Одно и то же тело может одновременно участвовать в двух и более движениях. Простым примером является движение шарика, брошенного под углом к горизонту. Можно считать, что шарик участвует в двух независимых взаимно перпендикулярных движениях: равномерном по горизонтали и равнопеременном по вертикали. Одно и то же тело (материальная точка) может участвовать в двух (и более) движениях колебательного типа.

Под сложением колебаний понимают определение закона результирующего колебания, если колебательная система одновременно участвует в нескольких колебательных процессах. Различают два предельных случая – сложение колебаний одного направления и сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

2.1. Сложение гармонических колебаний одного направления

1. Сложение двух колебаний одного направления (сонаправленных колебаний)

можно провести с помощью метода векторных диаграмм (Рисунок 9) вместо сложения двух уравнений.

На Рисунке 2.1 показаны векторы амплитуд А 1 (t) и А 2 (t) складываемых колебаний в произвольный момент времени t, когда фазы этих колебаний соответственно равны и . Сложение колебаний сводится к определению . Воспользуемся тем фактом, что на векторной диаграмме сумма проекций складываемых векторов равна проекции векторной суммы этих векторов.

Результирующему колебанию соответствует на векторной диаграмме вектор амплитуды и фаза .

Рисунок 2.1 – Сложение сонаправленных колебаний.

Величина вектора А (t) может быть найдена по теореме косинусов:

Фаза результирующего колебания задается формулой:

.

Если частоты складываемых колебаний ω 1 и ω 2 не равны, то и фаза φ(t), и амплитуда А (t) результирующего колебания будут изменяться с течением времени. Складываемые колебания называются некогерентными в этом случае.

2. Два гармонических колебания x 1 и x 2 называются когерентными , если разность их фаз не зависит от времени:

Но так как , то для выполнения условия когерентности двух этих колебаний должны быть равны их циклические частоты .

Амплитуда результирующего колебания, полученного при сложении сонаправленных колебаний с равными частотами (когерентных колебаний) равна:

Начальную фазу результирующего колебания легко найти, если спроектировать векторы А 1 и А 2 на координатные оси ОХ и ОУ (см. Рисунок 9):

.

Итак, результирующее колебание, полученное при сложении двух гармонических сонаправленных колебаний с равными частотами, также является гармоническим колебанием .

3. Исследуем зависимость амплитуды результирующего колебания от разности начальных фаз складываемых колебаний.

Если , где n – любое целое неотрицательное число

(n = 0, 1, 2…), то минимальной . Складываемые колебания в момент сложения находились в противофазе . При результирующая амплитуда равна нулю .

Если , то , т.е. результирующая амплитуда будет максимальной . В момент сложения складываемые колебания находились в одной фазе , т.е. были синфазны . Если амплитуды складываемых колебаний одинаковы , то .

4. Сложение сонаправленных колебаний с неравными, но близкими частотами .

Частоты складываемых колебаний не равны , но разность частот много меньше и ω 1 , и ω 2 . Условие близости складываемых частот записывается соотношениями .

Примером сложения сонаправленных колебаний с близкими частотами является движение горизонтального пружинного маятника, жесткость пружин которого немного различна k 1 и k 2 .

Пусть амплитуды складываемых колебаний одинаковы, а начальные фазы равны нулю . Тогда уравнения складываемых колебаний имеют вид:

, .

Результирующее колебание описывается уравнением:

Получившееся уравнение колебаний зависит от произведения двух гармонических функций: одна – с частотой , другая – с частотой , где ω близка к частотам складываемых колебаний (ω 1 или ω 2). Результирующее колебание можно рассматривать как гармоническое колебание с изменяющейся по гармоническому закону амплитудой. Такой колебательный процесс называется биениями . Строго говоря, результирующее колебание в общем случае не является гармоническим колебанием.

Абсолютное значение косинуса взято потому, что амплитуда – величина положительная. Характер зависимости х рез. при биениях показан на Рисунке 2.2.

Рисунок 2.2 – Зависимость смещения от времени при биениях.

Амплитуда биений медленно меняется с частотой . Абсолютное значение косинуса повторяется, если его аргумент изменяется на π, значит и значение результирующей амплитуды повторится через промежуток времени τ б, называемый периодом биений (см. Рисунок 12). Величину периода биений можно определить из следующего соотношения:

Величина - период биений.

Величина есть период результирующего колебания (Рисунок 2.4).

2.2. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

1. Модель, на которой можно продемонстрировать сложение взаимно перпендикулярных колебаний, представлена на Рисунке 2.3. Маятник (материальная точка массой m) может совершать колебания по осям ОХ и ОУ под действием двух сил упругости, направленных взаимно перпендикулярно.

Рисунок 2.3

Складываемые колебания имеют вид:

Частоты колебаний определяются как , , где , -коэффициенты жесткости пружин.

2. Рассмотрим случай сложения двух взаимно перпендикулярных колебаний с одинаковыми частотами , что соответствует условию (одинаковые пружины). Тогда уравнения складываемых колебаний примут вид:

Когда точка участвует одновременно в двух движениях, ее траектория может быть различной и достаточно сложной. Уравнение траектории результирующего колебаний на плоскости ОХУ при сложении двух взаимно перпендикулярных с равными частотами можно определить, исключив из исходных уравнений для х и y время t:

Вид траектории определяется разностью начальных фаз складываемых колебаний, которые зависят от начальных условий (см. § 1.1.2). Рассмотрим возможные варианты.

а) Если , где n = 0, 1, 2…, т.е. складываемые колебания синфазные, то уравнение траектории примет вид:

(Рисунок 2.3 а).

Рисунок 2.3.а	Рисунок 2.3 б

б) Если (n = 0, 1, 2 …), т.е. складываемые колебаний находятся в противофазе, то уравнение траектории записывается так:

(Рисунок 2.3б).

В обоих случаях (а, б) результирующее движение точки будет колебание по прямой, проходящей через точку О. Частота результирующего колебания равна частоте складываемых колебаний ω 0 , амплитуда определяется соотношением.

4 Колебания и волны

Основные формулы и определения

●Уравнение гармонических колебаний материальной точки имеет вид: x = A sin (ω 0 t + α) или x = A cos (ω 0 t + α), где x - смещение частицы от положения равновесия, A 0 – круговая (или циклическая) частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т.

Скорость колеблющейся точки равна первой производной, а ускорение равно второй производной от смещения по времени.

● Для того чтобы сложить два колебания одного направления и одинаковой частоты (или периода), нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Для этого надо представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда результирующая амплитуда A находится по теореме косинусов:

А 2 = А 1 2 + А 2 2 + 2∙А 1 ∙А 2 ∙cos(∆φ), где А 1 и А 2 - амплитуды складываемых колебаний, ∆φ - разность фаз.

●sin (ωt – kx ), где ξ - смещение частиц среды от положения равновесия, A – амплитуда волны, k = ω / v v – скорость распространения волны. Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v∙Т= v/ ν , где Т – период волны и ν – частота колебаний частиц среды.

● Вектор плотности потока энергии упругой волны равен произведению объёмной плотности энергии на вектор скорости распространения упругой волны:. =w· .

● =[ · , где - напряженность электрического поля, -напряженность магнитного поля электромагнитной волны. Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор () ко второму (), ().

Тест 4 – 1

Материальная точка совершает гармонические колебания с амплитудой А =4 см и периодом Т=2 с. Если смещение точки в момент времени, принятый за начальный, равно нулю, то точка колеблется (в соответствии с уравнением СИ)...

Варианты ответов:

х = 0,04∙sin (2t ) ; 2) х = 0,04∙cos (2t );

x = 0,04∙sin(π t ); 4) x = 0,04∙cos (π t ).

Уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A ∙ sin (ω 0 t + α) или x = A ∙ cos (ω 0 t + α), где A – амплитуда, α – начальная фаза, ω 0 – частота собственных колебаний, которая связана с периодом: ω 0 = 2π/Т. По условию задачи: А = 0.04 м, α = 0, ω 0 = 2π/2 = π , x(0)=0. Начальному условию удовлетворяет формула 3.

Ответ : вариант 3.

Тест 4 – 2

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами и равными амплитудами А 0 . При разности

фаз ∆φ = 3π/2 амплитуда результирующего колебания равна...

Варианты ответов:

1) 5 А 0 /2; 2) А 0 ; 3) 2 А 0 ; 4) 0.

Для того чтобы сложить два колебания одинаковой частоты (или периода) и одинакового направления, нужно воспользоваться методом векторных диаграмм. Нужно представить каждое колебание в виде вектора, длина которого равна амплитуде, а угол наклона к оси абсцисс равен начальной фазе. Тогда для нахождения результирующей амплитуды нужно применить теорему косинусов:

А 2 = А 1 2 + А 2 2 + 2∙А 1 ∙А 2 ∙cos ∆φ, где ∆φ - разность фаз. На рисунке показана векторная диаграмма, соответствующая условию теста 4 – 2. В нашем примере векторы А 1 и А 2 имеют одинаковую длину, т.к. их амплитуды одинаковы: А 1 = А 2 =А 0 , а угол между векторами А 1 и А 2 равен разности фаз: ∆φ = 3π/2 = - π/2. Применим теорему косинусов для нахождения результирующей амплитуды: А 2 = А 0 2 + А 0 2 + 2∙А 0 ∙А 0 ∙cos(-π/2 ). Так как cos(-π/2 )=0, то А 2 = А 0 2 + А 0 2 и результирующая амплитуда, найденная по теореме Пифагора, будет равна: А = А 0 . Ответ : вариант 2.

Тест 4 – 3

Складываются два гармонических колебания одного направления с одинаковыми периодами. Результирующее колебание имеет максимальную амплитуду при разности фаз, равной … Варианты ответов: 1) 0; 2) π; 3) π /4 ; 4) π /2 .

При сложении гармонических колебаний одинакового направления нужно воспользоваться методом векторных диаграмм, а именно, каждое колебание представить в виде вектора. Если эти вектора имеют одинаковое направление, т.е. разность фаз равна нулю, то их амплитуды складываются и результирующая амплитуда будет максимальной.

Тест 4 – 4

Уравнение движения пружинного маятника

d 2 x/dt 2 + (b/m)∙dx/dt + (k/m)·x = 0

является дифференциальным уравнением...

Варианты ответов: 1) вынужденных колебаний;

2) свободных затухающих колебаний;

3) свободных незатухающих колебаний.

Проанализируем варианты ответов.

Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний имеет вид:

d 2 x/dt 2 + 2β·(dx/dt) +ω 0 2 x = F/m,

где β – коэффициент затухания, ω 0 – частота собственных колебаний. Это уравнение является неоднородным, т.е. правая часть уравнения не равна нулю и содержит слагаемое, связанное с вынуждающей силой.

Так как в заданном уравнении правая часть равна нулю, то рассматриваемое уравнение является однородным. Следовательно, оно представляет собой уравнение свободных колебаний. В дифференциальном уравнении свободных затухающих колебаний должно присутствовать слагаемое, содержащее первую производную от смещения по времени, связанное с наличием силы трения. Такое слагаемое есть в этом уравнении. Поэтому, рассматриваемое уравнение является дифференциальным уравнением свободных затухающих колебаний. Ответ : вариант 2.

Тест 4 – 5

На рисунках изображены зависимости от времени координаты и ускорения материальной точки, колеблющейся по гармоническому закону.

Циклическая частота ω 0 колебаний точки равна:

Варианты ответов: 1) 1с -1 ; 2) 2с -1 ; 3) 4с -1 ; 4) 3с -1 .

Пусть уравнение гармонических колебаний имеет вид: x = A cos (ω 0 t + α 0 ). Тогда найдем ускорение как вторую производную от смещения по времени:

а = - A ω 0 2 cos (ω 0 t + α 0 ). Из сопоставления этих формул, получим: а = - ω 0 2 ·х. Из графиков для одного и того же момента времени t найдём х и а. Например, для t = 0.8 с х = 1 м, а = - 4 .0 м/с 2 . Подставим эти числа в последнюю формулу и найдём ω 0 2 = 4. Отсюда ω 0 =2 с - 1 .

Ответ : вариант 2.

Тест 4 – 6

На рисунке изображен график затухающих колебаний, где S -колеблющаяся величина, описываемая уравнением:

S(t) = A o e -t/τ sin(ω 1 t+ φ). Определите время релаксации τ (в с).

Варианты ответов:

1) 3; 2) 1; 3) 2; 4) 0,5.

Временем релаксации называется время, в течение которого амплитуда уменьшается в е раз. Число е равно: е = 2.7…. Из рисунка видно, что в момент времени t 1 = 0 амплитуда равна А 1 = 2.7,а в момент времени t 2 = 2 с амплитуда А 2 = 1. Следовательно, время релаксации τ = t 2 - t 1 = 2-0 =2 с, т.к. за это время амплитуда уменьшилась А 1 / А 2 = 2.7 = е раз.

Ответ : вариант 3.

Тест 4 – 7

Уменьшение амплитуды колебаний в системе с затуханием характеризуется временем релаксации. Если при неизменном коэффициенте трения среды увеличить в 2 раза массу грузика на пружине, то время релаксации…

Варианты ответов: 1) увеличится в 2 раза; 2) уменьшится в 4 раза;

3) увеличится в 4 раза; 4) уменьшится в 2 раза.

Время релаксации вычисляется как величина, обратная коэффициенту затухания: τ = 1/β. Для пружинного маятника коэффициент затухания равен: β = r/(2m), где r – коэффициент трения (или коэффициент сопротивления среды), m – масса грузика на пружине. Тогда время релаксации равно τ = 2m/r.

При r = const, если массу грузика увеличить в 2 раза, то время релаксации увеличится в 2 раза.

Тест 4 – 8

Точка М одновременно колеблется по гармоническому закону вдоль осей координат ОХ и OY с различными амплитудами, но одинаковыми частотами. При разности фаз π/2 траектория точки М имеет вид:

Варианты ответов: 1) фигура1; 2) фигура2; 3 ) фигура3; 4) фигура4.

При сложении взаимно перпендикулярных колебаний одинаковой частоты, но с различными амплитудами, траектория результирующего движения точки представляет собой эллипс. Уравнение произвольно ориентированного эллипса имеет вид: x 2 /A 2 + y 2 /B 2 - 2·(x/A)·(y/B)·cos ∆φ = sin 2 ∆φ, где A и B –амплитуды колебаний вдоль осей x и y. По условию задачи разность фаз равна ∆φ = π/2. Поскольку cos (π/2) = 0 и sin (π/2) = 1, то уравнение траектории будет иметь вид: x 2 /A 2 + y 2 /B 2 = 1, что представляет собой уравнение эллипса, симметричного относительно осей координат. Такой эллипс представлен на рисунке1 фигурой 1.

Тест 4 – 9

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin(l0 3 t - 2x). Тогда скорость распространения волны (в м/с) равна...

Варианты ответов: 1) 500; 2) 2; 3) 1000.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х, имеет вид: ξ = А sin (ωt – kx ), где k = ω / v – волновое число, ω – круговая частота,

v – скорость распространения волны. Из сопоставления этой формулы с формулой, данной в условии задачи, следует, что ω = 10 3 , k = 2. Вычислим скорость распространения волны: v = ω / k = 10 3 /2 = 500.

Ответ : вариант 1.

Тест 4 – 10

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ, имеет вид ξ = 0,01sin l0 3 (t -x/500). Длина волны (в м) равна...

Варианты ответов: 1) 1000; 2) 2; 3) 3,14.

Уравнение плоской волны, распространяющейся вдоль оси х:

ξ = А sin (ωt – kx ), где ω – круговая частота, k - волновое число, равное k=2π/λ, в нашей задаче имеет вид: ξ = 0,01 sin (10 3 t – 10 3∙ x /500). Отсюда k =10 3 /500= 2. Поэтому λ =2π/k =2π/2= π = 3, 14.

Задание С4-9 для самостоятельного решения.

Уравнение плоской синусоидальной волны, распространяющейся вдоль оси ОХ со скоростью 500 м/с, имеет вид ξ = 0,01sin(ωt -2 x ). Циклическая частота ω (в с -1) равна...

Варианты ответов: 1) 1000; 2) 159; 3) 0,001.

Тест 4 – 11

Для продольной волны справедливо утверждение...

Варианты ответов:

1) Возникновение волны связано с деформацией сдвига.

2) Частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

3) Частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны.

Продольной волной называется такая волна, в которой частицы среды колеблются в направлении распространения волны. Поперечной волной называется волна, в которой частицы среды колеблются в направлениях, перпендикулярных направлению распространения волны. Возникновение поперечной волны связано с деформацией сдвига. Для продольной волны справедливо утверждение: частицы среды колеблются в направлении распространения волны.

Ответ : вариант 2.

Тест 4 – 12

Сейсмическая упругая волна, падающая со скоростью 5,6 км/с под углом 45° на границу раздела между двумя слоями земной коры с различными свойствами, испытывает преломление, причем угол преломления равен 30°. Во второй среде волна будет распространяться со скоростью…

Варианты ответов:

1,4 км/с; 2) 2,8 км/с; 3) 4,0 км/с; 4) 7,8 км/с.

Если рассматривать только направление распространения волны, то для упругой волны можно применить понятие луча и использовать закон преломления лучей.

По закону преломления лучей отношение синуса угла падения к синусу угла преломления равно отношению скоростей распространения волны в первой и во второй средах: sin α /sin β = v 1 / v 2 . Отсюда скорость распространения волны во второй среде равна : v 2 = v 1 · sin β/ sin α. Проведём вычисления:

v 2 = 5,6· sin 30°/sin 45° = 5,6·(1/2)/( /2) = 5,6/1,41 = 3,97… = 4,0 км / с .

Ответ : вариант 3.

Тест 4 – 13

На рисунке представлена мгновенная фотография электрической составляющей электромагнитной волны, переходящей из среды 1 в среду 2 перпендикулярно границе раздела АВ .

Относительный показатель преломления среды 2 относительно среды 1 равен …

Варианты ответов:

1) 1,75; 2) 1,5; 3) 1; 4) 0,67.

Относительный показатель преломления равен отношению скорости распространения волны в первой среде к скорости её распространения во второй среде: n 21 = v 1 / v 2 . Длина волны λ и скорость её распространения v связаны соотношением: λ = v/ν, где ν – частота волны. При переходе через границу раздела двух сред частота волны не изменяется, поэтому выполняется следующее соотношение: λ 1 / λ 2 = v 1 / v 2 .Из рисунка, на котором показана половина длины волны, следует, что λ 1 =0,375∙2=0,75 мкм и λ 2 =0,25∙2=0,5 мкм. Поэтому относительный показатель преломления равен:

n 21 = v 1 / v 2 = λ 1 / λ 2 =0,75/0,5= 1,5.

Ответ: вариант 2.

Тест 4 – 14

Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность...

Варианты ответов: 1) В∙А/м 2 ; 2) В∙А∙м 2 ; 3) В ∙А∙с/м 2 ; 4) В ∙А∙с∙м 2 .

Плотность потока энергии электромагнитной волны численно равна энергии, переносимой электромагнитной волной за единицу времени через единичную площадку, перпендикулярную направлению распространения волны. Энергия, переносимая волной за единицу времени, называется мощностью. Мощность в механике (для упругой волны) измеряется в ваттах, мощность электромагнитной энергии измеряется в вольтах, умноженных на ампер (В∙А). Плотность потока электромагнитной энергии имеет размерность В∙А/м 2 .

Ответ : вариант 1.

Тест 4 – 15

Если увеличить в 2 раза объемную плотность энергии и при этом увеличить в 2 раза скорость распространения упругих волн, то плотность потока энергии...

Варианты ответов: 1) увеличится в 4 раза;

2) увеличится в 2 раза;

3) останется неизменной.

Плотность потока энергии упругой волны по модулю равна произведению объёмной плотности энергии на скорость распространения упругой волны: j=w· v. При увеличении в 2 раза объемной плотности энергии w и в 2 раза скорости распространения упругой волны v объёмная плотность энергии увеличится в 4 раза. Ответ : вариант 1.

Тест 4 - 16

Колебательный контур состоит из последовательно соединенных емкости, индуктивности и резистора. К контуру подключено переменное напряжение (рис.).

При некоторой частоте внешнего напряжения амплитуды падений напряжений на элементах цепи соответственно равны Ur = 4 В, Ul = 3 В, Uc.= 6 В. При этом амплитуда приложенного напряжения равна...

Варианты ответов:

1) 3 В; 2) 4 В; 3) 5В; 4) 1ЗВ.

Если в колебательный контур подключено переменное напряжение, описываемое уравнением: U = U m cos (ωt), то в цепи потечет переменный ток, который вызовет на элементах цепи соответствующие падения напряжения U R , U L и U C . Расчёты показывают, что падение напряжения на индуктивности U L опережает по фазе на π/2 падение напряжения на активном сопротивлении U R , а падение напряжения на ёмкости U C отстаёт по фазе на π /2 от падения напряжения на активном сопротивлении U R . Наглядно это можно изобразить с помощью метода векторных диаграмм.

Амплитуда приложенного напряжения U m должна быть равна векторной сумме амплитуд этих напряжений. По теореме Пифагора: U m 2 = (U L - U C ) 2 + U R 2 .

Проведём вычисления;U m 2 = (3 – 6) 2 + 4 2 = 3 2 + 4 2 =25 =5 2 . Отсюда: U m = 5 В.

Ответ : вариант 3.

Тест 4 - 17

На рисунке показана ориентация векторов напряженности электрического () и магнитного () полей в электромагнитной волне. Вектор плотности потока энергии электромагнитного поля ориентирован в направлении...

Варианты ответов:

1) направление 4;

2) направление 1;

3) направление 2;

4) направление 3.

Вектор плотности потока энергии электромагнитной волны равен векторному произведению: =[ · . Направление векторного произведения можно определить по правилу правого винта (или буравчика). Согласно этому правилу, если поворачивать первый вектор () ко второму вектору (), то поступательное движение буравчика покажет направление векторного произведения (). В нашем случае вектор плотности потока энергии ориентирован в направлении 1, т.е. в сторону распространения электромагнитной волны.

Ответ : вариант 2.

Тест 4 – 18

На рисунке представлена зависимость относительной амплитуды колебаний силы тока в катушке индуктивностью 1мГн, включенной в колебательный контур. Емкость конденсатора этого контура равна...

Варианты ответов:

1) 0,1нф; 2) 1нф;

3) 100нф; 4) 10нф.

Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний (резонанс) наблюдается, при совпадении частоты собственных колебаний с частотой вынужденных колебаний ω 0 = ω р . Частота собственных колебаний в колебательном контуре вычисляется по формуле: ω 0 = 1/ , где L – индуктивность, C – ёмкость. Поэтому 1/ = ω р . Отсюда C = 1/(L ω р 2 ). По условию задачи L = 1 мГн = 10 -3 Гн. Из графика ω р = 10 6 рад/с. Вычислим ёмкость конденсатора: C =1/(10 -3 · 10 12 ) = 10 – 9 Ф = 1 нф.

Ответ : вариант 2

Тест 4 – 19

На рисунке представлена зависимость амплитуды колебаний груза на пружине с жесткостью k = 10 Н/м от частоты внешней силы. Определите максимальную энергию системы.

Варианты ответов:

1) 40 Дж;

2) 0,002 Дж;

3 ) 0,02 Дж;

4) 20 Дж.

Полная энергия колеблющейся системы равна W = m ω 2 · A 2 /2, где m – масса, ω – частота колебаний, равная частоте вынужденных колебаний системы, А – амплитуда колебаний. Амплитуда вынужденных колебаний зависит от частоты внешней силы. При совпадении частоты собственных колебаний ω 0 с частотой вынужденных колебаний наблюдается резонанс, т.е. резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний. При резонансе амплитуда будет максимальной А = А max , резонансная частота равна ω р = ω 0 и максимальная энергия системы будет равна W max = m ω 0 2 · A max 2 /2. Учтем, что коэффициент жесткости пружины равен: k = m ω 0 2 , где ω 0 - частота собственных колебаний. Тогда W max = k · A max 2 /2. Найдем из рисунка

Пусть точка одновременно участвует в двух гармонических колебаниях одинакового периода, направленных вдоль одной прямой.

Сложение колебаний будем проводить методом векторных диаграмм (рис. 2.2). Пусть колебания заданы уравнениями

и

(2.2.1)

Отложим из точки О вектор под углом φ 1 к опорной линии и вектор под углом φ 2 . Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью ω, поэтому их разность фаз не зависит от времени (). Такие колебания называют когерентными.

Нам известно, что суммарная проекция вектора равна сумме проекций на эту же ось. Поэтому результирующее колебание может быть изображено вектором амплитуды , вращающимся вокруг точки О с той же угловой скоростью ω, что и , и . Результирующее колебание должно быть также гармоническим с частотой ω:

.

По правилу сложения векторов найдем суммарную амплитуду:

Результирующую амплитуду найдем по формуле

Таким образом, тело, участвуя в двух гармонических колебаниях одного направления и одинаковой частоты, совершает также гармоническое колебание в том же направлении и с той же частотой, что и складываемые колебания.

Из (2.2.2) следует, что амплитуда А результирующего колебания зависит от разности начальных фаз . Возможные значения А лежат в диапазоне (амплитуда не может быть отрицательной).

Рассмотрим несколько простых случаев.

1. Разность фаз равна нулю или четному числу π, то есть , где . Тогда и

,

(2.2.4)

так как , т.е. амплитуда результирующего колебания А равна сумме амплитуд складываемых колебаний (колебания синфазны ) (рис. 2.3).

2. Разность фаз равна нечетному числу π, то есть , где . Тогда . Отсюда

.

(2.2.5)

На рис. 2.4 изображена амплитуда результирующего колебания А , равная разности амплитуд складываемых колебаний (колебания в противофазе ).

3. Разность фаз изменяется во времени произвольным образом :

(2.2.6)

Из уравнения (2.2.6) следует, что и будет изменяться в соответствии с величиной . Поэтому при сложении некогерентных колебаний не имеет смысла говорить о сложении амплитуд, но в некоторых случаях наблюдаются вполне определенные закономерности. Для практики особый интерес представляет случай, когда два складываемых колебания одинакового направления мало отличаются по частоте. В результате сложения этих колебаний получаются колебания с периодически изменяющейся амплитудой.

Периодические изменения амплитуды колебания, возникающие при сложении двух гармонических колебаний с близкими частотами , называются биениями . Строго говоря, это уже не гармонические колебания.

Пусть амплитуды складываемых колебаний равны А , а частоты равны ω и , причем . Начало отсчета выбираем так, чтобы начальные фазы обоих колебаний были равны нулю:

Сложим эти выражения, пренебрегая , так как .

Характер зависимости (2.2.8) показан на рис. 2.5, где сплошные жирные линии дают график результирующего колебания, а огибающие их – график медленно меняющейся по уравнению (2.2.7) амплитуды.

Определение частоты тона (звука определенной высоты) биений между эталонным и измеряемым колебаниями – наиболее широко применяемый на практике метод сравнения измеряемой величины с эталонной. Метод биений используется для настройки музыкальных инструментов, анализа слуха и т.д.

Вообще, колебания вида называются модулированными . Частные случаи: амплитудная модуляция и модулирование по фазе или частоте. Биение – простейший вид модулированных колебаний.

Любые сложные периодические колебания можно представить в виде суперпозиции одновременно совершающихся гармонических колебаний с различными амплитудами, начальными фазами, а также частотами, кратными циклической частоте ω:

.

Представление периодической функции в таком виде связывают с понятием гармонического анализа сложного периодического колебания, или разложения Фурье (то есть представление сложных модулированных колебаний в виде ряда (суммы) простых гармонических колебаний). Слагаемые ряда Фурье, определяющие гармонические колебания с частотами ω, 2ω, 3ω, ..., называются первой (или основной ), второй , третьей и т.д. гармониками сложного периодического колебания.

Сложение колебаний

Сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми амплитудами и частотами

Рассмотрим пример звуковых волн, когда два источника создают волны с одинаковой амплитудами A и частотами?. На расстоянии от источников установим чувствительную мембрану. Когда волна «пройдёт» расстояние от источника до мембраны, мембрана придёт в колебательное движение. Воздействие каждой из волн на мембрану можно описать следующими соотношениями, воспользовавшись колебательными функциями:

x1(t) = A cos(?t + ?1),

x2(t) = A cos(?t + ?2).

x(t) = x1 (t) + x2 (t) = A (1.27)

Выражение, которое находится в скобках, можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией суммы косинусов:

Для того чтобы упростить функцию (1.28), введём новые величины A0 и?0, удовлетворяющие условию:

A0 = ?0 = (1.29)

Подставим в функцию (1.28) выражения (1.29), получим

Таким образом, сумма гармонических колебаний с одинаковыми частотами? есть гармоническое колебание той же частоты?. При этом амплитуда суммарного колебания A0 и начальная фаза?0 определяются соотношениями (1.29).

Сложение двух гармонических колебаний с одинаковой частотой, но разными амплитудой и начальной фазой

Теперь рассмотрим такую же ситуацию, изменив в функции (1.26) амплитуды колебаний. У функции x1 (t) заменим амплитуду A на A1, а у функции x2 (t) А на A2. Тогда функции (1.26) запишутся в следующем виде

x1 (t) = A1 cos(?t + ?1), x2 (t) = A2 cos (?t + ?2); (1.31)

Найдем сумму гармонических функций (1.31)

x= x1 (t) + x2 (t) = A1 cos(?t + ?1) + A2 cos (?t + ?2) (1.32)

Выражение (1.32) можно записать иначе, воспользовавшись тригонометрической функцией косинуса суммы:

x(t) = (A1cos(?1) + A2cos(?2)) cos(?t) - (A1sin(?1) + A2sin(?2)) sin(?t) (1.33)

Для того чтобы упростить функцию (1.33) введём новые величины A0 и?0, удовлетворяющие условию:

Возведём каждое уравнение системы (1.34) в квадрат и сложим полученные уравнения. Тогда мы получим следующее соотношение для числа A0:

Рассмотрим выражение (1.35). Докажем, что величина под корнем не может быть отрицательной. Так как cos(?1 - ?2) ? -1, значит, это единственная величина, которая может повлиять на знак числа под корнем (A12 > 0, A22 > 0 и 2A1A2 > 0 (из определения амплитуды)). Рассмотрим критический случай (косинус равен минус единице). Под корнем оказывается формула квадрата разности, что является величиной всегда положительной. Если мы начнём постепенно увеличивать косинус, то слагаемое, содержащее косинус тоже начнёт расти, тогда величина, стоящая под корнем не изменит свой знак.

Теперь рассчитаем соотношение для величины?0, разделив второе уравнение системы (1.34) на первое и вычислив арктангенс:

А теперь подставим в функцию (1.33) значения из системы (1.34)

x = A0(cos(?0) cos?t - sin(?0) sin?t) (1.37)

Преобразуя выражение, стоящее в скобках по формуле косинуса суммы, мы получим:

x(t) = A0 cos(?t + ?0) (1.38)

И опять получилось, что сумма двух гармонических функций вида (1.31) является также гармонической функцией того же вида. Точнее говоря, сложение двух гармонических колебаний с одинаковыми частотами? представляет собой также гармоническое колебание с той же частотой?. При этом амплитуда результирующего колебания определяется соотношением (1.35), а начальная фаза - соотношением (1.36).

Сложение гармонических колебаний одного направления.

Биения

Рассмотрим колебательную систему с одной степенью свободы, состояние которой определяется зависимостью некоторой величины от времени. Пусть колебание в этой системе представляет собой сумму двух гармонических колебаний с одинаковой частотой , но различными амплитудами и начальными фазами, т. е.

Так как "смещение" колебательной системы от положения равновесия происходит вдоль одного единственного "направления" , то в этом случае говорят о сложении гармонических колебаний одного направления. На векторной диаграмме складываемые колебания изобразятся в виде двух векторов и , повернутых относительно друг друга на угол (рис. 6.1). Так как частоты складываемых колебаний одинаковы, то их взаимное положение будет оставаться неизменным в любой момент времени, и результирующее колебание будет изображаться вектором, равным сумме векторов и . Складывая векторы по правилу параллелограмма и используя теорему косинусов, получим

. (6.3)

Таким образом, при сложении двух гармонических колебаний одного направления с одинаковыми частотами получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются выражениями (6.2), (6.3).

Два гармонических колебания, которые совершаются с одинаковой частотой и имеют постоянную разность фаз, называются когерентными . Следовательно, при сложении когерентных колебаний получается гармоническое колебание той же частоты, амплитуда и начальная фаза которого определяются амплитудами и начальными фазами складываемых колебаний.

Если складываемые колебания имеют разные частоты и , но одинаковые амплитуды , то, используя известное из тригонометрии выражение для суммы косинусов двух углов, получим

Из полученного выражения видно, что результирующее колебание не является гармоническим.

Пусть частоты складываемых колебаний близки друг к другу так, что и . Этот случай называется биением двух частот.

Обозначив , и , можно записать

. (6.5)

Из выражения (6.5) следует, что результирующее колебание можно представить как гармоническое колебание с некоторой средней частотой , амплитуда которого медленно (с частотой ) меняется во времени. Время называется периодом биений , а – частотой биений . График биений изображен на рисунке 6.2. Биения возникают при одновременном звучании двух камертонов одинаковой тональности. Их можно наблюдать с помощью осциллографа при сложении гармонических колебаний двух генераторов, настроенных на одну частоту. В обоих случаях частоты источников колебаний будут немного различаться, в результате чего возникнут биения.

Так как колебания происходят с разными частотами, то разность фаз складываемых колебаний изменяется во времени, следовательно, колебания не являются когерентными. Изменение во времени амплитуды результирующих колебаний является характерным следствием некогерентности складываемых колебаний .

Сложение колебаний очень часто наблюдается в электрических цепях и, в частности, в радиотехнических устройствах связи. В одних случаях это делается целенаправленно, чтобы получить сигнал с заданными параметрами. Так, например, в гетеродинном приемнике принимаемый сигнал складывается (смешивается) с сигналом гетеродина, чтобы в результате последующей обработки получить колебание промежуточной частоты. В других случаях сложение колебаний происходит самопроизвольно, когда на вход устройства кроме полезного сигнала поступает какая-либо помеха. По сути, все многообразие формы электрических сигналов представляет собой результат сложения двух или большего числа гармонических колебаний.