Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.

Если ваш ребенок никак не может усвоить, как делить десятичные дроби, то это не повод считать его не способным к математике.

Скорее всего, ему просто непонятно объяснили, как это делается. Нужно помочь ребенку и в максимально простой, почти игровой, форме рассказать ему о дробях и операциях с ними. А для этого надо и самим кое-что вспомнить.

Дробные выражения применяются когда речь идет о числах нецелых. Если дробь меньше единицы, значит, она описывает часть чего-то, если больше — несколько целых частей и еще кусочек. Дроби описываются 2 значениями: знаменателем, объясняющим, на сколько равных частей поделено число и числителем, который говорит о том, сколько таких частей мы имеем в виду.

Допустим, вы разрезали пирог на 4 равных части и 1 из них отдали соседям. Знаменатель будет равен 4. А числитель зависит от того, что мы хотим описать. Если мы рассказываем о том, сколько было отдано соседям, то числитель равен 1, а если речь идет о том, сколько осталось, то 3.

В примере с пирогом знаменатель — 4, а в выражении «1 день — 1/7 недели» — 7. Дробное выражение с любым знаменателем представляет собой обыкновенную дробь.

Математики, как и все, стараются облегчить себе жизнь. И поэтому были придуманы дроби десятичные. В них знаменатель равен 10 или числам, кратным 10 (100, 1000, 10 000 и т.д.), а записывают их следующим образом: целая составляющая числа отделяется от дробной с помощью запятой. Например, 5,1 — это 5 целых и 1 десятая, а 7,86 — это 7 целых и 86 сотых.

Небольшое отступление — не для ваших детей, а для вас самих. Отделять дробную часть запятой принято именно в нашей стране. За рубежом по устоявшейся традиции принято отделять ее с помощью точки. Поэтому, если встретите в иностранном тексте подобную разметку — не удивляйтесь.

Деление дробей

Каждое арифметическое действие с подобными числами имеет свои особенности, но сейчас мы попытаемся усвоить как делить десятичные дроби. Возможно деление дроби на натуральное число или на другую дробь.

Для того, чтобы было проще осваивать эту арифметическую операцию, важно запомнить одну простую вещь.

Научившись управляться с запятой, можно использовать те же правила деления, что и для целых чисел.

Рассмотрим деление дроби на натуральное число. Технология деления в столбик, должна быть вам уже известна из ранее пройденного материала. Процедура проводится аналогично. Делимое познаково делится на делитель. Как только очередь дойдет до последнего перед запятой знака, запятая ставится и в частном, а далее деление проходит в обычном порядке.

То есть, не считая сноса запятой — самое обычное деление, да и запятая большой сложности не представляет.

Деление дроби на дробь

Примеры, к которых нужно делить одно дробное значение на другое, кажутся на вид очень сложными. Но на самом деле, с ними ничуть не труднее управиться. Одну десятичную дробь поделить на другую будет намного легче, если избавиться от запятой в делителе.

Как это сделать? Если вам надо разложить 90 карандашей по 10 коробкам, то сколько карандашей будет в каждой из них? 9. Давайте умножим оба числа на 10 — 900 карандашей и 100 коробок. Сколько в каждой? 9. Тот же принцип применяется и в случае, когда нужно поделить десятичную дробь.

Делитель избавляется от запятой вообще, а у делимого запятая переносится вправо на столько знаков, сколько их было ранее в делителе. А далее проводится обычное деление в столбик, которое мы рассмотрели выше. Например:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Делимое нужно умножать и умножать на 10 до тех пор, пока делитель не превратится в целое число. Поэтому у него могут появиться дополнительные нули справа.

40,6/0,58 =4060/58=70.

Ничего страшного в этом нет. Вспомните пример с карандашами — ответ не изменится, если вы увеличите оба числа в одинаковое количество раз. Обыкновенную дробь поделить сложнее, особенно при отсутствии общих множителей в числителе и знаменателе.

Делить десятичную в этом плане гораздо удобнее. Самым сложным здесь является трюк с переносом запятой, но как мы с вами увидели, с ним легко справиться. Сумев донести это до своего ребенка, вы тем самым научите его делить десятичные дроби.

Овладев этим нехитрым правилом, ваш сын или ваша дочь будет гораздо уверенней чувствовать себя на уроках математики и, как знать, может быть, увлечется этим предметом. Математический склад ума редко проявляется с раннего детства, иногда нужен толчок, заинтересованность.

Помогая своему ребенку с выполнением уроков, вы не только улучшите успеваемость, но и расширяете круг его интересов, за что со временем он вам будет благодарен.

37. Деление на десятичную дробь

Задача. Площадь прямоугольника равна 2,88 дм 2 , а его ширина равна 0,8 дм. Чему равна длина прямоугольника?

Р е ш е н и е. Так как 2,88 дм 2 = 288 см 2 , а 0,8 дм = 8 см, то длина прямоугольника равна 288: 8, то есть 36 см = 3,6 дм. Мы нашли такое число 3,6, что 3,6 0,8 = 2,88. Оно является частным от деления 2,88 на 0,8.

Ответ 3,6 можно получить, не переводя дециметры в сантиметры. Для этого надо умножить делитель 0,8 и делимое 2,88 на 10 (то есть перенести в них запятую на одну цифру вправо) и разделить 28,8 на 8. Снова получим: .

Чтобы разделить число на десятичную дробь , надо:
1) в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;
2) после этого выполнить деление на натуральное число.

Пример 1. Разделим 12,096 на 2,24. Перенесём в делимом и делителе запятую на 2 цифры вправо. Получим числа 1209,6 и 224.

Так как , то и .

Пример 2. Разделим 4,5 на 0,125. Здесь надо перенести в делимом и делителе запятую на 3 цифры вправо. Так как в делимом только одна цифра после запятой, то припишем к нему справа два нуля. После переноса запятой получаем числа 4500 и 125.

Так как , то и .

Из примеров 1 и 2 видно, что при делении числа на неправильную дробь это число уменьшается или не изменяется, а при делении на правильную десятичную дробь оно увеличивается: , а .

Разделим 2,467 на 0,01. После переноса запятой в делимом и делителе на 2 цифры вправо получаем, что частное равно 246,7: 1, то есть 246,7. Значит, и 2,467: 0,01 = 246,7. Отсюда получаем правило:

Чтобы разделить десятичную дробь на 0,1; 0,01; 0,001 , надо перенести в ней запятую вправо на столько цифр, сколько в делителе стоит нулей перед единицей (то есть умножить её на 10, 100, 1000).

Если цифр не хватает, надо сначала приписать в конце дроби несколько нулей.

Например, .

1443. Найдите частное и выполните проверку умножением:

а) 0,8: 0,5; б) 3,51: 2,7; в) 14,335: 0,61.

1444. Найдите частное и выполните проверку делением:

а) 0,096: 0,12; 6)0,126:0,9; в) 42,105: 3,5.

1445. Выполните деление:

1446. Запишите выражения:

а) частное от деления суммы а и 2,6 на разность b и 8,5;
б) сумму частного х и 3,7 и частного 3,1 и у.

1447. Прочитайте выражение:

а) m: 12,8 - n: 4,9; б) (х + 0,7) : (у + 3,4); в) (а: b) (8: с).

1448. Шаг человека равен 0,8 м. Сколько шагов надо ему сделать, чтобы пройти расстояние 100 м?

1449. Алёша проехал на поезде 162,5 км за 2,6 ч. С какой скоростью шёл поезд?

1450. Найдите массу 1 см 3 льда, если масса 3,5 см 3 льда равна 3,08 г.

1451. Верёвку разрезали на две части. Длина одной части 3,25 м, а длина другой части в 1,3 раза меньше первой. Какова была длина верёвки?

1452. В первый пакет вошло 6,72 кг муки, что в 2,4 раза больше, чем во второй пакет. Сколько килограммов муки вошло в оба пакета?

1453. На приготовление уроков Боря затратил в 3,5 раза меньше времени, чем на прогулку. Сколько времени ушло у Бори на прогулку и на приготовление уроков, если прогулка заняла 2,8 ч?

Найдите первую цифру частного (результата деления). Для этого разделите первую цифру делимого на делитель. Результат напишите под делителем.

• В нашем примере первой цифрой делимого является цифра 3. Разделите 3 на 12. Так 3 меньше 12, то результатом деления будет 0. Запишите 0 под делителем – это первая цифра частного.

Умножьте полученный результат на делитель. Напишите результат умножения под первой цифрой делимого, так как эту цифру вы только что разделили на делитель.

• В нашем примере 0 × 12 = 0, поэтому напишите 0 под 3.

Вычтите результат умножения из первой цифры делимого. Запишите ответ на новой строке.

• В нашем примере: 3 - 0 = 3. Напишите 3 непосредственно под 0.

Спустите вниз вторую цифру делимого. Для этого запишите следующую цифру делимого рядом с результатом вычитания.

• В нашем примере делимым является число 30. Вторая цифра делимого – это 0. Спустите ее вниз, записав 0 возле 3 (результат вычитания). Вы получите число 30.

Полученный результат разделите на делитель. Вы найдете вторую цифру частного. Для этого разделите число, расположенное на самой нижней строке, на делитель.

• В нашем примере разделите 30 на 12. 30 ÷ 12 = 2 плюс некоторый остаток (так как 12 х 2 = 24). Напишите 2 после 0 под делителем – это вторая цифра частного.
• Если вы не можете найти подходящую цифру, перебирайте цифры до тех пор, пока результат умножения какой-либо цифры на делитель не окажется меньше и ближе всего к числу, расположенное последним в столбике. В нашем примере рассмотрим цифру 3. Умножьте ее на делитель: 12 х 3 = 36. Так как 36 больше 30, то цифра 3 не подходит. Теперь рассмотрим цифру 2. 12 х 2 = 24. 24 меньше 30, поэтому цифра 2 является верным решением.

Повторите описанные выше шаги, чтобы найти следующую цифру. Описанный алгоритм используется в любой задаче на деление в столбик.

• Умножьте вторую цифру частного на делитель: 2 х 12 = 24.
• Напишите результат умножения (24) под последним числом в столбике (30).
• Вычтите меньшее число из большего. В нашем примере: 30 - 24 = 6. Запишите полученный результат (6) на новой строке.

Если в делимом остались цифры, которые можно спустить вниз, продолжите процесс вычисления. В противном случае перейдите к следующему шагу.

• В нашем примере вы спустили вниз последнюю цифру делимого (0). Поэтому переходите к следующему шагу.

В случае необходимости воспользуйтесь десятичной запятой, чтобы расширить делимое. Если делимое делится на делитель нацело, то на последней строке вы получите цифру 0. Это означает, что задача решена, а ответ (в виде целого числа) записан под делителем. Но если в самом низу столбика находится любая цифра, отличная от 0, необходимо расширить делимое, поставив десятичную запятую и приписав 0. Напомним, что это не меняет значения делимого.

• В нашем примере на последней строке находится цифра 6. Поэтому справа от 30 (делимое) напишите десятичную запятую, а затем напишите 0. Также десятичную запятую поставьте после найденных цифр частного, которые вы записываете под делителем (после этой запятой пока ничего не пишите!).

Повторите описанные действия, чтобы найти следующую цифру. Главное не забудьте поставить десятичную запятую как после делимого, так и после найденных цифр частного. В остальном процесс аналогичен процессу, описанному выше.

• В нашем примере спустите вниз 0 (который вы написали после десятичной запятой). Вы получите число 60. Теперь разделите это число на делитель: 60 ÷ 12 = 5. Напишите 5 после 2 (и после десятичной запятой) под делителем. Это третья цифра частного. Таким образом, окончательный ответ: 2,5 (нулем перед 2 можно пренебречь).