Trupmenos ir jų mažinimas – dar viena tema, kuri prasideda 5 klasėje. Čia formuojamas šio veiksmo pagrindas, o tada šie įgūdžiai kaip siūlai įtraukiami į aukštąją matematiką. Jei mokinys nesupranta, jis gali turėti problemų su algebra. Todėl geriau kartą ir visiems laikams suprasti kelias taisykles. Taip pat atsiminkite vieną draudimą ir niekada jo nepažeiskite.

Trupmena ir jos redukcija

Kiekvienas mokinys žino, kas tai yra. Bet kurie du skaitmenys, esantys tarp horizontalios linijos, iš karto suvokiami kaip trupmena. Tačiau ne visi supranta, kad juo gali tapti bet koks skaičius. Jei tai yra sveikasis skaičius, jį visada galima padalyti iš vieneto, tada gausite netinkamą trupmeną. Bet apie tai vėliau.

Pradžia visada paprasta. Pirmiausia turite išsiaiškinti, kaip sutrumpinti teisinga trupmena. Tai yra tas, kurio skaitiklis yra mažesnis už vardiklį. Norėdami tai padaryti, turėsite atsiminti pagrindinę trupmenos savybę. Jame teigiama, kad tuo pačiu metu dauginant (taip pat ir dalijant) jo skaitiklį ir vardiklį tas pats numeris pasirodo, kad ji yra lygiavertė pradinei trupmenai.

Su šia nuosavybe atliekami padalijimo veiksmai, dėl kurių sumažėja. Tai yra, kiek įmanoma supaprastinti. Dalis gali būti sumažinta tol, kol yra bendri veiksniai virš ir žemiau linijos. Kai jų nebėra, sumažinti neįmanoma. Ir jie sako, kad ši trupmena yra nesumažinama.

Du būdai

1.Žingsnis po žingsnio mažinimas. Jis naudoja įvertinimo metodą, kai abu skaičiai dalijami iš minimumo bendras daugiklis, kurį studentas pastebėjo. Jei po pirmo susitraukimo aišku, kad tai dar ne pabaiga, tada skirstymas tęsiasi. Kol trupmena tampa neredukuojama.

2. Didžiausio bendro skaitiklio ir vardiklio daliklio radimas. Tai yra labiausiai racionaliu būdu kaip sumažinti trupmenas. Tai apima skaitiklio ir vardiklio įtraukimą į pirminius veiksnius. Tarp jų tuomet reikia pasirinkti visus tuos pačius. Jų produktas duos didžiausią bendrą koeficientą, kuriuo sumažinama frakcija.

Abu šie metodai yra lygiaverčiai. Mokinys skatinamas juos įsisavinti ir naudoti tą, kuris jam labiausiai patinka.

Ką daryti, jei yra raidžių ir sudėties bei atimties operacijos?

Pirmoji klausimo dalis daugiau ar mažiau aiški. Raidės gali būti sutrumpintos kaip ir skaičiai. Svarbiausia, kad jie veiktų kaip daugikliai. Tačiau daugelis žmonių turi problemų su antruoju.

Svarbu atsiminti! Galite sumažinti tik tuos skaičius, kurie yra veiksniai. Jei jie yra suminiai, tai neįmanoma.

Norėdami suprasti, kaip sumažinti formos trupmenas algebrinė išraiška, jums reikia išmokti taisyklę. Pirmiausia pavaizduokite skaitiklį ir vardiklį kaip produktą. Tada galite sumažinti, jei atsiranda bendrų veiksnių. Norint jį pavaizduoti daugiklių pavidalu, naudingi šie metodai:

• grupavimas;
• laikikliai;
• sutrumpintų daugybos tapatybių taikymas.

Be to, pastarasis metodas leidžia iš karto gauti terminus daugiklių pavidalu. Todėl jį visada reikia naudoti, jei matomas žinomas raštas.

Bet tai dar nebaisu, tada atsiranda užduočių su laipsniais ir šaknimis. Tuomet reikia įgauti drąsos ir išmokti porą naujų taisyklių.

Išraiška su laipsniu

Frakcija. Skaitiklis ir vardiklis yra sandauga. Yra raidės ir skaičiai. Ir jie taip pat pakeliami į galią, kuri taip pat susideda iš terminų arba veiksnių. Yra ko bijoti.

Norėdami suprasti, kaip sumažinti trupmenas su galia, turėsite išmokti du dalykus:

• jei eksponente yra suma, tada ją galima išskaidyti į veiksnius, kurių laipsniai bus pradiniai nariai;
• jei skirtumas, tada dividendas ir daliklis, pirmasis turės minuend į laipsnį, antrasis turės subtrahendą.

Atlikus šiuos veiksmus, visi daugikliai tampa matomi. Tokiuose pavyzdžiuose nereikia skaičiuoti visų galių. Pakanka tiesiog sumažinti laipsnius tais pačiais rodikliais ir bazėmis.

Norint pagaliau išmokti sumažinti trupmenas su galiomis, reikia daug praktikos. Po kelių panašių pavyzdžių veiksmai bus atliekami automatiškai.

Ką daryti, jei išraiškoje yra šaknis?

Jis taip pat gali būti sutrumpintas. Tik vėl laikantis taisyklių. Be to, visa tai, kas aprašyta aukščiau, yra tiesa. Apskritai, jei kyla klausimas, kaip sumažinti dalį su šaknimis, tuomet reikia padalyti.

Jis taip pat gali būti suskirstytas į neracionalias išraiškas. Tai yra, jei skaitiklis ir vardiklis turi identiškus veiksnius, įrašytus po šaknies ženklu, tada juos galima saugiai sumažinti. Tai supaprastins išraišką ir užbaigs užduotį.

Jei po sumažinimo neracionalumas lieka po trupmenos linija, tuomet reikia jo atsikratyti. Kitaip tariant, padauginkite iš jo skaitiklį ir vardiklį. Jei po šios operacijos atsiranda bendrų veiksnių, juos vėl reikės sumažinti.

Tikriausiai viskas apie tai, kaip sumažinti trupmenas. Yra keletas taisyklių, bet tik vienas draudimas. Niekada netrumpinkite terminų!

Vaikai mokykloje trupmenų mažinimo taisyklių mokosi 6 klasėje. Šiame straipsnyje mes pirmiausia jums pasakysime, ką reiškia šis veiksmas, tada paaiškinsime, kaip redukuojamą trupmeną paversti neredukuojamąja trupmena. Kitas punktas bus trupmenų mažinimo taisyklės, o tada palaipsniui pereisime prie pavyzdžių.

Ką reiškia „sumažinti dalį“?

Taigi mes visi tai žinome paprastosios trupmenos skirstomi į dvi grupes: redukuojamus ir neredukuojamus. Jau iš pavadinimų galima suprasti, kad tie, kurie yra sutraukiami, yra susitraukę, o tie, kurie yra nesumažinami, – ne.

• Sumažinti trupmeną reiškia jos vardiklį ir skaitiklį padalyti iš jų (išskyrus vieną) teigiamo daliklio. Rezultatas, žinoma, yra nauja trupmena su mažesniu vardikliu ir skaitikliu. Gauta trupmena bus lygi pradinei trupmenai.

Verta paminėti, kad matematikos knygose su užduotimi „sumažinti trupmeną“ tai reiškia, kad reikia sumažinti pradinę trupmeną iki šios neredukuojamos formos. Jei kalbėsime paprastais žodžiais, tada vardiklio ir skaitiklio dalijimas iš didžiausio bendro daliklio yra redukcija.

Kaip sumažinti dalį. Frakcijų mažinimo taisyklės (6 klasė)

Taigi čia galioja tik dvi taisyklės.

1. Pirmoji trupmenų mažinimo taisyklė – pirmiausia reikia rasti didžiausią bendrąjį trupmenos vardiklio ir skaitiklio koeficientą.
2. Antroji taisyklė: padalykite vardiklį ir skaitiklį iš didžiausio bendro daliklio, galiausiai gaudami neredukuojamą trupmeną.

Kaip sumažinti netinkamą trupmeną?

Trupmenų mažinimo taisyklės yra identiškos netinkamų trupmenų mažinimo taisyklėms.

Siekiant sumažinti netinkama trupmena, pirmiausia turėsite įrašyti vardiklį ir skaitiklį į pirminius veiksnius, o tik tada sumažinti bendruosius veiksnius.

Sumaišytų frakcijų mažinimas

Frakcijų mažinimo taisyklės taikomos ir mišrioms frakcijoms redukuoti. Yra tik nedidelis skirtumas: galime liesti ne visą dalį, o sumažinti frakciją arba paversti mišrią frakciją netinkama, tada ją sumažinti ir vėl paversti tinkama frakcija.

Sumažinti mišrios frakcijos galima dviem būdais.

Pirma: surašykite trupmeninę dalį į pirminius veiksnius ir palikite visą dalį ramybėje.

Antrasis būdas: pirmiausia konvertuokite jį į netinkamą trupmeną, įrašykite į įprastus koeficientus, tada sumažinkite trupmeną. Paverskite jau gautą netinkamą trupmeną į tinkamą trupmeną.

Pavyzdžius galite pamatyti aukščiau esančioje nuotraukoje.

Labai tikimės, kad galėjome padėti jums ir jūsų vaikams. Juk dažnai pamokose būna nedėmesingi, todėl namuose tenka intensyviau mokytis savarankiškai.

Daugelis mokinių daro tas pačias klaidas dirbdami su trupmenomis. Ir viskas, nes jie pamiršta pagrindines taisykles aritmetika. Šiandien pakartosime šias taisykles konkrečioms užduotims, kurias duodu savo pamokose.

Štai užduotis, kurią siūlau visiems, besiruošiantiems vieningam valstybiniam matematikos egzaminui:

Užduotis. jūrų kiaulė per dieną suvalgo 150 gramų maisto. Bet ji užaugo ir pradėjo valgyti 20% daugiau. Kiek gramų pašaro kiaulė dabar suvalgo?

Ne teisingas sprendimas. Tai procentinė problema, kuri susiveda į lygtį:

Daugelis (labai daug) sumažina skaičių 100 trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje:

Tai klaida, kurią mano studentas padarė šio straipsnio rašymo dieną. Sutrumpinti skaičiai pažymėti raudonai.

Nereikia nė sakyti, kad atsakymas buvo neteisingas. Spręskite patys: kiaulė suvalgė 150 gramų, bet pradėjo valgyti 3150 gramų. Didėja ne 20%, o 21 kartą, t.y. 2000 proc.

Kad išvengtumėte tokių nesusipratimų, atsiminkite pagrindinę taisyklę:

Galima sumažinti tik daugiklius. Terminai negali būti sumažinti!

Taigi teisingas ankstesnės problemos sprendimas atrodo taip:

Skaičiai, kurie skaitiklyje ir vardiklyje yra sutrumpinti, pažymėti raudonai. Kaip matote, skaitiklis yra sandauga, vardiklis yra eilinis skaičius. Todėl sumažinimas yra visiškai teisėtas.

Darbas su proporcijomis

Kita probleminė sritis yra proporcijas. Ypač kai kintamasis yra iš abiejų pusių. Pavyzdžiui:

Užduotis. Išspręskite lygtį:

Neteisingas sprendimas – kai kuriems žmonėms tiesiog norisi viską sutrumpinti m:

Sumažinti kintamieji rodomi raudonai. Išraiška 1/4 = 1/5 pasirodo esanti visiška nesąmonė, šie skaičiai niekada nėra lygūs.

O dabar – teisingas sprendimas. Iš esmės tai įprasta tiesinė lygtis . Tai galima išspręsti perkeliant visus elementus į vieną pusę arba pagal pagrindinę proporcijos savybę:

Daugelis skaitytojų prieštaraus: „Kur yra pirmojo sprendimo klaida? Na, išsiaiškinkime. Prisiminkime darbo su lygtimis taisyklę:

Bet kurią lygtį galima padalyti ir padauginti iš bet kurio skaičiaus, ne nulis.

Ar praleidote triuką? Galite padalyti tik iš skaičių ne nulis. Konkrečiai, jūs galite dalyti iš kintamojo m tik tuo atveju, jei m != 0. O kas, jei m = 0? Pakeiskime ir patikrinkime:

Gavome teisingą skaitinę lygybę, t.y. m = 0 yra lygties šaknis. Likusiems m != 0 gauname 1/4 = 1/5 formos išraišką, kuri yra natūraliai neteisinga. Taigi, nėra nulinių šaknų.

Išvados: viską sudėjus

Taigi, išspręsti trupmenines racionaliąsias lygtis atsiminkite tris taisykles:

1. Galima sumažinti tik daugiklius. Papildymai neįmanomi. Todėl išmokite skaičiuoti skaitiklį ir vardiklį;
2. Pagrindinė proporcijos savybė: kraštutinių elementų sandauga lygi vidurinių sandaugai;
3. Lygtys gali būti dauginamos ir dalijamos tik iš skaičių k, išskyrus nulį. Atvejis k = 0 turi būti patikrintas atskirai.

Prisiminkite šias taisykles ir nedarykite klaidų.

Šioje pamokoje išnagrinėsime pagrindinę trupmenų savybę, išsiaiškinsime, kurios trupmenos yra lygios viena kitai. Išmoksime sutrumpinti trupmenas, nustatyti, ar trupmena yra redukuojama, ar ne, praktikuosime trupmenų trumpinimą ir sužinosime, kada naudoti santrumpą, o kada ne.

Lorem ipsum dolor sit amet, consectetur adipisicing elit. Adipisci autem beatae consectetur corporis dolores ea, eius, esse id illo inventore iste mollitia nemo nesciunt nisi obcaecati optio similique tempore voluptate!

Adipisci slapyvardis otanda consequatur cupiditate, ex id minimuma quam rem sint vitae? Animi dolores earum enim fugit magni nihil odit provident quaerat. Aliquid aspernatur eos esse magnam maiores necessitatibus, nulla?

Ši informacija prieinama registruotiems vartotojams

Pagrindinė trupmenos savybė

Įsivaizduokite šią situaciją.

Prie stalo 3 asmuo ir 5 obuoliai Dalintis 5 obuoliai trims. Kiekvienas gauna \(\mathbf(\frac(5)(3))\) obuolių.

Ir prie kito stalo 3 žmogus ir taip pat 5 obuoliai Kiekvienas iš naujo \(\mathbf(\frac(5)(3))\)

Iš viso 10 obuoliai 6 Žmogaus. Kiekvienas \(\mathbf(\frac(10)(6))\)

Bet tai tas pats.

\(\mathbf(\frac(5)(3) = \frac(10)(6))\)

Šios trupmenos yra lygiavertės.

Galite padvigubinti žmonių skaičių ir padvigubinti obuolių skaičių. Rezultatas bus toks pat.

Matematikoje jis suformuluotas taip:

Jei trupmenos skaitiklis ir vardiklis padauginami arba dalijami iš to paties skaičiaus (nelygu 0), tada nauja trupmena bus lygi pradinei.

Ši savybė kartais vadinama " pagrindinė trupmenos savybė ».

$$\mathbf(\frac(a)(b) = \frac(a\cdot c)(b\cdot c) = \frac(a:d)(b:d))$$

Pavyzdžiui, Kelias iš miesto į kaimą - 14 km.

Einame keliu ir kilometrų žymekliais nustatome nuvažiuotą atstumą. Nuėję šešias kolonas, šešis kilometrus, suprantame, kad įveikėme \(\mathbf(\frac(6)(14))\) atstumą.

Bet jei stulpų nematome (gal jie nebuvo sumontuoti), galime apskaičiuoti kelią naudodami elektros stulpus palei kelią. Jų 40 vienetų už kiekvieną kilometrą. Tai yra, iš viso 560 iki galo. Šeši kilometrai – \(\mathbf(6\cdot40 = 240)\) stulpai. Tai yra, mes praėjome 240 iš 560 stulpeliai-\(\mathbf(\frac(240)(560))\)

\(\mathbf(\frac(6)(14) = \frac(240)(560))\)

1 pavyzdys

Pažymėkite tašką koordinatėmis ( 5; 7 ) koordinačių plokštumoje XOY. Tai atitiks trupmeną \(\mathbf(\frac(5)(7))\)

Sujunkite koordinačių pradžią su gautu tašku. Sukurkite kitą tašką, kurio koordinatės yra dvigubai didesnės už ankstesnes. Kokią dalį gavai? Ar jie bus lygūs?

Sprendimas

Koordinačių plokštumos trupmeną galima pažymėti tašku. Norėdami pavaizduoti trupmeną \(\mathbf(\frac(5)(7))\), pažymėkite tašką koordinate 5 išilgai ašies Y Ir 7 išilgai ašies X. Nubrėžkime tiesią liniją nuo pradžios iki mūsų taško.

Taškas, atitinkantis trupmeną \(\mathbf(\frac(10)(14))\), taip pat bus toje pačioje eilutėje

Jie yra lygiaverčiai: \(\mathbf(\frac(5)(7) = \frac(10)(14))\)

Nežinant, kaip sumažinti trupmeną ir turint stabilių įgūdžių sprendžiant tokius pavyzdžius, algebrą mokytis mokykloje labai sunku. Kuo toliau, tuo daugiau pagrindinių žinių apie santrumpą paprastosios trupmenos uždėtas nauja informacija. Pirmiausia atsiranda laipsniai, paskui faktoriai, kurie vėliau tampa daugianariais.

Kaip čia nesusipainioti? Kruopščiai įtvirtinkite ankstesnių temų įgūdžius ir palaipsniui pasiruoškite žinioms, kaip sumažinti trupmeną, kuri kiekvienais metais tampa vis sudėtingesnė.

Pagrindinės žinios

Be jų jūs negalėsite susidoroti su bet kokio lygio užduotimis. Norėdami suprasti, turite suprasti du paprastos akimirkos. Pirma: jūs galite tik sumažinti veiksnius. Šis niuansas pasirodo labai svarbus, kai skaitiklyje arba vardiklyje atsiranda daugianario. Tada turite aiškiai atskirti, kur yra daugiklis, o kur yra priedas.

Antrasis punktas sako, kad bet koks skaičius gali būti pavaizduotas faktorių forma. Be to, sumažinimo rezultatas yra trupmena, kurios skaitiklio ir vardiklio nebegalima sumažinti.

Paprastųjų trupmenų mažinimo taisyklės

Pirmiausia turėtumėte patikrinti, ar skaitiklis dalijasi iš vardiklio, ar atvirkščiai. Tada būtent šį skaičių reikia sumažinti. Tai paprasčiausias variantas.

Antrasis yra analizė išvaizda numeriai. Jei abu baigiasi vienu ar keliais nuliais, juos galima sutrumpinti 10, 100 arba tūkstančiu. Čia galite pastebėti, ar skaičiai yra lyginiai. Jei taip, galite saugiai sumažinti jį dviem.

Trečioji trupmenos mažinimo taisyklė yra skaitiklio ir vardiklio įtraukimas į pirminius veiksnius. Šiuo metu turite aktyviai panaudoti visas savo žinias apie skaičių dalijimosi požymius. Po šio išskaidymo belieka surasti visus pasikartojančius, juos padauginti ir sumažinti gautu skaičiumi.

Ką daryti, jei trupmenoje yra algebrinė išraiška?

Čia ir atsiranda pirmieji sunkumai. Nes čia atsiranda terminai, kurie gali būti identiški veiksniams. Labai noriu juos sumažinti, bet negaliu. Kad galėtumėte sumažinti algebrinę trupmeną, ją reikia konvertuoti taip, kad ji turėtų koeficientus.

Norėdami tai padaryti, turėsite atlikti kelis veiksmus. Jums gali tekti pereiti juos visus, o gal pirmasis pasiūlys tinkamą variantą.

Patikrinkite, ar skaitiklis ir vardiklis arba bet kuri jų išraiška skiriasi ženklu. Tokiu atveju tereikia iš skliaustų įdėti minus vieną. Tai sukuria vienodus veiksnius, kuriuos galima sumažinti.

Pažiūrėkite, ar galima pašalinti bendrąjį koeficientą iš daugianario be skliaustų. Galbūt dėl ​​to atsiras skliaustas, kurį taip pat galima sutrumpinti, arba tai bus pašalintas monomas.

Pabandykite sugrupuoti monomiją, kad vėliau pridėtumėte prie jų bendrą veiksnį. Po to gali pasirodyti, kad bus veiksnių, kuriuos galima sumažinti, arba vėl bus pakartotas bendrų elementų skliausteliuose.

Pabandykite raštu apsvarstyti sutrumpintas daugybos formules. Su jų pagalba galite lengvai konvertuoti daugianario į veiksnius.

Veiksmų su trupmenomis su laipsniais seka

Norėdami lengvai suprasti klausimą, kaip sumažinti trupmeną galiomis, turite tvirtai prisiminti pagrindines operacijas su jais. Pirmasis iš jų yra susijęs su galių dauginimu. Tokiu atveju, jei pagrindai yra vienodi, rodikliai turi būti pridėti.

Antrasis yra padalijimas. Vėlgi, tiems, kurie turi tas pačias priežastis, rodiklius reikės atimti. Be to, reikia atimti iš dividendų skaičiaus, o ne atvirkščiai.

Trečias – eksponencija. Esant tokiai situacijai, rodikliai padauginami.

Sėkmingas mažinimas taip pat pareikalaus gebėjimo sumažinti galias iki vienodo pagrindo. Tai yra, pamatyti, kad keturi yra du kvadratai. Arba 27 – kubas iš trijų. Nes sumažinti 9 kvadratus ir 3 kubus yra sunku. Bet jei pirmąją išraišką transformuosime į (3 2) 2, tada redukcija bus sėkminga.