Šioje pamokoje toliau spręsime racionalias nelygybes, naudodami intervalų metodą kompleksinės nelygybės. Panagrinėkime trupmeninių tiesinių ir trupmeninių kvadratinių nelygybių ir susijusių problemų sprendimą.

Dabar grįžkime prie nelygybės

Pažvelkime į kai kurias susijusias užduotis.

Raskite mažiausią nelygybės sprendimą.

Raskite numerį natūralūs sprendimai nelygybės

Raskite intervalų, sudarančių nelygybės sprendinių aibę, ilgį.

2. Gamtos mokslų portalas ().

3. Elektroninė edukacinis ir metodinis kompleksas 10-11 klasių paruošimui stojamieji egzaminai informatikos, matematikos, rusų kalbos ().

5. Švietimo centras „Mokymo technologijos“ ().

6. College.ru skyrius apie matematiką ().

1. Mordkovich A.G. ir kt. Algebra 9 klasė: Probleminė knyga mokiniams švietimo įstaigų/ A. G. Mordkovich, T. N. Mišustina ir kiti - 4-asis leidimas. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 p.: iliustr. Nr.28(b,c); 29(b,c); 35(a,b); 37(b,c); 38(a).

Intervalų metodas yra universalus nelygybių sprendimo metodas, leidžiantis išspręsti kvadratines nelygybes su vienu kintamuoju. Šiame straipsnyje išsamiai apžvelgsime visus kvadratinių nelygybių sprendimo intervalų metodu niuansus. Pirmiausia pateikiame algoritmą, po kurio analizuosime išsamiai paruoštus sprendimus tipiniai pavyzdžiai.

Puslapio naršymas.

Algoritmas

Pirmoji pažintis su intervalų metodu dažniausiai vyksta algebros pamokose, kai mokomasi spręsti kvadratines nelygybes. Šiuo atveju intervalinio metodo algoritmas pateikiamas specialiai kvadratinėms nelygybėms spręsti pritaikyta forma. Gerbdami paprastumą, mes taip pat pateiksime jį tokia forma, o bendrą intervalo metodo algoritmą galite pamatyti nuorodoje pačioje šio straipsnio pradžioje.

Taigi, kvadratinių nelygybių sprendimo intervalų metodu algoritmas yra:

• Nulių radimas kvadratinis trinaris a·x 2 +b·x+c iš kairiosios kvadratinės nelygybės pusės.
• Nupiešiame ir, jei yra šaknų, jas pažymime. Be to, jei sprendžiame griežtą nelygybę, tai pažymime jas tuščiais (punktuotais) taškais, o jei negriežtą nelygybę, tai paprastais taškais. Jie padalija koordinačių ašį į intervalus.
• Mes nustatome, kurie ženklai turi trinalio reikšmes kiekviename intervale (jei pirmame žingsnyje buvo rasti nuliai) arba visoje skaičių eilutėje (jei nulių nėra), toliau pasakysime, kaip tai padaryti. Ir virš šių intervalų dedame + arba − pagal tam tikrus ženklus.
• Jei kvadratinę nelygybę išspręsime ženklu > arba ≥, tai intervalus užtemdysime + ženklais, o jei nelygybę sprendžiame ženklu< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
• Užrašome atsakymą.

Kaip ir žadėjome, paaiškiname trečiąjį paskelbto algoritmo žingsnį. Yra keletas pagrindinių būdų, kaip rasti ženklus intervalais. Mes išnagrinėsime juos naudodami pavyzdžius ir pradėsime nuo patikimų, bet ne pačių svarbiausių greitas būdas, kurį sudaro trinalio verčių apskaičiavimas atskiruose intervalų taškuose.

Paimkime trinarį x 2 +4·x−5, jo šaknys yra skaičiai −5 ir 1, jie padalija skaičių eilutę į tris intervalus (−∞, −5), (−5, 1) ir (1, + ∞).

Nustatykime trinalio x 2 +4·x−5 ženklą intervale (1, +∞) . Norėdami tai padaryti, iš šio intervalo apskaičiuojame šio trinalio reikšmę tam tikrai x reikšmei. Patartina paimti kintamojo reikšmę, kad skaičiavimai būtų paprasti. Mūsų atveju, pavyzdžiui, galime imti x=2 (su šiuo skaičiumi lengviau atlikti skaičiavimus nei, pavyzdžiui, su 1,3, 74 arba). Vietoj kintamojo x pakeičiame jį į trinarį, todėl gauname 2 2 +4·2−5=7. 7 yra teigiamas skaičius, o tai reiškia, kad bet kuri kvadratinio trinalio reikšmė intervale (1, +∞) bus teigiama. Taip apibrėžėme + ženklą.

Norėdami sustiprinti įgūdžius, likusiose dviejose erdvėse nustatysime ženklus. Pradėkime nuo ženklo intervale (−5, 1) . Iš šio intervalo geriausia imti x=0 ir šiai kintamojo reikšmei apskaičiuoti kvadratinio trinalio reikšmę, turime 0 2 +4·0−5=−5. Nuo –5 – neigiamas skaičius, tada šiame intervale visos trinario reikšmės bus neigiamos, todėl apibrėžėme minuso ženklą.

Belieka išsiaiškinti intervalo (−∞, −5) ženklą. Paimkime x=−6, pakeiskime jį vietoj x, gausime (−6) 2 +4·(−6)−5=7, todėl reikiamas ženklas bus pliusas.

Tačiau šie faktai leidžia greičiau pastatyti ženklus:

• Kai kvadratinis trinaris turi dvi šaknis (su teigiamu diskriminantu), tada jo verčių ženklai intervaluose, į kuriuos šios šaknys dalija skaičių eilutę, pakaitomis (kaip ir ankstesniame pavyzdyje). Tai yra, pakanka nustatyti ženklą viename iš trijų intervalų ir sudėti ženklus ant likusių intervalų, juos pakaitomis. Dėl to galima viena iš dviejų simbolių sekų: +, −, + arba −, +, −. Be to, paprastai galite neapskaičiuoti kvadratinio trinalio vertės intervalo taške ir padaryti išvadas apie ženklus pagal pirmaujančio koeficiento a reikšmę: jei a>0, tada turime ženklų seką + , −, +, o jei a<0 – то −, +, −.
• Jei kvadratinis trinaris turi vieną šaknį (kai diskriminantas lygus nuliui), tai ši šaknis skaičių eilutę padalija į du intervalus, o virš jų esantys ženklai bus vienodi. Tai yra, pakanka nustatyti ženklą virš vieno iš jų, o virš kito - įdėti tą patį. Dėl to bus +, + arba −, −. Išvadą remiantis ženklais galima padaryti ir pagal koeficiento a reikšmę: jei a>0, tai bus +, +, o jei a<0 , то −, −.
• Kai kvadratinis trinaris neturi šaknų, tada jo reikšmių ženklai visoje skaičių tiesėje sutampa ir su pirminio koeficiento a ženklu, ir su laisvojo termino c ženklu. Pavyzdžiui, apsvarstykite kvadratinį trinarį −4 x 2 −7, jis neturi šaknų (jo diskriminantas yra neigiamas), o intervale (−∞, +∞) jo reikšmės yra neigiamos, nes x 2 koeficientas yra neigiamas skaičius −4, o laisvasis narys −7 taip pat yra neigiamas.

Dabar visi algoritmo žingsniai yra išanalizuoti ir belieka apsvarstyti kvadratinių nelygybių sprendimo pavyzdžius naudojant jį.

Pavyzdžiai su sprendimais

Pereikime prie praktikos. Intervaliniu metodu išspręskime kelias kvadratines nelygybes ir palieskime pagrindinius būdingus atvejus.

Pavyzdys.

Išspręskite nelygybę 8 x 2 −4 x−1≥0 .

Sprendimas.

Išspręskime šią kvadratinę nelygybę intervalų metodu. Pirmajame etape reikia ieškoti kvadratinio trinalio 8 x 2 −4 x −1 šaknų. Koeficientas x yra lyginis, todėl patogiau skaičiuoti ne diskriminantą, o ketvirtąją jo dalį: D"=(−2) 2 −8·(−1)=12. Kadangi jis didesnis už nulį, randame dvi šaknys Ir .

Dabar pažymime juos koordinačių eilutėje. Nesunku pastebėti, kad x 1

Toliau, naudodami intervalų metodą, nustatome kiekvieno iš trijų gautų intervalų ženklus. Tai patogiausia ir greičiausia padaryti remiantis koeficiento verte x 2, jis yra lygus 8, tai yra teigiamas, todėl ženklų seka bus +, −, +:

Kadangi sprendžiame nelygybę su ženklu ≥, intervalus nuspalviname pliuso ženklais:

Remiantis gautu skaitinės aibės vaizdu, nesunku ją analitiškai apibūdinti: ar taip . Taip išsprendėme pradinę kvadratinę nelygybę.

Atsakymas:

arba .

Pavyzdys.

Išspręskite kvadratinę nelygybę intervalo metodas.

Sprendimas.

Raskite kvadratinio trinalio šaknis kairėje nelygybės pusėje:

Kadangi sprendžiame griežtą nelygybę, koordinačių tiesėje pavaizduojame pradurtą tašką su 7 koordinate:

Dabar nustatome ženklus ant dviejų gautų intervalų (−∞, 7) ir (7, +∞). Tai lengva padaryti, nes kvadratinio trinalio diskriminantas yra lygus nuliui, o pirmaujantis koeficientas yra neigiamas. Turime ženklus −, −:

Kadangi nelygybę sprendžiame ženklu<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Aiškiai matyti, kad abu intervalai (−∞, 7) , (7, +∞) yra sprendiniai.

Atsakymas:

(−∞, 7)∪(7, +∞) arba kitu žymėjimu x≠7 .

Pavyzdys.

Ar kvadratinė nelygybė x 2 +x+7<0 решения?

Sprendimas.

Norėdami atsakyti į pateiktą klausimą, išspręsime šią kvadratinę nelygybę, o kadangi analizuojame intervalų metodą, tai ir panaudosime. Kaip įprasta, pradedame nuo kairėje pusėje esančio kvadratinio trinalio šaknų. Randame diskriminantą: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27, jis yra mažesnis už nulį, vadinasi, nėra realių šaknų.

Todėl tiesiog nubrėžiame koordinačių liniją, nežymėdami joje jokių taškų:

Dabar nustatome kvadratinio trinalio verčių ženklą. Pas D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Išsprendžiame pasirašytą nelygybę<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

Dėl to turime tuščią aibę, o tai reiškia, kad pradinė kvadratinė nelygybė neturi sprendinių.

Atsakymas:

Nuorodos.

• Algebra: vadovėlis 8 klasei. bendrojo išsilavinimo institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2008. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9 klasė: mokomoji. bendrajam lavinimui institucijos / [Yu. N. Makaryčiovas, N. G. Mindjukas, K. I. Neškovas, S. B. Suvorova]; redagavo S. A. Telakovskis. – 16 leidimas. - M.: Švietimas, 2009. - 271 p. : serga. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 8 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich. - 11 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovičius A. G. Algebra. 9 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 13 leid., ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovičius A. G. Algebra ir matematinės analizės pradžia. 11 klasė. Per 2 valandas 1 dalis. Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigų mokiniams (profilinis lygis) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2 leidimas, ištrintas. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: iliustr. ISBN 978-5-346-01027-2.

Kaip išspręsti nelygybes naudojant intervalų metodą (algoritmas su pavyzdžiais)

Pavyzdys . (užduotis iš OGE) Išspręskite nelygybę intervalo metodu \((x-7)^2< \sqrt{11}(x-7)\)
Sprendimas:

Atsakymas : \((7;7+\sqrt(11))\)

Pavyzdys . Išspręskite nelygybę intervalo metodu \(≥0\)
Sprendimas:

\(\frac((4-x)^3 (x+6)(6-x)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Čia iš pirmo žvilgsnio viskas atrodo normalu, o nelygybė iš pradžių perkeliama į norimą formą. Bet taip nėra – juk pirmame ir trečiame skaitiklio skliausteliuose x yra su minuso ženklu. Transformuojame skliaustus, atsižvelgdami į tai, kad ketvirtasis laipsnis yra lyginis (t. y. pašalins minuso ženklą), o trečiasis yra nelyginis (t. y. nepašalins). \((4-x)^3=(-x+4)^3=(-(x-4))^3=-(x-4)^3\) \((6-x)^4=(-x+6)^4=(-(x-6))^4=(x-6)^4\) kaip tai. Dabar mes grąžiname skliaustus "į vietą" jau transformuotus.
\(\frac(-(x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≥0\)		Dabar visi skliaustai atrodo taip, kaip turėtų (pirmiausia yra nepasirašytas vardas, o tada skaičius). Tačiau prieš skaitiklį pasirodė minusas. Pašaliname jį padaugindami nelygybę iš \(-1\), nepamiršdami pakeisti palyginimo ženklo
\(\frac((x-4)^3 (x+6)(x-6)^4)((x+7,5))\)\(≤0\)		Paruošta. Dabar nelygybė atrodo taip, kaip turėtų. Galite naudoti intervalų metodą.
\(x=4;\) \(x=-6;\) \(x=6;\) \(x=-7,5\)		Ant ašies išdėstykime taškus, ženklus ir nudažykime reikiamus intervalus.
		Intervale nuo \(4\) iki \(6\) ženklo keisti nereikia, nes skliaustas \((x-6)\) yra lyginis (žr. algoritmo 4 punktą) . Vėliava bus priminimas, kad šeši taip pat yra nelygybės sprendimas. Užsirašykime atsakymą.

Atsakymas : \((-∞;7,5]∪[-6,4]∪\left\(6\right\)\)

Pavyzdys.(Užduotis iš OGE) Išspręskite nelygybę intervalo metodu \(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)
Sprendimas:

\(x^2 (-x^2-64)≤64(-x^2-64)\)		Kairėje ir dešinėje yra identiškos - tai akivaizdžiai nėra atsitiktinumas. Pirmas noras yra padalyti iš \(-x^2-64\), bet tai klaida, nes yra tikimybė prarasti šaknį. Vietoj to perkelkite \(64(-x^2-64)\) į kairę
\(x^2 (-x^2-64)-64(-x^2-64)≤0\)
\((-x^2-64)(x^2-64)≤0\)		Išimkime minusą pirmajame skliaustelyje ir koeficientuokime antrąjį
\(-(x^2+64)(x-8)(x+8)≤0\)		Atminkite, kad \(x^2\) yra lygus nuliui arba didesnis už nulį. Tai reiškia, kad \(x^2+64\) yra vienareikšmiškai teigiamas bet kuriai x reikšmei, tai yra, ši išraiška neturi jokios įtakos kairiosios pusės ženklui. Todėl pagal šią išraišką galime drąsiai padalinti abi nelygybės puses. Taip pat nelygybę padalinkime iš \(-1\), kad atsikratytume minuso.
\((x-8)(x+8)≥0\)		Dabar galite naudoti intervalų metodą
\(x=8;\) \(x=-8\)		Užsirašykime atsakymą

Atsakymas : \((-∞;-8]∪}