Одна из основных задач теории точечных множеств - изучение свойств различных типов точечных множеств. Познакомимся с этой теорией на двух примерах и изучим свойства так называемых замкнутых и открытых множеств.

Множество называется замкнутым , если оно содержит все свои предельные точки. Если множество не имеет ни одной предельной точки, то его тоже принято считать замкнутым. Кроме своих предельных точек, замкнутое множество может также содержать изолированные точки. Множество называется открытым , если каждая его точка является для него внутренней.

Приведем примеры замкнутых и открытых множеств .

Всякий отрезок есть замкнутое множество, а всякий интервал (a, b) - открытое множество. Несобственные полуинтервалы и замкнуты , а несобственные интервалы и открыты . Вся прямая является одновременно и замкнутым и открытым множеством. Удобно считать пустое множество тоже одновременно замкнутым и открытым. Любое конечное множество точек на прямой замкнуто, так как оно не имеет предельных точек.

Множество, состоящее из точек:

замкнуто; это множество имеет единственную предельную точку x=0, которая принадлежит множеству.

Основная задача состоит в том, чтобы выяснить, как устроено произвольное замкнутое или открытое множество. Для этого нам понадобится ряд вспомогательных фактов, которые мы примем без доказательства.

• 1. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.
• 2. Сумма любого числа открытых множеств есть открытое множество.
• 3. Если замкнутое множество ограничено сверху, то оно содержит свою верхнюю грань. Аналогично, если замкнутое множество ограничено снизу, то оно содержит свою нижнюю грань.

Пусть E - произвольное множество точек на прямой. Назовем дополнением множества E и обозначим через CE множество всех точек па прямой, не принадлежащих множеству E. Ясно, что если x есть внешняя точка для E, то она является внутренней точкой для множества CE и обратно.

4. Если множество F замкнуто, то его дополнение CF открыто и обратно.

Предложение 4 показывает, что между замкнутыми и открытыми множествами имеется весьма тесная связь: одни являются дополнениями других. В силу этого достаточно изучить одни замкнутые или одни открытые множества. Знание свойств множеств одного типа позволяет сразу выяснить свойства множеств другого типа. Например, всякое открытое множество получается путем удаления из прямой некоторого замкнутого множества.

Приступаем к изучению свойств замкнутых множеств. Введем одно определение. Пусть F - замкнутое множество. Интервал (a, b), обладающий тем свойством, что ни одна из его точек не принадлежит множеству F, а точки a и b принадлежат F, называется смежным интервалом множества F.

К числу смежных интервалов мы будем также относить несобственные интервалы или, если точка a или точка b принадлежит множеству F, а сами интервалы с F не пересекаются. Покажем, что если точка x не принадлежит замкнутому множеству F, то она принадлежит одному из его смежных интервалов.

Обозначим через часть множества F, расположенную правее точки x. Так как сама точка x не принадлежит множеству F, то можно представить в форме пересечения:

Каждое из множеств F и замкнуто. Поэтому, в силу предложения 1, множество замкнуто. Если множество пусто, то весь полуинтервал не принадлежит множеству F. Допустим теперь, что множество не пусто. Так как это множество целиком расположено на полуинтервале, то оно ограничено снизу. Обозначим через b его нижнюю грань. Согласно предложению 3, а значит. Далее, так как b есть нижняя грань множества, то полуинтервал (x, b), лежащий левее точки b, не содержит точек множества и, следовательно, не содержит точек множества F. Итак, мы построили полуинтервал (x, b), не содержащий точек множества F, причем либо, либо точка b принадлежит множеству F. Аналогично строится полуинтервал (a, x), не содержащий точек множества F, причем либо, либо. Теперь ясно, что интервал (a, b) содержит точку x и является смежным интервалом множества F. Легко видеть, что если и - два смежных интервала множества F, то эти интервалы либо совпадают, либо не пересекаются.

Из предыдущего следует, что всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой некоторого числа интервалов, а именно смежных интервалов множества F. Так как каждый интервал содержит по крайней мере одну рациональную точку, а всех рациональных точек на прямой - счетное множество, то легко убедиться, что число всех смежных интервалов не более чем счётно. Отсюда получаем окончательный вывод. Всякое замкнутое множество на прямой получается путем удаления из прямой не более чем счетного множества непересекающихся интервалов.

В силу предложения 4, отсюда сразу вытекает, что всякое открытое множество на прямой представляет собой не более чем счетную сумму непересекающихся интервалов. В силу предложений 1 и 2, ясно также, что всякое множество, устроенное, как указано выше, действительно является замкнутым (открытым).

Как видно из нижеследующего примера, замкнутые множества могут иметь весьма сложное строение.

Теорема 3.1. Объединение любого числа открытых множеств – множество открытое.

Пусть G k , где k Î N - открытые множества.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению объединения множеств точка х о принадлежит одному из множеств G k . Поскольку G k – открытое множество, то существует e - окрестность точки х о , которая целиком лежит в множестве G k: U ( x o , e ) Ì G k Þ U ( x o ,e ) Ì G.

Получили, что любаю точка х о ÎG – внутренняя, а это значит, что G – открытое множество. 4

Теорема 3.2. Пересечение конечного числа открытых непустых множеств– множества открытое.

Пусть G k ( k = 1,2, …,n ) – открытые множества.

Докажем, что - открытое множество.

3Выберем любую точку х о ÎG . По определению пересечения множеств х о принадлежит каждому из множеств G k . Поскольку каждое множество G k открытое, то в любом множестве G k существует e k - окрестность точки х о : U ( x o , e k ) Ì G k . Множество чисел{e 1 , e 2 ,…, e n } конечное, поэтому существует число e = min {e 1 ,e 2 ,…,e n }. Тогда e - окрестность точки х о находится в каждой e k - окрестности точки х о :U ( x o , e ) Ì U e ( x o , e k ) Þ U ( x o , e ) Ì G.

Получили, что х о – внутренняя точка множества G , а это значит, что G – открытое множество. 4

Замечание 3.1. Пересечение бесконечного множества открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример 3.1 . Пусть в пространстве R G k = (2 – 1/k; 4+ 1/k) , где k= 1,2,…,n, …. G 1 = (1;5), G 2 (1,5;4,5), Отрезок Ì G k и не является открытым множеством, точки 2 и 4 не являются внутренними.

Теорема 3.3. Пересечение любой совокупности замкнутых непустых множеств – замкнутое множество.

Пусть F k - замкнутые множества.

Докажем, что множество замкнутое, т.е. оно содержит все свои предельные точки.

3Пусть х F. Из определения пересечения множеств следует, что в любой e - окрестности точки х о находится бесконечно много точек каждого из множеств F k , а это значит, что х о – предельная точка каждого множества F k . В силу замкнутости множеств F k точка

х о Î F k "k Þ х о Î F. Поскольку точка х F , а это значит множесто F замкнутое. 4

Теорема 3.4. Объединение конечного числа замкнутых множеств – множество замкнутое.

Пусть каждое множество F k замкнутое.

Докажем, что множество замкнутое, т.е., если х о – предельная точка множества F , то х о Î F .

3Пусть х о – любая предельная точка множества F , тогда в любой e - окрестности точки х о существует бесконечно много точек множества . Поскольку количество множеств F k конечное, то х о принадлежит хотя бы одному из множеств F k , т.е. х о – предельная точка для этого множества.

В силу замкнутости F k точка х о принадлежит F k , а поэтому и множеству . Поскольку точка х о выбрана произвольно, то все предельные точки принадлежат множеству F , а это значит множество F замкнутое. 4

Замечание 3.2. Объединение бесконечного числа замкнутых множеств может быть множеством открытым.

Пример 3.2. В пространстве R : F k =

F 1 = ; F 2 = ; …. Интервал (2;5) – открытое множество.

Примем без доказательства теоремы 3.5 и 3.6, связанные с дополнением множества Е до множества Х: С х Е=СЕ .

Теорема 3.5. Если множество Е замкнутое, то его дополнение СЕ открытое множество.

Пример 3.3. Е= , C R E = (- ¥, 2)È (5,+¥ ).

Теорема 3.6. Если множество Е открытое, то его дополнение СЕ замкнутое множество.

Пример 3.4. Е= (2,5), C R E = (-¥, 2]È[ 5, +¥ ).

Докажем теперь некоторые специальные свойства замкнутых и открытых множеств.

Теорема 1. Сумма конечного или счетного числа открытых множеств есть открытое множество. Произведение конечного числа открытых множеств есть открытое множество,

Рассмотрим сумму конечного или счетного числа открытых множеств:

Если , то Р принадлежит по крайней мере одному из Пусть Так как - открытое множество, то некоторая -окрестность Р также принадлежит Эта же -окрестность Р принадлежит и сумме g, откуда и следует, что g есть открытое множество. Рассмотрим теперь конечное произведение

и пусть Р принадлежит g. Докажем, как и выше, что и некоторая -окрестность Р принадлежит g. Раз Р принадлежит g, то Р принадлежит всем . Так как - открытые множества, то для любого существует некоторая -окрестность точки принадлежащая . Если число взять равным наименьшему из число которых конечно, то -окрестность точки Р будет принадлежать всем а следовательно, и g. Отметим, что нельзя утверждать, что произведение счетного числа открытых множеств есть открытое множество.

Теорема 2. Множество CF - открытое и множество СО - замкнутое.

Докажем первое утверждение. Пусть Р принадлежит CF. Надо доказать, что некоторая - окрестность Р принадлежит CF. Это следует из того, что, если бы в любой -окрестности Р находились точки F, точка Р, не принадлежащая по условию была бы предельной для F точкой и, в силу замкнутости должна была бы принадлежать что приводит к противоречию.

Теорема 3. Произведение конечного или счетного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество. Сумма конечного числа замкнутых множеств есть замкнутое множество.

Докажем, например, что множество

замкнуто. Переходя к дополнительным множествам, можем написать

По теореме открытые множества, и, согласно теореме 1, множество тоже открытое, и тем самым дополнительное множество g замкнуто. Отметим, что сумма счетного числа замкнутых множеств может оказаться и незамкнутым множеством.

Теорема 4. Множество есть открытое множество и множество замкнутое.

Легко проверить следующие равенства:

Из них, в силу предыдущих теорем, следует теорема 4.

Мы будем говорить, что множество g покрыто системой М некоторых множеств, если всякая точка g входит по крайней мере в одно из множеств системы М.

Теорема 5 (Бореля). Если замкнутое ограниченное множество F покрыто бесконечной системой а открытых множеств О, то из этой бесконечной системы можно извлечь конечное число открытых множеств, которые также покрывают F.

Доказываем эту теорему от обратного. Положим, что никакое конечное число открытых множеств из системы а не покрывает и приведем это к противоречию. Раз F - ограниченное множество, то все точки F принадлежат некоторому конечному двумерному промежутку . Разобьем этот замкнутый промежуток на четыре равные части, деля промежутки пополам. Каждый из полученных четырех промежутков будем брать замкнутым. Те точки F, которые попадут на один из этих четырех замкнутых промежутков, будут, в силу теоремы 2, представлять собой замкнутое множество, и по крайней мере одно из этих замкнутых множеств не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. Берем тот из указанных выше четырех замкнутых промежутков, где это обстоятельство имеет место. Этот промежуток опять делим на четыре равные части и рассуждаем так же, как и выше. Таким образом, получим систему вложенных промежутков из которых каждый следующий представляет собой четвертую часть предыдущего, и имеет место следующее обстоятельство: множество точек F, принадлежащих при любом k не может быть покрыто конечным числом открытых множеств из системы а. При беспредельном возрастании k промежутки будут беспредельно сжиматься к некоторой точке Р, которая принадлежит всем промежуткам . Поскольку при любом k содержат бесчисленное множество точек точка Р является предельной точкой для а потому и принадлежит F, ибо F - замкнутое множество. Тем самым точка Р покрывается некоторым открытым множеством принадлежащим к системе а. Некоторая -окрестность точки Р будет также принадлежать открытому множеству О. При достаточно больших значениях k промежутки Д попадут внутрь указанной выше -окрестности точки Р. Тем самым эти будут целиком покрыты только одним открытым множеством O системы а, а это противоречит тому, что точки принадлежащие при любом k не могут быть покрыты конечным числом открытых множеств, принадлежащих а. Тем самым теорема доказана.

Теорема 6. Открытое множество может быть представлено как сумма счетного числа полуоткрытых промежутков попарно без общих точек.

Напомним, что полуоткрытым промежутком на плоскости мы называем конечный промежуток, определяемый неравенствами вида .

Нанесем на плоскости сетку квадратов со сторонами, параллельными осям, и с длиной стороны, равной единице. Множество этих квадратов есть счетное множество. Выберем из этих квадратов те квадраты, все точки которых принадлежат заданному открытому множеству О. Число таких квадратов может быть конечным или счетным, а может быть таких квадратов вовсе не будет. Каждый из оставшихся квадратов сетки разделим на четыре одинаковых квадрата и из вновь полученных квадратов выберем опять те, все точки которых принадлежат О. Каждый из оставшихся квадратов опять делим на четыре равные части и отбираем те квадраты, все точки которых принадлежат О, и т. д. Покажем, что всякая точка Р множества О попадет в один из выбранных квадратов, все точки которого принадлежат О. Действительно, пусть d - положительное расстояние от Р до границы О. Когда мы дойдем до квадратов, диагональ которых меньше , то можно, очевидно, утверждать, что точка Р уже попала в квадрат, все томки которого принадлежат О. Если выбранные квадраты считать полуоткрытыми, то они не будут попарно иметь общих точек, и теорема доказана. Число отобранных квадратов будет обязательно счетным, так как конечная сумма полуоткрытых промежутков не есть, очевидно, открытое множество. Обозначая через ДЛ те полуоткрытые квадраты, которые мы получили в результате указанного выше построения, можем написать

Функции нескольких переменных.

При изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных.

Примеры.

1) Площадь прямоугольника со сторонами х и у: S=xy.

2) Объем прямоугольного параллелепипеда с ребрами x,y,z: V=xyz.

3) По закону Ома, напряжение U в цепи электрического тока связано с сопротивлением R цепи и силой тока I зависимостью U=RI. Если считать U и R данными, то I определится как функция от U и R: I= .

Элементами арифметического пространства R n являются упорядоченные наборы из n действительных чисел (х 1 ,х 2 ,…,х n). Эти упорядоченные наборы называются точками n-мерного пространства или n-мерными векторами.

х=(х 1 ,х 2 ,…,х n), у=(у 1 ,у 2 ,…,у n). х 1 ,х 2 ,…,х n – координаты точки.

Определение . Расстояние между точками х=(х 1 ,х 2 ,…,х n) и у=(у 1 ,у 2 ,…,у n):

d(x,y)= (1)

Свойства расстояния :

1) d(x,y)³0, причем, d(x,y)=0 Û х=у, т.е. x i =y i "i=1,2,…,n.

2) d(x,y)=d(y,x) – свойство симметрии.

3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎR n – неравенство треугольника ( £ + ).

Пусть a(а 1 ,а 2 ,…,а n) – произвольная точка пространства R n и пусть R>0 – некоторое число. Множество всех точек x(х 1 ,х 2 ,…,х n):

В(a,R)={xÎR n: d(x,a)

(a,R)={xÎR n: d(x,a)£R} – замкнутый шар (сфера) с центром в точке а и радиуса R.

S(a,R)={xÎR n: d(x,a)=R} – сфера в R n .

Следовательно, уравнение сферы в R n:

=R (2)

Определение . Пусть имеются числа a 1 ,…,a n и b 1 ,…,b n такие, что a 1

называют открытым параллелепипедом – Р .

Множество всех точек M(х 1 ,х 2 ,…,х n)ÎR n , для которых

называют закрытым параллелепипедом – .

Точка С( ,…, ) – центр параллелепипеда .

Открытую сферу любого радиуса R>0 с центром в точке М 0 ( ,…, ) можно рассматривать как окрестность этой точки. (Аналогично, в качестве окрестности можно рассматривать открытый параллелепипед с центром в точке М 0 ( ,…, )).

Определение . Пусть Е – некоторое множество точек из R n . Множество Е называется ограниченным , если существует число R>0 такое, что все точки множества Е оказываются лежащими внутри сферы радиуса R с центром в точке О(0,…,0).

Теорема . Пусть множество Е(М)ÌR n . Пусть

{x 1 } - множество, которое образуют первые координаты точек МÎЕ,

…………………………………………………………………………..

{x n } - множество, которое образуют n-е координаты точек МÎЕ.

Для того, чтобы множество Е(М) было ограниченным необходимо и достаточно, чтобы были ограниченными одновременно множества {x 1 },..., {x n }.

Доказательство . Необходимость . Пусть Е(М) – ограниченное. Следовательно, существует число R>0 такое, что d(M,O)

0£êx 1 ê£

А это и означает, что множества {x 1 },..., {x n } ограничены.

Достаточность . Пусть множества {x 1 },..., {x n } – ограниченные. Следовательно, $С>0: êx 1 ê

т.е., d(M,O)

Определение. Множество называется открытым , если каждая точка этого множества входит в него вместе со своей окрестностью.

Свойства открытых множеств.

1) множества R n и Æ - открытые.

2) Объединение любой системы открытых множеств – открыто (показать).

3) Пересечение конечной системы открытых множеств – открыто (показать).

Точка М 0 ÎЕ называется точкой сгущения множества ЕÌR n , если в каждой ее окрестности содержится хотя бы одна точка множества Е, отличная от М 0 .

Определение. Множество FÌR n называется замкнутым , если его дополнение в R n открыто (т.е. если R n \F – открыто).

Точки сгущения открытого множества, не принадлежащие ему, называются пограничными точками этого множества. Пограничные точки образуют границу множества.

Открытое множество со своей границей называется замкнутым .

План

1. Векторное пространство .
2. Внутренняя точка множества.Открытое множество в пространстве
3. Свойства открытых множеств
4. Предельная точка множества. Замкнутые множества в пространстве
5. Свойства замкнутых множеств в пространстве

1. Векторное пространство . Понятие метрики. Свойства метрики

Пусть. Элементы пространства - это вектора, где. В пространстве введены две операции: сложение векторов и умножение вектора на скаляр, свойства которых рассматриваются в курсе алгебры и геометрии.

Определим норму вектора как функцию:

Функция нормы вектора удовлетворяет свойствам:

Определение 1 . Расстоянием в пространстве между векторами называется

Свойства расстояния:

1. і тогда и только тогда, когда;

Определение 2 . Пусть. Открытым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Пример . - это интервал (рис.1).

Пример . (рис.2).

Определение 3 . Пусть. Замкнутым шаром радиуса с центром в точке (обозначается) называется множество точек таких, что

Определение 4 . Точка называется внутренней точкой этого множества, если существует такой открытый шар, который полностью находится во множестве.

Определение 5 . Множество называется открытым множеством, если каждая его точка является внутренней точкой.

Пример . Пустое множество и множество - открытые множества.

Пример . Доказать, что - открытое множество (рис.3).

Возьмем. Это означает, что. Обозначим. Рассмотрим открытый шар. Докажем, что. Для этого покажем, что одновременно принадлежит:

Таким образом, а это означает, что.

Определение 6 . Открытым параллелепипедом в называется множество точек, для которых выполняются неравенства:

Задание. Показать, что открытый параллелепипед является открытым множеством.

Теорема 1 . Пересечение любого конечного числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - открытые множества, . Покажем, что - открытое множество. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку каждое множество открыто, то для найдется открытый шар. Обозначим. Тогда

Таким образом, является для этого множества внутренней, а само множество - открытым.

Замечание . Пересечение бесконечного числа открытых множеств может и не быть открытым множеством.

Пример . Рассмотрим бесконечную совокупность открытых множеств Для них. Множество, которое содержит одну точку, не является открытым.

Теорема 2 . Объединение любого числа открытых множеств является открытым множеством.

Доказательство . Пусть - некоторое множество индексов. Пусть для множество является открытым. Рассмотрим. Покажем, что - открытое. Для этого возьмем и покажем, что эта точка является внутренней для:

Поскольку - открытое множество, то, тогда, а это означает, что - открытое множество.