Šis straipsnis yra apie bendrosios trupmenos. Čia supažindinsime su visumos trupmenos sąvoka, kuri padės mums apibrėžti bendrąją trupmeną. Toliau apsistosime ties priimtu paprastųjų trupmenų žymėjimu ir pateiksime trupmenų pavyzdžius, tarkime, apie trupmenos skaitiklį ir vardiklį. Po to pateiksime tinkamų ir netinkamų, teigiamų ir neigiamų trupmenų apibrėžimus, taip pat atsižvelgsime į trupmeninių skaičių padėtį koordinačių spindulyje. Pabaigoje išvardijame pagrindines operacijas su trupmenomis.

Puslapio naršymas.

Viso akcijos

Pirmiausia pristatome akcijų samprata.

Tarkime, kad turime objektą, sudarytą iš kelių absoliučiai identiškų (tai yra lygių) dalių. Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti, pavyzdžiui, obuolį, supjaustytą į kelias lygias dalis, arba apelsiną, susidedantį iš kelių vienodų griežinėlių. Kiekviena iš šių lygių dalių, sudarančių visą objektą, vadinama visumos dalis arba tiesiog akcijų.

Atkreipkite dėmesį, kad akcijos skiriasi. Paaiškinkime tai. Paimkime du obuolius. Pirmąjį obuolį supjaustykite į dvi lygias dalis, o antrąjį – į 6 lygias dalis. Aišku, kad pirmojo obuolio dalis skirsis nuo antrojo obuolio dalies.

Priklausomai nuo akcijų, sudarančių visą objektą, skaičiaus, šios akcijos turi savo pavadinimus. Sutvarkykime ritmų pavadinimai. Jei objektas susideda iš dviejų dalių, bet kuri iš jų vadinama viena antrąja viso objekto dalimi; jei objektas susideda iš trijų dalių, tai bet kuri iš jų vadinama viena trečiąja dalimi ir pan.

Viena antra akcija turi specialų pavadinimą - pusė. Trečdalis vadinamas trečia, ir ketvirtadalis dalis - ketvirtadalis.

Trumpumo sumetimais buvo įvesta: mušti simbolius. Viena antroji akcija nurodoma kaip arba 1/2, viena trečdalis – kaip arba 1/3; ketvirtadalis dalis – like arba 1/4 ir pan. Atkreipkite dėmesį, kad užrašas su horizontalia juosta naudojamas dažniau. Norėdami sustiprinti medžiagą, pateiksime dar vieną pavyzdį: įrašas žymi šimtą šešiasdešimt septintąją visumos dalį.

Dalies sąvoka natūraliai tęsiasi nuo objektų iki kiekių. Pavyzdžiui, vienas iš ilgio matų yra metras. Trumpesniems nei metras ilgiams matuoti galima naudoti metro dalis. Taigi galite naudoti, pavyzdžiui, pusę metro arba dešimtąją ar tūkstantąją metro dalį. Kitų kiekių dalys taikomos panašiai.

Bendrosios trupmenos, apibrėžimai ir trupmenų pavyzdžiai

Norėdami apibūdinti naudojamų akcijų skaičių bendrosios trupmenos. Pateiksime pavyzdį, kuris leis mums priartėti prie paprastųjų trupmenų apibrėžimo.

Tegul apelsinas susideda iš 12 dalių. Kiekviena dalis šiuo atveju reiškia vieną dvyliktąją viso apelsino, tai yra, . Mes žymime du ritmus kaip , tris ritmus kaip ir taip toliau, 12 ritmų žymime kaip . Kiekvienas iš pateiktų įrašų vadinamas paprastąja trupmena.

Dabar pateikime generolą bendrųjų trupmenų apibrėžimas.

Įgarsintas paprastųjų trupmenų apibrėžimas leidžia mums pateikti bendrųjų trupmenų pavyzdžiai: 5/10, , 21/1, 9/4, . O štai įrašai neatitinka pateikto paprastųjų trupmenų apibrėžimo, tai yra, jos nėra paprastosios trupmenos.

Skaitiklis ir vardiklis

Patogumui skiriamos paprastosios trupmenos skaitiklis ir vardiklis.

Apibrėžimas.

Skaitiklis paprastoji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius m.

Apibrėžimas.

Vardiklis bendroji trupmena (m/n) yra natūralusis skaičius n.

Taigi, skaitiklis yra virš trupmenos linijos (į kairę nuo pasvirojo brūkšnio), o vardiklis yra žemiau trupmenos linijos (į dešinę nuo pasvirojo brūkšnio). Pavyzdžiui, paimkime bendrąją trupmeną 17/29, šios trupmenos skaitiklis yra skaičius 17, o vardiklis yra skaičius 29.

Belieka aptarti reikšmę, esančią paprastosios trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje. Trupmenos vardiklis rodo, iš kiek dalių susideda vienas objektas, o skaitiklis savo ruožtu nurodo tokių dalių skaičių. Pavyzdžiui, trupmenos 12/5 vardiklis 5 reiškia, kad vienas objektas susideda iš penkių dalių, o skaitiklis 12 reiškia, kad paimama 12 tokių dalių.

Natūralusis skaičius kaip trupmena, kurios vardiklis yra 1

Bendrosios trupmenos vardiklis gali būti lygus vienam. Šiuo atveju galime laikyti, kad objektas yra nedalomas, kitaip tariant, jis reprezentuoja kažką vientiso. Tokios trupmenos skaitiklis rodo, kiek paimta sveikų objektų. Taigi, bendroji trupmena formos m/1 turi natūraliojo skaičiaus m reikšmę. Taip pagrindėme lygybės m/1=m pagrįstumą.

Paskutinę lygybę perrašykime taip: m=m/1. Ši lygybė leidžia mums pavaizduoti bet kurį natūralųjį skaičių m kaip paprastąją trupmeną. Pavyzdžiui, skaičius 4 yra trupmena 4/1, o skaičius 103 498 yra lygus trupmenai 103 498/1.

Taigi, bet kurį natūralųjį skaičių m galima pavaizduoti kaip paprastąją trupmeną, kurios vardiklis 1, kaip m/1, o bet kurią paprastąją formos m/1 trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi m.

Trupmenų juosta kaip padalijimo ženklas

Pirminio objekto atvaizdavimas n dalių pavidalu yra ne kas kita, kaip padalijimas į n lygių dalių. Padalijus prekę į n dalių, galime ją po lygiai padalinti n žmonių – kiekvienas gaus po vieną akciją.

Jei iš pradžių turime m identiškų objektų, kurių kiekvienas yra padalintas į n dalis, tai mes galime vienodai padalinti šiuos m objektus tarp n žmonių, kiekvienam asmeniui suteikdami po vieną dalį iš kiekvieno iš m objektų. Šiuo atveju kiekvienas asmuo turės m dalių 1/n, o m dalių 1/n duoda bendrąją trupmeną m/n. Taigi bendrąją trupmeną m/n galima naudoti m elementų padalijimui tarp n žmonių pažymėti.

Taip gavome aiškų ryšį tarp paprastųjų trupmenų ir padalijimo (žr. bendrą natūraliųjų skaičių padalijimo idėją). Šis ryšys išreiškiamas taip: trupmenos liniją galima suprasti kaip dalybos ženklą, tai yra m/n=m:n.

Naudodami bendrąją trupmeną galite parašyti padalijus du rezultatą natūraliuosius skaičius, kuriai integralus padalijimas neatliekamas. Pavyzdžiui, 5 obuolių padalijimo iš 8 žmonių rezultatas gali būti parašytas kaip 5/8, tai yra, kiekvienas gaus penkias aštuntąsias obuolio: 5:8 = 5/8.

Lygiosios ir nelygiosios trupmenos, trupmenų palyginimas

Užteks natūralus veiksmas yra lyginant trupmenas, nes aišku, kad 1/12 apelsino skiriasi nuo 5/12, o 1/6 obuolio – dar 1/6 šio obuolio.

Palyginus dvi paprastąsias trupmenas, gaunamas vienas iš rezultatų: trupmenos yra lygios arba nelygios. Pirmuoju atveju turime lygios bendrosios trupmenos o antroje – nelygios paprastosios trupmenos. Pateiksime lygių ir nelygių paprastųjų trupmenų apibrėžimą.

Apibrėžimas.

lygus, jei lygybė a·d=b·c yra teisinga.

Apibrėžimas.

Dvi bendrosios trupmenos a/b ir c/d nėra lygus, jei netenkinama lygybė a·d=b·c.

Štai keletas lygių trupmenų pavyzdžių. Pavyzdžiui, bendroji trupmena 1/2 yra lygi trupmenai 2/4, nes 1·4=2·2 (jei reikia, žr. natūraliųjų skaičių dauginimo taisykles ir pavyzdžius). Aiškumo dėlei galite įsivaizduoti du vienodus obuolius, pirmasis perpjaunamas per pusę, o antrasis – į 4 dalis. Akivaizdu, kad du ketvirtadaliai obuolio yra 1/2 dalis. Kiti vienodų bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 4/7 ir 36/63 bei trupmenų pora 81/50 ir 1 620/1 000.

Tačiau paprastosios trupmenos 4/13 ir 5/14 nėra lygios, nes 4·14=56 ir 13·5=65, tai yra 4·14≠13·5. Kiti nelygių bendrųjų trupmenų pavyzdžiai yra trupmenos 17/7 ir 6/4.

Jei lyginant dvi bendrąsias trupmenas paaiškėja, kad jos nėra lygios, gali tekti išsiaiškinti, kuri iš šių bendrųjų trupmenų mažiau kitoks, o kuris - daugiau. Norėdami tai išsiaiškinti, naudojama paprastųjų trupmenų palyginimo taisyklė, kurios esmė – lyginamąsias trupmenas suvesti į bendrą vardiklį ir tada lyginti skaitiklius. Išsami informacija šia tema surinkta straipsnyje trupmenų palyginimas: taisyklės, pavyzdžiai, sprendimai.

Trupmeniniai skaičiai

Kiekviena trupmena yra žymėjimas trupmeninis skaičius. Tai yra, trupmena yra tik trupmeninio skaičiaus „apvalkalas“, jo išvaizda, o visa semantinė apkrova yra trupmeniniame skaičiuje. Tačiau dėl trumpumo ir patogumo trupmenos ir trupmeninio skaičiaus sąvokos sujungiamos ir tiesiog vadinamos trupmena. Čia dera perfrazuoti gerai žinomą posakį: sakome trupmeną – turime omenyje trupmeninis skaičius, sakome trupmeninį skaičių – turime omenyje trupmeną.

Koordinačių spindulio trupmenos

Visi trupmeniniai skaičiai, atitinkantys paprastąsias trupmenas, turi savo unikali vieta yra , tai yra, tarp trupmenų ir koordinačių spindulio taškų yra vienas su vienu atitikimas.

Norint patekti į koordinačių spindulio tašką, atitinkantį trupmeną m/n, reikia atidėti m atkarpų nuo pradžios pozicijoje teigiama kryptimi, kurių ilgis yra 1/n vienetinės atkarpos trupmena. Tokius segmentus galima gauti padalijus vieneto segmentą į n lygių dalių, o tai visada galima padaryti naudojant kompasą ir liniuotę.

Pavyzdžiui, rodykime tašką M koordinačių spindulyje, atitinkantį trupmeną 14/10. Atkarpos, kurios galai yra taške O ir arčiausiai jo esančio taško, pažymėto mažu brūkšneliu, ilgis yra 1/10 vienetinės atkarpos. Taškas, kurio koordinatė yra 14/10, pašalinamas iš pradžios 14 tokių atkarpų atstumu.

Lygios trupmenos atitinka tą patį trupmeninį skaičių, tai yra, lygios trupmenos yra to paties koordinačių spindulio taško koordinatės. Pavyzdžiui, koordinatės 1/2, 2/4, 16/32, 55/110 atitinka vieną koordinačių spindulio tašką, nes visos parašytos trupmenos yra lygios (jis yra pusės išdėstytos vienetinės atkarpos atstumu nuo pradžios teigiama kryptimi).

Horizontaliame ir į dešinę nukreiptame koordinačių spindulyje taškas, kurio koordinatė yra didesnė trupmena, yra į dešinę nuo taško, kurio koordinatė yra mažesnė trupmena. Panašiai taškas su mažesne koordinate yra kairėje nuo taško, kurio koordinatė yra didesnė.

Tikrosios ir netinkamosios trupmenos, apibrėžimai, pavyzdžiai

Tarp paprastųjų trupmenų yra teisinga ir ne tinkamos trupmenos . Šis skirstymas pagrįstas skaitiklio ir vardiklio palyginimu.

Apibrėžkime tinkamas ir netinkamas paprastąsias trupmenas.

Apibrėžimas.

Tinkama trupmena yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra mažiau nei vardiklis, tai yra, jei m

Apibrėžimas.

Netinkama frakcija yra paprastoji trupmena, kurios skaitiklis yra didesnis arba lygus vardikliui, tai yra, jei m≥n, tai paprastoji trupmena yra neteisinga.

Štai keletas tinkamų trupmenų pavyzdžių: 1/4, , 32,765/909,003. Iš tiesų, kiekvienoje iš užrašytų paprastųjų trupmenų skaitiklis yra mažesnis už vardiklį (jei reikia, žr. straipsnį, kuriame lyginami natūralieji skaičiai), todėl jie yra teisingi pagal apibrėžimą.

Štai netinkamų trupmenų pavyzdžiai: 9/9, 23/4, . Iš tiesų, pirmosios parašytos paprastosios trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, o likusiose trupmenose skaitiklis yra didesnis už vardiklį.

Taip pat yra tinkamų ir netinkamų trupmenų apibrėžimų, pagrįstų trupmenų palyginimu su viena.

Apibrėžimas.

teisinga, jei jis yra mažesnis nei vienas.

Apibrėžimas.

Paprastoji trupmena vadinama negerai, jei jis yra lygus vienam arba didesnis už 1.

Taigi bendroji trupmena 7/11 yra teisinga, nes 7/11<1 , а обыкновенные дроби 14/3 и 27/27 – неправильные, так как 14/3>1 ir 27/27 = 1.

Pagalvokime, kaip paprastos trupmenos, kurių skaitiklis yra didesnis už vardiklį arba jam lygus, nusipelno tokio pavadinimo - „netinkamas“.

Pavyzdžiui, paimkime netinkamą trupmeną 9/9. Ši trupmena reiškia, kad objekto, kurį sudaro devynios dalys, paimamos devynios dalys. Tai yra, iš turimų devynių dalių galime sudaryti visą objektą. tai yra netinkama trupmena 9/9 iš esmės suteikia visą elementą, tai yra, 9/9 = 1. Paprastai netinkamos trupmenos, kurių skaitiklis lygus vardikliui, žymi vieną visą objektą, o tokią trupmeną galima pakeisti natūraliuoju skaičiumi 1.

Dabar apsvarstykite netinkamas trupmenas 7/3 ir 12/4. Visiškai akivaizdu, kad iš šių septynių trečiųjų dalių galime sudaryti du ištisus objektus (vienas visas objektas susideda iš 3 dalių, tada dviems ištisiems objektams sudaryti reikės 3 + 3 = 6 dalių) ir dar liks viena trečioji dalis. . Tai yra, netinkama trupmena 7/3 iš esmės reiškia 2 objektus ir 1/3 tokio objekto. O iš dvylikos ketvirčių dalių galime padaryti tris ištisus objektus (tris objektus po keturias dalis). Tai yra, trupmena 12/4 iš esmės reiškia 3 ištisus objektus.

Apsvarstyti pavyzdžiai leidžia daryti tokią išvadą: neteisingas trupmenas galima pakeisti natūraliaisiais skaičiais, kai skaitiklis padalytas po lygiai iš vardiklio (pavyzdžiui, 9/9=1 ir 12/4=3), arba suma natūraliojo skaičiaus ir tikrosios trupmenos, kai skaitiklis iš vardiklio nesidalija tolygiai (pvz., 7/3=2+1/3). Galbūt būtent dėl ​​to netinkamos trupmenos gavo pavadinimą „netaisyklingos“.

Ypač įdomus yra netinkamosios trupmenos vaizdavimas natūraliojo skaičiaus ir tinkamos trupmenos suma (7/3=2+1/3). Šis procesas vadinamas visos dalies atskyrimu nuo netinkamos trupmenos ir nusipelno atskiro ir atidesnio svarstymo.

Taip pat verta paminėti, kad yra labai glaudus ryšys tarp netinkamų trupmenų ir mišrių skaičių.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos

Kiekviena bendroji trupmena atitinka teigiamą trupmeninį skaičių (žr. straipsnį apie teigiamus ir neigiamus skaičius). Tai yra, paprastosios trupmenos yra teigiamos trupmenos. Pavyzdžiui, paprastosios trupmenos 1/5, 56/18, 35/144 yra teigiamos trupmenos. Kai reikia pabrėžti trupmenos pozityvumą, prieš ją dedamas pliuso ženklas, pavyzdžiui, +3/4, +72/34.

Jei prieš paprastą trupmeną įdėjote minuso ženklą, šis įrašas atitiks neigiamą trupmeninį skaičių. Šiuo atveju galime kalbėti apie neigiamos trupmenos. Štai keletas neigiamų trupmenų pavyzdžių: −6/10, −65/13, −1/18.

Teigiamos ir neigiamos trupmenos m/n ir −m/n yra priešingi skaičiai. Pavyzdžiui, trupmenos 5/7 ir –5/7 yra priešingos trupmenos.

Teigiamos trupmenos, kaip ir apskritai teigiami skaičiai, reiškia priedą, pajamas, bet kokios vertės pokytį į viršų ir pan. Neigiamos trupmenos atitinka išlaidas, skolą arba bet kokio kiekio sumažėjimą. Pavyzdžiui, neigiama trupmena −3/4 gali būti interpretuojama kaip skola, kurios vertė lygi 3/4.

Horizontaliai ir dešinėn neigiamos trupmenos yra kairėje nuo pradžios. Koordinačių linijos, kurių koordinatės yra teigiama trupmena m/n ir neigiama trupmena −m/n, taškai yra vienodu atstumu nuo pradžios, bet priešingose ​​taško O pusėse.

Čia verta paminėti 0/n formos trupmenas. Šios trupmenos lygios skaičiui nulis, tai yra 0/n=0.

Teigiamos trupmenos, neigiamos trupmenos ir 0/n trupmenos susijungia ir sudaro racionalius skaičius.

Veiksmai su trupmenomis

Vieną veiksmą su paprastosiomis trupmenomis – trupmenų palyginimą – jau aptarėme aukščiau. Apibrėžtos dar keturios aritmetinės funkcijos operacijos su trupmenomis– trupmenų sudėjimas, atėmimas, dauginimas ir dalijimas. Pažvelkime į kiekvieną iš jų.

Bendra operacijų su trupmenomis esmė panaši į atitinkamų operacijų su natūraliaisiais skaičiais esmę. Padarykime analogiją.

Trupmenų dauginimas gali būti suvokiamas kaip trupmenos iš trupmenos radimo veiksmas. Norėdami paaiškinti, pateiksime pavyzdį. Tarkime, kad turime 1/6 obuolio ir turime paimti 2/3 jo. Mums reikalinga dalis yra trupmenų 1/6 ir 2/3 padauginimo rezultatas. Dviejų paprastųjų trupmenų padauginimo rezultatas yra paprastoji trupmena (kuri specialiu atveju yra lygi natūraliajam skaičiui). Toliau rekomenduojame išstudijuoti informaciją, pateiktą straipsnyje Trupmenų dauginimas – taisyklės, pavyzdžiai ir sprendimai.

Nuorodos.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Matematika: vadovėlis 5 klasei. švietimo įstaigų.
• Vilenkinas N.Ya. ir kiti. 6 klasė: vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms.
• Gusevas V.A., Mordkovičius A.G. Matematika (vadovas stojantiems į technikos mokyklas).

Studijuodami visų mokslų karalienę – matematiką, visi kažkuriuo metu susiduria su trupmenomis. Nors ši sąvoka (kaip ir pačios trupmenų rūšys ar matematiniai veiksmai su jais) nėra visai sudėtinga, reikia su ja elgtis atsargiai, nes realiame gyvenime už mokyklos ribų ji bus labai naudinga. Taigi, atnaujinkime žinias apie trupmenas: kas jos yra, kam jos skirtos, kokios jos rūšys ir kaip su jomis atlikti įvairius aritmetinius veiksmus.

Jos Didenybės frakcija: kas tai

Matematikoje trupmenos yra skaičiai, kurių kiekvienas susideda iš vienos ar kelių vieneto dalių. Tokios trupmenos dar vadinamos paprastosiomis arba paprastomis. Paprastai jie rašomi dviejų skaičių, atskirtų horizontalia arba pasvirusine linija, forma, tai vadinama „trupmenine“ linija. Pavyzdžiui: ½, ¾.

Viršutinis arba pirmasis iš šių skaičių yra skaitiklis (rodo, kiek dalių paimta iš skaičiaus), o apatinis, arba antrasis, yra vardiklis (parodo, į kiek dalių padalintas vienetas).

Trupmenų juosta iš tikrųjų veikia kaip padalijimo ženklas. Pavyzdžiui, 7:9 = 7/9

Tradiciškai paprastosios trupmenos yra mažesnės už vieną. Nors dešimtainis skaičius gali būti didesnis už jį.

Kam skirtos trupmenos? Taip, viskam, nes realiame pasaulyje ne visi skaičiai yra sveikieji skaičiai. Pavyzdžiui, dvi moksleivės kavinėje kartu nupirko vieną skanų šokoladinį plytelę. Kai ketino pasidalinti desertu, jie susitiko su drauge ir nusprendė pavaišinti ir ją. Tačiau dabar reikia teisingai padalinti šokolado plytelę, atsižvelgiant į tai, kad ji susideda iš 12 kvadratų.

Iš pradžių merginos norėjo viską padalyti po lygiai, o vėliau kiekviena gaudavo po keturis gabalus. Tačiau gerai pagalvoję, jie nusprendė pavaišinti savo draugą ne 1/3, o 1/4 šokolado. O kadangi moksleivės prastai mokėsi trupmenas, tai jos neatsižvelgė, kad tokioje situacijoje liks 9 kūriniai, kuriuos labai sunku padalyti į dvi. Šis gana paprastas pavyzdys parodo, kaip svarbu mokėti teisingai rasti skaičiaus dalį. Tačiau gyvenime tokių atvejų daug daugiau.

Trupmenų tipai: paprastoji ir dešimtainė

Visos matematinės trupmenos skirstomos į dvi dideles kategorijas: paprastąsias ir dešimtaines. Pirmojo iš jų savybės buvo aprašytos ankstesnėje pastraipoje, todėl dabar verta atkreipti dėmesį į antrąją.

Dešimtainė yra skaičiaus trupmenos pozicinis žymėjimas, parašytas raštu, atskirtas kableliu, be brūkšnelio ar pasvirojo brūkšnio. Pavyzdžiui: 0,75, 0,5.

Tiesą sakant, dešimtainė trupmena yra identiška įprastai trupmenai, tačiau jos vardiklis visada yra vienas, po kurio seka nuliai – taigi ir pavadinimas.

Skaičius prieš kablelį yra sveikoji dalis, o viskas po jo yra trupmena. Bet kuri paprasta trupmena gali būti konvertuojama į dešimtainę. Taigi, ankstesniame pavyzdyje nurodytas dešimtaines trupmenas galima parašyti kaip įprasta: ¾ ir ½.

Verta paminėti, kad tiek dešimtainės, tiek paprastosios trupmenos gali būti teigiamos arba neigiamos. Jei prieš juos yra ženklas „-“, ši trupmena yra neigiama, jei „+“ yra teigiama trupmena.

Paprastųjų trupmenų porūšiai

Yra tokių paprastųjų trupmenų tipų.

Dešimtainės trupmenos potipiai

Skirtingai nuo paprastosios trupmenos, dešimtainė trupmena skirstoma tik į 2 tipus.

• Galutinis – šį pavadinimą gavo dėl to, kad po kablelio jame yra ribotas (baigtinis) skaitmenų skaičius: 19.25.
• Begalinė trupmena yra skaičius su begaliniu skaičiumi skaitmenų po kablelio. Pavyzdžiui, padalijus 10 iš 3, rezultatas bus begalinė trupmena 3,333...

Trupmenų pridėjimas

Atlikti įvairias aritmetines manipuliacijas su trupmenomis yra šiek tiek sunkiau nei su paprastais skaičiais. Tačiau jei suprasite pagrindines taisykles, jomis išspręsti bet kokį pavyzdį nebus sunku.

Pavyzdžiui: 2/3+3/4. Mažiausias bendras jų kartotinis bus 12, todėl būtina, kad šis skaičius būtų kiekviename vardiklyje. Norėdami tai padaryti, padauginame pirmosios trupmenos skaitiklį ir vardiklį iš 4, pasirodo 8/12, tą patį darome su antruoju nariu, bet padauginame tik iš 3 - 9/12. Dabar galite lengvai išspręsti pavyzdį: 8/12+9/12= 17/12. Gauta trupmena yra neteisingas vienetas, nes skaitiklis yra didesnis už vardiklį. Jį galima ir reikia paversti teisingu mišriu, padalijus 17:12 = 1 ir 5/12.

Sudėjus mišrias trupmenas, operacijos pirmiausia atliekamos su sveikais skaičiais, o po to su trupmenomis.

Jei pavyzdyje yra dešimtainė trupmena ir reguliarioji trupmena, būtina padaryti abi paprastas, tada suvesti į tą patį vardiklį ir pridėti. Pavyzdžiui, 3.1+1/2. Skaičius 3,1 gali būti parašytas kaip mišri trupmena iš 3 ir 1/10 arba kaip netinkama trupmena - 31/10. Bendras terminų vardiklis bus 10, todėl 1/2 skaitiklį ir vardiklį reikia padauginti iš 5 pakaitomis, gausite 5/10. Tada nesunkiai viską suskaičiuosi: 31/10+5/10=35/10. Gautas rezultatas yra netinkama redukuojama trupmena, mes įvedame ją į normalią formą, sumažindami ją 5: 7/2 = 3 ir 1/2 arba dešimtainiu - 3,5.

Sudedant 2 trupmenas po kablelio, svarbu, kad po kablelio būtų vienodas skaitmenų skaičius. Jei taip nėra, tereikia pridėti reikiamą skaičių nulių, nes dešimtainėje trupmenoje tai galima padaryti neskausmingai. Pavyzdžiui, 3,5+3,005. Norėdami išspręsti šią problemą, prie pirmojo skaičiaus turite pridėti 2 nulius, o tada pridėti po vieną: 3.500+3.005=3.505.

Trupmenų atėmimas

Atimant trupmenas reikia daryti taip pat, kaip ir sudedant: sumažinti iki bendro vardiklio, atimti vieną skaitiklį iš kito ir, jei reikia, rezultatą konvertuoti į mišrią trupmeną.

Pavyzdžiui: 16/20-5/10. Bendras vardiklis bus 20. Antrąją trupmeną reikia privesti prie šio vardiklio, abi jos dalis padauginus iš 2, gausite 10/20. Dabar galite išspręsti pavyzdį: 16/20-10/20= 6/20. Tačiau šis rezultatas galioja redukuojamoms trupmenoms, todėl verta padalyti abi puses iš 2 ir gaunamas 3/10.

Trupmenų dauginimas

Trupmenų dalyba ir daugyba yra daug paprastesnės operacijos nei sudėjimas ir atėmimas. Faktas yra tas, kad atliekant šias užduotis nereikia ieškoti bendro vardiklio.

Norėdami padauginti trupmenas, tiesiog reikia padauginti abu skaitiklius po vieną, o tada abu vardiklius. Sumažinkite gautą rezultatą, jei frakcija yra sumažinamas kiekis.

Pavyzdžiui: 4/9x5/8. Po pakaitinio daugybos rezultatas yra 4x5/9x8=20/72. Šią trupmeną galima sumažinti 4, todėl galutinis atsakymas pavyzdyje yra 5/18.

Kaip padalinti trupmenas

Trupmenų padalijimas taip pat yra paprastas veiksmas, vis tiek reikia jas padauginti. Norėdami padalyti vieną trupmeną iš kitos, turite apversti antrąją ir padauginti iš pirmosios.

Pavyzdžiui, dalijant trupmenas 5/19 ir 5/7. Norėdami išspręsti pavyzdį, turite sukeisti antrosios trupmenos vardiklį ir skaitiklį ir padauginti: 5/19x7/5=35/95. Rezultatą galima sumažinti 5 – pasirodo 7/19.

Jei reikia padalyti trupmeną iš pirminio skaičiaus, technika šiek tiek skiriasi. Iš pradžių turėtumėte parašyti šį skaičių kaip netinkamą trupmeną, o tada padalinti pagal tą pačią schemą. Pavyzdžiui, 2/13:5 turėtų būti parašytas kaip 2/13: 5/1. Dabar reikia apversti 5/1 ir gautas trupmenas padauginti: 2/13x1/5= 2/65.

Kartais tenka padalyti mišrias trupmenas. Su jais reikia elgtis taip, kaip su sveikaisiais skaičiais: paverskite juos netinkamomis trupmenomis, apverskite daliklį ir viską padauginkite. Pavyzdžiui, 8 ½: 3. Paverskite viską į netinkamas trupmenas: 17/2: 3/1. Po to seka 3/1 apvertimas ir daugyba: 17/2x1/3= 17/6. Dabar reikia konvertuoti netinkamą trupmeną į teisingą - 2 sveikus ir 5/6.

Taigi, išsiaiškinus, kas yra trupmenos ir kaip su jomis galima atlikti įvairias aritmetines operacijas, reikia pasistengti to nepamiršti. Juk žmonės visada yra labiau linkę ką nors skaidyti į dalis, nei pridėti, todėl reikia mokėti tai daryti teisingai.

Frakcija matematikoje – skaičius, susidedantis iš vienos ar kelių vieneto dalių (trupmenų). Trupmenos yra racionaliųjų skaičių lauko dalis. Atsižvelgiant į jų rašymo būdą, trupmenos skirstomos į 2 formatus: įprastas tipas ir dešimtainis .

Trupmenos skaitiklis- skaičius, rodantis paimtų akcijų skaičių (esantis trupmenos viršuje – virš linijos). Trupmenos vardiklis- skaičius, rodantis, į kiek akcijų padalintas vienetas (esantis žemiau linijos – apačioje). , savo ruožtu, skirstomi į: teisinga Ir neteisinga, sumaišytas Ir sudėtinis yra glaudžiai susiję su matavimo vienetais. 1 metre yra 100 cm. Tai reiškia, kad 1 m yra padalintas į 100 lygių dalių. Taigi, 1 cm = 1/100 m (vienas centimetras lygus vienai šimtajai metro daliai).

arba 3/5 (trys penktadaliai), čia 3 yra skaitiklis, 5 yra vardiklis. Jei skaitiklis yra mažesnis už vardiklį, tada trupmena yra mažesnė už vieną ir yra vadinama teisinga:

Jei skaitiklis lygus vardikliui, trupmena lygi vienetui. Jei skaitiklis didesnis už vardiklį, trupmena didesnė už vienetą. Abiem paskutiniais atvejais vadinama trupmena negerai:

Norėdami išskirti didžiausią sveikąjį skaičių, esantį netinkamoje trupmenoje, skaitiklį padalykite iš vardiklio. Jei padalijimas atliekamas be liekanos, tada paimta netinkama trupmena yra lygi koeficientui:

Jei dalyba atliekama su liekana, tai (nepilnas) koeficientas suteikia norimą sveikąjį skaičių, o liekana tampa trupmeninės dalies skaitikliu; trupmeninės dalies vardiklis išlieka toks pat.

Vadinamas skaičius, kuriame yra sveikasis skaičius ir trupmeninė dalis sumaišytas. Trupmeninė dalis mišrus skaičius gal netinkama trupmena. Tada galite pasirinkti didžiausią sveikąjį skaičių iš trupmeninės dalies ir pavaizduoti mišrų skaičių taip, kad trupmeninė dalis taptų tinkama trupmena (arba visai išnyktų).

326. Užpildykite tuščias vietas.

1) Jei trupmenos skaitiklis yra lygus vardikliui, tai trupmena lygi 1.
2) Trupmena a/b (a ir b yra natūralieji skaičiai) vadinama tinkamais, jei a< b
3) Trupmena a/b (a ir b yra natūralieji skaičiai) vadinama netinkamąja, jei a >b arba a =b.
4) 9/14 yra tinkama trupmena, nes 9< 14.
5) 7/5 yra netinkama trupmena, nes 7 > 5.
6) 16/16 yra netinkama trupmena, nes 16=16.

327. Iš trupmenų 1/20, 16/9, 7/2, 14/28,10/10, 5/32,11/2 išrašykite: 1) taisyklingąsias trupmenas; 2) netinkamosios trupmenos.

1) 1/20, 14/23, 5/32

2) 19/9, 7/2, 10/10, 11/2

328. Sugalvokite ir užsirašykite: 1) 5 tinkamas trupmenas; 2) netinkamosios trupmenos.

1) ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6

2) 3/2, 4/2, 5/2 ju 6/2, 7/2

329. Užrašykite visas tinkamas trupmenas, kurių vardiklis yra 9.

1/9, 2/9, 3/9, 4/9, 5/9, 6/9, 7/9, 8/9.

330. Užrašykite visas netinkamąsias trupmenas su skaitikliu 9.

9/1,9/2, 9/3, 9/4, 9/5, 9/6, 9/7, 9/8, 9/9.

331. Dvi vienodos juostos buvo padalintos į 7 lygias dalis. Dažykite 4/7 vienos juostelės ir 6/7 kitos.

Palyginkite gautas trupmenas: 4/7< 6/7.

Suformuluokite taisyklę, kaip lyginti trupmenas su panašiais vardikliais: iš dviejų trupmenų su panašiais vardikliais ta, kurios skaitiklis didesnis, yra didesnė.

332. Dvi vienodos juostos buvo padalintos į dalis. Viena juostelė buvo padalinta į 7 lygias dalis, o kita - į 5 lygias dalis. Dažykite 3/7 pirmosios juostelės ir 3/5 antrosios.

Palyginkite gautas trupmenas: 3/7< /5.

Suformuluokite taisyklę, kaip lyginti trupmenas su tais pačiais skaitikliais: iš dviejų trupmenų su tais pačiais skaitikliais ta, kurios vardiklis mažesnis, yra didesnė.

333. Užpildykite tuščias vietas.

1) Visos tinkamos trupmenos yra mažesnės nei 1, o netinkamos trupmenos yra didesnės nei 1 arba lygios 1.

2) Kiekviena netinkama trupmena yra didesnė už kiekvieną tinkamą trupmeną, o kiekviena tinkama trupmena yra mažesnė už kiekvieną netinkamą trupmeną.

3) Dviejų trupmenų koordinačių spindulyje didesnė trupmena yra į dešinę nuo mažesnės.

334. Apibraukite teisingus teiginius.

335. Palyginkite skaičius.

2)17/25>14/25

4)24/51>24/53

336. Kurios iš trupmenų 10/11, 16/4, 18/17, 24/24, 2005/207, 310/303, 39/40 yra didesnės už 1?

Atsakymas: 16/4, 18/17, 310/303

337. Išdėstykite trupmenas 5/29, 7/29, 4/29, 25/29, 17/29, 13/29.

Atsakymas: 29/29, 17/29, 13/29, 7/29, 5/29, 4/29.

338. Koordinačių spindulyje pažymėkite visus skaičius, kurie yra trupmenos, kurių vardiklis lygus 5, esančias tarp skaičių 0 ir 3. Kurie iš pažymėtų skaičių teisingi, o kurie neteisingi?

0 1/5 2/5 3/5 4/5 5/5 6/5 7/5 8/5 9/5 10/5 11/5 12/5 13/5 14/5

Atsakymas: 1) tinkamos trupmenos: 1/5, 2/5, 3/5, 4/5.

2) netinkamos trupmenos: 5/5, 6/5, 7/5, 8/5, 9/5, 10/5, 11/5, 12/5, 13/5, 14/5.

339. Raskite visas x natūraliąsias reikšmes, kurioms teisinga trupmena x/8.

Atsakymas: 1,2,3,4,5,6,7

340. Raskite natūralias x išraiškas, kuriose trupmena 11/x bus neteisinga.

Atsakymas: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11

341. 1) Įrašykite tuščios ląstelės skaičių, kad susidarytų tinkama trupmena.

2) Užrašykite skaičius tuščiuose langeliuose, kad susidarytumėte neteisingą trupmeną.

342. Sukonstruoti ir pažymėti atkarpą, kurios ilgis yra: 1) 9/8 atkarpos AB ilgio; 2) 10/8 atkarpos AB ilgio; 3) 7/4 atkarpos AB ilgio; 4) atkarpos AB ilgis.

Sasha perskaitė 42:6*7= 49 puslapius

Atsakymas: 49 puslapiai

344. Raskite visas x natūraliąsias reikšmes, kurioms galioja nelygybė:

1) x/15<7/15;

2) 10/x > 10/9.

Atsakymas: 1) 1,2,3,4,5,6; 2) 1,2,3,4,5,6,7,8.

345. Naudodami skaičius 1,4,5,7 ir trupmenos eilutę surašykite visas įmanomas tinkamas trupmenas.

Atsakymas: ¼, 1/5,1/7,4/5,4/7,5/7.

346. Raskite visas m gamtines reikšmes, kurioms tinka 4m+5/17.

4m+5<17; 4m<12; m<3.

Atsakymas: m =1; 2.

347. Raskite visas a gamtines vertes, kurioms trupmena 10/a bus netinkama, o trupmena 7/a bus teisinga.

a≤10 ir a>7, t.y. 7

Atsakymas: a = 8,9,10

348. Natūralieji skaičiai a, b, c ir d, kad a

Gyvenime su trupmenomis susiduriame daug anksčiau, nei pradedame jas mokytis mokykloje. Jei visą obuolį perpjauname per pusę, gauname ½ vaisių. Supjaustykime dar kartą – bus ¼. Tai trupmenos. Ir viskas atrodė paprasta. Suaugusiam žmogui. Vaikui (o ši tema pradedama nagrinėti baigiant pradinę mokyklą) abstrakčios matematinės sąvokos vis dar bauginančiai nesuprantamos, o mokytojas turi aiškiai paaiškinti, kas yra tinkama ir netinkama trupmena, bendroji ir dešimtainė, kokias operacijas galima atlikti. su jais ir, svarbiausia, kam viso to reikia.

Kas yra trupmenos?

Naujos temos įvedimas mokykloje pradedamas nuo paprastųjų trupmenų. Juos nesunku atpažinti iš horizontalios linijos, skiriančios du skaičius – viršuje ir apačioje. Viršutinė vadinama skaitikliu, o apatinė – vardikliu. Taip pat yra mažųjų raidžių parinktis, skirta rašyti netinkamas ir tinkamas paprastas trupmenas - per pasvirąjį brūkšnį, pavyzdžiui: ½, 4/9, 384/183. Ši parinktis naudojama, kai linijos aukštis yra ribotas ir negalima naudoti „dviejų aukštų“ įvesties formos. Kodėl? Taip, nes taip patogiau. Tai pamatysime šiek tiek vėliau.

Be paprastųjų trupmenų, yra ir dešimtainių trupmenų. Juos atskirti labai paprasta: jei vienu atveju naudojamas horizontalus arba pasvirasis brūkšnys, tai kitu skaičių sekoms atskirti kablelis. Pažiūrėkime į pavyzdį: 2,9; 163,34; 1.953. Skaičiams atskirti tyčia naudojome kabliataškį kaip skyriklį. Pirmasis iš jų skambės taip: „du taškai devyni“.

Naujos koncepcijos

Grįžkime prie paprastųjų trupmenų. Jie būna dviejų tipų.

Tinkamos trupmenos apibrėžimas yra toks: tai trupmena, kurios skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Kodėl tai svarbu? Pamatysime dabar!

Turite kelis obuolius, perpjautus per pusę. Viso - 5 dalys. Kaip pasakytumėte: ar turite „du su puse“ ar „penki su puse“ obuolių? Žinoma, pirmasis variantas skamba natūraliau, ir mes jį naudosime kalbėdami su draugais. Bet jei reikia paskaičiuoti, kiek vaisių gaus kiekvienas žmogus, jei įmonėje yra penki žmonės, užrašysime skaičių 5/2 ir padalinsime iš 5 - matematiniu požiūriu tai bus aiškiau .

Taigi, norint pavadinti tinkamas ir netinkamas trupmenas, galioja tokia taisyklė: jei trupmenoje galima atskirti visą dalį (14/5, 2/1, 173/16, 3/3), vadinasi, tai yra netinkama. Jei to negalima padaryti, kaip ½, 13/16, 9/10 atveju, tai bus teisinga.

Pagrindinė trupmenos savybė

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis vienu metu dauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus, jo reikšmė nesikeičia. Įsivaizduokite: jie supjaustė pyragą į 4 lygias dalis ir davė jums vieną. Tą patį pyragą jie supjaustė į aštuonias dalis ir davė jums dvi. Ar tai tikrai svarbu? Juk ¼ ir 2/8 yra tas pats!

Sumažinimas

Matematikos vadovėliuose pateikiamų problemų ir pavyzdžių autoriai dažnai siekia suklaidinti mokinius, siūlydami trupmenas, kurias sunku rašyti, bet iš tikrųjų galima sutrumpinti. Štai tinkamos trupmenos pavyzdys: 167/334, kuris, atrodytų, atrodo labai „baisus“. Bet iš tikrųjų galime parašyti kaip ½. Skaičius 334 dalijasi iš 167 be liekanos – atlikę šią operaciją gauname 2.

Mišrūs skaičiai

Netinkama trupmena gali būti pavaizduota kaip mišrus skaičius. Tai yra tada, kai visa dalis pakeliama į priekį ir parašyta horizontalios linijos lygyje. Tiesą sakant, išraiška yra sumos forma: 11/2 = 5 + ½; 13/6 = 2 + 1/6 ir pan.

Norėdami išimti visą dalį, skaitiklį turite padalyti iš vardiklio. Likusią padalijimo dalį parašykite viršuje, virš linijos, o visą dalį - prieš išraišką. Taigi gauname dvi struktūrines dalis: sveiki vienetai + tinkama trupmena.

Taip pat galite atlikti atvirkštinę operaciją - norėdami tai padaryti, turite padauginti sveikojo skaičiaus dalį iš vardiklio ir pridėti gautą reikšmę prie skaitiklio. Nieko sudėtingo.

Daugyba ir dalyba

Kaip bebūtų keista, trupmenas dauginti yra lengviau nei sudėti. Viskas, ko reikia, yra išplėsti horizontalią liniją: (2/3) * (3/5) = 2*3 / 3*5 = 2/5.

Dalijant viskas taip pat paprasta: reikia padauginti trupmenas skersai: (7/8) / (14/15) = 7*15 / 8*14 = 15/16.

Trupmenų pridėjimas

Ką daryti, jei reikia atlikti sudėjimą arba jų vardiklyje yra skirtingi skaičiai? Nepavyks daryti to paties, kaip dauginant - čia turėtumėte suprasti tinkamos trupmenos apibrėžimą ir jos esmę. Būtina suvesti terminus į bendrą vardiklį, tai yra, abiejų trupmenų apatinėse dalyse turi būti vienodi skaičiai.

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti pagrindinę trupmenos savybę: padauginkite abi dalis iš to paties skaičiaus. Pavyzdžiui, 2/5 + 1/10 = (2*2)/(5*2) + 1/10 = 5/10 = ½.

Kaip pasirinkti, į kurį vardiklį sumažinti terminus? Tai turi būti mažiausias skaičius, kuris yra abiejų skaičių kartotinis trupmenų vardikliuose: 1/3 ir 1/9 bus 9; ½ ir 1/7 - 14, nes nėra mažesnės vertės, dalijamos iš 2 ir 7 be liekanos.

Naudojimas

Kam naudojamos netinkamos trupmenos? Juk daug patogiau iš karto išsirinkti visą dalį, gauti mišrų skaičių – ir viskas! Pasirodo, jei reikia padauginti ar padalyti dvi trupmenas, naudingiau naudoti netaisyklingas.

Paimkime tokį pavyzdį: (2 + 3/17) / (37 / 68).

Atrodytų, išvis nėra ką kirpti. Bet ką daryti, jei pridėjimo rezultatą įrašysime pirmuose skliausteliuose kaip netinkamą trupmeną? Žiūrėkite: (37/17) / (37/68)

Dabar viskas stoja į savo vietas! Parašykime pavyzdį taip, kad viskas taptų akivaizdu: (37*68) / (17*37).

Panaikinkime 37 skaitiklyje ir vardiklyje ir galiausiai padalinkime viršutinę ir apatinę dalį iš 17. Ar prisimenate pagrindinę taisyklę dėl tinkamų ir netinkamų trupmenų? Mes galime juos padauginti ir padalyti iš bet kurio skaičiaus, jei tai darome skaitikliui ir vardikliui tuo pačiu metu.

Taigi, gauname atsakymą: 4. Pavyzdys atrodė sudėtingas, tačiau atsakyme yra tik vienas skaičius. Tai dažnai nutinka matematikoje. Svarbiausia nebijoti ir laikytis paprastų taisyklių.

Dažnos klaidos

Įgyvendindamas mokinys gali lengvai padaryti vieną iš dažniausiai pasitaikančių klaidų. Dažniausiai jie atsiranda dėl neatidumo, o kartais ir dėl to, kad tiriama medžiaga dar nebuvo tinkamai sukaupta galvoje.

Dažnai skaičių suma skaitiklyje sukelia norą sumažinti atskirus jo komponentus. Tarkime, pavyzdyje: (13 + 2) / 13, parašyta be skliaustų (su horizontalia linija), daugelis studentų dėl nepatyrimo išbraukia 13 aukščiau ir žemiau. Bet to nereikėtų daryti jokiomis aplinkybėmis, nes tai yra grubi klaida! Jei vietoj sudėjimo būtų daugybos ženklas, atsakyme gautume skaičių 2 Bet atliekant sudėjimą, neleidžiami jokie veiksmai su vienu iš terminų, tik su visa suma.

Vaikinai taip pat dažnai klysta dalindami trupmenas. Paimkime dvi tinkamas neredukuojamas trupmenas ir padalinkime viena iš kitos: (5/6) / (25/33). Mokinys gali sumaišyti ir parašyti gautą išraišką kaip (5*25) / (6*33). Bet taip atsitiktų dauginant, bet mūsų atveju viskas bus kiek kitaip: (5*33) / (6*25). Sumažiname tai, kas įmanoma, ir atsakymas bus 11/10. Gautą neteisingą trupmeną rašome dešimtainiu – 1,1.

Skliausteliuose

Atminkite, kad bet kurioje matematinėje išraiškoje operacijų eiliškumą lemia operacijos ženklų pirmenybė ir skliaustų buvimas. Jei visi kiti dalykai yra vienodi, veiksmų tvarka skaičiuojama iš kairės į dešinę. Tai pasakytina ir apie trupmenas – išraiška skaitiklyje arba vardiklyje apskaičiuojama griežtai pagal šią taisyklę.

Juk tai vieno skaičiaus padalijimo iš kito rezultatas. Jei jie nėra tolygiai padalinti, tai tampa trupmena – tiek.

Kaip kompiuteryje parašyti trupmeną

Kadangi standartiniai įrankiai ne visada leidžia sukurti trupmeną, susidedančią iš dviejų „pakopų“, studentai kartais griebiasi įvairių gudrybių. Pavyzdžiui, jie nukopijuoja skaitiklius ir vardiklius į "Paint" grafinį redaktorių ir suklijuoja juos, nubrėždami tarp jų horizontalią liniją. Žinoma, yra ir paprastesnis variantas, kuris, beje, suteikia daug papildomų funkcijų, kurios jums pravers ateityje.

Atidarykite „Microsoft Word“. Viena iš ekrano viršuje esančių skydelių vadinama „Įterpti“ – spustelėkite ją. Dešinėje, toje pusėje, kur yra lango uždarymo ir sumažinimo piktogramos, yra mygtukas „Formulė“. Tai yra būtent tai, ko mums reikia!

Jei naudosite šią funkciją, ekrane atsiras stačiakampė sritis, kurioje galėsite naudoti bet kokius matematinius ženklus, kurių nėra klaviatūroje, taip pat rašyti trupmenas klasikine forma. Tai yra, skaitiklio ir vardiklio padalijimas horizontalia linija. Galbūt net nustebsite, kad tokią tinkamą trupmeną taip lengva užrašyti.

Išmok matematikos

Jei esate 5–6 klasėse, netrukus matematikos žinios (įskaitant gebėjimą dirbti su trupmenomis!) bus reikalingos daugelyje mokyklinių dalykų. Beveik visose fizikos problemose, matuojant medžiagų masę chemijoje, geometrijoje ir trigonometrijoje, neapsieisite be trupmenų. Netrukus išmoksite viską skaičiuoti savo galvoje, net nerašydami posakių ant popieriaus, tačiau atsiras vis sudėtingesnių pavyzdžių. Taigi sužinokite, kas yra tinkama trupmena ir kaip su ja dirbti, laikykitės savo mokymo programos, atlikite namų darbus laiku ir jums pasiseks.