Šią teoremą suformulavo ir vadovėlyje įrodė L.S. , Pogorelovo A.V. vadovėlyje. tokios teoremos nėra. Matyt, taip yra dėl to, kad L. S. trikampio nelygybė. įrodoma naudojant aukščiau pateiktą teoremą. Pogorelovas A.V. Trikampio nelygybė įrodoma naudojant įstrižosios projekcijos sąvoką.

Pateiksime pažodžiui teoremos apie trikampio kraštinių ir kampų ryšį įrodymą.

Teorema: trikampyje:

1) prieš didesnė pusė yra didesnis kampas;

2) atgal, didesnė pusė yra priešais didesnį kampą.

Įrodymas. 1) Tegu trikampio ABC kraštinė AB yra didesnė už kraštinę AC. Įrodykime, kad kampas C > kampas B. Kraštinėje AB nubraižykime atkarpą AD, lygią kraštinei AC (1 pav.). Nuo mūsų eros<АВ, то тока D лежит между точками А и В. Следовательно, угол 1 является частью угла С и, значит, угол С >kampas 1. Kampas 2 yra išorinis trikampio BDC kampas, todėl kampas 2>kampas B. 1 ir 2 kampai yra lygūs, kaip ir lygiašonio trikampio ADC pagrindo kampai. Taigi kampas C > kampas 1, kampas 1 = kampas 2, kampas 2 > kampas B. Iš to matyti, kad kampas C > kampas B.

2) Tegu trikampyje ABC kampas C > kampas B. Įrodykime, kad AB>AC. Tarkime, kad taip nėra. Tada arba AB = AC arba AB<АС. В первом случае треугольник АВС - равнобедренный и, значит, Угол С= углу В. Во втором случае угол В>kampas C (didesnis kampas yra priešais didesnę pusę). Abu prieštarauja sąlygai: kampas C > kampas B. Todėl mūsų prielaida yra neteisinga, taigi ir AB> AC. Teorema įrodyta.

Iš aukščiau pateikto įrodymo aišku, kad jo idėja yra atlikti papildomą konstrukciją, kuri padalija aptariamą trikampį į du trikampius, iš kurių vienas yra lygiašonis. Rekonstruokime tokios papildomos konstrukcijos idėją, įrodydami šią teoremą naudodami minties eksperimento koncepciją.

Teoremos įrodymas naudojant minties eksperimentą.

Taigi, mūsų minties eksperimento objektas yra trikampio kampai ir kraštinės. Pastatykime jį psichiškai tokiomis sąlygomis (2 pav.), kuriose jo esmė gali būti ypač užtikrintai atskleista (1 etapas).

Šios sąlygos yra:

Trikampio visų kampų ir kraštinių lygybė (lygiakraščio trikampio sąlygos);

Trikampio kraštinių gebėjimas „suspausti“ ir „ištempti“ išlaikant linijos tiesumą;

Trikampio viršūnės gali „slysti“ išilgai linijų, kuriose yra trikampio kraštinės;

Tokios sukonstruotos sąlygos leidžia ypač tiksliai atskleisti trikampio kraštinių ir kampų santykio esmę (1 etapas) – priešingo kampo dydžio priklausomybę nuo priešingos kraštinės dydžio ir atvirkščiai.

Tiesą sakant, atlikdami vėlesnes mentalines transformacijas (2 etapas) „ištempdami“ vieną iš trikampio kraštinių (3 pav.), galėsime stebėti atitinkamą priešingo kampo padidėjimą.

Nurodydami trikampių kampus ir viršūnes (4 pav.), gautus „ištempus“ lygiakraščio trikampio kraštines, taip mintyse formuojame aplinką, jungčių sistemą, į kurią dedame savo mąstymo objektą (3 etapas).

Padidindami kraštinę AC, „ištempdami“ į kraštą AC1, stebėsime kampo 1 padidėjimą ir atitinkamą kampo 2 sumažėjimą. Tačiau taip pat stebėsime kraštinės BC padidėjimą iki pusės BC1. Jei pusė BC padidėjo daugiau nei pusė AC (BC1>AC1), tai teorema neteisinga. Parodykime, kad taip nėra.

Gali būti du atvejai: BC1=AC1 ir BC1 BC1>AC1AC1. Pirmuoju atveju trikampis ABC1 būtų lygiašonis, o kampas 1 lygus kampui 3. Bet taip nėra: kampas 3 nepasikeitė ir yra lygus 60°, bet kampas 1 padidėjo ir tapo > 60° – tai reiškia, kad pusės BC1 ir AC1 nėra lygios (5 pav.). Antruoju atveju pusė AC1 gali būti padidinta į BC1 pusę, „ištempiant“ į A1C1 pusę (t.y. A1C1=BC1) (5 pav.). Gautas trikampis A1BC1 yra lygiašonis, todėl kampai prie pagrindo turi būti lygūs. Bet kampas 3 sumažėjo (t. y. tapo< 60°), а угол 1 снова увеличился - значит стороны А1С1 и ВС1 не равны.

Jei padidinsime ne kraštinę, o kampą, vėl spręsime, kuri iš dviejų pusių (AC ar BC) padidėjo daugiau.

Remdamiesi atliktu minties eksperimentu, galime daryti išvadą, kad teiginys, kad didesnis kampas yra priešais didesnę pusę, yra teisingas ir atvirkščiai.

Vaizdo pamokoje „Teorema apie trikampio kraštinių ir kampų ryšius“ pristatoma ši teorema ir jos pasekmės. Teoremos ir jos pasekmių žinios būtinos sprendžiant praktinius geometrijos uždavinius, kuriuose trikampio parametrams rasti naudojami įvairūs jos kraštinių ir kampų santykiai. Video pamokos tikslas – palengvinti medžiagos supratimą ir skatinti teoremos bei jos pasekmių įsiminimą.

Vaizdo pamokoje naudojami animacijos efektai, kurie padeda paryškinti svarbios detalės geometrines figūrasįsisavinant medžiagą. Spalvų paryškinimas taip pat naudojamas teoremos teiginiui ir jos pasekmėms pabrėžti. Paaiškinimas balsu visiškai pakeičia mokytoją standartiškai pateikiant mokiniams naują medžiagą.

Vaizdo pamokos pradžioje, pristačius temą, ekrane rodomas teoremos tekstas, kuriame teigiama, kad savavališkame trikampyje didesnis kampas yra priešais didesnę kraštinę, tačiau priešais didesnį kampą visada yra didesnė pusė. Šis teiginys parodytas trikampyje ΔABC, kuris pavaizduotas paveikslėlyje po teoremos tekstu. Teoremos įrodymą kalbėtojas paaiškina žodžiu.

Teiginiui įrodyti reikia atsižvelgti į kraštines AB, AC ir prieš jas esančius kampus - ∠C ir ∠B. Daroma prielaida, kad kraštinių AB>AC priešingi kampai bus ∠C>∠B. AB šone išdėstytas segmentas AD, kurio dydis lygus atkarpai AC. Kadangi kraštinė AC yra mažesnė už kraštinę AB, atkarpos taško D galas yra tarp trikampio A ir B viršūnių. Iš to išplaukia, kad statant susidaręs kampas ∠1 yra mažesnis už kampą ∠C, o kampas ∠2 kaip kampo ∠BDC išorinis yra lygus kampų ∠DBC ir ∠DCB sumai. Tai reiškia, kad ∠2 yra didesnis už kampą ∠DBC=∠B. Atitinkamai kampas ∠C yra didesnis už kampą ∠B.

Atvirkštinio teiginio įrodymas priklauso nuo kraštinių santykio AB, AC, jei kampas ∠C yra didesnis už kampą ∠B. Atliekamas prieštaravimo įrodymas. Norėdami tai padaryti, daroma prielaida, kad ∠C>∠B pusė AB yra lygi arba mažesnė už AC pusę. Tačiau atsižvelgiant į kraštinių lygybę AB=AC, žinant lygiašonio trikampio savybes, galima teigti, kad tokiu atveju kampai ∠C=∠B taip pat bus lygūs. Jeigu AB AC.

Toliau pateiktame vaizdo įraše aptariamos šios teoremos pasekmės. Teigiama, kad, remiantis šia teorema, stačiojo trikampio hipotenuzė visada yra didesnė už koją. Iš tiesų, kadangi hipotenuzė yra priešais stačią kampą, kojos yra priešais smailius kampus. Kadangi smailieji kampai visada yra mažesni už stačiuosius, priešingos pusės visada yra mažesnės už hipotenuzą.

Antroji teoremos pasekmė yra lygiašonio trikampio ženklas. Ši išvada teigia, kad trikampio dviejų kampų lygybė reiškia, kad trikampis yra lygiašonis. Remdamiesi trikampio ΔABC pavyzdžiu, nagrinėjame du kampus ∠C ir ∠B bei priešingas kraštines AB ir AC. Daroma prielaida, kad kampų lygybė ∠C=∠B atitinka kraštinių lygybę AB=AC. Iš tiesų, jei kraštinės nebūtų lygios, tada pagal teoremą didesnis kampas būtų priešais didesnę kraštą, o mažesnis kampas būtų priešais mažesnę kraštinę. Taigi kraštinių nelygybės prielaida yra neteisinga. Šis trikampis yra lygiašonis. Tyrimas įrodytas.

Teorema: trikampyje

1. Duota: AB>AC

Įrodykite: ∠C>∠B.

Įrodymas: Nustatykime, kad atkarpa AD būtų lygi atkarpai AC, tada taškas D bus tarp taškų A ir B. Spindulys CD supjaustys kampą ACB į du kampus, o ∠1=∠2. ΔACV susideda iš kampų ∠1 ir ∠3. ∠2 yra išorinis trikampio CDB, o tai reiškia, kad jis yra didesnis už kampą B.

Ryžiai. 1. Teorema apie trikampio kraštinių ir kampų ryšį

∠1=∠2<∠ACB

∠2=∠B+∠3>∠B

∠ACB>∠B, ką ir reikėjo įrodyti.

2. Duota: ∠C>∠B

Įrodykite: ∠AB>∠AC

Ryžiai. 2. Atvirkštinė teorema apie trikampio kraštinių ir kampų ryšį , bet ∠C>∠B pagal sąlygą, todėl lieka tik atvejis, jei AB>AC, ką ir reikėjo įrodyti.

Dar kartą suformuluokime teoremą ir išplėskime ją į visus trikampio kampus.

Teorema: trikampyje

1. Priešais didesnę pusę yra didesnis kampas

2. Ir atvirkščiai, didesnė pusė yra priešinga didesniam kampui.

Ryžiai. 3. Brėžinys teoremai

Jei AB>AC>BC, tai ∠C>∠B>∠A.

Jei ∠C>∠B>∠A, tai AB>AC>BC.

1 išvada: stačiakampiame trikampyje hipotenuzė yra didesnė už koją.

Įrodymas:

Ryžiai. 4. 1 išvados brėžinys

∠A+∠B+90=180, ∠A+∠B=90=∠C. Iš to išplaukia, kad ∠A<90, ∠В<90. Значит, СВ<АВ, СА<АВ. Гипотенуза АВ больше одного катета и больше другого катета. Следствие доказано.

2 išvada: jei du trikampio kampai yra lygūs, tai trikampis yra lygiašonis (lygiašonio trikampio bandymas).

Duota: ∠B=∠C

Įrodykite: AC=AB

Įrodymas: Įrodykime tai prieštaravimu.

Ryžiai. 5. 2 išvados brėžinys

AB>AC ∠C>∠B, tai yra AB=AC. Tyrimas įrodytas.

Aptarkime 2 išvadą. Trikampis vadinamas lygiašoniu, jeigu jo dvi kraštinės lygios. Iš to išplaukia jo savybė: kampai prie pagrindo yra lygūs. Ir dabar turime ženklą, kad jei bet kurios pusės kampai yra lygūs, tai trikampis yra lygiašonis. Turime lygiašonio trikampio ženklą.

1 pavyzdys: Palyginkite trikampio kampus ir sužinokite, ar kampas A gali būti bukas, jei AB = AC<ВС.

Ryžiai. 6. Brėžinys, pavyzdžiui, 1

AB=AC ∠C=∠B. AC<ВС ÐВ<ÐА. Мы получили соотношение между углами: ∠С=∠В ∠А=180-(∠В+∠С).

Pavyzdys: ∠B=∠C=10, tada ∠A=180-(10+10)=160.

Atsakymas: 1) ∠B=∠C<∠А 2) ∠А может быть тупым.

Šiandienos pamokoje nagrinėjome teoremą apie santykį tarp trikampio kraštinių ir kampų. Kitoje pamokoje nagrinėsime trikampių nelygybės temą.

1. Aleksandrovas A.D., Verneris A.L., Ryžikas V.I., Geometrija 7. Leidimas M.: Švietimas.
2. Atanasyanas L.S., Butuzovas V.F., Kadomtsevas S.B. ir kt. Geometrija 7. 5 leidimas. M.: Nušvitimas.
3. Butuzovas V.F., Kadomtsevas S.B., Prasolovas V.V., redagavo Sadovnichy V.A. Geometrija 7. M.: Švietimas. 2010 m

1. Pedagoginių idėjų festivalis „Atvira pamoka“ ().
2. Kaknauchit.ru ().

1. Nr.50. Butuzovas V.F., Kadomtsevas S.B., Prasolovas V.V., redagavo Sadovnichy V.A. Geometrija 7. M.: Švietimas. 2010 m
2. Atkarpa AK yra trikampio ABC su stačiu kampu C mediana. Įrodykite, kad ∠BAK<∠АВС<∠АКС<∠АСВ.
3. Įrodykite, kad stačiojo trikampio hipotenuzė yra didesnė už koją.
4. Tiesės, kuriose yra trikampio ABC viršūnių B ir C išorinių kampų pusiausvyros, susikerta taške O. Raskite kampą BOC, jei kampas A lygus a.

Norėdami naudoti pristatymų peržiūras, susikurkite „Google“ paskyrą ir prisijunkite prie jos: https://accounts.google.com

Skaidrių antraštės:

Teorema apie trikampio kraštinių ir kampų ryšius Geometrijos klasė 7

Pamokos tikslas: Įrodyti teoremą apie trikampio kraštinių ir kampų ryšius. Išmokyti taikyti teoremą sprendžiant uždavinius.

Pamokos planas: Org. Momentas Klausimas žodžiu apie teoriją Išspręskite žodžiu Naujos medžiagos paaiškinimas Naujos medžiagos konsolidavimas Pamokos rezultatai Namų darbai

Išspręskite žodžiu B  ABC A=37 °, B=109 °. Raskite stačiojo trikampio smailiųjų kampų reikšmę 32 °. Apskaičiuokite lygiašonio trikampio kampus, jei trikampio viršūnės kampas yra 28°.

Išspręskite žodžiu 4. Apskaičiuokite lygiašonio trikampio kampus, jei pagrindo kampas yra 77 °. 5. Apskaičiuokite stačiojo lygiašonio trikampio smailiųjų kampų reikšmes. Paaiškinkite, kodėl trikampyje negali būti daugiau nei vienas: 1) bukas kampas; 2) stačiu kampu.

Uždavinys m O S K 1 2 3 Duota:  MOS, M-K-S, KM=MO. Įrodykite: a) 1= 3; b) MOS > 3 Sprendimas: 1 yra MOS kampo dalis, o tai reiškia 1 1 . 2 – išorinis  OKS, 2 = 3 + KOS. Tai reiškia 2 > 3.  MOD yra lygiašonis, todėl 1= 2. Tai reiškia 1 > 3, MOC > 3.

Teorema Trikampyje didesnis kampas yra priešais didesnę kraštinę. B C A Duota:  ABC, AB > AC Įrodykite: C > B Įrodymas: 1. Atkarpą A D =AC nubrėžkime kraštinėje AB. 2. Kadangi A D 1. 2 yra išorinis kampas  B D C, todėl 2 > B. 1 = 2 ( A D C yra lygiašonis) 5. C > 1, 1= 2, 2 > B, todėl C > B 2 1 D

Atvirkštinė teorema Prieš didesnį kampą yra didesnė kraštinė B A C Duota:  ABC, C > B Įrodykite: AB > AC Įrodymas: Tarkime, kad taip nėra. Tada: 1) arba AB = AC; 2) arba AB C (didesnis kampas yra priešais didesnę pusę). Prieštaravimas sąlygai: C > B. Prielaida neteisinga, todėl AB > AC, ką ir reikėjo įrodyti.

Užduočių Nr.236 ir Nr.237 sprendimas - žodžiu Nr.238

Namų darbas p.32 (prieš tyrimą 1) Nr.299

Tema: metodiniai tobulinimai, pristatymai ir pastabos

Testas tema „Trikampio kampų suma. Ryšys tarp trikampio kraštinių ir kampų...

Išėjimo bilietas: trikampio nelygybė. Ryšys tarp trikampio kraštinių ir kampų. Trikampio kampų suma.

Savarankiškas darbas temomis: trikampio nelygybė, trikampio kampų suma, trikampio kraštinių ir kampų santykis....

TRIKAMPAI.

§ 30. TRIKAMPIO KRAŠINIŲ IR KAMPŲ SANTYKIAI.

1 teorema. Didesnis trikampio kampas yra priešais didesnę kraštinę .

Įleisti /\ ABC kraštinė AB yra didesnė už kraštinę BC. Įrodykime, kad kampas C, esantis priešais didesnę kraštinę AB, yra didesnis už kampą A, esantį priešais mažesnę kraštinę BC (164 pav.).

AB pusėje nuo taško B atskiriame atkarpą BD, lygią kraštinei BC, ir sujungiame taškus D ir C su atkarpa.

Trikampis DBC yra lygiašonis. Kampas BDC yra lygus kampui BCD, nes jie yra priešingi lygios pusės trikampyje.

Kampas BDC yra išorinis trikampio ADC kampas, todėl jis yra didesnis už kampą A.

Nes / ВСD = / BDC, tada kampas BCD yra didesnis nei kampas A: / ВСD > / A. Bet kampas BCD yra tik viso kampo C dalis, todėl kampas C bus dar didesnis už kampą A.

Tą pačią teoremą įrodykite patys naudodami 165 brėžinį, kai BD = AB.

18 straipsnyje mes įrodėme, kad lygiašonis trikampis kampai prie pagrindo yra lygūs, t.y. trikampyje lygūs kampai yra priešais lygias puses. Dabar įrodykime atvirkštines teoremas.

2 teorema. Prieš vienodi kampai Trikampis taip pat turi lygias kraštines.

Įleisti /\ ABC / A= / C (166 brėžinys). Įrodykime, kad AB = BC, ty trikampis ABC yra lygiašonis.

Tarp šalių AB ir BC gali būti tik vienas iš šių trijų santykių:

1) AB > BC;
2) AB< ВС;
3) AB = BC.

Jei kraštinė AB būtų didesnė už BC, tai kampas C būtų didesnis už kampą A, bet tai prieštarauja teoremos sąlygai, todėl AB negali būti didesnis už BC.

Taip pat AB negali būti mažesnis už BC, nes šiuo atveju kampas C būtų mažesnis už kampą A.

Vadinasi, galimas tik trečias atvejis, t.y.

Taigi, mes įrodėme: priešingi vienodi kampai trikampyje yra vienodos kraštinės.

3 teorema. Didesnė trikampio kraštinė yra priešinga didesniam kampui.

Įveskite trikampį ABC (167 pav.) / C> / B

Įrodykime, kad AB > AC.

Taip pat gali būti vienas iš šių trijų santykių:

1) AB = AC;
2) AB< АС;
3) AB > AC.

Jei kraštinė AB būtų lygi kraštinei AC, tai / C būtų lygus / B. Bet tai prieštarauja teoremos sąlygoms. Tai reiškia, kad AB negali būti lygus AC

Lygiai taip pat AB negali būti mažesnis už AC, nes šiuo atveju kampas C būtų mažesnis už kampą B, o tai taip pat prieštarauja šiai sąlygai.

Todėl galimas tik vienas atvejis, būtent:

Mes įrodėme, kad didesnė trikampio kraštinė yra priešinga didesniam kampui.

Pasekmė. IN stačiakampis trikampis. hipotenuzė yra didesnė už bet kurią jos koją.