До сих пор мы рассматривали в основном прогностические критерии хаоса. В этом разделе мы опишем способ, позволяющий диагностировать, находится ли исследуемая система в хаотическом состоянии или нет. Хаос в детерминированных системах подразумевает чувствительную зависимость от начальных условий. Это означает, что две траектории, близкие друг к другу в фазовом пространстве в некоторый начальный момент времени, экспоненциально расходятся за малое в среднем время. Если - мера начального расстояния между двумя исходными точками, то, спустя малое время t, расстояние между траекториями, выходящими из этих точек, становится равным

(5.4.1)

Если система описывается разностными уравнениями или отображекием, то

(5.4.2)

[Основание 2 выбрано в соотношениях (5.4.1), (5.4.2) из соображений удобства, а в остальном произвольно.] Величины и называются показателями Ляпунова.

Превосходный обзор по показателям Ляпунова и их использованию в экспериментах для диагностики хаотического движения опубликованы Вулфом и др. . В этом же обзоре помещены две полезные компьютерные программы для вычисления показателей Ляпунова.

Экспоненциальная расходимость хаотических траекторий может быть только локальной, так как если система ограниченна (а большинство физических экспериментов ограниченно), то d(t) не может возрастать до бесконечности. Следовательно, для того чтобы определить меру расходимости траекторий, необходимо усреднить экспоненциальный рост по многим точкам вдоль траектории, как показано на рис. 5.26. Вычисление показателя Ляпунова начинается в выбора реперной траектории [Вулф и др. называют ее опорной траекторией], точки на соседней траектории и измерения величины . Когда расстояние d(t) становится слишком большим (т. е. рост его отклоняется от экспоненциального поведения), экспериментатор находит новую «соседнюю» траекторию и определяет новое начальное расстояние .

Рис. 5.26. Общий ход изменения расстояния между двумя соседними траекториям, используемый для определения наибольшего показателя Ляпунова.

Показатель Ляпунова можно задать выражением

Критерий хаоса в терминах показателя Ляпунова принимает следующий вид:

(5.4.4)

Должно быть, читатель уже понял, что без компьютера при вычислении показателя Ляпунова не обойтись ни в том случае, когда данные берутся из численного моделирования, ни в том, когда их источником служит физический эксперимент.

Вычислить в явном виде удается лишь в очень немногочисленных учебных примерах. Рассмотрим один из них, связанный с обобщением понятия «показатель Ляпунова» на одномерные отображения:

(5.4.5)

Там, где функция гладкая и дифференцируемая, расстояние между соседними траекториями измеряется величиной . Чтобы убедиться в этом, введем два начальных условия: . Тогда в соотношении (5.4.2)

Следуя соотношению (5.4.3), определить показатель Ляпунова (или характеристический показатель) как

В качестве иллюстративного примера воспользуемся отображением Бернулли

(рис. 5.27). Здесь (mod 1) означает дробную часть, т. е.

Рис. 5.27. Хаотическая траектория при отображении Бернулли .

Это отображение многозначно и, как известно, рождает хаос. За исключением разрыва в точке х = 1/2, всюду в остальных точках . Из определения (5.4.7) получаем . Следовательно, в среднем расстояние между соседними точками растет как

Единицами измерения показателя Ляпунова служат биты на одну итерацию. Одна из интерпретаций состоит в том, что при каждой итерации отображения теряется битов информации о начальном состоянии. Чтобы убедиться в этом, запишем в двоичной системе. Например, означает . Таким образом, отображение сдвигает запятую на один знак вправо и отбрасывает целую часть. Следовательно, если мы начинаем с значащих знаков после запятой, то при каждой итерации теряем по одному, т. е. теряем по одному биту информации.

После итераций мы полностью утрачиваем информацию о начальном состоянии системы.

Ранее в этой главе мы узнали, что логистическое, или квадратичное, отображение становится хаотическим, когда управляющий параметр .

Одной из важнейших количественных характеристик хаотических процессов является характеристический показатель Ляпунова (λ ). Как уже говорилось, в пределах аттрактора небольшие изменения начальных условий могут приводить к сильным изменениям в эволюции системы. Характеристический показатель Ляпунова может являться мерой того, насколько сильны могут быть эти изменения. Чем чувствительнее система к начальным условиям, тем он больше. Поскольку в n -мерном фазовом пространстве есть n независимых направлений, то систему характеризуют n характеристических показателей Ляпунова. Вычисляется обычно наибольший из них. Существует алгоритм вычисления этой величины, не требующий восстановления аттрактора, что значительно ускоряет вычисления . Используется метод задержек. Реконструируемая траектория X может быть выражена как матрица, где каждому ряду соответствует фазово-пространственный вектор:

X= [X 1 X 2 … X M ] T ,

где X i – состояние системы в момент времени i . Для N временных выборок {x 1 , x 2 , …, x N }, каждому X i соответствует

X i = [x i x i+J … x i+(m-1)J ],

где J – задержка реконструкции, m – размерность вложения. Таким образом, X – это матрица M × m , а константы m , M и N связаны следующим соотношением

M=N – (m – 1 )J.

Размерность вложения обычно оценивается в соответствии с теоремой Такенса m >2 n , хотя этот алгоритм работает и при значениях m ниже критерия Такенса.

После реконструкции динамики системы находим ближайшего «соседа» для каждой точки траектории. Ближайшего «соседа» X j ’ определяем как точку, которая минимизирует расстояние до особой точки касания X j :

d j (0)=min ||X j -X j ’ ||,

где d j (0) – расстояние от j -й точки до ее ближайшего «соседа», а || || – означает евклидову норму. Сделано следующее допущение: ближайшие «соседи» имеют временной интервал больший, чем средний период временного ряда Т ср. :

|j - j ’ |>Т ср

Это позволяет предположить, что каждая пара соседей является начальными условиями для разных траекторий. Наибольший характеристический показатель Ляпунова оценивается как среднее значение временного интервала между ближайшими «соседями».

Характеристический показатель Ляпунова может быть как положительным, так и отрицательным. Все характеристические показатели Ляпунова детерминированного процесса отрицательны или равны нулю; у хаотических процессов хотя бы один (старший) положителен.

Результаты расчетов набора характеристических показателей Ляпунова показаны на рисунке 3.73.

Рисунок 3.73. Набор характеристических показателей Ляпунова, i – номер показателя. Применены следующие условные обозначения:

На рис. 3.73 показаны рассчитанные значения характеристических показателей Ляпунова для участков нативных сигналов ЭЭГ. Следует оговориться, что приведены три показателя, хотя расчет проводился для разного количества, в соответствии с определенной ранее внедренной размерностью методом ближайших «ложных соседей» (см. табл. 3.3). Диапазон значений i составил от 3 до 9, поэтому для единообразия представления оставлены три первых значения.

Диагностическое значение имеет только первый (старший, максимальный) показатель Ляпунова, и не столько его абсолютная величина, а знак – положительный или отрицательный.

В соответствии с условиями проведения измерений и для обеспечения повторяемости и статистической значимости результатов было сделано несколько выборок для каждого сигнала (по 20 выборок). Затем была выполнена статистическая обработка результатов по стандартным методиками обработки результатов измерений . Полученные результаты для старшего показателя сведены в таблицу 3.6.

Таблица 3.6

Максимальный характеристический показатель Ляпунова для исследуемых нативных ЭЭГ сигналов

Максимальный показатель Ляпунова, λ, с -1
Здоровые

Основной вывод, который может быть сделан из данных исследований - так как первая экспонента характеристического показателя Ляпунова положительная, то в системе присутствует хаос.

Что касается абсолютных значений максимального характеристического показателя Ляпунова, то можно сказать, что он не показывает значительной вариабельности для набора исследуемых случаев. Для условно здоровых пациентов величина λ 1 немного выше, чем для пациентов с различными заболеваниями, в среднем на 0,1 с -1 . Это говорит о большей степени хаотичности сигнала для мозга в условно здоровом состоянии.

В случае игровой зависимости выявлена устойчивая тенденция к увеличению значения λ 1 , в то время как для здоровых пациентов абсолютное значение λ 1 было ниже на 0,3-0,5 с -1 . Это, скорее всего, связано с тем, что за каждое конкретное психическое заболевание отвечает конкретный участок мозга, ЭЭГ которого и необходимо тщательно исследовать. В данной работе, как было описано в разделе 3.1, применялись стандартные методики наложения электродов.

Опытным путем было обнаружено, что длинный – более 4 с – ЭЭГ сигнал проявляет в основном статистические свойства, обнаруживая удовлетворительную корреляцию (0,9 и выше). Хаотические свойства ЭЭГ сигналов удается обнаружить на выборках длительностью менее 1 с.

Исследования различных типов сигналов показали, что чем сложнее аттрактор системы, тем в более спокойном и здоровом состоянии находится мозг человека. При этом фрактальная размерность принимает значения в диапазоне 2-4, следовательно, по теореме Мане внедренная размерность сигнала составит целую часть D emb =, т.е. 5-9. Системы, описываемые такими сигналами, относят к сложным, высокоразмерным и их можно считать хаотическими.

Динамической системы с непрерывным временем определяют степень отдаления (или сближения) различных, но близких траекторий динамической системы на бесконечности. Если в начале две различных траектории находятся на расстоянии друг от друга, то по прошествии достаточно большого времени расстояние между ними будет выглядеть как:

Где -показатель Ляпунова (англ.) . Для различных начальных значений числа могут быть различными. Если соответствующий показатель Ляпунова положителен, расстояние между изначально близкими траекториями системы с течением времени увеличивается, если показатель отрицателен - близкие траектории еще более сближаются, наконец, если показатель равен нулю - близкие трактории остаются на примерно одинаковом расстоянии друг от друга. Известно, что для N-мерной динамической системы существует ровно N показателей Ляпунова ,в общем случае различных (теорема Оселедца (англ.) , это справедливо для "почти всех" начальных состояний динамической системы). Набор показателей Ляпунова (спектр) характеризует общие закономерности поведения системы для всевозможных начальных условий.

Показатели Ляпунова произвольной динамической системы крайне редко можно получить аналитически (в виде формулы), однако существуют численные методы, которые позволяют вычислять их с приемлемой точностью.

Показатели Ляпунова имеют важное значение в качественной теории динамических систем. Знание показателей Ляпунова позволяет сделать заключение о том, как система развивается с течением времени. Довольно часто достаточно знать ЗНАК старшего, т.е. наибольшего показателя, а также СУММУ показателей.

В трехмерном случае, для систем вида:

если рассматривать только системы, имеющие физический смысл, для которых не все показатели Ляпунова положительны и их сумма неположительна, и обозначить знаком "-" отрицательный показатель Ляпунова, знаком "+" положительный, а знаком "0" - нулевой, то возможны следующие варианты различного поведения:

Для систем более высокой размерности набор вариантов становится более обширным, однако по-прежнему наличие ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО показателя Ляпунова (при условии отрицательности их суммы) влечет за собой хаотическое поведение

Численное определение показателей Ляпунова

DEREK умеет вычислять часть спектра показателей Ляпунова (не более 4-х первых показателей, если расположить их в порядке убывания, т.е. для систем не более четвертого порядка определяются ВСЕ показатели), пользуясь численным итерационным алгоритмом Бенеттина (англ.) . В этом алгоритме показатели Ляпунова находятся с помощью многократного решения вспомогательной динамической системы,которая строится на основании исходной. Для реализации этого алгоритма должны быть заданы начальный шаг по времени (по ), точность решения системы, максимальное количество итераций и точность, с которой будут вычислены показатели Ляпунова. Если заранее известно, что у системы есть нулевой показатель Ляпунова (это справедливо, например, для автономной системы , траектория которой не приближается к неподвижной точке) - можно указать соответствующий признак, это повысит точность расчета.

DEREK позволяет также вычислить и построить график зависимости нескольких старших показателей Ляпунова от параметра системы. Для построения необходимо задать диапазон изменения параметра и количество шагов, на которые этот диапазон будет разбит. В результате работы будет выведен набор графиков,показывающих зависимость каждого из показателей от параметра (в точках,соответствующих шагам). График может быть составлен из отдельных точек (крупных), соединительных линий или и того, и другого.

Для вычисления показателей Ляпунова с помощью DEREK а не требуется никакого дополнительного программного обеспечения - ни компиляторов, ни библиотек программ, ни пакетов компютерной алгебры. Кроме того, от пользователя не требуется никаких навыков программирования. Все очень просто - необходимо записать уравнения, определяющие динамическую систему, затем выбрать в меню графического окна системы пункт для вычисления показателей Ляпунова, задать несколько (немного) установочных параметров (или воспользоваться установками по умолчанию). После этого пользователь получает численное значение показателей Ляпунова или графики зависимости показателей от параметра (константы) системы.

Примеры вычисления показателей Ляпунова

Ниже представлены зависимости показателей Ляпунова от параметра системы для некоторых известных динамических систем.

Система Рабиновича-Фабриканта

Модель Мура-Шпигеля

Модель Лоренца

Модель Рёсслера