Szerintem ennél többet érdemelsz. Itt van a kulcsom a trigonometriához:

• Rajzolja meg a kupolát, a falat és a mennyezetet
• A trigonometrikus függvények nem más, mint ennek a három alaknak a százalékai.

A szinusz és koszinusz metaforája: kupola

Ahelyett, hogy magukat a háromszögeket néznéd, képzeld el őket működés közben, és találj valami konkrét valós példát.

Képzelje el, hogy egy kupola közepén tartózkodik, és le akarja tenni a filmvetítő képernyőjét. Ujjával a kupolára mutat valamilyen "x" szögben, és egy képernyőt fel kell függeszteni ettől a ponttól.

A szög, amelyre mutat, meghatározza:

• szinusz(x) = sin(x) = képernyő magassága (a padlótól a kupola rögzítési pontjáig)
• koszinusz(x) = cos(x) = távolság Öntől a képernyőig (szint szerint)
• hipotenúza, a távolság Öntől a képernyő tetejéig, mindig azonos, egyenlő a kupola sugarával

Szeretné, hogy a képernyő a lehető legnagyobb legyen? Akassza fel közvetlenül maga fölé.

Szeretné, hogy a képernyő a lehető legtávolabb lógjon Öntől? Akassza fel egyenesen merőlegesen. A képernyő magassága nulla lesz ebben a pozícióban, és annyira hátra fog lógni, amennyire kérte.

A képernyő magassága és távolsága fordítottan arányos: minél közelebb lóg a képernyő, annál magasabb lesz a magassága.

A szinusz és a koszinusz százalékok

Tanulmányaim során sajnos senki nem magyarázta el nekem, hogy a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvények nem mások, mint százalékok. Értékük +100% és 0 és -100% között, illetve pozitív maximumtól nulláig a negatív maximumig terjed.

Tegyük fel, hogy 14 rubel adót fizettem. Nem tudod, mennyi. De ha azt mondod, hogy 95% adót fizettem, akkor megérted, hogy egyszerűen megnyúztak, mint egy ragacsos.

Az abszolút magasság nem jelent semmit. De ha a szinuszérték 0,95, akkor megértem, hogy a tévé szinte a kupolájának tetején lóg. Nagyon hamar eléri maximális magasságát a kupola közepén, majd ismét hanyatlásnak indul.

Hogyan számíthatjuk ki ezt a százalékot? Nagyon egyszerű: osszuk el az aktuális képernyőmagasságot a maximális lehetséges értékkel (a kupola sugarával, más néven hipotenúzussal).

Ezért azt mondják nekünk, hogy „koszinusz = ellenkező láb / hipotenusz”. Mindezt azért, hogy százalékot kapjunk! A szinusz meghatározásának legjobb módja „az aktuális magasság százalékos aránya a lehetséges maximumhoz képest”. (A szinusz negatívvá válik, ha a szög a "föld alá" mutat. A koszinusz negatív lesz, ha a szög a mögötted lévő kupolapontra mutat.)

Egyszerűsítsük a számításokat, feltételezve, hogy az egységkör középpontjában vagyunk (sugár = 1). Kihagyhatjuk az osztást, és csak a magassággal egyenlő szinust vehetjük fel.

Valójában minden kör egy, a kívánt méretre nagyított vagy kicsinyített. Tehát határozza meg az egységkör összefüggéseit, és alkalmazza az eredményeket az adott körméretre.

Kísérlet: vegye ki bármelyik sarkot, és nézze meg, hogy a magasság és a szélesség hány százaléka jelenik meg:

A szinusz értékének növekedésének grafikonja nem csak egy egyenes. Az első 45 fok a magasság 70%-át fedi le, az utolsó 10 fok (80°-tól 90°-ig) pedig csak 2%-át.

Így világossá válik számodra: ha körben haladsz, 0°-nál szinte függőlegesen emelkedsz, de ahogy közeledsz a kupola tetejéhez, a magasság egyre kevésbé változik.

Érintő és szekáns. Fal

Egy nap a szomszéd falat épített jobbra háttal a kupolájához. Elsírta az ablakot és a jó eladási árat!

De lehet-e valahogy nyerni ebben a helyzetben?

Természetesen igen. Mi van, ha a szomszéd falára akasztunk egy mozivászont? Megcélozod a sarkot (x), és megkapod:

• tan(x) = tan(x) = képernyő magassága a falon
• távolság tőled a falig: 1 (ez a kupola sugara, a fal nem mozdul tőled sehova, igaz?)
• secant(x) = sec(x) = „létra hossza” a kupola közepétől a felfüggesztett képernyő tetejéig

Tisztázzunk néhány dolgot az érintővel vagy a képernyő magasságával kapcsolatban.

• 0-val kezdődik, és végtelenül magasra mehet. A képernyőt egyre magasabbra feszítheti a falon, hogy végtelen vásznat kapjon kedvenc filmje nézéséhez! (Egy ilyen hatalmasért persze sok pénzt kell kiadni).
• az érintő csak a szinusz felnagyított változata! És miközben a szinusz növekedése lelassul, ahogy a kupola teteje felé haladsz, az érintő tovább növekszik!

A Sekansunak is van mivel dicsekednie:

• a szekáns 1-nél kezdődik (a létra a padlón van, tőled a fal felé) és onnan indul felfelé
• A szekáns mindig hosszabb, mint az érintő. A lejtős létrának hosszabbnak kell lennie, mint magának a képernyőnek, igaz? (Az irreális méretekben, amikor a képernyő tök hosszú, és a létrát szinte függőlegesen kell elhelyezni, a méretük majdnem megegyezik. De akkor is kicsit hosszabb lesz a szekáns).

Ne feledje az értékeket százalék. Ha úgy dönt, hogy a képernyőt 50 fokos szögben függeszti fel, akkor tan(50)=1,19. A képernyő 19%-kal nagyobb, mint a faltól való távolság (a kupola sugara).

(Írja be az x=0 értéket, és tesztelje az intuícióját - tan(0) = 0 és sec(0) = 1.)

Kotangens és koszekáns. Mennyezet

Hihetetlen, hogy a szomszédja most úgy döntött, hogy mennyezetet épít a kupolájára. (Mi van vele? Láthatóan nem akarja, hogy bekukucskálj, miközben meztelenül mászkál az udvaron...)

Nos, ideje kijáratot építeni a tetőre, és beszélni a szomszéddal. Kiválasztja a dőlésszöget, és elkezdi építeni:

• a tetőkivezetés és a padló közötti függőleges távolság mindig 1 (a kupola sugara)
• kotangens(x) = cot(x) = távolság a kupola teteje és a kilépési pont között
• koszekáns(x) = csc(x) = a tetőig vezető út hossza

Az érintő és a szekáns a falat, míg a kotangens és a koszekáns a padlót írja le.

Intuitív következtetéseink ezúttal hasonlóak az előzőekhez:

• Ha 0°-os szöget vesz be, a tetőre való kilépés örökké tart, mivel soha nem éri el a mennyezetet. Probléma.
• A tetőhöz vezető legrövidebb „lépcső” akkor érhető el, ha a padlóhoz képest 90 fokos szögben építi meg. A kotangens 0 lesz (egyáltalán nem haladunk a tetőn, szigorúan merőlegesen lépünk ki), a koszekáns pedig 1 lesz (a „létra hossza” minimális lesz).

Vizualizálja a kapcsolatokat

Ha mindhárom tokot kupola-fal-padló kombinációban rajzoljuk meg, a következőket kapjuk:

Nos, hú, ez mind ugyanaz a háromszög, megnagyobbítva, hogy elérje a falat és a mennyezetet. Vannak függőleges oldalaink (szinusz, érintő), vízszintes oldalaink (koszinusz, kotangens) és „hipoténuszaink” (szekáns, koszekáns). (A nyilakból láthatod, hogy az egyes elemek mennyit érnek el. A koszekáns az Öntől a tetőig terjedő teljes távolság).

Egy kis varázslat. Minden háromszög azonos egyenlőséggel rendelkezik:

A Pitagorasz-tételből (a 2 + b 2 = c 2) láthatjuk, hogy az egyes háromszögek oldalai hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Ezenkívül a magasság-szélesség aránynak is azonosnak kell lennie minden háromszögnél. (Csak lépjen vissza a legnagyobb háromszögről a kisebbre. Igen, változott a méret, de az oldalak aránya változatlan marad).

Ha tudjuk, hogy az egyes háromszögek melyik oldala 1 (a kupola sugara), könnyen kiszámíthatjuk, hogy "sin/cos = tan/1".

Mindig igyekeztem egyszerű vizualizáción keresztül emlékezni ezekre a tényekre. A képen jól láthatóak ezek a függőségek, és megértheti, honnan származnak. Ez a technika sokkal jobb, mint a száraz képletek memorizálása.

Ne felejts el más szögeket sem

Pszt… Nem kell elakadni egy grafikonon, és azt gondolni, hogy az érintő mindig kisebb, mint 1. Ha növeli a szöget, elérheti a mennyezetet anélkül, hogy elérné a falat:

A Pitagorasz kapcsolatok mindig működnek, de a relatív méretek eltérőek lehetnek.

(Valószínűleg észrevette már, hogy a szinusz és a koszinusz aránya mindig a legkisebb, mivel ezek egy kupola belsejében vannak.)

Összefoglalva: mire kell emlékeznünk?

A legtöbbünknek azt mondanám, hogy ez elég lesz:

• A trigonometria elmagyarázza a matematikai objektumok, például körök és ismétlődő intervallumok anatómiáját
• a kupola/fal/tető analógia a különböző trigonometrikus függvények kapcsolatát mutatja be
• a trigonometrikus függvények eredménye a forgatókönyvünkhöz alkalmazott százalékok.

Nem kell megjegyeznie az olyan képleteket, mint az 1 2 + kiságy 2 = csc 2 . Csak olyan hülye tesztekre alkalmasak, amelyekben egy tény ismeretét úgy mutatják be, mint annak megértését. Szánjon rá egy percet, hogy rajzoljon egy félkört kupola, fal és tető formájában, írja alá az elemeket, és az összes képletet papíron kérik Öntől.

Alkalmazás: Inverz függvények

Bármely trigonometrikus függvény bemenetként egy szöget vesz fel, és az eredményt százalékban adja vissza. sin(30) = 0,5. Ez azt jelenti, hogy a 30 fokos szög a maximális magasság 50%-át foglalja el.

Az inverz trigonometrikus függvényt sin -1 vagy arcsin („arxine”) néven írjuk le. Azt is gyakran írják asin különböző programozási nyelveken.

Ha a magasságunk a kupola magasságának 25%-a, mekkora a szögünk?

Az aránytáblázatunkban megtalálja azt az arányt, ahol a szekáns el van osztva 1-gyel. Például a szekáns 1-gyel (a vízszintes befogója) egyenlő lesz 1-gyel osztva a koszinusszal:

Tegyük fel, hogy a szekánsunk 3,5, azaz. Az egységkör sugarának 350%-a. A falhoz képest milyen dőlésszögnek felel meg ez az érték?

Függelék: Néhány példa

Unalmas feladat. Bonyolítsuk a banális „keresd meg a szinust” a következőre: „Mekkora a magasság a maximum százalékában (hipoténusz)?”.

Először figyelje meg, hogy a háromszög el van forgatva. Nincs ezzel semmi baj. A háromszögnek magassága is van, az ábrán zöld színnel látható.

Mivel egyenlő a hipotenusz? A Pitagorasz-tétel alapján tudjuk, hogy:

3 2 + 4 2 = 2. hipotenúza 25 = 2. hipotenusz 5 = hipotenusz

Jó! A szinusz a magasság százaléka a háromszög leghosszabb oldalától, vagyis a befogótól. Példánkban a szinusz 3/5 vagy 0,60.

Természetesen többféleképpen járhatunk. Most már tudjuk, hogy a szinusz 0,60, és egyszerűen megtalálhatjuk az arcszinust:

Asin(0,6)=36,9

És itt van egy másik megközelítés. Figyeljük meg, hogy a háromszög „szemtől szemben a fallal” áll, tehát szinusz helyett érintőt is használhatunk. A magasság 3, a faltól való távolság 4, tehát az érintő ¾ vagy 75%. Az arc tangens segítségével a százalékról a szögre térhetünk vissza:

Tan = 3/4 = 0,75 atan(0,75) = 36,9 Példa: úszik a partra?

Ön egy csónakban van, és van elég üzemanyaga 2 km-es vitorlázáshoz. Jelenleg 0,25 km-re van a parttól. Maximum mekkora szögben lehet hozzá úszni a parthoz képest, hogy legyen elég üzemanyagod? Kiegészítés a feladat feltételéhez: csak az ív koszinusz értékek táblázata van.

Amink van? A partvonal „falként” ábrázolható híres háromszögünkben, a falhoz rögzített „lépcső hosszát” pedig a parttól csónakkal lehetséges maximális távolságként (2 km). Egy szekáns jelenik meg.

Először is át kell váltani a százalékokra. Nálunk 2 / 0,25 = 8, ami azt jelenti, hogy a parthoz (vagy a falhoz) vezető egyenes távolság 8-szorosát tudjuk úszni.

Felmerül a kérdés: „Mi az a 8-as szekant?”. De nem tudunk rá választ adni, hiszen csak ív koszinuszaink vannak.

A szekánst a koszinuszra képezzük le a korábban származtatott függőségeinkkel: „sec/1 = 1/cos”

A 8 szekánsa egyenlő ⅛ koszinuszával. Egy szög, amelynek koszinusza ⅛, acos(1/8) = 82,8. És ez a legnagyobb szög, amit megengedhetünk magunknak egy hajón a megadott mennyiségű üzemanyaggal.

Nem rossz, igaz? A kupola-fal-mennyezet hasonlat nélkül összezavarodnék egy csomó képletben és számításban. A probléma vizualizálása nagyban leegyszerűsíti a megoldás keresését, emellett érdekes látni, hogy végül melyik trigonometrikus függvény segít.

Minden feladatnál gondolkozz el így: a kupola (sin/cos), a fal (tan/sec) vagy a mennyezet (kiságy/csc) érdekel?

És a trigonometria sokkal kellemesebb lesz. Egyszerű számítások az Ön számára!

A matematika egyik ága, amellyel az iskolások a legnagyobb nehézségekkel küzdenek, a trigonometria. Nem csoda: ahhoz, hogy szabadon elsajátíthassuk ezt a tudásterületet, szükség van térbeli gondolkodásra, arra, hogy képletekkel szinuszokat, koszinuszokat, érintőket, kotangenseket találjunk, egyszerűsítsük a kifejezéseket, és képesnek kell lenniük a pi használatára a számításokban. Ezen túlmenően a tételek bizonyításakor tudnia kell trigonometriát alkalmazni, ehhez pedig vagy fejlett matematikai memóriára, vagy összetett logikai láncok levezetésének képességére van szükség.

A trigonometria eredete

Ennek a tudománynak a megismerését a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározásával kell kezdeni, de először ki kell találnia, mit csinál a trigonometria általában.

Történelmileg a derékszögű háromszögek képezték a matematikai tudomány ezen szakaszának fő vizsgálati tárgyát. A 90 fokos szög jelenléte lehetővé teszi különféle műveletek végrehajtását, amelyek lehetővé teszik a vizsgált ábra összes paraméterének értékének meghatározását két oldal és egy szög vagy két szög és egy oldal használatával. A múltban az emberek észrevették ezt a mintát, és aktívan kezdték használni az épületek építésében, a navigációban, a csillagászatban és még a művészetben is.

Első fázis

Kezdetben az emberek a szögek és az oldalak kapcsolatáról kizárólag a derékszögű háromszögek példáján beszéltek. Ezután olyan speciális képleteket fedeztek fel, amelyek lehetővé tették a matematika e szakaszának mindennapi felhasználási határainak kiterjesztését.

A trigonometria tanulmányozása az iskolában ma derékszögű háromszögekkel kezdődik, majd a megszerzett ismereteket a fizikában és absztrakt trigonometrikus egyenletek megoldásában kamatoztatják a diákok, amelyekkel a munka a középiskolában kezdődik.

Szférikus trigonometria

Később, amikor a tudomány a fejlődés következő szintjére ért, a szinuszos, koszinuszos, érintős, kotangenses képleteket elkezdték használni a gömbgeometriában, ahol más szabályok érvényesek, és a háromszög szögeinek összege mindig több, mint 180 fok. Ezt a részt az iskolában nem tanulják, de tudni kell a létezéséről, legalábbis azért, mert a Föld felszíne és bármely más bolygó felszíne domború, ami azt jelenti, hogy a felület bármely jelölése "ív alakú" lesz. "háromdimenziós térben.

Vegyük a földgömböt és cérnát. Rögzítse a szálat a földgömb bármely két pontjához úgy, hogy feszes legyen. Figyelem - ív alakot kapott. Ilyen formákkal foglalkozik a gömbgeometria, amelyet a geodéziában, a csillagászatban és más elméleti és alkalmazott területeken használnak.

Derékszögű háromszög

Miután kicsit megismertük a trigonometria használatának módjait, térjünk vissza az alapvető trigonometriához, hogy jobban megértsük, mi a szinusz, koszinusz, érintő, milyen számításokat lehet elvégezni a segítségükkel és milyen képleteket kell használni.

Az első lépés a derékszögű háromszöggel kapcsolatos fogalmak megértése. Először is, a hipotenusz a 90 fokos szöggel ellentétes oldal. Ő a leghosszabb. Emlékezzünk arra, hogy a Pitagorasz-tétel szerint a számértéke megegyezik a másik két oldal négyzetösszegének gyökével.

Például, ha két oldal 3, illetve 4 centiméteres, akkor a hipotenusz hossza 5 centiméter lesz. Egyébként az ókori egyiptomiak körülbelül négy és fél ezer évvel ezelőtt tudtak erről.

A két fennmaradó, derékszöget bezáró oldalt lábnak nevezzük. Ezenkívül emlékeznünk kell arra, hogy egy téglalap alakú koordinátarendszerben a háromszög szögeinek összege 180 fok.

Meghatározás

Végül a geometriai alap alapos megértésével rátérhetünk a szög szinuszának, koszinuszának és tangensének meghatározására.

A szög szinusza a szemközti láb (azaz a kívánt szöggel ellentétes oldal) és a hipotenuzus aránya. A szög koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya.

Ne feledje, hogy sem a szinusz, sem a koszinusz nem lehet nagyobb egynél! Miért? Mivel alapértelmezés szerint a hipotenusz a leghosszabb.Nem számít, milyen hosszú a láb, rövidebb lesz, mint a befogó, ami azt jelenti, hogy arányuk mindig kisebb lesz egynél. Így, ha a feladatra adott válaszban 1-nél nagyobb értékű szinust vagy koszinust kap, keressen hibát a számításokban vagy az érvelésben. Ez a válasz egyértelműen rossz.

Végül egy szög érintője a szemközti oldal és a szomszédos oldal aránya. Ugyanez az eredmény adja a szinusz koszinuszos osztását. Nézd: a képletnek megfelelően az oldal hosszát elosztjuk a hipotenusszal, majd elosztjuk a második oldal hosszával és megszorozzuk a hipotenusszal. Így ugyanazt az arányt kapjuk, mint az érintő definíciójában.

A kotangens a sarokkal szomszédos oldal és az ellenkező oldal aránya. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha az egységet elosztjuk az érintővel.

Tehát megvizsgáltuk a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definícióit, és foglalkozhatunk képletekkel.

A legegyszerűbb képletek

A trigonometriában nem nélkülözhetjük a képleteket - hogyan lehet nélkülük szinust, koszinust, érintőt, kotangenst találni? És pontosan ez szükséges a problémák megoldásához.

Az első képlet, amelyet tudnia kell, amikor elkezdi a trigonometria tanulmányozását, azt mondja, hogy egy szög szinuszának és koszinuszának négyzeteinek összege eggyel egyenlő. Ez a képlet egyenes következménye a Pitagorasz-tételnek, de időt takarít meg, ha a szög értékét akarjuk tudni, nem az oldalt.

Sok diák nem emlékszik a második képletre, amely szintén nagyon népszerű iskolai feladatok megoldása során: az egy és a szög érintőjének négyzete egyenlő a szög koszinuszának négyzetével osztva. Nézze meg közelebbről: elvégre ez ugyanaz az állítás, mint az első képletben, csak az azonosság mindkét oldalát elosztottuk a koszinusz négyzetével. Kiderült, hogy egy egyszerű matematikai művelet teljesen felismerhetetlenné teszi a trigonometrikus képletet. Ne feledje: ha ismeri a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens fogalmát, az átalakítási szabályokat és néhány alapvető képletet, bármikor saját maga is levezetheti a szükséges összetettebb képleteket egy papírlapon.

Dupla szög képletek és argumentumok összeadása

Két további képlet, amelyet meg kell tanulnia, a szinusz és a koszinusz értékéhez kapcsolódik a szögek összegéhez és különbségéhez. Az alábbi ábrán láthatók. Kérjük, vegye figyelembe, hogy az első esetben a szinusz és a koszinusz mindkét alkalommal megszorozódik, a második esetben pedig a szinusz és a koszinusz páronkénti szorzata adódik össze.

A kettős szög argumentumokhoz képletek is kapcsolódnak. Teljesen az előzőekből származnak - gyakorlatként próbálja meg saját maga megszerezni őket, figyelembe véve az alfa szögét a béta szögével.

Végül vegye figyelembe, hogy a kettős szögképletek átalakíthatók a szinusz, koszinusz, érintő alfa fokának csökkentésére.

Tételek

Az alapvető trigonometria két fő tétele a szinusztétel és a koszinusztétel. Ezeknek a tételeknek a segítségével könnyen megértheti, hogyan kell megtalálni a szinusz, a koszinusz és az érintő, és ezáltal az ábra területét, az egyes oldalak méretét stb.

A szinusztétel kimondja, hogy ha a háromszög minden oldalának hosszát elosztjuk az ellentétes szög értékével, akkor ugyanazt a számot kapjuk. Sőt, ez a szám egyenlő lesz a körülírt kör két sugarával, vagyis azzal a körrel, amely az adott háromszög összes pontját tartalmazza.

A koszinusztétel általánosítja a Pitagorasz-tételt, bármely háromszögre vetítve. Kiderül, hogy a két oldal négyzeteinek összegéből vonja ki a szorzatukat, megszorozva a velük szomszédos szög kettős koszinuszával - a kapott érték egyenlő lesz a harmadik oldal négyzetével. Így a Pitagorasz-tétel a koszinusztétel speciális esetének bizonyul.

Figyelmetlenségből fakadó hibák

Még annak tudatában is, hogy mi a szinusz, koszinusz és tangens, könnyen tévedhetünk a figyelmetlenség vagy a legegyszerűbb számítások hibája miatt. Az ilyen hibák elkerülése érdekében ismerkedjünk meg a legnépszerűbbekkel.

Először is, ne konvertálja a közönséges törteket tizedesjegyekké, mielőtt megkapja a végeredményt – a választ meghagyhatja közönséges törtként, hacsak a feltétel másként nem rendelkezik. Egy ilyen átalakítás nem nevezhető hibának, de emlékezni kell arra, hogy a feladat minden szakaszában új gyökerek jelenhetnek meg, amelyeket a szerző elképzelése szerint csökkenteni kell. Ebben az esetben felesleges matematikai műveletekre pazarolja az időt. Ez különösen igaz az olyan értékekre, mint a három vagy kettő gyökere, mivel ezek minden lépésben előfordulnak a feladatokban. Ugyanez vonatkozik a "csúnya" számok kerekítésére is.

Figyeljük meg továbbá, hogy a koszinusztétel bármely háromszögre vonatkozik, a Pitagorasz-tételre azonban nem! Ha tévedésből elfelejti kivonni az oldalak szorzatának kétszeresét a köztük lévő szög koszinuszával, akkor nemcsak teljesen rossz eredményt kap, hanem a téma teljes félreértését is mutatja. Ez rosszabb, mint egy gondatlan tévedés.

Harmadszor, ne keverje össze a szinuszok, koszinuszok, érintők, kotangensek 30 és 60 fokos szögeinek értékeit. Ne feledje ezeket az értékeket, mert a 30 fok szinusza egyenlő a 60 koszinuszával, és fordítva. Könnyű összekeverni őket, aminek következtében elkerülhetetlenül hibás eredményt kap.

Alkalmazás

Sok diák nem siet a trigonometria tanulmányozásába, mert nem érti annak alkalmazott jelentését. Mit jelent a szinusz, koszinusz, tangens egy mérnök vagy csillagász számára? Ezek olyan fogalmak, amelyeknek köszönhetően kiszámíthatja a távoli csillagok távolságát, megjósolhatja a meteorit esését, kutatószondát küldhet egy másik bolygóra. Ezek nélkül lehetetlen épületet építeni, autót tervezni, kiszámítani a felület terhelését vagy egy tárgy pályáját. És ezek csak a legszembetűnőbb példák! Végül is a trigonometriát ilyen vagy olyan formában mindenhol használják, a zenétől az orvostudományig.

Végül

Tehát szinusz, koszinusz, érintő vagy. Használhatja őket a számításokhoz, és sikeresen megoldhatja az iskolai feladatokat.

A trigonometria lényege abban rejlik, hogy a háromszög ismert paramétereiből ismeretlen paramétereket kell kiszámítani. Összesen hat paraméter van: három oldal hossza és három szög nagysága. A feladatok teljes különbsége abban rejlik, hogy különböző bemeneti adatokat adunk meg.

Most már tudja, hogyan kell megtalálni a szinusz, koszinusz, érintőt a lábak ismert hossza vagy a hipotenusz alapján. Mivel ezek a kifejezések nem jelentenek mást, mint egy arányt, az arány pedig tört, ezért a trigonometrikus probléma fő célja egy közönséges egyenlet vagy egyenletrendszer gyökereinek megtalálása. És itt a közönséges iskolai matematika segít.

Előadás: Tetszőleges szög szinusz, koszinusz, érintő, kotangens

Szinusz, tetszőleges szög koszinusza

A trigonometrikus függvények megértéséhez forduljunk egy egységsugarú körhöz. Ennek a körnek a középpontja az origó a koordinátasíkon. Az adott függvények meghatározásához a sugárvektort fogjuk használni VAGY, amely a kör közepétől kezdődik, és a pont R egy pont a körön. Ez a sugárvektor alfa szöget zár be a tengellyel Ó. Mivel a kör sugara eggyel egyenlő, akkor VAGY = R = 1.

Ha attól a ponttól R merőlegest dobjunk a tengelyre Ó, akkor egy derékszögű háromszöget kapunk, amelynek hipotenusza egyenlő eggyel.

Ha a sugárvektor az óramutató járásával megegyező irányba mozog, akkor ezt az irányt nevezzük negatív, de ha az óramutató járásával ellentétes irányba mozog - pozitív.

Egy szög szinusza VAGY, a pont ordinátája R vektorok egy körön.

Vagyis egy adott alfa szinusz értékének megszerzéséhez meg kell határozni a koordinátát Nál nél a felszínen.

Hogyan szerezték meg ezt az értéket? Mivel tudjuk, hogy egy derékszögű háromszögben egy tetszőleges szög szinusza a szemközti láb és a hipotenusz aránya, azt kapjuk, hogy

És azóta R=1, akkor sin(α) = y 0 .

Az egységkörben az ordináta értéke nem lehet kisebb -1-nél és nagyobb 1-nél, ami azt jelenti

A szinusz az egységkör első és második negyedében pozitív, a harmadik és negyedik negyedben negatív.

Egy szög koszinusza adott kör, amelyet a sugárvektor alkot VAGY, a pont abszcisszán R vektorok egy körön.

Vagyis egy adott alfa koszinusz értékének megszerzéséhez meg kell határozni a koordinátát x a felszínen.

Egy derékszögű háromszög tetszőleges szögének koszinusza a szomszédos láb és a hipotenusz aránya, azt kapjuk, hogy

És azóta R=1, akkor cos(α) = x 0 .

Az egységkörben az abszcissza értéke nem lehet kisebb -1-nél és nagyobb 1-nél, ami azt jelenti, hogy

A koszinusz pozitív az egységkör első és negyedik negyedében, negatív a második és harmadik negyedben.

tangenstetszőleges szög kiszámoljuk a szinusz és a koszinusz arányát.

Ha egy derékszögű háromszöget tekintünk, akkor ez az ellenkező láb és a szomszédos láb aránya. Ha egységkörről beszélünk, akkor ez az ordináta és az abszcissza aránya.

Ezekből az összefüggésekből ítélve érthető, hogy az érintő nem létezhet, ha az abszcissza értéke nulla, azaz 90 fokos szöget zár be. Az érintő minden más értéket felvehet.

Az érintő az egységkör első és harmadik negyedében pozitív, a második és negyedik negyedben negatív.

Lehetővé teszi számos jellemző eredmény megállapítását - szinusz, koszinusz, érintő és kotangens tulajdonságai. Ebben a cikkben három fő tulajdonságot fogunk megvizsgálni. Ezek közül az első az α szög szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének előjelét jelzi, attól függően, hogy melyik koordinátanegyed szöge α. Ezután figyelembe vesszük a periodicitás tulajdonságát, amely megállapítja az α szög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense értékeinek invarianciáját, amikor ez a szög egész számú fordulattal változik. A harmadik tulajdonság az α és −α szemközti szögek szinusza, koszinusza, érintője és kotangensének értékei közötti kapcsolatot fejezi ki.

Ha érdekli a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens függvények tulajdonságai, akkor azokat a cikk megfelelő részében tanulmányozhatja.

Oldalnavigáció.

Szinusz, koszinusz, érintő és kotangens jelei negyedben

Ebben a bekezdésben a "koordinátanegyed I., II., III. és IV. szöge" kifejezés található. Magyarázzuk el, mik ezek a sarkok.

Vegyünk egy egységkört, jelöljük meg rajta az A(1, 0) kezdőpontot, és forgassuk el az O pont körül α szöggel, miközben feltételezzük, hogy az A 1 (x, y) pontba jutunk.

Azt mondják α szög a koordinátanegyed I , II , III , IV szöge ha az A 1 pont az I, II, III, IV negyedben van; ha az α szög olyan, hogy az A 1 pont az Ox vagy Oy koordinátaegyenesek bármelyikén fekszik, akkor ez a szög nem tartozik a négy negyed egyikéhez sem.

Az érthetőség kedvéért egy grafikus illusztrációt mutatunk be. Az alábbi rajzokon 30 , -210 , 585 és -45 fokos elforgatási szögek láthatók, amelyek a koordinátanegyedek I , II , III és IV szögei.

sarkok 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … fokok nem tartoznak egyik koordinátanegyedhez sem.

Most nézzük meg, hogy mely jeleknek van az α forgásszög szinusza, koszinusza, érintője és kotangense értéke attól függően, hogy melyik negyedszög α.

Szinusz és koszinusz esetén ez könnyen megtehető.

Definíció szerint az α szög szinusza az A 1 pont ordinátája. Nyilvánvaló, hogy az I. és II. koordinátanegyedben pozitív, a III. és IV. negyedévben pedig negatív. Így az α szög szinuszának az I. és II. negyedben plusz, a III. és VI. negyedben mínusz jele van.

Az α szög koszinusza viszont az A 1 pont abszcisszája. Az I. és IV. negyedévben pozitív, a II. és III. negyedévben negatív. Ezért az α szög koszinuszának értékei az I. és IV. negyedben pozitívak, a II. és III. negyedben pedig negatívak.

Az előjelek tangens és kotangens negyedével történő meghatározásához emlékeznie kell a definíciókra: az érintő az A 1 pont ordinátájának az abszcisszahoz viszonyított aránya, a kotangens pedig az A 1 pont abszcisszának az ordinátához viszonyított aránya. Aztán től számosztási szabályok azonos és különböző előjelekkel, ebből az következik, hogy az érintőnek és a kotangensnek pluszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele megegyezik, és mínuszjele van, ha az A 1 pont abszcissza és ordináta előjele eltérő. Ezért a szög érintőjének és kotangensének + jele van az I és III koordinátanegyedben, és mínusz előjele a II és IV negyedben.

Valóban, például az első negyedben az A 1 pont x abszcissza és y ordinátája is pozitív, akkor az x/y hányados és az y/x hányados is pozitív, ezért az érintőnek és a kotangensnek + előjele van. . A második negyedben pedig az x abszcissza negatív, az y ordináta pedig pozitív, ezért mind az x / y, mind az y / x negatív, ahonnan az érintőnek és a kotangensnek mínusz előjele van.

Térjünk át a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens következő tulajdonságára.

Periodikus tulajdonság

Most elemezzük talán egy szög szinuszának, koszinuszának, tangensének és kotangensének legnyilvánvalóbb tulajdonságát. Ez a következőkből áll: ha a szög egész számú teljes fordulattal változik, akkor ennek a szögnek a szinuszának, koszinuszának, érintőjének és kotangensének értéke nem változik.

Ez érthető: ha a szög egész számú fordulattal változik, akkor mindig az A kezdőpontból az A 1 pontba jutunk az egységkörön, ezért a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értéke megmarad. változatlan, mivel az A 1 pont koordinátái változatlanok.

A képletek segítségével a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonsága a következőképpen írható fel: sin(α+2 π z)=sinα , cos(α+2 π z)=cosα , tg(α+2 π z) =tgα , ctg(α+2 π z)=ctgα , ahol α a forgásszög radiánban, z tetszőleges , amelynek abszolút értéke azt a teljes fordulatszámot jelzi, amellyel az α szög változik, és a z szám a fordulás irányát jelöli.

Ha az α elforgatási szöget fokban adjuk meg, akkor ezeket a képleteket a következőképpen írjuk át: sin(α+360° z)=sinα, cos(α+360°z)=cosα, tg(α+360°z)=tgα, ctg(α+360°z)=ctgα.

Mondjunk példákat ennek a tulajdonságnak a felhasználására. Például, , mert , a . Íme egy másik példa: vagy .

Ezt a tulajdonságot a redukciós képletekkel együtt nagyon gyakran használják a "nagy" szögek szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor.

A szinusz, koszinusz, érintő és kotangens figyelembe vett tulajdonságát periodicitási tulajdonságnak is nevezik.

Ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságai

Legyen А 1 az a pont, amelyet az А(1, 0) kezdőpontnak az O pont körüli α szöggel történő elforgatásának eredményeként kapunk, az А 2 pont pedig az А pont szöggel történő elforgatásának eredménye. −α az α szöggel ellentétes.

Az ellentétes szögű szinuszok, koszinuszok, érintők és kotangensek tulajdonsága egy meglehetősen nyilvánvaló tényen alapul: a fent említett A 1 és A 2 pontok vagy egybeesnek (at), vagy szimmetrikusan helyezkednek el az Ox tengely körül. Vagyis ha az A 1 pont koordinátái (x, y) , akkor az A 2 pontnak (x, −y) koordinátái lesznek. Innentől a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens definíciói szerint írjuk fel az egyenlőségeket ill.
Ezeket összehasonlítva összefüggésekre jutunk a forma α és −α ellentétes szögű szinuszai, koszinuszai, érintői és kotangensei között.
Ez a figyelembe vett tulajdonság képletek formájában.

Mondjunk példákat ennek a tulajdonságnak a felhasználására. Például az egyenlőségek ill .

Csak meg kell jegyezni, hogy az ellentétes szögek szinuszainak, koszinuszainak, érintőinek és kotangenseinek tulajdonságát az előző tulajdonsághoz hasonlóan gyakran használják a szinusz, koszinusz, érintő és kotangens értékének kiszámításakor, és lehetővé teszi a teljes kilépést. negatív szögekből.

Bibliográfia.

• Algebra: Proc. 9 cellához. átl. iskola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Szerk. S. A. Telyakovsky.- M.: Felvilágosodás, 1990.- 272 p.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Algebraés az elemzés eleje: Proc. 10-11 sejtre. Általános oktatás intézmények / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn és mások; Szerk. A. N. Kolmogorova.- 14. kiad.- M.: Felvilágosodás, 2004.- 384 p.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Bashmakov M.I. Algebra és az elemzés kezdete: Proc. 10-11 sejtre. átl. iskola - 3. kiadás - M.: Felvilágosodás, 1993. - 351 p.: ill. - ISBN 5-09-004617-4.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (kézikönyv a műszaki iskolákba jelentkezők számára): Proc. pótlék.- M.; Magasabb iskola, 1984.-351 p., ill.