Lygčių ir nelygybių sprendimas moduliu dažnai sukelia sunkumų. Tačiau, jei gerai suprantate, kas tai yra skaičiaus modulis, Ir kaip teisingai išplėsti išraiškas, kuriose yra modulio ženklas, tada buvimas lygtyje išraiška po modulio ženklu, nustoja būti kliūtimi jos sprendimui.

Šiek tiek teorijos. Kiekvienas skaičius turi dvi charakteristikas: absoliučią skaičiaus reikšmę ir jo ženklą.

Pavyzdžiui, skaičius +5 arba tiesiog 5 turi „+“ ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Skaičius -5 turi „-“ ženklą ir absoliučią reikšmę 5.

Absoliučios skaičių 5 ir -5 reikšmės yra 5.

Absoliuti skaičiaus x reikšmė vadinama skaičiaus moduliu ir žymima |x|.

Kaip matome, skaičiaus modulis yra lygus pačiam skaičiui, jei šis skaičius yra didesnis arba lygus nuliui, ir šiam skaičiui su priešingu ženklu, jei šis skaičius yra neigiamas.

Tas pats pasakytina apie visas išraiškas, rodomas po modulio ženklu.

Modulio išplėtimo taisyklė atrodo taip:

|f(x)|= f(x), jei f(x) ≥ 0, ir

|f(x)|= - f(x), jei f(x)< 0

Pavyzdžiui |x-3|=x-3, jei x-3≥0 ir |x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0.

Norėdami išspręsti lygtį, kurioje yra išraiška po modulio ženklu, pirmiausia turite išplėsti modulį pagal modulio išplėtimo taisyklę.

Tada mūsų lygtis arba nelygybė tampa į dvi skirtingas lygtis, egzistuojančias dviejuose skirtinguose skaitiniuose intervaluose.

Viena lygtis egzistuoja skaitiniame intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neneigiama.

Ir antroji lygtis egzistuoja intervale, kuriame išraiška po modulio ženklu yra neigiama.

Pažiūrėkime į paprastą pavyzdį.

Išspręskime lygtį:

|x-3|=-x 2 +4x-3

1. Atidarykime modulį.

|x-3|=x-3, jei x-3≥0, t.y. jei x≥3

|x-3|=-(x-3)=3-x, jei x-3<0, т.е. если х<3

2. Gavome du skaitinius intervalus: x≥3 ir x<3.

Panagrinėkime, į kokias lygtis kiekviename intervale transformuojama pradinė lygtis:

A) Jei x≥3 |x-3|=x-3, mūsų sužeidimas turi tokią formą:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x≥3!

Atidarykime skliaustus ir pateikime panašius terminus:

ir išspręskite šią lygtį.

Ši lygtis turi šaknis:

x 1 = 0, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis x-3=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x≥3, mus domina tik tos šaknys, kurios priklauso šiam intervalui. Šią sąlygą tenkina tik x 2 =3.

B) ties x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:

Dėmesio! Ši lygtis egzistuoja tik intervale x<3!

Atidarykime skliaustus ir pateikime panašius terminus. Gauname lygtį:

x 1 = 2, x 2 = 3

Dėmesio! kadangi lygtis 3-x=-x 2 +4x-3 egzistuoja tik intervale x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.

Taigi: iš pirmojo intervalo imame tik šaknį x=3, iš antrojo - šaknį x=2.

Tarp pavyzdžiai kiekvienam moduliui Dažnai yra lygčių, kurias reikia rasti modulio šaknys modulyje, tai yra formos lygtis
||a*x-b|-c|=k*x+m .
Jei k=0, tai yra, dešinioji pusė lygi konstantai (m), tada lengviau ieškoti sprendimo lygtys su moduliais grafiškai.Žemiau pateikiamas metodas dvigubų modulių atidarymas naudojant praktikoje paplitusius pavyzdžius. Gerai supraskite lygčių skaičiavimo su moduliais algoritmą, kad nekiltų problemų atliekant viktorinas, testus ir tiesiog norint žinoti.

1 pavyzdys. Išspręskite lygtį modulo |3|x|-5|=-2x-2.
Sprendimas: visada pradėkite atidaryti lygtis iš vidinio modulio
|x|=0 <->x=0.
Taške x=0 lygtis su moduliu yra padalinta iš 2.
Prie x< 0 подмодульная функция отрицательная, поэтому при раскрытии знак меняем на противоположный
|-3x-5|=-2x-2.
Jei x>0 arba lygus, išplėsdami gautą modulį
|3x-5|=-2x-2 .
Išspręskime lygtį neigiamiems kintamiesiems (x< 0) . Оно разлагается на две системы уравнений. Первое уравнение получаем из условия, что функция после знака равенства неотрицательна. Второе - раскрывая модуль в одной системе принимаем, что подмодульная функция положительная, в иной отрицательная - меняем знак правой или левой части (зависит от методики преподавания).

Iš pirmosios lygties gauname, kad sprendinys neturi viršyti (-1), t.y.

Šis apribojimas visiškai priklauso sričiai, kurią mes sprendžiame. Perkelkime kintamuosius ir konstantas į priešingas lygybės puses pirmoje ir antroje sistemose

ir rasti sprendimą


Abi reikšmės priklauso tam intervalui, kuris yra svarstomas, tai yra, jos yra šaknys.
Apsvarstykite lygtį su teigiamų kintamųjų moduliais
|3x-5|=-2x-2.
Išplėsdami modulį gauname dvi lygčių sistemas

Iš pirmosios lygties, kuri yra bendra abiem sistemoms, gauname pažįstamą sąlygą

kuri sankirtoje su aibe, kurioje ieškome sprendimo, duoda tuščią aibę (susikirtimo taškų nėra). Taigi vienintelės modulio su moduliu šaknys yra reikšmės
x=-3; x=-1,4.

2 pavyzdys. Išspręskite lygtį su moduliu ||x-1|-2|=3x-4.
Sprendimas: pradėkime atidarydami vidinį modulį
|x-1|=0 <=>x=1.
Submodulinė funkcija keičia ženklą vienu. Mažesnėms reikšmėms jis yra neigiamas, didesnėms – teigiamas. Pagal tai, plečiant vidinį modulį, gauname dvi lygtis su moduliu
x |-(x-1)-2|=3x-4;
x>=1 -> |x-1-2|=3x-4.
Būtinai patikrinkite modulio lygties dešinę pusę, ji turi būti didesnė už nulį.
3x-4>=0 -> x>=4/3.
Tai reiškia, kad nereikia spręsti pirmosios lygties, nes ji buvo parašyta x< 1, что не соответствует найденному условию. Раскроем модуль во втором уравнении
|x-3|=3x-4 ->
x-3 = 3x-4 arba x-3=4-3x;
4-3=3x-x arba x+3x=4+3;
2x = 1 arba 4x = 7;
x=1/2 arba x=7/4.
Gavome dvi reikšmes, iš kurių pirmoji atmetama, nes nepriklauso reikiamam intervalui. Galiausiai lygtis turi vieną sprendinį x=7/4.

3 pavyzdys. Išspręskite lygtį su moduliu ||2x-5|-1|=x+3.
Sprendimas: atidarykime vidinį modulį
|2x-5|=0 <=>x=5/2=2,5.
Taškas x=2,5 padalija skaičių tiesę į du intervalus. Atitinkamai, submodulinė funkcija keičia ženklą važiuojant pro 2.5.
Užrašykime sprendinio sąlygą dešinėje lygties su moduliu pusėje. x+3>=0.
-> x>=-3
Taigi sprendimas gali būti ne mažesnės nei (-3) reikšmės. Išplėskime modulį pagal neigiamą vidinio modulio reikšmę
|-(2x-5)-1|=x+3;
|-2x+4|=x+3.
Šis modulis taip pat pateiks 2 lygtis, kai bus išplėstas
-2x+4=x+3 arba 2x-4=x+3;
2x+x=4-3 arba 2x-x=3+4;
3x=1; x=1/3 arba x=7 .
Reikšmę x=7 atmetame, nes sprendinio ieškojome intervale [-3;2.5].
Dabar atidarome vidinį modulį x> 2.5. Gauname lygtį su vienu moduliu
|2x-5-1|=x+3;
|2x-6|=x+3.
Išplėsdami modulį gauname tokias tiesines lygtis
-2x+6=x+3 arba 2x-6=x+3;
2x+x=6-3 arba 2x-x=3+6;
3x=3; x=1 arba x=9 .

Pirmoji reikšmė x=1 neatitinka sąlygos x>2.5. Taigi šiame intervale turime vieną lygties šaknį, kurios modulis yra x=9, o iš viso yra dvi (x=1/3) galite patikrinti atliktų skaičiavimų teisingumą
Atsakymas: x=1/3; x=9.
4 pavyzdys. <=>Raskite dvigubo modulio sprendimus ||3x-1|-5|=2x-3.
Sprendimas: Išplėskime vidinį lygties modulį
|3x-1|=0 x=1/3.
Taškas x=2,5 padalija skaičių tiesę į du intervalus, o pateiktą lygtį – į du atvejus. Užrašome sprendimo sąlygą pagal lygties formą dešinėje pusėje 2x-3>=0-> x>=3/2=1,5.
,
Iš to išplaukia, kad mus domina vertės>=1,5. Taigi
modulinė lygtis
apsvarstykite dviem intervalais
|-(3x-1)-5|=2x-3;
|-3x-4|=2x-3.
Gautas modulis, išplėtus, yra padalintas į 2 lygtis
-3x-4=2x-3 arba 3x+4=2x-3;
2x+3x=-4+3 arba 3x-2x=-3-4;
5x=-1; x=-1/5 arba x=-7 ..
Abi reikšmės nepatenka į intervalą, tai yra, jos nėra lygties su moduliais sprendiniai. Toliau išplėsime modulį x>2.5. Gauname tokią lygtį
|3x-1-5|=2x-3; |3x-6|=2x-3
Išplėsdami modulį, gauname 2 tiesines lygtis 3x-6=2x-3 arba
–(3x-6)=2x-3;
3x-2x=-3+6
arba 2x+3x=6+3;
x=3 arba 5x=9; x=9/5=1,8.
||3*3-1|-5|=2*3-3 3=3 .
Antroji rasta reikšmė neatitinka sąlygos x>2,5, ją atmetame.
3x=3; x=1 arba x=9 .

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

• Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

• Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
• Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
• Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
• Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

• Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
• Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Šiandien, draugai, nebus nei snarglių, nei sentimentalumo. Vietoj to, be jokių klausimų išsiųsiu jus į mūšį su vienu baisiausių priešininkų 8–9 klasių algebros kurse.

Taip, jūs viską supratote teisingai: mes kalbame apie nelygybes su moduliu. Apžvelgsime keturis pagrindinius metodus, kurių pagalba išmoksite išspręsti apie 90% tokių problemų. O kaip su likusiais 10%? Na, apie juos pakalbėsime atskiroje pamokoje :)

Tačiau prieš analizuodamas bet kurį iš metodų, norėčiau priminti du faktus, kuriuos jau turite žinoti. Priešingu atveju rizikuojate visiškai nesuprasti šios pamokos medžiagos.

Ką jau reikia žinoti

Panašu, kad „Captain Obviousness“ užsimena, kad norint išspręsti nelygybes su moduliu, reikia žinoti du dalykus:

1. Kaip išsprendžiamos nelygybės;
2. Kas yra modulis?

Pradėkime nuo antro punkto.

Modulio apibrėžimas

Čia viskas paprasta. Yra du apibrėžimai: algebrinis ir grafinis. Pirmiausia – algebrinė:

Apibrėžimas. Skaičiaus $x$ modulis yra arba pats skaičius, jei jis neneigiamas, arba jam priešingas skaičius, jei pradinis $x$ vis dar yra neigiamas.

Tai parašyta taip:

\[\left| x \right|=\left\( \begin (lygiuoti) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(lygiuoti) \right.\]

Paprastai tariant, modulis yra „skaičius be minuso“. Ir būtent šiame dvilypume (kai kur su pradiniu skaičiumi nieko daryti nereikia, o kitur teks pašalinti kažkokį minusą) ir slypi pradedantiesiems studentams visas sunkumas.

Taip pat yra geometrinis apibrėžimas. Tai taip pat naudinga žinoti, tačiau į tai kreipsimės tik sudėtingais ir kai kuriais ypatingais atvejais, kai geometrinis požiūris yra patogesnis nei algebrinis (spoileris: ne šiandien).

Apibrėžimas. Skaičių eilutėje pažymėtas taškas $a$. Tada modulis $\left| x-a \right|$ yra atstumas nuo taško $x$ iki taško $a$ šioje tiesėje.

Jei nupiešite paveikslėlį, gausite kažką panašaus į tai:

Grafinio modulio apibrėžimas

Vienaip ar kitaip, iš modulio apibrėžimo iš karto išplaukia pagrindinė jo savybė: skaičiaus modulis visada yra neneigiamas dydis. Šis faktas bus raudona gija, einanti per visą mūsų šiandienos pasakojimą.

Nelygybių sprendimas. Intervalinis metodas

Dabar pažvelkime į nelygybes. Jų yra labai daug, bet mūsų užduotis dabar yra sugebėti išspręsti bent paprasčiausią iš jų. Tie, kurie redukuoja į tiesines nelygybes, taip pat į intervalų metodą.

Turiu dvi dideles pamokas šia tema (beje, labai, LABAI naudingos – rekomenduoju jas išstudijuoti):

1. Intervalinis nelygybių metodas (ypač žiūrėkite vaizdo įrašą);
2. Trupmeninės racionalios nelygybės yra labai plati pamoka, tačiau po jos jums nebeliks jokių klausimų.

Jei visa tai žinai, jei frazė „pereikime nuo nelygybės prie lygties“ nekelia miglotos noro atsitrenkti į sieną, tada esi pasiruošęs: sveiki atvykę į pagrindinę pamokos temą :)

1. Formos „Modulis mažesnis už funkciją“ nelygybės

Tai viena iš dažniausiai pasitaikančių modulių problemų. Būtina išspręsti formos nelygybę:

\[\left| f\right| \ltg\]

Funkcijos $f$ ir $g$ gali būti bet kokios, bet dažniausiai tai yra daugianariai. Tokių nelygybių pavyzdžiai:

\[\begin(lygiuoti) & \left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7; \\ & \left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0; \\ & \left| ((x)^(2))-2\left| x \right|-3 \right| \lt 2. \\\end(lygiuoti)\]

Visus juos galima išspręsti pažodžiui vienoje eilutėje pagal šią schemą:

\[\left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin (lygiuoti) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(lygiuoti) \dešinė.\dešinė)\]

Nesunku pastebėti, kad atsikratome modulio, bet mainais gauname dvigubą nelygybę (arba, tai yra tas pats, dviejų nelygybių sistemą). Tačiau šis perėjimas atsižvelgia į absoliučiai visas galimas problemas: jei skaičius pagal modulį yra teigiamas, metodas veikia; jei neigiamas, jis vis tiek veikia; ir net jei vietoje $f$ arba $g$ pati netinkamiausia funkcija, metodas vis tiek veiks.

Natūralu, kad kyla klausimas: argi negali būti paprasčiau? Deja, tai neįmanoma. Tai yra visa modulio esmė.

Tačiau užteks filosofavimo. Išspręskime porą problemų:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7\]

Sprendimas. Taigi, prieš mus yra klasikinė formos nelygybė „modulis mažesnis“ – nėra ką net transformuoti. Dirbame pagal algoritmą:

\[\begin(lygiuoti) & \left| f\right| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \left| 2x+3 \dešinė| \lt x+7\Rightrow -\left(x+7 \right) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(lygiuoti)\]

Neskubėkite atidaryti skliaustų, prieš kuriuos rašomas „minusas“: labai tikėtina, kad skubėdami padarysite įžeidžiančią klaidą.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin (lygiuoti) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

Problema buvo sumažinta iki dviejų elementarių nelygybių. Atkreipkite dėmesį į jų sprendimus lygiagrečiose skaičių tiesėse:

Aibių sankirta

Šių rinkinių sankirta bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \right|+3\left(x+1 \right) \lt 0\]

Sprendimas. Ši užduotis yra šiek tiek sunkesnė. Pirma, išskirkime modulį, perkeldami antrąjį terminą į dešinę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \lt -3\left(x+1 \right)\]

Akivaizdu, kad vėl turime nelygybę „modulis mažesnis“, todėl modulio atsikratome naudodami jau žinomą algoritmą:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\left(x+1 \right)\]

Dabar dėmesio: kažkas pasakys, kad aš esu šiek tiek iškrypėlis su visais šiais skliaustais. Tačiau leiskite dar kartą priminti, kad pagrindinis mūsų tikslas yra teisingai išspręskite nelygybę ir gaukite atsakymą. Vėliau, kai puikiai įvaldysite viską, kas aprašyta šioje pamokoje, galėsite patys tai iškreipti kaip norite: atplėšti skliaustus, pridėti minusų ir pan.

Norėdami pradėti, tiesiog atsikratysime dvigubo minuso kairėje:

\[-\left(-3\left(x+1 \right) \right)=\left(-1 \right)\cdot \left(-3 \right)\cdot \left(x+1 \right) =3\kairė(x+1\dešinė)\]

Dabar atidarykime visus dvigubos nelygybės skliaustus:

Pereikime prie dvigubos nelygybės. Šį kartą skaičiavimai bus rimtesni:

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(lygiuoti) \right.\]

\[\left\( \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( lygiuoti)\right.\]

Abi nelygybės yra kvadratinės ir gali būti išspręstos naudojant intervalų metodą (todėl ir sakau: jei nežinote, kas tai yra, geriau neimkite modulių). Pereikime prie pirmosios nelygybės lygties:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Kaip matote, išvestis yra neišsami kvadratinė lygtis, kurią galima išspręsti elementariai. Dabar pažvelkime į antrąją sistemos nelygybę. Ten turėsite pritaikyti Vietos teoremą:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \left(x-3 \right)\left(x+2 \right)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Gautus skaičius pažymime dviejose lygiagrečiose tiesėse (atskirai pirmajai nelygybei ir atskirai antrajai):

Vėlgi, kadangi mes sprendžiame nelygybių sistemą, mus domina nuspalvintų aibių sankirta: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Tai yra atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Manau, kad po šių pavyzdžių sprendimo schema yra labai aiški:

1. Išskirkite modulį, perkeldami visus kitus terminus į priešingą nelygybės pusę. Taip gauname formos $\left| nelygybę f\right| \ltg$.
2. Išspręskite šią nelygybę, atsikratydami modulio pagal aukščiau aprašytą schemą. Kažkuriuo momentu teks pereiti nuo dvigubos nelygybės prie dviejų nepriklausomų išraiškų sistemos, kurių kiekvieną jau galima išspręsti atskirai.
3. Galiausiai belieka susikirsti šių dviejų nepriklausomų posakių sprendimus – ir viskas, mes gausime galutinį atsakymą.

Panašus algoritmas egzistuoja ir tokio tipo nelygybėms, kai modulis didesnis už funkciją. Tačiau yra keletas rimtų „bet“. Dabar kalbėsime apie šiuos „bet“.

2. Formos „Modulis didesnis už funkciją“ nelygybės

Jie atrodo taip:

\[\left| f\right| \gtg\]

Panašus į ankstesnį? Atrodo. Ir vis dėlto tokios problemos sprendžiamos visai kitaip. Formaliai schema yra tokia:

\[\left| f\right| \gt g\Rodyklė dešinėn \left[ \begin(lygiuoti) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(lygiuoti) \right.\]

Kitaip tariant, nagrinėjame du atvejus:

1. Pirma, mes tiesiog ignoruojame modulį ir išsprendžiame įprastą nelygybę;
2. Tada iš esmės išplečiame modulį su minuso ženklu ir padauginame abi nelygybės puses iš −1, o aš turiu ženklą.

Šiuo atveju variantai derinami su laužtiniu skliaustu, t.y. Prieš mus yra dviejų reikalavimų derinys.

Dar kartą atkreipkite dėmesį: tai ne sistema, o visuma atsakyme aibės derinamos, o ne susikerta. Tai esminis skirtumas nuo ankstesnio punkto!

Apskritai, daugelis studentų yra visiškai supainioti su sąjungomis ir sankryžomis, todėl išspręskime šią problemą kartą ir visiems laikams:

• „∪“ yra sąjungos ženklas. Tiesą sakant, tai stilizuota raidė „U“, kuri pas mus atėjo iš anglų kalbos ir yra „Union“ santrumpa, t.y. „Asociacijos“.
• „∩“ yra sankryžos ženklas. Šis šūdas neatsirado iš niekur, o tiesiog pasirodė kaip priešprieša „∪“.

Kad būtų dar lengviau įsiminti, tiesiog pritraukite kojas prie šių ženklų ir pasigaminkite akinius (tik dabar nekaltinkite manęs narkomanijos ir alkoholizmo propagavimu: jei rimtai studijuojate šią pamoką, vadinasi, jau esate narkomanas):

Skirtumas tarp sankirtos ir aibių sąjungos

Išvertus į rusų kalbą, tai reiškia: sąjunga (visuma) apima elementus iš abiejų rinkinių, todėl jokiu būdu nėra mažesnis už kiekvieną iš jų; tačiau sankirta (sistema) apima tik tuos elementus, kurie vienu metu yra ir pirmoje, ir antroje. Todėl aibių sankirta niekada nėra didesnė už šaltinių aibes.

Taigi tapo aiškiau? Tai puiku. Pereikime prie praktikos.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| 3x+1 \dešinė| \gt 5-4x\]

Sprendimas. Mes tęsiame pagal schemą:

\[\left| 3x+1 \dešinė| \gt 5-4x\Rodyklė dešinėn \kairė[ \begin(lygiuoti) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\pabaiga (lygiuoti) \ teisingai.\]

Išsprendžiame kiekvieną populiacijos nelygybę:

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

\[\left[ \begin (lygiuoti) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end (lygiuoti) \right.\]

Kiekvieną gautą rinkinį pažymime skaičių eilutėje ir sujungiame:

Rinkinių sąjunga

Visiškai akivaizdu, kad atsakymas bus $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Atsakymas: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gt x\]

Sprendimas. Na? Nieko – viskas taip pat. Nuo nelygybės su moduliu pereiname prie dviejų nelygybių aibės:

\[\left| ((x)^(2))+2x-3 \dešinė| \gt x\Rodyklė dešinėn \kairė[ \begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\pabaiga (lygiuoti) \dešinė.\]

Mes išsprendžiame kiekvieną nelygybę. Deja, šaknys ten nebus labai geros:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\pm \sqrt(13))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Antroji nelygybė taip pat yra šiek tiek laukinė:

\[\begin(lygiuoti) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\pm \sqrt(21))(2). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Dabar reikia pažymėti šiuos skaičius ant dviejų ašių – po vieną ašį kiekvienai nelygybei. Tačiau taškus reikia pažymėti teisinga tvarka: kuo didesnis skaičius, tuo toliau taškas juda į dešinę.

Ir čia mūsų laukia sąranka. Jei viskas aišku su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (dėmenys pirmojo skaitiklyje trupmena yra mažesnė už antrojo skaitiklio narius, taigi suma taip pat mažesnė), su skaičiais $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ taip pat nebus sunkumų (teigiamas skaičius akivaizdžiai labiau neigiamas), tada su paskutine pora viskas nėra taip aišku. Kuris yra didesnis: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ ar $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Nuo atsakymo į šį klausimą priklausys taškų išdėstymas skaičių eilutėse ir, tiesą sakant, atsakymas.

Taigi palyginkime:

\[\begin(matrica) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matrica)\]

Išskyrėme šaknį, gavome neneigiamus skaičius abiejose nelygybės pusėse, todėl turime teisę kvadratuoti abi puses:

\[\begin(matrica) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matrica)\]

Manau, nieko negalvoju, kad $4\sqrt(13) \gt 3$, taigi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, galutiniai taškai ant ašių bus išdėstyti taip:

Bjaurių šaknų atvejis

Priminsiu, kad sprendžiame kolekciją, todėl atsakymas bus sąjunga, o ne šešėlinių rinkinių sankirta.

Atsakymas: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \right)$

Kaip matote, mūsų schema puikiai tinka tiek paprastoms, tiek labai sudėtingoms problemoms spręsti. Vienintelis šio požiūrio „silpnoji vieta“ yra ta, kad reikia teisingai palyginti neracionalius skaičius (ir patikėkite manimi: tai ne tik šaknys). Tačiau palyginimo klausimams bus skirta atskira (ir labai rimta) pamoka. Ir judame toliau.

3. Nelygybės su neneigiamomis „uodegomis“

Dabar pereiname prie įdomiausios dalies. Tai yra formos nelygybės:

\[\left| f\right| \gt\left| g\right|\]

Apskritai, algoritmas, apie kurį dabar kalbėsime, yra teisingas tik moduliui. Jis veikia visose nelygybėse, kur kairėje ir dešinėje yra garantuotos neneigiamos išraiškos:

Ką daryti su šiomis užduotimis? Tiesiog prisimink:

Esant nelygybėms su neneigiamomis „uodegomis“, abi pusės gali būti pakeltos į bet kokią natūralią galią. Jokių papildomų apribojimų nebus.

Visų pirma, mus sudomins kvadratas - jis degina modulius ir šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Tik nepainiokite to su kvadrato šaknies paėmimu:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \right|\ne f\]

Buvo padaryta begalė klaidų, kai studentas pamiršo įdiegti modulį! Bet tai visiškai kita istorija (tai tarsi neracionalios lygtys), todėl dabar į tai nesigilinsime. Išspręskime keletą problemų geriau:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \right|\ge \left| 1-2x \right|\]

Sprendimas. Iš karto atkreipkime dėmesį į du dalykus:

1. Tai nėra griežta nelygybė. Taškai skaičių eilutėje bus pradurti.
2. Akivaizdu, kad abi nelygybės pusės yra neneigiamos (tai yra modulio savybė: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Todėl galime padalyti į kvadratą abi nelygybės puses, kad atsikratytume modulio ir išspręstume problemą naudodami įprastą intervalo metodą:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\left(x+2 \right))^(2))\ge ((\left(2x-1 \right))^(2)). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Paskutiniame žingsnyje šiek tiek apgavau: pakeičiau terminų seką, pasinaudodamas modulio tolygumu (iš tikrųjų išraišką $1-2x$ padauginau iš −1).

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \left(\left(2x-1 \right)-\left(x+2 \right) \right)\cdot \left(\left(2x-1 \right)+\left(x+2 \ dešinė)\dešinė)\le 0; \\ & \left(2x-1-x-2 \right)\cdot \left(2x-1+x+2 \right)\le 0; \\ & \left(x-3 \right)\cdot \left(3x+1 \right)\le 0. \\\end (lygiuoti)\]

Sprendžiame intervalo metodu. Pereikime nuo nelygybės prie lygties:

\[\begin(lygiuoti) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Rastas šaknis pažymime skaičių eilutėje. Dar kartą: visi taškai užtamsinti, nes pradinė nelygybė nėra griežta!

Modulio ženklo atsikratymas

Ypatingai užsispyrusiems priminsiu: ženklus paimame iš paskutinės nelygybės, kuri buvo užrašyta prieš pereinant prie lygties. Ir mes dažome reikalingus plotus toje pačioje nelygybėje. Mūsų atveju tai yra $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

Na, tai viskas. Problema išspręsta.

Atsakymas: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| ((x)^(2))+x+1 \right|\le \left| ((x)^(2))+3x+4 \right|\]

Sprendimas. Viską darome taip pat. Nekomentuosiu – tik pažiūrėkite veiksmų seką.

Kvadratu:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left) |. ((x)^(2))+3x+4 \dešinė))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \dešinė))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))-((\left(((x)^(2))+3x+4 \ dešinė))^(2))\le 0; \\ & \left(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \right)\times \\ & \times \left(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \right)\le 0; \\ & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)\le 0. \\\end(lygiuoti)\]

Intervalo metodas:

\[\begin(lygiuoti) & \left(-2x-3 \right)\left(2(x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Rodyklė į dešinę x=-1,5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Rightarrow D=16-40 \lt 0\Rightarrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Skaičių eilutėje yra tik viena šaknis:

Atsakymas yra visas intervalas

Atsakymas: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Maža pastaba apie paskutinę užduotį. Kaip tiksliai pastebėjo vienas iš mano mokinių, abi submodulinės išraiškos šioje nelygybėje yra akivaizdžiai teigiamos, todėl modulio ženklą galima praleisti nepakenkiant sveikatai.

Bet tai yra visiškai kitoks mąstymo lygis ir kitoks požiūris – tai sąlyginai galima pavadinti pasekmių metodu. Apie tai – atskiroje pamokoje. Dabar pereikime prie paskutinės šios pamokos dalies ir pažvelkime į universalų algoritmą, kuris visada veikia. Net kai visi ankstesni metodai buvo bejėgiai :)

4. Pasirinkimo galimybių surašymo būdas

Ką daryti, jei visi šie metodai nepadeda? Jei nelygybė negali būti sumažinta iki neneigiamų uodegų, jei neįmanoma izoliuoti modulio, jei apskritai yra skausmas, liūdesys, melancholija?

Tada pasirodo visos matematikos „sunkioji artilerija“ – brutalios jėgos metodas. Kalbant apie nelygybes su moduliu, tai atrodo taip:

1. Išrašykite visas submodulines išraiškas ir nustatykite jas lygias nuliui;
2. Išspręskite gautas lygtis ir pažymėkite vienoje skaičių eilutėje rastas šaknis;
3. Tiesi linija bus padalinta į kelias dalis, kuriose kiekvienas modulis turi fiksuotą ženklą ir todėl yra unikaliai atskleistas;
4. Išspręskite kiekvienos tokios sekcijos nelygybę (galite atskirai atsižvelgti į šaknis-ribas, gautas 2 veiksme - dėl patikimumo). Sujunkite rezultatus - tai bus atsakymas :)

Taigi kaip? Silpnas? Lengvai! Tik ilgam. Pažiūrėkime praktiškai:

Užduotis. Išspręskite nelygybę:

\[\left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-\frac(3)(2)\]

Sprendimas. Šis šūdas nesusiveda į nelygybes, tokias kaip $\left| f\right| \lt g$, $\left| f\right| \gt g$ arba $\left| f\right| \lt \left| g \right|$, todėl elgiamės į priekį.

Išrašome submodulines išraiškas, prilygstame jas nuliui ir randame šaknis:

\[\begin(lygiuoti) & x+2=0\Rodyklė dešinėn x=-2; \\ & x-1=0\Rodyklė dešinėn x=1. \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Iš viso turime dvi šaknis, padalijančias skaičių eilutę į tris dalis, kuriose kiekvienas modulis atskleidžiamas unikaliai:

Skaičių eilutės padalijimas submodulinių funkcijų nuliais

Pažvelkime į kiekvieną skyrių atskirai.

1. Tegul $x \lt -2$. Tada abi submodulinės išraiškos yra neigiamos, o pradinė nelygybė bus perrašyta taip:

\[\begin(lygiuoti) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(lygiuoti)\]

Turime gana paprastą apribojimą. Sukirskime jį su pradine prielaida, kad $x \lt -2$:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(lygiuoti) \right.\RightArrow x\in \varnothing \]

Akivaizdu, kad kintamasis $x$ vienu metu negali būti mažesnis nei –2 ir didesnis nei 1,5. Šioje srityje sprendimų nėra.

1.1. Atskirai panagrinėkime ribinį atvejį: $x=-2$. Tiesiog pakeiskime šį skaičių į pradinę nelygybę ir patikrinkime: ar tai tiesa?

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) \ \ & 0 \lt \left| -3\dešinė|-2-1,5; \\ & 0 \lt 3-3,5; \\ & 0 \lt -0,5\Rodyklė dešinėn \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Akivaizdu, kad skaičiavimų grandinė atvedė mus į neteisingą nelygybę. Todėl pradinė nelygybė taip pat klaidinga, o $x=-2$ į atsakymą neįtraukta.

2. Tegu dabar $-2 \lt x \lt 1$. Kairysis modulis jau atsidarys su „pliusu“, o dešinysis vis tiek atsidarys su „minusu“. Turime:

\[\begin (lygiuoti) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(lygiuoti)\]

Vėlgi susikertame su pradiniu reikalavimu:

\[\left\( \begin (lygiuoti) & x \lt -2,5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\pabaiga (lygiuoti) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Ir vėlgi, sprendinių rinkinys tuščias, nes nėra skaičių, kurie būtų ir mažesni nei –2,5, ir didesni už –2.

2.1. Ir vėl ypatingas atvejis: $x=1$. Į pradinę nelygybę pakeičiame:

\[\begin(lygiuoti) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \left| 3\dešinė| \lt \left| 0\right|+1-1,5; \\ & 3 \lt -0,5; \\ & 3 \lt -0,5\RightArrow \varnothing . \\\pabaiga (lygiuoti)\]

Panašiai kaip ir ankstesniame „ypatingame atvejis“, atsakyme aiškiai neįtrauktas skaičius $x=1$.

3. Paskutinė eilutės dalis: $x \gt 1$. Čia visi moduliai atidaromi su pliuso ženklu:

\[\begin(lygiuoti) & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1,5 \\ & x \gt 4,5 \\ \end(lygiuoti)\ ]

Ir vėl susikertame rastą aibę su pradiniu apribojimu:

' ]

Na, pagaliau! Mes radome intervalą, kuris bus atsakymas.

Atsakymas: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Galiausiai, viena pastaba, kuri gali išgelbėti jus nuo kvailų klaidų sprendžiant tikras problemas:

Nelygybių su moduliais sprendiniai dažniausiai reiškia ištisines aibes skaičių tiesėje – intervalus ir atkarpas. Atskirti taškai yra daug rečiau paplitę. O dar rečiau pasitaiko, kad sprendinio riba (atkarpos pabaiga) sutampa su nagrinėjamo diapazono riba.

Vadinasi, jei ribos (tie patys „ypatingi atvejai“) neįtrauktos į atsakymą, plotai į kairę ir į dešinę nuo šių ribų beveik neabejotinai nebus įtraukti į atsakymą. Ir atvirkščiai: siena įtraukta į atsakymą, o tai reiškia, kad kai kurios sritys aplink ją taip pat bus atsakymai.

Turėkite tai omenyje peržiūrėdami sprendimus.

Viena iš sunkiausių temų studentams yra lygčių, kuriose yra kintamasis po modulio ženklu, sprendimas. Pirmiausia išsiaiškinkime, su kuo tai susiję? Kodėl, pavyzdžiui, dauguma vaikų kvadratines lygtis laužo kaip riešutus, bet turi tiek daug problemų su tokia toli gražu ne sudėtinga koncepcija kaip modulis?

Mano nuomone, visi šie sunkumai yra susiję su aiškiai suformuluotų lygčių su moduliu sprendimo taisyklių trūkumu. Taigi, spręsdamas kvadratinę lygtį, studentas tikrai žino, kad pirmiausia reikia pritaikyti diskriminantinę formulę, o tada – kvadratinės lygties šaknų formules. Ką daryti, jei lygtyje rastas modulis? Bandysime aiškiai aprašyti reikalingą veiksmų planą tuo atveju, kai lygtyje po modulio ženklu yra nežinomasis. Kiekvienam atvejui pateiksime kelis pavyzdžius.

Bet pirmiausia prisiminkime modulio apibrėžimas. Taigi, moduliuokite skaičių a pats šis skaičius vadinamas if a neneigiamas ir -a, jei numeris a mažiau nei nulis. Galite parašyti taip:

|a| = a, jei a ≥ 0 ir |a| = -a jei a< 0

Kalbant apie geometrinę modulio reikšmę, reikia atsiminti, kad kiekvienas realusis skaičius atitinka tam tikrą skaičių ašies tašką – jo koordinuoti. Taigi, skaičiaus modulis arba absoliuti reikšmė yra atstumas nuo šio taško iki skaitinės ašies pradžios. Atstumas visada nurodomas kaip teigiamas skaičius. Taigi bet kurio neigiamo skaičiaus modulis yra teigiamas skaičius. Beje, net šiame etape daugelis studentų pradeda sutrikti. Modulyje gali būti bet koks skaičius, tačiau modulio naudojimo rezultatas visada yra teigiamas skaičius.

Dabar pereikime tiesiai prie lygčių sprendimo.

1. Panagrinėkime |x| formos lygtį = c, kur c yra tikrasis skaičius. Šią lygtį galima išspręsti naudojant modulio apibrėžimą.

Visus realiuosius skaičius suskirstome į tris grupes: didesnius už nulį, mažesnius už nulį, trečią grupę sudaro skaičius 0. Sprendimą rašome diagramos pavidalu:

(±c, jei c > 0

Jei |x| = c, tada x = (0, jei c = 0

(be šaknų, jei su< 0

1) |x| = 5, nes 5 > 0, tada x = ±5;

2) |x| = -5, nes -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) |x| = 0, tada x = 0.

2. Formos |f(x)| lygtis = b, kur b > 0. Norint išspręsti šią lygtį, reikia atsikratyti modulio. Tai darome taip: f(x) = b arba f(x) = -b. Dabar kiekvieną gautą lygtį turite išspręsti atskirai. Jei pradinėje lygtyje b< 0, решений не будет.

1) |x + 2| = 4, nes 4 > 0, tada

x + 2 = 4 arba x + 2 = -4

2) |x 2 – 5| = 11, nes 11 > 0, tada

x 2 – 5 = 11 arba x 2 – 5 = -11

x 2 = 16 x 2 = -6

x = ± 4 be šaknų

3) |x 2 – 5x| = -8, nes -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Formos |f(x)| lygtis = g(x). Pagal modulio reikšmę tokia lygtis turės sprendinius, jeigu jos dešinioji pusė bus didesnė arba lygi nuliui, t.y. g(x) ≥ 0. Tada turėsime:

f(x) = g(x) arba f(x) = -g(x).

1) |2x – 1| = 5x – 10. Ši lygtis turės šaknis, jei 5x – 10 ≥ 0. Čia ir prasideda tokių lygčių sprendimas.

1. O.D.Z. 5x – 10 ≥ 0

2. Sprendimas:

2x – 1 = 5x – 10 arba 2x – 1 = -(5x – 10)

3. Sujungiame O.D.Z. ir sprendimą, gauname:

Šaknis x = 11/7 netelpa O.D.Z., ji yra mažesnė nei 2, bet x = 3 atitinka šią sąlygą.

Atsakymas: x = 3

2) |x – 1| = 1 – x 2 .

1. O.D.Z. 1 – x 2 ≥ 0. Išspręskime šią nelygybę intervalų metodu:

(1 – x) (1 + x) ≥ 0

2. Sprendimas:

x – 1 = 1 – x 2 arba x – 1 = -(1 – x 2)

x 2 + x – 2 = 0 x 2 – x = 0

x = -2 arba x = 1 x = 0 arba x = 1

3. Sujungiame tirpalą ir O.D.Z.:

Tinka tik šaknys x = 1 ir x = 0.

Atsakymas: x = 0, x = 1.

4. Formos |f(x)| lygtis = |g(x)|. Tokia lygtis yra lygiavertė šioms dviem lygtims f(x) = g(x) arba f(x) = -g(x).

1) |x 2 – 5x + 7| = |2x – 5|. Ši lygtis yra lygi šioms dviem:

x 2 – 5x + 7 = 2x – 5 arba x 2 – 5x +7 = -2x + 5

x 2 – 7x + 12 = 0 x 2 – 3x + 2 = 0

x = 3 arba x = 4 x = 2 arba x = 1

Atsakymas: x = 1, x = 2, x = 3, x = 4.

5. Pakeitimo metodu išspręstos lygtys (kintamųjų pakeitimas). Šį sprendimo būdą lengviausia paaiškinti konkrečiu pavyzdžiu. Taigi, duokime kvadratinę lygtį su moduliu:

x 2 – 6|x| + 5 = 0. Pagal modulio savybę x 2 = |x| 2, todėl lygtį galima perrašyti taip:

|x| 2 – 6|x| + 5 = 0. Padarykime pakeitimą |x| = t ≥ 0, tada turėsime:

t 2 – 6t + 5 = 0. Išspręsdami šią lygtį, randame, kad t = 1 arba t = 5. Grįžkime prie pakeitimo:

|x| = 1 arba |x| = 5

x = ±1 x = ±5

Atsakymas: x = -5, x = -1, x = 1, x = 5.

Pažvelkime į kitą pavyzdį:

x 2 + |x| – 2 = 0. Pagal modulio savybę x 2 = |x| 2, todėl

|x| 2 + |x| – 2 = 0. Padarykime pakeitimą |x| = t ≥ 0, tada:

t 2 + t – 2 = 0. Išspręsdami šią lygtį, gauname t = -2 arba t = 1. Grįžkime prie pakeitimo:

|x| = -2 arba |x| = 1

Nėra šaknų x = ± 1

Atsakymas: x = -1, x = 1.

6. Kitas lygčių tipas yra lygtys su „sudėtingu“ moduliu. Tokios lygtys apima lygtis, kurios turi „modulius modulyje“. Tokio tipo lygtis galima išspręsti naudojant modulio savybes.

1) |3 – |x|| = 4. Veiksime taip pat, kaip ir antrojo tipo lygtyse. Nes 4 > 0, tada gauname dvi lygtis:

3 – |x| = 4 arba 3 – |x| = -4.

Dabar kiekvienoje lygtyje išreikškime modulį x, tada |x| = -1 arba |x| = 7.

Išsprendžiame kiekvieną iš gautų lygčių. Pirmoje lygtyje nėra šaknų, nes -1< 0, а во втором x = ±7.

Atsakymas x = -7, x = 7.

2) |3 + |x + 1|| = 5. Šią lygtį sprendžiame panašiai:

3 + |x + 1| = 5 arba 3 + |x + 1| = -5

|x + 1| = 2 |x + 1| = -8

x + 1 = 2 arba x + 1 = -2. Jokių šaknų.

Atsakymas: x = -3, x = 1.

Taip pat yra universalus būdas spręsti lygtis su moduliu. Tai yra intervalo metodas. Bet pažiūrėsime vėliau.

svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.