime sąvoką.

5 apibrėžimas

Visos lygties laipsnis- tai laipsnis algebrinė lygtis, atitinka pradinę sveikųjų skaičių lygtį.

Jei pažvelgsite į lygtis iš aukščiau pateikto pavyzdžio, galite nustatyti: visos šios lygties laipsnis yra antras.

Jei mūsų kursas apsiribotų antrojo laipsnio lygčių sprendimu, temos aptarimas galėtų tuo ir baigtis. Bet tai nėra taip paprasta. Trečiojo laipsnio lygčių sprendimas yra kupinas sunkumų. O lygtims, aukštesnėms nei ketvirtasis laipsnis, nėra bendrosios formulėsšaknys. Šiuo atžvilgiu, norint išspręsti visas trečiojo, ketvirtojo ir kitų laipsnių lygtis, reikia naudoti daugybę kitų metodų ir metodų.

Dažniausiai naudojamas ištisų racionaliųjų lygčių sprendimo būdas yra pagrįstas faktorizavimo metodu. Veiksmų algoritmas šiuo atveju yra toks:

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės į kairę, kad įrašo dešinėje liktų nulis;
• Kairėje pusėje esančią išraišką pavaizduojame kaip veiksnių sandaugą, o tada pereiname prie kelių paprastesnių lygčių rinkinio.

4 pavyzdys

Raskite lygties (x 2 − 1) · (x 2 − 10 · x + 13) = 2 · x · (x 2 − 10 · x + 13) sprendinį.

Sprendimas

Perkelkite išraišką iš dešinės įrašo pusės į kairę su priešingas ženklas: (x 2 - 1) · (x 2 - 10 · x + 13) - 2 · x · (x 2 - 10 · x + 13) = 0. Kairiosios pusės konvertavimas į standartinės formos daugianarį yra netinkamas, nes taip gausime ketvirtojo laipsnio algebrinę lygtį: x 4 - 12 x 3 + 32 x 2 - 16 x - 13 = 0. Konvertavimo paprastumas nepateisina visų sunkumų sprendžiant tokią lygtį.

Daug lengviau eiti kitu keliu: išimkime jį iš skliaustų bendras daugiklis x 2 – 10 x + 13 . Taigi gauname formos lygtį (x 2 - 10 x + 13) (x 2 - 2 x - 1) = 0. Dabar gautą lygtį pakeičiame dviejų kvadratinių lygčių rinkiniu x 2 – 10 x + 13 = 0 Ir x 2 − 2 x − 1 = 0 ir raskite jų šaknis per diskriminantą: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Atsakymas: 5 + 2 3, 5 - 2 3, 1 + 2, 1 - 2.

Lygiai taip pat galime naudoti naujo kintamojo įvedimo metodą. Šis metodas leidžia pereiti prie lygiaverčių lygčių, kurių laipsniai yra mažesni už laipsnius pradinėje sveikųjų skaičių lygtyje.

5 pavyzdys

Ar lygtis turi šaknis? (x 2 + 3 x + 1) 2 + 10 = − 2 (x 2 + 3 x − 4)?

Sprendimas

Jei dabar bandysime visą racionalią lygtį redukuoti į algebrinę, gausime 4 laipsnio lygtį, kuri neturi racionalių šaknų. Todėl mums bus lengviau eiti kitu keliu: įvesti naują kintamąjį y, kuris pakeis išraišką lygtyje x 2 + 3 x.

Dabar dirbsime su visa lygtimi (y + 1) 2 + 10 = – 2 · (y – 4). Perkelkime dešinę lygties pusę į kairę su priešingu ženklu ir atliksime reikiamas transformacijas. Mes gauname: y 2 + 4 y + 3 = 0. Raskime kvadratinės lygties šaknis: y = – 1 Ir y = – 3.

Dabar atlikime atvirkštinį pakeitimą. Gauname dvi lygtis x 2 + 3 x = – 1 Ir x 2 + 3 · x = – 3 . Perrašykime juos į x 2 + 3 x + 1 = 0 ir x 2 + 3 x + 3 = 0. Naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę, kad surastume pirmosios lygties šaknis iš gautų: - 3 ± 5 2. Antrosios lygties diskriminantas yra neigiamas. Tai reiškia, kad antroji lygtis neturi realių šaknų.

Atsakymas:– 3 ± 5 2

Ištisos lygtys aukšti laipsniai gana dažnai susiduria su problemomis. Nereikia jų bijoti. Norėdami juos išspręsti, turite būti pasirengę naudoti nestandartinį metodą, įskaitant daugybę dirbtinių transformacijų.

Trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimas

Šios potemės svarstymą pradėsime nuo p (x) q (x) = 0 formos trupmeninių racionaliųjų lygčių sprendimo algoritmo, kur p(x) Ir q(x)– ištisos racionalios išraiškos. Kitų trupmeniškai racionalių lygčių sprendimas visada gali būti redukuojamas į nurodyto tipo lygčių sprendinį.

Dažniausiai naudojamas lygčių p (x) q (x) = 0 sprendimo būdas yra pagrįstas šiuo teiginiu: skaitinė trupmena u v, Kur v- tai skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, lygus nuliui tik tais atvejais, kai trupmenos skaitiklis yra lygus nuliui. Vadovaudamiesi aukščiau pateikto teiginio logika, galime teigti, kad lygties p (x) q (x) = 0 sprendinį galima redukuoti iki dviejų sąlygų: p(x)=0 Ir q(x) ≠ 0. Tai yra pagrindas sudaryti trupmeninių racionaliųjų lygčių, kurių forma p (x) q (x) = 0, sprendimo algoritmą:

• rasti visos racionalios lygties sprendimą p(x)=0;
• patikriname, ar tenkinama sąlyga sprendimo metu rastoms šaknims q(x) ≠ 0.

Jei ši sąlyga yra įvykdyta, tada rasta šaknis Jei ne, tada šaknis nėra problemos sprendimas.

6 pavyzdys

Raskime lygties 3 · x - 2 5 · x 2 - 2 = 0 šaknis.

Sprendimas

Turime reikalą su trupmenine racionalia lygtimi, kurios forma yra p (x) q (x) = 0, kurioje p (x) = 3 x − 2, q (x) = 5 x 2 − 2 = 0. Pradėkime spręsti tiesinę lygtį 3 x − 2 = 0. Šios lygties šaknis bus x = 2 3.

Patikrinkime rastą šaknį, ar ji atitinka sąlygą 5 x 2 - 2 ≠ 0. Norėdami tai padaryti, išraiškoje pakeiskite skaitinę reikšmę. Gauname: 5 · 2 3 2 - 2 = 5 · 4 9 - 2 = 20 9 - 2 = 2 9 ≠ 0.

Sąlyga įvykdyta. Tai reiškia, kad x = 2 3 yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: 2 3 .

Yra dar vienas būdas išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis p (x) q (x) = 0. Prisiminkite, kad ši lygtis yra lygiavertė visai lygčiai p(x)=0 pradinės lygties kintamojo x leistinų verčių diapazone. Tai leidžia mums naudoti šį algoritmą sprendžiant lygtis p (x) q (x) = 0:

• išspręskite lygtį p(x)=0;
• rasti kintamojo x leistinų verčių diapazoną;
• imame šaknis, esančias kintamojo x leistinų verčių diapazone, kaip norimas pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknis.

7 pavyzdys

Išspręskite lygtį x 2 - 2 x - 11 x 2 + 3 x = 0.

Sprendimas

Pirmiausia išspręskime kvadratinę lygtį x 2 − 2 x − 11 = 0. Norėdami apskaičiuoti jo šaknis, naudojame lyginio antrojo koeficiento šaknų formulę. Mes gauname D 1 = (− 1) 2 − 1 · (− 11) = 12 ir x = 1 ± 2 3 .

Dabar galime rasti pradinės lygties kintamojo x ODZ. Tai visi skaičiai, kuriems x 2 + 3 x ≠ 0. Tai tas pats kaip x (x + 3) ≠ 0, iš kur x ≠ 0, x ≠ − 3.

Dabar patikrinkime, ar šaknys x = 1 ± 2 3, gautos pirmajame sprendimo etape, yra leistinų kintamojo x verčių diapazone. Matome, kad jie ateina. Tai reiškia, kad pradinė trupmeninė racionali lygtis turi dvi šaknis x = 1 ± 2 3.

Atsakymas: x = 1 ± 2 3

Antrasis aprašytas sprendimo būdas yra paprastesnis nei pirmasis tais atvejais, kai lengvai randamas kintamojo x leistinų verčių diapazonas ir lygties šaknys p(x)=0 neracionalus. Pavyzdžiui, 7 ± 4 · 26 9. Šaknys gali būti racionalios, bet su dideliu skaitikliu arba vardikliu. Pavyzdžiui, 127 1101 Ir − 31 59 . Taip sutaupoma laiko tikrinant būklę q(x) ≠ 0: Daug lengviau pašalinti šaknis, kurios netinka pagal ODZ.

Tais atvejais, kai lygties šaknys p(x)=0 yra sveikieji skaičiai, p (x) q (x) = 0 formos lygtims spręsti tikslingiau naudoti pirmąjį iš aprašytų algoritmų. Greičiau raskite visos lygties šaknis p(x)=0, tada patikrinkite, ar tenkinama sąlyga q(x) ≠ 0, o ne rasti ODZ ir tada išspręsti lygtį p(x)=0 apie šį ODZ. Taip yra dėl to, kad tokiais atvejais dažniausiai lengviau patikrinti, nei surasti DZ.

8 pavyzdys

Raskite lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) x 5 - 15 x 4 + 57 x 3 - 13 x 2 + 26 x + 112 šaknis = 0.

Sprendimas

Pradėkime nuo visos lygties (2 x - 1) (x - 6) (x 2 - 5 x + 14) (x + 1) = 0 ir rasti jo šaknis. Norėdami tai padaryti, taikome lygčių sprendimo metodą faktorizuojant. Pasirodo, pradinė lygtis yra lygi keturių lygčių rinkiniui 2 x − 1 = 0, x − 6 = 0, x 2 − 5 x + 14 = 0, x + 1 = 0, iš kurių trys yra tiesinės ir vienas yra kvadratinis. Šaknų paieška: iš pirmosios lygties x = 1 2, nuo antrojo - x=6, iš trečio – x = 7 , x = – 2 , iš ketvirto – x = −1.

Patikrinkime gautas šaknis. Nustatykite ADL šiuo atveju Mums tai sunku, nes tam turėsime išspręsti penktojo laipsnio algebrinę lygtį. Bus lengviau patikrinti sąlygą, pagal kurią trupmenos vardiklis, esantis kairėje lygties pusėje, neturėtų eiti į nulį.

Paeiliui reiškinyje pakeisime kintamąjį x šaknimis x 5 – 15 x 4 + 57 x 3 – 13 x 2 + 26 x + 112 ir apskaičiuokite jo vertę:

1 2 5 - 15 1 2 4 + 57 1 2 3 - 13 1 2 2 + 26 1 2 + 112 = = 1 32 - 15 16 + 57 8 - 13 4 + 13 + 112 = 122 + 1 30 ;

6 5 − 15 · 6 4 + 57 · 6 3 − 13 · 6 2 + 26 · 6 + 112 = 448 ≠ 0 ;

7 5 - 15 · 7 4 + 57 · 7 3 - 13 · 7 2 + 26 · 7 + 112 = 0 ;

(− 2) 5 − 15 · (− 2) 4 + 57 · (− 2) 3 − 13 · (− 2) 2 + 26 · (− 2) + 112 = − 720 ≠ 0 ;

(− 1) 5 − 15 · (− 1) 4 + 57 · (− 1) 3 − 13 · (− 1) 2 + 26 · (− 1) + 112 = 0 .

Atliktas patikrinimas leidžia nustatyti, kad pradinės trupmeninės racionalios lygties šaknys yra 1 2, 6 ir − 2 .

Atsakymas: 1 2 , 6 , - 2

9 pavyzdys

Raskite trupmeninės racionalios lygties 5 x 2 - 7 x - 1 x - 2 x 2 + 5 x - 14 = 0 šaknis.

Sprendimas

Pradėkime dirbti su lygtimi (5 x 2 - 7 x - 1) (x - 2) = 0. Raskime jo šaknis. Mums lengviau įsivaizduoti šią lygtį kaip kvadratinių ir tiesines lygtis 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 Ir x − 2 = 0.

Norėdami rasti šaknis, naudojame kvadratinės lygties šaknų formulę. Iš pirmosios lygties gauname dvi šaknis x = 7 ± 69 10, o iš antrosios x = 2.

Mums bus gana sunku pakeisti šaknų reikšmę į pradinę lygtį, kad patikrintume sąlygas. Bus lengviau nustatyti kintamojo x ODZ. Šiuo atveju kintamojo x ODZ yra visi skaičiai, išskyrus tuos, kurių sąlyga yra įvykdyta x 2 + 5 x - 14 = 0. Gauname: x ∈ - ∞, - 7 ∪ - 7, 2 ∪ 2, + ∞.

Dabar patikrinkime, ar rastos šaknys priklauso kintamojo x leistinų verčių diapazonui.

Šaknys x = 7 ± 69 10 - priklauso, todėl jos yra pradinės lygties šaknys ir x = 2- nepriklauso, todėl tai yra pašalinė šaknis.

Atsakymas: x = 7 ± 69 10 .

Atskirai panagrinėkime atvejus, kai p (x) q (x) = 0 formos trupmeninės racionalios lygties skaitiklyje yra skaičius. Tokiais atvejais, jei skaitiklyje yra ne nulis, o kitas skaičius, lygtis neturės šaknų. Jei šis skaičius lygus nuliui, tada lygties šaknis bus bet koks skaičius iš ODZ.

10 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį – 3, 2 x 3 + 27 = 0.

Sprendimas

Ši lygtis neturės šaknų, nes trupmenos skaitiklyje kairėje lygties pusėje yra skaičius, kuris skiriasi nuo nulio. Tai reiškia, kad esant jokiai x reikšmei, problemos teiginyje pateiktos trupmenos reikšmė nebus lygi nuliui.

Atsakymas: jokių šaknų.

11 pavyzdys

Išspręskite lygtį 0 x 4 + 5 x 3 = 0.

Sprendimas

Kadangi trupmenos skaitiklyje yra nulis, lygties sprendimas bus bet kokia x reikšmė iš kintamojo x ODZ.

Dabar apibrėžkime ODZ. Jame bus visos x reikšmės, kurioms x 4 + 5 x 3 ≠ 0. Lygties sprendiniai x 4 + 5 x 3 = 0 yra 0 Ir − 5 , nes ši lygtis yra lygiavertė lygčiai x 3 (x + 5) = 0, o tai savo ruožtu yra lygiaverčiai dviejų lygčių deriniui x 3 = 0 ir x + 5 = 0, kur matomos šios šaknys. Darome išvadą, kad norimas priimtinų verčių diapazonas yra bet kuris x, išskyrus x = 0 Ir x = – 5.

Pasirodo, kad trupmeninė racionalioji lygtis 0 x 4 + 5 · x 3 = 0 turi begalinį skaičių sprendinių, kurie yra bet kokie skaičiai, išskyrus nulį ir -5.

Atsakymas: - ∞ , - 5 ∪ (- 5 , 0 ∪ 0 , + ∞

Dabar pakalbėkime apie trupmenines racionaliąsias lygtis savavališkas tipas ir jų sprendimo būdus. Jie gali būti parašyti kaip r(x) = s(x), Kur r(x) Ir s(x)– racionalios išraiškos, ir bent viena iš jų yra trupmeninė. Išsprendus tokias lygtis, išsprendžiamos lygtys, kurių forma yra p (x) q (x) = 0.

Jau žinome, kad lygiavertę lygtį galime gauti perkeldami išraišką iš dešinės lygties pusės į kairę su priešingu ženklu. Tai reiškia, kad lygtis r(x) = s(x) yra lygiavertis lygčiai r (x) − s (x) = 0. Taip pat jau aptarėme būdus, kaip racionalią išraišką paversti racionalia trupmena. Dėl to lygtį galime lengvai transformuoti r (x) − s (x) = 0į identišką formos p (x) q (x) racionaliąją trupmeną.

Taigi mes pereiname nuo pradinės trupmeninės racionalios lygties r(x) = s(x)į p (x) q (x) = 0 formos lygtį, kurią jau išmokome išspręsti.

Reikėtų atsižvelgti į tai, kad atliekant perėjimus iš r (x) − s (x) = 0į p(x)q(x) = 0 ir tada į p(x)=0 galime neatsižvelgti į kintamojo x leistinų verčių diapazono išplėtimą.

Visai įmanoma, kad pradinė lygtis r(x) = s(x) ir lygtis p(x)=0 dėl transformacijų jie nustos būti lygiaverčiai. Tada lygties sprendimas p(x)=0 gali suteikti mums šaknų, kurios bus svetimos r(x) = s(x). Šiuo atžvilgiu kiekvienu atveju būtina atlikti patikrinimą naudojant bet kurį iš aukščiau aprašytų metodų.

Kad jums būtų lengviau išnagrinėti temą, mes apibendriname visą informaciją į algoritmą, skirtą išspręsti trupmeninę racionaliąją formos lygtį r(x) = s(x):

• perkeliame išraišką iš dešinės pusės su priešingu ženklu, o dešinėje gauname nulį;
• pradinę išraišką paversti racionalia trupmena p (x) q (x) , nuosekliai atliekant operacijas su trupmenomis ir daugianariais;
• išspręskite lygtį p(x)=0;
• pašalines šaknis nustatome patikrindami jų priklausymą ODZ arba pakeisdami pradinę lygtį.

Vizualiai veiksmų grandinė atrodys taip:

r (x) = s (x) → r (x) - s (x) = 0 → p (x) q (x) = 0 → p (x) = 0 → pašalinimas IŠORINĖS ŠAKNYS

12 pavyzdys

Išspręskite trupmeninę racionaliąją lygtį x x + 1 = 1 x + 1 .

Sprendimas

Pereikime prie lygties x x + 1 - 1 x + 1 = 0. Kairėje lygties pusėje esančią trupmeninę racionaliąją išraišką transformuokime į formą p (x) q (x) .

Norėdami tai padaryti, turėsime sumažinti racionaliąsias trupmenas iki bendro vardiklio ir supaprastinti išraišką:

x x + 1 - 1 x - 1 = x x - 1 (x + 1) - 1 x (x + 1) x (x + 1) = = x 2 - x - 1 - x 2 - x x · (x + 1) = - 2 · x - 1 x · (x + 1)

Norėdami rasti lygties šaknis - 2 x - 1 x (x + 1) = 0, turime išspręsti lygtį − 2 x − 1 = 0. Mes gauname vieną šaknį x = - 1 2.

Viskas, ką turime padaryti, tai patikrinti naudodami bet kurį iš metodų. Pažvelkime į juos abu.

Pakeiskime gautą reikšmę pradine lygtimi. Gauname - 1 2 - 1 2 + 1 = 1 - 1 2 + 1. Mes pasiekėme teisingą skaitinę lygybę − 1 = − 1 . Tai reiškia, kad x = − 1 2 yra pradinės lygties šaknis.

Dabar patikrinkime ODZ. Nustatykime kintamojo x leistinų verčių diapazoną. Tai bus visa skaičių rinkinys, išskyrus −1 ir 0 (esant x = −1 ir x = 0, trupmenų vardikliai išnyksta). Šaknis, kurį gavome x = − 1 2 priklauso ODZ. Tai reiškia, kad tai yra pradinės lygties šaknis.

Atsakymas: − 1 2 .

13 pavyzdys

Raskite lygties x 1 x + 3 - 1 x = - 2 3 · x šaknis.

Sprendimas

Mes susiduriame su trupmenine racionalia lygtimi. Todėl veiksime pagal algoritmą.

Perkelkime išraišką iš dešinės pusės į kairę su priešingu ženklu: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 x = 0

Atlikime reikiamas transformacijas: x 1 x + 3 - 1 x + 2 3 · x = x 3 + 2 · x 3 = 3 · x 3 = x.

Prieiname prie lygties x = 0. Šios lygties šaknis lygi nuliui.

Patikrinkime, ar ši šaknis yra pašalinė iš pradinės lygties. Pakeiskime reikšmę į pradinę lygtį: 0 1 0 + 3 - 1 0 = - 2 3 · 0. Kaip matote, gauta lygtis neturi prasmės. Tai reiškia, kad 0 yra pašalinė šaknis, o pradinė trupmeninė racionali lygtis neturi šaknų.

Atsakymas: jokių šaknų.

Jei į algoritmą neįtraukėme kitų lygiaverčių transformacijų, tai nereiškia, kad jų negalima naudoti. Algoritmas yra universalus, tačiau jis skirtas padėti, o ne riboti.

14 pavyzdys

Išspręskite lygtį 7 + 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 7 24

Sprendimas

Lengviausias būdas yra išspręsti pateiktą trupmeninę racionaliąją lygtį pagal algoritmą. Tačiau yra ir kitas būdas. Pasvarstykime.

Iš dešinės ir kairės pusės atimkite 7, gausime: 1 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 7 24.

Iš to galime daryti išvadą, kad kairėje pusėje esanti vardiklio išraiška turi būti lygi dešiniosios pusės skaičiaus atvirkštinei daliai, tai yra, 3 + 1 2 + 1 5 - x 2 = 24 7.

Iš abiejų pusių atimkite 3: 1 2 + 1 5 - x 2 = 3 7. Analogiškai 2 + 1 5 - x 2 = 7 3, iš kur 1 5 - x 2 = 1 3, o tada 5 - x 2 = 3, x 2 = 2, x = ± 2

Patikrinkime, ar rastos šaknys yra pradinės lygties šaknys.

Atsakymas: x = ± 2

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

\(\bullet\) Racionalioji lygtis yra lygtis, pavaizduota forma \[\dfrac(P(x))(Q(x))=0\], kur \(P(x), \Q(x)\ ) - daugianariai (įvairių laipsnių „X“ suma, padauginta iš įvairių skaičių).
Kairėje lygties pusėje esanti išraiška vadinama racionalia išraiška.
Racionalios lygties EA (priimtinų reikšmių diapazonas) yra visos \(x\) reikšmės, kuriose vardiklis NEdingsta, tai yra, \(Q(x)\ne 0\) .
\(\bullet\) Pavyzdžiui, lygtys \[\dfrac(x+2)(x-3)=0,\qquad \dfrac 2(x^2-1)=3, \qquad x^5-3x=2\] yra racionalios lygtys.
Pirmajame ODZ lygtis– tai visi \(x\) tokie, kad \(x\ne 3\) (rašyk \(x\in (-\infty;3)\cup(3;+\infty)\)); antroje lygtyje – tai visi \(x\) tokie, kad \(x\ne -1; x\ne 1\) (įrašykite \(x\in (-\infty;-1)\puodelis(-1;1)\puodelis(1;+\infty)\)); ir trečioje lygtyje nėra jokių ODZ apribojimų, tai yra, ODZ yra visas \(x\) (jie rašo \(x\in\mathbb(R)\)).
\(\bullet\) teoremos: 1) Dviejų veiksnių sandauga lygi nuliui tada ir tik tada, kai vienas iš jų yra lygus nuliui, o kitas nepraranda reikšmės, todėl lygtis \(f(x)\cdot g(x)=0\ ) yra lygiavertis sistemai 1 tekstas (ODZ lygtys) \pabaiga (atvejai)\] 2) trupmena lygi nuliui tada ir tik tada, kai skaitiklis lygus nuliui, o vardiklis nelygus nuliui, todėl lygtis \(\dfrac(f(x))(g(x))=0\ ) yra lygiavertis lygčių sistemai\[\begin(cases) f(x)=0\\ g(x)\ne 0 \end(cases)\]

\(\bullet\) Pažvelkime į kelis pavyzdžius.
1) Išspręskite lygtį \(x+1=\dfrac 2x\) .
Raskime šios lygties ODZ - tai yra \(x\ne 0\) (nes \(x\) yra vardiklyje). Tai reiškia, kad ODZ galima parašyti taip: . Perkelkime visus terminus į vieną dalį ir sujunkime juos į bendrą vardiklį:

\[\dfrac((x+1)\cdot x)x-\dfrac 2x=0\quad\Leftright arrow\quad \dfrac(x^2+x-2)x=0\quad\Leftrightarrow\quad \begin( atvejai) x^2+x-2=0\\x\ne 0\end(atvejai)\] Pirmosios sistemos lygties sprendimas bus \(x=-2, x=1\) . Matome, kad abi šaknys yra ne nulis. Todėl atsakymas yra toks: \(x\in \(-2;1\)\) . 2) Išspręskite lygtį \(\left(\dfrac4x - 2\right)\cdot (x^2-x)=0\).
.

' ' 0 \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta) \right.\\ x\ne 0 \end(cases) \quad \Leftright arrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(surinkta)\begin(sulyginta) &x =2\\ &x=1\\ &x=0 \pabaiga(sulygiuota) \pabaiga(surinkta) \dešinė.\\ x\ne 0 \pabaiga(atvesta) \quad \Leftright rodrow \quad \left[ \begin(surinkta) \begin(sulygiuotas) &x=2\\ &x=1 \end(sulygiuotas) \end(surinktas) \right.\] Iš tiesų, nepaisant to, kad \(x=0\) yra antrojo veiksnio šaknis, jei pakeisite \(x=0\) į pradinę lygtį, tai nebus prasminga, nes išraiška \(\dfrac 40\) neapibrėžta.
Taigi šios lygties sprendimas yra \(x\in \(1;2\)\) .

3) Išspręskite lygtį \[\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1)\] Mūsų lygtyje \(4x^2-1\ne 0\) , iš kurios \((2x-1)(2x+1)\ne 0\) , tai yra \(x\ne -\frac12; \frac12 \) .
Perkelkime visus terminus į kairę pusę ir suveskime juos į bendrą vardiklį:

\(\dfrac(x^2+4x)(4x^2-1)=\dfrac(3-x-x^2)(4x^2-1) \quad \Rodyklė į kairę \quad \dfrac(x^2+4x- 3+x+x^2)(4x^2-1)=0\quad \Leftright rodyklė \quad \dfrac(2x^2+5x-3)(4x^2-1)=0 \quad \Leftright rodyklė\)

' )(x+3)=0\\ (2x-1)(2x+1)\ne 0 \end(atvejai) \quad \Leftright rodrow \quad \begin(cases) \left[ \begin(surinkta) \begin( sulygiuotas) &x=\dfrac12\\ &x=-3 \pabaiga (sulygiuota)\pabaiga (surinkta) \right.\\ x\ne \dfrac 12\\ x\ne -\dfrac 12 \end(cases) \quad \ Rodyklė į kairę į dešinę \quad x=-3\)

Atsakymas: \(x\in \(-3\)\) .

komentuoti. Jei atsakymą sudaro baigtinis skaičių rinkinys, juos galima rašyti atskiriant kabliataškiais riestiniuose skliaustuose, kaip parodyta ankstesniuose pavyzdžiuose.

Su problemomis, reikalaujančiomis spręsti racionalias lygtis, vieningame valstybiniame matematikos egzamine susiduriama kasmet, tad ruošdamiesi išlaikyti atestacinį egzaminą abiturientai tikrai turėtų savarankiškai kartoti teoriją šia tema. Absolventai, laikantys ir pagrindinį, ir specializuotą egzaminą, turi sugebėti susidoroti su tokiomis užduotimis. Įsisavinęs teoriją ir susidorojęs su praktiniai pratimai tema „Racionalios lygtys“ studentai galės išspręsti užduotis atlikdami bet kokį veiksmų skaičių ir tikėtis, kad gaus konkursinius balus pagal vieningo valstybinio egzamino išlaikymo rezultatus.

Kaip pasiruošti egzaminui naudojantis Shkolkovo edukaciniu portalu?

Kartais rasti šaltinį, kuris pilnai pateiktų pagrindinę matematinių problemų sprendimo teoriją, yra gana sunku. Vadovėlio gali tiesiog nebūti po ranka. O rasti reikiamas formules kartais gali būti gana sunku net internete.

Švietimo portalas „Shkolkovo“ atleis jus nuo būtinybės ieškoti reikalingos medžiagos ir padės gerai pasiruošti išlaikyti sertifikavimo testą.

Mūsų specialistai paruošė ir pateikė visą reikalingą teoriją tema „Racionalios lygtys“ prieinamiausia forma. Išstudijavę pateiktą informaciją, studentai galės užpildyti žinių spragas.

Už sėkmingas pasiruošimas Vieningam valstybiniam egzaminui abiturientams reikia ne tik atnaujinti atmintį apie pagrindinę teorinę medžiagą tema „Racionalios lygtys“, bet ir pasipraktikuoti atlikti užduotis naudojant konkrečius pavyzdžius. Didelis pasirinkimas užduotys pateikiamos skiltyje „Katalogas“.

Kiekvienam pratimui svetainėje mūsų ekspertai surašė sprendimo algoritmą ir nurodė teisingą atsakymą. Studentai gali praktikuotis spręsdami įvairaus sunkumo problemas, priklausomai nuo jų įgūdžių lygio. Atitinkamo skyriaus užduočių sąrašas nuolat pildomas ir atnaujinamas.

Studijuoti teorinę medžiagą ir tobulinti problemų sprendimo įgūdžius tema „Racionalios lygtys“, panašiomis temomis kurios yra įtrauktos į Vieningo valstybinio egzamino testai, galima atlikti internetu. Jei reikia, bet kuri iš pateiktų užduočių gali būti įtraukta į skyrių „Mėgstamiausi“. Dar kartą pakartojęs pagrindinę teoriją tema „Racionalios lygtys“, gimnazistas ateityje galės grįžti prie problemos ir aptarti jos sprendimo eigą su mokytoju algebros pamokoje.

Iki šiol mes sprendėme tik sveikųjų skaičių lygtis nežinomojo atžvilgiu, tai yra lygtis, kurių vardikliuose (jei tokių yra) nežinomasis nėra.

Dažnai tenka spręsti lygtis, kurių vardikliuose yra nežinomasis: tokios lygtys vadinamos trupmeninėmis lygtimis.

Norėdami išspręsti šią lygtį, padauginame abi puses iš tai yra iš daugianario, kuriame yra nežinomasis. Ar naujoji lygtis bus lygiavertė šiai? Norėdami atsakyti į klausimą, išspręskime šią lygtį.

Abi puses padauginus iš , gauname:

Išspręsdami šią pirmojo laipsnio lygtį, randame:

Taigi (2) lygtis turi vieną šaknį

Pakeitę jį į (1) lygtį, gauname:

Tai reiškia, kad tai taip pat yra (1) lygties šaknis.

(1) lygtis neturi kitų šaknų. Mūsų pavyzdyje tai matyti, pavyzdžiui, iš to, kad (1) lygtyje

Kaip nežinomas daliklis turi būti lygus dividendui 1, padalintam iš koeficiento 2, tai yra

Taigi (1) ir (2) lygtys turi vieną šaknį. Tai reiškia, kad jos yra lygiavertės.

2. Išspręskime šią lygtį:

Paprasčiausias bendras vardiklis: ; padauginkite iš jos visus lygties narius:

Po sumažinimo gauname:

Išplėskime skliaustus:

Turėdami panašias sąlygas, turime:

Išspręsdami šią lygtį, randame:

Pakeitę į (1) lygtį, gauname:

Kairėje pusėje gavome posakius, kurie neturi prasmės.

Tai reiškia, kad (1) lygtis nėra šaknis. Iš to išplaukia, kad (1) ir lygtys nėra lygiavertės.

Šiuo atveju jie sako, kad (1) lygtis įgijo pašalinę šaknį.

Palyginkime (1) lygties sprendinį su anksčiau nagrinėtų lygčių sprendiniu (žr. § 51). Spręsdami šią lygtį, turėjome atlikti dvi anksčiau neregėtas operacijas: pirma, abi lygties puses padauginome iš išraiškos, kurioje yra nežinomasis (bendrasis vardiklis), ir antra, sumažinome algebrines trupmenas faktoriais, kuriuose yra nežinomasis. .

Lyginant (1) lygtį su (2) lygtimi, matome, kad ne visos x reikšmės, kurios galioja (2) lygčiai, galioja (1).

Būtent skaičiai 1 ir 3 nėra priimtinos (1) lygties nežinomojo reikšmės, tačiau dėl transformacijos jie tapo priimtini (2) lygčiai. Vienas iš šių skaičių pasirodė esąs (2) lygties sprendimas, bet, žinoma, jis negali būti (1) lygties sprendimas. (1) lygtis neturi sprendinių.

Šis pavyzdys rodo, kad padauginus abi lygties puses iš koeficiento, kuriame yra nežinomasis, ir atšaukti algebrinės trupmenos Gali būti gauta lygtis, kuri nėra lygiavertė šiai, būtent: gali atsirasti pašalinių šaknų.

Iš čia darome tokią išvadą. Sprendžiant lygtį, kurios vardiklyje yra nežinomasis, gautos šaknys turi būti patikrintos pakeičiant pradinę lygtį. Pašalinės šaknys turi būti išmestos.