СкоростьточкиЕ равнанулю, поэтомуточка е на плане скоростейсовпадает с точкой О .

Далее.Должнобыть и . Проводим эти прямые, находимихточкупересечения d .Отрезоко d определитвекторскорости .

Пример 7. В шарнирном четырехзвеннике ОАВС ведущий кривошип OA см равномерно вращается вокруг оси О с угловой скоростью ω = 4 с -1 и при помощи шатуна АВ = 20 см приводит во вращательное движение кривошип ВС вокруг оси С (рис.13.1,а ). Определить скорости точек А и В, а также угловые скорости шатуна АВ и кривошипа ВС.

а) б)

Рис.13.1

Решение. Скорость точки А кривошипа OA

Взяв точку А за полюс, составим векторное уравнение

где

Графическое решение этого уравнения дано на рис.13.1,б (план скоростей).

С помощью плана скоростей получаем

Угловая скорость шатуна АВ

Скорость точки В можно найти с помощью теоремы о проекциях скоростей двух точек тела на соединяющую их прямую

В и угловая скорость кривошипа СВ

Определение ускорений точек плоской фигуры

Покажем, что ускорение любой точки М плоской фигуры (так же, как и скорость) складывается из ускорений, которые точка получает при поступательном и вращательном движениях этой фигуры. Положение точки М по отношению к осям О xy (см.рис.30) определяется радиусом-вектором - угол между вектором и отрезком МА (рис.14).

Таким образом, ускорение любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из ускорениякакой-нибудь другой точки А , принятой за полюс, и ускорения, которое точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление ускорения , находятся построением соответствующего параллелограмма (рис.23).

Однако вычисление и ускорения какой-нибудь точки А этой фигуры в данный момент; 2) траектория какой-нибудь другой точки В фи­гуры. В ряде случаев вместо траектории второй точки фигуры до­статочно знать положение мгновенного центра скоростей.

Тело (или механизм) при решении задач надо изображать в том положении, для которого требуется определить ускорение соответ­ствующей точки. Расчет начинается с определения по данным задачи скорости и ускорения точки, принимаемой за полюс.

План решения (если заданы скорость и ускорение одной точки плоской фигуры и направления скорости и ускорения другой точки фигуры):

1) Находим мгновенный центр скоростей, восставляя перпендикуляры к скоростям двух точек плоской фигуры.

2) Определяем мгновенную угловую скорость фигуры.

3) Определяем центростремительное ускорение точки вокруг полюса, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

4) Находим модуль вращательного ускорения, приравнивая нулю сумму проекций всех слагаемых ускорений на ось, перпендикулярную к известному направлению ускорения.

5) Определяем мгновенное угловое ускорение плоской фигуры по найденному вращательному ускорению.

6) Находим ускорение точки плоской фигуры при помощи формулы распределения ускорений.

При решении задач можно применять «теорему о проекциях векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела»:

«Проекции векторов ускорений двух точек абсолютно твердого тела, которое совершает плоскопараллельное движение, на прямую, повернутую относительно прямой, проходящей через эти две точки, в плоскости движения этого тела на угол в сторону углового ускорения, равны».

Эту теорему удобно применять, если известны ускорения только двух точек абсолютно твердого тела как по модулю, так и по направлению, известны только направления векторов ускорений других точек этого тела (геометрические размеры тела не известны), не известны и – соответственно проекции векторов угловой скорости и углового ускоренияэтого тела на ось, перпендикулярную плоскости движения, не известны скорости точек этого тела.

Известны еще 3 способа определения ускорений точек плоской фигуры:

1) Способ основан на дифференцировании дважды по времени законов плоскопараллельного движения абсолютно твердого тела.

2) Способ основан на использовании мгновенного центра ускорений абсолютно твердого тела (о мгновенном центре ускорений абсолютно твердого тела будет рассказано ниже).

3) Способ основан на использовании плана ускорений абсолютно твердого тела.

Движение плоской фигуры слагается из поступательного движения, когда все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА , и из вращательного движения вокруг этого полюса (рис. 3.4). Скорость любой точкиМ фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

Рисунок 3.4

Действительно, положение точки М по отношению к осямОх y определяется радиусом – вектором
, где- радиус-вектор полюсаА ,=
- радиус-вектор, определяющий положение точкиМ относительно
, перемещающихся вместе с полюсомА поступательно. Тогда

.

есть скорость полюсаА ,равна скорости
, которую точкаМ получает при
, т.е. относительно осей
, или, иначе, при вращении фигуры вокруг полюсаА . Таким образом следует, что

где ω – угловая скорость фигуры.

Рисунок 3.5

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скоростинаходятся построением соответствующего параллелограмма (рис. 3.5).

10.3. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Одним из простых способов определения скоростей точек плоской фигуры (или тела движущегося плоскопараллельно) является теорема: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны друг другу.

Рисунок 3.6

Рассмотрим какие-нибудь две точки А иВ плоской фигуры (или тела) (рис.3.6). Принимая точкуА за полюс получаем, что
. Отсюда, проектируя обе части равенства на ось, направленную поАВ , и учитывая, что вектор
перпендикуляренАВ , находим

и теорема доказана. Заметим, что этот результат ясен и из чисто физических соображений: если равенство
не будет выполняться, то при движении расстояние между точкамиА иВ должно изменяться, что невозможно – тело абсолютно твердое. Поэтому это равенство выполняется не только при плоскопараллельном, но и при любом движении твердого тела.

10.4. Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

Другой простой и наглядный метод определения скоростей точек плоской фигуры (или тела при плоском движении) основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей (МЦС) называется точка плоской фигуры, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если фигура движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная. Пусть в момент времениt точкиА иВ плоскости фигуры имеют скоростии, непараллельные друг другу (рис. 3.7.). Тогда точкаР , лежащая на пересечении перпендикуляровАа к векторуиВ b к вектору, и будет мгновенным центром скоростей, так как
.

Рисунок 3.7

В самом деле, если
, то по теореме о проекциях скоростей вектордолжен быть одновременно перпендикулярен иАР (так как
), иВР (так как
), что невозможно. Из этой же теоремы видно, что никакая другая точка фигуры в этот момент времени не может иметь скорость, равную нулю.

Если теперь в момент времени t взять точкуР за полюс. То скорость точкиА будет

,

так как =0. Такой же результат получается для любой другой точки фигуры. Тогда,скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было вращением вокруг мгновенного центра скоростей. При этом

и так для любой точки фигуры.

Из этого следует еще, что
и
, тогда

т.е. что скорости точек плоской фигуры пропорциональны их расстоянию от мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей, например, и каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры.

2. Для определения скорости любой точки плоской фигуры надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А фигуры и направление скорости другой её точки В.

3. Угловая скорость плоской фигуры равна в каждой момент времени отношению скорости какой-нибудь точки фигуры к её расстоянию от мгновенного центра скоростей Р:

Найдем, еще другое выражение для ω из равенств
и

следует, что
и
, откуда

Рассмотрим некоторые частные случаи определения МЦС, которые помогут решать теоретической механики.

1. Если плоскопараллельное движение осуществляется путем качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого неподвижного, то точка Р катящегося тела, касающаяся неподвижной поверхности (рис. 3.8), имеет в данный момент времени вследствие отсутствия скольжения скорость, равную нулю (
), и следовательно, является мгновенным центром скоростей.

Рисунок 3.8

2. Если скорости точек А иВ плоской фигуры параллельны друг другу, причем линияАВ не перпендикулярна(рис.3.9,а), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек //. При этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что
, т.е.
, в этом случае фигура имеет мгновенное поступательное движение.

3. Если скорости точек А иВ плоской фигуры // друг другу и при этом линияАВ перпендикулярна, то мгновенный центр скоростейР определяется построением (рис. 3.9,б).

Рисунок 3.9

Справедливость построений следует из
. В этом случае, в отличие от предыдущих, для нахождения центраР надо кроме направлений знать еще и модули скоростейи.

4. Если известны вектор скорости какой-нибудь точкиВ фигуры и её угловая скоростьω , то положение мгновенного центра скоростейР , лежащего на перпендикуляре к(см. рис. ?), можно найти из равенства
, которое дает
.

Было отмечено, что движение плоской фигуры можно рассматривать как слагающееся из поступательного движения, при котором все точки фигуры движутся со скоростью полюсаА , и из вращательного движения вокруг этого полюса. Покажем, что скорость любой точки М фигуры складывается геометрически из скоростей, которые точка получает в каждом из этих движений.

В самом деле, положение любой точки М фигуры определяется по отношению к осям Оху радиусом-вектором (рис.30), где - радиус-вектор полюсаА , - вектор, определяю­щий положение точки М относительно осей , перемещающих­ся вместе с полюсом А поступательно (движение фигуры по отноше­нию к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А ). Тогда

В полученном равенстве величина есть скорость полюсаА ; величина же равна скорости , которую точка М получает при , т.е. относительно осей , или, иначе говоря, при вращении фигуры вокруг полюса А . Таким образом, из предыдущего равенства действительно следует, что

Скорость , которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюсаА :

где - угловая скорость фигуры.

Таким образом, скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точкиА , принятой за полюс, и скорости, которую точка М получает при вращении фигуры вокруг этого полюса. Модуль и направление скорости находятся построением соответствующего параллело­грамма (рис.31).

Рис.30 Рис.31

23. Фактически уравнением поступательного движения твердого тела является уравнение второго закона Ньютона: Используя уравнения:

И получаем .

24.В этом случае составляющие

– момента внешних сил, направленные вдоль x и y , компенсируются моментами сил реакции закрепления .

Вращение вокруг оси z происходит только под действием

6.4 6.5

Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z .Получим уравнение динамики для некоторой точки m i этого тела находящегося на расстоянии R i от оси вращения. При этом помним, что и

Направлены всегда вдоль оси вращения z, поэтому в дальнейшем опустим значок z .

Так как у всех точек разная, введем, вектор угловой скорости причем

Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения m i иR i останутся неизменными. Тогда:

Обозначим I i – момент инерции точки находящейся на расстоянии R от оси вращения:

Так как тело состоит из огромного количества точек и все они находятся на разных расстояниях от оси вращения, то момент инерции тела равен:

где R – расстояние от оси z до dm. Как видно, момент инерции I – величина скалярная.

Просуммировав по всем i- ым точкам,

получим или - Это основное уравнение

динамики тела вращающегося вокруг неподвижной оси .

26) Момент импульса твердого тела.

Момент импульса есть векторная сумма моментов импульсов всех материальных точек тела относительно неподвижной оси.

Если ось вращения твердого тела закреплена, то момент силы перпендикулярный этой оси ()за счет сил трения в подшипниках всегда будет равняться нулю.

Скорость изменения момента импульса твердого тела вдоль оси вращения, которая закреплена, равняется результирующему моменту внешних сил, направленному вдоль этой оси.

– момент инерции.

28)Момент сил трения качения – закон Кулона. Коэффициент трения качения.

Трение качения. Существование трения качения можно установить экспериментально, например, при исследовании качения тяжелого цилиндра радиуса на горизонтальной плоскости.

Если цилиндр и плоскость - твердые тела с шероховатыми поверхностями (рис. 55, a), то их касание будет происходить в точке, сила N уравновешивает силу тяжести P, а горизонтальная сила Q и сила трения F образуют пару сил (Q,F) под действием которой цилиндр должен начинать движение при любых величинах силы Q. В действительности же цилиндр начинает движение после того, как величина силы Q превысит предельное значение Ql.

Этот факт можно объяснить, если предположить, что цилиндр и плоскость деформируются. Тогда их контакт будет происходить по малой площадке или лунке (на рис. 55, b малая площадка изображена своим сечением). При увеличении силы Q центр давления будет перемещаться из середины сечения вправо. В результате образуется пара сил (P,N), которая препятствует началу движения цилиндра. В состоянии предельного равновесия на цилиндр действуют пара сил (Ql,F) с моментом Ql·r и уравновешивающая ее пара (P,N) с моментом N·δ, где δ - значение максимального смещения. Из равенства моментов пар сил находим (6)

Пока Q Ql начинается качение.

Обычно рис. 55, b упрощают, не изображая на нем смещения точки приложения нормальной реакции, добавляя к силам на рис. 55, a пару сил, препятствующую качению цилиндра, как показано на рис. 55, c.

Момент этой пары сил называется моментом трения качения , он равен моменту пары сил (P,N): (7)

Входящая в формулы (6) и (7) величина максимального смещения точки приложения нормальной реакции δ называется коэффициентом трения качения. Он имеет размерность длины и определяется экспериментально. Приведем приближенные значения этого коэффициента (в метрах) для некоторых материалов: дерево по дереву δ = 0,0005-0,0008; мягкая сталь по стали (колесо по рельсу) - 0.00005; закаленная сталь по стали (шарикоподшипник) - 0.00001.

Отношение δ/r в формуле (6) для большинства материалов значительно меньше коэффициента трения покоя f0 . Поэтому в технике, когда это возможно, стремятся скольжение заменить качением (колеса, катки, шарикоподшипники и т.п.).

Закон Амонтона - Кулона

Основная статья: Закон Кулона (механика)

Не путать с законом Кулона!

Основной характеристикой трения является коэффициент трения μ, который определяется материалами, из которых изготовлены поверхности взаимодействующих тел.

В простейших случаях сила трения F и нормальная нагрузка (или сила нормальной реакции) Nnormal связаны неравенством обращающимся в равенство только при наличии относительного движения. Это соотношение называется законом Амонтона - Кулона.

Скорость произвольной точки М фигуры определим как сумма скоростей, которые точка получает при поступательном движении вместе с полюсом и вращательном движении вокруг полюса.

Представим положение точки М как (рис.1.6).

Продифференцировав это выражение по времени получим:

, т.к.

.

При этом скорость v MA . которую точка М получает при вращении фигуры вокруг полюса А , будет определяться из выражения

v MA =ω ·MA ,

где ω - угловая скорость плоской фигуры.

Скорость любой точки М плоской фигуры геометрически складывается из скорости точки А , принятой за полюс, и скорости, точки М при вращении фигуры вокруг полюса. Модуль и направление скорости этой скорости находятся построением параллелограмма скоростей.

Задача 1

Определить скорость точки А, если скорость центра катка равна 5м/с, угловая скорость катка . Радиус катка r=0,2м, угол . Каток катиться без скольжения.

Так как тело совершает плоскопараллельное движение, то скорость точки А будет состоять из скорости полюса (точка С ) и скорости полученной точкой А при вращении вокруг полюса С .

,

Ответ:

Теорема о проекциях скоростей двух точек тела, движущего плоскопараллельно

Рассмотрим какие-нибудь две точки А и В плоской фигуры. Принимая точку А за полюс (рис.1.7), получаем

Отсюда, проецируя обе части равенства на ось, направленную по АВ , и учитывая, что вектор перпендикулярен АВ , находим

v B ·cosβ =v A ·cosα+ v В A ·cos90° .

т.к. v В A ·cos90°=0 получаем: проекции скоростей двух точек твердого тела на ось, проходящую через эти точки, равны.

Задача 1

Стержень АВ скользит по гладкой стене вниз и гладкому полу, скорость точки A V A =5м/с, угол между полом и стержнем АВ равен 30 0 . Определить скорость точки В.

Определение скоростей точек плоской фигуры с помощью мгновенного центра скоростей

При определении скоростей точек плоской фигуры через скорость полюса, скорость полюса и скорость вращательного движения вокруг полюса могут быть равны по величине и противоположны по направлению и существует такая точка Р, скорость которой в данный момент времени равна нулю , называют ее мгновенным центром скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка, связанная с плоской фигурой, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Скорости точек плоской фигуры определяются в данный момент времени так, как если бы движение фигуры было мгновенно вращательным вокруг оси проходящей через мгновенный центр скоростей (рис. 1.8).

v A =ω ·PA ; ().

Т.к. v B =ω ·PB ; (), то w= v B /PB =v A /PA

Скорости точек плоской фигуры пропорциональны кратчайшим расстояниям от этих точек до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1) для определения положения мгновенного центра скоростей надо знать величину и направления скорости и направление скорости каких-нибудь двух точек А и В плоской фигуры; мгновенный центр скоростей P находится в точке пересечения перпендикуляров, восставленных из точек А и В к скоростям этих точек;

2) угловая скорость ω плоской фигуры в данный момент времени равна отношению скорости к расстоянию от нее до мгновенного центра Р скоростей: ω =v А /PА ;

3) Скорость точки по отношению к мгновенному центру скоростей P укажет направление угловой скорости w.

4) Величина скорости точки прямопропорциональна кратчайшему расстоянию от точки В к мгновенному центру скоростей Р v А = ω·ВР

Задача 1

Кривошип ОА длиной 0,2м вращается равномерно с угловой скоростью ω=8 рад/с . К шатуну АВ в точке С шарнирно прикреплен шатун CD. Для заданного положения механизма определить скорость точки D ползуна, если угол .

Движение точки В ограничено горизонтальными направляющими, ползун может совершать только поступательное движение по горизонтальным направляющим. Скорость точки В направлена в туже сторону что и . Так как две точки шатуна имеют одинаковое направление скоростей, то тело совершает мгновенно поступательное движение, и скорости всех точек шатуна имеют одинаковое направление и значение.

Уравнения плоского движения.

Основная теорема

Движение плоской фигуры в своей плоскости складывается из двух движений: поступательного вместе с произвольно выбранной точкой (полюсом), и вращательного вокруг этого полюса.

Положение плоской фигуры на плоскости определяется положением выбранного полюса и углом поворота вокруг этого полюса, поэтому плоское движение описывается тремя уравнениями:

Первые два уравнения (рис.5) определяют то движение, которое фигура совершала бы при φ = const, очевидно, что это движение будет поступательным, при котором все точки фигуры будут двигаться так же, как полюс А .

Третье уравнение определяет движение, которое фигура совершала бы при х А = const и у А = const, т.е. когда полюс А будет неподвижен; это движение будет вращением фигуры вокруг полюса А.

При этом вращательное движение не зависит от выбора полюса, а поступательное движение характеризуется движением полюса.

Зависимость между скоростями двух точек плоской фигуры.

Рассмотрим две точки А и В плоской фигуры. Положение точкиВ относительно неподвижной системы координат Оху определяется радиусом-вектором r B (рис.5):

r B = r A + ρ,

где r A - радиус-вектор точки А , ρ = АВ

вектор, определяющий положение точки В

относительно подвижных осей Ах 1 у 1 , перемещающихся поступательно вместе с полюсом А параллельно неподвижным осям Оху .

Тогда скорость точки В будет равна

.

В полученном равенстве величина является скоростью полюса А.

Величина равна скорости, которую точка В получает при = соnst, т.е. относительно осей Ах 1 у 1 при вращении фигуры вокруг полюса А . Введем для этой скорости обозначение :

Следовательно,

Скорость вращательного движения точки направлена перпендикулярно отрезку АВ и равна

Модуль и направление скорости точки В находится построением соответствующего параллелограмма (рис.6).

Пример 1. Найти скорости точек А, В и D обода колеса, катящегося по прямолинейному рельсу без скольжения, если скорость центра колеса С равна V C .

Решение. Выбираем точку С, скорость которой известна за полюс. Тогда скорость точки А равна

где и по модулю .

Значение угловой скорости ω найдем из условия того, что точка Р колеса не скользит по рельсу и, следовательно, в данный момент равна нулю V Р = 0 .

В данный момент скорость точки Р равна

Так как в точке Р скорости и направлены по одной прямой противоположные стороны и V Р = 0 , то V PC = V C , откуда получаем, что ω = V C . /R , следовательно, V AC = ω R = V C .

Скорость точки А является диагональю квадрата, построенного на взаимно перпендикулярных векторах и , модули которых равны, следовательно

Аналогично определяется скорость точки D. Скорость точки B равна

При этом скорости и равны по модулю и направлены по одной прямой, поэтому V B = 2V C .

Стержень АВ совершает плоское движение, которое можно представить как падение без начальной скорости под действием силы тяжести и вращение вокруг центра тяжести С с постоянной угловой скоростью .

Определить уравнения движения точки В , если в начальный момент стержень АВ был горизонтален, а точка В была справа. Ускорение силы тяжести q . Длина стержня 2l . Начальное положение точки С взять за начало координат, а оси координат направить, как указано на рисунке.

На основании соотношений (2) и(3) уравнения (1) примут вид:

Производя интегрирование и замечая, что в начальный момент t=0, x B =l и y B =0 ,получим координаты точки В в следующем виде.