Средняя молекулярная масса представляет собой условную величину и относится к такому однородному газу, у которого число молекул и общая масса равны числу молекул и массе смеси газов.

Если известна величина газовой постоянной смеси, то

Заменяя газовые постоянные R 1 , R 2 , ..., R n их значениями из уравнения Клапейрона, получаем выражение для средней молекулярной массы, если смесь задана массовыми долями:

(3-8)

Если смесь задана объемными долями, то, как следует из уравнения (3-6),

Поскольку то

Средняя молекулярная масса смеси газов равна сумме произведений объемных долей на молекулярные массы отдельных газов, составляющих смесь.

Парциальные давления

Парциальное давление газа может быть определено через массовые доли из уравнения Клапейрона, если известны основные параметры газа:

(3-10)

Для нахождения парциального давления каждого газа при задании смеси объемными долями можно воспользоваться законом Бойля - Мариотта, из которого следует, что при постоянной температуре

(3-11)

Парциальное давление каждого газа равно произведению общего давления смеси газов на его объемную долю.

Уравнением (3-11) обычно пользуются при технических расчетах и при испытаниях тепловых установок. Объемные доли газов определяют специальными аппаратами - газоанализаторами.

Удельная энтальпия, т. е. энтальпия, отнесенная к 1 кг, обозначается буквой i и представляет собой по определению сложную функцию вида

Дифференциал энтальпии di есть элементарное количество теплоты, участвующее в процессе при постоянном давлении. Вся теплота в процессе при постоянном давлении расходуется на изменение энтальпии:

(5-15)

Из уравнения (5-12) следует, что

(5-16)

Энтальпия больше внешней теплоты на величину работы vdp, которая на рv-диаграмме изображается элементарной площадкой abed (рис. 5-11). Очевидно, вся пл. ABCD определяется выражением

, которое называется располагаемой, или полезной, работой.

Изменение энтальпии полностью определяется начальным и конечным состоянием рабочего тела и не зависит от промежуточных состояний. Изменение энтальпии газа в циклах равно нулю, т. е.

Поскольку энтальпия является функцией основных параметров состояния, то di есть полный дифференциал этой функции при любых независимых переменных, характеризующих состояние газа;

(5-17)

Изменение энтальпии во всех процессах, протекающих между двумя точками А и В, будет одинаковым (рис. 5-12).

Физический смысл энтальпии будет понятен из рассмотрения следующего примера. На перемещающийся поршень в цилиндре с 1 кг газа помещена гиря массой т кг (рис. 5-13). Площадь поршня /; внутренняя энергия рабочего тела и. Потенциальная энергия гири равна произведению массы гири т на высоту S. Так как давление газа р уравновешивается массой гири, то потенциальную энергию ее можно выразить иначе:

Произведение /S есть удельный объем газа. Отсюда

Произведение давления на объем есть работа, которую надо затратить, чтобы ввести газ объемом v во внешнюю среду с давлением р. Таким образом, работа pv есть потенциальная энергия газа, зависящая от сил, действующих на поршень. Чем больше эти внешние силы, тем больше давление р и тем больше потенциальная энергия давления pv.

Если рассматривать газ, находящийся в цилиндре и поршень с грузом как одну систему, которую будем называть расширенной системой, то полная энергия Е этой системы складывается из внутренней энергии газа и и потенциальной энергии поршня с грузом, равной pv:

Отсюда видно, что энтальпия i равна энергии расширенной системы - тела и окружающей среды. В этом и заключается физический смысл энтальпии.

Значения энтальпий для паров, газов и газовых смесей приводятся в технической и справочной литературе. Пользуясь этими данными, можно определять количество теплоты, участвующее в процессе при постоянном давлении. Энтальпия получила большое значение и применение при расчетах тепловых и холодильных установок и, как параметр состояния рабочего тела, значительно упрощает тепловые расчеты. Она позволяет [применять графические методы при исследовании всевозможных термодинамических процессов и циклов.

Энтальпией особенно целесообразно пользоваться тогда, когда в качестве основных параметров принимают р и Т. Это наглядно можно видеть, если энтальпию i сравнить с внутренней энергией и. При v = const уравнение первого закона термодинамики dq = = du + pdv превращается в dq v = du, или q v - u 2 -u 1 а при р = const q p = i 3 - i 1 .

Энтальпия идеального газа," так же как и внутренняя энергия, является функцией температуры и не зависит от других параметров. Действительно, для идеального газа

следовательно (поскольку оба слагаемых зависят только от температуры), i = f(T).

Тогда по аналогии с внутренней энергией будем иметь

т. е. в любом процессе изменения состояния идеального газа производная от изменения энтальпии по температуре будет полной производной.

Численные значения энтальпий идеальных газов приведены в приложении, табл. XIII.

2.10.1. Расчет относительных и абсолютных масс атомов и молекул

Относительные массы атомов и молекул определяются с использованием приведенных в таблице Д.И. Менделеева величин атомных масс. При этом, при проведении расчетов для учебных целей значения атомных масс элементов обычно округляются до целых чисел (за исключением хлора, атомная масса которого принимается равной 35,5).

Пример 1. Относительная атомная масса кальция А r (Са)=40; относительная атомная масса платины А r (Pt)=195.

Относительная масса молекулы рассчитывается как сумма относительных атомных масс составляющих данную молекулу атомов с учетом количества их вещества.

Пример 2. Относительная молярная масса серной кислоты:

М r (H 2 SO 4) = 2A r (H) + A r (S) + 4A r (O) = 2· 1 + 32 + 4· 16 = 98.

Величины абсолютных масс атомов и молекул находятся делением массы 1 моль вещества на число Авогадро.

Пример 3. Определите массу одного атома кальция.

Решение. Атомная масса кальция составляет А r (Са)=40 г/моль. Масса одного атома кальция окажется равной:

m(Ca)= А r (Ca) : N A =40: 6,02· 10 23 = 6,64· 10 -23 г.

Пример 4. Определите массу одной молекулы серной кислоты.

Решение. Молярная масса серной кислоты равна М r (H 2 SO 4) = 98. Масса одной молекулы m(H 2 SO 4) равна:

m(H 2 SO 4) = М r (H 2 SO 4) : N A = 98:6,02· 10 23 = 16,28· 10 -23 г.

2.10.2. Расчет количества вещества и вычисление числа атомных и молекулярных частиц по известным значениям массы и объема

Количество вещества определяется путем деления его массы, выраженной в граммах, на его атомную (молярную) массу. Количество вещества, находящегося в газообразном состоянии при н.у., находится делением его объема на объем 1 моль газа (22,4 л).

Пример 5. Определите количество вещества натрия n(Na), находящегося в 57,5 г металлического натрия.

Решение. Относительная атомная масса натрия равна А r (Na)=23. Количество вещества находим делением массы металлического натрия на его атомную массу:

n(Na)=57,5:23=2,5 моль.

Пример 6 . Определите количество вещества азота, если его объем при н.у. составляет 5,6 л.

Решение. Количество вещества азота n(N 2) находим делением его объема на объем 1 моль газа (22,4 л):

n(N 2)=5,6:22,4=0,25 моль.

Число атомов и молекул в веществе определяется умножением количества вещества атомов и молекул на число Авогадро.

Пример 7. Определите число молекул, содержащихся в 1 кг воды.

Решение. Количество вещества воды находим делением ее массы (1000 г) на молярную массу (18 г/моль):

n(Н 2 О) = 1000:18=55,5 моль.

Число молекул в 1000 г воды составит:

N(Н 2 О) = 55,5· 6,02· 10 23 = 3,34· 10 24 .

Пример 8. Определите число атомов, содержащихся в 1 л (н.у.) кислорода.

Решение. Количество вещества кислорода, объем которого при нормальных условиях составляет 1 л равно:

n(О 2) = 1: 22,4 = 4,46· 10 -2 моль.

Число молекул кислорода в 1 л (н.у.) составит:

N(О 2) = 4,46· 10 -2 · 6,02· 10 23 = 2,69· 10 22 .

Следует отметить, что 26,9· 10 22 молекул будет содержаться в 1 л любого газа при н.у. Поскольку молекула кислорода двухатомна, число атомов кислорода в 1 л будет в 2 раза больше, т.е. 5,38· 10 22 .

2.10.3. Расчет средней молярной массы газовой смеси и объемной доли
содержащихся в ней газов

Средняя молярная масса газовой смеси рассчитывается на основе молярных масс составляющих эту смесь газов и их объемных долей.

Пример 9. Полагая, что содержание (в объемных процентах) азота, кислорода и аргона в воздухе соответственно составляет 78, 21 и 1, рассчитайте среднюю молярную массу воздуха.

Решение.

М возд = 0,78· М r (N 2)+0,21· М r (O 2)+0,01· М r (Ar)= 0,78· 28+0,21· 32+0,01· 40 = 21,84+6,72+0,40=28,96

Или приблизительно 29 г/моль.

Пример 10. Газовая смесь содержит 12 л NH 3 , 5 л N 2 и 3 л Н 2 , измеренных при н.у. Рассчитать объемные доли газов в этой смеси и ее среднюю молярную массу.

Решение. Общий объем смеси газов равен V=12+5+3=20 л. Объемные доли j газов окажутся равными:

φ(NH 3)= 12:20=0,6; φ(N 2)=5:20=0,25; φ(H 2)=3:20=0,15.

Средняя молярная масса рассчитывается на основе объемных долей составляющих эту смесь газов и их молекулярных масс:

М=0,6· М(NH 3)+0,25· M(N 2)+0,15· M(H 2) = 0,6· 17+0,25· 28+0,15· 2 = 17,5.

2.10.4. Расчет массовой доли химического элемента в химическом соединении

Массовая доля ω химического элемента определяется как отношение массы атома данного элемента Х, содержащегося в данной массе вещества к массе этого вещества m. Массовая доля – безразмерная величина. Ее выражают в долях от единицы:

ω(X) = m(X)/m (0 <ω< 1);

или в процентах

ω(X),%= 100 m(X)/m (0% <ω<100%),

где ω(X) – массовая доля химического элемента X; m(X) – масса химического элемента X; m – масса вещества.

Пример 11. Рассчитайте массовую долю марганца в оксиде марганца (VII).

Решение. Молярные массы веществ равны: М(Mn) = 55 г/моль, М(О) = 16 г/моль, M(Mn 2 O 7)=2М(Mn)+7М(О)= 222 г/моль. Следовательно, масса Mn 2 O 7 количеством вещества 1 моль составляет:

m(Mn 2 O 7) = M(Mn 2 O 7)· n(Mn 2 O 7) = 222· 1= 222 г.

Из формулы Mn 2 O 7 следует, что количество вещества атомов марганца в два раза больше количества вещества оксида марганца (VII). Значит,

n(Mn) = 2n(Mn 2 O 7) = 2 моль,

m(Mn)= n(Mn)· M(Mn) = 2· 55 = 110 г.

Таким образом, массовая доля марганца в оксиде марганца(VII) равна:

ω(X)=m(Mn) : m(Mn 2 O 7) = 110:222 = 0,495 или 49,5%.

2.10.5. Установление формулы химического соединения по его элементному составу

Простейшая химическая формула вещества определяется на основании известных величин массовых долей входящих в состав этого вещества элементов.

Допустим имеется образец вещества Na x P y O z массой m o г. Рассмотрим как определяется его химическая формула, если известны количества вещества атомов элементов, их массы или массовые доли в известной массе вещества. Формула вещества определяется отношением:

x: y: z = N(Na) : N(P) : N(O).

Это отношение не изменится, если каждый его член разделить на число Авогадро:

x: y: z = N(Na)/N A: N(P)/N A: N(O)/N A = ν(Na) : ν(P) : ν(O) .

Таким образом, для нахождения формулы вещества необходимо знать соотношение между количествами веществ атомов в одной и той же массе вещества:

x: y: z = m(Na)/M r (Na) : m(P)/M r (P) : m(O)/M r (O).

Если разделить каждый член последнего уравнения на массу образца m o , то получим выражение, позволяющее определить состав вещества:

x: y: z = ω(Na)/M r (Na) : ω(P)/M r (P) : ω(O)/M r (O).

Пример 12. Вещество содержит 85,71 масс. % углерода и 14,29 масс. % водорода. Молярная его масса равна 28 г/моль. Определите простейшую и истинную химические формулы этого вещества.

Решение. Соотношение между количеством атомов в молекуле С х Н у определяется делением массовых долей каждого элемента на его атомную массу:

х: у = 85,71/12: 14,29/1 = 7,14:14,29 = 1: 2.

Таким образом простейшая формула вещества - СН 2 . Простейшая формула вещества не всегда совпадает с его истинной формулой. В данном случае формула СН 2 не соответствует валентности атома водорода. Для нахождения истинной химической формулы необходимо знать молярную массу данного вещества. В данном примере молярная масса вещества равна 28 г/моль. Разделив 28 на 14 (сумму атомных масс, отвечающих формульной единице СН 2), получаем истинное соотношение между числом атомов в молекуле:

Получаем истинную формулу вещества: С 2 Н 4 - этилен.

Вместо молярной массы для газообразных веществ и паров в условии задачи может быть указана плотность по какому-либо газу или по воздуху.

В рассматриваемом случае плотность газа по воздуху составляет 0,9655. На основании этой величины может быть найдена молярная масса газа:

М = М возд · D возд = 29· 0,9655 = 28.

В этом выражении М – молярная масса газа С х Н у, М возд – средняя молярная масса воздуха, D возд - плотность газа С х Н у по воздуху. Полученная величина молярной массы используется для определения истинной формулы вещества.

В условии задачи может не указываться массовая доля одного из элементов. Она находится вычитанием из единицы (100%) массовых долей всех остальных элементов.

Пример 13. Органическое соединение содержит 38,71 масс. % углерода, 51,61 масс. % кислорода и 9,68 масс. % водорода. Определить истинную формулу этого вещества, если плотность его паров по кислороду составляет 1,9375.

Решение. Рассчитываем соотношение между количеством атомов в молекуле С х Н y О z:

х: у: z = 38,71/12: 9,68/1: 51,61/16 = 3,226: 9,68: 3,226= 1:3:1.

Молярная масса М вещества равна:

М = М(O 2)· D(O 2) = 32· 1,9375 = 62.

Простейшая формула вещества СН 3 О. Сумма атомных масс для этой формульной единицы составит 12+3+16=31. Делим 62 на 31 и получаем истинное соотношение между количеством атомов в молекуле:

х: у: z = 2: 6: 2.

Таким образом, истинная формула вещества С 2 Н 6 О 2 . Эта формула отвечает составу двухатомного спирта – этиленгликоля: СН 2 (ОН)-СН 2 (ОН).

2.10.6. Определение молярной массы вещества

Молярная масса вещества может быть определена на основе величины плотности его паров по газу с известной величиной молярной массы.

Пример 14 . Плотность паров некоторого органического соединения по кислороду равна 1,8125. Определите молярную массу этого соединения.

Решение. Молярная масса неизвестного вещества М x равна произведению относительной плотности этого вещества D на молярную массу вещества M, по которому определено значение относительной плотности:

М x = D· M = 1,8125· 32 = 58,0.

Веществами с найденным значением молярной массы могут быть ацетон, пропионовый альдегид и аллиловый спирт.

Молярная масса газа может быть рассчитана с использованием величины молярного его объема при н.у.

Пример 15. Масса 5,6 л газа при н.у. составляет 5,046 г. Рассчитайте молярную массу этого газа.

Решение. Молярный объем газа при н.у равен 22,4 л. Следовательно, молярная масса искомого газа равна

М = 5,046· 22,4/5,6 = 20,18.

Искомый газ – неон Ne.

Уравнение Клапейрона–Менделеева используется для расчета молярной массы газа, объем которого задан при условиях, отличающихся от нормальных.

Пример 16. При температуре 40 о С и давлении 200 кПа масса 3,0 л газа составляет 6,0 г. Определите молярную массу этого газа.

Решение. Подставляя известные величины в уравнение Клапейрона–Менделеева получаем:

М = mRT/PV = 6,0· 8,31· 313/(200· 3,0)= 26,0.

Рассматриваемый газ – ацетилен С 2 Н 2 .

Пример 17. При сгорании 5,6 л (н.у.) углеводорода получено 44,0 г углекислого газа и 22,5 г воды. Относительная плотность углеводорода по кислороду равна 1,8125. Определите истинную химическую формулу углеводорода.

Решение. Уравнение реакции сгорания углеводорода можно представить следующим образом:

С х Н y + 0,5(2x+0,5y)О 2 = х СО 2 + 0,5у Н 2 О.

Количество углеводорода составляет 5,6:22,4=0,25 моль. В результате реакции образуется 1 моль углекислого газа и 1,25 моль воды, которая содержит 2,5 моль атомов водорода. При сжигании углеводорода количеством вещества 1 моль получается 4 моль углекислого газа и 5 моль воды. Таким образом, 1 моль углеводорода содержит 4 моль атомов углерода и 10 моль атомов водорода, т.е. химическая формула углеводорода С 4 Н 10 . Молярная масса этого углеводорода равна М=4· 12+10=58. Его относительная плотность по кислороду D=58:32=1,8125 соответствует величине, приведенной в условии задачи, что подтверждает правильность найденной химической формулы.

28. Средняя молярная масса смеси газов

Уравнение для нахождения удельной газовой постоянной смеси:

R = еg i R i = 8314,2(g 1 / M 1 + g 2 / M 2 +… + g n / M n)

Зная молярную массу смеси, можно найти газовую постоянную смеси:

Зная объемный состав смеси, получим следующие формулы:

g i = (R / R i),

еg i = Rе(r i / R i ) = 1.

Формула для вычисления удельной газовой постоянной примет вид:

R = 1 / е(r i /R i ) = 1 / (r 1 / R 1 + R 2 +… + r n / R n).

Средняя молярная масса смеси газов является достаточно условной величиной:

M = 8314,2 / (g 1 R 1 + g 2 R 2 +. + g n R n).

Если произвести замену удельных газовых постоянных R 1 , R 2 , …, R n их значениями из уравнения Клайперона, найдем среднюю молярную массу смеси газов, если смесь определяется массовыми долями:

M = 1 / (r 1 / M 1 + r 2 / M 2 +. + r n / M n).

В случае, когда смесь определяется объемными долями, получаем следующее выражение:

R = 1 / еr i R i = 8314,2 / еr i M i .

Зная, что R = 8314,2 / M, получим:

M = еr i M i = r 1 M 1 + r 2 M 2 +. + r n M n .

Таким образом, средняя молярная масса смеси газов определяется суммой произведений объемных долей на молярные массы отдельных газов, из которых состоит смесь.

Из книги Информационная технология ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ ДОКУМЕНТАЦИИ ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ПРОГРАММНОГО СРЕДСТВА автора Автор неизвестен

8.2.3.1.8 Цвет, масса и качество бумаги Должны быть определены цвет, масса и качество (номер) бумаги, используемой для документации.Примечание - Если требуется конкретный номер бумаги, это должно быть

Из книги Гидравлика автора Бабаев М А

43. Равномерное движение и коэффициент сопротивления по длине. Формула Шези. Средняя скорость и расход потока При ламинарном движении (если оно равномерное) ни живое сечение, ни средняя скорость, ни эпюра скоростей по длине не меняются со временем.При равномерном движении

Из книги Теплотехника автора Бурханова Наталья

42. Уравнение состояния для реальных газов М. Н. Вукаловича и И. И. Новикова Универсальное уравнение, описывающее состояние любых реальных газов, было получено в 1939 г. русскими учеными И. И. Новиковым и М. Н. Вукаловичем. В немуже учитывалось явление силового взаимодействия

Из книги Определение и устранение неисправностей своими силами в автомобиле автора Золотницкий Владимир

Выхлоп двигателя дымный. В картер двигателя поступает повышенный объем газов Диагностирование двигателя по цвету дыма из выхлопной трубы Сине-белый дым – неустойчивая работа двигателя. Рабочая фаска клапана подгорела. Оценить состояние газораспределительного

Из книги Ракеты и полеты в космос автора Лей Вилли

РАКЕТНОЕ ТОПЛИВО, МАССА РАКЕТЫ И ТРАЕКТОРИИ ПОЛЕТОВ

Из книги Универсальный фундамент Технология ТИСЭ автора Яковлев Р. Н.

Из книги Баллистическая теория Ритца и картина мироздания автора Семиков Сергей Александрович

Из книги Обслуживаем и ремонтируем Волга ГАЗ-3110 автора Золотницкий Владимир Алексеевич

Из книги Материалы для ювелирных изделий автора Куманин Владимир Игоревич

§ 3.8 Состав и масса элементарных частиц Последовательная теория элементарных частиц, которая предсказывала бы возможные значения масс элементарных частиц и другие их внутренние характеристики, ещё не создана. Советский Энциклопедический Словарь В настоящее время

Из книги Загородное строительство. Самые современные строительные и отделочные материалы автора Страшнов Виктор Григорьевич

Из книги Технический регламент о требованиях пожарной безопасности. Федеральный закон № 123-ФЗ от 22 июля 2008 г. автора Коллектив авторов

Повышенная токсичность выхлопных газов Состав и количество токсичных компонентов в отработавших газах двигателя, зависят главным образом от его технического состояния, все прочие факторы изложены ниже.Содержание СО и СН в отработавших газах автомобиля определять при

Из книги Анатомия архитектуры [Семь книг о логике, форме и смысле] автора Кавтарадзе Сергей

10.5. Влияние газов на свойства серебряных сплавов Серебро не очень активно взаимодействует с различными газами, за исключением кислорода. Так, азот не растворяется ни в жидком, ни в твердом серебре. Ничтожна растворимость инертных газов в серебре. Растворимость водорода в

Из книги автора

11.5. Влияние газов на свойства сплавов золота Встречающиеся при плавке газы, такие как кислород, водород, углеводороды, азот, моно– и диоксид углерода, сернистый газ, пары воды, образующиеся при попадании водорода в кислородосодержащий раствор, и т. п., ни в твердом, ни в

Из книги автора

Из книги автора

Из книги автора

III. Масса, пространство и другие формальные категории Книга третья, рассказывающая о чувствах, пробуждаемых в нас зодчеством В первой книге, да и отчасти во второй мы говорили преимущественно о языке архитектуры. Как будто само здание или его автор что-то хотят нам

где 1 и 2 - число молей гелия и водорода соответственно. Число молей газов определим по формулам:

Подставляя (6) и (7) в (5), найдем

(8)

Подставляя числовые значения в формулы (4) и (8), получаем:

Ответ: p= 2493 кПа, =3 10 -3 кг/моль.

Задача 8. Чему равны средние кинетические энергии поступательного и вращательного движения молекул, содержащихся в 2 кг водорода при температуре 400 К?

Решение . Считаем водород идеальным газом. Молекула водорода - двухатомная, связь между атомами считаем жесткой. Тогда число степеней свободы молекулы водорода равно 5. В среднем на одну степень свободы приходится энергия <E i >=kТ/2 , где k- постоянная Больцмана; T- термодинами­ческая температура. Поступательному движению приписывается три (i =3), а вращательному две (i =2) степени свободы. Энергия одной молекулы

Число молекул, содержащихся в массе газа, равно

где v - число молей; N A - постоянная Авогадро.

Тогда средняя кинетическая энергия поступательного движения молекул водорода

где R=k N А - молярная газовая постоянная.

Средняя кинетическая энергия вращательногодвижения молекул водорода

. (2)

Подставляя числовые значения в формулы (1) и (2), имеем

Ответ : <Е пост >=4986кДж, <Е вр >=2324кДж.

Задача 9 . Определить среднюю длину свободного пробега молекул и число соударений за 1 с, происходящих между всеми молекулами кислорода, находящегося в сосуде емкостью 2 л при температуре 27°С и давлении 100 кПа.

Решение. Средняя длина свободного пробега молекул кислорода вычисляется по формуле

(1)

где d - эффективный диаметр молекулы кислорода; п - число молекул в единице объема, которое можно определить из ура­внения

n=p/(kT), (2)

где k - постоянная Больцмана.

Подставляя(2) в (1), имеем

(3)

Число соударенийZ , происходящих между всеми молекулами за 1 с, равно

где N - число молекул кислорода в сосуде объемом 2 10 -3 м 3 ;

Среднее число соударений одной молекулы за 1 с.

Число молекул в сосуде N=n V. (5)

Среднее число соударений молекулы за 1 с равно

(6)

где - средняя арифметическая скорость молекулы

Подставляя в (4) выражения (5), (6) и (7), находим

Подставляя числовые значения, получим

Ответ : Z=9 10 28 с- 1 , < >=3,56 10 -8 м.

Задача 10. Определить коэффициенты диффузии и внутреннего трения азота, находящегося при температуре Т=300 К и давлении 10 5 Па.

Решение . Коэффициент диффузии определяется по формуле

(1)

где - средняя арифметическая скорость молекул, равная

Средняя длина свободного пробега молекул.

Для нахождения воспользуемся формулой из решения примера 4

(3)

Подставляя (2) и (3) в выражение (1), имеем

(4)

Коэффициент внутреннего трения

(5)

где р - плотность газа при температуре 300 К и давлении 10 5 Па. Для нахождения р воспользуемся уравнением состояния идеального газа. Запишем его для двух состояний азота - при нормальных условиях Т о =273 К, р = 1,01 10 5 Па и в условиях задачи:

Учитывая, что

. (7)

Коэффициент внутреннего трения газа может быть выражен через коэффициент диффузии (см. формулы (1) и (5)):

Подставляя числовые значения в (4) и (8), получим

Ответ : D=4,7 10 -5 м 2 /с,

Задача 11. Объем аргона, находящегося при давлении 80кПа, увеличился от 1 до 2л. На сколько изменится внутренняя энергия газа, если расширение производилось: а) изобарно, б) адиабатно.

Решение . Применим первый закон термодинамики. Согласно этому закону, количество теплоты Q, переданное системе, расходуется на увеличение внутренней энергии U и на внешнюю механическую работу А:

Q= U+А (1)

Величину U можно определить, зная массу газа m, удельную теплоемкость при постоянном объеме с v и изменение температуры Т :

(2)

Однако удобнее изменение внутренней энергии U определять через молярную теплоемкость C v , которая может быть выражена через число степеней свободы:

(4)

Изменение внутренней энергии зависит от характера процесса, при котором идет расширение газа. При изобарном расширении газа, согласно первому закону термодинамики, часть количества теплоты идет на изменение внутренней энергии U, которая выражается формулой (4) Найти U для аргона по формуле (4) нельзя, так как масса газа и температура в условии задачи не даны. Поэтому необходимо провести преобразование формулы (4).

Запишем уравнение Клапейрона - Менделеева для начального и конечного состояний газа:

p(V 2 -V 1)=(m/M)R(T 2 -Т 1).

Подставив (5) в формулу (4), получим

(6)

Это уравнение является расчетным для определения при изобарном расширении.

При адиабатном расширении газа теплообмена с внешней средой не происходит, поэтому Q =0. Уравнение (1) запишется в виде

Это соотношение устанавливает, что работа расширения газа может быть произведена только за счет уменьшения внутренней энергии газа (знак минус перед ):

Формула работы для адиабатного процесса имеет вид

(9)

где - показатель степени адиабаты, равный отношению теплоемкостей:

Для аргона - одноатомного газа (i =3) - имеем =1,67.

Находим изменение внутренней энергии при адиабатном про­цессе для аргона, учитывая формулы (8) и (9):

(10)

Для определения работы расширения аргона формулу (10) следует преобразовать, учитывая при этом параметры, данные в условии задачи. Применив уравнение Клапейрона - Менделеева для данного случая , получим выражение для подсчета изменения внутренней энергии:

(11)

Подставляя числовые значения в (6) и (11), имеем:

а) при изобарном расширении

б) при адиабатном расширении

Ответ:

Задача 12. Заряд 15∙10 -9 Кл равномерно распределен по тонкому кольцу радиусом 0,2 м. Найдите напряженность электрического поля в точке, находящейся на оси кольца на расстоянии 15 см от его центра.

Решение . Разделим кольцо на одинаковые бесконечно малые участки dl . Заряд каждого участка dq можно считать точечным.

Напряженность электрического поля dE , создаваемого в точке А на оси кольца зарядом dq , равна:

(1)

где (2)

Полная напряженность поля Е в точке А, создаваемая зарядом q, согласно принципу суперпозиции равна векторной сумме напряженностей dE i полей, создаваемых всеми точечными зарядами:

Вектор dE разложим на составляющие: вектор dE 1 (направлен вдоль оси кольца) и вектор dE 2 (параллелен плоскости кольца).

Тогда

Для каждой пары зарядов dq и dq / , расположенных симметрично относительно центра кольца, dE 2 и dE / 2 в сумме дадут нуль, и значит

Составляющие dE 1 для всех элементов направлены одинаково вдоль кольца, поэтому полная напряженность в точке, лежащей на оси кольца, также направлена вдоль оси.

Модуль полной напряженности найдем интегрированием:

(3)

где α-угол между вектором dE и осью кольца;

(4)

Используя выражения (1), (2) и (4), для E получаем:

Подстановка числовых данных дает:

E =1,3∙10 3 В/м.

Ответ: E =1,3∙10 3 В/м.

Задача 13. З аряд переносится в воздухе из точки, находящейся на расстоянии 1м от бесконечно длинной равномерно заряженной нити, в точку на расстоянии 10 см от нее. Определить работу, совершаемую против сил поля, если линейная плотность заряда нити 1 мкКл/м. Какая работа совершается на последних 10 см пути?

Решение. Работа внешней силы по перемещению заряда q из точки поля с потенциалом φ i в точку с потенциалом φ 0 равна

(1)

Бесконечная равномерно заряженная нить с линейной плотностью заряда τ создает аксиально-симметричное поле напряженностью .

Напряженность и потенциал этого поля связаны соотношением

Откуда .

Разность потенциалов точек поля на расстоянии r i и r 0 от нити

(2)

Подставляя в формулу (1) найденное выражение для разности потенциалов из (2), определим работу, совершаемую внешними силами по перемещению заряда из точки, находящейся на расстоянии 1 м, до точки, расположенной на расстоянии 0,1 м от нити:

Подставив численные значения, получим:

A 1 =4,1∙10 -5 (Дж ).

Ответ: A 1 =4,1∙10 -5 (Дж ).

Задача 14. Сила тока в проводнике сопротивлением 20 Ом нарастает в течение времени 2 с по линейному закону от 0 до 6 А.. Определить теплоту Q 1 , выделившуюся в этом проводнике за первую секунду, и Q 2 - за вторую, а также найти отношение Q 2 /Q 1 .

Решение. Закон Джоуля-Ленца в виде справедлив для постоянного тока. Если же сила тока в проводнике изменяется, то указанный закон справедлив для бесконечно малого интервала времени и записывается в виде

Здесь сила тока является некоторой функцией времени.

В данном случае

где k – коэффициент пропорциональности, характеризующий скорость изменения силы тока:

С учетом (2) формула (1) примет вид

(3)

Для определения теплоты, выделившейся за конечный интервал времени ∆t, выражение (3) надо проинтегрировать в пределах от t 1 до t 2:

Произведем вычисления:

т.е. за вторую секунду выделится теплоты в семь раз больше, чем за первую.

Ответ: в 7 раз больше.

Задача 15 . Электрическая цепь состоит из двух гальванически; элементов, трех сопротивлений и гальванометра. В этой цепи R 1 = 100 Ом, R 2 =50 Ом, R 3 =20 Ом, Э.Д.С. элемента ε 1 =2 В . Гальванометр регистрирует ток I 3 =50 мА , идущий в направлении, указанном стрелкой. Определить Э.Д.С . второго элемента. Сопро­тивлением гальванометра и внутрен­ним сопротивлением элементов пре­небречь.

Указание . Для расчета разветвленных цепей применяются законы Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа . Алгебраическая сумма сил токов, сходящихся в узле, равна нулю, т.е

Второй закон Кирхгофа. В любом замкнутом контуре алгебраическая сумма напряжений на отдельных участках цепи равна алгебраической сумме Э.Д.С., встречающихся в контуре.

На основании этих законов можно составить уравнения, необходимые для определения искомых величин (сил токов, сопротивлений и Э.Д.С.). Применяя законы Кирхгофа, следует соблюдать сле­дующие правила:

1. Перед составлением уравнений произвольно выбрать: а) направления токов (если они не заданы по условию задачи) и указать их стрелками на чертеже; б) направление обхода контуров.

2. При составлении уравнений по первому закону Кирхгофа считать токи, подходящие к узлу, положительными; токи, отходящие от узла, отрицательными. Число уравнений, составляемых по первому закону Кирхгофа, должно быть на единицу меньше числа узлов, содержащихся в цепи.

3. При составлении уравнений по второму закону Кирхгофа надо считать, что: а) падение напряжения на участке цепи (т. е. произведение Ir ) входит в уравнение со знаком плюс, если направление тока в данном участке совпадает с выбранным направлением обхода контура; в противном случае произведение Ir входит в уравнение со знаком минус; б) Э.Д.С. входит в уравнение со знаком плюс, если она повышает потенциал в направлении обхода контура, т. е. если при обходе приходится идти от минуса к плюсу внутри источника тока; в противном случае Э.Д.С. входит в уравнение со знаком минус.

Число независимых уравнений, которые могут быть составлены по второму закону Кирхгофа, должно быть меньше числа замкнутых контуров, имеющихся в цепи. Для составления уравнений первый контур можно выбирать произвольно. Все последующие контуры следует выбирать таким образом, чтобы в каждый новый контур входила хотя бы одна ветвь цепи, не участвовавшая ни в одном из ранее использованных контуров. Если при решении уравнений, составленных указанным выше способом, получены отрицательные значения силы тока или сопротивления, то это означает, что ток через данное сопротивление в действительности течет в направлении, противоположном произвольно выбранному.

Решение. Выберем направления токов, как они показаны на рисунке, и условимся обходить контуры по часовой стрелке.

По первому закону Кирхгофа для узла F имеем: (1)

По второму закону Кирхгофа имеем для контура ABCDFA:

,

или после умножения обеих частей равенства на -1

(2)

Соответственно для контура AFGHA

(3)

После подстановки числовых значений в формулы (1), (2) и (3) получим:

Эту систему с тремя неизвестными можно решить обычными при­емами алгебры, но так как по условию задачи требуется определить только одно неизвестное ε 2 из трех, то воспользуемся методом оп­ределителей.

Составим и вычислим определитель ∆ системы:

Составим и вычислим определитель ∆ε 2:

Разделив определитель ∆ε 2 на определитель ∆, найдем числовое значение ε 2:

ε 2 =-300/-75=4 В.

Ответ: ε 2 =4 В.

Задача 16 . Плоский квадратный контур со стороной 10 см, по которому течет ток силой 100 А, свободно установился в однородном магнитном поле индукции 1Тл. Определить работу, совершаемую внешними силами при повороте контура относительно оси, проходящей через середину его противоположных сторон, на угол 90 0 . При повороте контура сила тока в нем поддерживается неизменной.

Решение. Как известно, на контур с током в магнитном поле действует момент силы: (1)где -магнитный момент контура; -магнитная индукция; -угол между векторами и .

Количество вещества - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т. п.), содержащихся в теле или системе. Количество вещества выражается в молях. Моль равен количеству вещества системы, содержащей столько же структурных элементов, сколько содержится атомов в 0,012 кг изотопа углерода 12 C. Количество вещества тела (системы)

где N - число структурных элементов (молекул, атомов, ионов и т.п.), составляющих тело (систему). Постоянная Авогадро N А =6,02 10 23 моль -1 .

Молярная масса вещества,

где m - масса однородного тела (системы); -количество вещества (число молей) этого тела (системы). Выражается в единицах г/моль (или кг/моль).

Единица массы, равная 1/12 массы атома углерода 12 C, называется атомной единицей массы (а.е.м.). Массы атомов или молекул выраженные в атомных единицах массы называют соответственно относительной атомной или относительной молекулярной массой вещества. Относительная молекулярная масса вещества состоит из относительных атомных масс химических элементов, составляющих молекулу вещества. Относительные атомные массы химических элементов приводятся в таблице Д. И. Менделеева (см. также таблицу 8 приложения данного пособия).

Молярная масса вещества численно равна относительной атомной или молекулярной массе данного вещества, если размерность а.е.м. заменить на размерность г/моль.

Количество вещества смеси n газов

или
,

где ν i , N i , m i ,  i - соответственно количество вещества, число молекул, масса и молярная масса i -го компонента смеси (i =1,2,…,n ).

Уравнение Менделеева - Клапейрона (уравнение состояния идеального газа)

,

где т - масса газа,  - молярная масса газа, R - универсальная газовая постоянная, ν - количество вещества, Т - термодинамическая температура.

Опытные газовые законы, являющиеся частными случаями уравнения Менделеева - Клапейрона для изопроцессов:

а) закон Бойля-Мариотта (изотермический процесс: T =const, m =const)

или для двух состояний газа, обозначенных цифрами 1 и 2,

,

б) закон Гей-Люссака (изобарический процесс: р =const, m =const)

или для двух состояний
,

в) закон Шарля (изохорический процесс: V =const, m =const)

или для двух состояний
,

г) объединенный газовый закон (m =const)

или для двух состояний
.

Под нормальными условиями понимают давление p o =1 атм (1,013 10 5 Па), температуру 0 о С (T =273 K).

Закон Дальтона, определяющий давление смеси n газов.

,

где p i - парциальные давления компонентов смеси (i =1,2,…,n ). Парциальным давлением называется давление газа, которое производил бы этот газ, если бы только он один находился в сосуде, занятом смесью.

Молярная масса смеси n газов

.

Массовая доля i -го компонента смеси газа (в долях единицы или процентах)

,

где т - масса смеси.

Концентрация молекул

,

где N - число молекул, содержащихся в данной системе;  - плотность вещества в системе; V - объем системы. Формула справедлива не только для газов, но и для любого агрегатного состояния вещества.

Уравнение Ван-дер-Ваальса для реального газа

,

где a и b - коэффициенты Ван-дер-Ваальса

Для идеального газа уравнение Ван-дер-Ваальса переходит в уравнение Менделеева - Клапейрона.

Основное уравнение молекулярно - кинетической теории газов

,

где  п  - средняя кинетическая энергия поступательного движения молекулы.