Daugiapusė trapecija... Ji gali būti savavališka, lygiašonė arba stačiakampė. Ir kiekvienu atveju turite žinoti, kaip rasti trapecijos plotą. Žinoma, lengviausias būdas yra prisiminti pagrindines formules. Tačiau kartais lengviau naudoti tokį, kuris gaunamas atsižvelgiant į visas konkrečios geometrinės figūros ypatybes.
Keletas žodžių apie trapeciją ir jos elementus
Bet kuris keturkampis, kurio dvi kraštinės yra lygiagrečios, gali būti vadinamas trapecija. IN bendras atvejis jie nėra lygūs ir vadinami bazėmis. Didesnis yra apatinis, o kitas - viršutinis.
Kitos dvi pusės pasirodo esančios šoninės. Savavališkoje trapecijoje jie turi skirtingą ilgį. Jei jie yra lygūs, tada figūra tampa lygiašone.
Jei staiga kampas tarp bet kurios pusės ir pagrindo yra lygus 90 laipsnių, tada trapecija yra stačiakampė.
Visos šios savybės gali padėti išspręsti problemą, kaip rasti trapecijos plotą.
Tarp figūros elementų, kurie gali būti būtini sprendžiant problemas, galime išskirti šiuos dalykus:
- aukštis, tai yra atkarpa, statmena abiem pagrindams;
- vidurinė linija, kurios galuose yra šoninių kraštinių vidurio taškai.
Kokia formule galima apskaičiuoti plotą, jei žinomas pagrindas ir aukštis?
Ši išraiška pateikiama kaip pagrindinė, nes dažniausiai šiuos dydžius galima atpažinti net tada, kai jie nėra aiškiai nurodyti. Taigi, norėdami suprasti, kaip rasti trapecijos plotą, turėsite pridėti abu pagrindus ir padalyti juos iš dviejų. Tada gautą vertę padauginkite iš aukščio vertės.
Jei bazes pažymėsime 1 ir 2, o aukštį n, tada ploto formulė atrodys taip:
S = ((a 1 + a 2)/2)*n.
Formulė, apskaičiuojanti plotą, jei nurodytas jo aukštis ir vidurio linija
Jei atidžiai pažvelgsite į ankstesnė formulė, tada nesunku pastebėti, kad jame aiškiai nurodyta vidurinės linijos reikšmė. Būtent bazių suma padalinta iš dviejų. Tegul vidurinė linija žymima raide l, tada ploto formulė tampa:
S = l * n.
Gebėjimas rasti plotą naudojant įstrižaines
Šis metodas padės, jei žinomas jų suformuotas kampas. Tarkime, kad įstrižainės žymimos raidėmis d 1 ir d 2, o kampai tarp jų yra α ir β. Tada formulė, kaip rasti trapecijos plotą, bus parašyta taip:
S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.
Šioje išraiškoje α galite lengvai pakeisti β. Rezultatas nepasikeis.
Kaip sužinoti plotą, jei žinomos visos figūros pusės?
Taip pat yra situacijų, kai tiksliai žinomos šios figūros pusės. Ši formulė yra sudėtinga ir sunkiai įsimenama. Bet tai įmanoma. Tegul šonuose yra žymėjimas: a 1 ir a 2, pagrindas a 1 yra didesnis nei a 2. Tada ploto formulė bus tokia:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + 1 2 - 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).
Lygiašonės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai
Pirmasis yra dėl to, kad jame galima įrašyti apskritimą. Ir žinodami jo spindulį (jis žymimas raide r), taip pat kampą prie pagrindo - γ, galite naudoti šią formulę:
S = (4 * r 2) / sin γ.
Paskutinis bendroji formulė, kuris pagrįstas žiniomis apie visas figūros puses, bus žymiai supaprastintas dėl to, kad pusės turi tą pačią reikšmę:
S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (in 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2 ).
Stačiakampės trapecijos ploto apskaičiavimo metodai
Tai aišku Tiks bet kas iš tų, kurie išvardyti pagal savavališką skaičių. Tačiau kartais pravartu žinoti apie vieną tokios trapecijos ypatybę. Tai slypi tame, kad skirtumas tarp įstrižainių ilgių kvadratų yra lygus skirtumui, sudarytam iš pagrindų kvadratų.
Dažnai pamirštamos trapecijos formulės, o stačiakampio ir trikampio plotų išraiškos prisimenamos. Tada galite naudoti paprastą metodą. Padalinkite trapeciją į dvi formas, jei ji yra stačiakampė, arba tris. Vienas tikrai bus stačiakampis, o antrasis arba likę du – trikampiai. Suskaičiavus šių skaičių plotus, belieka juos susumuoti.
Tai gana paprastas būdas rasti stačiakampės trapecijos plotą.
O jei žinomos trapecijos viršūnių koordinatės?
Tokiu atveju turėsite naudoti išraišką, leidžiančią nustatyti atstumą tarp taškų. Jis gali būti taikomas tris kartus: norint sužinoti ir pagrindus, ir vieną aukštį. Ir tada tiesiog pritaikykite pirmąją formulę, kuri aprašyta šiek tiek aukščiau.
Norint iliustruoti šį metodą, galima pateikti tokį pavyzdį. Duotos viršūnės su koordinatėmis A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Turite išsiaiškinti figūros plotą.
Prieš surasdami trapecijos plotą, iš koordinačių turite apskaičiuoti pagrindų ilgius. Jums reikės šios formulės:
atkarpos ilgis = √((taškų pirmųjų koordinačių skirtumas) 2 + (antrųjų taškų koordinačių skirtumas) 2 ).
Viršutinė bazė žymima AB, o tai reiškia, kad jos ilgis bus lygus √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Apatinė yra CD = √ ((10-1) 2 + (1-1 ) 2 ) = √81 = 9.
Dabar reikia nubrėžti aukštį nuo viršaus iki pagrindo. Tegul jos pradžia yra taške A. Atkarpos pabaiga bus apatiniame pagrinde taške su koordinatėmis (5; 1), tebūnie tai taškas H. Atkarpos AN ilgis bus lygus √((5 -5) 2 + (7-1) 2 ) = √36 = 6.
Belieka gautas reikšmes pakeisti trapecijos ploto formule:
S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.
Problema buvo išspręsta be matavimo vienetų, nes nebuvo nurodyta koordinačių tinklelio skalė. Tai gali būti milimetras arba metras.
Pavyzdinės problemos
Nr 1. Būklė. Kampas tarp savavališkos trapecijos įstrižainių yra lygus 30 laipsnių. Mažesnė įstrižainė yra 3 dm, o antroji yra 2 kartus didesnė. Būtina apskaičiuoti trapecijos plotą.
Sprendimas. Pirmiausia reikia išsiaiškinti antrosios įstrižainės ilgį, nes be to atsakymo apskaičiuoti nepavyks. Suskaičiuoti nesunku, 3 * 2 = 6 (dm).
Dabar reikia naudoti atitinkamą ploto formulę:
S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm 2). Problema išspręsta.
Atsakymas: Trapecijos plotas 4,5 dm2.
Nr 2. Būklė. Trapecijos ABCD pagrindai yra atkarpos AD ir BC. Taškas E yra SD pusės vidurys. Iš jos brėžiamas statmenas tiesei AB, šio atkarpos galas žymimas raide H. Žinoma, kad ilgiai AB ir EH yra atitinkamai lygūs 5 ir 4 cm. Reikia apskaičiuoti plotą iš trapecijos.
Sprendimas. Pirmiausia reikia padaryti piešinį. Kadangi statmeno reikšmė yra mažesnė už kraštinę, į kurią jis nubrėžtas, trapecija bus šiek tiek pailgėjusi aukštyn. Taigi EH bus figūros viduje.
Norėdami aiškiai matyti problemos sprendimo eigą, turėsite atlikti papildomą statybą. Būtent, nubrėžkite tiesią liniją, kuri bus lygiagreti kraštinei AB. Šios tiesės susikirtimo su AD taškai yra P, o su BC tęsiniu yra X. Gauta figūra VHRA yra lygiagretainis. Be to, jo plotas lygus reikiamam. Taip yra dėl to, kad trikampiai, gauti atliekant papildomą statybą, yra lygūs. Tai išplaukia iš šono lygybės ir dviejų šalia jos esančių kampų, kurių vienas yra vertikalus, kitas - skersai.
Lygiagretainio plotą galite rasti naudodami formulę, kurioje yra kraštinės sandauga ir ant jo nuleisto aukščio aukštis.
Taigi trapecijos plotas yra 5 * 4 = 20 cm 2.
Atsakymas: S = 20 cm 2.
Nr 3. Būklė. Lygiašonės trapecijos elementai turi tokias reikšmes: apatinis pagrindas - 14 cm, viršutinis pagrindas - 4 cm, smailusis kampas - 45º. Reikia apskaičiuoti jo plotą.
Sprendimas. Tegul mažesnis pagrindas yra pažymėtas BC. Iš taško B nubrėžtas aukštis bus vadinamas VH. Kadangi kampas yra 45º, trikampis ABH bus stačiakampis ir lygiašonis. Taigi AN = VN. Be to, AN labai lengva rasti. Jis lygus pusei bazių skirtumo. Tai yra (14–4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).
Pagrindai žinomi, aukščiai paskaičiuoti. Galite naudoti pirmąją formulę, kuri čia buvo aptarta savavališkai trapecijai.
S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm 2).
Atsakymas: Reikalingas plotas yra 45 cm 2.
Nr 4. Būklė. Yra savavališka trapecija ABCD. Taškai O ir E paimti iš jo šoninių kraštinių, kad OE būtų lygiagreti AD pagrindui. AOED trapecijos plotas yra penkis kartus didesnis nei OVSE. Apskaičiuokite OE reikšmę, jei žinomi bazių ilgiai.
Sprendimas. Jums reikės nubrėžti dvi lygiagrečias tieses AB: pirmoji per tašką C, jos susikirtimas su OE yra taškas T; antrasis per E ir susikirtimo su AD taškas bus M.
Tegul nežinomas OE=x. Mažesnės trapecijos OVSE aukštis yra n 1, didesnės AOED yra n 2.
Kadangi šių dviejų trapecijų plotai yra susiję nuo 1 iki 5, galime parašyti tokią lygybę:
(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2
n 1 / n 2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).
Trikampių aukščiai ir kraštinės yra proporcingi konstrukcijai. Todėl galime parašyti dar vieną lygybę:
n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a 1 - x).
Paskutiniuose dviejuose įrašuose kairėje pusėje yra vienodos reikšmės, o tai reiškia, kad galime parašyti, kad (x + a 1) / (5(x + a 2)) yra lygus (x - a 2) / (a 1-x).
Čia reikia atlikti daugybę transformacijų. Pirmiausia padauginkite skersai. Atsiras skliaustai, rodantys kvadratų skirtumą, pritaikę šią formulę gausite trumpą lygtį.
Jame reikia atidaryti skliaustus ir perkelti visus terminus su nežinomu „x“ į kairę, o tada ištraukti kvadratinę šaknį.
Atsakymas: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).
Trapecijos plotas. Sveikinimai! Šiame leidinyje pažvelgsime į nurodytą formulę. Kodėl ji yra būtent tokia ir kaip ją suprasti. Jei yra supratimo, tada to mokyti nereikia. Jei norite tiesiog pažvelgti į šią formulę ir skubiai, galite nedelsdami slinkti puslapiu žemyn))
Dabar išsamiai ir tvarkingai.
Trapecija yra keturkampis, dvi šio keturkampio kraštinės lygiagrečios, kitos dvi – ne. Tie, kurie nėra lygiagretūs, yra trapecijos pagrindai. Kiti du vadinami šonais.
Jei kraštinės lygios, tada trapecija vadinama lygiašone. Jei viena iš kraštinių yra statmena pagrindams, tada tokia trapecija vadinama stačiakampe.
Klasikine forma trapecija pavaizduota taip - didesnis pagrindas yra apačioje, mažesnis - viršuje. Tačiau niekas nedraudžia jos vaizduoti ir atvirkščiai. Štai eskizai:
Kita svarbi koncepcija.
Trapecijos vidurio linija yra atkarpa, jungianti kraštinių vidurio taškus. Vidurinė linija lygiagreti trapecijos pagrindams ir lygi jų pusei.
Dabar pasigilinkime giliau. Kodėl taip yra?
Apsvarstykite trapeciją su pagrindais a ir b ir su vidurine linija l, ir atlikite keletą papildomų konstrukcijų: per pamatus nubrėžkite tiesias linijas, o per vidurinės linijos galus - statmenas, kol jos susikirs su pagrindais:
* Viršūnių ir kitų taškų raidžių žymėjimai nėra įtraukti sąmoningai, kad būtų išvengta nereikalingų žymėjimų.
Žiūrėkite, 1 ir 2 trikampiai yra lygūs pagal antrąjį trikampių lygybės ženklą, 3 ir 4 trikampiai yra vienodi. Iš trikampių lygybės išplaukia elementų lygybė, būtent kojos (jos pažymėtos atitinkamai mėlyna ir raudona spalva).
Dabar dėmesio! Jei mintyse „nukirpsime“ mėlyną ir raudoną segmentus nuo apatinio pagrindo, tada mums liks segmentas (tai yra stačiakampio kraštinė), lygus vidurinei linijai. Toliau, jei iškirptus mėlynus ir raudonus segmentus „priklijuosime“ prie viršutinio trapecijos pagrindo, taip pat gausime atkarpą (tai taip pat yra stačiakampio kraštinė), lygią trapecijos vidurio linijai.
Supratai? Pasirodo, pagrindų suma bus lygi dviem vidurinėms trapecijos linijoms:
Peržiūrėkite kitą paaiškinimą
Darykime taip – nutieskite tiesią liniją, einančią per apatinį trapecijos pagrindą, ir tiesę, kuri eis per taškus A ir B:
Mes gauname trikampius 1 ir 2, jie yra lygūs išilgai šoninių ir gretimų kampų (antrasis trikampių lygybės ženklas). Tai reiškia, kad gautas segmentas (eskize jis pažymėtas mėlyna spalva) yra lygus viršutinei trapecijos pagrindui.
Dabar apsvarstykite trikampį:
*Šios trapecijos vidurio linija ir trikampio vidurio linija sutampa.
Yra žinoma, kad trikampis yra lygus pusei jam lygiagrečios bazės, tai yra:
Gerai, mes tai išsiaiškinome. Dabar apie trapecijos plotą.
Trapecijos ploto formulė:
Jie sako: trapecijos plotas yra lygus pusės jos pagrindų ir aukščio sumos sandaugai.
Tai yra, paaiškėja, kad jis yra lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai:
Tikriausiai jau pastebėjote, kad tai akivaizdu. Geometriškai tai galima išreikšti taip: jei mintyse nupjausime 2 ir 4 trikampius nuo trapecijos ir atitinkamai pastatysime ant 1 ir 3 trikampių:
Tada gauname stačiakampį plote lygus plotui mūsų trapecija. Šio stačiakampio plotas bus lygus vidurio linijos ir aukščio sandaugai, tai yra, galime parašyti:
Bet esmė čia, žinoma, ne raštu, o supratimu.
Atsisiųskite (peržiūrėkite) straipsnio medžiagą *pdf formatu
Tai viskas. Sėkmės tau!
Pagarbiai, Aleksandrai.
Trapecija vadinamas keturkampiu, kurio tik du kraštinės lygiagrečios viena kitai.
Jie vadinami figūros pagrindais, likusieji – šonais. Lygiagrečios laikomos ypatingais figūros atvejais. Taip pat yra išlenkta trapecija, kuri apima funkcijos grafiką. Trapecijos ploto formulės apima beveik visus jos elementus ir geriausias sprendimas parenkamas priklausomai nuo nurodytų verčių.
Pagrindiniai vaidmenys trapecijoje priskiriami aukščiui ir vidurinei linijai. Vidurinė linija- Tai linija, jungianti kraštinių vidurio taškus. Aukštis Trapecija brėžiama stačiu kampu nuo viršutinio kampo iki pagrindo.
Trapecijos plotas per jos aukštį yra lygus pusės pagrindų ilgių sumos sandaugai, padaugintam iš aukščio:
Jei vidutinė linija yra žinoma pagal sąlygas, ši formulė yra žymiai supaprastinta, nes ji yra lygi pusei bazių ilgių sumos:
Jei pagal sąlygas pateikiami visų kraštinių ilgiai, galime apsvarstyti trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį naudojant šiuos duomenis: 
Tarkime, kad mums duota trapecija, kurios pagrindai a = 3 cm, b = 7 cm, o kraštinės c = 5 cm, d = 4 cm. Raskime figūros plotą: 
Lygiašonės trapecijos plotas
Lygiašonė trapecija arba, kaip dar vadinama, lygiašonė trapecija, laikoma atskiru atveju.
Ypatingas atvejis yra lygiašonės (lygiašonės) trapecijos ploto radimas. Formulė yra išvesta įvairiais būdais– per įstrižaines, per kampus, esančius greta pagrindo ir įbrėžto apskritimo spindulio.
Jei įstrižainių ilgis nurodytas pagal sąlygas ir žinomas kampas tarp jų, galite naudoti šią formulę:
Prisiminkite, kad įstrižainės lygiašonė trapecija lygūs vienas kitam!
Tai yra, žinodami vieną iš jų pagrindų, šoną ir kampą, galite lengvai apskaičiuoti plotą.
Išlenktos trapecijos plotas
Ypatingas atvejis yra lenkta trapecija. Jis yra koordinačių ašyje ir yra ribojamas nuolatinės teigiamos funkcijos grafiku.
Jo pagrindas yra X ašyje ir yra apribotas dviem taškais:
Integralai padeda apskaičiuoti plotą lenkta trapecija.
Formulė parašyta taip:
Panagrinėkime išlenktos trapecijos ploto apskaičiavimo pavyzdį. Norint dirbti su formule, reikia tam tikrų žinių tam tikri integralai. Pirmiausia pažiūrėkime į apibrėžtojo integralo reikšmę: 
Čia F(a) yra reikšmė antiderivatinė funkcija f(x) taške a, F(b) yra tos pačios funkcijos f(x) reikšmė taške b. 
Dabar išspręskime problemą. Paveikslėlyje pavaizduota išlenkta trapecija, kurią riboja funkcija. Funkcija 
Turime rasti pasirinktos figūros plotą, kuris yra kreivinė trapecija, kurią viršuje riboja grafikas, dešinėje tiesė x =(-8), kairėje tiesė x =(-10 ) ir OX ašį žemiau.
Šios figūros plotą apskaičiuosime pagal formulę: 
Problemos sąlygos suteikia mums funkciją. Naudodami jį kiekviename taške rasime antidarinio vertes:
Dabar
Atsakymas: Pateiktos kreivės trapecijos plotas yra 4.
Apskaičiuojant šią vertę nėra nieko sudėtingo. Vienintelis dalykas, kuris yra svarbus, yra ypatingas kruopštumas atliekant skaičiavimus.
Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.
Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.
Ką reikia žinoti apie trapeciją?
Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.
Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.
Trapecijos plotų formulės
Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijų plotą.
Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.
Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m* h. Kitaip tariant, norint rasti trapecijos plotą, reikia padauginti vidurio linijaį aukštį.
Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Jis yra masyvus ir sudėtinga formulė, bet jums bus naudinga tai prisiminti, bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.
Lygiašonė trapecija
Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.
Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.
Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.
Antras variantas: šį kartą imsime lygiašonė trapecija, kuriame papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2, taip pat aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.
Išlenktos trapecijos ploto formulė
Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.
Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.
Pavyzdinės problemos
Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.
1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.
Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.
Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.
Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.
Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.
2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.
Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.
Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).
Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gaukime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Išvada
Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.
Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.
Būtinai pasakykite apie šį straipsnį savo klasės draugams ir draugams. socialiniai tinklai. Leiskite geri pažymiai bus daugiau vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino testo!
svetainėje, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į šaltinį.
Praėjusių metų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinio egzamino praktika rodo, kad geometrijos problemos daugeliui moksleivių kelia sunkumų. Su jais nesunkiai susidorosite, jei įsiminsite visas reikalingas formules ir pasimokysite spręsti problemas.
Šiame straipsnyje pamatysite formules, kaip rasti trapecijos plotą, taip pat problemų su sprendimų pavyzdžius. Su tais pačiais KIM galite susidurti per sertifikavimo egzaminus arba olimpiadose. Todėl elkitės su jais atsargiai.
Ką reikia žinoti apie trapeciją?
Pirmiausia prisiminkime tai trapecijos formos vadinamas keturkampiu, kurio dvi priešingos kraštinės, dar vadinamos bazėmis, yra lygiagrečios, o kitos dvi – ne.
Trapecijoje aukštis (statmenai pagrindui) taip pat gali būti sumažintas. Nubrėžta vidurinė linija - tai tiesi linija, lygiagreti pagrindams ir lygi pusei jų sumos. Taip pat įstrižainės, kurios gali susikirsti, sudarydamos smailius ir bukus kampus. Arba kai kuriais atvejais stačiu kampu. Be to, jei trapecija lygiašonė, į ją galima įrašyti apskritimą. Ir apibūdinkite ratą aplink jį.
Trapecijos plotų formulės
Pirmiausia pažvelkime į standartines trapecijos ploto nustatymo formules. Toliau apsvarstysime būdus, kaip apskaičiuoti lygiašonių ir kreivių trapecijų plotą.
Taigi įsivaizduokite, kad turite trapeciją su pagrindais a ir b, kurios aukštis h nuleistas į didesnį pagrindą. Apskaičiuoti figūros plotą šiuo atveju taip pat lengva, kaip kriaušių lukštenimą. Jums tereikia padalyti pagrindų ilgių sumą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš aukščio: S = 1/2(a + b)*h.
Paimkime kitą atvejį: tarkime, kad trapecijoje, be aukščio, yra vidurinė linija m. Žinome vidurio linijos ilgio nustatymo formulę: m = 1/2(a + b). Todėl mes galime teisėtai supaprastinti trapecijos ploto formulę iki šios formos: S = m* h. Kitaip tariant, norėdami rasti trapecijos plotą, turite padauginti vidurio liniją iš aukščio.
Panagrinėkime kitą variantą: trapecijoje yra įstrižainės d 1 ir d 2, kurios nesikerta stačiu kampu α. Norėdami apskaičiuoti tokios trapecijos plotą, turite padalyti įstrižainių sandaugą iš dviejų ir padauginti rezultatą iš kampo tarp jų nuodėmės: S= 1/2d 1 d 2 *sinα.
Dabar apsvarstykite trapecijos ploto nustatymo formulę, jei apie ją nieko nežinoma, išskyrus visų jos kraštinių ilgius: a, b, c ir d. Tai sudėtinga ir sudėtinga formulė, tačiau jums bus naudinga ją prisiminti bet kuriuo atveju: S = 1/2 (a + b) * √c 2 – ((1/2 (b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.
Beje, aukščiau pateikti pavyzdžiai tinka ir tuo atveju, kai reikia stačiakampės trapecijos ploto formulės. Tai trapecija, kurios šonas stačiu kampu ribojasi su pagrindais.
Lygiašonė trapecija
Trapecija, kurios kraštinės lygios, vadinama lygiašone. Apsvarstysime keletą lygiašonės trapecijos ploto formulės variantų.
Pirmas variantas: tuo atveju, kai apskritimas, kurio spindulys r, yra įrašytas lygiašonės trapecijos viduje, o kraštinė ir didesnis pagrindas sudaro smailią kampą α. Į trapeciją galima įrašyti apskritimą, jei jo pagrindų ilgių suma yra lygi kraštinių ilgių sumai.
Lygiašonės trapecijos plotas apskaičiuojamas taip: įbrėžto apskritimo spindulio kvadratą padauginkite iš keturių ir viską padalinkite iš sinα: S = 4r 2 /sinα. Kita ploto formulė yra specialus atvejis, kai kampas tarp didelio pagrindo ir šono yra 30 0: S = 8r2.
Antras variantas: šį kartą imame lygiašonę trapeciją, kurioje papildomai nubrėžtos įstrižainės d 1 ir d 2 bei aukštis h. Jei trapecijos įstrižainės yra viena kitai statmenos, aukštis yra pusė pagrindų sumos: h = 1/2(a + b). Tai žinant, jums jau žinomą trapecijos ploto formulę nesunku paversti šia forma: S = h 2.
Išlenktos trapecijos ploto formulė
Pradėkime nuo to, kad išsiaiškinkime, kas yra išlenkta trapecija. Įsivaizduokite koordinačių ašį ir ištisinės ir neneigiamos funkcijos f, kuri nekeičia ženklo x ašies atkarpoje, koordinačių ašį. Kreivinę trapeciją sudaro funkcijos y = f(x) grafikas - viršuje, x ašis yra apačioje (segmentas), o šonuose - tiesios linijos, nubrėžtos tarp taškų a ir b ir grafikas funkcija.
Neįmanoma apskaičiuoti tokios nestandartinės figūros ploto aukščiau pateiktais metodais. Čia reikia taikyti matematinę analizę ir naudoti integralą. Būtent: Niutono-Leibnizo formulė - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). Šioje formulėje F yra mūsų funkcijos pasirinktame segmente antidarinys. O kreivinės trapecijos plotas atitinka tam tikro segmento antidarinio prieaugį.
Pavyzdinės problemos
Kad visos šios formulės būtų lengviau suprantamos jūsų galvoje, pateikiame keletą problemų, susijusių su trapecijos ploto paieška. Geriausia bus, jei iš pradžių problemas bandysite išspręsti patys, o tik tada gautą atsakymą palyginsite su jau paruoštu sprendimu.
1 užduotis: Duota trapecija. Jo didesnis pagrindas 11 cm, mažesnis 4 cm. Trapecija turi įstrižaines, viena 12 cm ilgio, antra 9 cm.
Sprendimas: Sukurkite trapeciją AMRS. Per viršūnę P nubrėžkite tiesę РХ taip, kad ji būtų lygiagreti įstrižai MC ir kerta tiesę AC taške X. Gausite trikampį APХ.
Apsvarstysime dvi figūras, gautas atlikus šias manipuliacijas: trikampį APX ir lygiagretainį CMRX.
Lygiagretainio dėka sužinome, kad PX = MC = 12 cm ir CX = MR = 4 cm. Iš kur galime apskaičiuoti trikampio ARX kraštinę AX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.
Taip pat galime įrodyti, kad trikampis APX yra stačiakampis (tam taikykite Pitagoro teoremą – AX 2 = AP 2 + PX 2). Ir apskaičiuokite jo plotą: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm 2.
Tada turėsite įrodyti, kad trikampiai AMP ir PCX yra vienodi. Pagrindas bus šalių MR ir CX lygybė (jau įrodyta aukščiau). Taip pat aukščiai, kuriuos nuleidžiate šiose pusėse – jie lygūs AMRS trapecijos aukščiui.
Visa tai leis jums pasakyti, kad S AMPC = S APX = 54 cm 2.
2 užduotis: Pateikta trapecija KRMS. Jo šoninėse pusėse yra taškai O ir E, o OE ir KS yra lygiagrečiai. Taip pat žinoma, kad trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5. RM = a ir KS = b. Turite rasti OE.
Sprendimas: Nubrėžkite tiesę, lygiagrečią RK per tašką M, o jos susikirtimo su OE tašką pažymėkite kaip T. A yra per tašką E nubrėžtos linijos, lygiagrečios RK, susikirtimo taškas su pagrindu KS.
Įveskime dar vieną žymėjimą – OE = x. Taip pat aukštis h 1 trikampiui TME ir aukštis h 2 trikampiui AEC (galite savarankiškai įrodyti šių trikampių panašumą).
Darysime prielaidą, kad b > a. Trapecijos ORME ir OKSE plotai yra santykiu 1:5, o tai suteikia teisę sudaryti tokią lygtį: (x + a) * h 1 = 1/5(b + x) * h 2. Transformuokime ir gaukime: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).
Kadangi trikampiai TME ir AEC yra panašūs, turime h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Sujungkime abu įrašus ir gaukime: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.
Taigi OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.
Išvada
Geometrija nėra pats lengviausias mokslas, bet jūs tikrai galite susidoroti su egzamino klausimais. Pakanka parodyti šiek tiek atkaklumo ruošiantis. Ir, žinoma, atsiminkite visas reikalingas formules.
Visas trapecijos ploto skaičiavimo formules stengėmės surinkti į vieną vietą, kad galėtumėte jas panaudoti ruošdamiesi egzaminams ir peržiūrėdami medžiagą.
Apie šį straipsnį būtinai pasakykite savo klasės draugams ir draugams socialiniuose tinkluose. Tegul būna daugiau gerų Vieningo valstybinio egzamino ir valstybinių egzaminų pažymių!
blog.site, kopijuojant visą medžiagą ar jos dalį, būtina nuoroda į pirminį šaltinį.