Vienas pagrindinių taškinių aibių teorijos uždavinių yra įvairių tipų taškų aibių savybių tyrimas. Susipažinkime su šia teorija naudodamiesi dviem pavyzdžiais ir išnagrinėkime vadinamųjų uždarųjų ir atvirųjų aibių savybes.
Rinkinys vadinamas uždaryta , jei jame yra visi ribiniai taškai. Jei rinkinys neturi vieno ribinio taško, tada jis taip pat laikomas uždaru. Be ribinių taškų, uždaroje aibėje gali būti ir atskirų taškų. Rinkinys vadinamas atviras , jei kiekvienas jo taškas jam yra vidinis.
Duokim uždarų ir atvirų aibių pavyzdžiai .
Kiekvienas segmentas yra uždara aibė, o kiekvienas intervalas (a, b) yra atvira aibė. Netinkami pusės intervalai ir uždaryta, o netinkami intervalai ir atviras. Visa linija yra ir uždara, ir atvira. Tuščią komplektą patogu laikyti ir uždaru, ir tuo pačiu atidarytu. Bet kuri baigtinė taškų rinkinys tiesėje yra uždaras, nes neturi ribinių taškų.
Rinkinys, susidedantis iš taškų:
uždarytas; ši aibė turi unikalų ribinį tašką x=0, kuris priklauso aibei.
Pagrindinis uždavinys yra išsiaiškinti, kaip sudaryta savavališka uždara ar atvira aibė. Norėdami tai padaryti, mums reikės daugybės pagalbinių faktų, kuriuos priimsime be įrodymų.
- 1. Bet kokio skaičiaus uždarų aibių sankirta uždaryta.
- 2. Bet kurio atvirųjų aibių skaičiaus suma yra atviroji aibė.
- 3. Jei uždaroji aibė yra apribota aukščiau, tada joje yra jos viršūnė. Panašiai, jei uždaras rinkinys yra apribotas žemiau, tada jame yra jo infimumas.
Tegu E yra savavališka tiesės taškų rinkinys. Pavadinkime aibės E komplementu ir CE pažymime visų tiesės taškų, kurie nepriklauso aibei E, aibę. Akivaizdu, kad jei x yra išorinis E taškas, tai jis yra vidinis taškas E. rinkinys CE ir atvirkščiai.
4. Jei aibė F uždara, tai jos komplementas CF yra atviras ir atvirkščiai.
4 teiginys rodo, kad tarp uždarų ir atvirų aibių yra labai glaudus ryšys: vieni papildo kitus. Dėl to pakanka tirti tik uždaras arba tik atviras aibes. Žinodami vieno tipo aibių savybes, galite iš karto sužinoti kito tipo aibių savybes. Pavyzdžiui, bet koks atviras rinkinys gaunamas pašalinus iš linijos tam tikrą uždarą aibę.
Pradėkime tyrinėti uždarų aibių savybes. Pateikiame vieną apibrėžimą. Tegu F yra uždara aibė. Intervalas (a, b), turintis savybę, kad nė vienas jo taškas nepriklauso aibei F, o taškai a ir b priklauso F, vadinamas gretimu aibės F intervalu.
Taip pat kaip gretimus intervalus įtrauksime netinkamus intervalus arba jei taškas a arba taškas b priklauso aibei F, o patys intervalai nesikerta su F. Parodykime, kad jei taškas x nepriklauso uždarai aibei F, tai jis priklauso vienam iš gretimų intervalų.
Pažymėkime aibės F dalimi, esančia taško x dešinėje. Kadangi pats taškas x nepriklauso aibei F, jį galima pavaizduoti sankirtos forma:
Kiekvienas rinkinys yra F ir uždaras. Todėl pagal 1 teiginį aibė uždaryta. Jei aibė tuščia, tai visas pusės intervalas nepriklauso aibei F. Tarkime, kad aibė nėra tuščia. Kadangi šis rinkinys yra tik per pusę intervalo, jis apribotas žemiau. Jo apatinę ribą pažymėkime b. Pagal 3 pasiūlymą, o tai reiškia. Be to, kadangi b yra aibės infimumas, pusės intervalas (x, b), esantis į kairę nuo taško b, neapima aibės taškų, todėl jame nėra aibės F taškų. mes sukūrėme pusintervalą (x, b), kuriame nėra aibės F taškų, o taškas b priklauso aibei F. Panašiai sudaromas pusintervalas (a, x), kuriame nėra taškų. aibės F ir arba, arba. Dabar aišku, kad intervale (a, b) yra taškas x ir jis yra gretimas aibės F intervalas. Nesunku pastebėti, kad jei ir yra du gretimi aibės F intervalai, tai šie intervalai arba sutampa, arba nesikerta.
Iš ankstesnio išplaukia, kad bet kuri uždara aibė tiesėje gaunama iš eilutės pašalinus tam tikrą intervalų skaičių, būtent gretimus aibės F intervalus. Kadangi kiekviename intervale yra bent vienas racionalus taškas, ir yra skaičiuojama aibė visi racionalūs linijos taškai, nesunku įsitikinti, kad visų gretimų intervalų skaičius yra daugiausia skaičiuojamas. Iš čia gauname galutinę išvadą. Kiekvienas uždaras eilutės rinkinys gaunamas pašalinus iš eilutės daugiausiai skaičiuojamą nevienodų intervalų rinkinį.
Remiantis 4 teiginiu, iš karto išplaukia, kad kiekviena atvira eilutė tiesėje yra ne kas kita, kaip skaičiuojama nevienodų intervalų suma. Remiantis 1 ir 2 teiginiais, taip pat aišku, kad bet kuri aibė, išdėstyta taip, kaip nurodyta aukščiau, iš tikrųjų yra uždara (atvira).
Kaip matyti iš šio pavyzdžio, uždarų rinkinių struktūra gali būti labai sudėtinga.
3.1 teorema. Bet kokio atvirųjų aibių skaičiaus sąjunga yra atviroji aibė.
Leiskite G k, kur k О N yra atvirosios aibės.
3 Pasirinkite bet kurį tašką X O ÎG. Pagal aibių sąjungos apibrėžimą taškas X o priklauso vienai iš rinkinių G k. Kadangi G k yra atviras rinkinys, tada yra e- taško kaimynystė x o, kuris visas yra rinkinyje Gk: U(x o , e)Ì G k Þ U(x o, e)Ì G.
Supratau bet ką x o ÎG– vidinis, vadinasi G– atviras komplektas. 4
3.2 teorema . Baigtinio skaičiaus atvirų netuščių aibių sankirta yra atviroji aibė.
Leiskite G k (k = 1,2, …,n) yra atviri rinkiniai.
Įrodykime, kad tai atvira aibė.
3 Pasirinkite bet kurį tašką X O ÎG. Pagal aibių sankirtos apibrėžimą X o priklauso kiekvienai iš rinkinių G k. Nuo kiekvieno komplekto G k atidaryti, tada bet kuriame rinkinyje G k egzistuoja e k- taško kaimynystė X O :U(x o , e k)Ì G k. daug skaičių ( e 1 , e 2 ,…, e n) yra baigtinis, todėl yra skaičius e = min{e 1 ,e 2 ,…,e n). Tada e- taško kaimynystė X o yra kiekviename e k- punkto kaimynystė X O :U(x o , e)M U e(x o , e k) Þ U(x o , e)Ì G.
Supratau X o – rinkinio vidinis taškas G, o tai reiškia G– atviras komplektas. 4
Pastaba 3.1. Begalinio skaičiaus atvirųjų aibių sankirta negali būti atvira aibė.
3.1 pavyzdys. Įleisk į erdvę R G k =(2 – 1/k; 4+ 1/k), Kur k= 1,2,…,n,…. G 1 =(1;5), G 2(1,5;4,5), Segmentas Ì G k ir nėra atvira aibė, 2 ir 4 taškai nėra vidiniai.
3.3 teorema . Bet kurios uždarų netuščių rinkinių sankirta yra uždara aibė.
Leiskite Fk- uždari komplektai.
Įrodykime, kad rinkinys uždaras, t.y. jame yra visi ribiniai taškai.
3 Leisk X F. Iš aibių sankirtos apibrėžimo išplaukia, kad bet kurioje e- taško kaimynystė X o kiekvienoje aibėje yra be galo daug taškų Fk, o tai reiškia X o – kiekvienos aibės ribinis taškas Fk. Dėl komplektų uždarumo Fk taškas
X O О F k "k Þ x O Î F. Nuo taško X F, ir tai reiškia labai daug F uždaryta. 4
3.4 teorema. Baigtinio skaičiaus uždarųjų aibių sąjunga yra uždaroji aibė.
Leiskite kiekvienam nustatyti Fk uždaryta.
Įrodykime, kad aibė uždara, t.y., jei X o – aibės ribinis taškas F, Tai X O О F.
3 Leisk X o – bet kuris aibės ribinis taškas F, tada bet kuriuo e- punkto kaimynystė X o aibės taškų yra be galo daug. Nuo rinkinių skaičiaus Fk tada baigtinis X o priklauso bent vienai iš rinkinių Fk, t.y. X o yra šio rinkinio ribinis taškas.
Dėl izoliacijos Fk taškas X o priklauso Fk, todėl daug. Nuo taško X o pasirenkamas savavališkai, tada aibei priklauso visi ribiniai taškai F, o tai reiškia daug F uždaryta. 4
Pastaba 3.2. Begalinio skaičiaus uždarų aibių sąjunga gali būti atviroji aibė.
3.2 pavyzdys . Kosmose R: F k =
F 1 =; F 2 = ; …. Intervalas (2;5) yra atvira aibė.
Priimkime be įrodymų 3.5 ir 3.6 teoremas, susijusias su aibės papildiniu E daugeliui X: C x E=CE.
3.5 teorema . Jei rinkinys E uždarytas, tada jo papildymas SE atviras rinkinys.
3.3 pavyzdys . E=, C R E =(- ¥, 2)È (5,+¥ ).
3.6 teorema . Jei rinkinys E atviras, tada jo papildymas SE uždaras komplektas.
3.4 pavyzdys . E=(2,5), C R E =(-¥, 2]È[ 5, +¥ ).
Dabar įrodykime kai kurias specialias uždarų ir atvirų aibių savybes.
1 teorema. Baigtinio arba skaičiuojamo atvirųjų aibių skaičiaus suma yra atviroji aibė. Baigtinio skaičiaus atvirųjų aibių sandauga yra atviroji aibė,
Apsvarstykite baigtinio arba suskaičiuojamo atvirųjų aibių skaičiaus sumą:
Jei , tai P priklauso bent vienai iš Tegul Kadangi yra atviroji aibė, tai tam tikra P kaimynystė taip pat priklauso sumai g, iš to seka, kad g yra atviroji aibė. Dabar panagrinėkime galutinį produktą
ir tegul P priklauso g. Įrodykime, kaip ir aukščiau, kad tam tikra P kaimynystė taip pat priklauso g. Kadangi P priklauso g, tai P priklauso visiems. Kadangi - yra atviros aibės, tada bet kuriai yra taško, priklausančio , kaimynystė. Jei skaičius bus lygus mažiausiam, kurio skaičius yra baigtinis, tai taško P kaimynystė priklausys visiems, taigi ir g. Atminkite, kad negalime tvirtinti, kad nesuskaičiuojamo atvirųjų aibių skaičiaus sandauga yra atviroji aibė.
2 teorema. Aibė CF yra atvira, o aibė CO uždaryta.
Įrodykime pirmąjį teiginį. Tegu P priklauso CF. Būtina įrodyti, kad kuri nors kaimynystė P priklauso CF. Tai išplaukia iš to, kad jei bet kurioje P kaimynystėje būtų taškai F, taškas P, kuris nepriklauso pagal sąlygą, būtų F ribinis taškas ir dėl savo uždarumo turėtų priklausyti, o tai veda į prieštaravimas.
3 teorema. Baigtinio arba skaičiuojamo uždarųjų aibių sandauga yra uždaroji aibė. Baigtinio uždarųjų aibių skaičiaus suma yra uždaroji aibė.
Pavyzdžiui, įrodykime, kad aibė
uždaryta. Pereinant prie papildomų rinkinių, galime rašyti
Pagal teoremą aibės yra atviros, o pagal 1 teoremą aibė taip pat yra atvira, taigi papildoma aibė g yra uždara. Atkreipkite dėmesį, kad skaičiuojamo uždarų aibių skaičiaus suma taip pat gali pasirodyti atvira aibė.
4 teorema. Aibė yra atviroji aibė ir uždaroji aibė.
Nesunku patikrinti šias lygybes:
Iš jų, remiantis ankstesnėmis teoremomis, išplaukia 4 teorema.
Sakysime, kad aibę g apima tam tikrų aibių sistema M, jei kiekvienas taškas g yra įtrauktas į bent vieną iš sistemos M aibių.
5 teorema (Borelis). Jei uždarą ribotą aibę F apima begalinė atvirųjų aibių O sistema a, tai iš šios begalinės sistemos galima išskirti baigtinį skaičių atvirų aibių, apimančių ir F.
Šią teoremą įrodome atvirkščiai. Tarkime, kad neapima joks baigtinis atvirųjų aibių skaičius iš sistemos a, ir mes tai supriešiname. Kadangi F yra ribota aibė, tai visi F taškai priklauso kuriam nors baigtiniam dvimačiui intervalui. Padalinkime šį uždarą intervalą į keturias lygias dalis, padalydami intervalus per pusę. Uždarys kiekvieną iš keturių gautų intervalų. Tie F taškai, kurie patenka į vieną iš šių keturių uždarų intervalų, pagal 2 teoremą reprezentuos uždarą aibę, ir bent vienos iš šių uždarų aibių negali apimti baigtinis sistemos a atvirų aibių skaičius. Paimame vieną iš keturių aukščiau nurodytų uždarų intervalų, kur ši aplinkybė įvyksta. Šį intervalą vėl padalijame į keturias lygias dalis ir samprotaujame taip pat, kaip aukščiau. Taigi gauname įdėtųjų intervalų sistemą, iš kurių kiekvienas kitas reiškia ketvirtą ankstesnės dalies, ir galioja tokia aplinkybė: taškų F aibė, priklausanti bet kuriam k, negali būti padengta baigtiniu atvirų aibių iš sistemos skaičiumi. a. Be galo padidėjus k, intervalai be galo susitrauks iki tam tikro taško P, kuris priklauso visiems intervalams. Kadangi bet kuriame k juose yra begalinis taškų skaičius, taškas P yra ribinis taškas, todėl jis priklauso F, nes F yra uždara aibė. Taigi tašką P dengia kažkokia atviroji aibė, priklausanti sistemai a. Tam tikra taško P kaimynystė taip pat priklausys atvirajai aibei O. Esant pakankamai didelėms k reikšmėms, intervalai D pateks į aukščiau esančią taško P kaimynystę. Taigi jie bus visiškai padengti tik vienu sistemos a atviroji aibė O, o tai prieštarauja tam, kad bet kuriam k taškai, priklausantys bet kuriai k, negali būti padengti baigtiniu skaičiumi atvirų aibių, priklausančių a. Taigi teorema įrodyta.
6 teorema. Atviroji aibė gali būti pavaizduota kaip skaičiuojamo skaičiaus pusiau atvirų intervalų poromis be bendrų taškų suma.
Prisiminkite, kad pusiau atvirą intervalą plokštumoje vadiname baigtiniu intervalu, apibrėžtu formos nelygybėmis.
Plokštumoje nubraižykime tinklelį kvadratų, kurių kraštinės lygiagrečios ašims ir kurių kraštinės ilgis lygus vienetui. Šių kvadratų rinkinys yra skaičiuojamas rinkinys. Iš šių kvadratų išsirinkime tuos kvadratus, kurių visi taškai priklauso tam tikrai atvirai aibei O. Tokių kvadratų skaičius gali būti baigtinis arba skaičiuojamas, o gal tokių kvadratų iš viso nebus. Kiekvieną iš likusių tinklelio kvadratų padaliname į keturis vienodus kvadratus ir iš naujai gautų kvadratų vėl atrenkame tuos, kurių visi taškai priklauso O. Kiekvieną iš likusių kvadratų vėl padalijame į keturias lygias dalis ir pasirenkame tuos kvadratus, kurių visi taškai priklauso O ir tt Parodykime, kad kiekvienas aibės O taškas P pateks į vieną iš pasirinktų kvadratų, kurių visi taškai priklauso O. Iš tiesų, tegul d yra teigiamas atstumas nuo P iki O ribos. Kai pateksime į kvadratus, kurių įstrižainė yra mažesnė už , tai, žinoma, galime teigti, kad taškas P jau pateko į kvadratą, kurio visi tūriai priklauso O. Jei pasirinkti kvadratai bus laikomi pusiau atvirais, tada jie bus neturi bendrų taškų poromis, o teorema įrodyta. Pasirinktų kvadratų skaičius būtinai bus skaičiuojamas, nes galutinė pusiau atvirų intervalų suma akivaizdžiai nėra atviroji aibė. DL pažymėdami tuos pusiau atvirus kvadratus, kuriuos gavome atlikę aukščiau pateiktą konstrukciją, galime rašyti
Kelių kintamųjų funkcijos.
Tiriant daugelį reiškinių, susiduriama su dviejų ar daugiau nepriklausomų kintamųjų funkcijomis.
Pavyzdžiai.
1) Stačiakampio, kurio kraštinės x ir y, plotas: S=xy.
2) Stačiakampio gretasienio su briaunomis x,y,z tūris: V=xyz.
3) Pagal Omo dėsnį, įtampa U elektros srovės grandinėje yra susijusi su grandinės varža R ir srovės stipriu I priklausomybe U=RI. Jei U ir R laikysime duomenimis, tai I apibrėžiamas kaip U ir R funkcija: I= .
Aritmetinės erdvės R n elementai yra sutvarkytos n realiųjų skaičių aibės (x 1, x 2,…, x n). Šios sutvarkytos aibės vadinamos taškais n-mačių erdvėje arba n-mačių vektoriais.
x=(x 1,x 2,…,x n), y=(y 1,y 2,…,y n). x 1, x 2,…, x n – taško koordinatės.
Apibrėžimas. Atstumas tarp taškų x=(x 1,x 2,…,x n) ir y=(y 1,y 2,…,y n):
d(x,y)= 
(1)
Atstumo savybės:
1) d(x,y)³0 ir d(x,y)=0 Û x=y, t.y. x i =y i "i=1,2,…,n.
2) d(x,y)=d(y,x) – simetrijos savybė.
3) d(x,y)£d(x,z)+d(z,y) "x,y,zÎR n – trikampio nelygybė ( £ + ).
Tegul a(a 1,a 2,...,a n) yra savavališkas taškas erdvėje R n, o R>0 yra tam tikras skaičius. Visų taškų x(x 1,x 2,…,x n) aibė:
B(a,R)=(xÎR n: d(x,a) (a,R)=(xÎR n: d(x,a)£R) yra uždaras rutulys (rutulys), kurio centras yra taške a ir spindulys R. S(a,R)=(xÎR n: d(x,a)=R) – sfera R n. Todėl sferos lygtis R n yra: Apibrėžimas. Tegul yra tokie skaičiai a 1 ,…,a n ir b 1 ,…,b n, kad a 1
paskambino atviras gretasienis – P. Visų taškų M(x 1,x 2,…,x n)ÎR n aibė, kuriai paskambino uždaras gretasienis -. Taškas C( ,…, ) – gretasienio centras. Bet kurio spindulio R>0 atvira sfera, kurios centras yra taške M 0 ( ,…, ), gali būti laikoma kaimynystėješį tašką. (Panašiai kaip apylinkę galima laikyti atvirą gretasienį, kurio centras yra taške M 0 ( ,…, ). Apibrėžimas. Tegu E yra tam tikra taškų iš Rn aibė. Aibė E vadinama ribotas, jei yra toks skaičius R>0, kad visi aibės E taškai yra R spindulio sferoje, kurios centras yra taške O(0,...,0). Teorema. Tegu aibė E(M)ÌR n . Leiskite (x 1 ) - aibė, kuri sudaro pirmąsias MOE taškų koordinates, ………………………………………………………………………….. (x n ) - aibė, sudaryta iš n-ųjų MOE taškų koordinačių. Kad aibė E(M) būtų apribota, būtina ir pakanka, kad aibės (x 1 ),..., (x n ) būtų apribotos vienu metu. Įrodymas. Būtinybė. Tegul E(M) yra ribotas. Todėl yra skaičius R>0, kad d(M,O) 0£êx 1 ê£ O tai reiškia, kad aibės (x 1 ),..., (x n) yra ribotos. Tinkamumas. Tegu aibės (x 1 ),..., (x n ) yra apribotos. Todėl $С>0: êx 1 ê y., d(M,O) Apibrėžimas. Rinkinys vadinamas atviras, jei kiekvienas šios rinkinio taškas yra įtrauktas į jį kartu su jo kaimynyste. Atvirų rinkinių savybės. 1) aibės R n ir Æ yra atviros. 2) Bet kurios atvirųjų aibių sistemos sąjunga yra atvira (show). 3) Atvirųjų aibių baigtinės sistemos sankirta yra atvira (parodyti). Taškas M 0 ÎE vadinamas kondensacijos taškas aibė EÌR n, jei kiekviename jos rajone yra bent vienas aibės E taškas, kuris skiriasi nuo M 0 . Apibrėžimas. Aibė FÌR n vadinama uždaryta, jei jo papildinys R n yra atviras (tai yra, jei R n \F yra atviras). Atvirosios aibės jai nepriklausantys kondensacijos taškai vadinami pasienio punktusšios daugybės. Forma pasienio taškai siena minios. Atviroji aibė su savo riba vadinama uždaryta. Planuoti 1. Vektorinė erdvė . Metrikos samprata. Metrinės savybės Tebūnie. Erdvės elementai yra vektoriai, kur. Erdvėje įvestos dvi operacijos: vektorių pridėjimas ir vektoriaus dauginimas iš skaliro, kurių savybės aptariamos algebros ir geometrijos eigoje. Apibrėžkime vektoriaus normą kaip funkciją: Vektoriaus normos funkcija atitinka šias savybes: 1 apibrėžimas. Atstumas erdvėje
tarp vektorių vadinamas Atstumo savybės: 1. i jei ir tik tada; 2 apibrėžimas. Tebūnie. Atviras spindulio rutulys, kurio centras yra taškas (žymimas), yra tokių taškų rinkinys, kad Pavyzdys. - tai yra intervalas (1 pav.). Pavyzdys. (2 pav.). 3 apibrėžimas. Tebūnie. Uždaras spindulio rutulys, kurio centras yra taške (žymimas), yra tokių taškų rinkinys, kad 4 apibrėžimas. Taškas vadinamas šio rinkinio vidiniu tašku, jei yra atviras rutulys, kuris visiškai yra rinkinyje. 5 apibrėžimas. Aibė vadinama atvira aibe, jei kiekvienas jos taškas yra vidinis taškas. Pavyzdys. Tuščias rinkinys ir rinkinys yra atviri rinkiniai. Pavyzdys. Įrodykite, kad tai atviroji aibė (3 pav.). Paimkim. Tai reiškia, kad. Pažymėkime Apsvarstykite atvirą kamuolį. Įrodykime tai. Norėdami tai padaryti, parodykime, kas tuo pačiu metu priklauso: Taigi, ir tai reiškia, kad. 6 apibrėžimas. Atviras gretasienis yra taškų, kuriems galioja šios nelygybės, rinkinys: Pratimai.
Parodykite, kad atviras gretasienis yra atvira aibė. 1 teorema. Bet kurio baigtinio skaičiaus atvirųjų aibių sankirta yra atviroji aibė. Įrodymas. Leiskite būti atviri rinkiniai, . Parodykime, kad tai atviras rinkinys. Norėdami tai padaryti, paimkime ir parodykime, kad šis taškas yra vidinis: Kadangi kiekvienas rinkinys yra atviras, yra ir atviras kamuolys. Pažymėkime Tada Taigi, yra vidinis šiam rinkiniui, o pats rinkinys yra atviras. komentuoti. Begalinio skaičiaus atvirųjų aibių sankirta negali būti atvira aibė. Pavyzdys. Panagrinėkime begalinę jiems skirtų atvirų rinkinių kolekciją. Aibė, kurioje yra vienas taškas, nėra atidaryta. 2 teorema. Bet kokio atvirųjų aibių skaičiaus sąjunga yra atviroji aibė. Įrodymas. Tegul yra tam tikras indeksų rinkinys. Tegul rinkinys yra atviras. Pasvarstykime. Parodykime, kad jis atidarytas. Norėdami tai padaryti, paimkime ir parodykime, kad šis taškas yra vidinis: Kadangi yra atviras rinkinys, tai reiškia, kad tai yra atvira aibė.
=R (2)