Pateikti 8 daugianario faktorizavimo pavyzdžiai. Jie apima kvadratinių ir dvikvadratinių lygčių sprendimo pavyzdžius, abipusių daugianarių pavyzdžius ir trečiojo bei ketvirtojo laipsnio daugianario sveikųjų skaičių šaknų radimo pavyzdžius.
1. Kvadratinės lygties sprendimo pavyzdžiai
1.1 pavyzdys
x 4 + x 3 - 6 x 2.
Sprendimas
Išimame x 2
skliausteliuose:
.
2 + x - 6 = 0:
.
Lygties šaknys:
, .
.
Atsakymas
1.2 pavyzdys
Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas:
x 3 + 6 x 2 + 9 x.
Sprendimas
Išimkime x iš skliaustų:
.
Nuspręskime kvadratinė lygtis x 2 + 6 x + 9 = 0:
Jo diskriminatorius: .
Kadangi diskriminantas lygus nuliui, tada lygties šaknys yra kartotinės: ;
.
Iš čia gauname daugianario faktorizaciją:
.
Atsakymas
1.3 pavyzdys
Penktojo laipsnio daugianario koeficientas:
x 5 - 2 x 4 + 10 x 3.
Sprendimas
Išimame x 3
skliausteliuose:
.
Kvadratinės lygties x sprendimas 2–2 x + 10 = 0.
Jo diskriminatorius: .
Kadangi diskriminantas yra mažesnis už nulį, lygties šaknys yra sudėtingos: ;
, .
Polinomo faktorizavimas turi tokią formą:
.
Jei mus domina faktorizacija su realiais koeficientais, tada:
.
Atsakymas
Faktoringo daugianario pavyzdžiai naudojant formules
Pavyzdžiai su bikvadratiniais daugianariais
2.1 pavyzdys
Bikvadratinio daugianario koeficientas:
x 4 + x 2 - 20.
Sprendimas
Taikykime formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b).
;
.
Atsakymas
2.2 pavyzdys
Padalinkite daugianarį, kuris redukuojasi į bikvadratinį:
x 8 + x 4 + 1.
Sprendimas
Taikykime formules:
a 2 + 2 ab + b 2 = (a + b) 2;
a 2 – b 2 = (a – b) (a + b):
;
;
.
Atsakymas
2.3 pavyzdys su pasikartojančiu daugianario
Apskaičiuokite abipusį daugianarį:
.
Sprendimas
Abipusis daugianario laipsnis yra nelyginis. Todėl jis turi šaknį x = - 1
. Padalinkite daugianarį iš x -(-1) = x + 1
.
.
, ;
;
;
.
Atsakymas
Rezultate gauname:
Padarykime pakaitalą:
Faktoringo daugianario su sveikosiomis šaknimis pavyzdžiai
.
Sprendimas
3.1 pavyzdys
6
-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6
.
Dauginamo koeficientas:;
Tarkime, kad lygtis;
(-6) 3 - 6 · (-6) 2 + 11 · (-6) - 6 = -504;
(-3) 3 - 6 · (-3) 2 + 11 · (-3) - 6 = -120;
(-2) 3 - 6 · (-2) 2 + 11 · (-2) - 6 = -60;
(-1) 3 - 6 · (-1) 2 + 11 · (-1) - 6 = -24;
1 3 - 6 1 2 + 11 1 - 6 = 0;
2 3 - 6 2 2 + 11 2 - 6 = 0.
3 3 - 6 3 2 + 11 3 - 6 = 0
x 1 = 1
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 2 = 2
6 3 - 6 6 2 + 11 6 - 6 = 60 3 = 3
.
Taigi, mes radome tris šaknis:
.
Atsakymas
, x
Faktoringo daugianario su sveikosiomis šaknimis pavyzdžiai
.
Sprendimas
3.1 pavyzdys
Kadangi pradinis daugianario yra trečiojo laipsnio, jis turi ne daugiau kaip tris šaknis. Kadangi radome tris šaknis, jos paprastos. Tada 2
3.2 pavyzdys
-2, -1, 1, 2
.
Šias reikšmes pakeičiame po vieną:
(-2) 4 + 2 · (-2) 3 + 3 · (-2) 3 + 4 · (-2) + 2 = 6
;
(-1) 4 + 2 · (-1) 3 + 3 · (-1) 3 + 4 · (-1) + 2 = 0
;
1 4 + 2 1 3 + 3 1 3 + 4 1 + 2 = 12;
2 4 + 2 2 3 + 3 2 3 + 4 2 + 2 = 54
.
Jei darysime prielaidą, kad ši lygtis turi sveikąją šaknį, tada ji yra skaičiaus daliklis 2
3.2 pavyzdys
1, 2, -1, -2
.
Pakeiskime x = -1
:
.
Taigi, mes radome kitą šaknį x 2
= -1
.
.
Galima būtų, kaip ir ankstesniu atveju, padalyti daugianarį iš , tačiau terminus sugrupuosime: 2 + 2 = 0 Kadangi lygtis x neturi tikrosios šaknys
, tada daugianario faktorizacija turi formą.
Dauginamo koeficientas. 1 dalis Faktorizavimas
yra universali technika, padedanti išspręsti sudėtingas lygtis ir nelygybes. Pirma mintis, kuri turėtų ateiti į galvą sprendžiant lygtis ir nelygybes, kurių dešinėje pusėje yra nulis, yra pabandyti apskaičiuoti kairę pusę. Išvardinkime pagrindinius:
- daugianario faktoriaus būdai
- bendrąjį veiksnį iškeldami iš skliaustų
- naudojant sutrumpintas daugybos formules
- naudojant kvadratinio trinalio faktoringo formulę
- grupavimo metodas
- daugianario dalijimas iš dvejetainio
neapibrėžtųjų koeficientų metodas
Šiame straipsnyje mes išsamiai aptarsime pirmuosius tris metodus, o kitus apsvarstysime tolesniuose straipsniuose.
1. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų. Norėdami išimti bendrą veiksnį iš skliaustų, pirmiausia turite jį rasti. Bendras daugiklio koeficientas
lygus visų koeficientų didžiausiam bendram dalikliui. Laiško dalis
bendras koeficientas yra lygus į kiekvieną terminą įtrauktų reiškinių su mažiausiu rodikliu sandaugai.
Bendrojo daugiklio priskyrimo schema atrodo taip:
Dėmesio!
Terminų skaičius skliausteliuose yra lygus terminų skaičiui pradinėje išraiškoje. Jei vienas iš dėmenų sutampa su bendruoju koeficientu, tai dalijant jį iš bendrojo, gauname vieną.
1 pavyzdys.
Dauginamo koeficientas:
Išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų. Norėdami tai padaryti, pirmiausia rasime.
1. Raskite visų daugianario koeficientų didžiausią bendrą daliklį, t.y. skaičiai 20, 35 ir 15. Jis lygus 5.
2. Nustatome, kad kintamasis yra visuose nariuose, o mažiausias jo rodiklis yra lygus 2. Kintamasis yra visuose dėmenyse, o mažiausias jo rodiklis yra 3.
Kintamasis yra tik antrajame termine, todėl jis nėra bendro veiksnio dalis.
Taigi bendras veiksnys yra
3. Daugiklį išimame iš skliaustų, naudodami aukščiau pateiktą diagramą: 2 pavyzdys.
Sprendimas. Išskaidykime kairę lygties pusę. Išimkime koeficientą iš skliaustų:
Taigi gauname lygtį 
Prilyginkime kiekvieną veiksnį nuliui:
Mes gauname - pirmosios lygties šaknis.
Šaknys:
Atsakymas: -1, 2, 4
2. Faktorizavimas naudojant sutrumpintas daugybos formules.
Jei daugianario, kurį ketiname koeficientuoti, skaičius yra mažesnis arba lygus trims, tada bandome taikyti sutrumpintas daugybos formules.
1. Jei daugianomas yradviejų terminų skirtumas, tada bandome taikytis kvadratinio skirtumo formulė:
arba kubelių formulės skirtumas:
Štai laiškai ir žymi skaičių arba algebrinę išraišką.
2. Jei daugianomas yra dviejų dėmenų suma, galbūt jį galima apskaičiuoti naudojant kubų sumos formulės:
3. Jei daugianomas susideda iš trijų narių, tada bandome taikyti kvadratinės sumos formulė:
arba kvadratinio skirtumo formulė:
Arba bandome faktorizuoti pagal kvadratinio trinalio faktorinavimo formulė:
Čia ir yra kvadratinės lygties šaknys 
3 pavyzdys.Apskaičiuokite išraišką:
Sprendimas. Prieš mus yra dviejų terminų suma. Pabandykime pritaikyti kubų sumos formulę. Norėdami tai padaryti, pirmiausia turite pavaizduoti kiekvieną terminą kaip tam tikros išraiškos kubą ir tada pritaikyti kubų sumos formulę:
4 pavyzdys. Apskaičiuokite išraišką: 
Sprendimas. Čia turime dviejų išraiškų kvadratų skirtumą. Pirma išraiška: , antra išraiška:
Taikykime kvadratų skirtumo formulę:
Atidarykime skliaustus ir pridėkime panašius terminus, gausime:
Apskritai ši užduotis reikalauja kūrybiško požiūrio, nes nėra universalaus metodo, kaip ją išspręsti. Tačiau pabandykime duoti keletą patarimų.
Daugeliu atvejų daugianario faktorizavimas yra pagrįstas Bezout teoremos padariniu, ty randama arba pasirenkama šaknis, o daugianario laipsnis sumažinamas vienu dalijant iš . Ieškoma gauto daugianario šaknies ir procesas kartojamas iki visiško išsiplėtimo.
Jei šaknies rasti nepavyksta, naudojami specifiniai išplėtimo metodai: nuo grupavimo iki papildomų vienas kitą paneigiančių terminų įvedimo.
Tolesnis pristatymas grindžiamas lygčių sprendimo įgūdžiais aukštesni laipsniai su sveikaisiais koeficientais.
Išskirkite bendrą veiksnį.
Pradėkime nuo paprasčiausio atvejo, kai laisvasis narys lygus nuliui, tai yra, daugianario forma yra .
Akivaizdu, kad tokio daugianario šaknis yra , tai yra, galime pavaizduoti daugianarį formoje .
Šis metodas yra ne kas kita, kaip bendrąjį veiksnį iškeldami iš skliaustų.
Pavyzdys.
Trečiojo laipsnio daugianario koeficientas.
Sprendimas.
Akivaizdu, kas yra daugianario šaknis, tai yra X galima išimti iš skliaustų:
Raskime kvadratinio trinalio šaknis 
Taigi, 
Puslapio viršuje
Racionaliųjų šaknų daugianario faktorinavimas.
Pirmiausia panagrinėkime daugianario išplėtimo metodą su sveikųjų skaičių koeficientais formos , aukščiausio laipsnio koeficientas yra lygus vienetui.
Šiuo atveju, jei daugianario šaknys yra sveikosios, tai jos yra laisvojo termino dalikliai.
Pavyzdys.
Sprendimas.
Pažiūrėkime, ar nėra nepažeistų šaknų. Norėdami tai padaryti, užrašykite skaičiaus daliklius -18
: . Tai yra, jei daugianario šaknys yra sveikosios, tada jos yra tarp įrašytų skaičių. Patikrinkime šiuos skaičius paeiliui pagal Hornerio schemą. Jo patogumas taip pat slypi tuo, kad galiausiai gauname daugianario plėtimosi koeficientus: 
tai yra x=2 Ir x=-3 yra pradinio daugianario šaknys ir galime jį pavaizduoti kaip sandaugą:
Belieka tik suirti kvadratinis trinaris.
Šio trinalio diskriminantas yra neigiamas, todėl neturi realių šaknų.
Atsakymas:
komentaras:
Vietoj Hornerio schemos galima naudoti šaknies pasirinkimą ir vėlesnį daugianario padalijimą iš daugianario.
Dabar apsvarstykite daugianario išplėtimą su sveikaisiais formos koeficientais, o aukščiausio laipsnio koeficientas nėra lygus vienetui.
Šiuo atveju daugianomas gali turėti trupmenines racionalias šaknis.
Pavyzdys.
Įvertinkite išraišką.
Sprendimas.
Atlikdami kintamąjį pakeitimą y = 2x, pereikime prie daugianario, kurio koeficientas lygus vienetui aukščiausiu laipsniu. Norėdami tai padaryti, pirmiausia padauginkite išraišką iš 4
.
Jei gauta funkcija turi sveikųjų skaičių šaknis, tada jos yra tarp laisvojo termino daliklių. Užsirašykime juos:
Paeiliui apskaičiuokime funkcijos reikšmes g(y)šiuose taškuose, kol pasiekiamas nulis. 
Su sąvokomis „polinomas“ ir „polinomo faktorizavimas“ algebroje susiduriama labai dažnai, nes jas reikia žinoti, kad galėtumėte lengvai atlikti skaičiavimus su dideliais daugiaženkliais skaičiais. Šiame straipsnyje bus aprašyti keli skaidymo būdai. Visi jie yra gana paprasti naudoti, tereikia pasirinkti tinkamą kiekvienam konkrečiam atvejui.
Polinomo sąvoka
Polinomas yra vienanarių, tai yra išraiškų, kuriose yra tik daugybos operacija, suma.
Pavyzdžiui, 2 * x * y yra vienanaris, bet 2 * x * y + 25 yra daugianaris, susidedantis iš 2 vienanarių: 2 * x * y ir 25. Tokie daugianariai vadinami dvinariais.
Kartais, kad būtų lengviau išspręsti pavyzdžius su daugiareikšmėmis reikšmėmis, išraišką reikia transformuoti, pavyzdžiui, išskaidyti į tam tikrą skaičių veiksnių, tai yra, skaičius ar išraiškas, tarp kurių atliekamas daugybos veiksmas. Yra keletas polinomo faktoriaus būdų. Verta juos apsvarstyti, pradedant nuo primityviausio, kuris naudojamas pradinėje mokykloje.
Grupavimas (įrašas bendra forma)
Dauginamo faktorinavimo formulė naudojant grupavimo metodą bendras vaizdas atrodo taip:
ac + bd + bc + skelbimas = (ac + bc) + (skelbimas + bd)
Būtina sugrupuoti monomelius taip, kad kiekviena grupė turėtų bendrą veiksnį. Pirmajame skliaustelyje tai yra koeficientas c, o antrajame - d. Tai turi būti padaryta, kad vėliau būtų galima perkelti jį iš laikiklio ir taip supaprastinti skaičiavimus.
Išskaidymo algoritmas naudojant konkretų pavyzdį
Toliau pateikiamas paprasčiausias daugianario faktorinavimo grupavimo metodu pavyzdys:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b)
Pirmajame skliaustelyje reikia paimti terminus su koeficientu a, kuris bus bendras, o antrajame - su koeficientu b. Atkreipkite dėmesį į + ir - ženklus baigtoje išraiškoje. Prieš monomiją įdėjome ženklą, kuris buvo pradinėje išraiškoje. Tai yra, reikia dirbti ne su išraiška 25a, o su išraiška -25. Atrodo, kad minuso ženklas yra „priklijuotas“ prie po jo esančios išraiškos ir į jį visada atsižvelgiama skaičiuojant.
Kitame veiksme iš skliaustų turite išimti daugiklį, kuris yra įprastas. Grupavimas būtent tam ir skirtas. Rašyti už skliausto reiškia rašyti prieš skliaustelį (praleidžiant daugybos ženklą) visus tuos veiksnius, kurie tiksliai kartojasi visuose skliausteliuose esančiuose terminuose. Jei skliausteliuose yra ne 2, o 3 ar daugiau terminų, bendras veiksnys turi būti kiekviename iš jų, kitaip jo negalima ištraukti iš skliausto.
Mūsų atveju skliausteliuose yra tik 2 terminai. Bendras daugiklis matomas iš karto. Pirmajame skliaustelyje yra a, antrajame - b. Čia reikia atkreipti dėmesį į skaitmeninius koeficientus. Pirmajame skliauste abu koeficientai (10 ir 25) yra 5 kartotiniai. Tai reiškia, kad iš skliausto galima išimti ne tik a, bet ir 5a. Prieš skliaustą parašykite 5a, o po to kiekvieną iš skliausteliuose esantį terminą padalinkite iš bendro koeficiento, kuris buvo pašalintas, taip pat skliausteliuose parašykite dalinį, nepamiršdami apie + ir - ženklus. išimkite 7b, taip pat 14 ir 35 kartotinį iš 7.
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5).
Gavome 2 terminus: 5a (2c - 5) ir 7b (2c - 5). Kiekviename iš jų yra bendras veiksnys (visa išraiška skliausteliuose čia yra ta pati, vadinasi, tai bendras veiksnys): 2c - 5. Jį taip pat reikia išimti iš skliausto, tai yra, lieka terminai 5a ir 7b antrame skliaustelyje:
5a(2c – 5) + 7b(2c – 5) = (2c – 5)*(5a + 7b).
Taigi visa išraiška yra tokia:
10ac + 14bc - 25a - 35b = (10ac - 25a) + (14bc - 35b) = 5a (2c - 5) + 7b (2c - 5) = (2c - 5)*(5a + 7b).
Taigi daugianomas 10ac + 14bc - 25a - 35b yra išskaidomas į 2 veiksnius: (2c - 5) ir (5a + 7b). Rašant daugybos ženklą tarp jų galima praleisti
Kartais pasitaiko tokio tipo posakių: 5a 2 + 50a 3, čia galima iš skliaustų dėti ne tik a ar 5a, bet net 5a 2. Visada turėtumėte stengtis iš skliausteliuose išskirti didžiausią bendrą veiksnį. Mūsų atveju, jei kiekvieną terminą padalinsime iš bendro koeficiento, gausime:
5a 2 / 5a 2 = 1; 50a 3 / 5a 2 = 10a(skaičiuojant kelių laipsnių su lygiomis bazėmis koeficientą, bazė išsaugoma, o laipsnis atimamas). Taigi, skliausteliuose lieka vienetas (jokiu būdu nepamirškite jo parašyti, jei iš skliausto išimsite vieną iš terminų) ir padalijimo koeficientas: 10a. Pasirodo, kad:
5a 2 + 50a 3 = 5a 2 (1 + 10a)
Kvadratinės formulės
Kad būtų lengviau apskaičiuoti, buvo sudarytos kelios formulės. Jos vadinamos sutrumpintomis daugybos formulėmis ir naudojamos gana dažnai. Šios formulės padeda koeficientuoti polinomus, kuriuose yra laipsniai. Tai dar vienas efektyvus būdas faktorizavimas. Taigi čia jie yra:
- a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 - formulė, vadinama „sumos kvadratu“, nes dėl skaidymo į kvadratą imama skliausteliuose esančių skaičių suma, tai yra, šios sumos vertė padauginama iš savęs 2 kartus, todėl yra daugiklis.
- a 2 + 2ab - b 2 = (a - b) 2 - skirtumo kvadrato formulė yra panaši į ankstesnę. Rezultatas yra skliausteliuose nurodytas skirtumas, esantis kvadratinėje galioje.
- a 2 - b 2 = (a + b) (a - b)- tai yra kvadratų skirtumo formulė, nes iš pradžių daugianomas susideda iš 2 skaičių arba išraiškų kvadratų, tarp kurių atliekama atimtis. Galbūt iš trijų paminėtų jis naudojamas dažniausiai.
Skaičiavimo naudojant kvadratines formules pavyzdžiai
Jų skaičiavimai yra gana paprasti. Pavyzdžiui:
- 25x 2 + 20xy + 4m 2 - naudokite formulę „sumos kvadratas“.
- 25x2 yra 5x kvadratas. 20xy yra 2*(5x*2y) dviguba sandauga, o 4y 2 yra 2y kvadratas.
- Taigi, 25x 2 + 20xy + 4y 2 = (5x + 2y) 2 = (5x + 2y) (5x + 2y). Šis daugianomas yra išskaidomas į 2 veiksnius (veiksniai tie patys, todėl rašoma kaip išraiška su kvadratine galia).
Veiksmai, naudojant skirtumo kvadrato formulę, atliekami panašiai kaip šie. Likusi formulė yra kvadratų skirtumas. Šios formulės pavyzdžius labai lengva apibrėžti ir rasti tarp kitų išraiškų. Pavyzdžiui:
- 25a 2 - 400 = (5a - 20) (5a + 20). Kadangi 25a 2 = (5a) 2 ir 400 = 20 2
- 36 x 2 – 25 m. 2 = (6 x – 5 m.) (6 x + 5 m.). Kadangi 36x 2 = (6x) 2 ir 25y 2 = (5y 2)
- c 2 - 169b 2 = (c - 13b) (c + 13b). Kadangi 169b 2 = (13b) 2
Svarbu, kad kiekvienas terminas būtų kokios nors išraiškos kvadratas. Tada šis daugianomas turi būti koeficientas naudojant kvadratų skirtumo formulę. Tam nebūtina, kad antrasis laipsnis būtų didesnis už skaičių. Yra daugianarių, kuriuose yra dideli laipsniai, bet vis tiek tinka šioms formulėms.
a 8 +10a 4 +25 = (a 4) 2 + 2*a 4 *5 + 5 2 = (a 4 +5) 2
Šiame pavyzdyje 8 gali būti pavaizduotas kaip (a 4) 2, tai yra, tam tikros išraiškos kvadratas. 25 yra 5 2, o 10a yra 4 - tai yra dvigubas terminų 2 * a 4 * 5 sandauga. Tai reiškia, kad ši išraiška, nepaisant laipsnių su dideliais eksponentais, gali būti suskaidyta į 2 veiksnius, kad vėliau būtų galima su jais dirbti.
Kubo formulės
Tos pačios formulės egzistuoja faktoringo polinomams, kuriuose yra kubelių. Jie yra šiek tiek sudėtingesni nei su kvadratais:
- a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)- ši formulė vadinama kubų suma, nes pradine daugianario forma yra dviejų išraiškų arba skaičių suma, įterpta į kubą.
- a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2) - kubelių skirtumu žymima formulė, identiška ankstesnei.
- a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 - sumos kubas, atlikus skaičiavimus, skaičių ar išraiškų suma yra skliausteliuose ir padauginama iš savęs 3 kartus, tai yra, yra kube
- a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = (a - b) 3 - formulė, sudaryta pagal analogiją su ankstesne, su pakeistais tik kai kuriais ženklais matematines operacijas(pliusas ir minusas), turi pavadinimą „skirtumo kubas“.
Paskutinės dvi formulės praktiškai nenaudojamos daugianario faktoringo tikslui, nes jos yra sudėtingos, ir pakankamai retai randama polinomų, kurie visiškai atitinka būtent šią struktūrą, kad juos būtų galima skaičiuoti naudojant šias formules. Bet jūs vis tiek turite juos žinoti, nes jie bus reikalingi veikiant priešinga kryptimi - atidarant skliaustus.
Kubo formulių pavyzdžiai
Pažiūrėkime į pavyzdį: 64a 3 − 8b 3 = (4a) 3 − (2b) 3 = (4a − 2b)((4a) 2 + 4a*2b + (2b) 2) = (4a−2b)(16a 2 + 8ab + 4b 2 ).
Čia paimti gana paprasti skaičiai, todėl iš karto matosi, kad 64a 3 yra (4a) 3, o 8b 3 – (2b) 3. Taigi šis daugianomas pagal kubų skirtumo formulę išplečiamas į 2 veiksnius. Veiksmai, naudojant kubų sumos formulę, atliekami pagal analogiją.
Svarbu suprasti, kad ne visi daugianariai gali būti išplėsti bent vienu būdu. Tačiau yra posakių, turinčių didesnes galias nei kvadratas ar kubas, tačiau jas taip pat galima išplėsti į sutrumpintas daugybos formas. Pavyzdžiui: x 12 + 125y 3 =(x 4) 3 +(5y) 3 =(x 4 +5y)*((x 4) 2 − x 4 *5y+(5y) 2)=(x 4 + 5y) (x 8 − 5x 4 y + 25y 2).
Šiame pavyzdyje yra net 12 laipsnių. Bet net ir jį galima koeficientuoti naudojant kubų sumos formulę. Norėdami tai padaryti, turite įsivaizduoti x 12 kaip (x 4) 3, tai yra, kaip kokios nors išraiškos kubą. Dabar vietoj a turite jį pakeisti formulėje. Na, išraiška 125y 3 yra 5 m kubas. Tada turite sudaryti produktą pagal formulę ir atlikti skaičiavimus.
Iš pradžių arba jei kyla abejonių, visada galite patikrinti atvirkštinio dauginimo būdu. Jums tereikia atidaryti skliaustus gautoje išraiškoje ir atlikti veiksmus su panašiais terminais. Šis metodas taikomas visiems išvardytiems mažinimo metodams: tiek darbui su bendru koeficientu ir grupavimu, tiek darbui su kubų ir kvadratinių laipsnių formulėmis.
Labai dažnai trupmenos skaitiklis ir vardiklis yra algebrinės išraiškos, kuriuos pirmiausia reikia išskaičiuoti, o paskui, tarp jų radus identiškus, padalyti iš jų ir skaitiklį, ir vardiklį, tai yra sumažinti trupmeną. Visas 7 klasės algebros vadovėlio skyrius skirtas daugianario faktoringo užduočiai. Galima atlikti faktorizavimą 3 būdai, taip pat šių metodų derinys.
1. Sutrumpintų daugybos formulių taikymas
Kaip žinoma, į padauginkite daugianarį iš daugianario, reikia padauginti kiekvieną vieno daugianario narį iš kiekvieno kito daugianario ir pridėti gautus sandaugus. Į sąvoką įtraukiami bent 7 (septyni) dažnai pasitaikantys daugianario dauginimo atvejai. Pavyzdžiui,
1 lentelė. Faktorizavimas 1-uoju būdu
2. Bendrojo koeficiento išėmimas iš skliaustų
Šis metodas pagrįstas skirstomojo daugybos dėsnio taikymu. Pavyzdžiui,
Kiekvieną pradinės išraiškos narį padalijame iš koeficiento, kurį išimame, ir gauname išraišką skliausteliuose (tai yra, padalijus tai, kas buvo iš to, ką pašalinome, lieka skliausteliuose). Pirmiausia jums reikia teisingai nustatyti daugiklį, kurį reikia išimti iš laikiklio.
Bendras veiksnys taip pat gali būti daugianario skliausteliuose:
Atliekant „faktorizavimo“ užduotį, turite būti ypač atsargūs su ženklais, kai bendras koeficientas yra skliausteliuose. Norėdami pakeisti kiekvieno termino ženklą skliausteliuose (b – a), išimkime bendrą veiksnį iš skliaustų -1 , ir kiekvienas terminas skliausteliuose bus padalintas iš -1: (b - a) = - (a - b) .
Jei išraiška skliausteliuose yra kvadratinė (arba bet kokia lyginė laipsnė), tada skaičiai skliausteliuose gali būti keičiami visiškai laisvai, nes iš skliaustų ištraukti minusai padauginus vis tiek virs pliusu: (b – a) 2 = (a – b) 2, (b – a) 4 = (a – b) 4 ir taip toliau…
3. Grupavimo būdas
Kartais ne visi išraiškos terminai turi bendrą veiksnį, o tik kai kurie. Tada galite pabandyti grupės terminai skliausteliuose, kad iš kiekvieno iš jų būtų galima išskirti veiksnį. Grupavimo metodas- tai dvigubas išsinešimas bendri veiksniai iš skliaustų.
4. Naudojant kelis metodus vienu metu
Kartais reikia taikyti ne vieną, o kelis daugianario faktoriaus metodus vienu metu.
Tai yra temos santrauka "Faktorizacija". Pasirinkite, ką daryti toliau:
- Eikite į kitą santrauką: