Statmenumas – tai santykis tarp įvairių Euklido erdvės objektų – tiesių, plokštumų, vektorių, poerdvių ir pan. Šioje medžiagoje atidžiau pažvelgsime į statmenas tiesias linijas ir su jomis susijusias charakteristikas. Dvi tiesės gali būti vadinamos statmenomis (arba viena kitai statmenomis), jei visi keturi jų susikirtimo kampai yra lygiai devyniasdešimt laipsnių.

Plokštumoje realizuojamos tam tikros statmenų tiesių savybės:

Statmenų tiesių konstravimas

Statmenos tiesės nubrėžiamos plokštumoje naudojant kvadratą. Kiekvienas braižytojas turėtų nepamiršti, kad svarbi kiekvieno kvadrato ypatybė yra ta, kad jis turi būti stačiu kampu. Norėdami sukurti dvi statmenas linijas, turime sujungti vieną iš dviejų stačiojo kampo kraštų

nubrėžkite kvadratą su nurodyta tiesia linija ir nubrėžkite antrą tiesią liniją išilgai šio stačiojo kampo antrosios pusės. Taip bus sukurtos dvi statmenos linijos.

trimatė erdvė

Įdomus faktas yra tai, kad statmenos tiesės taip pat gali būti realizuotos Šiuo atveju dvi tiesės bus vadinamos tokiomis, jei jos yra lygiagrečios bet kurioms kitoms kitoms tiesėms, esančioms toje pačioje plokštumoje ir taip pat joje statmenos. Be to, jei plokštumoje tik dvi tiesės gali būti statmenos, tai trimatėje erdvėje jau yra trys. Be to, statmenų linijų (arba plokštumų) skaičius gali būti dar padidintas.

Straipsnyje aptariamas statmenų tiesių plokštumoje ir trimatėje erdvėje klausimas. Išsamiai išanalizuosime statmenų linijų apibrėžimą ir jų žymėjimą pateiktais pavyzdžiais. Apsvarstykime sąlygas, kaip taikyti būtiną ir pakankamą dviejų tiesių statmenumo sąlygą, ir išsamiai apsvarstykime pavyzdžiu.

Kampas tarp susikertančių linijų erdvėje gali būti teisingas. Tada jie sako, kad pateiktos linijos yra statmenos. Kai kampas tarp susikertančių tiesių yra tiesus, tai ir tiesės yra statmenos. Iš to išplaukia, kad statmenos linijos plokštumoje susikerta, o statmenos linijos erdvėje gali būti susikertančios ir kertančios.

Tai yra, sąvokos „tiesės a ir b yra statmenos“ ir „tiesės b ir a yra statmenos“ laikomos lygiomis. Iš čia kyla viena kitai statmenų linijų samprata. Apibendrinę tai, kas išdėstyta pirmiau, pažvelkime į apibrėžimą.

1 apibrėžimas

Dvi tiesės vadinamos statmenomis, jei jų susikirtimo kampas yra 90 laipsnių.

Statmenumas žymimas „⊥“, o žymėjimas yra a ⊥ b, o tai reiškia, kad linija a yra statmena tiesei b.

Pavyzdžiui, kvadrato, turinčio bendrą viršūnę, kraštinės gali būti statmenos plokštumos linijos. Trimatėje erdvėje tiesės O x , O z , O y yra statmenos poromis: O x ir O z , O x ir O y , O y ir O z .

Tiesių statmenumas – statmenumo sąlygos

Būtina žinoti statmenumo ypatybes, nes dauguma problemų kyla tik patikrinus jį, kad būtų galima vėliau išspręsti. Pasitaiko atvejų, kai užduoties sąlygose aptariamas statmenumas arba kai reikia naudoti įrodymą. Norint įrodyti statmenumą, pakanka, kad kampas tarp linijų būtų teisingas.

Norint nustatyti jų statmenumą su žinomomis stačiakampės koordinačių sistemos lygtimis, reikia taikyti reikiamą ir pakankamą tiesių statmenumo sąlygą. Pažiūrėkime į formuluotę.

1 teorema

Kad tiesės a ir b būtų statmenos, būtina ir pakanka, kad tiesės krypties vektorius būtų statmenas duotosios tiesės b krypties vektoriui.

Pats įrodymas pagrįstas tiesės krypties vektoriaus ir tiesių statmenumo nustatymu.

1 įrodymas

Įveskime stačiakampę Dekarto koordinačių sistemą O x y su nurodytomis plokštumos tiesės lygtimis, kurios apibrėžia tieses a ir b. Tiesių a ir b krypties vektorius žymime a → ir b → . Iš tiesių a ir b lygties būtina ir pakankama sąlyga yra vektorių a → ir b → statmena. Tai įmanoma tik tada, kai vektorių a → = (a x , a y) ir b → = (b x , b y) skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, o įrašas yra a → , b → = a x · b x + a y · b y = 0. Gauname, kad būtina ir pakankama sąlyga tiesių a ir b, esančių stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y plokštumoje, statmenumui yra a →, b → = a x · b x + a y · b y = 0, kur a → = (a x, a y) ir b → = b x, b y yra tiesių a ir b krypties vektoriai.

Sąlyga taikytina, kai reikia rasti krypties vektorių koordinates arba esant kanoninėms ar parametrinėms tiesių lygtims duotųjų tiesių a ir b plokštumoje.

1 pavyzdys

Stačiakampėje koordinačių sistemoje O x y pateikti trys taškai A (8, 6), B (6, 3), C (2, 10). Nustatykite, ar tiesės A B ir A C yra statmenos, ar ne.

Sprendimas

Tiesioginės linijos A B ir A C turi atitinkamai krypties vektorius A B → ir A C →. Pirmiausia apskaičiuokime A B → = (- 2 , - 3) , A C → = (- 6 , 4) . Gauname, kad vektoriai A B → ir A C → yra statmeni iš vektorių skaliarinės sandaugos, lygios nuliui.

A B → , A C → = (- 2) (- 6) + (- 3) 4 = 0

Akivaizdu, kad būtina ir pakankama sąlyga yra įvykdyta, vadinasi, A B ir A C yra statmenos.

Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.

2 pavyzdys

Nustatykite, ar duotosios tiesės x - 1 2 = y - 7 3 ir x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ yra statmenos, ar ne.

Sprendimas

a → = (2, 3) yra nurodytos tiesės krypties vektorius x - 1 2 = y - 7 3,

b → = (1, - 2) yra tiesės x = 1 + λ y = 2 - 2 · λ krypties vektorius.

Pereikime prie vektorių a → ir b → skaliarinės sandaugos skaičiavimo. Išraiška bus parašyta:

a → , b → = 2 1 + 3 - 2 = 2 - 6 ≠ 0

Produkto rezultatas nėra lygus nuliui, galime daryti išvadą, kad vektoriai nėra statmeni, o tai reiškia, kad linijos taip pat nėra statmenos.

Atsakymas: linijos nėra statmenos.

Reikalinga ir pakankama tiesių a ir b statmenumo sąlyga taikoma trimatei erdvei, užrašomai kaip a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z = 0 , kur a → = (a x , a y , a z) ir b → = (b x , b y , b z) yra tiesių a ir b krypties vektoriai.

3 pavyzdys

Patikrinkite tiesių statmenumą trimatės erdvės stačiakampėje koordinačių sistemoje, pateiktą lygtimis x 2 = y - 1 = z + 1 0 ir x = λ y = 1 + 2 λ z = 4 λ

Sprendimas

Vardikliai iš kanoninių tiesių lygčių laikomi tiesės krypties vektoriaus koordinatėmis. Krypties vektoriaus koordinatės iš parametrinės lygties yra koeficientai. Iš to išplaukia, kad a → = (2, - 1, 0) ir b → = (1, 2, 4) yra nurodytų tiesių krypties vektoriai. Norėdami nustatyti jų statmenumą, suraskime vektorių skaliarinę sandaugą.

Išraiška bus tokia: a → , b → = 2 · 1 + (- 1) · 2 + 0 · 4 = 0 .

Vektoriai yra statmeni, nes sandauga lygi nuliui. Būtina ir pakankama sąlyga yra įvykdyta, o tai reiškia, kad linijos taip pat yra statmenos.

Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.

Statmenumo patikrinimas gali būti atliekamas remiantis kitomis būtinomis ir pakankamomis statmenumo sąlygomis.

2 teorema

Tiesės a ir b plokštumoje laikomos statmenomis, kai tiesės a normalusis vektorius yra statmenas vektoriui b, tai būtina ir pakankama sąlyga.

2 įrodymas

Ši sąlyga taikoma, kai tiesių lygtys leidžia greitai rasti nurodytų linijų normaliųjų vektorių koordinates. Tai yra, jei yra bendroji A x + B y + C = 0 formos tiesės lygtis, tiesės lygtis x a + y b = 1 formos atkarpose, tiesės su kampo koeficientu lygtis. y = k x + b formos, galima rasti vektorių koordinates.

4 pavyzdys

Išsiaiškinkite, ar tiesės 3 x - y + 2 = 0 ir x 3 2 + y 1 2 = 1 yra statmenos.

Sprendimas

Remiantis jų lygtimis, reikia rasti tiesių normaliųjų vektorių koordinates. Gauname, kad n α → = (3, - 1) yra normalusis vektorius tiesei 3 x - y + 2 = 0.

Supaprastinkime lygtį x 3 2 + y 1 2 = 1 iki formos 2 3 x + 2 y - 1 = 0. Dabar aiškiai matomos normaliojo vektoriaus koordinatės, kurias užrašome tokia forma n b → = 2 3 , 2 .

Vektoriai n a → = (3, - 1) ir n b → = 2 3, 2 bus statmeni, nes jų skaliarinė sandauga galiausiai duos reikšmę, lygią 0. Gauname n a → , n b → = 3 · 2 3 + (- 1) · 2 = 0 .

Būtinoji ir pakankama sąlyga įvykdyta.

Atsakymas: tiesios linijos yra statmenos.

Kai tiesė a plokštumoje apibrėžiama naudojant lygtį, kurios nuolydis y = k 1 x + b 1, o tiesė b - y = k 2 x + b 2, tai reiškia, kad normalieji vektoriai turės koordinates (k 1 , - 1) ir (k 2 , - 1) . Pati statmenumo sąlyga sumažėja iki k 1 · k 2 + (- 1) · (- 1) = 0 ⇔ k 1 · k 2 = - 1.

5 pavyzdys

Išsiaiškinkite, ar tiesės y = - 3 7 x ir y = 7 3 x - 1 2 yra statmenos.

Sprendimas

Tiesės y = - 3 7 x nuolydis yra lygus - 3 7, o tiesės y = 7 3 x - 1 2 - 7 3.

Kampinių koeficientų sandauga suteikia reikšmę - 1, - 3 7 · 7 3 = - 1, tai yra, tiesės yra statmenos.

Atsakymas: pateiktos tiesės yra statmenos.

Yra dar viena sąlyga, naudojama tiesių statmenumui plokštumoje nustatyti.

3 teorema

Kad tiesės a ir b būtų statmenos plokštumai, būtina ir pakankama sąlyga yra ta, kad vienos iš tiesių krypties vektorius yra kolinerinis su antrosios tiesės normaliuoju vektoriumi.

3 įrodymas

Sąlyga taikytina, kai galima rasti vienos tiesės krypties vektorių, o kitos – normalaus vektoriaus koordinates. Kitaip tariant, vieną tiesę pateikia kanoninė arba parametrinė lygtis, o kitą – bendroji tiesės lygtis, lygtis atkarpomis arba tiesės lygtis su kampiniu koeficientu.

6 pavyzdys

Nustatykite, ar duotosios tiesės x - y - 1 = 0 ir x 0 = y - 4 2 yra statmenos.

Sprendimas

Nustatome, kad tiesės x - y - 1 = 0 normalusis vektorius turi koordinates n a → = (1, - 1) , o b → = (0, 2) yra tiesės x 0 = y - 4 krypties vektorius. 2.

Tai rodo, kad vektoriai n a → = (1, - 1) ir b → = (0, 2) nėra kolineariniai, nes netenkinama kolineariškumo sąlyga. Nėra tokio skaičiaus t, kad galiotų lygybė n a → = t · b →. Taigi išvada, kad linijos nėra statmenos.

Atsakymas: linijos nėra statmenos.

Jei tekste pastebėjote klaidą, pažymėkite ją ir paspauskite Ctrl+Enter

Anaz. viena kitai statmena, jei l yra statmena kiekvienai tiesei, esančiai ant a. Norėdami apibendrinti statmenumo sąvoką, žr. Ortogonalumas.

Matematinė enciklopedija. - M.: Tarybinė enciklopedija.

I. M. Vinogradovas.

1977–1985 m.

Pažiūrėkite, kas yra "STAMTUMAS" kituose žodynuose: Dvejetainis ryšys tarp įvairių objektų (vektorių, linijų, poerdvių ir kt.) Euklido erdvėje. Ypatingas ortogonalumo atvejis. Turinys 1 Plokštumoje 1.1 Statmenai ... Vikipedija

Matematikos šaka, nagrinėjanti įvairių figūrų (taškų, linijų, kampų, dvimačių ir trimačių objektų) savybes, jų dydžius ir santykinę padėtį. Kad būtų lengviau mokytis, geometrija skirstoma į planimetriją ir stereometriją. Į…… Collier enciklopedija

KARTESINĖ KOORDINAČIŲ SISTEMA, tiesi koordinačių sistema plokštumoje arba erdvėje (dažniausiai su viena kitai statmenomis ašimis ir vienodomis mastelėmis išilgai ašių). Pavadintas R. Dekarto vardu (žr. DESCARTES Rene). Dekartas pirmą kartą pristatė... Dvejetainis ryšys tarp įvairių objektų (vektorių, linijų, poerdvių ir kt.) Euklido erdvėje. Ypatingas ortogonalumo atvejis. Turinys 1 Plokštumoje 1.1 Statmenai ... Vikipedija

Enciklopedinis žodynas Collier enciklopedija

Geometrijos šaka, tirianti paprasčiausius geometrinius objektus naudojant elementariąją algebrą, paremtą koordinačių metodu. Analitinės geometrijos kūrimas dažniausiai priskiriamas R. Dekartui, kuris jos pagrindus išdėstė paskutiniame savo... ...

Geometrija panaši į euklido geometriją tuo, kad apibrėžia figūrų judėjimą, tačiau skiriasi nuo euklido geometrijos tuo, kad vienas iš penkių jos postulatų (antrasis arba penktasis) pakeičiamas jos neigimu. Vieno iš Euklido postulatų neigimas... Dvejetainis ryšys tarp įvairių objektų (vektorių, linijų, poerdvių ir kt.) Euklido erdvėje. Ypatingas ortogonalumo atvejis. Turinys 1 Plokštumoje 1.1 Statmenai ... Vikipedija

- (istorinė) Pradinę K. sampratą galima rasti net tarp laukinių, ypač gyvenančių pakrantėse ir apie jus ir turinčių daugiau ar mažiau aiškų supratimą apie jų teritoriją supančias teritorijas. Keliautojai, kurie klausinėjo Šiaurės Amerikos eskimų ir ... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas

Geometrijos skyrius. Pagrindinės geometrinės geometrijos sąvokos yra paprasčiausi geometriniai vaizdai (taškai, tiesės, plokštumos, kreivės ir antros eilės paviršiai). Pagrindinės AG tyrimo priemonės yra koordinačių metodas (žr. toliau) ir metodai... ... Didžioji sovietinė enciklopedija

Geometrijos skyrius. Pagrindinės geometrinės geometrijos sąvokos yra pačios paprasčiausios. vaizdai (2-osios eilės taškai, tiesės, plokštumos, kreivės ir paviršiai). Pagrindinės aritmetikos tyrimo priemonės yra koordinačių metodas ir elementariosios algebros metodai.... ... Matematinė enciklopedija

Knygos

• Stalų komplektas. Geometrija. 7 klasė. 14 lentelių + metodika, . Lentelės spausdinamos ant storo spausdinto kartono, kurio išmatavimai 680 x 980 mm. Rinkinyje yra brošiūra su mokymo gairėmis mokytojams. Mokomasis albumas iš 14 lapų. Spindulys ir kampas...

Statmenos linijos sudaro visą sluoksnį figūrų, konstrukcijų ir skaičiavimų geometrijoje. Nesuprasdami statmenų linijų, negalėsite išspręsti tokių formų kaip stačiakampis trikampis, stačiakampis, kvadratas ar dešinė trapecija. Todėl verta atkreipti ypatingą dėmesį į šias sąvokas.

Kas yra statmenos linijos

Kai susikerta dvi tiesės, susidaro 4 kampai. Statmenų linijų apibrėžimas yra toks: tai linijos, kurių kampas yra 90 laipsnių. Yra tik 4 kampai, visas kampas yra 360 laipsnių. Jei vienas iš kampų yra 90 laipsnių, tada kiti 3 bus 90 laipsnių.

Kad atkarpos būtų vadinamos statmenomis, taip pat turi būti įvykdytos dvi sąlygos: atkarpos turi susikirsti, o susikirtimo kampas tarp jų turi būti lygus 90 laipsnių.

Ryžiai. 1. Statmenos linijos.

Savybės

Statmenos linijos neturi daug savybių. Visi jie nereikalauja įrodymų, nes jie pagrįsti statmenumo apibrėžimu.

• Jei kiekviena iš dviejų tiesių yra statmena trečiajai, tada šios tiesės yra lygiagrečios. Ir jie yra lygiagretūs dėl to, kad susidarę vienpusiai kampai padidės iki 180 laipsnių. Tai reiškia, kad tiesės yra lygiagrečios pagal 3-iąjį lygiagretumo kriterijų. Šią savybę galima įrodyti bet kuriuo iš trijų lygiagretumo kriterijų.
• Statmena atkarpa nuo taško iki tiesės ar atkarpos bus vadinama atstumu nuo taško iki linijos.
• Atstumas nuo linijos iki linijos taip pat yra statmenas, nukritęs iš bet kurio vienos linijos taško į kitą tiesę.
• Jei per visą dviejų tiesių ilgį atstumas tarp jų nesikeičia, tada tiesės bus lygiagrečios.

Figūros su statmenomis linijomis

Viena iš pirmųjų formų, su kuriomis žmogus susipažįsta, yra kvadratas ir stačiakampis.

Stačiakampis yra malonus žmogaus akiai, todėl labai dažnai kvadratas ar stačiakampis naudojamas kaip stalviršių, kėdžių, naktinių staliukų ir kitų daiktų forma. Visas žmogų supantis pasaulis susideda iš lygiagrečių ir statmenų linijų.

Ryžiai. 2. Kvadratas.

Statusis trikampis buvo žinomas nuo senovės Graikijos laikų. Stačiojo trikampio formą įgavo įvairūs navigacijos instrumentai, be to, Pitagoras daug laiko skyrė stačiojo trikampio savybėms tirti. Būtent jo autorystė priklauso Pitagoro teoremai, kuri yra itin paklausi sprendžiant problemas.

Yra stačiakampė trapecija, kurios viena iš kraštinių yra stačiakampė su abiem pagrindais. Ir planometrija yra visiškai kupina statmenų erdvėje: taisyklinga prizmė, stačiakampė piramidė ir įprasčiausias kubas.

Be to, bet kuriame trikampyje galite nubrėžti aukštį, kurio reikia norint rasti figūros plotą. Statmenas plotui rasti taip pat naudingas lygiagretainyje, o stačiakampis trikampis ir kvadratas turi aukštį kaip jų kraštinių dalis, todėl daug lengviau rasti šių figūrų plotą.

Statmenos linijos atsiranda beveik visose geometrinėse užduotyse. Kartais tiesių statmenumas žinomas iš sąlygos, o kitais atvejais reikia įrodyti tiesių statmenumą. Norint įrodyti dviejų tiesių statmenumą, pakanka bet kuriais geometriniais metodais parodyti, kad kampas tarp tiesių yra lygus devyniasdešimt laipsnių.

Kaip atsakyti į klausimą „ar tiesės yra statmenos“, jei žinomos lygtys, apibrėžiančios šias tieses plokštumoje arba trimatėje erdvėje?

Norėdami tai padaryti, turėtumėte naudoti būtina ir pakankama dviejų tiesių statmenumo sąlyga. Suformuluokime jį teoremos forma.

Teorema.

a Ir b būtina ir pakanka, kad krypties vektorius būtų tiesus a buvo statmena tiesės krypties vektoriui b.

Šios tiesių statmenumo sąlygos įrodymas grindžiamas tiesės krypties vektoriaus apibrėžimu ir statmenų tiesių apibrėžimu.

Pridėkime specifiką.

Plokštumoje įvesta stačiakampė Dekarto koordinačių sistema Oxy ir pateiktos tiesės lygtys tam tikro tipo plokštumoje, apibrėžiančios tieses a Ir b. Pažymime tiesių krypties vektorius A Ir b kaip ir atitinkamai. Pagal tiesių lygtis a Ir b galime nustatyti šių tiesių krypties vektorių koordinates – gauname ir . Tada dėl linijų statmenumo a Ir b Ji yra būtina ir pakankama, kad vektorių statmenumo sąlyga būtų įvykdyta, tai yra, kad vektorių skaliarinė sandauga būtų lygi nuliui: .

Taigi, a Ir b stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy plokštumoje turi formą , kur ir yra linijų krypties vektoriai a Ir b atitinkamai.

Šią sąlygą patogu naudoti, kai lengvai randamos tiesių krypties vektorių koordinatės, taip pat kai tiesės a Ir b atitinka kanonines tiesės lygtis plokštumoje arba parametrines tiesės lygtis plokštumoje.

Pavyzdys.

Stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxy skiriami trys taškai. Ar linijos statmenos? AB Ir AC?

Sprendimas.

Vektoriai ir yra linijų krypties vektoriai AB Ir AC. Remdamiesi vektoriaus straipsnio koordinatėmis, pagrįstomis jo pradžios ir pabaigos taškų koordinatėmis, apskaičiuojame . Vektoriai ir yra statmeni, kadangi . Taigi būtina ir pakankama linijų statmenumo sąlyga yra įvykdyta AB Ir AC. Todėl tiesiai AB Ir AC statmenai.

Atsakymas:

Taip, tiesios linijos yra statmenos.

Pavyzdys.

Ar tiesūs ir statmenai?

Sprendimas.

Nukreipimo vektorius yra tiesi linija ir yra tiesės krypties vektorius . Apskaičiuokime vektorių skaliarinę sandaugą ir: . Jis yra ne nulis, todėl tiesių krypties vektoriai nėra statmeni. Tai yra, netenkinama linijų statmenumo sąlyga, todėl pradinės linijos nėra statmenos.

Atsakymas:

ne, linijos nėra statmenos.

Lygiai taip pat būtina ir pakankama linijų statmenumo sąlyga a Ir b stačiakampėje koordinačių sistemoje Oxyz trimatėje erdvėje turi formą , Kur Ir - tiesių linijų krypties vektoriai a Ir b atitinkamai.

Pavyzdys.

Ar stačiakampėje koordinačių sistemoje apibrėžtos linijos yra statmenos? Oxyz trimatėje erdvėje lygtimis Ir ?

Sprendimas.

Erdvėje esančios tiesės kanoninių lygčių vardikliuose esantys skaičiai yra atitinkamos tiesės nukreipiančiojo vektoriaus koordinatės. O tiesės krypties vektoriaus koordinatės, kurią nurodo tiesės erdvėje parametrinės lygtys, yra parametro koeficientai. Taigi, ir yra duotų tiesių krypties vektoriai. Išsiaiškinkime, ar jie statmeni: . Kadangi skaliarinė sandauga yra lygi nuliui, šie vektoriai yra statmeni. Tai reiškia, kad tenkinama duotųjų tiesių statmenumo sąlyga.

Atsakymas:

tiesios linijos yra statmenos.

Norint patikrinti dviejų tiesių plokštumoje statmenumą, yra kitos būtinos ir pakankamos statmenumo sąlygos.

Teorema.

Dėl linijų statmenumo a Ir b plokštumoje būtina ir pakanka, kad normalusis vektorius būtų tiesi linija a buvo statmenas tiesės normaliajam vektoriui b.

Nurodyta tiesių statmenumo sąlyga yra patogi naudoti, jei naudojant pateiktas tiesių lygtis galima nesunkiai rasti linijų normaliųjų vektorių koordinates. Šis teiginys atitinka bendrąją formos tiesinę lygtį , linijos lygtis atkarpose ir tiesės su kampo koeficientu lygtis.

Pavyzdys.

Įsitikinkite, kad jis yra tiesus ir statmenai.

Sprendimas.

Atsižvelgiant į tiesių lygtis, lengva rasti šių linijų normaliųjų vektorių koordinates. – normaliosios linijos vektorius . Perrašykime lygtį į formą , iš kur matomos šios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės: .

Vektoriai ir yra statmeni, nes jų skaliarinė sandauga yra lygi nuliui: . Taigi tenkinama būtina ir pakankama duotų linijų statmenumo sąlyga, tai yra, jos tikrai statmenos.

Ypač jei tiesioginis a plokštumoje nustato tiesės lygtį su formos kampo koeficientu , o tiesė b– formos , tada šių tiesių normalieji vektoriai turi atitinkamai koordinates ir , o šių tiesių statmenumo sąlyga redukuojama į tokį santykį tarp kampinių koeficientų .

Pavyzdys.

Ar linijos ir statmenos?

Sprendimas.

Tiesios linijos nuolydis lygus , o tiesios linijos nuolydis lygus . Kampinių koeficientų sandauga lygi minus vienetui, todėl tiesės yra statmenos.

Atsakymas:

pateiktos tiesės yra statmenos.

Galima nurodyti dar vieną tiesių statmenumo plokštumoje sąlygą.

Teorema.

Dėl linijų statmenumo a Ir b plokštumoje būtina ir pakanka, kad vienos tiesės krypties vektorius ir antrosios tiesės normalusis vektorius būtų kolinijiniai.

Šią sąlygą akivaizdžiai patogu naudoti, kai vienos tiesės krypties vektoriaus koordinatės ir antrosios tiesės normaliojo vektoriaus koordinatės yra lengvai randamos, tai yra, kai vieną tiesę pateikia kanoninė lygtis arba linijos parametrinės lygtys. plokštumoje, o antroji arba bendroji linijos lygtis, arba linijos lygtis atkarpose, arba tiesės lygtis su kampo koeficientu.

Pavyzdys.

Ar tiesios linijos ir statmenos?

Sprendimas.

Akivaizdu, kad yra normalus linijos vektorius ir linijos krypties vektorius. Vektoriai ir nėra kolineariniai, nes jiems netenkinama dviejų vektorių kolineariškumo sąlyga (tokio tikrojo skaičiaus nėra t, kuriame). Todėl pateiktos linijos nėra statmenos.

Atsakymas:

linijos nėra statmenos.

21. Atstumas nuo taško iki tiesės.

Atstumas nuo taško iki linijos nustatomas pagal atstumą nuo taško iki taško. Parodykime, kaip tai daroma.

Tegul tiesė yra pateikta plokštumoje arba trimatėje erdvėje a ir laikotarpis M 1, ne tiesia linija a. Nubrėžkime tašką M 1 tiesioginis b, statmena linijai a. Pažymime tiesių susikirtimo tašką a Ir b Kaip H 1. Segmentas M 1 H 1 paskambino statmenai, nupieštas iš taško M 1į tiesią liniją a.

Apibrėžimas.

Atstumas nuo taško M 1į tiesią liniją a vadinkite atstumą tarp taškų M 1 Ir H 1.

Tačiau dažniausiai atstumo nuo taško iki linijos apibrėžimas yra statmeno ilgis.

Apibrėžimas.

Atstumas nuo taško iki linijos yra statmens, nubrėžto nuo tam tikro taško iki nurodytos tiesės, ilgis.

Šis apibrėžimas atitinka pirmąjį atstumo nuo taško iki linijos apibrėžimą.

Atkreipkite dėmesį, kad atstumas nuo taško iki linijos yra mažiausias atstumas nuo šio taško iki nurodytos linijos taškų. Parodykime.

Paimkime jį tiesia linija a tašką K, nesutampa su esme M 1. Segmentas M 1 Q paskambino linkęs, nupieštas iš taško M 1į tiesią liniją a. Turime parodyti, kad statmenas nubrėžtas iš taško M 1į tiesią liniją a, mažesnis nei bet koks nuolydis, nubrėžtas nuo taško M 1į tiesią liniją a. Tai tiesa: trikampis M 1 QH 1 stačiakampis su hipotenuze M 1 Q, o hipotenuzės ilgis visada yra didesnis nei bet kurios kojos ilgis, todėl .

22. Plokštuma R3 erdvėje. Plokštumos lygtis.

Dekarto stačiakampės koordinačių sistemos plokštuma gali būti pateikta lygtimi, kuris vadinamas bendroji lygtis lėktuvas.

Apibrėžimas. Vektorius yra statmenas plokštumai ir vadinamas jos normalus vektorius.

Jei stačiakampėje koordinačių sistemoje žinomos trijų taškų, kurie nėra toje pačioje tiesėje, koordinatės, tada plokštumos lygtis rašoma taip: .

Apskaičiavę šį determinantą, gauname bendrąją plokštumos lygtį.

Pavyzdys. Parašykite plokštumos, einančios per taškus, lygtį.

Sprendimas:

Plokštumos lygtis: .

23. Bendrosios plokštumos lygties tyrimas.

2 apibrėžimas. Bet koks vektorius, statmenas plokštumai, vadinamas normaliuoju tos plokštumos vektoriumi.

Jei žinomas fiksuotas taškas M 0 (x 0 , y 0 , z 0), esantis tam tikroje plokštumoje, o vektorius statmenas duotai plokštumai, tada plokštumos, einančios per tašką, lygtis M 0 (x 0 , y 0 , z 0), statmenai vektoriui, turi formą

A(x-x 0)+B(y-y 0)+C(z-z 0)= 0. (3.22)

Parodykime, kad (3.22) lygtis yra bendroji plokštumos (3.21) lygtis. Norėdami tai padaryti, atidarykite skliaustus ir įrašykite laisvąjį terminą skliausteliuose:

.Ax + By+ Cz +(- Kirvis 0 -Cz 0)= 0

Paskyrus D = - Kirvis 0 -Cz 0, gauname lygtį Ax + By + Cz + D= 0.

1 užduotis. Parašykite lygtį plokštumos, einančios per tašką A, statmenai vektoriui, jei A(4, -3, 1), B(1, 2, 3).

Sprendimas. Raskime normalųjį plokštumos vektorių:

Norėdami rasti plokštumos lygtį, naudojame (3.22) lygtį:

Atsakymas: -3x + 5y + 2z + 25 = 0.

2 užduotis. Parašykite plokštumos, einančios per tašką, lygtį M 0 (-1, 2, -1), statmena ašiai OZ.

Sprendimas. Kaip normalų norimos plokštumos vektorių, galite paimti bet kurį vektorių, esantį ant OZ ašies, pavyzdžiui, , tada plokštumos lygtis

Atsakymas: z + 1 = 0.

24. Atstumas nuo taško iki plokštumos.

Atstumas nuo taško iki plokštumos nustatomas pagal atstumą nuo taško iki taško, iš kurių vienas yra duotas taškas, o kitas yra tam tikro taško projekcija į tam tikrą plokštumą.

Tegul taškas pateikiamas trimatėje erdvėje M 1 ir lėktuvas. Nubrėžkime tašką M 1 tiesioginis a, statmenai plokštumai. Pažymime tiesės susikirtimo tašką a ir lėktuvai kaip H 1. Segmentas M 1 H 1 paskambino statmenai, nukrito iš taško M 1į plokštumą ir tašką H 1 – statmens pagrindas.

Apibrėžimas.

yra atstumas nuo nurodyto taško iki statmeno, nubrėžto iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, pagrindo.

Dažniausias atstumo nuo taško iki plokštumos apibrėžimas yra toks.

Apibrėžimas.

Atstumas nuo taško iki plokštumos yra statmens, nubrėžto iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, ilgis.

Reikėtų pažymėti, kad atstumas nuo taško M 1 iki plokštumos, apibrėžta tokiu būdu, yra mažiausias iš atstumų nuo nurodyto taško M 1į bet kurį lėktuvo tašką. Iš tiesų, tegul esmė H 2 guli plokštumoje ir skiriasi nuo taško H 1. Akivaizdu, kad trikampis M 2 H 1 H 2 yra stačiakampis, jame M 1 H 1– koja ir M 1 H 2- hipotenuzė, todėl . Beje, segmentas M 1 H 2 paskambino linkęs, nupieštas iš taško M 1į lėktuvą. Taigi, statmenas, nubrėžtas iš tam tikro taško į tam tikrą plokštumą, visada yra mažesnis nei pasviręs, nubrėžtas iš to paties taško į tam tikrą plokštumą.

Jei tiesė eina per du duotus taškus , tada ji lygtis parašyta formoje : .

Apibrėžimas. Vektorius vadinamas vedliai tiesės vektorius, jei ji lygiagreti jai arba jai priklauso.

Pavyzdys. Parašykite tiesės, einančios per du duotus taškus, lygtį .

Sprendimas: Naudojame bendrąją tiesės, einančios per du duotus taškus, formulę: - kanoninę linijos, einančios per taškus, ir . Vektorius yra tiesios krypties vektorius.

26. Santykinė tiesių padėtis erdvėje R3.

Pereikime prie santykinės dviejų linijų padėties erdvėje variantų.

Pirma, dvi tiesės gali sutapti, ty turėti be galo daug bendrų taškų (bent du bendri taškai).

Antra, dvi linijos erdvėje gali susikirsti, tai yra, turėti vieną bendrą tašką. Šiuo atveju šios dvi linijos yra tam tikroje trimatės erdvės plokštumoje. Jei dvi tiesės susikerta erdvėje, tada pasiekiame kampo tarp susikertančių tiesių sampratą.

Trečia, dvi erdvės linijos gali būti lygiagrečios. Šiuo atveju jie yra toje pačioje plokštumoje ir neturi bendrų taškų. Rekomenduojame išstudijuoti straipsnį lygiagrečios tiesės, linijų lygiagretumas.

Pateikę lygiagrečių tiesių erdvėje apibrėžimą, turėtume kalbėti apie tiesės krypties vektorius dėl jų svarbos. Bet koks nulinis vektorius, esantis šioje tiesėje arba tiesėje, kuri yra lygiagreti šiai, bus vadinamas tiesės krypties vektoriumi. Tiesės krypties vektorius labai dažnai naudojamas sprendžiant uždavinius, susijusius su tiese erdvėje.

Galiausiai, dvi linijos trimatėje erdvėje gali būti susikertančios. Dvi erdvės linijos vadinamos pasvirusiomis, jei jos nėra vienoje plokštumoje. Šis abipusis dviejų tiesių išdėstymas erdvėje veda mus prie kampo tarp susikertančių tiesių sampratos.

Ypatingą praktinę reikšmę turi atvejis, kai kampas tarp susikertančių arba susikertančių linijų trimatėje erdvėje yra lygus devyniasdešimčiai laipsnių. Tokios tiesės vadinamos statmenomis (žr. straipsnį statmenos linijos, linijų statmenumas).

27. Tiesės ir plokštumos santykinė padėtis erdvėje R3.

Tiesi linija gali gulėti tam tikroje plokštumoje, būti lygiagreti tam tikrai plokštumai arba susikirsti viename taške, žr. šiuos paveikslus.

Jei , tai reiškia , kad . Ir tai įmanoma tik tada, kai tiesė yra plokštumoje arba yra lygiagreti jai. Jei tiesė yra plokštumoje, tai bet kuris tiesės taškas yra plokštumos taškas ir bet kurio tiesės taško koordinatės atitinka plokštumos lygtį. Todėl pakanka patikrinti, ar taškas guli plokštumoje. Jei , tada taškas - guli plokštumoje, o tai reiškia, kad pati tiesė yra plokštumoje.

Jei , a , tai tiesės taškas nėra plokštumoje, o tai reiškia, kad linija yra lygiagreti plokštumai.

Teorema įrodyta.