Kiekvienas žmogus, spręsdamas matematikos uždavinius, dažnai susiduria su trupmenomis. Jų yra daug, todėl pažiūrėsime skirtingų variantų sprendžiant pagrindines tokias problemas.

Kas yra trupmenos

Viršutinis bet kurios trupmenos skaičius vadinamas skaitikliu, o apatinis skaičius yra vardiklis. Paprastoji trupmena- tai yra dviejų skaičių koeficientas, vienas iš šių skaičių yra trupmenos skaitiklyje, antrasis yra trupmenos vardiklyje. Šių bendrųjų trupmenų tipai bus nustatyti lyginant trupmenos vardiklį ir skaitiklį.

Jei trupmenos vardiklis (natūralus skaičius) yra didesnis už trupmenos skaitiklį (natūralusis skaičius), tada trupmena vadinama tinkama. Štai keletas pavyzdžių: 7/19; 9/13; 31/152; 5/17.

Jei trupmenos (natūralaus skaičiaus) vardiklis yra mažesnis arba lygus trupmenos skaitikliui (natūralusis skaičius), tada trupmena vadinama netinkama. Štai keletas pavyzdžių: 7/5; 19/3; 15/9; 231/63.

Kaip konvertuoti neteisingą trupmeną

Norėdami paversti mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną, turite padauginti visą trupmenos dalį iš trupmeninėje dalyje esančio vardiklio ir pridėti skaitiklį prie šio sandaugos. Tada paimkite sumą kaip skaitiklį, rašydami tą patį vardiklį, kaip ir anksčiau. Štai keletas pavyzdžių:

• 4(3/11) = (4x11+3)/11 = (44+3)/11 = 47/11.
• 11(5/9) = (11x9+5)/9 = (99+5)/9 = 104/9.

Norėdami konvertuoti neteisingą trupmeną į tinkamą trupmeną, turite padalyti netinkamos trupmenos skaitiklį iš vardiklio. Paimkite gautą sveikąjį skaičių visa dalis trupmenas, o likusią dalį (žinoma, jei tokia yra) imkite kaip tinkamos trupmenos trupmeninės dalies skaitiklį, užrašydami tą patį vardiklį, kaip ir anksčiau. Štai keletas pavyzdžių:

• 150/13 = (143/13)+(7/13) = 11(7/13).
• 156/12 = (13x12)/12 = 13.

Norint konvertuoti neteisingą trupmeną į dešimtainę, reikia išsiaiškinti, ar yra toks koeficientas, kuris leistų netinkamosios trupmenos trupmeninės dalies vardiklį sumažinti iki skaičiaus, lygaus dešimčiai (arba dešimties, kad yra padidintas iki bet kokio laipsnio (10, 100, 1000 ir daugiau), tada reikia padauginti netinkamos trupmenos skaitiklį ir vardiklį, kad jį patikrintumėte kableliu į sveikąją netinkamos trupmenos dalį Štai pavyzdžiai:

• Daugiklis „5“ – 8/20 = (8x5)/(20x5) = 40/100 = 0,4.
• Daugiklis „4“ – 14/25 = (14x4)/(25x4) = 56/100 = 0,56.
• Daugiklis "25" – 3/40 = (3x25)/(40x25) = 75/1000 = 0,075.

Jei tokio daugiklio nėra, tai reiškia, kad tai tinkama trupmena dešimtaine forma nėra aiškaus atitikmens. Tai yra, ne kiekvienas netinkama trupmena galima konvertuoti į dešimtainę. Tokiu atveju reikia rasti apytikslę trupmenos vertę su reikiamu tikslumo laipsniu. Tokią trupmeną galite apskaičiuoti skaičiuotuvu, galvoje arba stulpelyje. Štai keletas pavyzdžių: 41/7 = 5(6/7) = 5,9 (suapvalinta iki dešimtųjų), = 5,86 (suapvalinta iki šimtųjų dalių), = 5,857 (suapvalinta iki tūkstantųjų); 3/7, 7/6, 1/3 ir kt. Jie taip pat nėra aiškiai išversti ir apskaičiuojami skaičiuotuvu, galvoje arba stulpelyje.

Dabar jūs žinote, kaip neteisingą trupmeną konvertuoti į tinkamą arba dešimtainę trupmeną!

Šioje medžiagoje panagrinėsime mišrių skaičių sampratą. Pradėkime, kaip visada, nuo apibrėžimo ir nedidelių pavyzdžių, tada paaiškinsime ryšį tarp mišrių skaičių ir netinkamų trupmenų. Po to išmoksime teisingai atskirti sveikąją dalį nuo trupmenos ir gauti sveikąjį skaičių.

Mišraus skaičiaus koncepcija

Jei imsime sumą n + a b, kur n reikšmė gali būti bet koks natūralusis skaičius, o a b yra tinkama paprastoji trupmena, tai tą patį galime parašyti nenaudodami pliuso: n a b. Aiškumo dėlei paimkime konkrečius skaičius: pavyzdžiui, 28 + 5 7 yra tas pats, kas 28 5 7. Trupmenos užrašymas šalia sveikojo skaičiaus vadinamas mišriu skaičiumi.

1 apibrėžimas

Mišrus skaičius reiškia skaičių, kuris lygus natūraliojo skaičiaus n sumai su tinkama įprastine trupmena a b. Šiuo atveju n yra sveikoji skaičiaus dalis, o a b yra jo trupmeninė dalis.

Iš apibrėžimo matyti, kad bet koks mišrus skaičius yra lygus tam, kas gaunama sudėjus jo sveikąsias ir trupmenines dalis. Taigi lygybė n a b = n + a b bus įvykdyta.

Jis taip pat gali būti parašytas kaip n + a b = n a b.

Kokie yra mišrių skaičių pavyzdžiai? Taigi, jie apima 5 1 8, o penki yra jo sveikoji dalis, o viena aštuntoji yra trupmena. Daugiau pavyzdžių: 1 1 2, 234 34 53, 34000 6 25.

Aukščiau tai rašėme trupmeninėje dalyje mišrus skaičius Turėtų pasirodyti tik tinkamos trupmenos. Kartais galite rasti tokių įrašų kaip 5 22 3, 75 7 2. Jie nėra mišrūs skaičiai, nes jų trupmeninė dalis neteisinga. Jie turi būti suprantami kaip sveikųjų skaičių ir trupmeninių dalių suma. Tokius skaičius gali būti sumažintas iki standartinio mišraus skaičiaus žymėjimo, šiuose pavyzdžiuose ištraukus visą dalį iš netinkamos trupmenos ir pridedant ją atitinkamai prie 5 ir 75.

0 3 14 formos skaičiai taip pat nemaišomi. Pirmoji sąlygos dalis čia netenkinama: turi būti pavaizduota tik visa dalis natūralusis skaičius, bet nulis nėra.

Kaip netinkamos trupmenos ir mišrūs skaičiai yra susiję vienas su kitu

Šį ryšį lengviausia pamatyti konkrečiu pavyzdžiu.

1 pavyzdys

Imkime visą pyragą ir dar tris ketvirtadalius to paties. Pagal papildymo taisykles ant stalo turime 1 + 3 4 tortus. Šis kiekis gali būti išreikštas mišriu skaičiumi kaip 1 3 4 pyragaičiai. Jei imsime visą pyragą ir taip pat supjaustysime į keturias lygias dalis, tai ant stalo turėsime 7 4 pyragus. Akivaizdu, kad nuo pjovimo kiekis nepadidėjo ir 1 3 4 = 7 4.

Mūsų pavyzdys įrodo, kad bet kuri neteisinga trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius.

Grįžkime prie mūsų 7 4 pyragaičių, likusių ant stalo. Sudėkite vieną pyragą iš gabalėlių (1 + 3 4). Vėl turėsime 134.

Atsakymas: 7 4 = 1 3 4 .

Suprantame, kaip neteisingą trupmeną konvertuoti į mišrų skaičių. Jei neteisingos trupmenos skaitiklyje yra skaičius, kurį galima padalyti iš vardiklio be liekanos, galime tai padaryti, ir tada mūsų netinkamoji trupmena taps natūraliuoju skaičiumi.

2 pavyzdys

Pavyzdžiui,

8 4 = 2, nes 8: 4 = 2.

Kaip mišrų skaičių konvertuoti į netinkamą trupmeną

Norint sėkmingai išspręsti uždavinius, naudinga mokėti atlikti atvirkštinį veiksmą, tai yra iš mišrių skaičių sudaryti netinkamas trupmenas. Šioje pastraipoje apžvelgsime, kaip tai padaryti teisingai.

Norėdami tai padaryti, turite atkurti šią veiksmų seką:

1. Pirmiausia įsivaizduokite turimą mišrų skaičių n a b kaip sveikojo skaičiaus ir trupmeninių dalių sumą. Pasirodo, n + a b

3.Po to atliekame jau pažįstamą veiksmą – sudedame dvi paprastas trupmenas n 1 ir a b. Gauta neteisinga trupmena bus lygi sąlygoje nurodytam mišriam skaičiui.

Pažvelkime į šį veiksmą naudodami konkretų pavyzdį.

3 pavyzdys

Išreikškite 5 3 7 kaip netinkamą trupmeną.

Sprendimas

Aukščiau pateikto algoritmo veiksmus atliekame nuosekliai. Mūsų skaičius 5 3 7 yra sveikųjų ir trupmeninių dalių suma, tai yra, 5 + 3 7. Dabar parašykime penkis į formą 5 1. Gavome sumą 5 1 + 3 7.

Paskutinis veiksmas yra trupmenų su skirtingais vardikliais pridėjimas:

5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7

Visas sprendimas trumpa forma galima parašyti kaip 5 3 7 = 5 + 3 7 = 5 1 + 3 7 = 35 7 + 3 7 = 38 7.

Atsakymas: 5 3 7 = 38 7 .

Taigi, naudodamiesi aukščiau pateikta veiksmų grandine, bet kurį mišrų skaičių n a b galime paversti netinkamąja trupmena. Turime formulę n a b = n b + a b, kurią panaudosime spręsdami tolesnius uždavinius.

4 pavyzdys

Išreikškite 15 2 5 kaip netinkamą trupmeną.

Sprendimas

Paimkime nurodytą formulę ir pakeiskime ja reikalingos vertės. Turime n = 15, a = 2, b = 5, todėl 15 2 5 = 15 5 + 2 5 = 77 5.

Atsakymas: 15 2 5 = 77 5 .

Paprastai kaip galutinį atsakymą neįtraukiame netinkamos trupmenos. Įprasta užbaigti skaičiavimą ir pakeisti jį natūraliuoju skaičiumi (skaitiklį dalijant iš vardiklio), arba mišriu skaičiumi. Paprastai pirmasis metodas naudojamas, kai skaitiklio dalijimas iš vardiklio galimas be liekanos, o antrasis metodas naudojamas, kai toks veiksmas neįmanomas.

Kai išskiriame visą netinkamos trupmenos dalį, ją tiesiog pakeičiame lygiu mišriu skaičiumi.

Išsiaiškinkime, kaip tiksliai tai daroma.

2 apibrėžimas

Pateikime šio teiginio įrodymą.

Turime paaiškinti, kodėl q r b = a b . Norėdami tai padaryti, mišrus skaičius q r b turi būti pavaizduotas kaip netinkama trupmena, atliekant visus ankstesnės pastraipos algoritmo veiksmus. Kadangi yra nepilnas koeficientas, o r yra a dalybos iš b liekana, tai lygybė a = b · q + r turi galioti.

Taigi, q b + r b = a b, taigi q r b = a b. Tai mūsų teiginio įrodymas. Apibendrinkime:

3 apibrėžimas

Sveikosios dalies išskyrimas iš netinkamos trupmenos a b atliekamas tokiu būdu:

1) padalinkite a iš b su liekana ir užrašykite nepilną dalinį q ir liekaną r atskirai.

2) Rezultatus rašome q r b forma. Tai mūsų mišrus skaičius, lygus pradinei netinkamai trupmenai.

5 pavyzdys

Pagalvokite apie 107 4 kaip mišrų skaičių.

Sprendimas

Padalinkite 104 iš 7 naudodami stulpelį:

Skaitiklį a = 118 padalijus iš vardiklio b = 7, gauname galutinį dalinį koeficientą q = 16, o liekaną r = 6.

Dėl to gauname, kad neteisinga trupmena 118 7 yra lygi mišriam skaičiui q r b = 16 6 7.

Atsakymas: 118 7 = 16 6 7 .

Tiesiog turime išsiaiškinti, kaip neteisingą trupmeną pakeisti natūraliuoju skaičiumi (su sąlyga, kad jo skaitiklis dalijasi iš vardiklio be liekanos).

Norėdami tai padaryti, prisiminkime, koks ryšys yra tarp paprastųjų trupmenų ir padalijimo. Iš to galime išvesti tokias lygybes: a b = a: b = c. Pasirodo, netinkamąją trupmeną a b galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi c.

6 pavyzdys

Pavyzdžiui, jei paaiškėja, kad atsakymas yra neteisinga trupmena 27 3, vietoj to galime parašyti 9, nes 27 3 = 27: 3 = 9.

Atsakymas: 27 3 = 9 .

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Trupmena yra skaičius, sudarytas iš vieno ar daugiau vienetų. Matematikoje yra trijų tipų trupmenos: bendroji, mišrioji ir dešimtainė.

• 
  Paprastosios trupmenos

Paprastoji trupmena rašoma kaip santykis, kuriame skaitiklis parodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus, o vardiklis – į kiek dalių padalintas vienetas. Jei skaitiklis mažiau nei vardiklis, tada turime tinkamą trupmeną. Pavyzdžiui: ½, 3/5, 8/9.

Jei skaitiklis yra lygus vardikliui arba didesnis už jį, tai yra netinkama trupmena. Pavyzdžiui: 5/5, 9/4, 5/2 Padalijus skaitiklį, gali būti baigtinis skaičius. Pavyzdžiui, 40/8 = 5. Todėl bet kurį sveikąjį skaičių galima užrašyti kaip paprastąją netinkamąją trupmeną arba tokių trupmenų seriją. Laikykime to paties skaičiaus įrašus skirtingų įrašų serija.

• Mišrios frakcijos

IN bendras vaizdas mišrią trupmeną galima pavaizduoti pagal formulę:

Taigi mišri trupmena rašoma kaip sveikasis skaičius ir įprastinė tikroji trupmena, o toks žymėjimas suprantamas kaip visumos ir jos trupmeninės dalies suma.

• Dešimtainės

Dešimtainė yra specialus trupmenos tipas, kurio vardiklis gali būti pavaizduotas kaip laipsnis 10. Yra begalinės ir baigtinės dešimtainės trupmenos. Rašant tokio tipo trupmenas pirmiausia nurodoma visa dalis, po to per skyriklį (tašką arba kablelį) įrašoma trupmeninė dalis.

Trupmeninės dalies žymėjimas visada nustatomas pagal jos matmenis. Dešimtainė žyma atrodo taip:

Įvairių tipų trupmenų konvertavimo taisyklės

• Vertimas mišri frakcijaį eilinį

Mišrią trupmeną galima paversti tik netinkama trupmena. Norint išversti, reikia visą dalį suvesti į tą patį vardiklį kaip ir trupmeninę dalį. Apskritai tai atrodys taip:
Pažvelkime į šios taisyklės naudojimą naudodami konkrečius pavyzdžius:

• Paprastosios trupmenos pavertimas mišriąja trupmena

Neteisinga trupmena gali būti konvertuojama į sumaišė paprastas padalijimas, dėl kurio gaunama sveikoji dalis ir liekana (trupmeninė dalis).

Pavyzdžiui, paverskime trupmeną 439/31 į mišrią:
​​

• Trupmenų konvertavimas

Kai kuriais atvejais trupmeną konvertuoti į dešimtainį skaičių yra gana paprasta. Šiuo atveju taikoma pagrindinė trupmenos savybė: skaitiklis ir vardiklis padauginami iš to paties skaičiaus, kad daliklis būtų laipsnis 10.

Pavyzdžiui:

Kai kuriais atvejais jums gali tekti rasti koeficientą dalijant iš kampų arba naudojant skaičiuotuvą. Ir kai kurių trupmenų negalima sumažinti iki paskutinio kablelio. Pavyzdžiui, dalijama trupmena 1/3 niekada neduos galutinio rezultato.

Instrukcijos

Raskite gautos trupmenos skaitiklį, kuris turėtų likti atskyrus nuo jos visą dalį. Norėdami tai padaryti, padauginkite apskaičiuotą sveikojo skaičiaus dalį (20) iš vardiklio (23) ir atimkite rezultatą (20*23=460) iš pradinės trupmenos skaitiklio (475). Šią operaciją taip pat galima atlikti galvoje, stulpelyje arba naudojant skaičiuotuvą (475-460=15).

Surinkite apskaičiuotus duomenis į vieną įrašą mišrios trupmenos pavidalu - pirmiausia parašykite visą dalį (20), tada parašykite teisingą su skaitikliu (15) ir (23). Kaip pavyzdį naudotam pavyzdžiui netinkamos trupmenos pavertimą tinkama (tiksliau – mišriąja) galima parašyti taip: 475/23=20 15/23.

Dažnai tenka ką nors padalyti į dalis, o tos dalys, į kurias padalinta visuma, yra trupmenos. Matematikoje yra keletas trupmenų tipų: dešimtainės (0,1; 2,5 ir pan.) ir paprastosios (1/3; 5/9; 67/89 ir pan.). Tai paprastos trupmenos, kurios yra tinkamos ir netinkamos.

Instrukcijos

Įprastas trupmena vadinamas teisingu, jei skaičius jo skaitiklyje yra mažesnis skaičius, stovi vardiklyje. Sumažinti trupmenas atliekama siekiant dirbti su mažiausiais dideli skaičiai.

Instrukcijos

Norėdami konvertuoti mišrų skaičių

Dešimtainiai skaičiai, pvz., 0,2; 1,05; 3.017 ir kt. kaip išgirsta, taip ir rašoma. Nulinis taškas du, gauname trupmeną. Vienas taškas penkias šimtąsias dalis, gauname trupmeną. Tritaškis septyniolika tūkstantųjų, gauname trupmeną. Skaičiai prieš dešimtainį tašką yra visa trupmenos dalis. Skaičius po kablelio yra būsimos trupmenos skaitiklis. Jei po kablelio vienženklis skaičius- vardiklis bus 10, jei dviženklis - 100, triženklis - 1000 ir kt. Kai kurias gautas frakcijas galima sumažinti. Mūsų pavyzdžiuose

Trupmenos konvertavimas į dešimtainę

Tai yra priešinga ankstesnei transformacijai. Kokia yra dešimtainės trupmenos charakteristika? Jo vardiklis visada yra 10, arba 100, arba 1000, arba 10000 ir pan. Jei jūsų bendroji trupmena turi tokį vardiklį, problemų nėra. Pavyzdžiui, arba

Jei trupmena yra, pavyzdžiui, . Tokiu atveju reikia panaudoti pagrindinę trupmenos savybę ir vardiklį paversti į 10 arba 100, arba 1000... Mūsų pavyzdyje skaitiklį ir vardiklį padauginus iš 4, gauname trupmeną, kuri gali būti parašyta formoje dešimtainis skaičius 0,12.

Kai kurias trupmenas lengviau padalyti nei paversti vardiklį. Pavyzdžiui,

Kai kurių trupmenų negalima konvertuoti į dešimtaines!
Pavyzdžiui,

Mišrios trupmenos pavertimas netinkama trupmena

Pavyzdžiui, mišrią frakciją galima lengvai konvertuoti į netinkamą frakciją. Norėdami tai padaryti, turite padauginti visą dalį iš vardiklio (apačioje) ir pridėti ją su skaitikliu (viršuje), palikdami vardiklį (apačią). Tai yra

Konvertuodami mišrią trupmeną į netinkamą trupmeną, galite atsiminti, kad galite naudoti frakcijų pridėjimą

Netinkamos trupmenos konvertavimas į mišrią trupmeną (visos dalies paryškinimas)

Netinkama trupmena gali būti konvertuojama į mišrią trupmeną, paryškinant visą dalį. Pažiūrėkime į pavyzdį. Mes nustatome, kiek sveikųjų skaičių kartų „3“ telpa į „23“. Arba skaičiuotuvu padalykite 23 iš 3, visas skaičius iki kablelio yra norimas. Tai yra "7". Toliau nustatome būsimos trupmenos skaitiklį: gautą „7“ padauginame iš vardiklio „3“ ir atimame rezultatą iš skaitiklio „23“. Kaip rasti priedą, kuris lieka iš skaitiklio „23“, jei pašalinsime maksimalus kiekis"3". Vardiklį paliekame nepakeistą. Viskas padaryta, užrašykite rezultatą