Действия с дробями. В этой статье разберём примеры, всё подробно с пояснениями. Рассматривать будем обыкновенные дроби. В дальнейшем разберём и десятичные. Рекомендую посмотреть весь и изучать последовательно.
1. Сумма дробей, разность дробей.
Правило: при сложении дробей с равными знаменателями, в результате получаем дробь – знаменатель которой остаётся тот же, а числитель её будет равен сумме числителей дробей.
Правило: при вычислении разности дробей с одинаковыми знаменателями получаем дробь – знаменатель остаётся тот же, а из числителя первой дроби вычитается числитель второй.
Формальная запись суммы и разности дробей с равными знаменателями:
Примеры (1):
Понятно, что когда даны обыкновенные дроби, то всё просто, а если смешанные? Ничего сложного…
Вариант 1 – можно перевести их в обыкновенные и далее вычислять.
Вариант 2 – можно отдельно «работать» с целой и дробной частью.
Примеры (2):
Ещё:
А если будет дана разность двух смешанных дробей и числитель первой дроби будет меньше числителя второй? Тоже можно действовать двумя способами.
Примеры (3):
*Перевели в обыкновенные дроби, вычислили разность, перевели полученную неправильную дробь в смешанную.
*Разбили на целые и дробные части, получили тройку, далее представили 3 как сумму 2 и 1, при чём единицу представили как 11/11, далее нашли разность 11/11 и 7/11 и вычислили результат. Смысл изложенных преобразований заключается в том, чтобы взять (выделить) единицу и представить её в виде дроби с нужным нам знаменателем, далее от этой дроби мы уже можем вычесть другую.
Ещё пример:
Вывод: имеется универсальный подход – для того, чтобы вычислить сумму (разность) смешанных дробей с равными знаменателями их всегда можно перевести в неправильные, далее выполнить необходимое действие. После этого если в результате получаем неправильную дробь переводим её в смешанную.
Выше мы рассмотрели примеры с дробями, у которых равные знаменатели. А если знаменатели будут отличаться? В этом случае дроби приводятся к одному знаменателю и выполняется указанное действие. Для изменения (преобразования) дроби используется основное свойство дроби.
Рассмотрим простые примеры:
В данных примерах мы сразу видим каким образом можно преобразовать одну из дробей, чтобы получить равные знаменатели.
Если обозначить способы приведения дробей к одному знаменателю, то этот назовём СПОСОБ ПЕРВЫЙ .
То есть, сразу при «оценке» дроби нужно прикинуть сработает ли такой подход – проверяем делится ли больший знаменатель на меньший. И если делится, то выполняем преобразование — домножаем числитель и знаменатель так чтобы у обеих дробей знаменатели стали равными.
Теперь посмотрите на эти примеры:
К ним указанный подход не применим. Существуют ещё способы приведения дробей к общему знаменателю, рассмотрим их.
Способ ВТОРОЙ .
Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на знаменатель второй, а числитель и знаменатель второй дроби на знаменатель первой:
*Фактически мы приводим дроби к виду, когда знаменатели становятся равными. Далее используем правило сложения робей с равными знаменателями.
Пример:
*Данный способ можно назвать универсальным, и он работает всегда. Единственный минус в том, что после вычислений может получится дробь которую необходимо будет ещё сократить.
Рассмотрим пример:
Видно что числитель и знаменатель делится на 5:
Способ ТРЕТИЙ.
Необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель. Что это за число такое? Это наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из чисел.
Посмотрите, вот два числа: 3 и 4, есть множество чисел, которые делятся на них – это 12, 24, 36, … Наименьшее из них 12. Или 6 и 15, на них делятся 30, 60, 90 …. Наименьшее 30. Вопрос – а как определить это самое наименьшее общее кратное?
Имеется чёткий алгоритм, но часто это можно сделать и сразу без вычислений. Например, по указанным выше примерам (3 и 4, 6 и 15) никакого алгоритма не надо, мы взяли большие числа (4 и 15) увеличили их в два раза и увидели, что они делятся на второе число, но пары чисел могут быть и другими, например 51 и 119.
Алгоритм. Для того, чтобы определить наименьшее общее кратное нескольких чисел, необходимо:
— разложить каждое из чисел на ПРОСТЫЕ множители
— выписать разложение БОЛЬШЕГО из них
— умножить его на НЕДОСТАЮЩИЕ множители других чисел
Рассмотрим примеры:
50 и 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
в разложении большего числа не хватает одной пятёрки
=> НОК(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 и 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
в разложении большего числа не хватает двойки и тройки
=> НОК(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
* Наименьшее общее кратное двух простых чисел равно их произведению
Вопрос! А чем полезно нахождение наименьшего общего кратного, ведь можно пользоваться вторым способом и полученную дробь просто сократить? Да, можно, но это не всегда удобно. Посмотрите, какой получится знаменатель для чисел 48 и 72, если их просто перемножить 48∙72 = 3456. Согласитесь, что приятнее работать с меньшими числами.
Рассмотрим примеры:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
в разложении большего числа не хватает тройки
=> НОК(51,119) = 3∙7∙17
А теперь применим первый способ:
*Посмотрите какая разница в вычислениях, в первом случае их минимум, а во втором нужно потрудиться отдельно на листочке, да ещё и дробь которую получили сократить необходимо. Нахождение НОК упрощает работу значительно.
Ещё примеры:
*Во втором примере и так видно, что наименьшее число, которое делится на 40 и 60 равно 120.
ИТОГ! ОБЩИЙ АЛГОРИТМ ВЫЧИСЛЕНИЙ!
— приводим дроби к обыкновенным, если есть целая часть.
— приводим дроби к общему знаменателю (сначала смотрим делится ли один знаменатель на другой, если делится то умножаем числитель и знаменатель этой другой дроби; если не делится действуем посредством других указанных выше способов).
— получив дроби с равными знаменателями, выполняем действия (сложение, вычитание).
— если необходимо, то результат сокращаем.
— если необходимо, то выделяем целую часть.
2. Произведение дробей.
Правило простое. При умножении дробей умножаются их числители и знаменатели:
Примеры:
Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
Сложение дробей бывает двух видов:
- Сложение дробей с одинаковыми знаменателями
- Сложение дробей с разными знаменателями
Сначала изучим сложение дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения. Например, сложим дроби и . Складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Сложить дроби и .
В ответе получилась неправильная дробь . Если наступает конец задачи, то от неправильных дробей принято избавляться. Чтобы избавится от неправильной дроби, нужно выделить в ней целую часть. В нашем случае целая часть выделяется легко — два разделить на два равно единице:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на две части. Если к пиццы прибавить еще пиццы, то получится одна целая пицца:
Пример 3 . Сложить дроби и .
Опять же складываем числители, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если к пиццы прибавить ещё пиццы, то получится пиццы:
Пример 4.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Числители необходимо сложить, а знаменатель оставить без изменения:
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы и ещё прибавить пиццы, то получится 1 целая и ещё пиццы.
Как видите в сложении дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателя, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить без изменения;
Сложение дробей с разными знаменателями
Теперь научимся складывать дроби с разными знаменателями. Когда складывают дроби, знаменатели этих дробей должны быть одинаковыми. Но одинаковыми они бывают не всегда.
Например, дроби и сложить можно, поскольку у них одинаковые знаменатели.
А вот дроби и сразу сложить нельзя, поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Существует несколько способов приведения дробей к одинаковому знаменателю. Сегодня мы рассмотрим только один из них, поскольку остальные способы могут показаться сложными для начинающего.
Суть этого способа заключается в том, что сначала ищется (НОК) знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель. Аналогично поступают и со второй дробью — НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель.
Затем числители и знаменатели дробей умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих действий, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1 . Сложим дроби и
В первую очередь находим наименьшее общее кратное знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 2. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 6
НОК (2 и 3) = 6
Теперь возвращаемся к дробям и . Сначала разделим НОК на знаменатель первой дроби и получим первый дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель первой дроби это число 3. Делим 6 на 3, получаем 2.
Полученное число 2 это первый дополнительный множитель. Записываем его к первой дроби. Для этого делаем небольшую косую линию над дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби и получаем второй дополнительный множитель. НОК это число 6, а знаменатель второй дроби — число 2. Делим 6 на 2, получаем 3.
Полученное число 3 это второй дополнительный множитель. Записываем его ко второй дроби. Опять же делаем небольшую косую линию над второй дробью и записываем над ней найденный дополнительный множитель:
Теперь у нас всё готово для сложения. Осталось умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители:
Посмотрите внимательно к чему мы пришли. Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как складывать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Таким образом, пример завершается. К прибавить получается .
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если к пиццы прибавить пиццы, то получится одна целая пицца и еще одна шестая пиццы:
Приведение дробей к одинаковому (общему) знаменателю также можно изобразить с помощью рисунка. Приведя дроби и к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти две дроби будут изображаться теми же кусками пицц. Различие будет лишь в том, что в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю).
Первый рисунок изображает дробь (четыре кусочка из шести), а второй рисунок изображает дробь (три кусочка из шести). Сложив эти кусочки мы получаем (семь кусочков из шести). Эта дробь неправильная, поэтому мы выделили в ней целую часть. В результате получили (одну целую пиццу и еще одну шестую пиццы).
Отметим, что мы с вами расписали данный пример слишком подробно. В учебных заведениях не принято писать так развёрнуто. Нужно уметь быстро находить НОК обоих знаменателей и дополнительные множители к ним, а также быстро умножать найденные дополнительные множители на свои числители и знаменатели. Находясь в школе, данный пример нам пришлось бы записать следующим образом:
Но есть и обратная сторона медали. Если на первых этапах изучения математики не делать подробных записей, то начинают появляться вопросы рода «а откуда вон та цифра?», «почему дроби вдруг превращаются совсем в другие дроби? «.
Чтобы легче было складывать дроби с разными знаменателями, можно воспользоваться следующей пошаговой инструкцией:
- Найти НОК знаменателей дробей;
- Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби;
- Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители;
- Сложить дроби, у которых одинаковые знаменатели;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить её целую часть;
Пример 2.
Найти значение выражения 
.
Воспользуемся инструкцией, которая приведена выше.
Шаг 1. Найти НОК знаменателей дробей
Находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатели дробей это числа 2, 3 и 4
Шаг 2. Разделить НОК на знаменатель каждой дроби и получить дополнительный множитель для каждой дроби
Делим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби это число 2. Делим 12 на 2, получаем 6. Получили первый дополнительный множитель 6. Записываем его над первой дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби это число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Получили второй дополнительный множитель 4. Записываем его над второй дробью:
Теперь делим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 12, а знаменатель третьей дроби это число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Получили третий дополнительный множитель 3. Записываем его над третьей дробью:
Шаг 3. Умножить числители и знаменатели дробей на свои дополнительные множители
Умножаем числители и знаменатели на свои дополнительные множители:
Шаг 4. Сложить дроби у которых одинаковые знаменатели
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби, у которых одинаковые (общие) знаменатели. Осталось сложить эти дроби. Складываем:
Сложение не поместилось на одной строке, поэтому мы перенесли оставшееся выражение на следующую строку. Это допускается в математике. Когда выражение не помещается на одну строку, его переносят на следующую строку, при этом надо обязательно поставить знак равенства (=) на конце первой строки и в начале новой строки. Знак равенства на второй строке говорит о том, что это продолжение выражения, которое было на первой строке.
Шаг 5. Если в ответе получилась неправильная дробь, то выделить в ней целую часть
У нас в ответе получилась неправильная дробь. Мы должны выделить у неё целую часть. Выделяем:
Получили ответ
Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
Вычитание дробей бывает двух видов:
- Вычитание дробей с одинаковыми знаменателями
- Вычитание дробей с разными знаменателями
Сначала изучим вычитание дробей с одинаковыми знаменателями. Тут всё просто. Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например, найдём значение выражения . Чтобы решить этот пример, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения. Так и сделаем:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на четыре части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 2. Найти значение выражения .
Опять же из числителя первой дроби вычитаем числитель второй дроби, а знаменатель оставляем без изменения:
Этот пример можно легко понять, если вспомнить про пиццу, которая разделена на три части. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы:
Пример 3.
Найти значение выражения 
Этот пример решается точно также, как и предыдущие. Из числителя первой дроби нужно вычесть числители остальных дробей:
Как видите в вычитании дробей с одинаковыми знаменателями ничего сложного нет. Достаточно понимать следующие правила:
- Чтобы вычесть из одной дроби другую, нужно из числителя первой дроби вычесть числитель второй дроби, а знаменатель оставить без изменения;
- Если в ответе получилась неправильная дробь, то нужно выделить в ней целую часть.
Вычитание дробей с разными знаменателями
Например, от дроби можно вычесть дробь , поскольку у этих дробей одинаковые знаменатели. А вот от дроби нельзя вычесть дробь , поскольку у этих дробей разные знаменатели. В таких случаях дроби нужно приводить к одинаковому (общему) знаменателю.
Общий знаменатель находят по тому же принципу, которым мы пользовались при сложении дробей с разными знаменателями. В первую очередь находят НОК знаменателей обеих дробей. Затем НОК делят на знаменатель первой дроби и получают первый дополнительный множитель, который записывается над первой дробью. Аналогично НОК делят на знаменатель второй дроби и получают второй дополнительный множитель, который записывается над второй дробью.
Затем дроби умножаются на свои дополнительные множители. В результате этих операций, дроби у которых были разные знаменатели, обращаются в дроби, у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем.
Пример 1. Найти значение выражения:
У этих дробей разные знаменатели, поэтому нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Сначала находим НОК знаменателей обеих дробей. Знаменатель первой дроби это число 3, а знаменатель второй дроби — число 4. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 12
НОК (3 и 4) = 12
Теперь возвращаемся к дробям и
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель первой дроби. НОК это число 12, а знаменатель первой дроби — число 3. Делим 12 на 3, получаем 4. Записываем четвёрку над первой дробью:
Аналогично поступаем и со второй дробью. Делим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 12, а знаменатель второй дроби — число 4. Делим 12 на 4, получаем 3. Записываем тройку над второй дробью:
Теперь у нас всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример до конца:
Получили ответ
Попробуем изобразить наше решение с помощью рисунка. Если от пиццы отрезать пиццы, то получится пиццы
Это подробная версия решения. Находясь в школе, нам пришлось бы решить этот пример покороче. Выглядело бы такое решение следующим образом:
Приведение дробей и к общему знаменателю также может быть изображено с помощью рисунка. Приведя эти дроби к общему знаменателю, мы получили дроби и . Эти дроби будут изображаться теми же кусочками пицц, но в этот раз они будут разделены на одинаковые доли (приведены к одинаковому знаменателю):
Первый рисунок изображает дробь (восемь кусочков из двенадцати), а второй рисунок — дробь (три кусочка из двенадцати). Отрезав от восьми кусочков три кусочка мы получаем пять кусочков из двенадцати. Дробь и описывает эти пять кусочков.
Пример 2.
Найти значение выражения 
У этих дробей разные знаменатели, поэтому сначала нужно привести их к одинаковому (общему) знаменателю.
Найдём НОК знаменателей этих дробей.
Знаменатели дробей это числа 10, 3 и 5. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 30
НОК (10, 3, 5) = 30
Теперь находим дополнительные множители для каждой дроби. Для этого разделим НОК на знаменатель каждой дроби.
Найдём дополнительный множитель для первой дроби. НОК это число 30, а знаменатель первой дроби — число 10. Делим 30 на 10, получаем первый дополнительный множитель 3. Записываем его над первой дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для второй дроби. Разделим НОК на знаменатель второй дроби. НОК это число 30, а знаменатель второй дроби — число 3. Делим 30 на 3, получаем второй дополнительный множитель 10. Записываем его над второй дробью:
Теперь находим дополнительный множитель для третьей дроби. Разделим НОК на знаменатель третьей дроби. НОК это число 30, а знаменатель третьей дроби — число 5. Делим 30 на 5, получаем третий дополнительный множитель 6. Записываем его над третьей дробью:
Теперь всё готово для вычитания. Осталось умножить дроби на свои дополнительные множители:
Мы пришли к тому, что дроби у которых были разные знаменатели, превратились в дроби у которых одинаковые (общие) знаменатели. А как вычитать такие дроби мы уже знаем. Давайте дорешаем этот пример.
Продолжение примера не поместится на одной строке, поэтому переносим продолжение на следующую строку. Не забываем про знак равенства (=) на новой строке:
В ответе получилась правильная дробь, и вроде бы нас всё устраивает, но она слишком громоздка и некрасива. Надо бы сделать её проще. А что можно сделать? Можно сократить эту дробь.
Чтобы сократить дробь , нужно разделить её числитель и знаменатель на (НОД) чисел 20 и 30.
Итак, находим НОД чисел 20 и 30:
Теперь возвращаемся к нашему примеру и делим числитель и знаменатель дроби на найденный НОД, то есть на 10
Получили ответ
Умножение дроби на число
Чтобы умножить дробь на число, нужно числитель данной дроби умножить на это число, а знаменатель оставить прежним.
Пример 1 . Умножить дробь на число 1 .
Умножим числитель дроби на число 1
Запись можно понимать, как взять половину 1 раз. К примеру, если пиццы взять 1 раз, то получится пиццы
Из законов умножения мы знаем, что если множимое и множитель поменять местами, то произведение не изменится. Если выражение , записать как , то произведение по прежнему будет равно . Опять же срабатывает правило перемножения целого числа и дроби:
Эту запись можно понимать, как взятие половины от единицы. К примеру, если имеется 1 целая пицца и мы возьмем от неё половину, то у нас окажется пиццы:
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножим числитель дроби на 4
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Выражение можно понимать, как взятие двух четвертей 4 раза. К примеру, если пиццы взять 4 раза, то получится две целые пиццы
А если поменять множимое и множитель местами, то получим выражение . Оно тоже будет равно 2. Это выражение можно понимать, как взятие двух пицц от четырех целых пицц:
Умножение дробей
Чтобы перемножить дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели. Если в ответе получится неправильная дробь, нужно выделить в ней целую часть.
Пример 1. Найти значение выражения .
Получили ответ . Желательно сократить данную дробь. Дробь можно сократить на 2. Тогда окончательное решение примет следующий вид:
Выражение можно понимать, как взятие пиццы от половины пиццы. Допустим, у нас есть половина пиццы:
Как взять от этой половины две третьих? Сначала нужно поделить эту половину на три равные части:
И взять от этих трех кусочков два:
У нас получится пиццы. Вспомните, как выглядит пицца, разделенная на три части:
Один кусок от этой пиццы и взятые нами два кусочка будут иметь одинаковые размеры:
Другими словами, речь идет об одном и том же размере пиццы. Поэтому значение выражения равно
Пример 2 . Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась неправильная дробь. Выделим в ней целую часть:
Пример 3. Найти значение выражения
Умножаем числитель первой дроби на числитель второй дроби, а знаменатель первой дроби на знаменатель второй дроби:
В ответе получилась правильная дробь, но будет хорошо, если её сократить. Чтобы сократить эту дробь, нужно числитель и знаменатель данной дроби разделить на наибольший общий делитель (НОД) чисел 105 и 450.
Итак, найдём НОД чисел 105 и 450:
Теперь делим числитель и знаменатель нашего ответа на НОД, который мы сейчас нашли, то есть на 15
Представление целого числа в виде дроби
Любое целое число можно представить в виде дроби. Например, число 5 можно представить как . От этого пятёрка своего значения не поменяет, поскольку выражение означает «число пять разделить на единицу», а это, как известно равно пятёрке:
Обратные числа
Сейчас мы познакомимся с очень интересной темой в математике. Она называется «обратные числа».
Определение. Обратным к числу a называется число, которое при умножении на a даёт единицу.
Давайте подставим в это определение вместо переменной a число 5 и попробуем прочитать определение:
Обратным к числу 5 называется число, которое при умножении на 5 даёт единицу.
Можно ли найти такое число, которое при умножении на 5, даёт единицу? Оказывается можно. Представим пятёрку в виде дроби:
Затем умножить эту дробь на саму себя, только поменяем местами числитель и знаменатель. Другими словами, умножим дробь на саму себя, только перевёрнутую:
Что получится в результате этого? Если мы продолжим решать этот пример, то получим единицу:
Значит обратным к числу 5, является число , поскольку при умножении 5 на получается единица.
Обратное число можно найти также для любого другого целого числа.
Найти обратное число можно также для любой другой дроби. Для этого достаточно перевернуть её.
Деление дроби на число
Допустим, у нас имеется половина пиццы:
Разделим её поровну на двоих. Сколько пиццы достанется каждому?
Видно, что после разделения половины пиццы получилось два равных кусочка, каждый из которых составляет пиццы. Значит каждому достанется по пиццы.
Деление дробей выполняется с помощью обратных чисел. Обратные числа позволяют заменить деление умножением.
Чтобы разделить дробь на число, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю.
Пользуясь этим правилом, запишем деление нашей половины пиццы на две части.
Итак, требуется разделить дробь на число 2 . Здесь делимым является дробь , а делителем число 2.
Чтобы разделить дробь на число 2, нужно эту дробь умножить на число, обратное делителю 2. Обратное делителю 2 это дробь . Значит нужно умножить на
Инструкция
Принято разделять обыкновенные и десятичные дроби , знакомство с которыми начинается еще в средней школе. В настоящее нет такой области знаний, где не применялось бы это . Даже в мы говорим первая 17 века, и все сразу , что имеются ввиду 1600-1625 года. Также часто приходится сталкиваться с элементарными действиями над , а также их преобразованием из одного вида в другой.
Приведение дробей к общему знаменателю является, пожалуй, наиболее важным действием над . Это основа проведения абсолютно всех вычислений. Итак, допустим есть две дроби a/b и c/d. Тогда, для того чтобы привести их к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (М) чисел b и d, и далее умножить числитель первой дроби на (М/b), а числитель второй на (M/d).
Сравнение дробей, еще одна немаловажная задача. Для того чтобы это сделать, приведите заданные простые дроби к общему знаменателю и потом сравните числители, чей числитель окажется больше, та дробь и больше.
Для того чтобы выполнить сложение или вычитание обыкновенных дробей, нужно привести их к общему знаменателю, а после произвести нужное математическое с этих дробей. Знаменатель же остается без изменения. Допустим нужно из a/b вычесть c/d. Для этого требуется найти наименьшее общее кратное M чисел b и d, и после вычесть из одного числителя другой, не меняя при этом знаменатель: (a*(M/b)-(c*(M/d))/M
Достаточно просто умножить одну дробь на другую, для этого следует просто перемножить их числители и знаменатели:
(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d)Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно дробь делимого умножить на дробь обратную делителю. (a/b)/(c/d)=(a*d)/(b*c)
Стоить напомнить, что для того чтобы получить обратную дробь, нужно числитель и знаменатель поменять местами.
Арифметические действия с обыкновенными дробями
1. Сложение.
Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить тот же.
Пример. .
Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, надо привести их к наименьшему общему знаменателю, а затем сложить полученные числители и под суммой подписать общий знаменатель.
Пример.
Короче записывают так:
Чтобы сложить смешанные числа, нужно отдельно найти сумму целых и сумму дробных частей. Действие записывается так:
2. Вычитание.
Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно вычесть числитель вычитаемого из числителя уменьшаемого и оставить прежний знаменатель. Действие записывают так:
Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к наименьшему общему знаменателю, затем из числителя уменьшаемого вычесть числитель вычитаемого и под их разностью подписать общий знаменатель. Действие записывают так:
Если нужно вычесть одно смешанное число из другого смешанного числа, то, если можно, вычитают дробь из дроби, а целое из целого. Действие записывают так:
Если же дробь вычитаемого больше дроби уменьшаемого, то берут одну единицу из целого числа уменьшаемого, раздробляют ее в надлежащие доли и прибавляют к дроби уменьшаемого, после чего поступают, как описано выше. Действие записывают так:
Аналогично поступают, когда надо вычесть из целого числа дробное.
Пример. .
3. Распространение свойств сложения и вычитания на дробные числа. Все законы и свойства сложения и вычитания натуральных чисел справедливы и для дробных чисел. Их применение во многих случаях значительно упрощает процесс вычисления.
4. Умножение.
Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить числитель на числитель, а знаменатель на знаменатель и первое произведение сделать числителем, а второе - знаменателем.
При умножении следует делать (если возможно) сокращение.
Пример. .
Если учесть, что целое число представляет собой дробь со знаменателем 1, то умножение дроби на целое число и целого числа на дробь можно выполнять поэтому же правилу.
Примеры.
5. Умножение смешанных чисел.
Чтобы перемножить смешанные числа, нужно предварительно обратить их в неправильные дроби и потом перемножать по правилу умножения дробей.
Пример. .
6. Деление дроби на дробь.
Чтобы разделить дробь на дробь, нужно числитель первой дроби умножить на знаменатель второй, а знаменатель первой на числитель второй и первое произведение записать числителем, а второе - знаменателем.
Пример. .
По этому же правилу можно выполнять деление дроби на целое число и целого на дробь, если представить целое число в виде дроби со знаменателем 1.
Примеры.
7. Деление смешанных чисел.
Чтобы выполнить деление смешанных чисел, их предварительно обращают в неправильные дроби и затем делят по правилу деления дробей.
Пример. .
8. Замена деления умножением.
Если в какой-нибудь дроби поменять местами числитель и знаменатель, получится новая дробь, обратная данной. Например, для дроби обратная дробь будет .
Очевидно, что произведение двух взаимно обратных дробей равно 1.
- Нахождение дроби от числа.
Существует много задач, в которых требуется найти часть или дробь данного числа. Такие задачи решают умножением.
Задача. Хозяйка имела 20 руб.; их она израсходовала на покупки. Сколько стоят покупки?
Здесь требуется найти числа 20. Сделать это можно так:
Ответ. Хозяйка израсходовала 8 руб.
Примеры. Найти от 30. Решение. .
Найти от . Решение. .
- Нахождение числа по известной величине его дроби.
Иногда требуется по известной части числа и дроби, выражающей эту часть, определить все число. Такие задачи решаются делением.
Задача. В классе 12 комсомольцев, что составляет части всех учащихся класса. Сколько всех учащихся в классе?
Решение. .
Ответ. 20 учащихся.
Пример. Найти число, которого составляет 34.
Решение. .
Ответ. Искомое число равно .
- Нахождение отношения двух чисел.
Рассмотрим задачу: Рабочий изготовил за день 40 деталей. Какую часть месячного задания выполнил рабочий, если месячный план составляет 400 деталей?
Решение. .
Ответ. Рабочий выполнил часть месячного плана.
В данном случае часть (40 деталей) выражено в долях целого (400 деталей). Говорят также, что найдено отношение числа изготовленных за день деталей к месячному плану.
- Превращение десятичной дроби в обыкновенную.
Чтобы преобразовать десятичную дробь в обыкновенную, ее записывают со знаменателем и, если возможно, сокращают:
Примеры.
- Превращение обыкновенной дроби в десятичную.
Существует несколько способов превращения обыкновенной дроби в десятичную.
Первый способ. Чтобы обратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно числитель разделить на знаменатель.
Примеры. .
Второй способ. Чтобы превратить обыкновенную дробь в десятичную, нужно помножить числитель и знаменатель данной дроби на такое число, чтобы в знаменателе получилась единица с нулями (если это возможно).
Пример.
- Сравнение десятичных дробей по величине . Чтобы выяснить, какая из двух десятичных дробей больше, надо сравнить их целые части, десятые, сотые и т.д. При равенстве целых частей больше та дробь, у которой десятых частей больше; при равенстве целых и десятичных - та больше, у которой больше сотых, и т.д.
Пример. Из трех дробей 2,432; 2,41 и 2,4098 наибольшая первая, так как в ней сотых наибольше, а целые и десятые во всех дробях одинаковы.
Действия с десятичными дробями
- Умножение и деление десятичной дроби на 10, 100, 1000 и т.д.
Чтобы умножить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д. надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака вправо. Если при этом не хватает знаков у числа, то приписывают нули.
Пример. 15,45 · 10 = 154,5; 32,3 · 100 = 3230.
Чтобы разделить десятичную дробь на 10, 100, 1000 и т.д., надо перенести запятую соответственно на один, два, три и т.д. знака влево. Если для перенесения запятой не хватает знаков, их число дополняют соответствующим числом нулей слева.
Примеры. 184,35: 100 = 1,8435; 3,5: 100 = 0,035.
- Сложение и вычитание десятичных дробей.
Десятичные дроби складывают и вычитают почти так же, как складывают и вычитают натуральные числа. Разряд записывается под разрядом, запятая - под запятой
Примеры.
- Умножение десятичных дробей.
Чтобы перемножить две десятичные дроби, достаточно, не обращая внимания на запятые, перемножить их как целые числа и в произведении отделить запятой справа столько десятичных знаков, сколько их было во множимом и множителе вместе.
Пример 1. 2,064 · 0,05.
Перемножаем целые числа 2064 · 5 = 10320. В первом сомножителе было три знака после запятой, во втором - два. В произведении число десятичных знаков должно быть пять. Отделяем их справа и получаем 0,10320. Нуль, стоящий в конце, можно отбросить: 2,064 · 0,05 = 0,1032.
Пример 2. 1,125 · 0,08; 1125 · 8 = 9000.
Число знаков после запятой должно быть 3 + 2 = 5. Приписываем к 9000 нули слева (009000) и отделяем справа пять знаков. Получаем 1,125 · 0,08 = 0,09000 = 0,09.
- Деление десятичных дробей.
Рассматривается два случая деления десятичных дробей без остатка: 1) деление десятичной дроби на целое число; 2) деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь.
Деление десятичной дроби на целое число выполняется так же, как и деление целых чисел; получаемые остатки раздробляют последовательно в меньшие десятичные части и продолжают деление до тех пор, пока в остатке будет нуль.
Примеры.
Деление числа (целого или дробного) на десятичную дробь во всех случаях приводят к делению на целое число. Для этого увеличивают делитель в 10, 100, 1000 и т.д. раз, а чтобы частное не изменилось, в то же число раз увеличивают и делимое, после чего делят на целое число (как в первом случае).
Пример. 47,04: 0,0084 = 470400: 84 = 5600;
- Примеры на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями.
Рассмотрим сначала пример на все действия с десятичными дробями.
Пример 1. Вычислить:
Здесь пользуются приведением делимого и делителя к целому числу с учетом того, что частное при этом не изменяется. Тогда имеем:
При решении примеров на совместные действия с обыкновенными и десятичными дробями часть действий можно выполнять в десятичных дробях, а часть - в обыкновенных. Надо иметь в виду, что не всегда обыкновенная дробь может быть превращена в конечную десятичную дробь. Поэтому записывать десятичной дробью можно только тогда, когда проверено, что такое преобразование возможно.
Пример 2. Вычислить:
Проценты
Понятие о проценте. Процентом какого-либо числа называется сотая часть этого числа. Например, вместо того, чтобы сказать "54 сотых всех жителей нашей страны составляют женщины", можно сказать "54 процента всех жителей нашей страны составляют женщины". Вместо слова "процент" пишут также значок %, например 35% - значит 35 процентов.
Так как процент есть сотая часть, то отсюда следует, что процент есть дробь со знаменателем 100. Поэтому дробь 0,49, или , можно прочитать как 49 процентов и записать без знаменателя в виде 49%. Вообще, определив, сколько в данной десятичной дроби сотых частей, ее легко записать в процентах. Для этого пользуются правилом: чтобы записать десятичную дробь в процентах, надо перенести в этой дроби запятую на два знака вправо.
Примеры. 0,33 = 33%; 1,25 = 125%; 0,002 = 0,2%; 21 = 2100%.
И наоборот: 7% = 0,07; 24,5% = 0,245; 0,1% = 0,001; 200% = 2.
1. Нахождение процентов данного числа
Задача. Бригада трактористов по плану должна израсходовать 9 т горючего. Трактористы взяли соцобязательство сэкономить 20% горючего. Определить экономию горючего в тоннах.
Если в этой задаче вместо 20% написать равное ему число 0,2, получим задачу, на нахождение дроби числа. А такие задачи решают умножением. Отсюда вытекает способ решения:
20% = 0,2; 9 · 0,2 = 1,8 ( m ).
Вычисления можно записать и так:
( m )
Чтобы найти несколько процентов данного числа, достаточно данное число разделить на 100 и умножить результат на число процентов.
Задача. Рабочий в 1963 г. получал в месяц 90 руб., а в 1964 г. стал получать на 30% больше. Сколько получал он в 1964 г.?
Решение (первый способ).
1) На сколько рублей больше стал получать рабочий?
(руб.)
90 + 27 = 117 (руб).
Второй способ.
1) Сколько процентов прежнего заработка стал получать рабочий в 1964 г.?
100% + 30% = 130%.
2) Какова была месячная зарплата рабочего в 1964 г.?
(руб.)
2. Нахождение числа по данной величине его процентов.
Задача. В колхозе посеяли кукурузу на площади 280 га, что составляет 14% всей посевной площади. Определить посевную площадь колхоза.
Если в этой задаче вместо 14% написать 0,14 или , то получим задачу на нахождение числа по известной величине его дроби. А такие задачи решают делением.
Решение. 14% = 0,14; 280: 0,14 = 2000 (га). Можно это решение оформить и так:
(га)
Чтобы найти число по данной величине нескольких процентов его, достаточно эту величину разделить на число процентов и результат умножить на 100.
Задача. В марте завод выплавил 125,4 т металла, перевыполнив план на 4,5%. Сколько тонн металла завод должен был выплавить в марте по плану?
Решение.
1) На сколько процентов завод выполнил план в марте?
100% + 4,5% = 104,5%.
2) Сколько тонн металла завод должен был выплавить?
(га)
- Нахождение процентного отношения двух чисел.
Задача. Нужно вспахать 300 га земли. В первый день вспахали 120 га. Сколько процентов к заданию вспахали в первый день?
Решение.
Первый способ. 300 га составляет 100%, значит, на 1% приходится 3 га. Определив, сколько раз 3 га, составляющие 1%, содержатся в 120 га, мы узнаем сколько процентов к заданию вспахали земли в первый день
120: 3 = 40(%).
Второй способ. Определив, какую часть земли вспахали в первый день, выразим эту дробь в процентах.
Записываем вычисление:
Чтобы вычислить процентное отношение числа а к числу b , нужно найти отношение а к b и умножить его на 100.