एक नियम है कि शून्य के अलावा कोई भी संख्या शून्य डिग्री के बराबर होगी:
20 = 1; 1.50 = 1; 100000 = 1

हालांकि, ऐसा क्यों है?

जब संख्या को प्राकृतिक आकृति के अनुपात में उत्पन्न किया जाता है, तो इसका मतलब यह होता है कि यह एक संकेतक के रूप में कई बार गुणा किया जाता है:
43 = 4...

0 0

बीजगणित में, शून्य डिग्री का निर्माण आम है। डिग्री 0 क्या है? शून्य डिग्री में क्या संख्या बनाई जा सकती है, और कौन सा नहीं?

परिभाषा।

शून्य की अपवाद के साथ शून्य डिग्री के लिए कोई भी संख्या, एक के बराबर:

इस प्रकार, जो भी संख्या डिग्री 0 है, परिणाम हमेशा एक ही होगा - एक।

और 1 डिग्री 0, और 2 डिग्री 0 तक, और कोई अन्य संख्या एक संपूर्ण, आंशिक, सकारात्मक, नकारात्मक, तर्कसंगत, तर्कहीन है - जब शून्य डिग्री एक इकाई प्रदान करती है।

एकमात्र अपवाद शून्य है।

शून्य डिग्री में शून्य निर्धारित नहीं है, इस तरह की अभिव्यक्ति समझ में नहीं आता है।

यही है, शून्य को छोड़कर किसी भी संख्या को शून्य डिग्री में बनाया जा सकता है।

यदि, डिग्री के साथ अभिव्यक्ति को सरल बनाते समय, संख्या शून्य डिग्री में प्राप्त की जाती है, इसे एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:

अगर के साथ ...

0 0

स्कूल कार्यक्रम के हिस्से के रूप में, ऐसा माना जाता है कि अभिव्यक्ति का मूल्य $% 0 ^ 0 $% परिभाषित नहीं किया गया है।

आधुनिक गणित के दृष्टिकोण से, यह मानना \u200b\u200bसुविधाजनक है कि $% 0 ^ 0 \u003d 1 $%। यहां विचार अगला है। $% P_n \u003d x_1x_2 \\ ldots x_n $% टाइप की संख्या के $% n $% का उत्पाद बनें। सभी $% n \\ ge2 $% के लिए, $% p_n \u003d x_1x_2 \\ ldots x_n \u003d (x_1x_2 \\ ldots x_ (n - 1)) की समानता x_n \u003d p_ (n - 1) x_n $% की जाती है। इस समानता को एक अर्थ और $% n \u003d 1 $% पर विचार करना सुविधाजनक है, $% p_0 \u003d 1 $% पर विश्वास करना। यहां तर्क यह है: कार्यों की गणना, हम पहले 1 लेते हैं, और फिर प्रभावी रूप से $% x_1 $%, $% x_2 $%, ..., $% x_n $% पर। यह एल्गोरिदम है जिसका उपयोग तब किया जाता है जब प्रोग्राम लिखे जाने पर काम लिखे जा रहे हैं। अगर किसी कारण से लॉग नहीं हुआ, तो काम एक के बराबर रहा।

दूसरे शब्दों में, यह "0 पनडुब्बियों के काम" के रूप में इस तरह की चीज़ों का अर्थ रखने पर विचार करना सुविधाजनक है, इसे परिभाषा के अनुसार परिभाषा के अनुसार। इस मामले में, आप "खाली काम" के बारे में भी बात कर सकते हैं। अगर हम इस पर कुछ घरों में हैं ...

0 0

शून्य - यह शून्य है। लगभग बोलते हुए, संख्या की किसी भी डिग्री एकता का एक टुकड़ा है कि यह संख्या है। तीसरे में दो, मान लीजिए, यह 1 * 2 * 2 * 2 है, दो में से पहले - 1/2। और फिर यह आवश्यक है कि सकारात्मक डिग्री से नकारात्मक और इसके विपरीत संक्रमण में कोई छेद न हो।

x ^ n * x ^ (- n) \u003d 1 \u003d x ^ (n-n) \u003d x ^ 0

यह पूरी बात है।

बस और समझ, धन्यवाद

x ^ 0 \u003d (x ^ 1) * (x ^ (- 1)) \u003d (1 / x) * (x / 1) \u003d 1

यह उदाहरण के लिए आवश्यक है, बस कुछ सूकों के लिए जो सकारात्मक संकेतकों के लिए मान्य हैं - उदाहरण के लिए, x ^ n * x ^ m \u003d x ^ (m + n) - अभी भी मान्य थे।
वही नकारात्मक डिग्री के साथ-साथ तर्कसंगत (यानी, उदाहरण के लिए 5 से ग्रेड 3/4 तक की परिभाषा पर लागू होता है)

\u003e और आपको इसकी ज़रूरत क्यों है?
उदाहरण के लिए, आंकड़ों और थियारे में अक्सर डिग्री से शून्य के साथ खेला जाता है।

और नकारात्मक डिग्री आपके साथ हस्तक्षेप नहीं करती है?
...

0 0

हम डिग्री के गुणों पर विचार करना जारी रखते हैं, उदाहरण के लिए, 16: 8 \u003d 2। 16 \u003d 24, और 8 \u003d 23 के बाद से, विभाजन को घातीय रूप में 24: 23 \u003d 2 के रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन यदि हम प्रदर्शकों को घटा देते हैं, तो 24: 23 \u003d 21। इस प्रकार, हमें यह पहचानना होगा कि 2 और 21 वही हैं, इसलिए, 21 \u003d 2।

एक ही नियम किसी अन्य घातीय संख्या पर लागू होता है, इसलिए, सामान्य रूप में एक नियम तैयार करना संभव है:

पहली डिग्री के लिए बनाए गए किसी भी संख्या अपरिवर्तित बनी हुई है।

इस निष्कर्ष ने आपको आश्चर्यचकित कर दिया होगा। आप अभी भी अभिव्यक्ति के अर्थ को किसी भी तरह से समझ सकते हैं 21 \u003d 2, हालांकि अभिव्यक्ति "एक संख्या दो स्वयं को गुणा" बल्कि अजीब लगता है। लेकिन अभिव्यक्ति 20 का अर्थ है "दो संख्या नहीं, ...

0 0

परिभाषाएँ:

1. शून्य डिग्री

शून्य के अलावा कोई भी संख्या, शून्य डिग्री के बराबर एक के बराबर है। शून्य से शून्य डिग्री

2. शून्य के अलावा अन्य प्राकृतिक डिग्री

कोई भी संख्या x, प्राकृतिक डिग्री एन में बनाया गया, शून्य से अलग, गुणा एन संख्या x के बराबर

3.1 शून्य के अलावा प्राकृतिक सीमा की जड़

प्राकृतिक डिग्री एन की जड़, शून्य से अलग, किसी भी सकारात्मक संख्या x से एक सकारात्मक संख्या वाई है, जो, डिग्री एन में खड़ा होने पर, प्रारंभिक संख्या x देता है

3.2 विषम प्राकृतिक डिग्री की जड़

किसी भी संख्या x से विषम प्राकृतिक डिग्री एन की जड़ ऐसी संख्या वाई है, जो, जब डिग्री एन में खड़ी होती है, प्रारंभिक संख्या x देता है

3.3 किसी भी प्राकृतिक डिग्री की जड़ एक आंशिक डिग्री के रूप में

किसी भी प्राकृतिक डिग्री एन की जड़ का निष्कर्षण, शून्य से अलग, किसी भी संख्या x से एक ही बात है कि इस संख्या का निर्माण आंशिक डिग्री 1 / एन में x

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हैलो, प्रिय रसेल!

अवधारणा की शुरूआत के साथ, ऐसी प्रविष्टि है: "अभिव्यक्ति मान ^ 0 \u003d 1"! यह डिग्री की तार्किक अवधारणा के कारण और न ही थोड़ा अलग है!
यह एक जवान आदमी सार को पाने की कोशिश कर रहा है जब यह स्मारक हो गया! लेकिन ऐसी चीजें हैं जिन्हें केवल माना जाना चाहिए!
जब आप सदियों पहले पहले से ही खुलते हैं तो आप केवल एक नया गणित तैयार कर सकते हैं!
बेशक, अगर हम यह बताते हैं कि आप "इस की दुनिया से नहीं" हैं और आपको शेष पापी से अधिक दिया जाता है!

नोट: अन्ना मिशेवॉय को सिद्ध नहीं साबित करने का प्रयास है! भी आ रहा है!
लेकिन एक बड़ा "लेकिन" है - इसके प्रमाण में कोई आवश्यक तत्व नहीं है: शून्य को विभाजित करने का मामला!

अपने आप को देखो क्या होता है: 0 ^ 1/0 ^ 1 \u003d 0/0 !!!

लेकिन शून्य पर विभाजित करना असंभव है!

कृपया ध्यान से कृपया!

बहुत सारी शुभकामनाओं और नकदी की खुशी के साथ ...

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प्रथम स्तर

डिग्री और गुण। संपूर्ण गाइड (2019)

आपको क्यों चाहिए? वे आपके पास कहां आएंगे? आपको अपने अध्ययन पर समय बिताने की आवश्यकता क्यों है?

डिग्री के बारे में सब कुछ जानने के लिए, रोजमर्रा की जिंदगी में अपने ज्ञान का उपयोग करने के तरीके के बारे में उन्हें क्या चाहिए इस आलेख को पढ़ें।

और, ज़ाहिर है, डिग्री का ज्ञान आपको ओगे या ईज के सफल आत्मसमर्पण के करीब लाएगा और अपने सपनों के विश्वविद्यालय में प्रवेश करेगा।

चलो चलो ... (चले गए!)

महत्वपूर्ण टिप्पणी! यदि सूत्रों के बजाय आप Abracadabra देखते हैं, कैश साफ करें। ऐसा करने के लिए, CTRL + F5 (Windows पर) या CMD + R (मैक पर) पर क्लिक करें।

प्रथम स्तर

यह अभ्यास एक ही गणितीय ऑपरेशन है जो अतिरिक्त, घटाव, गुणा या विभाजन के रूप में है।

अब मैं सभी मानव भाषा को बहुत ही सरल उदाहरणों पर समझाऊंगा। ध्यान दें। प्राथमिक के उदाहरण, लेकिन महत्वपूर्ण चीजों को समझाते हुए।

चलो इसके साथ शुरू करते हैं।

यहां समझाने के लिए कुछ भी नहीं है। आप सभी सब कुछ जानते हैं: हम आठ लोग हैं। हर किसी के पास कोला की दो बोतलें होती हैं। कोला कितना है? दाएं - 16 बोतलें।

अब गुणा।

कोला के साथ एक ही उदाहरण अलग-अलग रिकॉर्ड किया जा सकता है :. गणित - लोग चालाक और आलसी। वे पहले कुछ पैटर्न नोटिस करते हैं, और फिर उन्हें "गिनने" के तरीके का आविष्कार करते हैं। हमारे मामले में, उन्होंने देखा कि आठ लोगों में से प्रत्येक को कोला की बोतलें थीं और गुणा नामक रिसेप्शन के साथ आए। सहमत हैं, इसे आसान और तेज़ माना जाता है।

तो, तेजी से, आसान और गलतियों के बिना, आपको बस याद रखने की जरूरत है तालिका गुणा। बेशक, आप सबकुछ धीरे-धीरे, कठिन और गलतियों कर सकते हैं! परंतु…

यहां गुणा तालिका है। दोहराएं।

और दूसरा, अधिक सुंदर:

और आलसी गणितज्ञों के साथ अन्य चालें आईं? सही - निर्माण.

निर्माण

यदि आपको संख्या को पांच बार गुणा करने की आवश्यकता है, तो गणित का कहना है कि आपको पांचवीं डिग्री में इस संख्या को बनाने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, । गणित याद रखें कि पांचवीं डिग्री में दो हैं। और वे दिमाग में ऐसे कार्यों को हल करते हैं - तेज़, आसान और त्रुटियों के बिना।

इसके लिए आपको केवल आवश्यकता है याद रखें कि संख्याओं की डिग्री की तालिका में रंग में क्या हाइलाइट किया गया है। मान लीजिए, यह आपके जीवन को बहुत सुविधाजनक बना देगा।

वैसे, दूसरी डिग्री क्यों कहा जाता है वर्ग संख्या, और तीसरा - क्यूबा? इसका क्या मतलब है? बहुत अच्छा सवाल। अब आपके और वर्गों और क्यूबा के लिए होगा।

लाइफ नंबर 1 से उदाहरण

चलो एक वर्ग के साथ या संख्या की दूसरी डिग्री से शुरू करते हैं।

मीटर पर मीटर आकार के एक वर्ग पूल की कल्पना करें। पूल आपके डच पर है। गर्मी और वास्तव में तैरना चाहते हैं। लेकिन ... नीचे के बिना पूल! आपको पूल टाइल्स के नीचे स्टोर करने की आवश्यकता है। आपको टाइल्स की कितनी आवश्यकता है? इसे निर्धारित करने के लिए, आपको पूल के नीचे के क्षेत्र को जानने की आवश्यकता है।

आप बस एक उंगली के साथ गणना कर सकते हैं, कि पूल के नीचे मीटर प्रति मीटर एक मीटर क्यूब्स होते हैं। यदि आपके पास मीटर के लिए मीटर टाइल है, तो आपको टुकड़ों की आवश्यकता होगी। यह आसान है ... लेकिन आपने इतनी टाइल कहां देखी? टाइल देखने की अधिक संभावना है और फिर "गिनती करने के लिए उंगली" यातना। फिर आपको गुणा करना होगा। तो, पूल के नीचे के एक तरफ, हम टाइल्स (टुकड़े) और अन्य बहुत टाइल्स पर फिट बैठते हैं। गुणा पर, आपको टाइलें मिलेंगी ()।

क्या आपने देखा कि पूल के नीचे के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, क्या हमने आपके द्वारा समान संख्या को गुणा किया है? इसका क्या मतलब है? यह एक ही संख्या से गुणा किया जाता है, हम "विलुप्त होने का निर्माण" का लाभ उठा सकते हैं। (बेशक, जब आपके पास केवल दो संख्याएं होती हैं, तो उन्हें गुणा करें या उन्हें डिग्री में उठाएं। लेकिन यदि आपके पास उनमें से बहुत कुछ है, तो गणना के मामले में उन्हें बढ़ाने के लिए बहुत आसान है, बहुत कम। परीक्षा के लिए, बहूत ज़रूरी है)।
तो दूसरी डिग्री से तीस ()। या हम कह सकते हैं कि वर्ग में तीस होगा। दूसरे शब्दों में, संख्या की दूसरी डिग्री हमेशा एक वर्ग के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। और इसके विपरीत, यदि आप एक वर्ग देखते हैं - यह हमेशा कुछ संख्या की दूसरी डिग्री है। वर्ग दूसरी डिग्री संख्या की छवि है।

जीवन संख्या 2 से उदाहरण

यहां कार्य है, संख्या के वर्ग के साथ एक शतरंज के साथ कितने वर्गों की गणना करें ... कोशिकाओं के एक तरफ और दूसरी तरफ भी। उनकी मात्रा की गणना करने के लिए, आपको आठ या गुणा करने की आवश्यकता है ... यदि आप ध्यान देते हैं कि शतरंज पक्ष का एक वर्ग है, तो आप आठ प्रति वर्ग बना सकते हैं। यह कोशिकाओं को बदल देता है। () इसलिए?

लाइफ नंबर 3 से उदाहरण

अब एक घन या संख्या की तीसरी डिग्री। एक ही पूल। लेकिन अब आपको यह जानने की जरूरत है कि इस पूल में कितना पानी भरना होगा। आपको वॉल्यूम की गणना करने की आवश्यकता है। (वैसे, वॉल्यूम्स और तरल पदार्थ, घन मीटर में मापा जाता है। अचानक, वास्तव में?) एक पूल ड्रा: मीटर आकार के नीचे और मीटर की गहराई और गिनने की कोशिश करें कि मीटर पर मीटर के आकार का कितना क्यूब्स होगा अपना पूल दर्ज करें।

अपनी उंगली और गिनती को सही दिखाओ! एक बार, दो, तीन, चार ... बीस दो, बीस तीन ... यह कितना हुआ? नीचे नहीं आया? अपनी उंगली गिनने में मुश्किल है? इसलिए कि! गणितज्ञों से एक उदाहरण लें। इसलिए वे आलसी हैं, इसलिए ध्यान दिया गया है कि पूल की मात्रा की गणना करने के लिए, एक दूसरे को लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई में गुणा करना आवश्यक है। हमारे मामले में, पूल की मात्रा क्यूब्स के बराबर होगी ... सत्य के लिए यह आसान है?

और अब कल्पना कीजिए, जहां तक \u200b\u200bगणित आलसी और चालाक हैं, अगर वे सरलीकृत हैं। सभी एक कार्रवाई के लिए लाया। उन्होंने देखा कि लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर है और यह वही संख्या स्वयं ही अपने आप को वर्निम करती है ... और इसका क्या अर्थ है? इसका मतलब है कि आप डिग्री का लाभ उठा सकते हैं। तो, आपने अपनी उंगली के साथ क्या सोचा, वे एक कार्यवाही में करते हैं: क्यूबा में तीन बराबर है। यह लिखा गया है :.

यह केवल बनी हुई है टेबल डिग्री याद रखें। यदि आप निश्चित रूप से, गणित के रूप में एक ही आलसी और चालाक हैं। यदि आप बहुत काम करना और गलतियां करना पसंद करते हैं - तो आप अपनी उंगली की गिनती जारी रख सकते हैं।

खैर, आखिरकार आपको यह समझाने के लिए कि डिग्री लोदी और कुनियों के साथ अपनी जानकारियों की समस्याओं को हल करने के लिए आया था, न कि आपको समस्याएं पैदा न करें, यहां जीवन से एक और कुछ उदाहरण हैं।

लाइफ नंबर 4 से उदाहरण

आपके पास एक लाख रूबल हैं। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आप हर मिलियन एक और मिलियन कमाते हैं। यही है, हर मिलियन प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में दोगुना हो जाएगा। वर्षों में आपके पास कितना पैसा होगा? यदि आप अब बैठे हैं और "आप अपनी उंगली सोचते हैं", तो आप एक बहुत मेहनती व्यक्ति हैं और बेवकूफ। लेकिन सबसे अधिक संभावना है कि आप कुछ सेकंड में जवाब देंगे, क्योंकि आप स्मार्ट हैं! तो, पहले वर्ष में - दो गुणा दो ... दूसरे वर्ष में - क्या हुआ, तीसरे वर्ष, एक और दो ... बंद करो! आपने देखा कि संख्या ही गुणा करती है। तो, पांचवीं डिग्री में दो - एक लाख! और अब कल्पना करें कि आपके पास एक प्रतियोगिता है और इन मिलियन को वह प्राप्त होगा जो तेजी से पाएगा ... संख्याओं की डिग्री याद रखने के लायक है, आपको क्या लगता है?

लाइफ नंबर 5 से उदाहरण

आपके पास एक लाख है। प्रत्येक वर्ष की शुरुआत में आप प्रत्येक मिलियन दो और कमाते हैं। महान सत्य? हर मिलियन ट्रिपल। एक वर्ष के बाद आपके पास कितना पैसा होगा? आइये गिनते हैं। पहले वर्ष को गुणा करना है, फिर परिणाम अभी भी चालू है ... पहले से ही उबाऊ है, क्योंकि आप पहले से ही सबकुछ समझ चुके हैं: तीन खुद को गुणा किया गया है। इसलिए, चौथी डिग्री एक लाख के बराबर है। यह याद रखना आवश्यक है कि चौथी डिग्री में तीन या हैं।

अब आप जानते हैं कि संख्या के निर्माण की मदद से, आप अपने जीवन को बहुत सुविधाजनक बनाएंगे। आइए देखें कि आप डिग्री के साथ क्या कर सकते हैं और उनके बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है।

नियम और अवधारणाएं ... ताकि भ्रमित न हो

तो, शुरुआत करने वालों के लिए, चलो अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। तुम क्या सोचते हो, डिग्री का संकेतक क्या है? यह बहुत आसान है - यह वह संख्या है जो संख्या की डिग्री के "शीर्ष पर" है। वैज्ञानिक नहीं, लेकिन यह स्पष्ट और याद रखने में आसान है ...

खैर, एक ही समय में ऐसी नींव की डिग्री? इससे भी आसान - यह वह संख्या है जो आधार पर नीचे है।

वफादारी के लिए यहां एक ड्राइंग है।

खैर, सामान्य रूप से, संक्षेप में और बेहतर याद रखने के लिए ... आधार के साथ डिग्री "" और संकेतक "" को "डिग्री" के रूप में पढ़ा जाता है और निम्नानुसार लिखा जाता है:

एक प्राकृतिक संकेतक के साथ संख्या की डिग्री

आप पहले ही अनुमान लगाए गए हैं: क्योंकि संकेतक एक प्राकृतिक संख्या है। हाँ, लेकिन क्या है प्राकृतिक संख्या? प्राथमिक! प्राकृतिक ये वे संख्याएं हैं जो आइटम सूचीबद्ध करते समय खाते में उपयोग की जाती हैं: एक, दो, तीन ... हम, जब हम वस्तुओं पर विचार करते हैं, तो कहें: "माइनस पांच", "माइनस सिक्स", "माइनस सात"। हम यह भी नहीं कहते: "एक तिहाई", या "शून्य का शून्य, पांच दसवां"। ये प्राकृतिक संख्या नहीं हैं। और ये नंबर क्या सोचते हैं?

"माइनस पांच", "माइनस सिक्स" जैसी संख्याएं, "माइनस सेवन" से संबंधित हैं पूर्ण संख्या। सामान्य रूप से, पूरी संख्या में सभी प्राकृतिक संख्याओं में शामिल हैं, संख्याएं प्राकृतिक के विपरीत हैं (यानी, एक शून्य चिह्न के साथ ली गई), और संख्या। शून्य आसानी से समझता है - यह तब होता है जब कुछ भी नहीं। और उनका क्या मतलब है नकारात्मक ("माइनस") संख्या? लेकिन उन्हें मुख्य रूप से ऋण निर्धारित करने के लिए आविष्कार किया गया था: यदि आपके पास फोन नंबर पर संतुलन है, तो इसका मतलब है कि आपको ऑपरेटर रूबल्स चाहिए।

सभी प्रकार के अंश तर्कसंगत संख्याएं हैं। वे कैसे उठते थे, आपको क्या लगता है? बहुत सरल। कई हजार साल पहले, हमारे पूर्वजों ने पाया कि उनके पास लंबे, वजन, वर्ग इत्यादि को मापने के लिए प्राकृतिक संख्या की कमी है। और उन्होंने आविष्कार किया परिमेय संख्या... मुझे आश्चर्य है कि यह सच है?

तर्कहीन संख्या भी हैं। यह संख्या क्या है? यदि छोटा हो, तो एक अनंत दशमलव अंश। उदाहरण के लिए, यदि परिधि की लंबाई को उसके व्यास में विभाजित किया जाता है, तो तर्कहीन संख्या होगी।

सारांश:

हम डिग्री की अवधारणा को परिभाषित करते हैं, जिसके संकेतक एक प्राकृतिक संख्या (यानी, एक संपूर्ण और सकारात्मक) है।

1. पहले डिग्री के लिए समान रूप से कोई भी संख्या:
2. वर्ग में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका मतलब है कि इसे स्वयं गुणा करना है:
3. घन में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका मतलब है कि इसे अपने आप को तीन बार गुणा करना है:

परिभाषा। प्राकृतिक डिग्री में संख्या का मूल्यांकन करें - इसका अर्थ है अपने लिए सभी समय की संख्या को गुणा करना:
.

डिग्री की गुण

ये गुण कहां से आए? मैं अब आपको दिखाऊंगा।

चलो देखते हैं: क्या है तथा ?

ए-प्रोरी:

कितने गुणक यहां हैं?

बहुत सरल: हमने गुणक को गुणक को पूरा किया, यह कारकों को बाहर कर दिया।

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक संकेतक के साथ एक संख्या की डिग्री है, यानी, यह साबित करना आवश्यक था।

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला:

उदाहरण: अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला: यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में इससे पहले एक ही नींव होनी चाहिए!
इसलिए, हम आधार के साथ डिग्री गठबंधन करते हैं, लेकिन एक अलग गुणक बना हुआ है:

केवल डिग्री के काम के लिए!

किसी भी मामले में यह नहीं लिखा जा सकता है।

2. वह है संख्या की डिग्री

बस पिछले संपत्ति के साथ, हम डिग्री की परिभाषा में बदल जाते हैं:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार एक बार गुणा किया जाता है, यानी, परिभाषा के अनुसार, यह एक संख्या है:

वास्तव में, इसे "ब्रैकेट के लिए संकेतक" कहा जा सकता है। लेकिन यह राशि में कभी नहीं कर सकते:

संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे?

लेकिन यह गलत है, क्योंकि।

नकारात्मक

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की कि संकेतक क्या होना चाहिए।

लेकिन आधार क्या होना चाहिए?

एस की डिग्री में। प्राकृतिक संकेतक आधार हो सकता है कोई संख्या। और सच्चाई, हम एक दूसरे को किसी भी संख्या को गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक, या यहां तक \u200b\u200bकि।

आइए सोचें कि क्या संकेत ("या" ") सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या? लेकिन अ? ? पहले के साथ, सबकुछ स्पष्ट है: हम कितने सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा नहीं किया जाता है, नतीजा सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक के साथ थोड़ा और दिलचस्प है। आखिरकार, हमें ग्रेड 6 का एक साधारण नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या। लेकिन अगर हम गुणा करते हैं, तो यह काम करेगा।

स्वतंत्र रूप से निर्धारित करें, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का क्या संकेत होगा:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

सामना?

यहां उत्तर दिए गए हैं: पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सबकुछ समझ में आता है? बस आधार और संकेतक को देखें, और उचित नियम लागू करें।

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

उदाहरण 5 में), सबकुछ भी डरावना नहीं है, जैसा कि ऐसा लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार के बराबर क्या है - डिग्री भी है, जिसका मतलब है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा।

खैर, आधार शून्य होने पर मामले के अपवाद के साथ। कारण बराबर नहीं है? जाहिर है, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है!

प्रशिक्षण के लिए 6 उदाहरण

6 उदाहरणों के समाधान

यदि आप आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? ग्रेड 7 कार्यक्रम याद रखें। तो, याद किया? यह संक्षिप्त गुणा के लिए एक सूत्र है, अर्थात् - वर्गों का अंतर! हम पाते हैं:

सावधानी से denominator को देखो। वह संख्या के गुणक के समान ही है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों की प्रक्रिया नहीं। यदि वे उन्हें स्थानों में बदल देंगे, तो नियम को लागू करना संभव होगा।

लेकिन ऐसा कैसे करें? यह बहुत आसान हो जाता है: denominator की डिग्री भी हमारी मदद करता है।

जादुई रूप से, घटकों को स्थानों में बदल दिया गया। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति के लिए एक डिग्री के लिए लागू है: हम ब्रैकेट में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं।

लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: सभी संकेत एक ही समय में बदल रहे हैं।!

उदाहरण के लिए वापस चलते हैं:

और फिर सूत्र:

पूर्णांक हम उनके विपरीत प्राकृतिक संख्याओं को बुलाते हैं (यानी, हस्ताक्षर के साथ लिया गया है) और संख्या।

संपूर्ण सकारात्मक संख्या, और यह प्राकृतिक से अलग नहीं है, तो सब कुछ पिछले खंड में बिल्कुल दिखता है।

और अब नए मामलों पर विचार करें। आइए एक संकेतक के बराबर शुरू करें।

शून्य के बराबर शून्य:

हमेशा की तरह, हम मुझसे पूछेंगे: ऐसा क्यों है?

आधार के साथ किसी भी डिग्री पर विचार करें। उदाहरण के लिए, और domineering ले लो:

इसलिए, हमने संख्या को गुणा किया, और जैसा कि यह था। और किस संख्या को गुणा किया जाना चाहिए ताकि कुछ भी नहीं बदला जा सके? यह सही है। इसलिए।

हम एक मनमानी संख्या के साथ ऐसा ही कर सकते हैं:

नियम दोहराएं:

शून्य के बराबर शून्य।

लेकिन कई नियमों से अपवाद हैं। और यहां यह भी एक संख्या (आधार के रूप में) है।

एक तरफ, यह किसी भी हद तक बराबर होना चाहिए - न तो गुणा कितना गुणा किया जाता है, फिर भी शून्य हो जाता है, यह स्पष्ट है। लेकिन दूसरी तरफ, शून्य डिग्री की किसी भी संख्या की तरह, बराबर होना चाहिए। तो सच क्या है? गणित ने शून्य से शून्य करने के लिए बाध्य और इनकार करने का फैसला किया। यही है, अब हम न केवल शून्य में विभाजित किए जा सकते हैं, बल्कि इसे शून्य पर भी बनाने के लिए भी कर सकते हैं।

चलो आगे बढ़ते हैं। प्राकृतिक संख्याओं और संख्याओं के अलावा नकारात्मक संख्याएं शामिल हैं। यह समझने के लिए कि नकारात्मक डिग्री क्या है, हम पिछली बार के रूप में करेंगे: नकारात्मक डिग्री के लिए एक सामान्य संख्या में कुछ सामान्य संख्या:

यहां से वांछित व्यक्त करना आसान है:

अब हम परिणामी नियम को मनमाने ढंग से डिग्री में फैलाते हैं:

तो, हम नियम तैयार करते हैं:

संख्या एक नकारात्मक डिग्री एक ही संख्या में एक सकारात्मक डिग्री के लिए है। लेकिन उसी समय पर आधार शून्य नहीं हो सकता है: (क्योंकि यह विभाजित करना असंभव है)।

आइए सारांशित करें:

I. अभिव्यक्ति मामले में परिभाषित नहीं है। तो अगर।

द्वितीय। शून्य के लिए कोई भी संख्या एक के बराबर है :.

तृतीय। एक संख्या जो शून्य के बराबर नहीं है, एक नकारात्मक डिग्री के लिए एक सकारात्मक डिग्री तक एक सकारात्मक डिग्री के लिए :.

स्वयं समाधान के लिए कार्य:

खैर, सामान्य रूप से, आत्म समाधान के लिए उदाहरण:

स्वयं समाधान के लिए कार्य विश्लेषण:

मुझे पता है, मुझे पता है, संख्याएं भयानक हैं, लेकिन परीक्षा हर चीज के लिए तैयार होनी चाहिए! इन उदाहरणों को साझा करें या अपने निर्णय को बिखेरें, अगर मैं तय नहीं कर सका और आप परीक्षा में आसानी से उनके साथ सामना करना सीखेंगे!

डिग्री के चक्र का विस्तार जारी रखें, डिग्री के संकेतक के रूप में "उपयुक्त"।

अब विचार करें परिमेय संख्या। क्या संख्या तर्कसंगत कहा जाता है?

उत्तर: सभी को अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहां और पूर्णांक, और।

समझने के लिए क्या है "फ्रेट डिग्री", अंश पर विचार करें:

समीकरण के दोनों हिस्सों को डिग्री के लिए बनाया गया:

अब नियम के बारे में याद रखें "डिग्री से डिग्री":

पाने के लिए डिग्री में किस नंबर पर लिया जाना चाहिए?

यह फॉर्मूलेशन रूट डिग्री की परिभाषा है।

मुझे आपको याद दिलाने दें: संख्या की जड़ () को उस संख्या कहा जाता है जो विघटन में बराबर होता है।

यही है, रूट डिग्री एक ऑपरेशन है, अभ्यास को डिग्री में उल्टा :.

वह बाहर निकलता है। जाहिर है, इस विशेष मामले का विस्तार किया जा सकता है :.

अब एक संख्या जोड़ें: क्या है? "डिग्री से डिग्री" नियम की मदद से जवाब मिलना आसान है:

लेकिन क्या कारण कोई संख्या हो सकती है? आखिरकार, रूट सभी संख्याओं से निकाला नहीं जा सकता है।

कोई नहीं!

नियम याद रखें: किसी भी डिग्री में किसी भी संख्या में संख्या सकारात्मक है। यही है, नकारात्मक संख्याओं से एक डिग्री की जड़ों को निकालने के लिए यह असंभव है!

इसका मतलब यह है कि इस तरह की संख्याओं को एक भी denominator के साथ एक आंशिक डिग्री में बनाना असंभव है, यानी, अभिव्यक्ति समझ में नहीं आता है।

अभिव्यक्ति के बारे में क्या?

लेकिन एक समस्या है।

संख्या को डीआरजीआईएच, कम अंशों के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, या।

और यह पता चला है कि वहां मौजूद है, लेकिन अस्तित्व में नहीं है, लेकिन यह एक ही संख्या के दो अलग-अलग रिकॉर्ड हैं।

या एक और उदाहरण: एक बार, फिर आप लिख सकते हैं। लेकिन हमें एक अलग तरीके से लिखना सार्थक है, और फिर हमें एक उपद्रव मिलता है: (यानी, उन्हें एक पूरी तरह से अलग परिणाम प्राप्त हुआ!)।

समान विरोधाभासों से बचने के लिए, हम मानते हैं केवल आंशिक संकेतक के साथ डिग्री की एक सकारात्मक नींव.

तो अगर:

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री जड़ों के साथ अभिव्यक्ति को परिवर्तित करने के लिए बहुत उपयोगी हैं, उदाहरण के लिए:

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरण

प्रशिक्षण के लिए 5 उदाहरणों का विश्लेषण

खैर, अब - सबसे मुश्किल। अब हम समझेंगे तर्कहीन.

यहां सभी नियमों और गुणों को अपवाद के साथ एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के समान ही समान हैं

आखिरकार, परिभाषा के अनुसार, तर्कहीन संख्याएं संख्याएं होती हैं जिन्हें एक अंश के रूप में प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, जहां और - पूर्णांक (यानी, तर्कहीन संख्याएं हैं जो तर्कसंगत को छोड़कर सभी वैध संख्याएं हैं)।

प्राकृतिक, पूरे और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हम हर बार एक निश्चित "छवि", "समानता", या अधिक परिचित शर्तों में विवरण गठित करते हैं।

उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक आंकड़ा एक संख्या है, कई बार खुद को गुणा किया जाता है;

...शून्य - इस प्रकार संख्या एक बार खुद से गुणा हो गई है, यानी, उसने अभी तक गुणा करना शुरू नहीं किया है, इसका मतलब है कि संख्या स्वयं भी दिखाई नहीं दे रही है - इसलिए परिणाम केवल एक निश्चित "बिलेट संख्या" है, अर्थात् संख्या;

...एक पूरे नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री "ऐसा लगता है कि यह एक निश्चित" रिवर्स प्रक्रिया "हुआ है, यानी, संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया था, लेकिन डेली।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ उपयोग किया जाता है, यानी संकेतक भी एक वैध संख्या नहीं है।

लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

जहां हमें यकीन है कि आप करेंगे! (यदि आप ऐसे उदाहरणों को हल करना सीखते हैं :))

उदाहरण के लिए:

अपने आप को सोलिम करें:

मलबे:

1. आइए हमारे लिए अभ्यास नियमों के लिए सामान्य नियमों के साथ शुरू करें:

अब संकेतक को देखो। क्या वह आपको कुछ भी याद नहीं करता? संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद रखें। स्क्वायर मतभेद:

में यह मामला,

यह पता चला है:

उत्तर: .

2. हम एक ही रूप में डिग्री के संकेतकों में अंश लाते हैं: या तो दोनों दशमलव या दोनों साधारण हैं। हम प्राप्त करते हैं, उदाहरण के लिए:

उत्तर: 16।

3. कुछ भी विशेष नहीं, हम डिग्री के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

डिग्री का निर्धारण

डिग्री को फॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: जहां:

• — डिग्री आधार;
• संकेतक।

प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री (एन \u003d 1, 2, 3, ...)

एक प्राकृतिक डिग्री एन का निर्माण करें - इसका मतलब है कि अपने लिए संख्या को एक बार गुणा करना:

पूर्णांक (0, ± 1, ± 2, के साथ डिग्री ...)

यदि डिग्री का संकेतक है सॉफ्टवेयर सकारात्मक संख्या:

निर्माण शून्य डिग्री में:

अभिव्यक्ति अनिश्चितकालीन है, क्योंकि, किसी भी हद तक, यह है, और दूसरी तरफ - डिग्री में से कोई भी संख्या है।

यदि डिग्री का संकेतक है एक नकारात्मक संख्या:

(क्योंकि यह विभाजित करना असंभव है)।

एक बार फिर शून्य के बारे में: अभिव्यक्ति मामले में परिभाषित नहीं है। तो अगर।

उदाहरण:

युक्तिसंगत

• - प्राकृतिक संख्या;
• - पूर्णांक;

उदाहरण:

डिग्री की गुण

समस्याओं को हल करना आसान बनाने के लिए, आइए समझने की कोशिश करें: ये गुण कहां से आए? हम उन्हें साबित करते हैं।

चलो देखते हैं: क्या है?

ए-प्रोरी:

तो, इस अभिव्यक्ति के दाहिने हिस्से में, ऐसा काम प्राप्त किया जाता है:

लेकिन परिभाषा के अनुसार, यह एक संकेतक के साथ एक संख्या की डिग्री है, यह है:

Q.E.D.

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला : .

उदाहरण : अभिव्यक्ति को सरल बनाएं।

फेसला : यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि हमारे शासन में इससे पहलेवही आधार होना चाहिए। इसलिए, हम आधार के साथ डिग्री गठबंधन करते हैं, लेकिन एक अलग गुणक बना हुआ है:

एक और महत्वपूर्ण नोट: यह एक नियम है - केवल डिग्री के काम के लिए!

लिखने के लिए तंत्रिका के किसी भी मामले में।

बस पिछले संपत्ति के साथ, हम डिग्री की परिभाषा में बदल जाते हैं:

हम इस तरह इस काम को फिर से तैयार करते हैं:

यह पता चला है कि अभिव्यक्ति को एक बार एक बार गुणा किया जाता है, यह परिभाषा के अनुसार है, यह संख्या की डिग्री से है:

वास्तव में, इसे "ब्रैकेट के लिए संकेतक" कहा जा सकता है। लेकिन यह राशि में कभी नहीं कर सकते:!

संक्षिप्त गुणा के सूत्र को याद करें: हम कितनी बार लिखना चाहते थे? लेकिन यह गलत है, क्योंकि।

नकारात्मक आधार के साथ डिग्री।

इस बिंदु तक, हमने केवल चर्चा की कि क्या होना चाहिए सूचक डिग्री। लेकिन आधार क्या होना चाहिए? एस की डिग्री में। प्राकृतिक सूचक आधार हो सकता है कोई संख्या .

और सच्चाई, हम एक दूसरे को किसी भी संख्या को गुणा कर सकते हैं, चाहे वे सकारात्मक, नकारात्मक, या यहां तक \u200b\u200bकि। आइए सोचें कि क्या संकेत ("या" ") सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं की डिग्री होगी?

उदाहरण के लिए, एक सकारात्मक या नकारात्मक संख्या? लेकिन अ? ?

पहले के साथ, सबकुछ स्पष्ट है: हम कितने सकारात्मक संख्याओं को एक-दूसरे से गुणा नहीं किया जाता है, नतीजा सकारात्मक होगा।

लेकिन नकारात्मक के साथ थोड़ा और दिलचस्प है। आखिरकार, हमें ग्रेड 6 का एक साधारण नियम याद है: "माइनस के लिए माइनस एक प्लस देता है।" वह है, या। लेकिन अगर हम () पर गुणा करेंगे, तो यह पता चला है।

और तो अनंत तक: प्रत्येक बार अगला गुणा संकेत बदल जाएगा। सरल नियम तैयार किए जा सकते हैं:

1. यहाँ तक की डिग्री - संख्या सकारात्मक.
2. नकारात्मक संख्या में रखा गया अजीब डिग्री - संख्या नकारात्मक.
3. किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या संख्या सकारात्मक है।
4. शून्य से शून्य शून्य है।

स्वतंत्र रूप से निर्धारित करें, निम्नलिखित अभिव्यक्तियों का क्या संकेत होगा:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

सामना? यहां उत्तर दिए गए हैं:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

पहले चार उदाहरणों में, मुझे आशा है कि सब कुछ स्पष्ट है? बस आधार और संकेतक को देखें, और उचित नियम लागू करें।

उदाहरण 5 में), सबकुछ भी डरावना नहीं है, जैसा कि ऐसा लगता है: इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि आधार के बराबर क्या है - डिग्री भी है, जिसका मतलब है कि परिणाम हमेशा सकारात्मक होगा। खैर, आधार शून्य होने पर मामले के अपवाद के साथ। कारण बराबर नहीं है? जाहिर है, क्योंकि (क्योंकि)।

उदाहरण 6) अब इतना आसान नहीं है। यहां आपको यह जानने की जरूरत है: या? अगर आपको याद है कि यह स्पष्ट हो जाता है, और इसलिए, आधार शून्य से कम है। यही है, हम नियम 2 लागू करते हैं: परिणाम नकारात्मक होगा।

और फिर हम डिग्री की डिग्री का उपयोग करते हैं:

हमेशा की तरह - डिग्री की परिभाषा को लिखें और उन्हें एक-दूसरे को विभाजित करें, जोड़े पर विभाजित करें और प्राप्त करें:

पिछले नियम को अलग करने से पहले, हम कई उदाहरण हल करते हैं।

गणना की गई अभिव्यक्ति:

समाधान :

यदि आप आठवीं डिग्री पर ध्यान नहीं देते हैं, तो हम यहां क्या देखते हैं? ग्रेड 7 कार्यक्रम याद रखें। तो, याद किया? यह संक्षिप्त गुणा के लिए एक सूत्र है, अर्थात् - वर्गों का अंतर!

हम पाते हैं:

सावधानी से denominator को देखो। वह संख्या के गुणक के समान ही है, लेकिन क्या गलत है? शर्तों की प्रक्रिया नहीं। यदि वे स्थानों में बदल गए थे, तो नियम 3 लागू करना संभव होगा। लेकिन इसे कैसे करें? यह बहुत आसान हो जाता है: denominator की डिग्री भी हमारी मदद करता है।

यदि आप इसे आकर्षित करते हैं, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, है ना? लेकिन अब यह निम्नलिखित को बदल देता है:

जादुई रूप से, घटकों को स्थानों में बदल दिया गया। यह "घटना" किसी भी अभिव्यक्ति के लिए एक डिग्री के लिए लागू है: हम ब्रैकेट में संकेतों को स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं। लेकिन यह याद रखना महत्वपूर्ण है: एक ही समय में सभी संकेत बदल रहे हैं!आप प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं, केवल एक असहनीय शून्य बदल सकते हैं!

उदाहरण के लिए वापस चलते हैं:

और फिर सूत्र:

तो अब अंतिम नियम:

हम कैसे साबित करेंगे? बेशक, सामान्य रूप से: मैं डिग्री की अवधारणा को प्रकट करूंगा और सरल करता हूं:

खैर, अब मैं ब्रैकेट प्रकट करूंगा। पत्र कितने मिलेगा? एक बार गुणक पर - यह क्या याद दिलाता है? यह ऑपरेशन की परिभाषा के अलावा कुछ भी नहीं है गुणा: कुल मिलाकर कारक थे। यह है, यह परिभाषा के अनुसार, संकेतक के साथ संख्या की डिग्री:

उदाहरण:

तर्कहीन

औसत स्तर के लिए डिग्री के बारे में जानकारी के अलावा, हम तर्कहीन संकेतक के साथ डिग्री का विश्लेषण करेंगे। यहां डिग्री के सभी नियम और गुण बिल्कुल एक तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री के समान हैं, अपवाद के साथ - सभी के बाद, परिभाषा के अनुसार, अपरिमेय संख्या संख्याएं हैं जिन्हें अंश के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जहां - पूर्णांक - पूर्णांक (यानी, तर्कहीन संख्या तर्कसंगत के अलावा सभी वैध संख्याएं हैं)।

प्राकृतिक, पूरे और तर्कसंगत संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हम हर बार एक निश्चित "छवि", "समानता", या अधिक परिचित शर्तों में विवरण गठित करते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक आंकड़ा एक संख्या है, कई बार खुद को गुणा किया जाता है; शून्य डिग्री में संख्या किसी भी तरह से संख्या एक बार गुणा किया जाता है, यानी, यह अभी तक गुणा करना शुरू नहीं हुआ है, इसका मतलब है कि संख्या स्वयं भी दिखाई नहीं दे रही है - इसलिए, केवल एक निश्चित "बिलेट", अर्थात्, परिणाम है ; पूरे नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री यह है कि एक निश्चित "रिवर्स प्रक्रिया" हुई है, यानी, संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया था, लेकिन विभाजित किया गया था।

कल्पना करें कि एक तर्कहीन संकेतक के साथ डिग्री बेहद मुश्किल है (जैसे कि 4-आयामी स्थान जमा करना मुश्किल है)। यह बल्कि एक पूरी तरह से गणितीय वस्तु है जो गणित को संख्याओं की पूरी जगह तक डिग्री की अवधारणा का विस्तार करने के लिए बनाया गया है।

वैसे, विज्ञान में अक्सर एक जटिल संकेतक के साथ उपयोग किया जाता है, यानी संकेतक भी एक वैध संख्या नहीं है। लेकिन स्कूल में हम ऐसी कठिनाइयों के बारे में नहीं सोचते हैं, आपको संस्थान में इन नई अवधारणाओं को समझने का अवसर मिलेगा।

तो अगर हम एक तर्कहीन दर देखते हैं तो हम क्या करते हैं? हम इसे सभी के साथ छुटकारा पाने की कोशिश कर रहे हैं! :)

उदाहरण के लिए:

अपने आप को सोलिम करें:

1)

2)

3)

उत्तर:

1. हमें सूत्रों को चौकों का अंतर याद है। उत्तर :.
2. हम एक ही रूप में अंश देते हैं: या तो दोनों दशमलव, या दोनों साधारण। हमें मिलता है, उदाहरण के लिए :.
3. कुछ भी खास नहीं है, हम डिग्री के सामान्य गुणों का उपयोग करते हैं:

अनुभाग और मूल सूत्रों का सारांश

डिग्री फॉर्म की अभिव्यक्ति कहा जाता है: कहां:

पूर्णांक

डिग्री, जिसका संकेतक एक प्राकृतिक संख्या (यानी, एक संपूर्ण और सकारात्मक) है।

युक्तिसंगत

डिग्री, जिसका संकेतक नकारात्मक और आंशिक संख्या है।

तर्कहीन

डिग्री, जिसका संकेतक एक अनंत दशमलव अंश या जड़ है।

डिग्री की गुण

डिग्री की विशेषताएं।

• नकारात्मक संख्या में रखा गया यहाँ तक की डिग्री - संख्या सकारात्मक.
• नकारात्मक संख्या में रखा गया अजीब डिग्री - संख्या नकारात्मक.
• किसी भी डिग्री के लिए एक सकारात्मक संख्या संख्या सकारात्मक है।
• शून्य किसी भी डिग्री के बराबर बराबर है।
• शून्य के बराबर संख्या।

अब आपको एक शब्द की आवश्यकता है ...

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मुझे डिग्री के गुणों का उपयोग करने में अपने अनुभव के बारे में बताएं।

शायद आपके पास प्रश्न हैं। या सुझाव।

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और परीक्षाओं पर शुभकामनाएँ!

एक तर्कसंगत संकेतक के साथ एक डिग्री

पावर समारोह IV।

§ 71. शून्य और नकारात्मक संकेतकों के साथ डिग्री

§ 69 में, हमने साबित किया (प्रमेय 2 देखें) टी\u003e पी।

(ए। =/= 0)

काफी स्वाभाविक रूप से इस सूत्र को और मामले में विस्तारित करने की इच्छा टी < पी । लेकिन फिर संख्या टी - पी। यह या तो नकारात्मक या शून्य के बराबर होगा। ए। हमने अभी भी प्राकृतिक संकेतकों के साथ डिग्री के बारे में बात की है। इस प्रकार, हमें शून्य और नकारात्मक संकेतकों के साथ वास्तविक संख्याओं पर विचार करने की आवश्यकता का सामना करना पड़ता है।

परिभाषा 1। कोई संख्या लेकिन अ , शून्य के बराबर शून्य नहीं, एक के बराबर, तभी लेकिन अ =/= 0

लेकिन अ 0 = 1. (1)

उदाहरण के लिए, (-13,7) 0 \u003d 1; π 0 \u003d 1; (√2) 0 \u003d 1. शून्य डिग्री की संख्या 0 में नहीं है, यानी, अभिव्यक्ति 0 0 परिभाषित नहीं है।

परिभाषा 2।. यदि एक लेकिन अ \u003d / \u003d 0 और पी - प्राकृतिक संख्या, फिर

लेकिन अ - एन = 1 /ए। एन (2)

अर्थात किसी भी संख्या की डिग्री, असमान शून्य, पूरे नकारात्मक संकेतक के साथ अंश होता है, जिसमें से एक इकाई एक इकाई है, और denominator एक ही संख्या ए की डिग्री है, लेकिन किसी दिए गए डिग्री के संकेतक के विपरीत संकेतक के साथ ।

उदाहरण के लिए,

इन परिभाषाओं को ले कर, यह साबित किया जा सकता है ए। \u003d / \u003d 0, सूत्र

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए वर्ने टी तथा एन , सिर्फ के लिए नहीं टी\u003e पी। । साबित करने के लिए, दो मामलों के विचार के लिए खुद को सीमित करने के लिए पर्याप्त है: टी \u003d पी। तथा टी< .п कारण एम\u003e एन। पहले से ही § 69 में माना जाता है।

रहने दो टी \u003d पी। ; तब फिर । इसका मतलब है कि समानता का बायां हिस्सा (3) के बराबर है। सही हिस्सा है टी \u003d पी। हो जाता है

लेकिन अ एम - एन। = लेकिन अ एन - एन। = लेकिन अ 0 .

लेकिन परिभाषा के अनुसार लेकिन अ 0 \u003d 1. इस प्रकार, समानता का दाईं ओर (3) भी बराबर है। इसके परिणामस्वरूप, टी \u003d पी। फॉर्मूला (3) सत्य है।

अब मान लीजिए कि टी< п । अंश के संख्यात्मक और denominator को साझा करना लेकिन अ म। हमें मिल जाएगा:

जैसा p\u003e टी। तब फिर। इसलिए। एक नकारात्मक संकेतक के साथ डिग्री की डिग्री का उपयोग करके, आप रिकॉर्ड कर सकते हैं .

के लिए साबित करने के लिए आवश्यक है। फॉर्मूला (3) अब किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए सिद्ध है टी तथा पी .

टिप्पणी। नकारात्मक संकेतक आपको denominators के बिना अंशों को रिकॉर्ड करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए,

1 / 3 = 3 - 1 ; 2 / 5 = 2 5 - एक ; बिलकुल, ए। / बी = और बी। - 1

हालांकि, किसी को यह नहीं सोचना चाहिए कि इस तरह की प्रविष्टि के साथ, अंश पूर्णांक में बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, 3। - 1 1/3, 2 5 के रूप में एक ही अंश है - 1 - 2/5 के रूप में एक ही अंश, और इसी तरह।

अभ्यास

529. गणना करें:

530. संप्रदायों के बिना रिकॉर्ड:

1) 1 / 8 , 2) 1 / 625 ; 3) 10 / 17 ; 4) - 2 / 3

531. नकारात्मक संकेतकों का उपयोग करके पूर्णांक अभिव्यक्तियों के रूप में लिखे गए डेटा दशमलव अंश:

1) 0,01; 3) -0,00033; 5) -7,125;

2) 0,65; 4) -0,5; 6) 75,75.

3) - 33 10 - 5

उत्तर:

कोई नाम नहीं

यदि हम मानते हैं कि ^ x \u003d e ^ x * ln (a), तो यह पता चला है कि वही 0 ^ 0 \u003d 1 (सीमा, x-\u003e 0 पर)
हालांकि जवाब "अनिश्चितता" भी स्वीकार्य है

गणित में शून्य खाली नहीं है, यह संख्या "कुछ भी नहीं" के बहुत करीब है, केवल इन्फिनिटी की तरह ही मोड़ पर

सीवेज:
0 ^ 0 \u003d 0 ^ (a-a) \u003d 0 ^ a * 0 ^ (- a) \u003d 0 ^ a / 0 ^ a \u003d 0/0
इस मामले में, हम शून्य पर विभाजित होते हैं, और वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में यह ऑपरेशन परिभाषित नहीं किया जाता है।

6 साल पहले

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शून्य के रूप में लिया जाता है तो शून्य क्या बराबर होगा?

1 के बराबर डिग्री 0 की संख्या क्यों है? एक नियम है कि शून्य के अलावा, शून्य डिग्री में बनाया गया कोई भी संख्या एक के बराबर होगी: 20 \u003d 1; 1.50 \u003d 1; 100000 \u003d 1 हालांकि, ऐसा क्यों है? जब संख्या को प्राकृतिक संकेतक के साथ अनुपात में बनाया जाता है, तो इसका मतलब यह होता है कि इसे डिग्री के संकेतक के रूप में कई बार गुणा किया जाता है: 43 \u003d 4 × 4 × 4; 26 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 जब डिग्री का संकेतक 1 है, तो निर्माण के दौरान केवल एक गुणक है (यदि सामान्य रूप से कोई कारक नहीं हो सकता है), और इसलिए निर्माण परिणाम बराबर है जमीन: 181 \u003d 18; (-3.4) 1 \u003d -3.4 लेकिन इस तरह के मामले में शून्य संकेतक के साथ कैसे हो? क्या गुणा किया जाता है? आइए अलग-अलग जाने की कोशिश करें। यह ज्ञात है कि यदि दो डिग्री एक ही आधार हैं, लेकिन विभिन्न संकेतक हैं, तो आधार को उसी में छोड़ा जा सकता है, और संकेतक या तो एक दूसरे के साथ जुड़े होते हैं (यदि डिग्री गुणा हो जाती है), या विभाजक संकेतक को घटाया जाता है डिवाइजी इंडिकेटर (यदि विभाजित है): 32 × 31 \u003d 32 + 1 \u003d 33 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27 45 ÷ 43 \u003d 45-3 \u003d 42 \u003d 4 × 4 \u003d 16 और अब हम इस तरह के उदाहरण पर विचार करते हैं: 82 ÷ 82 \u003d 82-2 \u003d 80 \u003d? क्या होगा यदि हम एक ही आधार के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग नहीं करते हैं और उनके निम्नानुसार गणना करते हैं: 82 ÷ 82 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1 तो हमें एक पोषित इकाई मिली। इस प्रकार, सीमा के शून्य संकेतक का कहना है कि संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया है, लेकिन खुद से विभाजित है। और इसलिए यह स्पष्ट हो जाता है कि अभिव्यक्ति 00 क्यों समझ में नहीं आता है। आखिरकार, 0 पर विभाजित करना असंभव है। इसे अलग-अलग तर्क दिया जा सकता है। यदि वहां है, उदाहरण के लिए, डिग्री 52 × 50 \u003d 52 + 0 \u003d 52 का गुणा, तो यह निम्नानुसार है कि 52 को गुणा किया गया था। इसके परिणामस्वरूप, 50 \u003d 1।

डिग्री के गुणों से: ए ^ एन / ए ^ एम \u003d ए ^ (एनएम) यदि एन \u003d एम, नतीजा स्वाभाविक रूप से ए \u003d 0 को छोड़कर इकाई होगी, इस मामले में (शून्य से किसी भी हद तक शून्य होगा) शून्य पर एक विभाजन है, इसलिए, 0 ^ 0 मौजूद नहीं है

विभिन्न भाषाओं में खाता

लोकप्रिय विश्व भाषाओं में 0 से 9 तक निज़नी नाम।

भाषा: हिन्दी	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
अंग्रेज़ी	शून्य।	एक।	दो।	तीन।	चार।	पांच।	छह।	सात।	आठ	नौ
बल्गेरियाई	नुला।	एडिनो	दो	तीन	chetsiri।	पालतू पशु	खंभा	सेम	एक्सिस	जाल
हंगेरी	सोता	egy।	केटी	három।	नगी।	Öt।	टोपी।	हेट।	nYOLC।	किलेंस।
डच	नुल।	ईन।	tWEE।	dRIE	वियर	vIJF।	zes।	ज़ीवन।	दर्द।	नकारात्मक।
दानिश	नुल।	एन	सेवा मेरे।	ट्रे।	आग	फेम।	seks।	sYV।	ओट	नी।
स्पेनिश	सेरो।	uno।	करने योग्य।	tres।	cuatro।	सिन्को।	सीस	siete।	ओचो।	nueve।
इतालवी	शून्य।	uno।	कारण।	ट्रे।	quattro।	सिंक	सेई	बसे	ओटो	nove।
लिथुआनियाई	नुलिस	वियास।	ड्यू	trys।	केतुरी।	पेनकी।	समुंद्री जहाज	septyni।	aðtuoni।	देवनी
जर्मन	शून्य	ऐन।	zwei।	ड्रेई।	वियर	fünf।	sechs।	sieben।	दर्द।	नियून।
रूसी	शून्य	एक	दो	तीन	चार	पांच	छह	सात	आठ	नौ
पोलिश	शून्य।	जेडन।	dWA	ट्रेज़ी	cztery।	piêæ।	sze¶æ।	siedem।	ओसीम।	dziewiêæ।
पुर्तगाली	उम।	डोइ	três।	quatro।	सिन्को।	सीस	सेटे	ओटो	nove।
फ्रांसीसी	ज़ेरो।	संयुक्त राष्ट्र	ड्यूक्स	ट्रोइस	quatre।	cinq।	छह।	sEPT।	ह्यूट।	neuf।
चेक	नुला।	जेडना	डीवीए	तिई।	ètyøi।	गड्ढा।	¹est	सेडम।	ओएसएम।	devìt।
स्वीडिश	नॉल	ईट	टीवीए।	ट्रे।	फेरा।	फेम।	लिंग।	sju।	आटा	एनआईओ।
एस्तोनियावासी	शून्य	Üks।	काक।	कोल्म।	नीली।	viis।	कुस।	seitse।	kaheksa।	Üheksa।

नकारात्मक और शून्य

शून्य, नकारात्मक और आंशिक डिग्री

शून्य संकेतक

डिग्री के संकेतक में इकाइयों के रूप में कई बार एक कारखाने में इसे दोहराने के लिए कुछ डिग्री के लिए इस संख्या का मूल्यांकन करें।

इस परिभाषा के अनुसार, अभिव्यक्ति: ए। 0 समझ में नहीं आता है। लेकिन एक ही संख्या की डिग्री को विभाजित करने का नियम ताकि विभाजक का मूल्य विभाजन संकेतक के बराबर हो, परिभाषा पेश की गई थी:

किसी भी संख्या की शून्य डिग्री एक के बराबर होगी।

नकारात्मक संकेतक

की अभिव्यक्ति ए-एम।, अपने आप में समझ में नहीं आता है। लेकिन एक ही संख्या की डिग्री को विभाजित करने के नियम के लिए, और इस मामले में जब विभाजक संकेतक निश्चित संकेतक से बड़ा होता है, तो परिभाषा पेश की गई थी:

उदाहरण 1. यदि इस संख्या में 5 सौ, 7 टन, 2 इकाइयां और 9 सौवां शामिल हैं, तो इसे निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है:

5 × 10 2 + 7 × 10 1 + 2 × 10 0 + 0 × 10 -1 + 9 × 10 -2 \u003d 572.0 9

उदाहरण 2. यदि इस संख्या में दसवें और डी हजारों के साथ दर्जनों, बी इकाइयां शामिल हैं, तो इसे निम्नानुसार चित्रित किया जा सकता है:

ए। × 10 1 + बी × 10 0 + सी। × 10 -1 + डी × 10 -3।

नकारात्मक संकेतकों के साथ डिग्री पर कार्रवाई

एक ही संख्या की डिग्री गुणा करते समय, संकेतक तब्दील होते हैं।

एक ही संख्या की डिग्री को विभाजित करते समय, विभेदक संकेतक को विभाजन से काट दिया जाता है।

काम की डिग्री में ले जाने के लिए, यह इस डिग्री में प्रत्येक तथ्य को अलग से बनाने के लिए पर्याप्त है:

एक अंश बनाने के लिए, यह फ्रैसी के दोनों सदस्यों को अलग से इस डिग्री का निर्माण करने के लिए पर्याप्त है:

एक डिग्री को किसी अन्य डिग्री पर खड़ा करते समय, डिग्री के संकेतक चर होते हैं।

आंशिक संकेतक

यदि एक क। एकाधिक नहीं है एन, फिर अभिव्यक्ति: समझ में नहीं आता है। लेकिन हद तक जड़ को निकालने का नियम डिग्री के संकेतक के किसी भी मूल्य पर हुआ, परिभाषा पेश की गई:

एक नए प्रतीक की शुरूआत के लिए धन्यवाद, रूट निष्कर्षण हमेशा अभ्यास द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

आंशिक संकेतकों के साथ डिग्री पर कार्रवाई

आंशिक संकेतकों के साथ डिग्री पर कार्य पूर्णांक संकेतकों के लिए निर्धारित नियमों के अनुसार किया जाता है।

इस स्थिति के सबूत में, हम पहले मान लेंगे कि अंशों के सदस्य: और डिग्री के संकेतक की सेवा सकारात्मक हैं।

विशेष रूप से एन या प्र एक के बराबर हो सकता है।

एक ही संख्या की डिग्री गुणा करते समय, फ्रैक्शनल संकेतक गुना:

आंशिक संकेतकों के साथ एक ही संख्या की डिग्री को विभाजित करते समय, विभक्त संकेतक को विभाजक संकेतक से काट दिया जाता है:

आंशिक संकेतकों के मामले में एक और डिग्री तक डिग्री बढ़ाने के लिए, यह डिग्री गुणा करने के लिए पर्याप्त है:

आंशिक डिग्री की जड़ को निकालने के लिए, यह डिग्री को मूल दर में विभाजित करने के लिए काफी है:

कार्रवाई के नियम न केवल लागू होते हैं सकारात्मक आंशिक संकेतक, लेकिन यह भी नकारात्मक.

एक नियम है कि शून्य के अलावा कोई भी संख्या शून्य डिग्री के बराबर होगी:
2 0 = 1; 1.5 0 = 1; 10 000 0 = 1
हालांकि, ऐसा क्यों है?
जब संख्या को प्राकृतिक आकृति के अनुपात में उत्पन्न किया जाता है, तो इसका मतलब यह होता है कि यह एक संकेतक के रूप में कई बार गुणा किया जाता है:
4 3 \u003d 4 × 4 × 4; 2 6 \u003d 2 × 2 × 2 × 2 × 2 x 2
जब डिग्री का संकेतक 1 है, तो निर्माण के दौरान केवल एक गुणक होता है (यदि सामान्य रूप से कोई कारक नहीं हो सकता है), और इसलिए निर्माण परिणाम जमीन के बराबर है:
18 1 = 18;(-3.4)^1 = -3.4
लेकिन कैसे, इस मामले में, शून्य संकेतक के साथ? क्या गुणा किया जाता है?
आइए अलग-अलग जाने की कोशिश करें।

1 के बराबर डिग्री 0 की संख्या क्यों है?

यह ज्ञात है कि यदि दो डिग्री एक ही आधार हैं, लेकिन विभिन्न संकेतक हैं, तो आधार को उसी में छोड़ा जा सकता है, और संकेतक या तो एक-दूसरे के साथ जुड़े होते हैं (यदि डिग्री गुणा हो जाती है), या विभाजक संकेतक की डिग्री डिवाइरी संकेतक से (यदि डिग्री विभाजित होती है):
3 2 × 3 1 \u003d 3 ^ (2 + 1) \u003d 3 3 \u003d 3 × 3 × 3 \u003d 27
4 5 ÷ 4 3 \u003d 4 ^ (5-3) \u003d 4 2 \u003d 4 × 4 \u003d 16
और अब इस तरह के एक उदाहरण पर विचार करें:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 8 ^ (2-2) \u003d 8 0 \u003d?
क्या होगा यदि हम एक ही आधार के साथ डिग्री की संपत्ति का उपयोग नहीं करते हैं और उनके निम्नलिखित के क्रम में गणना का उत्पादन नहीं करते हैं:
8 2 ÷ 8 2 \u003d 64 ÷ 64 \u003d 1
तो हमें एक पोषित इकाई मिली। इस प्रकार, सीमा के शून्य संकेतक का कहना है कि संख्या स्वयं को गुणा नहीं किया गया है, लेकिन खुद से विभाजित है।
और इसलिए यह स्पष्ट हो जाता है कि अभिव्यक्ति 0 0 क्यों नहीं समझता है। आखिरकार, 0 को विभाजित करना असंभव है।