Serija sudėtingoje srityje. L.21

Dydis: px

Pradėkite rodyti iš puslapio:

Nuorašas

1 8 Kompleksinių skaičių eilutė Apsvarstykite skaičių eilutę su kompleksiniais skaičiais, kurių forma k a, (46), kur (a k) yra duota skaičių seka su kompleksiniais terminais k Serija (46) vadinama konvergentine, jei jos dalinių sumų seka (S) S a k k Šiuo atveju sekos (S) riba S vadinama eilučių suma (46) Eilutė a k vadinama eilutės likusia dalimi (46) Konvergentinei k eilutei S S r ir lm r, tie ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, N, N: a< ε p k k Необходимым условием сходимости ряда (46) является требование lm a Действительно, из сходимости ряда (46) следует, согласно критерию Коши, что ε >, N > kad p atveju išplaukia, kad S S< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 Funkcinės eilutės ir jų savybės Vienodos konvergencijos Weierstrasso teorema Tegul kompleksinės plokštumos Z srityje G apibrėžiama begalinė vienareikšmių funkcijų seka ((Z)). U U (48) formos išraiška bus vadinama a. Funkcinė serija (48) yra konvergentiška srityje G, jei jos atitinkama skaičių serija konverguoja G regione, tai šioje srityje galima apibrėžti vienareikšmę funkciją. kurios reikšmė kiekviename srities G taške yra lygi atitinkamos skaičių serijos (48) sumai srityje G. Tada G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : vykdomas nedelsiant srityje G k U k< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 a U, G, (49), tada serija (48) konverguoja tolygiai N Iš tiesų, kadangi eilutė a konverguoja, tada > Pagal (49) nelygybė ε, > k k N galioja G, kad a< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) непрерывных функций U сходится равномерно в области G к функции, то интеграл от этой функции по любой кусочногладкой кривой, целиком лежащей в области G, можно вычислить путем почленного интегрирования ряда (48), те Теорема 7 Если члены d U d U сходящегося в области G ряда U имеют непрерывные производные в этой области и ряд U равномерно сходится в G, то данный ряд U можно почленно дифференцировать в области G, причем U U, где U - сумма ряда

4 Funkcinėms serijoms sudėtingoje analizėje yra Weierstrasso teorema, kuri leidžia žymiai sustiprinti funkcinės serijos termino diferencijavimo galimybę, žinomą iš tikrosios analizės kad eilutė U, tolygiai susiliejanti išilgai tiesės l, išliks tolygiai konverguojanti ir padauginus visus jos narius iš funkcijos ϕ, apribotos iki l< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >N:r< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 taip pat tolygiai konverguoja į jo sumą () () () () (), nes funkcija (5) apsiriboja, nes šio apskritimo taškams ρ yra apskritimo spindulys (atminkite: - čia yra konstanta) Tada , pagal tai, kas išdėstyta aukščiau, serija (5) gali būti integruojama po terminą: () d () d () d d π π π π Dėl funkcijų analitiškumo galime joms taikyti Koši formulę, remiantis iš kurių gauname () d π, (5) ir (5) dešinėje esančių eilučių suma yra ir todėl gauname lygybę π () d Bet funkcija, bus tolygiai konvergentės suma analitinių, taigi ir tęstinių G funkcijų serija. Tai reiškia, kad dešinėje esantis integralas yra Koši tipo integralas, todėl jis reiškia funkciją, kuri yra viduje analitinė ir ypač taške Tk – bet kuriame taške sritis G, tada įrodoma pirmoji teoremos dalis. Norint įrodyti tam tikros serijos terminų diferencijavimo galimybę, reikia padauginti eilutę (5) iš jos apribotos skaičiavimo funkcijos ir pakartoti Galima įrodyti, kad analitinių funkcijų serija gali būti diferencijuojama be galo daug kartų, tuo tarpu mes nustatome, kad eilutė konverguoja tolygiai, o jos suma lygi (k) (k)

6 formos eilutės, kur Abelio teorema. Labai svarbus bendrųjų funkcinių eilučių atvejis yra laipsnio eilutės (), (53) - kai kurie kompleksiniai skaičiai ir - fiksuotas kompleksinės plokštumos taškas. yra analitinės funkcijos visoje plokštumoje, todėl šios serijos savybėms tirti galima taikyti bendrąsias ankstesnių pastraipų teoremas, kaip buvo nustatyta jose, norint nustatyti konvergencijos sritį laipsnių eilutės (53), ši teorema pasirodo esanti esminė 9 teorema (Abelis) Jei laipsnių eilutė (53) konverguoja tam tikru momentu, tada ji suartėja absoliučiai bet kuriame taške, kuris tenkina sąlygą, ir apskritime.< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, kad M, q< В силу необходимого признака его члены стремятся к нулю при, отсюда () M M q M, Тогда, где q < (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим единицы Из теоремы Абеля можно вывести ряд следствий, в известной мере аналогичным следствиям из теоремы Абеля в теории степенных рядов вещественного анализа Если степенной ряд (53) расходится в некоторой точке, то он расходится и во всех точках, удовлетворяющих неравенству >Tiksli viršutinė atstumų nuo taško iki taško, kuriame seka (53) susilieja, riba vadinama laipsnių eilučių konvergencijos spinduliu ir sritimi.<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 Pasirinkite savavališką tašką apskritimo ρ ρ viduje< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 Įveskime žymėjimą () d () ρ π () d () π ρ () ir perrašykime (59) laipsnių eilučių, konverguojančių pasirinktame taške, forma: (59) (6) () (6) ) (6) formulėje kaimynystė ρ gali būti pakeista Koši teorema bet kokiu uždaru kontūru, esančiu regione< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11, kur taip pat būtų vienas koeficientas<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 Pavyzdys<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14, tada taškas () (), (64) vadinamas funkcijos If nuliu, tada nulis vadinamas paprastu, arba dauginimu. Iš Teiloro eilės koeficientų formulių matome, kad jei taškas yra eilės nulis, tada kur () () Išplėtimas (64) gali būti perrašytas į formą, bet () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ ir šios eilutės konvergencijos ratas akivaizdžiai yra toks pat kaip eilutės (64) Tai taip pat teisingas atvirkštinis teiginys, kur kiekviena formos funkcija yra sveikas skaičius, ϕ () ir nulinės eilės 5 pavyzdys Taškai ± () ϕ, ϕ yra analitinis taške, šiame taške turi aukščiausios eilės funkciją, tk () () e (4) ϕ 3 4 e yra nuliai, ir (±) 6 pavyzdys Raskite funkcijos 8 s nulio eilę Išplėskite vardiklį laipsniais: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 55! ϕ

15 5 ϕ, kur ϕ, o ϕ ir funkcijos taškas 3!, taigi taškas 5! ϕ yra analitinė ir yra 5-osios eilės nulis originaliai Laurent'o serijai ir jos konvergencijos sričiai. Analitinės funkcijos išplėtimas į Laurent'o eilutę Apsvarstykite () formos seką, kur yra fiksuotas kompleksinės plokštumos taškas, (65) ) yra kai kurie kompleksiniai skaičiai Serija (65) vadinama Laurento seka. Norėdami tai padaryti, pateikiame (65) forma () () (66) () Akivaizdu, kad sritis eilutės (66) konvergencija yra bendroji kiekvieno iš dėmenų konvergencijos sričių dalis dešinėje (66) eilutės konvergencijos sritis () yra apskritimas, kurio centras yra tam tikrame taške. spindulys, o ypač, jis gali būti lygus nuliui arba begalybei.< (67)

16 Norėdami nustatyti kintamųjų serijos konvergencijos sritį, įvesdami () () Tada ši eilutė bus pakeitimo forma - įprasta laipsnių eilutė, konverguojanti savo konvergencijos rato viduje į kokią nors komplekso analitinę funkciją ϕ (). kintamasis Tegul gaunamų laipsnių eilučių konvergencijos spindulys yra r Tada ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >r Iš to seka, kad eilutės konvergencijos sritis yra sritis, esanti už apskritimo r, gauname (69) () yra Taigi, kiekviena laipsnių eilutė dešinėje (66) pusėje suartėja savo konvergencijos srityje atitinkama analitinė funkcija Jei r<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 Jei r >, tai eilutės (67) ir (68) neturi bendros konvergencijos srities, taigi šiuo atveju (65) eilutė niekur nekonverguoja į jokią funkciją. 7), ir 7 pavyzdys Išskleisti – pagrindinė eilutės dalis (65) () a)< < ; б) >; V)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 Šiam išplėtimui trūksta įprastos dalies< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 Atlikime terminą integraciją į (7), kuri įmanoma dėl tolygios eilučių konvergencijos in, gauname d π, (7) kur d π, (73) Kadangi nelygybė negalioja , tada, panašiai kaip ir ankstesniame, turime Tada, integravus šias eilutes į (7) terminą, turėsime π π d d, (d), (74), kur d π (75) ) Keičiant integravimo kryptį į (75), gauname

20 π () () d ()() d π, > (76) Dėl (73) ir (76) integrandų analitiškumo apskritame žiede< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 8 pavyzdys Išplėskite Laurent seriją (turinčius laipsnius) Y šalia taško ()() Δ Šiuo atveju sukonstruosime du apskritus žiedus, kurių centras yra taške (4 pav.): a) a ratas "be centro"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >Kiekviename iš šių žiedų jis yra analitinis, o ribose jis turi atskirus taškus. Išplėskime funkciją kiekvienoje iš šių sričių.< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) Čia turime 3, () () () () () yra konvergentinė eilutė, nes<

22 s Dėl to ()() () () tie, 3, 3 9 pavyzdys Išplėskite funkciją Δ Laurento serijoje taško kaimynystėje Turime:, s s s cos cos s s! cos 4 () () 3 4! 3! () 5! () (s cos)!! 5

Tema Kompleksinių skaičių serija Apsvarstykite skaičių seką k ak su kompleksiniais skaičiais formos A eilutė vadinama konvergentine, jei jos dalinių sumų seka S a k k konverguoja. Be to, sekos riba S

Tema Funkcinių kompleksų serija Apibrėžimas. Jei k, N, N U k G konverguoja srityje G iš karto, tai serija vadinama vienoda Pakankamas tolygios eilučių konvergencijos ženklas

PASKAITA N37. Analitinių funkcijų serija. Analitinės funkcijos išplėtimas į laipsnių eilutę. Taylor serija. Laurent serija.. Analitinės funkcijos išplėtimas į laipsnio eilutę..... Taylor serija.... 3. Analitinės funkcijos išplėtimas

Modulio tema Funkcinės sekos ir serijos Sekų ir eilučių tolygios konvergencijos savybės Galios serija Paskaita Funkcinių sekų ir eilučių apibrėžimai Vienodai

7 paskaita Taylor ir Laurent serija 7. Taylor serija Šioje dalyje pamatysime, kad laipsnių eilutės ir analitinės funkcijos sąvokos apibrėžia tą patį objektą: bet kurią laipsnio eilutę su teigiamu konvergencijos spinduliu

Matematinė analizė Skyrius: Sudėtingo kintamojo funkcijų teorija Tema: Serija kompleksinėje plokštumoje Lektorius O.V 217 9. Eilutės kompleksinėje plokštumoje 1. Skaitinė eilutė Tebūnie pateikta seka

5 Laipsnių eilutė 5 Laipsnių eilutė: apibrėžimas, konvergencijos sritis Funkcinės eilutės formos (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) kur, a, a, K, a ,k kai kurie skaičiai vadinami laipsnio serijomis Skaičiai

Federalinė švietimo agentūra Maskvos valstybinis geodezijos ir kartografijos universitetas (MIIGAIK) METODINIAI NURODYMAI IR SAVARANKIŠKAMS DARBO UŽDUOTYS kurse AUKŠTĖJI MATEMATIKA Skaitmeninė

Funkcinė eilutė 7-8 paskaitos 1 Konvergencijos sritis 1 u () u () u () u (), 1 2 u () formos eilutė, kurioje funkcijos apibrėžtos tam tikru intervalu, vadinama funkcine seka . Visų taškų rinkinys

PASKAITA N38. Analitinės funkcijos elgsena begalybėje. Ypatingi taškai. Funkcijos liekanos..taško kaimynystė begalybėje.....Laurent'o plėtra taško begalybėje kaimynystėje.... 3.Elgsena

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA Nacionalinis mokslinių tyrimų Nižnij Novgorodo valstybinis universitetas pavadintas NI Lobačevskio vardu NP Semerikova AA Dubkov AA Charcheva ANALITINIŲ FUNKCIJŲ RANGA

Baltarusijos Respublikos švietimo ministerija Vitebsko valstybinis technologijos universitetas Tema. „Eilutės“ Teorinės ir taikomosios matematikos katedra. sukūrė doc. E.B. Dunina. Pagrindinis

V.V. Žukas, A.M. Kamachkin 1 Power serija. Konvergencijos spindulys ir konvergencijos intervalas. Konvergencijos pobūdis. Integracija ir diferenciacija. 1.1 Konvergencijos spindulys ir konvergencijos intervalas. Funkcinis diapazonas

Tema Laurent serija ir jos konvergencijos regionas. Apsvarstykite n C n n C n n n n C n n formos eilutę, kur yra fiksuotas kompleksinės plokštumos taškas ir kai kurie kompleksiniai skaičiai. C n Ši serija vadinama Laurent serija.

N PASKAITA 7. Galios eilės ir Teiloro eilės.. Galios eilės..... Teiloro serijos.... 4. Kai kurių elementarių funkcijų išplėtimas į Teiloro ir Maklaurino eilutes.... 5 4. Galios eilių taikymas... 7 .Galia

Matematinė analizė Skyrius: Skaitmeninės ir funkcinės eilutės Tema: Galios eilutės. Funkcijos išplėtimas į galių seriją Lektorius Rožkova S.V. 3 34. Laipsnių eilė Laipsnių eilutė yra laipsnių eilutė

4 Analitinių funkcijų serija 4. Funkcinės sekos Tegu Ω C ir f n: Ω C. Funkcijų seka (f n ) taškiškai konverguoja į funkciją f: Ω C, jei kiekvienai z Ω lim n f n(z) = f(z).

Funkcinė eilutė Funkcinė serija, jos suma ir funkcinės o sritis Tegul realiųjų arba kompleksinių skaičių srityje Δ yra pateikta funkcijų seka (k 1 Funkcinė serija vadinama

Paskaitas parengė docentė Musina MV Apibrėžtis Formos išraiška Skaitinė ir funkcinė eilutė Skaičių eilutė: pagrindinės sąvokos (), kur vadinama skaičių eilėmis (arba tiesiog eilėmis) Skaičiai, serijos nariai (priklauso

Skaičių serija Skaičių seka Def Skaičių seka yra skaitinė funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje x – bendrasis sekos x =, x =, x =, x = narys,

Skyrius Laipsnių eilutė a a a Formos a a a a () eilutė vadinama laipsnių eilute, kur, a, yra konstantos, vadinamos eilučių koeficientais. Kartais nagrinėjama bendresnės formos laipsnių eilutė: a a(a) a(a). a(a)(), kur

8 paskaita Serija ir vienaskaitos taškai. Laurent serija. Izoliuoti vienaskaitos taškai. 6. Serija ir vienaskaitos taškai 6.7. Laurent serijos teorema (P. Laurent): Jei funkcija f() yra analitinė žiede r< a < R r R то она может быть разложена

Federalinė švietimo agentūra Federalinė valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga PIETŲ FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya metodinė

9 tema Laipsnių eilutė Laipsnių eilutė yra funkcinė eilutė, kurios formos skaičiai... yra serijos koeficientai, o eilutės plėtimosi taškas.,...,... R... vadinamas centras Galios serija Bendrasis laipsnio sekos terminas

4 Funkcijų serija 4 Pagrindiniai apibrėžimai Tegul begalinė funkcijų seka su bendra apibrėžimo sritis X u), u (), K, u (),K (APRAŠYMAS Išraiška u) + u () + K + u () +

3 paskaita Taylor ir Maclaurin serija Galios eilučių taikymas Funkcijų išplėtimas į galios eilutes Taylor ir Maclaurin serijos Taikomoms programoms svarbu turėti galimybę išplėsti nurodytą funkciją į galios eilutę, tos funkcijos

6 paskaita Funkcijos išplėtimas į laipsnių eilutę. Taylor ir Maclaurin eilučių plėtimo unikalumas Kai kurių elementariųjų funkcijų išplėtimas į laipsnių eilutę Laipsnių eilučių taikymas Ankstesnėse paskaitose

Metalurgijos fakultetas Aukštosios matematikos katedra RANKS Metodiniai nurodymai Novokuzneckas 5 Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga

Laurent'o serija Bendresnio tipo laipsnių eilės yra eilutės, turinčios ir teigiamų, ir neigiamų laipsnių z z 0. Kaip ir Teiloro eilutės, jos vaidina svarbų vaidmenį analitinių funkcijų teorijoje.

Serija Skaičių serija Bendrosios sąvokos Apibrėžimas Jei kiekvienas natūralusis skaičius yra susietas su tam tikru skaičiumi pagal tam tikrą dėsnį, tai sunumeruotų skaičių aibė vadinama skaičių seka,

S A Lavrenchenko wwwlwrecekoru paskaita Funkcinės serijos Funkcinės serijos samprata Anksčiau nagrinėjome skaičių eilutes, tai yra, serijos nariai buvo skaičiai Dabar pereiname prie funkcinių eilučių tyrimo, t.y.

Tema Laurent serija ir jos konvergencijos regionas. Serija, kurios formos C (z z) n = C (z z) n + n n n= n= z plokštumos, fiksuoto komplekso C n taško, vadinama Laurento seka. C n (z z) n= – kažkoks kompleksas

Paskaita. Funkcinė serija. Funkcinės serijos apibrėžimas Serija, kurios nariai yra x funkcijos, vadinama funkcine: u = u (x) + u + K+ u + K = Suteikę x tam tikrą reikšmę x, mes

SERIJŲ TEORIJA Serijų teorija yra svarbiausias matematinės analizės komponentas ir randa tiek teorinio, tiek daug praktinio pritaikymo. Yra skaitmeninės ir funkcinės serijos.

Konvergencijos spindulio apibrėžimas. Laipsnių eilutė yra c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () formos funkcinė eilutė, kur c 0, c, c 2,.. ., c, ... C vadinami galios koeficientais

MASKAVOS VALSTYBINIS CIVILINĖS AVIACIJOS TECHNINIS UNIVERSITETAS V.M. Liubimovas, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinovo MATEMATIKOS VADOVAS, skirtas disciplinos studijoms ir testo užduotims

82 4. 4 skyrius. Funkcinės ir galios serijos 4.2. 3 pamoka 4.2. 3 pamoka 4.2.. Funkcijos išplėtimas į Teiloro eilutę APIBRĖŽIMAS 4.2.. Tegul funkcija y = f(x) yra be galo diferencijuota kurioje nors kaimynystėje

Paskaita. Galios serija. Harmoninė analizė; serija ir Furjė transformacija. Ortogonalumo savybė.8. Bendroji funkcinė serija 8.. Funkcijų išvengimas Serija U + U + U vadinama funkcine, jei ji

Starkovas V.N. Medžiaga orientacinei paskaitai 9 klausimas. Analitinių funkcijų išplėtimas į laipsnių eilutes Apibrėžimas. Formos funkcinė eilutė ((... (..., kur kompleksinės konstantos (eilės koeficientai

Sgups Aukštosios matematikos katedra Standartinių skaičiavimų atlikimo metodinės instrukcijos “Serija” Novosibirskas 006 Šiek tiek teorinės informacijos Skaičių serija Tegu u ; u ; u ; ; u ; yra begalinis skaičius

E okupacija. Taylor serija. Galios eilučių sumavimas Mat. analizė, aplik. matematika, 3 semestras Raskite funkcijos išplėtimą į laipsnių eilutę laipsniais, apskaičiuokite laipsnių eilutės konvergencijos spindulį: A f()

Skyrius Serija Formalus tam tikros skaičių sekos terminų sumos žymėjimas Skaičių serijos vadinamos skaičių serijomis Sumos S vadinamos dalinėmis serijos sumomis Jei yra riba lim S, S, tai serija

Praktinė pamoka 8 Likučiai 8 Likučių apibrėžimas 8 Likučių apskaičiavimas 8 Logaritminė liekana 8 Likučių apibrėžimas Tegul funkcijos izoliuotas vienaskaitos taškas izoliuotoje vienaskaitoje Likučių analizė

~ ~ PKP Sudėtingo kintamojo funkcijos išvestinė PKP Cauchy-Rieman sąlygos dėsningumo samprata PKP Kompleksinio skaičiaus vaizdas ir forma PKP tipas: kur realioji dviejų kintamųjų funkcija yra reali

METODINIAI NURODYMAI AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS KURSŲ SKAIČIAVIMO UŽDUOTIMS „PAprastųjų DIFERENCINIŲ LYGČIŲ SERIJOS DVIGUBAI INTEGRALIAI“ DALIS TEMA SERIJOS Turinys Serija Skaičių eilutė Konvergencija ir divergencija

Federalinė švietimo agentūra Archangelsko valstybinis technikos universitetas Statybos fakultetas RANKS Savarankiško darbo užduočių atlikimo gairės Archangelskas

KOMPLEKSINIO KINTAMOJO OPERACIJOS SKAIČIAVIMO FUNKCIJŲ TEORIJOS ELEMENTAI Studijuodamas šią temą studentas turi išmokti: rasti kompleksinio skaičiaus trigonometrines ir eksponentinę formas pagal

Matematinė analizė 3 dalis. Skaitinės ir funkcinės eilutės. Keli integralai. Lauko teorija. vadovėlis N.D.Vysk MATI-RGTU im. K.E. Ciolkovskis Aukštosios matematikos katedra MATEMATINĖ ANALIZĖ

3 paskaita. Išskaičiavimai. Pagrindinė teorema apie liekanas Funkcijos f() liekana izoliuotame vienaskaitos taške a yra kompleksinis skaičius, lygus integralo f() 2 reikšmei, paimtam teigiama kryptimi i išilgai apskritimo

Skaičių ir galių serijos pamoka. Skaičių serija. Serialo suma. Konvergencijos ženklai.. Apskaičiuokite eilučių sumą. 6 Sprendimas. Begalinės geometrinės progresijos q narių suma yra lygi, kur q yra progresijos vardiklis.

S A Lavrenchenko wwwlawreceoru Paskaita Funkcijų vaizdavimas pagal Taylor serijas Viena naudinga riba Paskutinėje paskaitoje buvo sukurta tokia strategija: pagal pakankamą funkcijų serijos atvaizdavimo sąlygą

M. V. Deikalova VISUOMENĖ ANALIZĖ Egzamino klausimai (MX-21, 215 grupė) Pirmojo koliokviumo klausimai 1 1. Kompleksinio kintamojo funkcijos taške diferencijavimas. Cauchy-Rieman (D'Alembert-Euler) sąlygos.

Parinktis Užduotis Apskaičiuokite funkcijos reikšmę, pateikite atsakymą algebrine forma: a sh ; b l Sprendimas a Panaudokime trigonometrinio sinuso ir hiperbolinio sinuso ryšio formulę: ; sh -s Gauk

Paskaita Skaičių serija Konvergencijos ženklai Skaičių eilutės Konvergencijos ženklai Begalinė skaičių sekos + + + + išraiška, sudaryta iš begalinės vieneto terminų, vadinama skaičių serija Skaičiai,

4. Funkcinė eilutė, konvergencijos sritis Funkcinės eilutės () konvergencijos sritis yra argumentų reikšmių rinkinys, kuriam ši eilutė suartėja. Funkcija (2) vadinama daline serijos suma;

3 paskaita Skaliarinės lygties sprendinio egzistavimo ir unikalumo teorema Uždavinio teiginys Pagrindinis rezultatas Nagrinėkime Koši uždavinį d f () d =, () = F (,) funkcija pateikta plokštumos G srityje ( ,

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA KAZANĖS VALSTYBINĖS ARCHITEKTŪROS IR STATYBOS UNIVERSITETAS Aukštosios matematikos katedra SKAIČIŲ IR FUNKCINĖ SERIJA Gairės

(funkcinės eilutės konvergencijos laipsnių eilučių sritis konvergencijos intervalo radimo tvarka - konvergencijos intervalo pavyzdinis spindulys) Tegul pateikiama begalinė funkcijų seka, Funkcinė

S A Lavrenchenko wwwlawrecekoru Paskaita Funkcijų vaizdavimas laipsnių eilėmis Įvadas Funkcijų vaizdavimas laipsnių eilėmis naudingas sprendžiant šias problemas: - funkcijų integravimas

E okupacija. Galios serija. Taylor serija matematika. analizė, aplik. matematika, 3 semestras Raskite laipsnių eilučių konvergencijos spindulį d'Alemberto kriterijumi: (89 () n n (n!)) p (n +)! n = Taylor serija f(x)

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJOS FEDERALINĖS VALSTYBĖS BIUDŽETO AUKŠTOJO PROFESINIO MOKSLO MOKYMO ĮSTAIGA „SAMAROS VALSTYBINIO AEROSSMINIO UNIVERSITETAS“

REZULTATAI. Skaičių serija. Pagrindiniai apibrėžimai Tebūna pateikta begalinė skaičių seka Išraiška (begalinė suma) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i=. skaičių serija. Skaičiai

KAZANĖS VALSTYBINIS UNIVERSITETAS Matematinės statistikos katedra SKAIČIŲ SERIJA Mokomasis ir metodinis vadovas KAZAN 008 Paskelbtas Kazanės universiteto Mokslo ir metodinės tarybos sekcijos sprendimu

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija VA Volkov INTEGRAL FOURIER SERIJA Mokomasis elektroninis tekstinis leidinys Specialybių studentams 4865 Elektronika ir fizinių įrenginių automatika;

џ. Skaičių serijos samprata. Tegu pateikta skaičių seka a, a 2,..., a,... Skaičių seka yra išraiška a = a + a 2 +... + a +... (.) Skaičiai a, a 2,.. ., a,... vadinami serijos nariais, a

Metodologinis tobulinimas TFKP uždavinių sprendimas Kompleksiniai skaičiai Operacijos su kompleksiniais skaičiais Kompleksinė plokštuma Kompleksinis skaičius gali būti pavaizduotas algebriniu ir trigonometriniu eksponentu

Siberian Mathematical Journal, 2005 m. liepos mėn., rugpjūtis. 46 tomas, 4 UDC 517.53 INTERPOLIACIJOS TRUKMŲ KONVERGENCIJOS SĄLYGOS MAZGUOSE, ATSKIRTAMS NUO VIENŲ FUNKCIJOS TAŠKŲ A. G. Lipchinsky Santrauka: Nagrinėjama

MASKAVOS AUTOMOBILIŲ IR VALSTYBINĖS KELIŲ TECHNIKOS UNIVERSITETAS (MADI) AA ZLENKO, SA IZOTOVA, LA MALYSHEVA RANKO METODINIUS INSTRUKCIJUS savarankiškam darbui matematikoje MASCOW AUTOMOBILE AND ROAD TECHNICAL UNIVERSITETAS

Nuorašas

1 Federalinė švietimo agentūra Tomsko valstybinis architektūros ir civilinės inžinerijos universitetas EILĖS SU KOMPLEKSINIAIS NARIAIS Savarankiško darbo gairės Sudarė LI Lesnyak, VA Starenchenko Tomsk

2 eilutės su kompleksiniais nariais: metodinės instrukcijos / Sudarė LI Lesnyak, VA Starenchenko - Tomskas: Tomsko valstybinio architektūros ir statybos universiteto leidykla, su recenzentu profesoriumi NN Belovu redaktoriumi EY Glotova Metodinės instrukcijos skirtos visų pirmakursių savarankiškam mokymuisi. specialybių temos „Serija su kompleksiniais nariais“ JNF disciplinos „Matematika“ Paskelbta Aukštosios matematikos katedros metodinio seminaro sprendimu, kovo 4 d. protokolu Patvirtinta ir įsigaliojo akademinių reikalų prorektorius V. V. Dzyubo. nuo 5 iki 55 Originalų maketą parengė autorius Pasirašyta spaudai Formatas 6 84/6 Ofsetinis popierius Šriftas Laikai Mokomasis leidinys l, 6 Tiražas 4 Užsakymas Leidykla TGASU, 64, Tomskas, Solyanaya kv., Spausdinta pagal originalų maketą m. OOP TGASU 64, Tomskas, Partizanskaya g., 5

3 SERIJOS SU KOMPLEKSINIAIS TERMINAIS TEMA Skaičių serijos su kompleksiniais terminais Prisiminkite, kad kompleksiniai skaičiai yra z = x y formos skaičiai, kur x ir y yra realieji skaičiai, o įsivaizduojamas vienetas, apibrėžtas lygybe = - Skaičiai x ir y vadinami tikrosios ir įsivaizduojamos skaičiaus z dalys atitinkamai ir žymi x = Rez, y = Imz Akivaizdu, kad tarp XOU plokštumos taškų M(x, y) su Dekarto stačiakampių koordinačių sistema ir kompleksinių skaičių formos z = x y, yra vienas su vienu atitikimas XOU plokštuma vadinama kompleksine plokštuma, o z vadinamas šios plokštumos tašku Realieji skaičiai atitinka abscisių ašį, vadinamą realiąja ašimi, o z = y formos skaičiai atitinka. į ordinačių ašį, kuri vadinama įsivaizduojama ašimi. forma: z = r (cosj sj), kur r = x y Ši kompleksinio skaičiaus rašymo forma vadinama trigonometrine, z rašymas forma z = x y vadinama algebrine rašymo forma Skaičius r vadinamas skaičiaus moduliu z, skaičius j yra argumentas (taške z = argumento sąvoka neišplečiama) Skaičiaus z modulis vienareikšmiškai nustatomas pagal formulę z = x y Argumentas j vienareikšmiškai nustatomas tik esant papildomai sąlygai - π< j π (или j < π), обозначается в этом случае arq z и называется главным значением аргумента

4 skaičiai z (pav.) Reikėtų atsiminti, kad y arq z - π išreiškiamas per< arctg y x < π y arctg, при x r = z = x y М (x, y) j = arq z Рис x Если считать, что - π < arg z π, то y arg z = arctg, если х >,y; x y arg z = -arctg, jei x >, y< ; х у arg z = -π arctg, если х <, y < ; х у arg z = π - arctg, если х <, y ; х π arg z =, если х =, y >; π arg z = -, jei x =, y< Например, если z = - (х <, y >), 4

5 π arg z = π - arctg = π - = π ; z = = (pav.) М y r = j = p x pav. Trigonometrinėje formoje skaičius z = - bus rašomas tokia forma: - = сos π s π и Rekomenduojama operacijas su kompleksiniais skaičiais kartoti patiems prisiminkime formulę, kaip skaičių z pakelti į laipsnį: z = ( x y) = r (cosj s j) 5

6 6 Pagrindiniai teorijos klausimai Trumpi atsakymai Eilučių su kompleksiniais terminais apibrėžimas Eilutės konvergencijos samprata Būtinoji konvergencijos sąlyga Apibrėžimas Tegul kompleksinių skaičių seka z ) = ( x y ) = z, z, z, A. formos simbolis ( å = z vadinamas eilute, z – bendrasis serijos terminas Eilutės S dalinių sumų sąvokos, jos konvergencija ir divergencija visiškai atitinka panašias sąvokas eilėms su realiaisiais dėmenimis. Dalinės seka eilučių sumos turi tokią formą: S = z z z , jei $lm S ir ši riba yra baigtinė ir lygi skaičiui S ; serijos, kitaip serija vadinama divergentine Prisiminkite, kad mūsų naudotas kompleksinių skaičių ribos apibrėžimas formaliai nesiskiria nuo realiųjų skaičių sekos ribos apibrėžimo: def (lm S. = S) = (" ε > $ N > : > N Þ S - S< ε) Как и в случае рядов с действительными членами, необходимым условием сходимости ряда å = z является стремление к

7 eilutės bendrojo termino z nulis Tai reiškia, kad jei ši sąlyga pažeidžiama, tai yra, jei lm z ¹, serija skiriasi, bet jei lm z =, eilutės konvergencijos klausimas lieka atviras galima tirti eilutes å (x = konvergencijai tiriant x ir å = eilučių å = konvergenciją su realiaisiais dydžiais? y y) Taip, galioja tokia teorema: Teorema Eilėms å = y (x) suartėti, būtina ir pakanka, kad abi eilutės å = å = konverguotų y, o jei å x = S = kur å S = (x y) = å = x u, ir y = S, tai S =. S S, konverguoja – pavyzdys Įsitikinkite, kad serija å = è () xia, ir suraskite jos sumą 7

8 Sprendimas Eilutė å konverguoja, t k ~ = () () kai šios serijos suma S lygi (skyrius, tema, n) Eilutė å susilieja kaip be galo mažėjanti geometrinė = progresija, kai å = () и S b = - q = konverguoja, o jo suma Taigi, eilutė S = Pavyzdys Serija å skiriasi, t k skiriasi = è! harmoninė eilutė å Šiuo atveju patikrinkite eilutę å = konvergencijai! nėra prasmės Pavyzdys Eilutė å π tg skiriasi, nes = è eilutė å π tg pažeidžiama būtina konvergencijos sąlyga = π lm tg = p ¹ и 8

9 Kokias savybes turi konvergencinės eilutės su sudėtingais terminais? Savybės yra tokios pat, kaip ir konvergencinių eilučių su realiais terminais. Teorema (pakankama eilutės konvergencijos sąlyga) Jei eilutė å = z susilieja, tada eilutė å = z taip pat suartės. Eilučių å = z absoliučios konvergencijos samprata formaliai atrodo lygiai taip pat, kaip ir eilėms su realiomis terminai Apibrėžimas Eilutė å = z vadinama absoliučiai konvergentine, jei eilutė konverguoja å = z Pavyzdys Įrodykite absoliučią eilučių konvergenciją () () () 4 8 Sprendimas Naudokime skaičiaus rašymo trigonometrinę formą: 9.

10 π π = r (cosj s j) = cos и 4 4 Tada π π () = () cos s Þ и 4 4 () π π Þ = cos s Þ z = 4 4 и Belieka išnagrinėti eilutę å z konvergencijai = = Tai be galo mažėjanti geometrinė progresija su vardikliu; tokia progresija konverguoja, todėl eilutė absoliučiai suartėja Įrodant absoliučią konvergenciją, teorema å = y (x) absoliučiai suartėja, būtina ir pakanka, kad abi eilutės å = būtų. visiškai pavyzdinė serija å = (-) è cosπ ! x ir å = y absoliučiai konverguoja, t k absoliučiai konverguoja å (-), o eilutės å cosπ absoliuti konvergencija = lengvai įrodoma: =!

11 cosπ, o eilutė yra å!! =! konverguoja pagal d'Alemberto kriterijų Pagal palyginimo kriterijų eilutė å cosπ suartėja su Þ serija å =! absoliučiai suartėja cosπ =! Užduočių sprendimas Išnagrinėkite 4 eilutę konvergencijai: å ; å (-) = è l l = è! l å = π - cos и α tan π ; 4 å = и и ;! Sprendimas å = è l l Serija skiriasi, nes seka å diverga, o tai nesunkiai nustatoma palyginimo testu: >, o harmonika = l l serija å, kaip žinoma, išsiskiria su = šiuo atveju serija å remiantis integralu Cauchy testu = l konverguoja å (-) = è! l

12 Serija susilieja, taigi į å =! konverguoja remiantis d'Alemberto ribiniu testu, o eilutė å (-) konverguoja pagal teoremą = l Leibnizas å α π - π cos tg = и и Akivaizdu, kad eilutės elgsena priklausys nuo eksponento α Tegu eilutes rašome naudodami formulę β - cosβ = s: å α π π s tg = и At α< ряд будет расходиться, т к α π lm s ¹ Þ ряд å π s расходится, а это будет означать, что расходится и данный è = è ряд α π α π cost При α >s ~ = Serija α å и и 4 = susilies su sąlyga, kad α >, t. y. α > ir skirsis, jei α arba for suartės, nes π π tg ~ α Eilė å = α α π tg α

13 Taigi pradinė serija susilies ties ir skirsis ties α 4 å = и и! α > Eilutės å konvergencija tiriama naudojant = è Cauchy ribinį testą: lm = lm = > Þ è serija skiriasi Þ e è Þ skirsis ir pradinė 5 serija 5 serija 6 tiriama dėl absoliučios konvergencijos π cos ; 6 å (8) (-)! =! å = 5 sprendimas å = π cos()! å = - π cos absoliučiai konverguoja, taigi į (-)! konverguoja pagal palyginimo kriterijų: π cos, ir eilutę å (-)! (-)! = (-)! konverguoja pagal d'Alemberto testą

14 4 6 å =!) 8 (Į eilutę!) 8 (å = pritaikyk d'Alemberto ženklą:!) 8 (:)! () 8 (lm = 8 8 lm = 8 lm = = Þ< = lm ряд сходится Это означает, что данный ряд сходится абсолютно Банк задач для самостоятельной работы Ряды 6 исследовать на сходимость å = è ; å = è π s! 5 ; å = è π s! 5 ; 4 å = è è - l) (; 5 å = - è π tg e ; 6 å = è l Ответы:, 6 расходятся;, 4, 5 сходятся

15 5 Išnagrinėkite 7 eilutę absoliučiai konvergencijai 7 å = è - π s) (; 8! å = è ; 9 å = è - 5 π s) (; å = è -! 5) (Atsakymai: 7, 8 absoliučiai sutampa , 9 skiriasi, nesutampa absoliučiai

16 TEMA Galios eilutės su sudėtingais terminais Nagrinėjant skyrių „Funkcinės eilutės“, buvo išsamiai nagrinėjamos serijos, kurių terminai buvo tam tikros tikrojo kintamojo funkcijų sekos nariai. Patraukliausia (ypač taikymo prasme). buvo laipsnių eilutės, t. y. å = a (x-x) formos eilutės. Buvo įrodyta (Abelio teorema), kad kiekviena laipsnių eilutė turi konvergencijos intervalą (x - R, x R), kurio ribose suma S (x) serija yra ištisinė ir kad laipsnio eilutės konvergencijos intervale gali būti diferencijuojamos pagal terminą ir integruotos pagal terminą. Tai yra nuostabios laipsnio eilučių savybės, kurios atvėrė plačiausius jų pritaikymo galimybes eilutės ne su realiaisiais, o su kompleksiniais terminais 6 Pagrindiniai teorijos klausimai Trumpi atsakymai Laipsnių eilutės apibrėžimas Laipsnių eilutė yra å = a (z - z), () formos funkcinė eilutė, kur a ir z yra pateikti kompleksiniai skaičiai , o z yra sudėtingas kintamasis Ypatingu atveju, kai z =, laipsnių eilutė yra å = a z ()

17 Akivaizdu, kad eilutė () redukuojama į eilutę () įvedant naują kintamąjį W = z - z, todėl daugiausia nagrinėsime () formos eilutes. Abelio teorema Jei laipsnių eilutė () suartėja ties z = z ¹, tada jis suartėja ir, be to, absoliučiai bet kuriam z, kuriam z< z Заметим, что и формулировка, и доказательство теоремы Абеля для рассмотренных ранее степенных рядов å aх ничем = не отличается от приведенной теоремы, но геометрическая иллюстрация теоремы Абеля разная Ряд å = условия х a х при выполнении х < будет сходиться на интервале - х, х) (рис), y (а для ряда с комплексными членами условие z z < означает, что ряд будет сходиться внутри круга радиуса z (рис 4) x x x - x z z x Рис Рис 4 7

18 Abelio teorema turi išvadą, kuri teigia, kad jei eilutė å = a z skiriasi, kai * z = z, tada ji taip pat skirsis bet kokiam z, kuriai * z > z Ar yra spindulio samprata laipsnių eilėms () ir ( ) konvergencija? Taip, yra konvergencijos spindulys R, skaičius, kuris turi savybę, kad visiems z, kuriems z< R, ряд () сходится, а при всех z, для которых z >R, serija () skiriasi 4 Kokia yra eilučių () konvergencijos sritis? Jei R yra eilutės () konvergencijos spindulys, tada taškų z, kuriems z, aibė< R принадлежит кругу радиуса R, этот круг называют кругом сходимости ряда () Координаты точек М (х, у), соответствующих числам z = x y, попавшим в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству x < y R Очевидно, круг сходимости ряда å a (z - z) имеет центр = уже не в начале координат, а в точке М (х, у), соответствующей числу z Координаты точек М (х, у), попавших в круг сходимости, будут удовлетворять неравенству (x - х) (y - у < R) 8

19 5 Ar galima rasti konvergencijos spindulį a naudojant formules R = lm ir R = lm, a a, kuri įvyko laipsnių eilutėms su realiaisiais dydžiais? Įmanoma, jei šios ribos egzistuoja Jei paaiškės, kad R =, tai reikš, kad serija () konverguoja tik taške z = arba z = z serijai () Kai R = serija suartės visoje kompleksinė plokštuma Pavyzdys Raskite eilutės konvergencijos spindulį å z = a Sprendimas R = lm = lm = a Taigi, serija susilieja spindulio apskritimo viduje. Pavyzdys įdomus tuo, kad ant apskritimo x y ribos< есть точки, в которых ряд сходится, и есть точки, в которых расходится Например, при z = будем иметь гармонический ряд å, который расходится, а при = z = - будем иметь ряд å (-), который сходится по теореме = Лейбница Пример Найти область сходимости ряда å z =! Решение! R = lm = lm () = Þ ряд сходится ()! на всей комплексной плоскости 9

20 Prisiminkite, kad laipsnių eilutės å = a x konvergencijos intervale susilieja ne tik absoliučiai, bet ir tolygiai. bet kuriame uždarame rate z r su sąlyga, kad r< R, будет сходиться абсолютно и равномерно Сумма S (z) степенного ряда с комплексными членами внутри круга сходимости обладает теми же свойствами, что и сумма S (x) степенного ряда å a х внутри интервала сходимости Свойства, о которых идет речь, рекомендуется = повторить 6 Ряд Тейлора функции комплексного переменного При изучении вопроса о разложении в степенной ряд функции f (x) действительного переменного было доказано, что если функция f (x) на интервале сходимости степенного ряда å a х представима в виде å f (x) = a х, то этот степенной ряд является ее рядом Тейлора, т е коэффициенты вычис- = = () f () ляются по формуле a =! Аналогичное утверждение имеет место и для функции f (z): если f (z) представима в виде f (z) = a a z a z

21 apskritime, kurio spindulys R > eilutės konvergencija, tada ši eilutė yra funkcijos f (z) Teiloro eilutė, ty f () f () f å = () (z) = f () z z = z !!! Eilutės å = () f (z) a = koeficientai! f () a (z - z) apskaičiuojami pagal formulę Prisiminkite, kad išvestinės f (z) apibrėžimas formaliai pateikiamas lygiai taip pat, kaip ir tikrojo kintamojo funkcijai f (x), t.y. f (z) ) = lm def f (z D z) - f (z) D z Dz Funkcijos f (z) diferencijavimo taisyklės yra tokios pat kaip ir tikrojo kintamojo funkcijos diferencijavimo taisyklės 7 Kokiu atveju funkcija f (z) vadinamas analitiniu taške z? Analitinės funkcijos sąvoka taške z pateikiama pagal analogiją su funkcijos f (x), kuri yra tikroji analitinė taške x, samprata R > toks, kad apskritime z z< R эта функция представима степенным рядом, т е å = f (z) = a (z - z), z - z < R -

22 Dar kartą pabrėšime, kad funkcijos f (z) analitinis atvaizdavimas taške z laipsnių eilutės forma yra unikalus, o ši eilutė yra jos Teiloro eilutė, tai yra, eilučių koeficientai apskaičiuojami pagal formulė () f (z) a =! 8 Pagrindinės elementarios kompleksinio kintamojo funkcijos Realiojo kintamojo funkcijų laipsnių eilučių teorijoje gautas funkcijos e x eilinis išplėtimas: = å x x e, xî(-,) =! Spręsdami 5 punkto pavyzdį įsitikinome, kad eilutė å z susilieja visoje kompleksinėje plokštumoje. tokia idėja: sudėtingoms z reikšmėms funkcija е z pagal apibrėžimą laikoma serijos å z suma, taigi =! z e () def å z = =! Funkcijų ch z ir sh z x - x apibrėžimas Kadangi ch = = å k e e x x, x О (-,) k = (k)! x - x e - e sh = = å x k = k x, (k)! x О (-,),

23, o funkcija e z dabar apibrėžta visiems kompleksiniams z, tada natūralu, kad ch z = visoje kompleksinėje plokštumoje, def z - z e e def z - z e - e sh z = Taigi: z -z k e - e z sh z = = hiperbolinis sinusas ; (k)! å k = z - z å k e e z cosh z = = hiperbolinis kosinusas; k = (k)! shz th z = hiperbolinė liestinė; chz chz cth z = hiperbolinis kotangentas shz Funkcijų s z ir cos z apibrėžimas Naudokime anksčiau gautus išplėtimus: å k k (-) s x x = k = (k)!, å k k (-) x cos x =, k = ( k)! serijos susilieja visoje skaičių eilutėje Pakeitus x šiose eilutėse z, gauname laipsnio eilutes su sudėtingais terminais, kurios, kaip lengva parodyti, susilieja visoje kompleksinėje plokštumoje. Tai leidžia nustatyti bet kurios sudėtingos z funkcijas s z ir cos z: å k k (- ) s z z = k = (k)! ; å k k (-) z cos z = (5) k = (k)!

24 9 Ryšys tarp eksponentinės funkcijos ir trigonometrinių funkcijų kompleksinėje plokštumoje Pakeiskite å z z e = = eilėje! z iš z, o tada iš z, gauname: =å z z e, å -z (-) z e = =! =! Kadangi e ()) e k k = (-, tai turėsime: z -z = å k = k (-) z (k)! k = cos z z - z k k e - e (-) z = å = s z k= (k) Taigi: z -z z -z e e - e сos z = (6) Iš gautų formulių išplaukia dar viena nuostabi formulė: z сos z z = e (7) Formulės (6) ir (7) vadinamos Eulerio formulėmis šios formulės galioja ir realiajam z. Ypatingu atveju, kai z = j, kur j yra tikrasis skaičius, formulė (7) bus tokia: j cos j sj = e (8) Tada kompleksinis skaičius z = r. (cos j s j) bus rašoma forma : j z = re (9) Formulė (9) vadinama kompleksinio skaičiaus z 4 užrašymo eksponentine forma

25 Formulės, jungiančios trigonometrines ir hiperbolines funkcijas Lengvai įrodomos šios formulės: s z = sh z, sh z = s z, cos z = ch z, ch z = cos z Įrodykime pirmą ir ketvirtą formules (rekomenduojama įrodyti antrąją). ir trečias pats) Panaudokime formules ( 6) Euleris: - z z z - z s e - e e - e z = = = sh z ; z -z e e ch z = = cos z Naudojant formules sh z = s z ir ch z = cos z, iš pirmo žvilgsnio nesunku įrodyti funkcijų s z ir cos z stebėtiną savybę, skirtingai nuo funkcijų y = s x ir y = cos x, funkcijos s z ir cos z nėra ribojamos absoliučia verte. Iš tikrųjų, jei nurodytose formulėse z = y, tai s y = sh y, cos y = ch y Tai reiškia, kad ant. įsivaizduojamos ašies s z ir cos z absoliučia reikšme neriboja Įdomu tai, kad s z ir cos z galioja visos formulės, panašiai kaip ir trigonometrinių funkcijų s x ir cos x formulės Studijuojant gana dažnai naudojamos pateiktos formulės konvergencijos eilutė Pavyzdys Įrodykite absoliučią eilučių konvergenciją å s = Sprendimas Tiriame konvergencijos eilutę å s = Kaip buvo pažymėta, funkcija s z, apribota įsivaizduojamąja ašimi, nėra 5

26 yra, todėl mes negalime naudoti formulės s = sh Tada å = å s sh = = Mes tiriame eilutę å sh = naudodami D'Alemberto kriterijų: - () - - sh () e - e e (e- e) e lm = lm =lm=< - - sh e - e e (- e) Таким образом, ряд å s = сходится Þ данный ряд сходится абсолютно Решение задач Число z = представить в тригонометрической и комплексной формах y π Решение r = =, tg j = = Þ j =, x 6 π 6 π π = cos s = e è 6 6 Найти область сходимости ряда å (8 -) (z) = Решение Составим ряд из абсолютных величин заданного ряда и найдем его радиус сходимости: a 8 - () () R = lm = lm = lm a =, 6

27 () kadangi lm =, iš modulių konverguoja esant sąlygai 8 - = 8 = Taigi serija z< Данный ряд при этом же условии сходится, т е внутри круга радиуса с центром в точке при z >apskritimo taškai z = - susilieja, o už šio apskritimo ribų, tai yra, serija skiriasi Mes tiriame serijos elgseną ties z =, kurios lygtis Dekarto koordinačių sistemoje yra x (y) = Esant z = 9, absoliučių reikšmių serija turės tokią formą: å 8 - = å = = kad ši serija uždarame apskritime Gautos eilutės konverguoja, tai reiškia, kad z konverguoja absoliučiai Įrodykite, kad funkcija å z z e = yra periodinis su periodu π (ši funkcijos e z savybė žymiai išskiria ją =! nuo funkcijos e x) Įrodymas Naudojamės periodinės funkcijos apibrėžimu ir formule (6) Turime įsitikinti, kad z z e π = e, kur z = x y Parodykime, kad taip yra: z π x y π x (y π) x (y e = e = e = e e x = e (cos(y π) s (y π)) = e Taigi, e z yra a periodinė funkcija!) x π = (cos y s y) = e x y = e z 7

28 4 Gaukite formulę, jungiančią skaičius e ir π Sprendimas Panaudokime eksponentinę kompleksinio skaičiaus j rašymo formą: z = re Jei z = - turėsime r =, j = π ir, vadinasi, π e = - () Nuostabi formulė ir tai nepaisant to, kad kiekvieno skaičiaus π, e išvaizda matematikoje neturi nieko bendra su kitų dviejų atsiradimu! Formulė () taip pat įdomi, nes paaiškėja, kad eksponentinė funkcija e z, skirtingai nei funkcija e x, gali turėti neigiamas reikšmes e x 5 Raskite serijos å cos x = sumą! Sprendimas Transformuokime eilutę x x сos x s x e (e) å = å = å!! x (e) cos x = = s x e e = = =! cos x s x cos x = e e = e (cos(s x) s (s x)) Þ å = = cosx =! cos = e x cos(s x) Spręsdami naudojome formulę = cos x s x du kartus ir funkcijos (e x) e 6 serijinį išplėtimą. funkcijos x() x x x x e = e e = e cos x e s x Sprendimas x() x() x e = å = å!! = = π cos s и 4 π = 4 8

29 = å x π π () cos s =! и 4 4 Т к å x x() x x π e cos x = Ree Þ e cos x = () cos =! 4 Gautos eilutės susilieja į visą skaičių ašį, taigi į x π (x) () cos, o serija å (x)! 4! =! x< (докажите по признаку Даламбера) сходится при Банк задач для самостоятельной работы Представить в тригонометрической и показательной формах числа z =, z = -, z = -, z = 4 Построить в декартовой системе координат точки, соответствующие заданным числам Записать в алгебраической и тригонометрической формах числа e π и Используя формулу z = r (cosj s j), вычислить () и (e π) 4 Исследовать на сходимость ряд å e = Ответ Ряд сходится абсолютно 5 Исследовать ряд å z на сходимость в точках = z = и z = 4 Ответ В точке z ряд сходится абсолютно, в точке z ряд расходится 9

30 6 Raskite eilučių spindulį R ir konvergencijos apskritimą 4 Ištirkite eilučių elgesį konvergencijos apskritimo ribiniuose taškuose (taškuose, esančiuose ant apskritimo) å!(z -) ; å(z); = = å () z = () ; 4 å z = 9 Atsakymai:) R =, serija konverguoja taške z = - ;) R =, serija konverguoja absoliučiai uždarame apskritime z, kurio centras yra taške z = - arba priklauso nuo x (y) ;) R =, serija absoliučiai konverguoja uždarame apskritime z arba priklauso nuo x y ; 4) R =, serija absoliučiai konverguoja uždarame apskritime z arba esant sąlygai x y 9 7 Išplėskite funkciją f (x) = e x s x, () x į laipsnių eilutę, naudodami funkcijos e serijos plėtinį 8 Įsitikinkite, kad bet kuriam sudėtingam z įvyks formulės: s z = s z cos z, s z cos z =, s (z π) = s z (naudokite Eulerio formules)

31 REKOMENDUOJAMŲ DALYVŲ SĄRAŠAS Pagrindinė literatūra Piskunov, NS Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas kolegijoms / NS Piskunov T M: Nauka, 8 S 86 9 Fichtengolts, GM Matematinės analizės pagrindai / GM Fichtengolts T - Sankt Peterburgas48 Lans, 9 Vorobyov NN teorijos eilutės / NN Vorobjovas - Sankt Peterburgas: Lan, 8 48 s 4 Raštu, DT Paskaitų konspektas apie aukštąją matematiką Ch / DT Raštu M: Iris-press, 8 5 Aukštoji matematika pratimuose ir uždaviniuose Ch / PE Danko, AG Popov , TY Koževnikova [ etc.] M: ONICS, 8 C Papildoma literatūra Kudryavtsev, LD Matematinės analizės kursas / LD Kudryavtsev TM: Higher school, 98 C Khabibullin, MV Kompleksiniai numeriai: gairės / MV Khabibullin Tomsk, TGASU, 9 6s Moldovanova , EA eilutės ir sudėtinga analizė: vadovėlis / EA Moldovanova, AN Kharlamova, VA Kilin Tomsk: TPU, 9

Federalinė švietimo agentūra Tomsko valstybinis architektūros ir civilinės inžinerijos universitetas FOURIER SERIES FOURIER INTEGRAL KAIP RIBOJAMAS FOURIER SERIES ATVEJIS Savarankiško darbo gairės

RANKS Chabarovskas 4 4 SKAIČIŲ SERIJA Skaičių serija yra išraiška, kur skaičiai, sudarantys begalinę skaičių seką, bendrasis serijos terminas, kur N (N yra natūraliųjų skaičių aibė) Pavyzdys

Federalinė švietimo agentūra Archangelsko valstybinis technikos universitetas Statybos fakultetas RANKS Savarankiško darbo užduočių atlikimo gairės Archangelskas

MASKAVOS VALSTYBINIS CIVILINĖS AVIACIJOS TECHNINIS UNIVERSITETAS V.M. Liubimovas, E.A. Žukova, V.A. Ukhova, Yu.A. Šurinovo MATEMATIKOS VADOVAS, skirtas disciplinos studijoms ir testo užduotims

Federalinė švietimo agentūra MASKAVOS VALSTYBĖS GEODEZIJOS IR KARTOGRAFIJOS UNIVERSITETAS (MIIGAIK O.V. Isakova L.A. Saykova M.D. Ulymžiev PAMOKA STUDENTAMS APIE SAVARANKIŠKUS STUDIJUS

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO MINISTERIJA KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJŲ TEORIJA Metodinis vadovas Parengė: MDUlymžijevas LIInkhejeva IBYumovas SZhyumova Funkcijų teorijos metodinio vadovo apžvalga

8 Kompleksinių skaičių eilutė Apsvarstykite skaičių eilutę su kompleksiniais skaičiais, kurių forma yra k a, (46), kur (a k) yra duota skaičių seka su kompleksiniais terminais k Eilė (46) vadinama konvergentine, jei

Metalurgijos fakultetas Aukštosios matematikos katedra RANKS Metodiniai nurodymai Novokuzneckas 5 Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga, pavadinta Novgorodo valstybinio universiteto vardu

Federalinė švietimo agentūra Federalinė valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga PIETŲ FEDERALINIS UNIVERSITETAS R. M. Gavrilova, G. S. Kostetskaya metodinė

Skaičių serija Skaičių seka Def Skaičių seka yra skaitinė funkcija, apibrėžta natūraliųjų skaičių aibėje x – bendrasis sekos x =, x =, x =, x = narys,

Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga Novgorodo valstybinis universitetas pavadintas Jaroslavo Išmintingojo elektroninio instituto vardu

RUSIJOS FEDERACIJOS SUSISIEKIMO MINISTERIJA FEDERALINĖS VALSTYBĖS AUKŠTOJO PROFESINIO MOKYMO ĮSTAIGA Uljanovskio AUKŠTOJO AVIACIJOS MOKYKLA CIVILINĖS AVIACIJOS INSTITUTAS

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga „Tomsko valstybinė architektūros ir statybos

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA KAZANĖS VALSTYBINĖS ARCHITEKTŪROS IR STATYBOS UNIVERSITETAS Aukštosios matematikos katedra SKAIČIŲ IR FUNKCINĖ SERIJA Gairės

Modulio tema Funkcinės sekos ir serijos Sekų ir eilučių tolygios konvergencijos savybės Galios serija Paskaita Funkcinių sekų ir eilučių apibrėžimai Vienodai

BALTARUSIJAS VALSTYBINĖS EKONOMIKOS UNIVERSITETAS FAKULTETAS EKONOMINĖS INFORMACIJOS IR MATEMATINĖS EKONOMIKOS KATEDRA Eilės Paskaitų konspektas ir seminaras ekonomikos studentams

Rusijos Federacijos švietimo ministerija Uljanovsko valstybinis technikos universitetas SKAIČIŲ IR FUNKCINĖS SERIJOS FURJER SERIJOS Uljanovsko UDC 57(76) BBK 9 i 7 Ch-67 recenzentas, fizikos ir matematikos kandidatas

3724 KELIŲ SERIJŲ IR KREIVINIAI INTEGRALIAI 1 SEKCIJŲ „KELIASIS SERIJOS IR KREIVINIAI INTEGRALIAI“ DARBO PROGRAMA 11 Skaičių serija Skaičių serijos samprata Skaičių eilučių savybės Būtinas konvergencijos ženklas

Paskaita. Funkcinė serija. Funkcinės serijos apibrėžimas Serija, kurios nariai yra x funkcijos, vadinama funkcine: u = u (x) + u + K+ u + K = Suteikę x tam tikrą reikšmę x, mes

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga "Sibiro valstybinis pramonės universitetas"

RUSIJOS FEDERACIJOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJOS FEDERALINĖS VALSTYBĖS BIUDŽETO AUKŠTOJO PROFESINIO MOKSLO MOKYMO ĮSTAIGA „SAMAROS VALSTYBINIO AEROSSMINIO UNIVERSITETAS“

„Eiliniai“ savęs patikrinimo testai Būtinas serijos konvergencijos požymis Teorema būtinas konvergencijos požymis Jei eilutė suartėja, tada lim + Išvada yra pakankama eilutės divergencijos sąlyga Jei lim, tada serija skiriasi

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinės valstybinės autonominės aukštojo profesinio mokymo įstaigos "Sibiro federalinis universitetas" Ačinsko skyrius MATEMATIKA

Rusijos Federacijos švietimo ministerija MATI - RUSIJOS VALSTYBINIS TECHNOLOGIJOS UNIVERSITETAS, pavadintas K E TSIOLKOVSKY Aukštosios matematikos katedra EILUTĖS Kursinio darbo gairės Sudarė:

VALSTYBINĖ AUKŠTOJO PROFESINIO MOKSLO INSTITUCIJA "BALTARUSIJOS-RUSIJOS UNIVERSITETAS" "Aukštosios matematikos" katedra AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS MATEMATIKA MATEMATINĖS ANALIZĖS RANGAI Metodinės rekomendacijos

Baltarusijos Respublikos Švietimo ministerija Švietimo įstaiga "Mogiliovo valstybinis maisto universitetas" Aukštosios matematikos katedra AUKŠTOJO MATEMATIKA Praktinės gairės

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga „Tomsko valstybinė architektūros ir statybos

4 Funkcijų serija 4 Pagrindiniai apibrėžimai Tegul begalinė funkcijų seka su bendra apibrėžimo sritis X u), u (), K, u (),K (APRAŠYMAS Išraiška u) + u () + K + u () +

Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga "Uralo valstybinis pedagoginis universitetas" Matematikos fakulteto katedra

Funkcinė eilutė Funkcinė serija, jos suma ir funkcinės o sritis Tegul realiųjų arba kompleksinių skaičių srityje Δ yra pateikta funkcijų seka (k 1 Funkcinė serija vadinama

Federalinė švietimo agentūra MASKAVOS VALSTYBINIS GEODEZIJOS IR KARTOGRAFIJOS UNIVERSITETAS (MIIGAIK) O. V. Isakova L. A. Saykova PAMOKA STUDENTAMS SAVARANKIŠKAM SKYRIAUS STUDIJIMUI

PASKAITA N34. Skaičių serija su sudėtingais terminais. Galios serija kompleksinėje srityje. Analitinės funkcijos. Atvirkštinės funkcijos..skaitinė eilutė su sudėtingais terminais.....laipsnių eilutė kompleksinėje srityje....

Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga Uchtos valstybinis technikos universitetas KOMPLEKŠINIAI SKAIČIAI Gairės

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija FEDERALINĖ VALSTYBĖS BIUDŽETINĖ AUKŠTOJO PROFESINIO MOKYMO ĮSTAIGA „SAMARA VALSTYBINIS TECHNINIS UNIVERSITETAS“ Taikomosios matematikos katedra

Federalinė švietimo agentūra Valstybinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga Uchtos valstybinis technikos universitetas (USTU) RIBOTOS FUNKCIJOS Metodinė

PASKAITA Ekvivalentiniai begaliniai mažumai Pirmoji ir antroji žymiosios ribos Be galo didelių ir be galo mažų funkcijų palyginimas Funkcija f () vadinama be galo maža taške a (prie a), jei (

Rusijos Federacijos švietimo ir mokslo ministerija Federalinė valstybinė biudžetinė aukštojo profesinio mokymo įstaiga „Tomsko valstybinė architektūros ir statybos

EV Nebogina, OS Afanasyeva SERIJOS AUKŠTOSIOS MATEMATIKOS PRAKTIKA Samara 9 FEDERALINĖ ŠVIETIMO AGENTŪRA VALSTYBINĖ AUKŠTOJO PROFESINIO MOKYMO ĮSTAIGA „SAMARSKY“

III skyrius KELIŲ KINTAMŲJŲ FUNKCIJŲ INTEGRALINIS SKAIČIAVIMAS, KOMPLEKSINIO KINTAMOJO FUNKCIJOS, SELIS Dvigubi integralai LITERATŪRA: , sk. ,glii; , XII skyrius, 6 Norėdami išspręsti problemas šia tema, būtina,

Serialas su sudėtingais terminais.

19.3.1. Skaičių serija su sudėtingais terminais. Visi pagrindiniai konvergencijos apibrėžimai, konvergencinių eilučių savybės ir sudėtingų eilučių konvergencijos ženklai nesiskiria nuo tikrojo atvejo.

19.3.1.1. Pagrindiniai apibrėžimai. Pateikiame begalinę kompleksinių skaičių seką. Pažymėsime tikrąją skaičiaus dalį ir įsivaizduojamą dalį (t. y. .

Skaičių serija- įrašo tipas .

Dalinės serijos sumos:

Apibrėžimas. Jei yra riba S serijos dalinių sumų sekos , kuri yra tinkamas kompleksinis skaičius, tada sakoma, kad serija susilieja; numerį S vadinama serijos suma ir parašyta arba .

Raskime dalinių sumų tikrąją ir menamąją dalis: , kur simboliai ir nurodo tikrosią ir menamąją dalinės sumos dalis. Skaičių seka konverguoja tada ir tik tada, kai susilieja sekos, sudarytos iš tikrosios ir įsivaizduojamos dalių. Taigi serija su sudėtingais terminais susilieja tada ir tik tada, kai susilieja serijos, sudarytos iš tikrosios ir įsivaizduojamos dalių.

Pavyzdys.

19.3.1.2. Absoliutus konvergencija.

Apibrėžimas. Serialas vadinamas absoliučiai konvergencija, jei serija susilieja , sudarytas iš absoliučių jo narių verčių.

Kaip ir skaitinių realių eilučių su savavališkais terminais atveju, galima įrodyti, kad jei eilutė suartėja, tada eilutė būtinai suartėja. Jei eilutė susilieja, o eilutė skiriasi, tada eilutė vadinama sąlyginai konvergentine.

Serija yra eilutė su neneigiamais terminais, todėl jos konvergencijai tirti gali būti naudojami visi žinomi ženklai (nuo palyginimo teoremų iki integralinio Koši testo).

Pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes konvergencijai.

Sukurkime modulių seriją (): . Ši serija susilieja (Cauchy testas ), todėl originali serija visiškai sutampa.

19.1.3.4. Konvergentinių eilučių savybės. Konvergencinėms eilutėms su sudėtingais terminais galioja visos serijų su realiaisiais terminais savybės:

Būtinas serijos konvergencijos ženklas. Bendrasis konvergencinės eilutės terminas yra lygus nuliui.

Jei serija susilieja, tada bet kuri jos likutis susilieja Ir atvirkščiai, jei kuri nors eilutė suartėja, tada pati serija suartėja.

Jei eilutė suartėja, tada jos likučio suma pon -terminas linkęs į nulį kaip.

Jei visi konvergentinės eilutės nariai padauginami iš to paties skaičiaus Su, tada eilučių konvergencija bus išsaugota, o suma bus padauginta iš Su.

Konvergentinė serija ( A) Ir ( IN) gali būti pridedami ir atimami pagal terminą; gautos eilutės taip pat suartės, o jos suma lygi.

Jei konvergencinės eilutės sąlygos yra sugrupuotos savavališkai ir iš kiekvienos skliausteliuose esančių terminų sumų sudaroma nauja eilutė, tada ši nauja eilutė taip pat suartės, o jos suma bus lygi originali serija.

Jei eilutė absoliučiai suartėja, nesvarbu, kaip jos sąlygos būtų pertvarkytos, konvergencija išsaugoma, o suma nesikeičia.

Jei eilutės ( A) Ir ( IN) visiškai sutampa su jų sumaIr, tada jų sandauga su savavališka terminų tvarka taip pat absoliučiai suartėja, o jo suma lygi.

19.3.2. Sudėtinga galios serija.

Apibrėžimas. Galios eilutė su sudėtingais terminais yra formos eilutė

kur yra pastovūs kompleksiniai skaičiai (eilės koeficientai), yra fiksuotas kompleksinis skaičius (konvergencijos apskritimo centras). Bet kokiai skaitinei vertei z serija virsta skaičių seka su sudėtingais terminais, konvergenciniais arba divergentiniais. Jei serija susilieja taške z , tada šis taškas vadinamas eilutės konvergencijos tašku. Laipsnių eilutė turi bent vieną konvergencijos tašką – tašką. Konvergencijos taškų aibė vadinama eilutės konvergencijos sritimi.

Kalbant apie laipsnių eilutes su realiais terminais, visa reikšminga informacija apie laipsnių eilutes yra Abelio teoremoje.

Abelio teorema. Jei laipsnio eilutė suartėja taške , Tada

1. jis susilieja absoliučiai bet kuriame apskritimo taške ;

2. Jei ši serija skiriasi taške , tada ji skiriasi bet kuriame taške z , tenkinantis nelygybę (t. y. esantis toliau nuo taško nei).

Įrodymas žodis po žodžio kartoja skyriaus įrodymą 18.2.4.2. Abelio teorema serialui su tikrais nariais.

Iš Abelio teoremos išplaukia, kad egzistuoja toks neneigiamas realusis skaičius R kad serija absoliučiai suartėja bet kuriame spindulio apskritimo vidiniame taške R su centru taške Ir skiriasi bet kuriuo už šio apskritimo ribų. Skaičius R paskambino konvergencijos spindulys, ratas - konvergencijos ratas. Šio apskritimo ribos taškuose – spindulio apskritimai R su centru taške – serija gali ir susilieti, ir išsiskirti. Šiuose taškuose modulių eilutė atrodo taip. Galimi šie atvejai:

1. Serija susilieja. Šiuo atveju serija susilieja absoliučiai bet kuriame apskritimo taške.

2. Serija skiriasi, bet jos bendras terminas . Tokiu atveju vienuose apskritimo taškuose serija gali sąlygiškai suartėti, kituose – išsiskirti, t.y. kiekvienas taškas reikalauja individualaus tyrimo.

3. Serija skiriasi, o jos bendras terminas nėra linkęs į nulį ties . Šiuo atveju serija skiriasi bet kuriame ribinio apskritimo taške.

Naudodami standartinius metodus, bet su kitu pavyzdžiu pasiekėme aklavietę.

Koks yra sunkumas ir kur gali būti kliūtis? Padėkime muiluotą virvę į šalį, ramiai išanalizuokime priežastis ir susipažinkime su praktiniais sprendimais.

Pirmas ir svarbiausias: daugeliu atvejų, norint ištirti serijos konvergenciją, reikia naudoti kokį nors žinomą metodą, tačiau bendras serijos terminas užpildytas tokiu sudėtingu įdaru, kad visiškai neaišku, ką su ja daryti . Ir eini ratu: pirmas ženklas neveikia, antras neveikia, trečias, ketvirtas, penktas metodas neveikia, tada juodraščiai metami į šalį ir viskas prasideda iš naujo. Dažniausiai taip yra dėl patirties stokos arba spragų kitose matematinės analizės srityse. Ypač jei bėgate sekos ribos ir paviršutiniškai išardytas funkcijų ribos, tada bus sunku.

Kitaip tariant, žmogus tiesiog nemato reikiamo sprendimo būdo dėl žinių ar patirties stokos.

Kartais kaltas ir „užtemimas“, kai, pavyzdžiui, neįvykdomas būtinas eilės konvergencijos kriterijus, tačiau dėl nežinojimo, neatidumo ar aplaidumo tai iškrenta iš akių. Ir pasirodo kaip toje istorijoje, kur matematikos profesorius išsprendė vaikų uždavinį naudodamas laukines pasikartojančias sekas ir skaičių eilutes =)

Pagal geriausias tradicijas iš karto gyvi pavyzdžiai: eilės ir jų artimieji – nesutinka, nes tai teoriškai įrodyta sekos ribos. Greičiausiai pirmąjį semestrą jie iškratys jūsų sielą dėl 1-2-3 puslapių įrodymo, tačiau dabar visiškai pakanka parodyti, kad nepavyko įvykdyti būtinos serijos konvergencijos sąlygos, remiantis žinomais faktais. . Įžymūs? Jei mokinys nežino, kad n-oji šaknis yra nepaprastai galingas dalykas, tai, tarkime, serija įves jį į aklavietę. Nors sprendimas lyg du kartus du: , t.y. dėl akivaizdžių priežasčių abi serijos skiriasi. Testui visiškai užtenka kuklaus komentaro „šios ribos teoriškai įrodytos“ (ar net jo visai nebuvimas), juk skaičiavimai gana sunkūs ir tikrai nepriklauso skaičių eilučių skyriui.

Išstudijavę šiuos pavyzdžius, nustebsite daugelio sprendimų glaustumu ir skaidrumu:

1 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: pirmiausia patikriname vykdymą būtinas konvergencijos kriterijus. Tai ne formalumas, o puiki galimybė susidoroti su „mažu kraujo praliejimo“ pavyzdžiu.

„Scenos apžiūra“ siūlo skirtingą seriją (apibendrintos harmoninės serijos atvejis), tačiau vėl kyla klausimas, kaip atsižvelgti į logaritmą skaitiklyje?

Apytiksliai užduočių pavyzdžiai pamokos pabaigoje.

Tai nėra neįprasta, kai turite atlikti dviejų (ar net trijų) žingsnių samprotavimą:

6 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: Pirmiausia atsargiai susitvarkykime su skaitiklio beprasmybe. Seka – ribota: . Tada:

Palyginkime savo serijas su serialais. Dėl ką tik gautos dvigubos nelygybės visiems „en“ bus teisinga:

Dabar palyginkite serijas su skirtingomis harmonikų serijomis.

Trupmenos vardiklis mažiau trupmenos vardiklis, todėl pati trupmena – daugiau trupmenomis (jei neaišku, užsirašykite keletą pirmųjų terminų). Taigi bet kokiam „en“:

Tai reiškia, kad, remiantis palyginimu, serija skiriasi kartu su harmonikų serija.

Jei šiek tiek pakeisime vardiklį: , tada pirmoji samprotavimo dalis bus panaši: . Tačiau norėdami įrodyti serijos skirtumą, galime taikyti tik ribojantį palyginimo kriterijų, nes nelygybė yra klaidinga.

Situacija su konvergencinėmis eilutėmis yra „veidrodinė“, tai yra, pavyzdžiui, eilėms galite naudoti abu palyginimo kriterijus (nelygybė teisinga), o serijai galite naudoti tik ribojantį kriterijų (nelygybė klaidinga).

Tęsiame laukinės gamtos safarį, kur horizonte stūkso grakščių ir vešlių antilopių kaimenė:

7 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: būtinas konvergencijos kriterijus tenkinamas, ir mes vėl užduodame sau klasikinį klausimą: ką daryti? Prieš mus yra kažkas, kas primena konvergencinę seriją, tačiau čia nėra aiškios taisyklės - tokios asociacijos dažnai yra apgaulingos.

Dažnai, bet ne šį kartą. Naudojant ribojantis palyginimo kriterijus Palyginkime savo eilutes su konvergentinėmis serijomis. Skaičiuodami limitą naudojame nuostabi riba , kur as be galo mažas stovi:

susilieja kartu su šalia .

Užuot naudojus standartinę dirbtinę daugybos ir padalijimo iš „trimis“ techniką, iš pradžių buvo galima palyginti su konvergentine eilute.
Tačiau čia patartina padaryti išlygą, kad bendrojo termino pastovus veiksnys neturi įtakos eilučių konvergencijai. Ir šio pavyzdžio sprendimas sukurtas būtent tokiu stiliumi:

8 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Pavyzdys pamokos pabaigoje.

9 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: ankstesniuose pavyzdžiuose naudojome sinuso ribą, bet dabar ši savybė nebeveikia. Didesnis trupmenos vardiklis augimo tvarka, nei skaitiklis, taigi, kai sinuso argumentas ir visas bendrasis terminas be galo mažas. Būtinoji konvergencijos sąlyga, kaip jūs suprantate, buvo įvykdyta, o tai neleidžia mums išsisukti nuo darbo.

Atlikime žvalgybą: pagal nepaprastas lygiavertiškumas , mintyse atmeskite sinusą ir gaukite seriją. Na, taip ir taip...

Priimkime sprendimą:

Palyginkime tiriamas serijas su skirtingomis serijomis. Mes naudojame ribojantį palyginimo kriterijų:

Pakeiskime begalinį mažumą lygiaverčiu: at .

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su harmonikų serija.

10 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Planuoti tolesnius veiksmus tokiuose pavyzdžiuose labai padeda mintyse atmesti sinusą, arcsinusą, liestinę ir arctangentą. Tačiau atminkite, kad ši galimybė egzistuoja tik tuo atveju, jei be galo mažas argumentas, ne taip seniai aptikau provokuojančią seriją:

11 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją
.

Sprendimas: Čia nėra prasmės naudoti arctangento apribojimą, o lygiavertiškumas taip pat neveikia. Sprendimas stebėtinai paprastas:

Tiriamas serialas skiriasi, nes nėra įvykdytas būtinas eilučių konvergencijos kriterijus.

Antra priežastis„Užduoties problema“ yra ta, kad bendras narys yra gana sudėtingas, o tai sukelia techninio pobūdžio sunkumų. Grubiai tariant, jei pirmiau aptartos serijos priklauso kategorijai „kas žino“, tada jos patenka į „kas žino“. Tiesą sakant, tai vadinama sudėtingumu „įprasta“ prasme. Ne kiekvienas gali teisingai išspręsti keletą faktorių, laipsnių, šaknų ir kitų savanos gyventojų. Didžiausios problemos, žinoma, yra faktorialai:

12 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Kaip faktorialą pakelti į galią? Lengvai. Pagal operacijų su laipsniais taisyklę, kiekvieną gaminio veiksnį reikia pakelti į laipsnį:

Ir, žinoma, dėmesys ir vėl dėmesys pats d’Alemberto ženklas veikia tradiciškai:

Taigi, tiriama serija susilieja.

Primenu racionalią netikrumo pašalinimo techniką: kai aišku augimo tvarka skaitiklis ir vardiklis – nereikia kankintis ir skliausteliuose laužyti.

13 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Žvėris yra labai retas, bet pasitaiko, ir būtų nesąžininga jo nepaisyti naudojant fotoaparato objektyvą.

Kas yra faktorialas su dvigubu šauktuku? Faktorius „užveda“ teigiamų lyginių skaičių sandaugą:

Panašiai faktorialas „sudaro“ teigiamų nelyginių skaičių sandaugą:

Išanalizuokite, kuo skiriasi ir

14 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Ir šioje užduotyje stenkitės nesusipainioti su laipsniais, nuostabūs atitikmenys Ir nuostabios ribos.

Pamokos pabaigoje sprendimų ir atsakymų pavyzdžiai.

Tačiau studentą maitina ne tik tigrai – savo grobį medžioja ir gudrūs leopardai:

15 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: būtinas konvergencijos kriterijus, ribinis kriterijus ir D'Alembert bei Cauchy testai išnyksta beveik akimirksniu. Tačiau blogiausia, kad nelygybės ženklas, ne kartą mums padėjęs, yra bejėgis. Iš tiesų, palyginti su skirtingomis serijomis neįmanoma, nes nelygybė neteisingas - logaritmo daugiklis tik padidina vardiklį, sumažindamas pačią trupmeną trupmenos atžvilgiu. Ir dar vienas pasaulinis klausimas: kodėl iš pradžių esame įsitikinę, kad mūsų serija būtinai turi skirtis ir turi būti lyginamas su kai kuriomis skirtingomis serijomis? O jeigu jis išvis susigyvens?

Neatsiejama savybė? Netinkamas integralas kelia gedulingą nuotaiką. Jei tik turėtume ginčą ... tada taip. Sustok! Taip gimsta idėjos. Suformuluojame sprendimą dviem etapais:

1) Pirmiausia išnagrinėjame eilučių konvergenciją . Mes naudojame neatskiriama savybė:

Integrand tęstinisįjungta

Taigi, serija skiriasi kartu su atitinkamu netinkamu integralu.

2) Palyginkime savo serijas su skirtingomis serijomis . Mes naudojame ribojantį palyginimo kriterijų:

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, o tai reiškia, kad tiriama serija skiriasi kartu su numeriu .

Ir tokiame sprendime nėra nieko neįprasto ar kūrybiško – taip ir reikia nuspręsti!

Siūlau patiems parengti šią dviejų etapų procedūrą:

16 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Studentas, turintis tam tikrą patirtį, daugeliu atvejų iš karto mato, ar serija susilieja, ar skiriasi, tačiau pasitaiko, kad plėšrūnas gudriai maskuojasi krūmuose:

17 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: iš pirmo žvilgsnio visiškai neaišku, kaip šis serialas elgiasi. Ir jei prieš mus tvyro rūkas, logiška pradėti nuo grubaus reikalingos serijos konvergencijos sąlygos patikrinimo. Siekdami pašalinti neapibrėžtumą, naudojame neskęstantį daugybos ir padalijimo pagal konjuguotą išraišką metodas:

Būtinas konvergencijos ženklas neveikė, bet iškėlė mūsų Tambovo draugą į dienos šviesą. Dėl atliktų transformacijų buvo gauta lygiavertė serija , kuri savo ruožtu labai primena konvergencinę seriją.

Užrašome galutinį sprendimą:

Palyginkime šią seriją su konvergentine eilute. Mes naudojame ribojantį palyginimo kriterijų:

Padauginkite ir padalinkite iš konjuguotos išraiškos:

Gaunamas baigtinis skaičius, kuris skiriasi nuo nulio, o tai reiškia, kad tiriama serija susilieja kartu su šalia .

Kai kurie galbūt susimąstė, iš kur mūsų Afrikos safaryje atsirado vilkai? Nežinau. Tikriausiai jie atnešė. Jūs turite gauti šią trofėjų odą:

18 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimo pavyzdys pamokos pabaigoje

Ir galiausiai, dar viena mintis, kurią daugelis studentų turi neviltyje: Ar neturėtume naudoti retesnio testo serijų konvergencijai?? Raabės testas, Abelio testas, Gauso testas, Dirichlet testas ir kiti nežinomi gyvūnai. Idėja veikia, tačiau realiuose pavyzdžiuose ji įgyvendinama labai retai. Asmeniškai per visus praktikos metus aš tik griebiausi Raabės ženklas, kai niekas iš standartinio arsenalo tikrai nepadėjo. Aš visiškai pakartosiu savo ekstremalaus ieškojimo eigą:

19 pavyzdys

Ištirkite eilučių konvergenciją

Sprendimas: Be jokios abejonės, d'Alemberto ženklas. Skaičiavimų metu aktyviai naudoju laipsnių savybes, taip pat antra nuostabi riba:

Tiek tau. D'Alemberto ženklas nedavė atsakymo, nors niekas nenumatė tokios baigties.

Peržiūrėjęs žinyną radau mažai žinomą teoriškai įrodytą ribą ir pritaikiau stipresnį radikalų Koši testą:

Štai tau du. Ir, svarbiausia, visiškai neaišku, ar serialas susilieja, ar išsiskiria (man itin reta situacija). Būtinas palyginimo ženklas? Be daug vilčių – net jei nesuvokiamai išsiaiškinu skaitiklio ir vardiklio augimo tvarką, tai dar negarantuoja atlygio.

Tai visiškas damberas, bet blogiausia, kad eilutę reikia išspręsti. Reikia. Juk tai bus pirmas kartas, kai pasiduosiu. Ir tada prisiminiau, kad, atrodo, yra ir kitų stipresnių ženklų. Priešais mane nebebuvo nei vilkas, nei leopardas, nei tigras. Tai buvo didžiulis dramblys, mojuojantis savo dideliu kamienu. Turėjau pasiimti granatsvaidį:

Raabės ženklas

Apsvarstykite teigiamų skaičių seriją.
Jei yra riba , Tai:
a) Kai eilė skiriasi. Be to, gauta vertė gali būti nulis arba neigiama
b) Kai eilė susilieja. Visų pirma, serija sutampa ties .
c) Kada Raabės ženklas atsakymo neduoda.

Mes sudarome ribą ir kruopščiai bei kruopščiai supaprastiname trupmeną:

Taip, vaizdas, švelniai tariant, nemalonus, bet jau nebestebina tokios ribos su pagalba L'Hopital taisyklės, o pirma mintis, kaip vėliau paaiškėjo, pasirodė teisinga. Bet iš pradžių „įprastais“ metodais ribą sukčiau ir sukčiau apie valandą, bet netikrumo nenorėjo panaikinti. O ėjimas ratu, kaip rodo patirtis, yra tipiškas ženklas, kad pasirinktas netinkamas sprendimas.

Teko atsigręžti į rusų liaudies išmintį: „Jei kas nepavyks, skaityk instrukcijas“. Ir kai atsiverčiau 2-ąjį Fichtenholtzo tomą, savo didžiuliam džiaugsmui atradau identiškos serijos studiją. Ir tada sprendimas sekė pavyzdžiu.

Žiūrėti simbolį W 1 + W 2 +…+ W n +…= (1), Kur W n = u n + i· v n (n = 1, 2, …) vadinami kompleksiniai skaičiai (kompleksinių skaičių sekos). kompleksinių skaičių serija.

Skaičiai W n (n = 1, 2, …) yra vadinami skaičiaus nariai, narys W n paskambino dažnas serialo narys.

Formos numeriai S n = W 1 + W 2 +…+ W n (2) (n = 1, 2, …) , yra vadinami dalinės serijos sumos (1).

Baigtinė arba begalinė riba S sekos S n paskambino šios serijos suma.

Jei riba S yra baigtinis, tada serija vadinama susiliejantis, jei riba yra begalinė arba jos visai nėra, tada serija skiriasi.

Jeigu S serijų suma (1), tada parašykite
.

Leiskite
, A
. Aišku σ n = u 1 + u 2 +…+ u n , τ n = v 1 + v 2 +…+ v n. Kaip mes žinome lygybę
(Sžinoma) yra tolygi dviem lygybėms
Ir
. Vadinasi, eilučių (1) konvergencija yra lygi dviejų realių eilučių konvergencijai: Ir . Todėl pagrindinės konvergentinių skaičių eilučių savybės taikomos konvergentinėms kompleksinėms eilutėms.

Pavyzdžiui, sudėtingoms serijoms galioja Koši kriterijus: serija (1) suartėja tada ir tik tada, kai kuri nors

kad visų akivaizdojen > Nir bet koksp= 1, 2, … galioja nelygybė.

Šis kriterijus tiesiogiai reiškia būtiną eilės konvergencijos kriterijų: kad serija (1) suartėtų, būtina ir pakanka, kad jos bendras terminasW n → 0 .

Šios konvergentinių eilučių savybės yra teisingos: jei eilės Ir susilieja su jų sumomisSIrd, tada eilutes
Ir
atitinkamai konverguoja į sumasS ± dir λS .

Absoliučiai konvergencinė kompleksinių skaičių eilutė.

Kompleksinių skaičių serija (1) vadinamas absoliučiai konvergencija, jei serija susilieja
(2).

Teorema.

Kiekviena absoliučiai konvergentinė kompleksinių skaičių eilutė (1) suartėja.

Įrodymas.

Akivaizdu, kad mums pakanka nustatyti, kad (1) eilutėje yra įvykdytos Koši kriterijaus eilučių konvergencijos sąlygos. Imkime bet kurį
. Dėl (1) eilučių absoliučios konvergencijos (2) eilutė suartėja. Todėl pasirinktiesiems

, kad bet kuriai n > N Ir p=1,2,… nelygybė bus patenkinta
, Bet

, o juo labiau nelygybė bus patenkinta
bet kuriuo n > N Ir p=1,2,… Vadinasi, serijai (1) yra įvykdytos Koši kriterijaus sudėtingų eilučių konvergencijos sąlygos. Todėl (1) eilutė suartėja. Teorema yra teisinga.

Teorema.

Tam, kad kompleksinių skaičių serija (1) buvo absoliučiai konverguojanti, tai būtina ir pakanka, kad tikrosios eilutės absoliučiai suartėtų (3) ir (4), kurW n = u n + i· v n (n = 1, 2,…).

įrodymas,

remiasi šiomis akivaizdžiomis nelygybėmis

(5)

Būtinybė. Tegul eilutės (1) suartėja absoliučiai, parodykime, kad eilutės (3) ir (4) suartėja absoliučiai, t. y. eilutės konverguoja
Ir
(6). Iš (1) eilučių absoliučios konvergencijos matyti, kad (2)
konverguoja, tada dėl kairiosios nelygybės (5) pusės (6) serijos susilieja, t. y. (3) ir (4) eilutės absoliučiai suartės.

Tinkamumas. Tegul eilutės (3) ir (4) suartėja absoliučiai, parodykime, kad (1) eilutė taip pat absoliučiai suartėja, t. y. ta eilutė (2) konverguoja. Iš (3) ir (4) eilučių absoliučios konvergencijos matyti, kad (6) eilutės konverguoja, todėl eilutės taip pat konverguoja
. Vadinasi, dėl dešinės nelygybės (5) pusės, eilutė (2) suartėja, t.y. serija (1) yra absoliučiai konverguojanti.

Taigi, kompleksinių eilučių (1) absoliuti konvergencija yra lygi realiųjų skaičių eilučių (3) ir (4) absoliučiai konvergencijai. Todėl visos pagrindinės realių absoliučiai konvergentinių skaičių eilučių savybės taikomos absoliučiai konvergentinėms kompleksinėms eilutėms. Visų pirma, absoliučiai konvergentinei kompleksinei eilutei galioja teorema apie jos narių permutaciją, t.y. terminų pertvarkymas absoliučiai konvergencinėje eilutėje neturi įtakos eilučių sumai. Norint nustatyti absoliučią sudėtingų eilučių konvergenciją, gali būti naudojamas bet koks teigiamų eilučių konvergencijos kriterijus.

Košio ženklas.

Tegul serija (1) turi ribą
, tada jeiq < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если q>1, tada (1) serija skiriasi.