एक ट्रैपेज़ॉइड एक ऐसा चतुर्भुज है, जिसके दो पक्ष समानांतर हैं (ये ट्रैपेज़ॉइड के आधार हैं, जो चित्र ए और बी में दर्शाए गए हैं), और अन्य दो नहीं हैं (चित्रा, बीपी और सीबी में)। ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई आधारों के लिए लंबवत खींचा गया रेखा खंड है।

ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र और ठिकानों की लंबाई के ज्ञात मूल्यों के साथ ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई कैसे पता करें?

ट्रेपोज़ॉइड एबीसीडी के क्षेत्र एस की गणना करने के लिए, सूत्र का उपयोग करें:

एस \u003d ((ए + बी) × एच) / २।

यहां सेगमेंट और ए, ट्रेपेज़ॉइड के आधार हैं, एच ट्रैपोज़ॉइड की ऊंचाई है।

इस सूत्र को बदलना, हम लिख सकते हैं:

इस सूत्र का उपयोग करते हुए, हम h का मान प्राप्त करते हैं यदि क्षेत्र S और आधार लंबाई a और b ज्ञात हो।

उदाहरण

यदि यह ज्ञात है कि ट्रेपेज़ॉइड एस का क्षेत्र 50 सेमी the है, तो आधार की लंबाई ए 4 सेमी है, बेस बी की लंबाई 6 सेमी है, फिर ऊंचाई एच खोजने के लिए, हम सूत्र का उपयोग करते हैं:

हम सूत्र में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करते हैं।

h \u003d (2 × 50) / (4 + 6) \u003d 100/10 \u003d 10 सेमी

उत्तर: ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई 10 सेमी है।

यदि ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र और मिडलाइन की लंबाई को देखते हुए एक ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई कैसे पता करें?

आइए एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए सूत्र का उपयोग करें:

यहाँ m मध्य रेखा है, h समलंब की ऊंचाई है।

यदि सवाल उठता है, तो ट्रैपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे पता करें, सूत्र:

h \u003d S / m का उत्तर होगा।

इस प्रकार, हम ट्रेपोज़ॉइड एच की ऊंचाई पा सकते हैं, जिसमें क्षेत्र एस और मिडलाइन एम के खंड के ज्ञात मूल्य हैं।

उदाहरण

हम ट्रेपेज़ियम मीटर की मध्य रेखा की लंबाई जानते हैं, जो 20 सेमी है, और क्षेत्र एस, जो 200 सेमी the है। ट्रेपेज़ॉइड एच की ऊंचाई का मान ज्ञात कीजिए।

एस और एम के मूल्यों को प्रतिस्थापित करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

h \u003d 200/20 \u003d 10 सेमी

उत्तर: ट्रेपोजॉइड की ऊंचाई 10 सेमी है

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई कैसे ढूंढें?

यदि ट्रैपेज़ॉइड एक चतुर्भुज है, तो ट्रैपेज़ॉइड के दो समानांतर पक्ष (आधार) हैं। वह विकर्ण एक खंड है जो ट्रेपेज़ॉइड के कोनों के दो विपरीत कोने (आकृति में खंड एसी) को जोड़ता है। यदि ट्रैपेज़ॉइड आयताकार है, तो विकर्ण का उपयोग करके, हम ट्रेपोज़ॉइड एच की ऊंचाई पाते हैं।

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड एक ट्रैपेज़ॉइड है जहां पार्श्व पक्षों में से एक आधारों के लिए लंबवत है। इस मामले में, इसकी लंबाई (बीपी) ऊंचाई एच के साथ मेल खाती है।

तो, एक आयताकार ट्रेपोज़ॉइड एबीसीडी पर विचार करें, जहां एडी ऊंचाई है, डीसी आधार है, एसी विकर्ण है। पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हैं। समकोण त्रिभुज ADC के कर्ण एसी का वर्ग इसके पैर AB और BC के वर्गों के योग के बराबर है।

तो आप लिख सकते हैं:

AC \u003d AD² + DC²।

AD त्रिभुज का पैर है, ट्रेपेज़ियम का पक्ष और, एक ही समय में, इसकी ऊंचाई। आखिरकार, ब्लड प्रेशर का एक सेगमेंट आधारों के लिए लंबवत है। इसकी लंबाई होगी:

AD \u003d ² (AC² - DC²)

तो, हमारे पास ट्रैपेज़ॉइड एच \u003d एडी की ऊंचाई की गणना करने का एक सूत्र है

उदाहरण

यदि एक आयताकार ट्रेपोजॉइड (डीसी) के आधार की लंबाई 14 सेमी है और विकर्ण (एसी) 15 सेमी है, तो हम ऊंचाई (एडी-साइड) प्राप्त करने के लिए पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करेंगे।

आज्ञा देना x एक सही त्रिभुज (AD) का अज्ञात पैर है, तो

AC \u003d AD² + DC² लिखा जा सकता है

15 \u003d 14² + x²,

x \u003d √ (15²-14²) \u003d 225 (225-196) \u003d √29 सेमी

उत्तर: आयताकार ट्रेपोजॉइड (AB) की ऊंचाई ,29 सेमी होगी, जो लगभग 5.385 सेमी है

समद्विबाहु समलम्ब की ऊँचाई का पता कैसे लगाएं?

समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज एक समलम्ब कहलाता है, जिसमें भुजाओं की लंबाई एक दूसरे के बराबर होती है। इस तरह के एक ट्रेपोज़ॉइड के ठिकानों के मध्य बिंदु के माध्यम से खींची गई एक सीधी रेखा समरूपता का अक्ष होगी। एक विशेष मामला एक ट्रेपोजॉइड है, जिसके विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं, फिर ऊंचाई एच, आधारों के आधे-योग के बराबर होगी।

इस मामले पर विचार करें कि क्या विकर्ण एक-दूसरे के लंबवत नहीं हैं। समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार में, क्षार पर कोण समान होते हैं और विकर्ण की लंबाई समान होती है। यह भी ज्ञात है कि समद्विबाहु आघात के सभी कोने इस आघात के चारों ओर खींचे गए वृत्त की रेखा को स्पर्श करते हैं।

ड्राइंग पर विचार करें। ABCD एक समद्विबाहु समलम्ब है। यह ज्ञात है कि ट्रेपोज़ॉइड के आधार समानांतर हैं, जिसका अर्थ है कि AD \u003d a, पक्ष AB \u003d CD \u003d c के समानांतर BC \u003d b, जिसका अर्थ है कि आधार पर कोण क्रमशः बराबर हैं, आप कोण BAQ \u003d लिख सकते हैं सीडीएस \u003d α, और कोण एबीसी \u003d बीसीडी \u003d,। इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि त्रिभुज ABQ त्रिभुज SCD के बराबर है, इसलिए खंड

AQ \u003d SD \u003d (AD - BC) / 2 \u003d (a - b) / 2।

समस्या की स्थिति के आधार पर, आधारों के मान a और b, और पार्श्व पक्ष c की लंबाई से, हम खंड BQ के बराबर ट्रेपेज़ॉइड h की ऊँचाई पाते हैं।

एक समकोण त्रिभुज ABQ पर विचार करें। बीओ - बेस एडी के लिए लंबवत, ऊंचाई, इसलिए खंड एक्यू। हम अपने पहले के फार्मूले का उपयोग करते हुए त्रिभुज ABQ का पक्ष AQ पाते हैं:

एक समकोण त्रिभुज के दो पैरों के मान होने से, हम कर्ण BQ \u003d h पाते हैं। हम पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग करते हैं।

AB \u003d AQ² + BQ²

आइए इन कार्यों को प्रतिस्थापित करें:

c \u003d AQ² + h²।

हम समद्विबाहु समलम्ब की ऊँचाई को खोजने का सूत्र प्राप्त करते हैं:

h \u003d। (c²-AQ²)।

उदाहरण

दिया गया एक समद्विबाहु समलम्बाकार ABCD है, जहाँ आधार AD \u003d a \u003d 10cm, Base BC \u003d b \u003d 4cm, और AB AB \u003d c \u003d 12cm है। ऐसी स्थितियों के तहत, आइए, उदाहरण के माध्यम से, समलम्बाकार ऊँचाई, समद्विबाहु समलम्बा AVSD को कैसे खोजें, पर विचार करें।

ज्ञात डेटा को प्रतिस्थापित करके त्रिभुज ABQ का पक्ष AQ ज्ञात करें:

AQ \u003d (a - b) / 2 \u003d (10-4) / 2 \u003d 3 सेमी।

अब हम त्रिकोण के पक्षों के मूल्यों को पायथागॉरियन प्रमेय के सूत्र में बदल देते हैं।

h \u003d \u003d (c²- AQ²) \u003d ² (12²- 3 \u003d) \u003d √135 \u003d 11.6 सेमी।

उत्तर। समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड एबीसीडी की ऊंचाई एच 11.6 सेमी है।

तथा। अब आप विचार करना शुरू कर सकते हैं कि एक ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र कैसे खोजना है। रोजमर्रा के जीवन में यह कार्य बहुत कम ही होता है, लेकिन कभी-कभी यह आवश्यक हो जाता है, उदाहरण के लिए, एक ट्रेपोज़ॉइड के रूप में एक कमरे के क्षेत्र को खोजने के लिए, जो आधुनिक अपार्टमेंट के निर्माण में तेजी से उपयोग किया जाता है, या में नवीकरण के लिए डिजाइन परियोजनाएं।

एक ट्रेपोज़ॉइड एक ज्यामितीय आकृति है जो चार इंटरसेक्टिंग लाइन सेगमेंट द्वारा बनाई गई है, जिनमें से दो एक दूसरे के समानांतर हैं और ट्रेपोज़ॉइड के आधार कहे जाते हैं। अन्य दो खंडों को ट्रैपेज़ॉइड का पक्ष कहा जाता है। इसके अलावा, एक और परिभाषा इस प्रकार उपयोगी होगी। यह ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा है, जो पक्षों के मध्य बिंदु और ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई को जोड़ने वाला एक खंड है, जो आधारों के बीच की दूरी के बराबर है।
त्रिकोणों की तरह, एक समलम्बाकार में समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलम्बाकार के रूप में विशेष विचार होते हैं, जिसमें पक्षों की लंबाई समान होती है, और एक आयताकार समलम्बाकार, जिसमें एक पक्ष आधारों के साथ एक समकोण बनाता है।

ट्रेपेज़ियम में कुछ दिलचस्प गुण हैं:

1. ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा आधारों के आधे-योग के बराबर होती है और उनके समानांतर होती है।
   
2. समद्विबाहु ट्रेपेज़ियम में, आधारों के साथ उनके पक्ष और कोण समान होते हैं।
   
3. ट्रेपोज़ॉइड के विकर्णों के मध्य बिंदु और इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु एक सीधी रेखा पर हैं।
   
4. यदि समलम्बाकार भुजाओं का योग आधारों के योग के बराबर है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है
   
5. यदि किसी भी आधार पर एक समलम्ब के किनारे द्वारा निर्मित कोणों का योग 90 के बराबर है, तो आधारों के मध्यबिंदुओं को जोड़ने वाले खंड की लंबाई उनके आधे अंतर के बराबर है।
   
6. एक समद्विबाहु ट्रेपोज़ॉइड को एक सर्कल द्वारा वर्णित किया जा सकता है। और इसके विपरीत। यदि ट्रेपेज़ॉइड एक सर्कल में फिट बैठता है, तो यह समद्विबाहु है।
   
7. समद्विबाहु समलम्ब के आधारों के मध्य बिंदु से गुजरने वाला खंड अपने आधारों के लंबवत होगा और समरूपता के अक्ष का प्रतिनिधित्व करता है।
   

एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को कैसे ढूंढें.

ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र ऊंचाई से गुणा किए गए उसके ठिकानों के आधे-बराबर के बराबर होगा। सूत्र के रूप में, यह एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखा गया है:

जहाँ S समलम्बाकार क्षेत्र है, a, b समलम्बा के प्रत्येक तल की लम्बाई है, h समलम्बाकार की ऊँचाई है।

आप इस सूत्र को इस प्रकार समझ और याद कर सकते हैं। नीचे दिए गए आंकड़े से निम्नानुसार, मिडलाइन का उपयोग करते हुए एक ट्रेपॉइड को एक आयत में बदल दिया जा सकता है जिसकी लंबाई आधारों के आधे-योग के बराबर होगी।

आप किसी भी ट्रेपोज़ॉइड को सरल आकृतियों में भी विघटित कर सकते हैं: एक आयत और एक या दो त्रिकोण, और यदि यह आपके लिए आसान है, तो उसके घटक आंकड़ों के क्षेत्रों के रूप में ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को ढूंढें।

इसके क्षेत्र की गणना के लिए एक और सरल सूत्र है। इसके अनुसार, ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ट्रेपोज़ॉइड की ऊँचाई द्वारा उसकी मध्य रेखा के उत्पाद के बराबर होता है और इसे इस प्रकार लिखा जाता है: S \u003d m * h, जहाँ S क्षेत्र है, मी मिडलाइन की लंबाई है, h, ट्रेपेज़ॉइड की ऊँचाई है। यह सूत्र रोजमर्रा की समस्याओं की तुलना में गणित में समस्याओं के लिए अधिक उपयुक्त है, क्योंकि वास्तविक स्थितियों में आप प्रारंभिक गणना के बिना केंद्र रेखा की लंबाई नहीं जान पाएंगे। और आप केवल आधारों और पक्षों की लंबाई जान पाएंगे।

इस मामले में, ट्रैपेज़ॉइड का क्षेत्र सूत्र द्वारा पाया जा सकता है:

S \u003d ((a + b) / 2) * (c 2 - (((a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

जहां एस क्षेत्र है, ए, बी आधार हैं, सी, डी ट्रेपेज़ॉइड के पक्ष हैं।

एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के कई और तरीके हैं। लेकिन, वे अंतिम सूत्र के रूप में असुविधाजनक हैं, जिसका अर्थ है कि उन पर ध्यान केंद्रित करने का कोई मतलब नहीं है। इसलिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप लेख से पहले सूत्र का उपयोग करें और हम हमेशा सटीक परिणाम प्राप्त करना चाहते हैं।

एक ट्रेपोज़ॉइड एक उत्तल चतुर्भुज है जिसमें दो विपरीत पक्ष समानांतर हैं और अन्य दो समानांतर नहीं हैं। यदि चतुर्भुज के सभी विपरीत पक्ष युग्मक समानांतर हैं, तो यह एक समांतर चतुर्भुज है।

आपको चाहिये होगा

• - ट्रेपेज़ॉइड के सभी पक्ष (एबी, बीसी, सीडी, डीए)।

अनुदेश

• गैर-समानांतर पक्ष ट्रापेज़ पार्श्व पक्ष कहलाते हैं, और समानांतर वाले को आधार कहा जाता है। आधारों के बीच की रेखा, उनके लिए लंबवत - ऊंचाई ट्रापेज़... यदि पक्ष ट्रापेज़ बराबर हैं, तो इसे समद्विबाहु कहा जाता है। आइए सबसे पहले इसके समाधान पर विचार करें ट्रापेज़जो समद्विबाहु नहीं है।
• साइड से समानांतर B को बिंदु B से नीचे के आधार से खंड ड्रा करें ट्रापेज़ सीडी चूंकि बीई और सीडी समानांतर होते हैं और समानांतर आधारों के बीच खींचे जाते हैं ट्रापेज़ बीसी और डीए, फिर बीसीडीई एक समांतर चतुर्भुज है, और इसके विपरीत बीई और सीडी बराबर हैं। बीई \u003d सीडी।
• त्रिभुज ABE पर विचार करें। एई पक्ष की गणना। एई \u003d एडी-ईडी। नींव ट्रापेज़ BC और AD ज्ञात हैं, और समांतर चतुर्भुज BCDE में ED और BC के विपरीत पक्ष बराबर हैं। ईडी \u003d बीसी, इसलिए एई \u003d एडी-बीसी।
• अब अर्धवृत्ताकार गणना करके हेरॉन के सूत्र द्वारा त्रिभुज ABE के क्षेत्र का पता लगाएं। एस \u003d रूट (पी * (पी-एबी) * (पी-बीई) * (पी-एई))। इस सूत्र में, p त्रिभुज ABE का अर्धचालक है। p \u003d 1/2 * (AB + BE + AE)। क्षेत्र की गणना करने के लिए, आप सभी आवश्यक डेटा जानते हैं: एबी, बीई \u003d सीडी, एई \u003d एडी-बीसी।
• इसके बाद, त्रिकोण ABE के क्षेत्र को एक अलग तरीके से लिखें - यह त्रिकोण BH की ऊँचाई के आधे उत्पाद के बराबर है और किनारे AE जिस पर इसे खींचा गया है। एस \u003d 1/2 * बीएच * एई।
• इस सूत्र से व्यक्त करें ऊंचाई त्रिकोण, जो ऊंचाई भी है ट्रापेज़... बीएच \u003d 2 * एस / एई। इसकी गणना करें।

यदि ट्रेपोजॉइड समद्विबाहु है, तो समाधान अलग तरीके से किया जा सकता है। त्रिभुज ABH पर विचार करें। यह कोनों में से एक है, क्योंकि BHA, सीधा है।

• ऊपर से स्वाइप करें ऊंचाई सीएफ़
• एचबीसीएफ आंकड़े की जांच करें। एचबीसीएफ एक आयत है क्योंकि दो पक्ष ऊंचाइयां हैं और अन्य दो आधार हैं ट्रापेज़, अर्थात्, कोने सीधे हैं और विपरीत पक्ष समानांतर हैं। इसका मतलब है कि बीसी \u003d एचएफ।
• समकोण त्रिभुजों ABH और FCD को देखें। ऊंचाई BHA और CFD पर कोण सीधे हैं, और पार्श्व पक्षों BAH और CDF के कोण समान हैं, क्योंकि ट्रैपेज़ॉइड ABCD समद्विबाहु है, जिसका अर्थ है कि त्रिकोण समान हैं। चूंकि हाइट्स BH और CF बराबर या समद्विबाहु के किनारे हैं ट्रापेज़ AB और CD बराबर हैं, तो समान त्रिभुज भी समान हैं। इसका मतलब है कि उनके पक्ष एएच और एफडी भी समान हैं।
• AH का पता लगाएं। एएच + एफडी \u003d एडी-एचएफ। चूंकि समांतर चतुर्भुज एचएफ \u003d ईसा पूर्व से, और त्रिकोण एएच \u003d एफडी से, फिर एएच \u003d (एडी-बीसी) * 1/2।
• अगला, पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा समकोण त्रिभुज ABH से, गणना करें ऊंचाई बीएच। कर्ण एबी का वर्ग पैर AH और BH के वर्गों के योग के बराबर है। बीएच \u003d रूट (एबी * एबी-एएच * एएच)।

पिछले साल के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति समस्याएं कई स्कूली बच्चों के लिए कठिनाइयों का कारण बनती हैं। यदि आप सभी आवश्यक फ़ार्मुलों को याद करते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं, तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में, आप एक ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए सूत्र देखेंगे, साथ ही समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण भी। आप KIMs में प्रमाणन परीक्षा या ओलंपियाड में वही पा सकते हैं। इसलिए, उन्हें सावधानी से व्यवहार करें।

एक ट्रेपोज़ॉइड के बारे में आपको क्या जानने की आवश्यकता है?

के साथ शुरू करने के लिए, याद रखें समलम्ब एक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसके दो विपरीत पक्ष हैं, उन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर हैं, और अन्य दो नहीं हैं।

ऊंचाई को ट्रेपोज़ॉइड (आधार के लंबवत) में भी उतारा जा सकता है। मध्य रेखा खींची गई है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर है और उनकी राशि के आधे के बराबर है। साथ ही विकर्ण, जो तीव्र और तिरछे कोनों का गठन कर सकते हैं। या, कुछ मामलों में, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्बाकार समद्विबाहु है, तो एक चक्र को इसमें अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक चक्र का वर्णन करें।

ट्रेपेज़ॉइड क्षेत्र सूत्र

के साथ शुरू करने के लिए, एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए मानक सूत्रों पर विचार करें। हम नीचे एक समद्विबाहु और घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना कीजिए कि आपके पास आधार और बी के साथ एक ट्रेपोजॉइड है, जिसमें ऊंचाई एच को बड़े आधार पर नीचे लाया गया है। इस मामले में आंकड़े के क्षेत्र की गणना करना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के योग को दो से विभाजित करने की जरूरत है और जो आपको ऊंचाई से मिलता है उसे गुणा करें: एस \u003d 1/2 (ए + बी) * एच.

आइए हम एक और मामला लेते हैं: मान लीजिए, ट्रेपोज़ॉइड में, ऊंचाई के अलावा, मध्य रेखा m खींची गई है। हम midline की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m \u003d 1/2 (a + b)। इसलिए, हम एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र के सूत्र को निम्न रूप में सरल रूप से सरल कर सकते हैं: स \u003d म * ज... दूसरे शब्दों में, एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको ऊंचाई से मिडलाइन को गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प पर विचार करें: ट्रेपोज़ॉइड में, विकर्ण डी 1 और डी 2 खींचे जाते हैं, जो एक समकोण पर α पर नहीं झुकते हैं। इस तरह के एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के दो उत्पादों द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है और उन दोनों के बीच के कोण के पाप से आपको गुणा करना होगा: S \u003d 1 / 2d 1 d 2 * sinα.

अब एक समलम्ब के क्षेत्र को खोजने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके सभी पक्षों की लंबाई के अलावा इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है: a, b, c और d। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन आपके लिए इसे याद रखना उपयोगी होगा, बस मामले में: S \u003d 1/2 (a + b) * 1/2c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण मामले के लिए भी सही हैं जब आपको एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र सूत्र की आवश्यकता होती है। यह एक समलम्ब है, जिसके किनारे समकोण पर आधारों से सटे हैं।

समद्विबाहु आघात

एक समलम्बाकार, जिसके किनारे बराबर हैं, समद्विबाहु कहलाता है। हम समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्र के लिए सूत्र के कई प्रकारों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: इस मामले के लिए जब त्रिज्या आर के साथ एक चक्र समद्विबाहु समलम्ब के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार एक तीव्र कोण α बनता है। एक सर्कल को एक ट्रेपोज़ॉइड में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि उसके ठिकानों की लंबाई पक्षों की लंबाई के बराबर हो।

समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्र की गणना निम्न प्रकार से की जाती है: उत्कीर्ण वृत्त के त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और इसे सभी sinα द्वारा विभाजित करें: S \u003d 4r 2 / sinα... एक अन्य क्षेत्र सूत्र मामले के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और पक्ष के बीच का कोण 30 0 होता है: एस \u003d 8 आर 2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब को लेते हैं, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, साथ ही ऊँचाई h। यदि ट्रेपेज़ॉइड के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधा आधार का योग है: h \u003d 1/2 (a + b)। यह जानकर, एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र के लिए पहले से परिचित सूत्र को निम्न रूप में बदलना आसान है: स \u003d ज २.

घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र

आइए एक घुमावदार ट्रेपोज़ॉइड को देखकर शुरू करें। एक समन्वय अक्ष और एक निरंतर और गैर-नकारात्मक फ़ंक्शन f के ग्राफ़ की कल्पना करें जो x- अक्ष पर किसी दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। वक्रता ट्रेपेज़ॉइड फ़ंक्शन y \u003d f (x) के ग्राफ द्वारा निर्मित होता है - शीर्ष पर, x- अक्ष - तल पर (खंड), और पक्षों पर - बिंदु a और b और ग्राफ़ के बीच खींची गई रेखाएँ समारोह के।

उपरोक्त विधियों का उपयोग करके ऐसे गैर-मानक आकार के क्षेत्र की गणना करना असंभव है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और अभिन्न का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - S \u003d a b a f (x) dx \u003d F (x) \u003d b a \u003d F (b) - F (a)... इस सूत्र में, F चयनित खंड पर हमारे कार्य का विरोधी है। और घुमावदार ट्रेपोजॉइड का क्षेत्र किसी दिए गए सेगमेंट पर एंटीसाइवरेटिव की वृद्धि से मेल खाता है।

कार्यों के उदाहरण

इन सभी फ़ार्मुलों को अपने सिर में बेहतर तरीके से व्यवस्थित करने के लिए, एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के लिए कार्यों के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। यह सबसे अच्छा होगा यदि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करते हैं, और उसके बाद ही तैयार समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।

टास्क नंबर 1: एक ट्रेपोजॉइड दिया। इसका बड़ा आधार 11 सेमी है, छोटा 4 सेमी है। विकर्ण ट्रेपेज़ॉइड में खींचे जाते हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।

समाधान: ट्रेम्पोज़ॉइड एएमपीसी का निर्माण। वर्टेक्स पी के माध्यम से लाइन पीएक्स ड्रा करें ताकि यह एमसी विकर्ण और समानांतर एक्स के समानांतर बिंदु एक्स पर समानांतर हो। आपको एक त्रिकोण एआरएक्स मिलेगा।

हम इन जोड़तोड़ों के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: त्रिकोण ARX और समांतर चतुर्भुज CMRX।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि पीएक्स \u003d एमसी \u003d 12 सेमी और सीएक्स \u003d एमआर \u003d 4 सेमी। हम त्रिभुज ARX: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 सेमी के साइड AX की गणना कैसे कर सकते हैं।

हम यह भी साबित कर सकते हैं कि त्रिभुज ARX आयताकार है (इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 \u003d AR 2 + PX 2 लागू करें)। और इसके क्षेत्र की गणना करें: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2।

अगला, आपको यह साबित करने की आवश्यकता है कि त्रिकोण एएमपी और पीसीएक्स आकार में बराबर हैं। आधार एमपी और सीएक्स (पहले से ऊपर साबित) पक्षों की समानता होगी। और उन ऊंचाइयों को भी जो आप इन पक्षों पर कम करते हैं - वे एएमआरएस ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह बताने की अनुमति देगा कि S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2।

टास्क नंबर 2: केआरएमएस का ट्रेपोजॉइड दिया गया है। अंक O और E इसके पार्श्व पक्षों पर स्थित हैं, जबकि OE और KC समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि ट्रेपेज़ियम ओआरएमई और ओसीई के क्षेत्र 1: 5 के अनुपात में हैं। पीएम \u003d ए और केसी \u003d बी। OE खोजना आवश्यक है।

समाधान: बिंदु M के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचना, RC के समानांतर, और T. A द्वारा OE के साथ इसके चौराहे के बिंदु को नामित करें - RC के समानांतर बिंदु बिंदु समानांतर के माध्यम से खींची गई सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु। कोतवाल।

आइए हम एक और संकेतन पेश करें - OE \u003d x। और टीएमई त्रिकोण के लिए ऊंचाई एच 1 और एईसी त्रिकोण के लिए ऊंचाई एच 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिकोणों की समानता साबित कर सकते हैं)।

हम यह मान लेंगे कि बी\u003e ए। ट्रेपेज़ियम ओआरएमई और ओकेएसई के क्षेत्र 1: 5 से संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a))।

चूंकि त्रिकोण TME और AEC समान हैं, इसलिए हमारे पास 1 / h 2 \u003d (x - a) / (b - x) है। दोनों अभिलेखों को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) (5 \u200b\u200b(x - a) (x + a) \u003d (b) + x) (b - x) (5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) - 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6।

इस प्रकार, OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6।

निष्कर्ष

ज्यामिति सबसे आसान विज्ञान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से परीक्षा कार्यों का सामना कर सकते हैं। यह तैयारी में थोड़ी दृढ़ता दिखाने के लिए पर्याप्त है। और, ज़ाहिर है, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के लिए सभी फ़ार्मुलों को एक स्थान पर इकट्ठा करने का प्रयास किया है ताकि आप परीक्षा के लिए तैयार होने और सामग्री की समीक्षा करने के लिए उनका उपयोग कर सकें।

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ज्यामिति पाठ में आत्मविश्वास महसूस करने और समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्र सीखना पर्याप्त नहीं है। उन्हें सबसे पहले और सबसे पहले समझा जाना चाहिए। भयभीत होने के लिए, सूत्र से घृणा करने दें, अनुत्पादक है। इस लेख में, एक सुलभ भाषा में, एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने के विभिन्न तरीकों का विश्लेषण किया जाएगा। संबंधित नियमों और प्रमेयों के एक बेहतर आत्मसात के लिए, हम इसके गुणों पर कुछ ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और आपको कुछ सूत्र कब लागू करने चाहिए।

एक ट्रेपोजॉइड को परिभाषित करना

यह आंकड़ा सामान्य रूप से क्या है? एक ट्रेपोजॉइड दो समानांतर पक्षों के साथ चार कोनों का बहुभुज है। ट्रेपेज़ॉइड के अन्य दो पक्षों को अलग-अलग कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसके समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर पक्षों के लिए "पक्ष" या "जांघ" नाम का उपयोग किया जाता है। रोजमर्रा की जिंदगी में इस तरह के आंकड़े काफी आम हैं। ट्रेपोज़ॉइड के आकृति को कपड़े, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, टेबलवेयर और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखा जा सकता है। ट्रेपोजॉइड विभिन्न प्रकार के होते हैं: बहुमुखी, समद्विबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकारों और गुणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

ट्रेपोजॉइड गुण

आइए हम इस आंकड़े के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। दोनों ओर के कोणों का योग हमेशा 180 ° होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ट्रेपेज़ॉइड के सभी कोण 360 डिग्री तक जुड़ते हैं। ट्रेपोजॉइड में एक मिडलाइन की अवधारणा है। यदि आप पक्षों के मध्य बिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। यह नामित है एम। मध्य रेखा में महत्वपूर्ण गुण होते हैं: यह हमेशा आधारों के समानांतर होता है (हमें याद है कि आधार एक दूसरे के समानांतर भी हैं) और उनकी आधी राशि के बराबर है:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

ट्रेपोज़ॉइड में, आप हमेशा ऊंचाई को आधार से कम कर सकते हैं। ऊँचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक h द्वारा निरूपित किया जाता है, जो किसी भी बिंदु से एक आधार से दूसरे आधार या इसके विस्तार के लिए तैयार किया जाता है। मिडलाइन और ऊंचाई आपको ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने में मदद करेगी। इस तरह के कार्य स्कूल ज्यामिति पाठ्यक्रम में सबसे आम हैं और नियमित रूप से नियंत्रण और परीक्षा पत्रों के बीच दिखाई देते हैं।

एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए दो सबसे लोकप्रिय और सरल सूत्रों का विश्लेषण करें जो एक समलम्ब के क्षेत्र को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं। यह आधारों की आधी राशि से ऊंचाई को आसानी से गुणा करने के लिए पर्याप्त है जो आप देख रहे हैं:

एस \u003d एच * (ए + बी) / २।

इस सूत्र में, बी, ट्रेपेज़ॉइड, एच - ऊंचाई के आधार को दर्शाता है। धारणा में आसानी के लिए, इस लेख में, गुणन संकेतों को सूत्रों में (*) प्रतीक के साथ चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न आमतौर पर छोड़ा जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें।

यह देखते हुए: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों के साथ एक ट्रेपेज़ॉइड, ऊंचाई 7 सेमी है। ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या के समाधान का विश्लेषण करें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको पहले आधारों के आधे-योग को खोजने की आवश्यकता है: (10 + 14) / 2 \u003d 12. इसलिए, अर्ध-योग 12 सेमी के बराबर होता है। अब हम आधे-योग को ऊंचाई: 12 * से गुणा करते हैं। 7 \u003d 84. इच्छित वस्तु मिली है। उत्तर: ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्रफल 84 वर्ग है। सेमी।

दूसरा प्रसिद्ध सूत्र कहता है: एक ट्रेपोज़ॉइड का क्षेत्र ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई से मिडलाइन के उत्पाद के बराबर है। यही है, यह वास्तव में मध्य रेखा के पिछले अवधारणा से निम्नानुसार है: एस \u003d एम * एच।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र को खोजने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना मुश्किल नहीं है। यह अपने विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र के अनुसार, इस क्षेत्र को खोजने के लिए, आपको उनके विकर्णों के आधे-उत्पाद (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की सीमा से गुणा करना होगा:

एस \u003d ½ डी 1 डी 2 पाप ए।

एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाता है। दिया गया: क्रमशः 8 और 13 सेमी की विकर्ण लंबाई के साथ एक ट्रेपोज़। विकर्णों के बीच का कोण 30 ° है। ट्रैपेज़ॉइड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

फेसला। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करना, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30 ° 0.5 है। इसलिए, एस \u003d 8 * 13 * 0.5 \u003d 52। उत्तर- क्षेत्रफल 52 वर्ग है। सेमी।

हम एक समद्विबाहु समलम्ब के क्षेत्र की तलाश कर रहे हैं

ट्रेपेज़ियम समद्विबाहु (समद्विबाहु) हो सकता है। इसके किनारे समान हैं और आधार पर कोण समान हैं, जो चित्र में अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज में एक समान गुणधर्म समरूप है, साथ ही कई विशेष। एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और एक वृत्त को इसमें अंकित किया जा सकता है।

इस तरह के एक आंकड़े के क्षेत्र की गणना करने के लिए क्या तरीके हैं? नीचे दी गई विधि में बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग करने के लिए, आपको ट्रेपोज़ॉइड के आधार पर कोण के साइन (पाप) और कोसाइन (कॉस) के मूल्यों को जानना होगा। उनकी गणना के लिए, ब्रैडिस टेबल या इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता होती है। यह सूत्र है:

स \u003d सी* पाप ए*(ए - सी* कॉस ए),

कहा पे से - पार्श्व जांघ, ए - नीचे के आधार पर कोण।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार में समान लंबाई के विकर्ण होते हैं। आक्षेप भी सच है: यदि एक ट्रेपोजॉइड में समान विकर्ण है, तो यह समद्विबाहु है। इसलिए, निम्न सूत्र, जो एक ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने में मदद करता है, उनके बीच के कोण की आरेख द्वारा विकर्णों के वर्ग का आधा उत्पाद है: S \u003d 2 d 2 sin ए।

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र ज्ञात करें

एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड का एक विशेष मामला ज्ञात है। यह एक ट्रेपोज़ॉइड है जिसमें एक पार्श्व पक्ष (इसकी जांघ) समकोण पर आधारों से जुड़ती है। इसमें एक साधारण ट्रेपोजॉइड के गुण हैं। इसके अलावा, यह एक बहुत ही दिलचस्प विशेषता है। इस तरह के एक ट्रेपोज़ॉइड के विकर्णों के वर्गों के बीच का अंतर इसके ठिकानों के वर्गों के बीच अंतर के बराबर है। इसके लिए, क्षेत्र की गणना के लिए पहले दिए गए सभी तरीकों का उपयोग किया जाता है।

सरलता को लागू करना

एक चाल है जो विशिष्ट सूत्रों के विस्मरण की स्थिति में मदद कर सकती है। आइए एक नज़र डालें कि एक ट्रेपोज़ॉइड क्या है। यदि हम इसे मानसिक रूप से भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलते हैं: एक वर्ग या आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि आप ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई और पक्षों को जानते हैं, तो आप एक त्रिकोण और एक आयत के क्षेत्र के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी परिणामी मान जोड़ सकते हैं।

आइए हम इस उदाहरण के साथ इसका उदाहरण दें। एक आयताकार ट्रेपेज़ॉइड दिया गया है। कोण C \u003d 45 °, कोण A, D 90 ° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। यह आंकड़ा के क्षेत्र की गणना करने के लिए आवश्यक है।

इस आंकड़े में स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दोनों कोण 90 ° हैं) और एक त्रिकोण शामिल है। चूंकि ट्रेपेज़ॉइड आयताकार है, इसलिए, इसकी ऊंचाई इसके पार्श्व पक्ष के बराबर है, अर्थात, 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी के पक्षों के साथ एक आयत है। अब एक त्रिकोण पर विचार करें जिसका कोण 45 ° है। हम जानते हैं कि इसका एक पक्ष 16 सेमी है। चूंकि यह पक्ष एक ही समय में ट्रेपोज़ॉइड की ऊंचाई है (और हम जानते हैं कि ऊंचाई एक सही कोण पर आधार पर गिरती है), इसलिए, त्रिकोण का दूसरा कोण है 90 °। इसलिए त्रिभुज का शेष कोण 45 ° है। परिणामस्वरूप, हमें एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज मिलता है जिसमें दो भुजाएँ समान होती हैं। इसका मतलब है कि त्रिकोण का दूसरा किनारा ऊंचाई के बराबर है, अर्थात 16 सेमी है। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्र की गणना करने और परिणामी मानों को जोड़ने के लिए बना हुआ है।

समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के उत्पाद के आधे हिस्से के बराबर है: S \u003d (16 * 16) / 2 \u003d 128. एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के उत्पाद के बराबर है : एस \u003d 20 * 16 \u003d 320. हमें आवश्यक मिला: ट्रेपोज़ॉइड एस का क्षेत्र \u003d 128 + 320 \u003d 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से अपने आप को दोहरा सकते हैं, उत्तर समान होगा।

पिक के सूत्र का उपयोग करना

अंत में, हम एक और मूल सूत्र प्रस्तुत करते हैं जो एक समलम्ब के क्षेत्र को खोजने में मदद करता है। इसे पिक का सूत्र कहा जाता है। जब चेचक कागज पर ट्रेपोजॉइड खींचा जाता है, तो इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसी तरह के कार्य अक्सर जीआईए की सामग्रियों में पाए जाते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

एस \u003d एम / 2 + एन - 1,

इस सूत्र में M नोड्स की संख्या है, अर्थात ट्रेपेज़ॉइड (चित्रा में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर कोशिकाओं की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं के चौराहों, एन आंकड़ा के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। अनियमित बहुभुज के क्षेत्र को खोजने के दौरान इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक है। हालांकि, तकनीकों का शस्त्रागार जितना बड़ा होगा, कम त्रुटियां और बेहतर परिणाम होंगे।

बेशक, दी गई जानकारी ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों को समाप्त नहीं करती है, साथ ही साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीके भी। यह लेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में, धीरे-धीरे कार्य करना महत्वपूर्ण है, आसान सूत्रों और समस्याओं के साथ शुरू करें, लगातार समझ को मजबूत करें, और जटिलता के दूसरे स्तर पर जाएं।

सबसे आम सूत्र एक साथ रखे गए हैं जो छात्रों को एक ट्रैपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना के विभिन्न तरीकों से नेविगेट करने और इस विषय पर परीक्षण और परीक्षण के लिए बेहतर तैयारी करने में मदद करेंगे।