Пространственно воспринимать действительность можно только без слов. Этот тип работы мозга действует невербально, то есть образно. При действии пространственного воображения действует образное мышление.

Как же это работает?

Человек воспринимает визуальную информацию через глаза и другие части зрительной системы. Далее сигнал поступает в мозг, где сначала он обрабатывается образно, т.е. воспринимается мозгом образно. Потом эта информация обрабатывается логически, то есть ИНТЕРПРЕТИРУЕТСЯ.

На картинках, прикреплённых к этому посту, виден пример того, как интерпретируется нами визуальная информация. То, что мы видим, есть по сути тень, отбрасываемая кубиками на рисунках 2 и 3, и бумагой на рисунке 1. Но мы видим образ женщины стоящей на одном фото, образ женщины бегущей на другом. И разные профили человеческих лиц на третьей фотографии, так изобретательно показанные неизвестным нам умельцем).
Мы и н т е р п р е т и р у е м тень, как образ человека.

Как же связано рисование и интерпретация?

Интерпретация окружающей нас действительности не всегда совпадает в точности с тем, чем является на самом деле действительность. То есть у каждого человека своё представление о мире, и зачастую оно гораздо ограниченнее самой реальности, реального мира.

Так, человек «смотрит в книгу, видит фигу»)) То есть интерпретирует её не так, как того ожидали от этого читателя авторы, а также поклонники и почитатели автора. Человек соотнёс написанное со своим представлением о мире и интерпретировал просто по-своему.

То же самое происходит, когда мы пытаемся что-либо нарисовать. Мы видим, к примеру, кактус, ну или пусть будет хризантема. И мозг выдаёт нам сразу информацию о том, что хризантема, которая перед нами - это цветок. А цветок как рисуется? Серединка и лепестки, у хризантемы много лепестков, значит это будет серединка и много-много лепестков. И человек так рисует. А когда смотрит на результат, то получается не хризантема, а гиперромашка, у которой много лепестков. И какая-то она не настоящая.

Рисунки цветков бывают очень часто похожи друг на друга, (ну и одновременно на ромашку)), потому, что рисующему мешает привычка интерпретировать. Точнее не сама интерпретация, а одинаковый способ её использования из раза в раз - одними и теми же символами, в нашем случае символом ромашки.

Да даже если ромашки взять настоящие, поставить для сравнения в ряд - ни одна в точности не повторит другую, все они разные. Это богатство реальности, окружающей нас действительности. Передав в рисунке только малую часть этого богатства, можно не только восхитить зрителей, но и самому удивиться иногда своей работе!=)

Но как же быть? Как избежать однообразного интерпретирования?

Развивать образное мышление. Пространственное воображение.
Когда мы мыслим образами, нет необходимости использовать интерпретацию так часто.
Но есть свобода выбора. Когда мы можем видеть действительность вокруг себя достаточно ясно, мы можем выбирать, что нам и как интерпретировать, намеренно, осознанно. А не на автомате. Цветок - ромашка - символ ромашки на бумаге - разочарование.. А дальше - «рисование - это не моё…» или «мне не дано!..»

При умении пространственно воображать и образно мыслить всегда мы можем выбрать, рисовать нам эту ромашку, или совсем не похожую на неё соседнюю. Взять нам один цветок и изобразить, как он есть, в любом случае прекрасным, или придать ему своего настроения - игривости, загадочности или наоборот, серьёзности. Может, чего-то ещё.

Свобода образной мысли при рисовании способна дать развитие свободе мысли человека вообще. Потому что без образов - никуда) Образы - они везде, на эту тему много можно написать, но уже в следующих статьях.

И пространство ощущать в процессе мышления - это естественная способность каждого, от природы она заложена в каждом, у кого-то глубже, у кого-то ближе к поверхности. И развить в себе способность мыслить пространственно может каждый. Как раз об этом напишу в серии статей «Как пространственное воображение может помочь не только художникам и дизайнерам, но и… (и далее - парикмахеру, путешественнику, бизнесмену, даже математику и др.)».

Ребенок с ранних лет сталкивается с необходимостью ориентироваться в пространстве. При помощи взрослых он усваивает самые простейшие представления об этом: слева, справа, вверху, внизу, в центре, над, под, между, по часовой стрелке, против часовой стрелки, в том же направлении, в противоположном направлении и др.

Все эти понятия способствуют развитию пространственного воображения у детей. Умение ребенка представить, спрогнозировать, что произойдет в ближайшем будущем в пространстве, закладывает у него основы анализа и синтеза, логики и мышления.

Дошкольникам дается необходимая первичная информация, а затем ставится задача: «Что произойдет, если...». Формулируются условия, при которых должно произойти действие. Ребенок должен осмыслить полученные данные, понять поставленную задачу и принять верное решение в виде устного или письменного ответа.

Представленный набор практических заданий позволит дошкольнику постепенно, «от простого к сложному», развивать свое пространственное воображение. Занятие проводится в группе со старшими дошкольниками.

Упражнения на пространственную ориентацию

Педагог выставляет перед детьми и задает вопрос: «В каком углу квадрата нарисован цветок?» (В верхнем левом.)
«Я повернул квадрат один раз по часовой стрелке». (Педагог показывает.) «В каком углу оказался цветок?» (В верхнем правом.)
«А теперь я повернул квадрат два раза против часовой стрелки». (Поворачивает.) «Где сейчас цветок?» (В нижнем левом.)
«Я поворачиваю квадрат три раза по часовой стрелке». (Показывает.) «В каком углу цветок?» (В нижнем правом.)

Далее дети выполняют задания индивидуально на листах бумаги, на которых нарисованы 4 квадрата.
Педагог формулирует задание: «В первом квадрате нарисуйте грибок в нижнем левом углу. Представьте, что квадрат повернули один раз против часовой стрелки. Где окажется гриб? Нарисуйте его во втором квадрате. Второй квадрат повернули два раза по часовой стрелке. Нарисуйте в третьем квадрате, где теперь он находится.
Третий квадрат повернули 3 раза против часовой стрелки. В четвертом квадрате нарисуйте, где оказался гриб».

Следующее задание педагог проводит коллективно со всей группой. Учитель выставляет плакат и задает вопросы: «В каком углу большого квадрата находится синий квадратик? зеленый квадратик? желтый? красный?».

После этого дети выполняют индивидуально задание на листочках бумаги, на которых изображены 4 больших квадрата. Большие квадраты разделены на маленькие. Первый квадрат раскрашен.

«Представьте, что первый квадрат повернули 3 раза по часовой стрелке. Где окажутся маленькие квадраты? Во втором квадрате правильно раскрасьте маленькие квадратики. Если второй квадрат повернуть против часовой стрелки 2 раза? В третьем квадрате раскрасьте квадратики. А теперь третий квадрат повернули 4 раза по часовой стрелке. Где теперь окажется каждый квадратик? Раскрасьте их в четвертом квадрате».

Аналогично проводятся следующие задания:

После этого дошкольники выполняют индивидуально задания на листах бумаги:

4. Аналогично проводится задание по перемещению окон влево и вправо.

5. Пирамиду собрали разными способами. Раскрасьте все детали собранных пирамидок.

Посмотрите внимательно на картинку. Сколько кружков раскрашено? Какого цвета раскрашенный цветок?

Где окажется красный кружок, если его передвинуть на 3 кружка вправо и на 1 кружок вверх? Раскрасьте его.

Где окажется красный кружок, если он передвинется на 1 кружок вправо, на 1 кружок вверх, на 3 кружка вправо и на 1 кружок вниз? Раскрасьте его. 14. Раскрасьте квадрат А1 - в красный цвет, А2 - в синий, Б2 - в желтый, Б3 - в зеленый, В1 - в коричневый, В2 - в фиолетовый цвет. 15. В квадрате А2 поставьте точку, в А3 - крестик. В квадрате Б1 нарисуйте кружок, в Б4 - треугольник, в Б5 - овал. В квадрате В2 нарисуйте маленький квадрат, в В3 - прямоугольник, в В5 - многоугольник. Квадрат Г1 раскрасьте в синий цвет, Г3 - в зеленый, Г5 - в красный цвет. В квадрате Д2 нарисуйте букву А, в Д3 - букву Б, в Д4 - букву В. Назовите квадраты, которые оказались пустыми.

– это левое полушарие.

А у человека их два. Для успешного обучения они должны работать в тандеме. В мыслительной деятельности правое полушарие представляет пространственное мышление.

Полезно развить у дошкольника к школе представления о пространстве, воображение. Например, без развитого воображения вообще невозможно быть успешным ни в какой деятельности.

Пространственное мышление ребёнка

В интернете много хороших советов. Мы предлагаем материал, применяемый нами на практике и показавший удовлетворительные результаты в развитии необходимых качеств. Следует учесть, что самый лучший способ развития дошкольника – игра.

Что доступно всем родителям:

1. Продуктивная детская деятельность: лепка, рисование, конструирование. Начинать лучше с лепки, так как получаем объёмные фигурки (трёхмерное пространство). Слепили и пробуем нарисовать (переход от объёма к плоскости). Или наоборот, есть картинка, попробуйте слепить нарисованный предмет. С конструированием – аналогично.
2. Поделки из бумаги: объёмные (конструирование)
3. Игры: шахматы (особенно) шашки, китайская игра «танграм», «Колумбово яйцо» и т. п.
4. Рисование планов комнаты, квартиры (или дома), окружающей местности вместе с малышом. Или нарисуйте планы сами, а он пусть соотнесёт план и реальность. Полезно устраивать игры типа квестов: дети любят искать клады, ориентируясь по схемам.
5. Отгадывание загадок . Опишите предмет, а малыш найдёт его по признакам. Развивающий момент: дошколёнку придётся выстраивать образ в уме.
6. Куда-то направляясь, спросите у малыша, как лучше туда добраться.

Задачи и упражнения на пространственное мышление

Какие задания можно найти в том числе и на нашем сайте? Подобные занятия в принципе можно начинать с 4,5 лет, но все дети разные. Если не пошло, упростите. И упрощённый вариант не пошёл – откажитесь на некоторое время. Потом сможете предложить опять.

1. Копирование орнаментов . Рекомендуемые нами узоры подойдут для 6-7 лет.
2. Зеркальное дорисовывание предмета (дорисовать вторую половину точно также).
3. Вырезание симметричных фигур (возможно уже со средней группы).
4. Диктанты по клеточкам . Их можно выполнять по-разному: графические диктанты (простые и сложные), рисование по клеточкам .
5. Словесные диктанты.
6. Соединяя точки по последовательности цифр, получить рисунок объекта.
7. Зеркально перерисовывать любые нарисованные вещи, буквы.
8. Рисовать по заданию взрослого: нарисуй в левом верхнем углу листочка домик, в правом верхнем – солнышко, левом нижнем – флажок, правом нижнем кораблик. С этого задания мы начинаем.
9. Всем известные лабиринты. Для малышей просто найти путь мишке к бочке мёда. Ребятам постарше 6-7 лет лабиринты проходить с условием. Например, проходя лабиринт не отрывать карандаша от бумаги от начала и до конца.
10. Рамки-вкладыши (тоже разные).
11. Описывать положение предмета, используя предлоги (кошка сидит на крыше, спрыгнет с крыши, спрячется под крыльцо и т. п.)

Игры для 5-7 лет

Для детей постарше 5-7 лет задания можно усложнить.

Точки в клетках

У психологов есть простой тест на выявление двигательного темпа шести-семилеток. На листе в клетку он выполняется построчно. Надо проставлять точки в каждой клетке строчки в максимально возможном темпе. Этот тест легко превращается в развивающее задание. Дополним простое проставление точек условиями:

1. В первой строчке точки проставляются слева направо, во второй наоборот, в третьей снова слева направо и т. д.
2. Точки можно проставлять чередуя сверху вниз и снизу вверх
3. А можно как-то наискосок или как придумаете.

После такого упражнения дети прекрасно запоминают ещё до школы расположение в строчку и в столбик, упрощая себе школьную жизнь.

Расставь игрушки

Предложите детям набор мелких игрушек. Поставьте какую-нибудь игрушку на стол. Вы говорите, а они расставляют относительно её другие игрушки: слона дальше, кошку слева, свинью ближе и так далее.

Разложи фигуры

Приготовьте несколько геометрических фигур (усложнение: разных по цвету и размеру). Пусть малыш по вашей инструкции их располагает. Аналогично предыдущему заданию. Только там объемные фигуры, а здесь плоские.

Разведчик

В этом упражнении тренируется ещё и память.

Инструкция. Посмотри внимательно на всю комнату. Запомни. Отвернись. Отвечай на вопросы: что стоит справа от дивана, какого цвета стол под телевизором, что стоит справа (слева) от кресла, сколько диванных подушек на диване, сколько на кресле, какого цвета диван и т. д.

Рисунок на спине

Рисуйте пальцем на спине малыша простые геометрические фигуры, буквы, цифры. Его задача понять, что нарисовано.

Волшебный мешочек

Играем с ясельной группы. В мешочек из ткани сложите мелкие фигурки животных, других игрушек. Задача дошкольника узнать предмет на ощупь.

Муха

Тоже известное упражнение. Разные варианты есть в интернете. Есть поле 9*9 клеток (для дошкольников 7*7 или 5*5). Игра в два этапа.

1 этап. Муха (игрушка или пуговица) садится в левый верхний угол и двигается по клеткам. Взрослый диктует: две клетки вниз, одна направо. Играющий передвигает муху согласно инструкции. И так далее.

2 этап. Движения мухи дошкольник производит в уме и сразу передвигает её в нужную клетку. усложнение: все действия, и саму муху, и поле игрок держит в уме. Положение мухи он говорит взрослому, и то отмечает его на игровом поле, а в итоге оно сравнивается с заготовкой. Когда игра освоена, можно играть 2-3 игрокам с ведущим.

Пространственное мышление и 1 класс

Чем поможет пространственное мышление ученику в школе?

1. Он будет быстро ориентироваться в помещении и на местности, что придаст ему уверенности в себе.
2. Будет легко запоминать местонахождение своих вещей. Не будет их терять.
3. Сумеет быстро концентрироваться и легко запоминать информацию.

Это минимум, обеспечивающий успешность обучения на самом первом его этапе.

Школа Юрия Окунева

Всем привет! С вами Юрий Окунев.

Умеете ли вы рисовать? Можете представить предмет с закрытыми глазами во всех деталях? Умение «видеть объемно» − это одна из ключевых позиций высокоразвитого интеллекта. Именно это качество позволяет хорошо считать в уме и быть экспертом в литературе. Разберем сегодня упражнения на развитие пространственного мышления.

Если у вас всегда под рукой навигатор GPS – это не значит, что вам не нужно развивать умение пространственно мыслить. Почему?

Заглянем в словарь:

Говоря простым языком, пространственное мышление – это то, что позволяет нам создавать объёмную картинку в голове, изменять и трансформировать её по нашему усмотрению.

Что это значит?

1. Художник рисует картину. Чтобы его рисунок был убедительным, он должен соотнести реальные размеры объектов с нарисованными размерами, то есть, создать иллюзию ПРОСТРАНСТВА на бумаге. Этот же принцип действует в черчении.
2. Писатель пишет роман. Он создает образы героев, размещает их в воображаемом ПРОСТРАНСТВЕ. Продумывает линию сюжета, заполняет пространство событиями.
3. Шеф-повар, прежде чем готовить очередное произведение кулинарного искусства, должен его представить мысленно во всех деталях: как будет выглядеть, какой у блюда будет вкус, в каком соотношении лучше взять продукты – создать ОБРАЗ будущего творения.
4. Математические расчеты тоже связаны для нас с понятиями ПРОСТРАНСТВА и образами. Это касается не только геометрии. Ученик, способный представить «мультик» с условиями задачи, справиться с ней гораздо легче и быстрей.
5. Процесс запоминания любой информации заключается в создании понятного ОБРАЗА и размещении его во внутреннем ПРОСТРАНСТВЕ мыслей. Если образ не создать, то информация быстро забудется.

Как видите, область применения пространственного мышления довольно обширна. Любой вид деятельности человека связан с ней в большей или меньшей степени.

Типы операций над образами

Пространственное мышление – это довольно сложный процесс, включающий в себя как умение мыслить логически, так и способность переводить реальное изображение в графическую схему и наоборот, а также умение представить объект в воображении во всех деталях. Существует три типа операций над образами в пространстве:

1. Изменение местоположения (мысленное перемещение объекта без изменения его внешнего вида)
2. Метафорфозы объекта (мысленное изменение внешнего вида объекта без перемещения)
3. Комбинированное изменение (меняются и вид, и местоположение)

Способность человека производить данные действия определяет его степень успешности в жизни, насколько быстро он может сориентироваться в новых условиях, может ли реализовать свои цели.

Простая закономерность

В университете штата Мичиган в США проводилось исследование. Детей в возрасте от 6 до 8 лет обучали собирать объемные фигуры из кубиков. Оказалось, что как только ребенок начинает понимать принципы построения фигур, его способности производить арифметические действия резко улучшаются.

Корреляция прослеживается не только в математике. При чтении художественной литературы, в воображении создается целый кинофильм, оживляющий события книги. Это позволяет производить глубокий анализ произведения, и, конечно, процесс чтения становится более интересным.

Без этого вида мышления становится невозможным процесс запоминания, так как запоминаем мы не что иное, как образы.

В повседневной жизни прежде, чем приступать к какой-либо деятельности, мы четко представляем себе результат, раскладывая по полочкам все детали. В противном случае на выходе может получиться совсем не то, что задумывалось.

Упражнения для малышей

Пространственное мышление активно развивается у малышей уже с 2-месячного возраста. Ребенок сначала ищет взглядом маму, фокусирует взгляд на игрушке, затем, ползая, исследует мир всеми возможными способами – в цвете и в объеме.

2-3-летнему малышу не надо запрещать залезать под стол или в шкаф, сооружать пирамиду из папиных книжек и раскрашивать себя, изображая индейца. Ваш ребенок неосознанно пытается развить в себе задатки гения-математика, способности к логике.

Поучаствуйте с ним вместе в этих играх – залезьте вместе с ним под стол, будьте в роли гостя. Ребенок будет в восторге. Купите специальные краски и порисуйте вместе с малышом руками – пальцем или ладошкой.

Детям 5-6 лет доступны более сложные элементы тренинга. В этом возрасте надо научиться различать, что такое «право», «лево» и «верх» – «низ».

• Поставьте на листе бумаги несколько отпечатков от ладони, пусть ребенок догадается, где правая, а где левая рука;
• Выложите перед ним предметы одежды, развернув как лицевой, так и задней стороной, и попросите определить правый и левый рукав (штанину);
• Читая сказку, заостряйте внимание дошкольника на предлогах «в», «на», «перед». Возьмите в руки игрушку и покажите ребенку, как это будет: «зайчик сел на пенек», «спрятался за кустом»;
• Поиграйте в путаные фразы. Например: «На стене лежит перина, на кровати же – картина»
• Развивайте мелкую моторику: лепка, оригами, пальчиковые игры, плетение кос.

Упражнения для школьников

Согласно выводам ученых, пик развития пространственного мышления приходится на возраст 9-11 лет. А в целом, активное развитие этого вида мышления длится до достижения возраста 15 лет.

В наших школах предмет «Геометрия» обычно преподают с 7 класса при достижении детьми возраста 12-13 лет, когда развитие данного вида мышления начинает замедляться. Наверно, поэтому для большинства ребят геометрия является таким нелюбимым предметом, а преподаватели бьют тревогу о низком уровне пространственных знаний учащихся.

Если вы хотите, чтобы у вашего ребенка проблем с геометрией и пространственными навыками не было, начинайте заниматься с ним с первых классов школы. Приведу несколько заданий, разместив их в порядке возрастания сложности:

• Складывание фигурок оригами из бумаги;
• Работа с 3D-пазлами, конструирование из лего;
• Составление плана местности или помещения, свободное владение понятием масштаб;
• Получение стереометрической фигуры путем вращения плоской фигуры;
• Работа с кубиком Рубика;
• Определить стереофигуру по ее проекции, составление изображения-развертки;
• Получить новую сложную фигуру путем объединения 2-3 простых сереометрических фигур. Найти, что получится, если из одной фигуры вычесть другую.

Также весьма полезным будет учить ребенка составлять рассказ по картинке, при этом четко обозначая эмоции каждого персонажа и выстраивая причинно-следственную линию; решать логические задачки, анаграммы, а также различные планиметрические и объемные головоломки.

Кстати, такие головоломки в большом количестве можно найти на сайте Брайнаппс . Не забывайте также уделять достаточно времени развитию памяти ребенка. Упражнения . И поощрять его занятия рисованием и лепкой.

Методики для взрослых

Пространственное мышление развивается и совершенствуется в течение жизни постоянно, поэтому взрослые тоже могут достичь успехов в освоении данных навыков.

1. Читая книгу, остановитесь и отложите ее в сторону. Закройте глаза и представьте героев сюжета в объеме: кто и где размещается, если идет, то в какую сторону, представьте картинку местности;
2. Придя из гостей, вспомните до деталей маршрут, по которому добирались, обстановку дома, где вы были, лица гостей и места, где они сидели за столом;
3. Размещая вещи в багажнике машины, укладывайте их максимально компактно;
4. Разгадывайте словесные головоломки, занимайтесь развитием памяти;
5. Займитесь созданием модели ручного изготовления – модель парусника, например, в масштабе 1:20 или макет трамвайного депо.
6. Направляясь по незнакомому адресу, используйте бумажную карту вместо привычного GPS-навигатора или вообще займитесь спортивным ориентированием.

На этом я, пожалуй, закончу рассказ о пространстве. Как видите, этот навык весьма полезен. Пространственное мышление – это основа, на которой строится понимание любых предметов и явлений от «сколько будет 2+2» до определения .

На этом все. Желаю вам успехов и жду ваших отзывов в комментариях. Подписывайтесь на новости, приглашайте друзей.
До свидания! Ваш Юрий Окунев.

Как развивать пространственное воображение обучающихся
Попова О.Н.

учитель математики МОУ гимназии №1 г. Липецка

Не секрет, что многие учащиеся не обладают достаточно развитым пространственным во­ображением. Проблема старая, но актуальная. Если учитель не решает ее еще тогда, когда ведет младшие и средние классы, то через несколько лет его уроки стереометрии с теми же учениками будут терять большую часть своей эффективности.

Все психические процессы , в том числе и пространственное воображение, совершенст­вуются в результате деятельности. Эта деятель­ность должна чем-то стимулироваться и на­правляться, т. е. необходима система упражнений.

В этой статье предлагаются нестандартные и занимательные задачи для развития пространственного воображения. В квадратных скобках даны ответы, краткие решения, указания.

Для решения многих из этих задач не надо специальных знаний , т. е. их можно предлагать уже в V классе, а неко­торые - и в начальной школе. Решение наибо­лее сложных задач можно поощрять отметкой.

Первую серию задач можно назвать «выход в пространство».

Это устные за­дачи, в которых, казалось бы, ничего не сказано о пространстве. Даже наоборот , упоминание о треугольниках в задаче 2 и о расположении монет в задаче 3 (учащиеся сразу думают, что монеты должны лежать на плоскости) навязы­вает «плоскостные» образы. Нужно преодолеть это, «вывести» мысль «в пространство», чтобы правильно выполнить предложенные за­дания.

1. Разделите круглый сыр тремя разрезами на 8 частей. [Ответ на рис.1].

2. Из шести спичек сложите четыре правильных треугольника так, чтобы стороной каждого была целая спичка. [Треугольная пирамида с ребром , равным спичке].

3. Расположите 5 одинаковых монет так, чтобы каждая из них касалась четырех осталь­ных. [Ответ на рис. 2].

4. Можно ли расположить 6 одинаковых карандашей так, чтобы каждый касался пяти остальных? [Можно, ответ на рис. 3].

5. Вырезать из целого листа бумаги такую же фигуру, как на рис. 4а. [Прямоугольный лист разрезать по отрезкам а, b , с (рис. 4б), заштрихованную часть повернуть около прямой l на 180°].

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3


Рис. 4

Часто советуют сопровождать изучение аксиом стереометрии и их следствий изображениями многогранников, решением за­дач на построение сечений и т. д. Но ученики должны «видеть» этот многогранник. Поэтому еще до изучения стереометрии надо предлагать учащимся задачи с кубом, параллелепипедом и некоторы­ми другими фигурами. Эта серия заданий связана с иллюзиями и невозможными объектами.

На рис. 5 любой математик видит куб , а не только два квадрата, вершины которых попарно соединены. А нарисованы все-таки квадраты...

Рис. 5 Рис. 6

Видеть куб нам позволяет хорошо развитое пространственное воображение. Но удивитель­но: один раз мы видим этот куб как бы сверху и справа (рис. 6а), а другой - снизу и слева (рис. 6б). Это уже казусы иллюзии, которыми надо уметь управлять, подчиняя свое воображение той реальности , о которой говорится в конкретной задаче. Но многие учащиеся долго не могут этому научиться. Помочь им овладеть этим умением надо еще в средних классах школы, предлагая упражнения 6 – 10.

1. 
   Закройте листом цветной бумаги переднюй грань куба, и опишите свои впечатления. [Более четко просматривается такой куб, как на рис. 6а.]
2. 
   Закройте листом цветной бумаги заднюю грань куба и постарайтесь передать свои впечатления рисунком. На что похож рисунок: на шкафчик? полочку?
3. 
   Что вы видите на рис. 7? [Брусок с углублением (задняя стенка углубления – плоскость АВ), или брусок с выступающим шипом , где АВ – его передняя грань, или открытую часть пустого ящика с прилегающим к стенкам изнутри кирпичом].

На рис. 8а фигура не дорисована (верхняя часть изображения закрыта листом бумаги.) Дорисуйте ее.

[Ребята обычно дорисовывают фигуру так, как на рис. 8б и не видят никакой ловушки. Она становится ясна только при взгляде на рис. 8в. Учащиеся понимают, что таких фигур , как на рис. 8в в реальности не существует].

Поясните, может ли существовать не на бумаге, а в жизни фигура, показанная на рис. 9.

Рис. 9 Рис. 10

Третья серия заданий использует развертки куба, цилиндра.

11. Сколько граней у шестигранного карандаша? [Восемь, если карандаш не отточен. Часто отвечают «шесть»].

12. Из бумаги склеили куб. Ясно, что его мож­но разрезать на шесть равных квадратов. А можно ли его разрезать на двенадцать квадратов? [Нетрудно доказать , что фигура, состоящая из объединения треугольников А и В на рис. 10, расположенных в одной плоскости, есть квадрат].

13. На рис. 11 слева показана развертка какого-то куба. Какие кубы из тех , что даны справа на том же рисунке, можно сложить из этой развертки? [Кубы на рис. 11, b , с, f ].

14 . На рис. 12а изображен куб, на гранях которого написаны числа 1, 2, 3, 4, 5, 6.(Мы видим только три первых числа.) Сумма чисел, стоящих на противолежащих гранях, равна 7. На четырех развертках куба (рис. 12б) напи­шите пять чисел – одно уже написано – так, чтобы это соответствовало нашему кубу.

15. На рис. 13а изображен кусок бумаги. Можно ли оклеить в один слой , этим куском бу­маги, не разрезая его, какой-нибудь кубик? [Можно, если грань куба такая, как заштрихо­ванная на рис. 13б].

16. Какой из восьми рисунков (см. рис. 14) маляр нанес на стену изображенным тут же валиком? [«Накатан» шестой рисунок].

Рис. 14
Задания на проекции фигур.

17. Какую форму имеет тень куба на плоскость, перпендикулярную его диагонали , от пучка лучей света, параллельных этой диаго­нали? [Правильный шестиугольник].

18. На рис. 15а жирной линией показаны фигуры, согнутые из проволоки. Изобразите три их проекции: на переднюю грань куба, на боковую его грань и на верхнюю грань. [Ответы на рис. 15б под изображениями со­ответствующих фигур].

Рис. 15

19. Согните из мягкой проволоки фигуру , при параллельном проектировании которой на разные плоскости получаются буквы: С, Л, О, Г. [См. рис. 16. Есть и другие решения, если вписывать проволочную фигуру в куб].

20. На рис. 17а изображена дощечка с различными отверстиями. Найдите единствен­ную затычку, закрывающую три отверстия. [Ответ на рис. 17б].

Многие из перечисленных здесь задач ценны тем, что предметы, о которых в них говорится , учащиеся могут изготовить сами. Нетрудно согнуть проволоку и проверить по ней свои решения задач 18 и 19. Не вызовет технических затруднений и изготовление бумажных развер­ток куба, о которых говорится в задачах 12 – 15.

Дощечку с отверстиями к задаче 20 тоже можно рассмотреть в натуре – вырезать из картона, фанеры или пенопласта.

Однако во всех случаях модели желательно делать после решения, а не для решения. Если учитель начинает рассмотрение предлагаемых задач с моделей, то именно воображение учащихся не задействуется и стимул для его развития получается слабым.

В заключение отмечу , что оригинальность задач вызывает у учащихся интерес и при работе на уроке и во внеклассной деятельности, а это является одним из необходимых условий успешного изучения предмета.