На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и деление алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Пример 15

Пример 16

Пример 17

Пример 18

На данном уроке будут рассмотрены правила умножения и деления алгебраических дробей, а также примеры на применение данных правил. Умножение и вычитание алгебраических дробей не отличается от умножения и деления обыкновенных дробей. Вместе с тем, наличие переменных приводит к несколько более сложным способам упрощения полученных выражений. Несмотря на то, что умножение и деление дробей выполняется проще, чем их сложение и вычитание, к изучению данной темы необходимо подойти крайне ответственно, поскольку в ней существует много «подводных камней», на которые обычно не обращают внимания. В рамках урока мы не только изучим правила умножения и деления дробей, но и разберём нюансы, которые могут возникнуть при их применении.

Тема: Алгебраические дроби. Арифметические операции над алгебраическими дробями

Урок: Умножение и деление алгебраических дробей

1. Правила умножения и деления обыкновенных и алгебраических дробей

Правила умножения и деления алгебраических дробей абсолютно аналогичны правилам умножения и деления обыкновенных дробей. Напомним их:

То есть, для того, чтобы умножить дроби, необходимо умножить их числители (это будет числитель произведения), и умножить их знаменатели (это будет знаменатель произведения).

Деление на дробь - это умножение на перевёрнутую дробь, то есть, для того, чтобы разделить две дроби, необходимо первую из них (делимое) умножить на перевёрнутую вторую (делитель).

2. Частные случаи применения правил умножения и деления дробей

Несмотря на простоту данных правил, многие при решении примеров по данной теме допускают ошибки в ряде частных случаев. Рассмотрим подробнее эти частные случаи:

Во всех этих правилах мы пользовались следующим фактом: .

3. Примеры умножения и деления обыкновенных дробей

Решим несколько примеров на умножение и деление обыкновенных дробей, чтобы вспомнить, как пользоваться указанными правилами.

Пример 1

Примечание: при сокращении дробей мы пользовались разложением числа на простые множители. Напомним, что простыми числами называются такие натуральные числа, которые делятся только на и на само себя. Остальные числа называются составными . Число не относится ни к простым, ни к составным. Примеры простых чисел: .

Пример 2

Рассмотрим теперь один из частных случаев с обыкновенными дробями.

Пример 3

Как видим, умножение и деление обыкновенных дробей, в случае правильного применения правил, не является сложным.

4. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (простые случаи)

Рассмотрим умножение и деление алгебраических дробей.

Пример 4

Пример 5

Отметим, что сокращать дроби после умножения можно и даже нужно по тем же правилам, которые мы до этого рассматривали на уроках, посвящённых сокращению алгебраических дробей. Рассмотрим несколько простых примеров на частные случаи.

Пример 6

Пример 7

Рассмотрим теперь несколько более сложных примеров на умножение и деление дробей.

Пример 8

Пример 9

Пример 10

Пример 11

Пример 12

Пример 13

5. Примеры умножения и деления алгебраических дробей (сложные случаи)

До этого мы рассматривали дроби, в которых и числитель, и знаменатель являлись одночленами. Однако в ряде случаев необходимо перемножить или поделить дроби, числители и знаменатели которых являются многочленами. В этом случае правила остаются такими же, а для сокращения необходимо использовать формулы сокращённого умножения и вынесение за скобки.

Пример 14

Тема: Умножение и деление алгебраических дробей

Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто

Лауэ

Цели:

Образовательные:

закрепить ЗУН по теме

провести первичный текущий контроль знаний

работать над пробелами

Развивающие:

способствовать развитию коммуникативной компетенции, т.е. умению эффективно сотрудничать с другими людьми.

способствовать развитию кооперативной компетенции, т.е. умению работать в парах.

способствовать развитию проблемной компетенции, т.е. умению понимать неизбежности возникновения трудностей в ходе любой деятельности.

Воспитательные:

прививать умение адекватно оценивать работу, проделанную товарищем;

при работе в парах воспитывать качества взаимопомощи, поддержки.

Методические:

создание условий для проявления индивидуальности, познавательной активности учащихся;

показать методику проведения урока с проектированием результатов учебной деятельности и способам их исследования на основе компетентностного подхода.

Оборудование: доска, цветной мел. Таблица "Умножение и деление алгебраических дробей"; карточки для индивидуальной работы, карточки-"памятки". Задание в свободную минуту.

Ход урока

Организационный момент

План урока записан на доске:

Устная разминка.

Индивидуальная работа.

Решение заданий.

Парная работа.

Итог урока.

Домашнее задание.

Учитель: В старину на Руси считалось, что если человек был сведущ в математике, то это означало высшую степень учености. А умение правильно видеть и слышать первый шаг к мудрости. Хочется, чтобы сегодня все ученики вашего класса показали насколько они мудры и насколько сведущие люди в алгебре 7 класса.

Итак, тема урока "Умножение и деление алгебраических дробей" На прошлом уроке вы начали изучать данную тему, и мы обсуждали, зачем ее изучаем. Давайте вспомним, где она нам пригодится уже через несколько уроков.

Учащиеся: Для совместных действий с алгебраическими дробями, для решения уравнений, а значит и задач.

Учитель: Еще в старину на Руси говорили, что умноженье - мученье, а с делением - беда. Тот, кто умел быстро и безошибочно умножать и делить считался большим математиком.

Какие вы цели поставите перед собой?

Учащиеся: Продолжить изучать тему, научиться быстро и безошибочно умножать и делить.

Учитель: Чтобы достичь поставленных целей мы (открывает план, записанный на доске, проговаривает его)

1. Устная разминка: (в это время 3 - 4 человека решают тренажер по сокращению дробей в парах) разложите на множители, заполнив пропуски

1= (у-1) (…), 5а+5b=… (a+b), ху-х=х (…), 14-2х=…

сократите дробь

Дроби, дроби, дроби бей сокращай их не жалей.

найдите ошибку, допущенную при умножении и делении алгебраических дробей

Учитель: Где допущена ошибка? Почему ошибка допущена? Какого правила, ученик не знал? Какое знал? Как надо правильно сделать?

2. Работа в тетради, № из учебника 488 (1) Анализ, решение, проверка.

Учитель: А сейчас вам представится возможность показать свои знания при выполнении теста, а чтобы воодушевить вас на работу прочитаю стишок "Чтоб записал учитель "5" в твой дневник числитель на числитель сумей умножить вмиг, а чтоб преподаватель доволен был тобой, ты первый знаменатель умножишь на второй"

Самопроверка, взаимопроверка. По критериям (вывешены на доске) В-1 (321), В-2 (132) по правильным кодам оценивание в парах. Первоначальный результат. Оценки.

Работа над ошибками в парах "ученик-учитель"

Если в парах нет ошибок делают задание в свободную минуту.

Упростите выражение и найдите его значение при

5. Итог урока

В заключение урока, мне хотелось бы узнать у вас, какие виды работы вызвали у вас затруднения? Как вы думаете, почему? Что узнали нового? Кто из вас доволен своей работой на уроке? Как вы считаете, цели, поставленные в начале урока достигнуты?

Учитель: Закончить урок я хотела бы словами французского инженера-физика Лауэ: "Образование есть то, что остается, когда все выученное уже забыто"

Надеюсь, что этот материал вы не забудете, чтобы этого не случилось надо выполнить д/з №486,487,488 четные.

Разделы: Математика

Цель: Научиться выполнять действия умножения и деления алгебраических дробей.

Форма урока: урок изучения нового материала.

Метод обучения: проблемный, с самостоятельным поиском решения.

Оборудование: Компьютер, проектор, раздаточный материал по уроку, таблица.

Ход урока

Урок проводится с использованием компьютерной презентации. (Приложение 1)

Ι. Организация урока.

1. Подготовка технической части.

2. Карточки для работы в парах и самостоятельной работы.

ΙΙ. Актуализация опорных знаний с целью подготовки к изучению новой темы.

Устно:

(Ответы выводятся с помощью компьютера.)

1. Разложить на множители:

2. Сократить дробь:

3. Умножить дроби:

Как называются эти числа? (Взаимообратные числа)

Найти число, обратное числу

Какие два числа называются взаимообратными? (Два числа называются взаимообратными, если их произведение равно 1.)

Найти дробь обратную:

Разделить дроби:

Проговариваем правила умножения и деления обыкновенных дробей. Плакат с правилами размещен на доске.

ΙΙΙ. Новая тема

Обращаясь к плакату, учитель говорит: a , b , c , d - в данном случае числа. А если это будут алгебраические выражения, как называются такие дроби? (Алгебраические дроби)

Правила их умножения и деления остаются теми же самыми.

Выполнить действия:

Первый и второй пример самостоятельно, с последующей записью решения учащимися на доске. Решение третьего примера учитель показывает на доске.

ΙV. Закрепление

1)Работа по задачнику: № 5.2 (б, в), № 5.11 (а, б). Стр.32

2) Работа в парах по карточкам:

(Решения и ответы отражены через проектор.)

V. Итог урока

Самостоятельная работа.

Выполнить умножение или деление:

Ι Вариант		ΙΙ Вариант

Ученики сдают тетради с работами.

VI. Домашнее задание

№ 5.8; № 5.10; № 5.13(а, б).

Чтобы выполнить умножение алгебраических (рациональных) дробей, надо:

1) В числитель записать произведение числителей, в знаменатель — произведение знаменателей этих дробей.

При этом многочлены нужно .

2) Если можно, сократить дробь.

Замечание.

При умножении сумму и разность необходимо заключить в скобки.

Примеры умножения алгебраических дробей.

При умножении алгебраических дробей отдельно умножаем числители, отдельно — знаменатели этих дробей:

Сокращаем 36 и 45 на 9, 22 и 55 на 11, a² и на a a, b и b на b, c⁵ и c² на c²:

Чтобы умножить алгебраические дроби, нужно числитель умножить на числитель, а знаменатель — на знаменатель. Так как в числителях и знаменателях данных дробей стоят многочлены, их нужно .

В числителе первой дроби выносим за скобки общий множитель 3. Числитель второй дроби раскладываем на множители как разность квадратов. В знаменателе первой дроби — квадрат разности. В знаменателе второй дроби выносим за скобки общий множитель 5:

Дробь можно сократить на (x+3) и (2x-1):

Умножаем числитель на числитель, знаменатель — на знаменатель. Знаменатель второй дроби раскладываем на множители по формуле разности квадратов:

(a-b) и (b-a) отличаются только знаком. Вынесем «минус» за скобки, например, в числителе. После этого сократим дробь на (a-b) и на a:

При умножении алгебраических дробей числитель умножаем на числитель, знаменатель — на знаменатель. Входящие в них многочлены пытаемся разложить на множители.

В первой дроби в числителе — полный квадрат суммы, в знаменателе — сумма кубов. Во второй дроби в числителе — (часть формулы суммы кубов), в знаменателе есть общий множитель 3, который выносим за скобки:

Сокращаем дробь на (x+3)² и (x²-3x+9):

В алгебре действия с алгебраическими (рациональными) дробями могут встречаться как в виде отдельного задания, так и в ходе решении других примеров, например, решения уравнений и неравенств. Вот почему важно вовремя научиться умножать, делить, складывать и вычитать такие дроби.

Рубрика: |