Apibrėžimas. Jei kiekvienas natūralusis skaičius n yra susietas su skaičiumi xn, tai sakome, kad seka duota

x1, x2, …, xn = (xn)

Bendrasis sekos elementas yra n funkcija.

Tokiu būdu seka gali būti laikoma funkcija.

Galite nustatyti seką įvairiais būdais- svarbiausia, kad būtų nurodytas bet kurio sekos nario gavimo būdas.

Pavyzdys. (xn) = ((-1)n) arba (xn) = -1; 1; -1; 1; ...

(xn) = (sinn/2) arba (xn) = 1; 0; 1; 0; ...

Sekams galima apibrėžti šias operacijas:

Seką padauginus iš skaičiaus m: m(xn) = (mxn), t.y. mx1, mx2, …

Sekų sudėjimas (atėmimas): (xn) (yn) = (xn yn).

Sekų sandauga: (xn)(yn) = (xnyn).

Sekos koeficientas: ties (yn) 0.

Apribotos ir neapribotos sekos.

Apibrėžimas. Seka (xn) vadinama ribota, jei yra toks skaičius M>0, kad bet kuriai n yra teisinga ši nelygybė:

tie. visi sekos nariai priklauso intervalui (-M; M).

Apibrėžimas. Sakoma, kad seka (xn) yra apribota aukščiau, jei bet kuriam n yra toks skaičius M, kad xn M.

Apibrėžimas. Sakoma, kad seka (xn) yra apribota žemiau, jei bet kuriam n yra toks skaičius M, kad xn M

Pavyzdys. (xn) = n – ribojama žemiau (1, 2, 3, … ).

Apibrėžimas. Skaičius a vadinamas sekos (xn) riba, jei bet kurio teigiamo >0 atveju yra toks skaičius N, kad visiems n > N tenkinama sąlyga: Rašoma: lim xn = a.

Šiuo atveju seka (xn) konverguoja į a kaip n.

Savybė: Jei atmetate bet kokį sekos terminų skaičių, gaunamos naujos sekos, o jei viena iš jų susilieja, tada kita taip pat suartėja.

Pavyzdys. Įrodykite, kad sekos riba yra lim.

Tegu teisinga n > N, t.y. . Tai tiesa, kai, jei N yra sveikoji dalis, aukščiau pateiktas teiginys galioja.

Pavyzdys. Parodykite, kad n sekos 3 riba yra 2.

Iš viso: (xn) = 2 + 1/n; 1/n = xn - 2

Akivaizdu, kad yra toks skaičius n, kad, t.y. lim(xn) = 2.

Teorema. Seka negali turėti daugiau nei vienos ribos.

Įrodymas. Tarkime, kad seka (xn) turi dvi ribas a ir b, kurios nėra lygios viena kitai.

Įvadas………………………………………………………………………………3

1. Teorinė dalis………………………………………………………………….4

Pagrindinės sąvokos ir terminai………………………………………………………………......4

1.1 Sekų tipai…………………………………………………………………6

1.1.1.Ribotos ir neribotos skaičių sekos…..6

1.1.2. Sekų monotoniškumas……………………………………6

1.1.3. Be galo didelės ir be galo mažos sekos…….7

1.1.4.Be galo mažų sekų savybės……………………8

1.1.5.Konvergentinės ir divergentinės sekos bei jų savybės.....9

1.2 Sekos apribojimas…………………………………………………….11

1.2.1.Sekų ribų teoremos………………………………15

1.3. Aritmetinė progresija…………………………………………17

1.3.1. Aritmetinės progresijos savybės……………………………………..17

1.4 Geometrinė progresija……………………………………………………………..19

1.4.1. Geometrinės progresijos savybės……………………………………….19

1.5. Fibonačio skaičiai………………………………………………………………..21

1.5.1 Fibonačio skaičių ryšys su kitomis žinių sritimis…………………….22

1.5.2. Fibonačio skaičių serijos naudojimas gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti………………………………………………………………………………………………….

2. Nuosavas tyrimas……………………………………………………….28

Išvada…………………………………………………………………………………….30

Literatūros sąrašas………………………………………………………………..31

Įvadas.

Skaičių sekos labai įdomios ir edukacinė tema. Ši tema randama sudėtingesnėse užduotyse, kurias autoriai siūlo studentams didaktinės medžiagos, matematikos olimpiadų uždaviniuose, stojamieji egzaminaiį Aukštesnįjį Švietimo įstaigos ir dėl vieningo valstybinio egzamino. Man įdomu sužinoti, kaip matematinės sekos yra susijusios su kitomis žinių sritimis.

Tikslas tiriamąjį darbą: Išplėskite žinias apie skaičių seką.

1. Apsvarstykite seką;

2. Apsvarstykite jo savybes;

3. Apsvarstykite sekos analitinę užduotį;

4. Parodykite savo vaidmenį plėtojant kitas žinių sritis.

5. Parodykite, kaip naudojama Fibonačio skaičių serija gyvajai ir negyvajai gamtai apibūdinti.

1. Teorinė dalis.

Pagrindinės sąvokos ir terminai.

Apibrėžimas. Skaičių seka yra y = f(x), x О N formos funkcija, kur N yra natūraliųjų skaičių aibė (arba natūraliojo argumento funkcija), žymima y = f(n) arba y1, y2, …, yn,…. Reikšmės y1, y2, y3,... atitinkamai vadinamos pirmuoju, antruoju, trečiuoju,... sekos nariais.

Skaičius a vadinamas sekos x = (x n ) riba, jei savavališkam iš anksto nustatytam savavališkai mažam teigiamam skaičiui ε yra toks natūralusis skaičius N kad visoms n>N nelygybė |x n - a|< ε.

Jei skaičius a yra sekos x = (x n ) riba, tada jie sako, kad x n linksta į a, ir rašo

.

Sakoma, kad seka (yn) didėja, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra didesnis nei ankstesnis:

y1< y2 < y3 < … < yn < yn+1 < ….

Seka (yn) vadinama mažėjančia, jei kiekvienas narys (išskyrus pirmąjį) yra mažesnis nei ankstesnis:

y1 > y2 > y3 > … > yn > yn+1 > … .

Didėjančios ir mažėjančios sekos jungiamos pagal bendrą terminą – monotoninės sekos.

Seka vadinama periodine, jei yra natūralusis skaičius T, kuriame, pradedant nuo kurio nors n, galioja lygybė yn = yn+T. Skaičius T vadinamas periodo ilgiu.

Aritmetinė progresija yra seka (an), kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrosios, lygi sumai ankstesnis narys ir tas pats skaičius d vadinamas aritmetine progresija, o skaičius d yra aritmetinės progresijos skirtumas.

Taigi, aritmetinė progresija yra skaitinė seka (an), kurią rekursyviai apibrėžia santykiai

a1 = a, an = an–1 + d (n = 2, 3, 4, …)

Geometrinė progresija yra seka, kurioje visi nariai skiriasi nuo nulio ir kurios kiekvienas narys, pradedant nuo antrojo, gaunamas iš ankstesnio nario, padauginus iš to paties skaičiaus q.

Taigi, geometrinė progresija yra skaitinė seka (bn), nuolat apibrėžiama ryšiais

b1 = b, bn = bn–1 q (n = 2, 3, 4…).

1.1 Sekų tipai.

1.1.1 Apribotos ir neribotos sekos.

Sakoma, kad seka (bn) yra apribota aukščiau, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≤ M;

Toliau seka (bn) vadinama apribota, jei yra toks skaičius M, kad bet kuriam skaičiui n galioja nelygybė bn≥ M;

Pavyzdžiui:

1.1.2 Sekų monotoniškumas.

Seka (bn) vadinama nedidėjančia (nemažėjančia), jei bet kurio skaičiaus n nelygybė bn≥ bn+1 (bn ≤bn+1) yra teisinga;

Seka (bn) vadinama mažėjančia (didėjančia), jei bet kuriam skaičiui n nelygybė bn> bn+1 (bn

Mažėjančios ir didėjančios sekos vadinamos griežtai monotoniškomis, nedidėjančios – monotoninėmis plačiąja prasme.

Sekos, kurios yra apribotos ir viršuje, ir apačioje, vadinamos apribotomis.

Visų šių tipų seka vadinama monotoniška.

1.1.3 Be galo didelės ir mažos sekos.

Be galo maža seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į nulį.

Sakoma, kad seka an yra be galo maža, jei

Funkcija vadinama be galo maža taško x0 kaimynystėje, jei ℓimx→x0 f(x)=0.

Funkcija begalybėje vadinama be galo maža, jei ℓimx→.+∞ f(x)=0 arba ℓimx→-∞ f(x)=0

Taip pat be galo maža yra funkcija, vaizduojanti skirtumą tarp funkcijos ir jos ribos, tai yra, jei ℓimx→.+∞ f(x)=a, tai f(x) − a = α(x), ℓimx→.+∞ f((x)-a)=0.

Be galo didelė seka yra skaitinė funkcija arba seka, linkusi į begalybę.

Sakoma, kad seka an yra be galo didelė, jei

ℓimn→0 an=∞.

Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė taško x0 kaimynystėje, jei ℓimx→x0 f(x)= ∞.

Sakoma, kad funkcija yra be galo didelė begalybėje, jei

ℓimx→.+∞ f(x)= ∞ arba ℓimx→-∞ f(x)= ∞ .

1.1.4 Be galo mažų sekų savybės.

Dviejų be galo mažų sekų suma taip pat yra be galo maža seka.

Dviejų be galo mažų sekų skirtumas taip pat yra be galo maža seka.

Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų algebrinė suma taip pat yra be galo maža seka.

Apribotos sekos ir be galo mažos sekos sandauga yra be galo maža seka.

Bet kurio baigtinio skaičiaus be galo mažų sekų sandauga yra be galo maža seka.

Bet kuri be galo maža seka yra ribojama.

Jei stacionari seka yra be galo maža, tai visi jos elementai, pradedant nuo tam tikro taško, yra lygūs nuliui.

Jei visa begalinė seka susideda iš identiškų elementų, tai šie elementai yra nuliai.

Jei (xn) yra be galo didelė seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/xn), kuri yra be galo maža. Tačiau jei (xn) yra nulis elementų, seka (1/xn) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo maža.

Jei (an) yra be galo maža seka, kurioje nėra nulio terminų, tada yra seka (1/an), kuri yra be galo didelė. Jei (an) vis dėlto yra nulis elementų, seka (1/an) vis tiek gali būti apibrėžta pradedant nuo kokio nors skaičiaus n ir vis tiek bus be galo didelė.

1.1.5 Konvergentinės ir divergentinės sekos ir jų savybės.

Konvergencinė seka – tai aibės X elementų seka, kuri šioje aibėje turi ribą.

Divergentinė seka yra seka, kuri nėra konvergentiška.

Kiekviena be galo maža seka yra konvergentiška. Jo riba yra nulis.

Bet kokio baigtinio elementų skaičiaus pašalinimas iš begalinės sekos neturi įtakos nei tos sekos konvergencijai, nei ribai.

Bet kuri konvergencinė seka yra ribojama. Tačiau ne kiekviena ribota seka susilieja.

Jei seka (xn) suartėja, bet nėra be galo maža, tai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, apibrėžiama seka (1/xn), kuri yra ribojama.

Konvergencinių sekų suma taip pat yra konvergentinė seka.

Konvergencinių sekų skirtumas taip pat yra konvergentinė seka.

Konvergencinių sekų sandauga taip pat yra konvergentinė seka.

Dviejų konvergencinių sekų koeficientas apibrėžiamas pradedant nuo kurio nors elemento, nebent antroji seka yra be galo maža. Jei yra apibrėžtas dviejų konvergencinių sekų koeficientas, tai yra konvergentinė seka.

Jei konvergencinė seka yra apribota žemiau, tada nė viena jos infimuma neviršija jos ribos.

Jei konvergencinė seka yra ribojama aukščiau, tada jos riba neviršija nė vienos viršutinės ribos.

Jei kurio nors skaičiaus vienos konvergentinės sekos sąlygos neviršija kitos konvergentinės sekos narių, tai pirmosios sekos riba taip pat neviršija antrosios ribos.

Pateiktas skaičių sekos apibrėžimas. Nagrinėjami be galo didėjančių, konvergencinių ir besiskiriančių sekų pavyzdžiai. Nagrinėjama seka, kurioje yra visi racionalieji skaičiai.

Apibrėžimas .
Skaitmeninė seka (xn) yra dėsnis (taisyklė), pagal kurį kiekvienam natūraliajam skaičiui n = 1, 2, 3, . . . priskiriamas tam tikras skaičius x n.
Elementas x n vadinamas n-tuoju sekos nariu arba elementu.

Seka žymima kaip n-asis terminas, įterptas į riestinius skliaustus: .
, , .

Taip pat galimi šie pavadinimai: .

Jie aiškiai nurodo, kad indeksas n priklauso natūraliųjų skaičių aibei, o pati seka turi begalinį skaičių terminų. Štai keletas sekų pavyzdžių:

Kitaip tariant, skaičių seka yra funkcija, kurios apibrėžimo sritis yra natūraliųjų skaičių aibė. Sekos elementų skaičius yra begalinis. Tarp elementų taip pat gali būti narių, turinčių tas pačias reikšmes. Taip pat seka gali būti laikoma sunumeruota skaičių rinkiniu, susidedančiu iš begalinio skaičiaus narių.

Mus daugiausia domins klausimas, kaip sekos elgiasi, kai n linkusi į begalybę: .

Ši medžiaga pateikiama skyriuje Sekos riba – pagrindinės teoremos ir savybės. Čia apžvelgsime keletą sekų pavyzdžių.
.
Sekos pavyzdžiai

Be galo didėjančių sekų pavyzdžiai
.
Apsvarstykite seką.

Bendras šios sekos narys yra .

Užsirašykime keletą pirmųjų terminų:
.
Matyti, kad didėjant skaičiui n, elementai neribotai didėja link teigiamų reikšmių. Galime sakyti, kad ši seka linkusi: for . = 0 Dabar apsvarstykite seką su bendru terminu. = 0 Štai keli pirmieji nariai: > 0 Didėjant skaičiui n, šios sekos elementai neribotai didėja absoliučia verte, tačiau neturi pastovaus ženklo. Tai yra, ši seka linkusi: ties . Sekų, konverguojančių į baigtinį skaičių, pavyzdžiai Apsvarstykite seką.

Jos bendras narys.
.
Šioje sekoje terminai su lyginiais skaičiais yra lygūs nuliui. Terminai su nelyginiu n yra lygūs. = 0 Todėl, kai n didėja, jų reikšmės artėja prie ribinės vertės a
.
. > 0 Tai taip pat išplaukia iš to, kad = 0 Kaip ir ankstesniame pavyzdyje, galime nurodyti savavališkai mažą paklaidą ε = 0 , kuriam galima rasti tokį skaičių N, kad elementai, kurių skaičiai yra didesni nei N, nukryps nuo ribinės vertės a

suma, neviršijančia nurodytos klaidos. Todėl ši seka konverguoja į reikšmę a

: prie .

Skirtingų sekų pavyzdžiai


.
Apsvarstykite seką su tokiu bendru terminu:
,
Štai jos pirmieji nariai: 1 = 0 Galima pastebėti, kad terminai su lyginiais skaičiais:
,
Štai jos pirmieji nariai: 2 = 2 priartėti prie vertės a

.

Nelyginiai nariai:
.
.
.
Pati seka, n augant, nesiartina į jokią reikšmę.


.
Seka su terminais, paskirstytais intervale (0;1)

Dabar pažvelkime į įdomesnę seką. Paimkime atkarpą skaičių eilutėje. Padalinkime per pusę. Gauname du segmentus. Leiskite (0; 1) Dar kartą padalinkime kiekvieną segmentą per pusę. Gauname keturis segmentus. Leiskite Dar kartą padalinkime kiekvieną segmentą per pusę. Paimkime

Ir taip toliau. Dėl to gauname seką, kurios elementai yra paskirstyti atvirame intervale

. = 0 Kad ir kokį tašką paimtume iš uždaro intervalo
.
= 0 .

, visada galime rasti sekos narius, kurie bus savavališkai arti šio taško arba sutaps su juo. = 1 Tada iš pradinės sekos galima pasirinkti poseką, kuri susilies į savavališką intervalo tašką
.
. = 1 .

Tai yra, didėjant skaičiui n, posekos nariai vis labiau artėja prie iš anksto pasirinkto taško. Pavyzdžiui, taškui a galite pasirinkti sekančią seką:

Dėl a taško

Pasirinkime sekančią seką:

Šios posekos sąlygos konverguoja į reikšmę a
,
Kadangi yra posekių, susiliejančių į
skirtingos reikšmės

Norėdami tai padaryti, plokštumoje nubrėžkite p ir q ašis. (0; 0) Nubrėžiame tinklelio linijas per sveikąsias p ir q reikšmes. < 1 Tada kiekvienas šio tinklelio c mazgas atitiks racionalųjį skaičių. Visas racionaliųjų skaičių rinkinys bus pavaizduotas mazgų rinkiniu. Turime rasti būdą, kaip sunumeruoti visus mazgus, kad neprarastume nė vieno mazgo. Tai lengva padaryti, jei sunumeruojate mazgus kvadratais, kurių centrai yra taške

(žr. paveikslėlį). Šiuo atveju apatinės kvadratų dalys su q
.
mums to nereikia. Todėl jie nėra parodyti paveikslėlyje. Taigi, pirmojo kvadrato viršutinėje pusėje turime: Toliau sunumeruojame

.
viršutinė dalis

.
Seka su terminais, paskirstytais intervale (0;1)

toks kvadratas:

Sunumeruojame viršutinę šio kvadrato dalį:

Tokiu būdu gauname seką, kurioje yra visi racionalūs skaičiai. Galite pastebėti, kad bet kuris racionalus skaičius šioje sekoje pasirodo begalę kartų. Iš tiesų, kartu su mazgu, ši seka taip pat apims mazgus , kur yra natūralusis skaičius. Tačiau visi šie mazgai atitinka tą patį racionalųjį skaičių.

Tada iš mūsų sukurtos sekos galime pasirinkti poseką (turinčią begalinį elementų skaičių), kurios visi elementai yra lygūs iš anksto nustatytam racionaliam skaičiui. Kadangi mūsų sukurta seka turi posekių, kurios susilieja su skirtingais skaičiais, seka nesusilieja su jokiu skaičiumi. IšvadaČia pateikėme tikslų skaičių sekos apibrėžimą. Mes taip pat iškėlėme jo konvergencijos klausimą, pagrįstą intuityviomis idėjomis.

Tikslus apibrėžimas konvergencija aptariama puslapyje Sekos ribos nustatymas. Susijusios savybės ir teoremos nurodytos puslapyje Daugeliui žmonių matematinė analizė yra tik nesuprantamų skaičių, simbolių ir apibrėžimų rinkinys, toli gražu ne tikras gyvenimas. Tačiau pasaulis, kuriame mes egzistuojame, yra pastatytas ant skaitinių šablonų, kurių identifikavimas padeda ne tik pažinti mus supantį pasaulį ir ją išspręsti

sudėtingos problemos

Įsivaizduokime lizdines lėles, kurios telpa viena į kitą. Jų dydžiai, parašyti skaičių forma, pradedant didžiausiu ir baigiant mažiausiu iš jų, sudaro seką. Jei įsivaizduosite begalinį tokių ryškių figūrų skaičių, gauta eilutė pasirodys fantastiškai ilga. Tai konvergencinė skaičių seka. Ir jis linkęs į nulį, nes kiekvienos paskesnės lizdinės lėlės dydis, katastrofiškai mažėjantis, pamažu virsta niekuo. Taigi nesunku paaiškinti, kas yra begalinis mažumas.

Panašus pavyzdys būtų kelias, einantis į tolį. O palei jį nuo stebėtojo tolstančio automobilio vizualiniai matmenys, pamažu mažėjantys, virsta beforme tašką primenančia dėmele. Taigi automobilis, kaip ir koks nors objektas, toldamas nežinoma kryptimi, tampa be galo mažas. Nurodyto kūno parametrai niekada nebus nulis tiesiogine to žodžio prasme, bet visada linkę į šią vertę galutinėje riboje. Todėl ši seka vėl suartėja iki nulio.

Apskaičiuokime viską lašas po lašo

Dabar įsivaizduokime kasdienę situaciją. Gydytojas paskyrė pacientui gerti mišinį, pradedant nuo dešimties lašų per dieną ir po du lašus kiekvieną kitą dieną. Ir taip gydytoja pasiūlė tęsti tol, kol nebeliks vaisto buteliuko, kurio tūris yra 190 lašų, ​​turinys. Iš to, kas išdėstyta pirmiau, išplaukia, kad tokių skaičius, surašytas pagal dieną, bus šios skaičių eilutės: 10, 12, 14 ir pan.

Kaip sužinoti viso kurso baigimo laiką ir sekos narių skaičių? Čia, žinoma, galima primityviai skaičiuoti lašus. Tačiau daug lengviau, atsižvelgiant į modelį, naudoti formulę su žingsniu d = 2. Ir taikydami šį metodą išsiaiškinkite, kad skaičių serijos narių skaičius yra 10. Be to, a 10 = 28. termino skaičius rodo vaisto vartojimo dienų skaičių, o 28 – lašų skaičių, kurį pacientas turi išgerti paskutinę dieną. Ar ši seka susilieja? Ne, nes, nepaisant to, kad apačioje ji ribojama skaičiumi 10, o viršuje – 28, tokia skaičių serija, skirtingai nei ankstesni pavyzdžiai, neturi ribų.

koks skirtumas?

Dabar pabandykime išsiaiškinti: kada skaičių eilutė pasirodo esanti konvergentinė seka. Tokio pobūdžio apibrėžimas, kaip galima daryti iš to, kas išdėstyta pirmiau, yra tiesiogiai susijęs su baigtinės ribos sąvoka, kurios buvimas atskleidžia klausimo esmę. Taigi ką? esminis skirtumas anksčiau pateikti pavyzdžiai? Ir kodėl paskutiniame iš jų skaičius 28 negali būti laikomas skaičių serijos X n = 10 + 2(n-1) riba?

Norėdami išsiaiškinti šį klausimą, apsvarstykite kitą seką, pateiktą pagal žemiau pateiktą formulę, kur n priklauso natūraliųjų skaičių aibei.

Ši narių bendruomenė yra kolekcija paprastosios trupmenos, kurio skaitiklis yra 1, o vardiklis nuolat didėja: 1, ½ ...

Be to, kiekvienas paskesnis šios serijos atstovas skaičių eilutėje vis labiau priartėja prie 0. Tai reiškia, kad atsiranda kaimynystė, kurioje taškai telkiasi apie nulį, o tai yra riba. Ir kuo arčiau jos, tuo tankesnė jų koncentracija skaičių tiesėje. Ir atstumas tarp jų katastrofiškai sumažėja, virsdamas be galo mažu. Tai ženklas, kad seka konverguoja.

Lygiai taip pat paveiksle pavaizduoti įvairiaspalviai stačiakampiai, pašalinus erdvėje, vizualiai išsidėstę glaudžiau, hipotetinėje riboje virsdami nereikšmingais.

Be galo didelės sekos

Išnagrinėję konvergencinės sekos apibrėžimą, pereikime prie priešingų pavyzdžių. Daugelis jų žmogui žinomi nuo seniausių laikų. Paprasčiausi skirtingų sekų variantai yra natūralių ir lyginiai skaičiai. Kitaip jie vadinami be galo dideliais, nes jų nariai, nuolat didėjantys, vis labiau artėja prie teigiamos begalybės.

Jų pavyzdžiai taip pat gali apimti bet kurį aritmetinį ir geometrinės progresijos kurių žingsnis ir vardiklis yra atitinkamai didesni už nulį. Skirtingos sekos taip pat laikomos skaitinėmis serijomis, kurios neturi jokių apribojimų. Pavyzdžiui, X n = (-2) n -1 .

Fibonačio seka

Praktinė anksčiau minėtų skaičių serijų nauda žmonijai yra neabejotina. Tačiau yra daugybė kitų nuostabių pavyzdžių. Vienas iš jų yra Fibonačio seka. Kiekvienas jo terminas, prasidedantis vienu, yra ankstesnių terminų suma. Pirmieji du jo atstovai yra 1 ir 1. Trečiasis 1+1=2, ketvirtasis 1+2=3, penktasis 2+3=5. Toliau, pagal tą pačią logiką, vadovaukitės skaičiais 8, 13, 21 ir pan.

Ši skaičių serija didėja neribotą laiką ir neturi baigtinės ribos. Tačiau jis turi dar vieną nuostabų turtą. Kiekvieno ankstesnio skaičiaus santykis su kitu vis labiau artėja prie 0,618. Čia galite suprasti skirtumą tarp konvergentinės ir divergentinės sekos, nes jei sudarysite dalinių, gautų iš padalų, seką, nurodyta skaitinė sistema turės. galutinė riba lygi 0,618.

Fibonačio koeficientų seka

Aukščiau pateiktos skaitinės eilutės yra plačiai naudojamos praktiniais tikslais atliekant techninę rinkų analizę. Tačiau tai neriboja jos galimybių, kurias egiptiečiai ir graikai žinojo ir sugebėjo pritaikyti senovėje. Tai įrodo piramidės ir jų pastatytas Partenonas. Juk skaičius 0,618 yra pastovus koeficientas aukso pjūvis, gerai žinomas senovėje. Pagal šią taisyklę bet kuris savavališkas segmentas gali būti padalintas taip, kad santykis tarp jo dalių sutaptų su didžiausio segmento ir bendro ilgio santykiu.

Sukurkime šių ryšių seriją ir pabandykime išanalizuoti šią seką. Skaičių serija bus tokia: 1; 0,5; 0,67; 0,6; 0,625; 0,615; 0,619 ir pan. Taip tęsdami galime patikrinti, ar konvergencinės sekos riba tikrai bus 0,618. Tačiau būtina atkreipti dėmesį į kitas šio modelio savybes. Čia skaičiai atrodo netvarkingi ir visai ne didėjančia ar mažėjančia tvarka. Tai reiškia, kad ši konverguojanti seka nėra monotoniška. Kodėl taip yra, bus aptarta toliau.

Monotonija ir ribotumas

Skaičių eilutės su didėjančiais skaičiais nariai gali aiškiai mažėti (jei x 1 >x 2 >x 3 >…>x n >…) arba didėti (jei x 1

Užsirašius šios serijos skaičius matosi, kad bet kuris jos narys, neribotai artėjantis prie 1, niekada neviršys šios vertės. Šiuo atveju sakoma, kad konvergencinė seka yra ribojama. Taip atsitinka, kai yra teigiamas skaičius M, kuris visada yra didesnis nei bet kuris modulio eilutės narys. Jei skaičių serija turi monotoniškumo požymių ir turi ribą, todėl susilieja, tada ji būtinai turi šią savybę. Be to, nebūtinai turi būti priešingai. Tai liudija teorema apie konvergentinės sekos ribą.

Tokių stebėjimų taikymas praktikoje pasirodo labai naudingas. Pateiksime konkretų pavyzdį, nagrinėdami sekos X n = n/n+1 savybes, ir įrodykime jos konvergenciją. Nesunku parodyti, kad jis yra monotoniškas, nes (x n +1 - x n) yra teigiamas skaičius bet kuriai n reikšmei. Sekos riba lygi skaičiui 1, o tai reiškia, kad tenkinamos visos aukščiau pateiktos teoremos, dar vadinamos Weierstrass’o teorema, sąlygos. Konvergentinės sekos ribos teorema teigia, kad jei ji turi ribą, tai ji bet kuriuo atveju yra ribojama. Tačiau pateiksime tokį pavyzdį. Skaičių serija X n = (-1) n apribota skaičiumi -1, o aukščiau - 1. Tačiau ši seka nėra monotoniška, neturi ribos ir todėl nesiartina. Tai yra, ribotumas ne visada reiškia ribos buvimą ir konvergenciją. Kad tai įvyktų, apatinė ir viršutinė ribos turi sutapti, kaip ir Fibonačio koeficientų atveju.

Skaičiai ir Visatos dėsniai

Paprasčiausi konvergentinės ir divergentinės sekos variantai, ko gero, yra skaičių eilutės X n = n ir X n = 1/n. Pirmasis iš jų yra natūrali skaičių serija. Jis, kaip jau minėta, be galo didelis. Antroji konvergentinė seka yra ribota, o jos terminai artėja prie be galo mažo dydžio. Kiekviena iš šių formulių įasmenina vieną iš daugialypės Visatos pusių, padeda žmogui skaičių ir ženklų kalba įsivaizduoti ir apskaičiuoti kažką nežinomo, neprieinamo ribotam suvokimui.

Visatos dėsniai, pradedant nuo nereikšmingo iki neįtikėtinai didelio, taip pat išreiškiami auksiniu koeficientu 0,618. Mokslininkai mano, kad jis yra dalykų esmės pagrindas ir yra naudojamas gamtos dalims formuoti. Anksčiau minėti ryšiai tarp vėlesnių ir ankstesnių Fibonacci serijos narių neužbaigia nuostabių šios unikalios serijos savybių demonstravimo. Jei laikysime ankstesnio nario dalijimą iš kito, gausime eilutę 0,5; 0,33; 0,4; 0,375; 0,384; 0,380; 0,382 ir pan. Įdomu tai, kad ši ribota seka konverguoja, ji nėra monotoniška, tačiau gretimų skaičių, ekstremalių nuo tam tikro termino, santykis visada būna maždaug lygus 0,382, kuris taip pat gali būti naudojamas architektūroje, techninėje analizėje ir kitose pramonės šakose.

Yra ir kitų įdomių Fibonacci serijos koeficientų, jie visi atlieka ypatingą vaidmenį gamtoje, be to, žmonės juos naudoja praktiniais tikslais. Matematikai įsitikinę, kad Visata vystosi tam tikra „auksine spirale“, suformuota iš nurodytų koeficientų. Jų pagalba galima apskaičiuoti daugybę Žemėje ir erdvėje vykstančių reiškinių – nuo ​​tam tikrų bakterijų skaičiaus augimo iki tolimų kometų judėjimo. Kaip paaiškėjo, DNR kodui galioja panašūs įstatymai.

Mažėjanti geometrinė progresija

Yra teorema, nurodanti konvergencinės sekos ribos unikalumą. Tai reiškia, kad jis negali turėti dviejų ar daugiau ribų, o tai neabejotinai svarbu ieškant jo matematinių charakteristikų.

Pažvelkime į kai kuriuos atvejus. Bet kuri skaičių serija, sudaryta iš aritmetinės progresijos narių, yra skirtinga, išskyrus nulinio žingsnio atvejį. Tas pats pasakytina ir apie geometrinę progresiją, kurios vardiklis yra didesnis nei 1. Tokių skaičių eilučių ribos yra begalybės "pliusas" arba "minusas". Jei vardiklis yra mažesnis nei -1, tada nėra jokios ribos. Galimi ir kiti variantai.

Panagrinėkime skaičių eilutę, pateiktą formule X n = (1/4) n -1. Iš pirmo žvilgsnio nesunku suprasti, kad ši konverguojanti seka yra ribota, nes ji griežtai mažėja ir niekaip negali priimti neigiamų reikšmių.

Parašykime tam tikrą skaičių jos narių į eilę.

Jūs gaunate: 1; 0,25; 0,0625; 0,015625; 0.00390625 ir pan. Pakanka gana paprastų skaičiavimų, kad suprastume, kaip greitai ši geometrinė progresija prasideda nuo vardiklių 0

Pagrindinės sekos

Prancūzų mokslininkas Augustinas Louisas Cauchy parodė pasauliui daugybę darbų, susijusių su matematine analize. Jis apibrėžė tokias sąvokas kaip diferencialas, integralas, riba ir tęstinumas. Jis taip pat ištyrė pagrindines konvergencinių sekų savybes. Norint suprasti jo idėjų esmę, būtina apibendrinti kai kurias svarbias detales.

Pačioje straipsnio pradžioje buvo parodyta, kad yra tokių sekų, kurioms yra kaimynystė, kai taškai, reprezentuojantys tam tikros serijos narius skaičių tiesėje, pradeda grūstis, išsidėstę vis tankiau. Tuo pačiu metu, didėjant kito atstovo skaičiui, atstumas tarp jų mažėja, virsdamas be galo mažu. Taigi paaiškėja, kad tam tikroje kaimynystėje yra sugrupuotas begalinis skaičius tam tikros serijos atstovų, o už jos ribų jų yra baigtinis skaičius. Tokios sekos vadinamos fundamentaliomis.

Garsusis Koši kriterijus, sukurtas prancūzų matematiko, aiškiai rodo, kad tokios savybės pakanka įrodyti, kad seka suartėja. Taip pat yra priešingai.

Pažymėtina, kad ši prancūzų matematiko išvada dažniausiai yra grynai teorinė. Jo pritaikymas praktikoje laikomas gana sudėtingu, todėl, norint nustatyti eilučių konvergenciją, daug svarbiau yra įrodyti, kad sekai yra baigtinė riba. Priešingu atveju jis laikomas skirtingu.

Spręsdami problemas, taip pat turėtumėte atsižvelgti į pagrindines konvergencinių sekų savybes. Jie pateikiami žemiau.

Begaliniai kiekiai

Tokie garsūs senovės mokslininkai kaip Archimedas, Euklidas, Eudoksas kreivių ilgiams, kūnų tūriams ir figūrų plotams apskaičiuoti naudojo begalinių skaičių eilučių sumas. Visų pirma, taip buvo galima sužinoti parabolinio segmento plotą. Tam buvo panaudota geometrinės progresijos, kurios q = 1/4, skaičių eilučių suma. Panašiai buvo rasti ir kitų savavališkų figūrų tūriai ir plotai. Ši parinktis buvo vadinama „išnaudojimo“ metodu. Idėja buvo ta, kad tiriamas sudėtingos formos kūnas buvo padalintas į dalis, kurios buvo figūros su lengvai išmatuojamais parametrais. Dėl šios priežasties nebuvo sunku suskaičiuoti jų plotus ir tūrius, o tada jie buvo sumuojami.

Beje, panašios problemos yra labai žinomos šiuolaikiniams moksleiviams ir aptinkamos vieningo valstybinio egzamino užduotyse. Unikalus metodas, kurį rado tolimi protėviai, ir šiandien yra paprasčiausias sprendimas. Net jei yra tik dvi ar trys dalys, į kurias padalyta skaitinė figūra, jų plotų pridėjimas vis tiek parodo skaičių serijų sumą.

Daug vėliau senovės graikų mokslininkai Leibnicas ir Niutonas, remdamiesi savo išmintingų pirmtakų patirtimi, išmoko integralinio skaičiavimo dėsnius. Žinios apie sekų savybes padėjo jiems išspręsti diferencialines ir algebrines lygtis. Šiuo metu serijų teorija, sukurta daugelio kartų talentingų mokslininkų pastangomis, suteikia galimybę išspręsti daugybę matematinių ir praktinių problemų. O skaitinių sekų tyrimas yra pagrindinė matematinės analizės išspręsta problema nuo pat jos sukūrimo.