Iškviečiama funkcija F(x), diferencijuojama duotame intervale X funkcijos antidarinys f(x) arba f(x) integralas, jei kiekvienai x ∈X galioja ši lygybė:

F " (x) = f (x). (8.1)

Visų tam tikros funkcijos antidarinių radimas vadinamas jos integracija. Neapibrėžta integralinė funkcija f(x) duotame intervale X vadinamas visų aibe antiderivatinės funkcijos funkcijai f(x); paskirtis -

Jei F(x) yra tam tikra funkcijos f(x) antidarinė, tai ∫ f(x)dx = F(x) + C, (8.2)

kur C yra savavališka konstanta.

Integralų lentelė

Tiesiogiai iš apibrėžimo gauname pagrindines not savybes apibrėžtasis integralas ir lentelių integralų sąrašas:

1) d∫f(x)dx=f(x)

2)∫df(x)=f(x)+C

3) ∫af(x)dx=a∫f(x)dx (a=const)

4) ∫(f(x)+g(x))dx = ∫f(x)dx+∫g(x)dx

Lentelių integralų sąrašas

1. ∫x m dx = x m+1 /(m + 1) +C; (m ≠ -1)

3.∫a x dx = a x /ln a + C (a>0, a ≠1)

4.∫e x dx = e x + C

5.∫sin x dx = cosx + C

6.∫cos x dx = - sin x + C

7. = arctan x + C

8. = arcsin x + C

10. = - ctg x + C

Kintamasis pakeitimas

Norėdami integruoti daug funkcijų, naudokite kintamųjų pakeitimo metodą arba pakaitalai, leidžianti integralus sumažinti iki lentelės formos.

Jei funkcija f(z) yra ištisinė [α,β], funkcija z =g(x) turi ištisinę išvestinę ir α ≤ g(x) ≤ β, tada

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫f(z)dz, (8.3)

Be to, integravus dešinėje pusėje, reikia pakeisti z=g(x).

Norėdami tai įrodyti, pakanka parašyti pradinį integralą tokia forma:

∫ f(g(x)) g " (x) dx = ∫ f(g(x)) dg(x).

Pavyzdžiui:

Integravimo dalimis būdas

Tegu u = f(x) ir v = g(x) yra funkcijos, turinčios tolydines . Tada, pagal darbą,

d(uv))= udv + vdu arba udv = d(uv) - vdu.

Išraiškos d(uv) antidarinys akivaizdžiai bus uv, todėl formulė galioja:

∫ udv = uv - ∫ vdu (8.4.)

Ši formulė išreiškia taisyklę integravimas dalimis. Tai veda į išraiškos udv=uv"dx integravimą į išraiškos vdu=vu"dx integravimą.

Pavyzdžiui, leiskite rasti ∫xcosx dx. Įdėkime u = x, dv = cosxdx, taigi du=dx, v=sinx. Tada

∫xcosxdx = ∫x d(sin x) = x sin x - ∫sin x dx = x sin x + cosx + C.

Integravimo dalimis taisyklė turi labiau ribotą taikymo sritį nei kintamųjų pakeitimas. Tačiau yra ištisos integralų klasės, pavyzdžiui,

∫x k ln m xdx, ∫x k sinbxdx, ∫ x k cosbxdx, ∫x k e ax ir kiti, kurie tiksliai apskaičiuojami naudojant integravimą dalimis.

Apibrėžtasis integralas

Apibrėžtinio integralo sąvoka pristatoma taip. Tegul funkcija f(x) yra apibrėžta intervale. Atkarpą [a,b] padalinkime į n dalys taškais a= x 0< x 1 <...< x n = b. Из каждого интервала (x i-1 , x i) возьмем произвольную точку ξ i и составим сумму f(ξ i) Δx i где
Δ x i =x i - x i-1. Vadinama f(ξ i)Δ x i formos suma integralioji suma, o jo riba ties λ = maxΔx i → 0, jei ji egzistuoja ir yra baigtinė, vadinama apibrėžtasis integralas funkcijos f(x) of aį b ir yra nurodyta:

F(ξ i)Δx i (8.5).

Funkcija f(x) šiuo atveju vadinama integruotas į intervalą, vadinami skaičiai a ir b apatinės ir viršutinės integralo ribos.

Apibrėžtam integralui galioja šios savybės:

4), (k = const, k∈R);

5)

6)

7) f(ξ)(b-a) (ξ∈).

Paskutinė nuosavybė vadinama vidutinės vertės teorema.

Tegul f (x) yra nuolatinis . Tada šiame segmente yra neapibrėžtas integralas

∫f(x)dx = F(x) + C

ir vyksta Niutono-Leibnizo formulė, jungiantis apibrėžtąjį integralą su neapibrėžtuoju integralu:

F(b) – F(a). (8.6)

Geometrinis aiškinimas: apibrėžtasis integralas yra kreivinės trapecijos plotas, kurį iš viršaus riboja kreivė y=f(x), tiesės x = a ir x = b ir ašies atkarpa Jautis.

Netinkami integralai

Integralai su begalinėmis ribomis ir nepertraukiamų (neribotų) funkcijų integralai vadinami ne savo. Netinkami pirmosios rūšies integralai - Tai yra integralai per begalinį intervalą, apibrėžtą taip:

(8.7)

Jei ši riba egzistuoja ir yra baigtinė, tada ji vadinama konvergentinis netinkamas f(x) integralas intervale [a,+ ∞), ir iškviečiama funkcija f(x). integruojamas per begalinį intervalą[a,+ ∞). Kitu atveju sakoma, kad integralas yra neegzistuoja arba skiriasi.

Netinkami integralai intervaluose (-∞,b] ir (-∞, + ∞) apibrėžiami panašiai:

Apibrėžkime neribotos funkcijos integralo sąvoką. Jei f(x) yra tolydis visoms reikšmėms x atkarpa , išskyrus tašką c, kuriame f(x) turi begalinį netolydumą, tada netinkamas antrojo tipo integralas f(x) svyruoja nuo a iki b suma vadinama:

jei šios ribos egzistuoja ir yra baigtinės. Pavadinimas:

Integralų skaičiavimų pavyzdžiai

3.30 pavyzdys. Apskaičiuokite ∫dx/(x+2).

Sprendimas. Pažymime t = x+2, tada dx = dt, ∫dx/(x+2) = ∫dt/t = ln|t| + C = ln|x+2| +C.

3.31 pavyzdys. Raskite ∫ tgxdx.

Sprendimas.∫ tgxdx = ∫sinx/cosxdx = - ∫dcosx/cosx. Tegu t=cosx, tada ∫ tgxdx = -∫ dt/t = - ln|t| + C = -ln|cosx|+C.

Pavyzdys3.32 . Raskite ∫dx/sinx

Sprendimas.

Pavyzdys3.33. Rasti.

Sprendimas. = .

Pavyzdys3.34 . Raskite ∫arctgxdx.

Sprendimas. Integruokime dalimis. Pažymime u=arctgx, dv=dx. Tada du = dx/(x 2 +1), v=x, iš kur ∫arctgxdx = xarctgx - ∫ xdx/(x 2 +1) = xarctgx + 1/2 ln(x 2 +1) +C; nes
∫xdx/(x 2 +1) = 1/2 ∫d(x 2 +1)/(x 2 +1) = 1/2 ln(x 2 +1) +C.

Pavyzdys3.35 . Apskaičiuokite ∫lnxdx.

Sprendimas. Taikydami integravimo dalimis formulę, gauname:
u=lnx, dv=dx, du=1/x dx, v=x. Tada ∫lnxdx = xlnx - ∫x 1/x dx =
= xlnx - ∫dx + C= xlnx - x + C.

Pavyzdys3.36 . Apskaičiuokite ∫e x sinxdx.

Sprendimas. Pažymime u = e x, dv = sinxdx, tada du = e x dx, v =∫ sinxdx= - cosx → ∫ e x sinxdx = - e x cosx + ∫ e x cosxdx. Taip pat integralą ∫e x cosxdx integruojame dalimis: u = e x , dv = cosxdx, du=e x dx, v=sinx. Turime:
∫ e x cosxdx = e x sinx - ∫ e x sinxdx. Gavome ryšį ∫e x sinxdx = - e x cosx + e x sinx - ∫ e x sinxdx, iš kurio 2∫e x sinx dx = - e x cosx + e x sinx + C.

Pavyzdys 3.37. Apskaičiuokite J = ∫cos(lnx)dx/x.

Sprendimas. Kadangi dx/x = dlnx, tai J= ∫cos(lnx)d(lnx). Pakeitę lnx į t, gauname lentelės integralą J = ∫ costdt = sint + C = sin(lnx) + C.

Pavyzdys 3.38 . Apskaičiuokite J = .

Sprendimas. Atsižvelgdami į tai, kad = d(lnx), pakeičiame lnx = t. Tada J = .

Pavyzdys 3.39 . Apskaičiuokite integralą J = .

Sprendimas. Turime: . Todėl =
=
=.

įvesta taip: sqrt(tan(x/2)).

Ir jei rezultatų lange viršutiniame dešiniajame kampe spustelėsite Rodyti veiksmus, gausite išsamų sprendimą. Ši formulė vadinama integravimas pagal dalių formulę

neapibrėžtame integralu: Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas u , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima dv . Tada diferencijuodami randame du o integracija – funkcija v Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima. Tuo pačiu metu, už

- tokia integrando dalis, kurią galima lengvai integruoti. Kada naudinga naudoti integravimo dalimis metodą? Tada kada :

integrandas yra Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas;

1) - logaritminės funkcijos, taip pat atvirkštinės trigonometrinės funkcijos (su priešdėliu "lankas"), tada, remiantis ilgalaike integravimo dalimis patirtimi, šios funkcijos žymimos 2) , , - sinusas, kosinusas ir eksponentas, padaugintas iš(x P , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima) yra savavališkas x daugianomas, tada šios funkcijos žymimos Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas;

, o daugianomas yra per

Paaiškinkime integravimo dalimis metodo reikšmę pirmojo atvejo pavyzdžiu. Tegul išraiškoje po integralo ženklu yra logaritminė funkcija (tai bus 1 pavyzdys). Naudojant integravimą dalimis, toks integralas sumažinamas iki tik algebrinių funkcijų (dažniausiai daugianario) integralo, ty neturinčio logaritminės ar atvirkštinės trigonometrinės funkcijos. Integravimo dalimis formulės naudojimas, pateikta pačioje pamokos pradžioje

pirmuoju nariu (be integralo) gauname logaritminę funkciją, o antruoju nariu (po integralo ženklu) funkciją, kurioje nėra logaritmo. Algebrinės funkcijos integralas yra daug paprastesnis nei integralas, po kurio ženklu logaritminė arba atvirkštinė trigonometrinė funkcija randama atskirai arba kartu su algebriniu koeficientu.

Taigi, naudojant integravimas dalių formulėmis integracija atliekama ne iš karto: duoto integralo radimas sumažinamas iki kito. Integravimo dalimis formulės prasmė ta, kad ją pritaikius naujas integralas tampa lentelės pavidalu arba bent jau tampa paprastesnis už pradinį.

Integravimo pagal dalis metodas pagrįstas formulės, skirtos atskirti dviejų funkcijų sandaugą, naudojimu:

tada jis gali būti parašytas formoje

kuri buvo duota pačioje pamokos pradžioje.

Kai randama integruojant funkciją o integracija – funkcija jam gaunamas begalinis antidarinių funkcijų rinkinys. Norėdami taikyti integravimo pagal dalis formulę, galite paimti bet kurią iš jų, taigi ir tą, kuri atitinka savavališką konstantą SU, lygus nuliui. Todėl ieškant funkciją o integracija – funkcija savavališka konstanta SU neturėtų būti įvestas.

Integravimo dalimis metodas turi labai ypatingą pritaikymą: juo galima išvesti pasikartojančias formules antiderivatinėms funkcijoms rasti, kai reikia sumažinti funkcijų laipsnį po integralo ženklu. Sumažinti laipsnį būtina, kai nėra lentelių integralų, skirtų, pavyzdžiui, funkcijoms, tokioms kaip sinusai ir kosinusai į laipsnius, didesnius už antrąjį ir jų sandaugoms. Pasikartojanti formulė yra formulė, skirta rasti kitą sekos narį per ankstesnį narį. Nurodytais atvejais tikslas pasiekiamas nuosekliai mažinant laipsnį. Taigi, jei integrandas yra sinusas iki ketvirtosios laipsnio x, tai integruojant dalimis galima rasti sinuso integralo į trečiąjį laipsnį formulę ir pan. Paskutinė šios pamokos pastraipa skirta aprašytai užduočiai.

Integracijos taikymas dalimis kartu

1 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

Sprendimas. Integrando išraiškoje - logaritmas, kuris, kaip jau žinome, gali būti pagrįstai žymimas Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas. Mes tikime, kad,.

Randame (kaip jau buvo minėta teorinės nuorodos paaiškinime, pirmajame naryje iškart gauname logaritminę funkciją (be integralo), o antrajame (po integralo ženklu) – funkciją be logaritmo:

Ir vėl logaritmas...

2 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą:

Sprendimas. Tegul,.

Logaritmas yra kvadrate. Tai reiškia, kad ją reikia diferencijuoti kaip sudėtingą funkciją. Mes randame
,
.

Antrąjį integralą vėlgi randame dalimis ir gauname jau minėtą pranašumą (pirmajame naryje (be integralo) yra logaritminė funkcija, o antrajame (po integralo ženklu) funkcija, kurioje nėra logaritmas).

Mes randame originalų integralą:

3 pavyzdys.

Sprendimas. Arktangentas, kaip ir logaritmas, geriau žymimas Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas. Taigi tegul,.

Tada,
.

Taikydami integravimo dalimis formulę, gauname:

Antrąjį integralą randame pakeitę kintamąjį.

Grįžtant prie kintamojo x, gauname

.

Mes randame originalų integralą:

.

4 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

Sprendimas. Geriau rodiklį žymėti , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima. Integrandą padalijome į du veiksnius. Tikėdamas tuo

5 pavyzdys. Raskite neapibrėžtąjį integralą integravimo dalimis metodu:

.

Sprendimas. Tegul,. Tada,.

Naudodami integravimo pagal dalis formulę (1), randame:

6 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą integruodami dalimis:

Sprendimas. Sinusą, kaip ir eksponentinį, galima patogiai žymėti , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima. Tegul,.

Naudodami integravimo pagal dalis formulę randame:

Integraciją dalimis vėl taikome kartu

10 pavyzdys. Raskite neapibrėžtą integralą integruodami dalimis:

.

Sprendimas. Kaip ir visais panašiais atvejais, patogu kosinusą žymėti , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima. Mes žymime ,.

Tada , .

Naudodami integravimo dalimis formulę, gauname:

Integraciją dalimis taikome ir antrajam terminui. Mes žymime ,.

Naudodami šiuos užrašus integruojame minėtą terminą:

Dabar randame reikiamą integralą:

Tarp integralų, kuriuos galima išspręsti integravimo dalimis metodu, yra ir tokių, kurie nepatenka į nė vieną iš trijų teorinėje dalyje paminėtų grupių, kuriems iš praktikos žinoma, kad geriau žymėti Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas, o per ką , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima. Todėl tokiais atvejais reikia atsižvelgti į patogumą, taip pat pateiktą pastraipoje „Integravimo dalimis metodo esmė“: Norint taikyti integravimo dalimis formulę, integrandą reikia padalyti į du veiksnius. Vienas iš jų žymimas reikėtų paimti integrando dalį, kuri diferencijuojant netaptų daug sudėtingesnė, bet , o likusi dalis nurodo antrąjį veiksnį ir žymima- tokia integrando dalis, kurią galima lengvai integruoti. Paskutinis šios pamokos pavyzdys yra būtent tokio integralo sprendimas.

Kas yra integracija dalimis? Norėdami įvaldyti tokio tipo integraciją, pirmiausia prisiminkime produkto išvestį:

$((\left(f\cdot g \right))^(\prime ))=(f)"\cdot g+f\cdot (g)"$

Kyla klausimas: ką su tuo turi integralai? Dabar integruokime abi šios lygties puses. Taigi užsirašykime:

$\int(((\left(f\cdot g \right)))^(\prime ))\text(d)x=)\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\ int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Bet kas yra insulto antidarinys? Tai tik pati funkcija, kuri yra smūgio viduje. Taigi užsirašykime:

$f\cdot g=\int((f)"\cdot g\,\text(d)x+\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Šioje lygtyje siūlau išreikšti terminą. Turime:

$\int((f)"\cdot g\,\text(d)x=f\cdot g-\int(f\cdot (g)"\,\text(d)x))$

Štai viskas integravimas pagal dalių formulę. Taigi, mes iš esmės keičiame išvestinę ir funkciją. Jei iš pradžių turėjome insulto integralą, padaugintą iš kažko, tada gauname naujo kažko integralą, padaugintą iš insulto. Tai visa taisyklė. Iš pirmo žvilgsnio ši formulė gali atrodyti sudėtinga ir beprasmė, tačiau iš tikrųjų ji gali labai supaprastinti skaičiavimus. Dabar pažiūrėkime.

Integralų skaičiavimų pavyzdžiai

1 uždavinys. Apskaičiuokite:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)\]\[\]

Perrašykime išraišką prieš logaritmą pridėdami 1:

\[\int(\ln x\,\text(d)x)=\int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)\]

Turime teisę tai padaryti, nes nei numeris, nei funkcija nesikeis. Dabar palyginkime šią išraišką su tuo, kas parašyta mūsų formulėje. $(f)"$ vaidmuo yra 1, todėl rašome:

$\begin(align)& (f)"=1\Rightarrow f=x \\& g=\ln x\Rightarrow (g)"=\frac(1)(x) \\\end(lygiuoti)$

Visos šios funkcijos pateiktos lentelėse. Dabar, kai aprašėme visus elementus, įtrauktus į mūsų išraišką, perrašysime šį integralą naudodami integravimo dalimis formulę:

\[\begin(align)& \int(1\cdot \ln x\,\text(d)x)=x\ln x-\int(x\cdot \frac(1)(x)\text(d) )x)=x\ln x-\int(\text(d)x)= \\& =x\ln x-x+C=x\left(\ln x-1 \right)+C \\\ pabaiga (lygiuoti)\]

Štai ir viskas, integralas rastas.

2 uždavinys. Apskaičiuokite:

$\int(x((\text(e))^(-x))\,\text(d)x=\int(x\cdot ((e)^(-x))\,\text(d )x))$

Jei imsime $x$ kaip išvestinę, iš kurios dabar turime rasti antidarinį, gausime $((x)^(2))$, o galutinėje išraiškoje bus $((x)^(2) )( (\tekstas(e))^(-x))$.

Akivaizdu, kad problema nėra supaprastinta, todėl veiksnius sukeičiame integralo ženklu:

$\int(x\cdot ((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=\int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)$

Dabar pristatykime žymėjimą:

$(f)"=((\text(e))^(-x))\Rightarrow f=\int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x) =-((\tekstas(e))^(-x))$

Atskirkime $((\text(e))^(-x))$:

$((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=((\text(e))^(-x))\cdot ((\ left(-x \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(-x))$

Kitaip tariant, pirmiausia pridedamas minusas, o tada integruojamos abi pusės:

\[\begin(lygiuoti)& ((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime ))=-((\text(e))^(- x))\RightArrow ((\text(e))^(-x))=-((\left(((\text(e))^(-x)) \right))^(\prime )) \\& \int(((\text(e))^(-x))\,\text(d)x)=-\int(((\left(((\text(e))^(-) x)) \right))^(\prime ))\text(d)x)=-((\text(e))^(-x))+C \\\end(lygiuoti)\]

Dabar pažiūrėkime į $g$ funkciją:

$g=x\rodyklė dešinėn (g)"=1$

Apskaičiuojame integralą:

$\begin(align)& \int(((\text(e))^(-x))\cdot x\,\text(d)x)=x\cdot \left(-((\text(e) ))^(-x)) \right)-\int(\left(-((\text(e))^(-x)) \right)\cdot 1\cdot \text(d)x)= \ \& =-x((\tekstas(e))^(-x))+\int(((\tekstas(e))^(-x))\,\tekstas(d)x)=-x( (\tekstas(e))^(-x))-((\tekstas(e))^(-x))+C=-((\tekstas(e))^(-x))\left(x) +1 \right)+C \\\end(lygiuoti)$

Taigi, atlikome antrąjį integravimą dalimis.

3 uždavinys. Apskaičiuokite:

$\int(x\cos 3x\,\text(d)x)$

Šiuo atveju ką turėtume imti $(f)"$ ir ką $g$? Jei $x$ veikia kaip išvestinė, tai integravimo metu gausime $\frac(((x)^(2)) )(2 )$, o pirmasis veiksnys niekur nedings - bus $\frac(((x)^(2)))(2)\cdot \cos 3x$ Todėl sukeiskime faktorius dar kartą:

$\begin(align)& \int(x\cos 3x\,\text(d)x)=\int(\cos 3x\cdot x\,\text(d)x) \\& (f)"= \cos 3x\Rightarrow f=\int(\cos 3x\,\text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3) \\& g=x\Rightarrow (g)"=1 \\\ pabaiga(lygiuoti)$

Perrašome pradinę išraišką ir išplečiame ją dalimis pagal integravimo formulę:

\[\begin(align)& \int(\cos 3x\cdot x\ \text(d)x)=\frac(\sin 3x)(3)\cdot x-\int(\frac(\sin 3x) (3)\text(d)x)= \\& =\frac(x\sin 3x)(3)-\frac(1)(3)\int(\sin 3x\,\text(d)x) =\frac(x\sin 3x)(3)+\frac(\cos 3x)(9)+C \\\end(lygiuoti)\]

Tai štai, trečia problema išspręsta.

Apibendrinant, pažvelkime dar kartą integravimas pagal dalių formulę. Kaip atrenkame, kuris veiksnys bus išvestinė, o kuris – tikroji funkcija? Čia yra tik vienas kriterijus: elementas, kurį išskirsime, turi arba suteikti „gražią“ išraišką, kuri vėliau bus sumažinta, arba diferenciacijos metu visai išnykti. Tuo pamoka baigiama.

Anksčiau, atsižvelgdami į tam tikrą funkciją, vadovaudamiesi įvairiomis formulėmis ir taisyklėmis, radome jos išvestinę. Darinys turi daugybę naudojimo būdų: tai judėjimo greitis (arba, apskritai, bet kokio proceso greitis); funkcijos grafiko liestinės kampinis koeficientas; naudodami išvestinę funkciją galite ištirti monotoniškumą ir ekstremalumą; tai padeda išspręsti optimizavimo problemas.

Tačiau kartu su greičio nustatymo pagal žinomą judėjimo dėsnį problema yra ir atvirkštinė problema – judėjimo dėsnio atkūrimo pagal žinomą greitį problema. Panagrinėkime vieną iš šių problemų.

1 pavyzdys. Materialus taškas juda tiesia linija, jo judėjimo greitis momentu t pateikiamas formule v=gt. Raskite judėjimo dėsnį.
Sprendimas. Tegu s = s(t) yra norimas judėjimo dėsnis. Yra žinoma, kad s"(t) = v(t). Tai reiškia, kad uždaviniui išspręsti reikia pasirinkti funkciją s = s(t), kurios išvestinė lygi gt. Atspėti nesunku kad \(s(t) = \frac(gt^ 2)(2)\).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt\)
Atsakymas: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)

Iš karto atkreipkime dėmesį, kad pavyzdys išspręstas teisingai, bet nepilnai. Gavome \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Tiesą sakant, problema turi be galo daug sprendimų: bet kuri formos \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C\ funkcija, kur C yra savavališka konstanta, gali būti naudojamas kaip judesys, nes \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)

Kad problema būtų konkretesnė, reikėjo pataisyti pradinę situaciją: nurodyti judančio taško koordinatę tam tikru momentu, pavyzdžiui, t = 0. Jei, tarkime, s(0) = s 0, tada nuo lygybę s(t) = (gt 2)/2 + C gauname: s(0) = 0 + C, t.y. C = s 0. Dabar judėjimo dėsnis yra vienareikšmiškai apibrėžtas: s(t) = (gt 2)/2 + s 0.

Matematikoje tarpusavyje atvirkštiniai veiksmai suteikiami skirtingais pavadinimais, sugalvojami specialūs žymėjimai, pavyzdžiui: kvadratas (x 2) ir kvadratinė šaknis (\(\sqrt(x) \)), sinusas (sin x) ir arcsinusas (arcsin x) ir tt Duotos funkcijos išvestinės radimo procesas vadinamas diferenciacija, o atvirkštinė operacija, t.y. funkcijos suradimo iš tam tikros išvestinės procesas, yra integracija.

Pats terminas „išvestinė“ gali būti pateisinamas „kasdieniškai“: funkcija y = f(x) „gimdo“ naują funkciją y“ = f“(x). Funkcija y = f(x) veikia kaip „tėvinė“, bet matematikai, žinoma, nevadina jos „tėvu“ ar „gamintojas“, jie sako, kad tai yra, atsižvelgiant į funkciją y" = f"(; x) , pirminis vaizdas arba primityvus.

Apibrėžimas. Funkcija y = F(x) vadinama funkcijos y = f(x) išvestine intervale X, jei lygybė F"(x) = f(x) galioja \(x \in X\)

Praktikoje intervalas X paprastai nenurodomas, o numanomas (kaip natūrali funkcijos apibrėžimo sritis).

Pateikime pavyzdžių.
1) Funkcija y = x 2 yra funkcijos y = 2x priešišvestinė, nes bet kurios x lygybė (x 2)" = 2x yra teisinga
2) Funkcija y = x 3 yra funkcijos y = 3x 2 priešišvestinė, nes bet kuriai x lygybė (x 3)" = 3x 2 yra teisinga
3) Funkcija y = sin(x) yra funkcijos y = cos(x) išvestinė, nes bet kurios x lygybė (sin(x))" = cos(x) yra teisinga

Ieškant antidarinių, kaip ir darinių, naudojamos ne tik formulės, bet ir kai kurios taisyklės. Jos yra tiesiogiai susijusios su atitinkamomis išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimo taisyklėmis.

Žinome, kad sumos išvestinė yra lygi jos išvestinių sumai. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

1 taisyklė. Sumos antidarinė lygi antidarinių sumai.

Žinome, kad pastovųjį veiksnį galima išimti iš išvestinės ženklo. Ši taisyklė sukuria atitinkamą taisyklę antiderivatams rasti.

2 taisyklė. Jei F(x) yra f(x) antidarinys, tai kF(x) yra kf(x) antidarinys.

1 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė, tai funkcijos y = f(kx + m) antidarinė yra funkcija \(y=\frac(1)(k)F (kx+m) \)

2 teorema. Jei y = F(x) yra funkcijos y = f(x) antidarinė intervale X, tai funkcija y = f(x) turi be galo daug antidarinių, ir jie visi turi formą y = F(x) + C.

Integravimo metodai

Kintamasis pakeitimo metodas (pakeitimo metodas)

Integravimo pakeitimu metodas apima naujo integravimo kintamojo (ty pakeitimo) įvedimą. Šiuo atveju duotas integralas redukuojamas į naują integralą, kuris yra lentelės pavidalu arba redukuojamas į jį. Bendrųjų pakaitalų pasirinkimo metodų nėra. Gebėjimas teisingai nustatyti pakeitimą įgyjamas praktikuojant.
Tegu reikia apskaičiuoti integralą \(\textstyle \int F(x)dx \). Padarykime pakeitimą \(x= \varphi(t) \), kur \(\varphi(t) \) yra funkcija, turinti ištisinę išvestinę.
Tada \(dx = \varphi " (t) \cdot dt \) ir remdamiesi neapibrėžto integralo integravimo formulės nekintamumu, pakeitimu gauname integravimo formulę:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi " (t) dt \)

Formos \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \) išraiškų integravimas

Jei m nelyginis, m > 0, tai patogiau pakeisti sin x = t.
Jei n nelyginis, n > 0, tai patogiau atlikti pakeitimą cos x = t.
Jei n ir m yra lyginiai, tai patogiau pakeisti tg x = t.

Integravimas dalimis

Integravimas dalimis – taikant šią integravimo formulę:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
arba:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)

Kai kurių funkcijų neapibrėžtųjų integralų (antidarinių) lentelė

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \tekstas(arctg) x +C $$ $$ \int \tekstas(ch) x dx = \tekstas(sh) x +C $$ $$ \int \tekstas(sh) x dx = \tekstas(ch ) x +C $$

Integravimas dalimis. Sprendimų pavyzdžiai

Sveiki dar kartą. Šiandien pamokoje išmoksime integruoti dalimis. Integravimo dalimis metodas yra vienas iš integralinio skaičiavimo kertinių akmenų. Per kontrolinius ar egzaminus studentų beveik visada prašoma išspręsti šių tipų integralus: paprasčiausias integralas (žr. straipsnį) arba integralas pakeičiant kintamąjį (žr. straipsnį) arba integralas tiesiog įjungtas integravimas dalių metodu.

Kaip visada, po ranka turėtumėte turėti: Integralų lentelė Ir Išvestinių priemonių lentelė. Jei vis dar jų neturite, apsilankykite mano svetainės saugykloje: Matematinės formulės ir lentelės. Nepavargsiu kartoti – geriau viską atsispausdinti. Stengsiuosi visą medžiagą pateikti nuosekliai, paprastai ir aiškiai, nėra jokių ypatingų sunkumų integruojant dalis.

Kokią problemą išsprendžia integravimo dalimis metodas? Integravimo dalimis metodas išsprendžia labai svarbią problemą, leidžia integruoti kai kurias funkcijas, kurių nėra lentelėje, dirbti funkcijos, o kai kuriais atvejais – net koeficientai. Kaip prisimename, nėra patogios formulės: . Bet yra toks: – dalių integravimo asmeniškai formulė. Žinau, žinau, tu vienintelis – dirbsime su ja per visą pamoką (dabar lengviau).

Ir iškart sąrašas į studiją. Šių tipų integralai paimami dalimis:

1) , , – logaritmas, logaritmas, padaugintas iš kokio nors daugianario.

2) ,yra eksponentinė funkcija, padauginta iš kokio nors daugianario. Tai taip pat apima integralus, tokius kaip - eksponentinė funkcija, padauginta iš daugianario, tačiau praktiškai tai yra 97 procentai, po integralu yra graži raidė „e“. ... straipsnis pasirodo kiek lyriškas, o taip ... atėjo pavasaris.

3) , , yra trigonometrinės funkcijos, padaugintos iš kurio nors daugianario.

4) , – atvirkštinės trigonometrinės funkcijos („arkos“), „arkos“, padaugintos iš kokio nors daugianario.

Kai kurios trupmenos taip pat paimtos dalimis, taip pat išsamiai apsvarstysime atitinkamus pavyzdžius.

Logaritmų integralai

1 pavyzdys

Klasika. Retkarčiais šį integralą galima rasti lentelėse, tačiau nepatartina naudoti paruošto atsakymo, nes mokytojas turi pavasarinį vitaminų trūkumą ir smarkiai keiks. Kadangi nagrinėjamas integralas jokiu būdu nėra lentelės formos – jis paimtas dalimis. Mes nusprendžiame:

Pertraukiame sprendimą dėl tarpinių paaiškinimų.

Mes naudojame integravimo pagal dalis formulę:

Formulė taikoma iš kairės į dešinę

Mes žiūrime į kairę pusę: . Akivaizdu, kad mūsų pavyzdyje (ir visuose kituose, kuriuos svarstysime) kažkas turi būti nurodyta kaip , o kažkas - kaip .

Nagrinėjamo tipo integraluose logaritmas visada žymimas.

Techniškai sprendimo dizainas yra įgyvendintas taip stulpelyje:

Tai yra, mes pažymėjome logaritmą kaip ir likusieji integrando išraiška.

Kitas etapas: raskite skirtumą:

Diferencialas yra beveik tas pats, kas išvestinė, kaip jį rasti, jau aptarėme ankstesnėse pamokose.

Dabar randame funkciją. Norėdami rasti funkciją, turite ją integruoti dešinėje pusėje mažesnė lygybė:

Dabar atidarome savo sprendimą ir sukuriame dešinę formulės pusę: .
Beje, čia yra galutinio sprendimo pavyzdys su kai kuriomis pastabomis:

Vienintelis dalykas darbe yra tas, kad aš iš karto sukeičiau ir , nes įprasta koeficientą rašyti prieš logaritmą.

Kaip matote, integravimo pagal dalis formulės taikymas iš esmės sumažino mūsų sprendimą iki dviejų paprastų integralų.

Atkreipkite dėmesį, kad kai kuriais atvejais iš karto po Taikant formulę, supaprastinimas būtinai atliekamas pagal likusį integralą - nagrinėjamame pavyzdyje integrandą sumažinome iki „x“.

Patikrinkim. Norėdami tai padaryti, turite paimti atsakymo išvestinę:

Gauta originali integrando funkcija, o tai reiškia, kad integralas išspręstas teisingai.

Bandymo metu naudojome produktų diferenciacijos taisyklę: . Ir tai nėra atsitiktinumas.

Integravimo pagal dalis formulė ir formulę – tai dvi tarpusavyje atvirkštinės taisyklės.

2 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integrandas yra logaritmo ir daugianario sandauga.
Nuspręskime.

Ateityje dar kartą išsamiai aprašysiu taisyklės taikymo tvarką, pavyzdžiai bus pateikti trumpiau, o jei kyla sunkumų sprendžiant savarankiškai, reikia grįžti prie pirmų dviejų pamokos pavyzdžių; .

Kaip jau minėta, reikia pažymėti logaritmą (tai, kad tai laipsnis, nesvarbu). Mes žymime pagal likusieji integrando išraiška.

Stulpelyje rašome:

Pirmiausia randame skirtumą:

Čia mes naudojame sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę . Neatsitiktinai pačioje pirmoje temos pamokoje Neapibrėžtas integralas. Sprendimų pavyzdžiai Sutelkiau dėmesį į tai, kad norint įvaldyti integralus, reikia „paimti į rankas“ išvestines. Su išvestinėmis priemonėmis teks susidurti ne kartą.

Dabar randame funkciją, kurią integruojame dešinėje pusėje mažesnė lygybė:

Integravimui naudojome paprasčiausią lentelės formulę

Dabar viskas paruošta taikyti formulę . Atidarykite su žvaigždute ir „sukonstruokite“ sprendimą pagal dešinę pusę:

Pagal integralą vėl turime logaritmo daugianarį! Todėl sprendimas vėl nutraukiamas ir integravimo dalimis taisyklė taikoma antrą kartą. Nepamirškite, kad panašiose situacijose logaritmas visada žymimas.

Būtų gerai, jei iki šiol žinotumėte, kaip žodžiu rasti paprasčiausius integralus ir išvestinius.

(1) Nesusipainiokite dėl ženklų! Labai dažnai čia prarandamas minusas, taip pat atkreipkite dėmesį, kad minusas nurodo visiems laikiklis , ir šiuos skliaustus reikia teisingai išplėsti.

(2) Atidarykite laikiklius. Supaprastiname paskutinį integralą.

(3) Imame paskutinį integralą.

(4) „Sušukuoti“ atsakymą.

Poreikis taikyti integravimo dalimis taisyklę du kartus (ar net tris kartus) iškyla ne itin retai.

O dabar keli jūsų sprendimo pavyzdžiai:

3 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Šis pavyzdys išspręstas pakeitus kintamąjį (arba pakeičiant jį diferencialiniu ženklu)! Kodėl gi ne – galite pabandyti imti dalimis, pasirodys juokinga.

4 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tačiau šis integralas yra integruotas dalimis (žadėtoji trupmena).

Tai pavyzdžiai, kuriuos galite spręsti patys, sprendimai ir atsakymai pamokos pabaigoje.

Atrodo, kad 3 ir 4 pavyzdžiuose integrandai yra panašūs, tačiau sprendimo būdai skiriasi! Tai yra pagrindinis integralų įsisavinimo sunkumas - jei pasirinksite netinkamą integralo sprendimo metodą, galite su juo valytis valandas, kaip su tikru galvosūkiu. Todėl kuo daugiau spręsite įvairius integralus, tuo geriau, tuo lengviau bus testas ir egzaminas. Be to, antrame kurse bus diferencialinės lygtys, o be integralų ir išvestinių sprendimo patirties ten nėra ką veikti.

Kalbant apie logaritmus, tai tikriausiai yra daugiau nei pakankamai. Be to, aš taip pat galiu prisiminti, kad inžinerijos studentai naudoja logaritmus vadindami moterų krūtis =). Beje, pravartu mintinai žinoti pagrindinių elementariųjų funkcijų grafikus: sinuso, kosinuso, arctangento, eksponento, trečiojo, ketvirto laipsnio daugianario ir kt. Ne, žinoma, prezervatyvas pasaulyje
Neištempsiu, bet dabar daug ką prisiminsite iš skyriaus Grafikai ir funkcijos =).

Rodiklio integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė:

5 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Naudodami pažįstamą algoritmą integruojame dalimis:

Jei kyla sunkumų dėl integralo, turėtumėte grįžti prie straipsnio Kintamojo keitimo metodas neapibrėžtame integrelyje.

Vienintelis kitas dalykas, kurį galite padaryti, tai pakoreguoti atsakymą:

Bet jei jūsų skaičiavimo technika nėra labai gera, pelningiausias pasirinkimas yra palikti tai kaip atsakymą arba net

Tai yra, pavyzdys laikomas išspręstu, kai imamas paskutinis integralas. Tai nebus klaida, kitas dalykas, kad mokytojas gali paprašyti supaprastinti atsakymą.

6 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Šis integralas integruojamas du kartus dalimis. Ypatingas dėmesys turėtų būti skiriamas ženklams - juose lengva susipainioti, taip pat prisimename, kad tai sudėtinga funkcija.

Daugiau apie parodos dalyvį nėra ką pasakyti. Galiu tik pridurti, kad eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra viena kitai atvirkštinės funkcijos, tai aš apie linksmus aukštosios matematikos grafikus =) Sustok, sustok, nesijaudink, dėstytojas blaivus.

Trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė: nes visada reiškia daugianarį

7 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą.

Integruokime dalimis:

Hmmm... ir nėra ką komentuoti.

8 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys

9 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Kitas pavyzdys su trupmena. Kaip ir dviejuose ankstesniuose pavyzdžiuose, for reiškia daugianarį.

Integruokime dalimis:

Jei kyla sunkumų ar nesusipratimų ieškant integralo, rekomenduoju apsilankyti pamokoje Trigonometrinių funkcijų integralai.

10 pavyzdys

Raskite neapibrėžtą integralą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys.

Patarimas: prieš naudodami integravimo dalimis metodą, turėtumėte pritaikyti kokią nors trigonometrinę formulę, kuri dviejų trigonometrinių funkcijų sandaugą paverčia viena funkcija. Formulė gali būti naudojama ir taikant integravimo dalimis metodą, kuris jums patogesnis.

Tikriausiai viskas šioje pastraipoje. Kažkodėl prisiminiau eilutę iš fizikos ir matematikos himno „Ir sinuso grafikas eina banga po bangos išilgai abscisių ašies“...

Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai.
Atvirkštinių trigonometrinių funkcijų integralai, padauginti iš daugianario

Bendra taisyklė: visada žymi atvirkštinę trigonometrinę funkciją.

Leiskite jums priminti, kad atvirkštinės trigonometrinės funkcijos apima arcsinusą, arkosinusą, arctangentą ir arkotangentą. Dėl įrašo trumpumo aš juos pavadinsiu „arkomis“