यूक्लिडियन ज्यामिति में प्रत्यक्ष गुण।

किसी भी बिंदु के माध्यम से आप असीम रूप से बहुत सी सीधी रेखाएं खर्च कर सकते हैं।

किसी भी दो असंगत बिंदुओं के माध्यम से, आप एकमात्र सीधी रेखा खर्च कर सकते हैं।

विमान पर दो असंगत सीधे या एक ही बिंदु में छेड़छाड़ करते हैं, या हैं

समानांतर (पिछले एक से)।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में, दो सीधी रेखाओं के विश्राम के लिए तीन विकल्प हैं:

• प्रत्यक्ष अंतर;

• सीधे समानांतर;

• सीधे क्रॉसलिंक्स।

सीधे लाइन - पहले आदेश के बीजगणितीय वक्र: कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में सीधे लाइन में

पहले डिग्री समीकरण (रैखिक समीकरण) द्वारा विमान पर सेट करें।

सामान्य समीकरण सीधे है।

परिभाषा। विमान पर कोई भी प्रत्यक्ष आदेश समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

आह + वीओ + सी \u003d 0,

और स्थिर ए, बी। एक ही समय में बराबर शून्य नहीं। यह पहला आदेश समीकरण है सामान्य

समीकरण सीधे। निरंतर के मूल्यों के आधार पर ए, बी। तथा से निम्नलिखित विशेष मामले संभव हैं:

. C \u003d 0, ≠ 0, ≠ 0 में - निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से प्रत्यक्ष पास

. A \u003d 0, ≠ 0 में, s ≠ 0 (+ c \u003d 0 द्वारा)- एक्सिस के समानांतर ओह

. बी \u003d 0, एक ≠ 0, सी ≠ 0 (कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - एक्सिस के समानांतर कहां

. B \u003d c \u003d 0, और ≠ 0 - एक्सिस के साथ प्रत्यक्ष मेल खाता है कहां

. A \u003d c \u003d 0, ≠ 0 में - एक्सिस के साथ प्रत्यक्ष मेल खाता है ओह

समीकरण प्रत्यक्ष किसी भी दिए गए अनुसार एक अलग रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

आरंभिक स्थितियां।

समीकरण बिंदु और सामान्य के वेक्टर पर प्रत्यक्ष है।

परिभाषा। घटकों के साथ कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली वेक्टर में (ए, बी)

एक प्रत्यक्ष निर्दिष्ट समीकरण के लिए लंबवत

आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0।

उदाहरण। बिंदु के माध्यम से समीकरण प्रत्यक्ष रूप से प्राप्त करें ए (1, 2) वेक्टर के लिए लंबवत (3, -1).

फेसला। हम ए \u003d 3 और बी \u003d -1 पर होते हैं, समीकरण सीधे होता है: 3x - y + c \u003d 0. गुणांक के साथ खोजने के लिए

किसी दिए गए बिंदु के समन्वय की प्राप्त अभिव्यक्ति के लिए विकल्प ए। हम प्राप्त करते हैं: 3 - 2 + सी \u003d 0, इसलिए

सी \u003d -1। कुल: वांछित समीकरण: 3 एक्स - वाई - 1 \u003d 0।

समीकरण दो बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजर रहा है।

अंतरिक्ष में दो अंक दिए जाने दें एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1)तथा एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2), तब फिर समीकरण प्रत्यक्ष,

इन बिंदुओं के माध्यम से गुजरना:

यदि कोई भी संप्रदाय शून्य है, तो संबंधित संख्या शून्य होना चाहिए। पर

समीकरण प्रत्यक्ष के ऊपर दर्ज किया गया विमान सरल है:

यदि एक x 1 ≠ x 2 तथा x \u003d x 1 , यदि एक x 1 \u003d x 2 .

अंश \u003d के। बुला हुआ कोणीय गुणांक सीधे.

उदाहरण। समीकरण सीधे अंक (1, 2) और (3, 4) के माध्यम से पारित समीकरण खोजें।

फेसला। ऊपर दर्ज सूत्र को लागू करना, हमें मिलता है:

समीकरण बिंदु और कोणीय गुणांक पर प्रत्यक्ष है।

यदि सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष है आह + वो + सी \u003d 0 मन के लिए नेतृत्व:

और सूचित करें फिर परिणामी समीकरण कहा जाता है

समीकरण एक कोणीय गुणांक के साथ एक सीधी रेखा है।

समीकरण सीधे बिंदु और गाइड वेक्टर पर है।

समीकरण को सामान्य के वेक्टर के माध्यम से निर्देशित करने वाले अनुच्छेद के साथ समानता से, आप एक कार्य दर्ज कर सकते हैं

बिंदु और मार्गदर्शक वेक्टर सीधे के माध्यम से सीधे।

परिभाषा। प्रत्येक nonzero वेक्टर (α 1, α 2)जिनके घटक हालत को संतुष्ट करते हैं

Aα 1 + Bα 2 \u003d 0 बुला हुआ प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष वेक्टर।

आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0।

उदाहरण। गाइड वेक्टर (1, -1) के साथ लाइन समीकरण खोजें और बिंदु ए (1, 2) के माध्यम से गुजरना।

फेसला। समीकरण सही रेखा निम्नानुसार होगी: कुल्हाड़ी + द्वारा + सी \u003d 0। परिभाषा के अनुसार

गुणांक को शर्तों को पूरा करना चाहिए:

1 * ए + (-1) * बी \u003d 0, यानी ए \u003d वी।

फिर प्रत्यक्ष समीकरण फॉर्म लेता है: कुल्हाड़ी + ए + सी \u003d 0, या एक्स + वाई + सी / ए \u003d 0।

के लिये x \u003d 1, y \u003d 2प्राप्त करें सी / ए \u003d -3। वांछित समीकरण:

एक्स + वाई - 3 \u003d 0

समीकरण सीधे सेगमेंट में है।

यदि प्रत्यक्ष आह + वी / सी \u003d 0 एस ≠ 0 के समग्र समीकरण में, फिर, ऑन-डिग्री सेल्सियस को अलग करना, हमें मिलता है:

या कहाँ

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ यह है कि गुणांक ए चौराहे का समन्वय बिंदु है

अक्ष के साथ सीधे ओह, लेकिन अ बी - एक्सिस के साथ निर्देशांक बिंदु चौराहे को निर्देशित करें ओ।

उदाहरण। सामान्य समीकरण सेट है एक्स - वाई + 1 \u003d 0।इसके लिए सीधे खंडों में समीकरण खोजें।

सी \u003d 1, ए \u003d -1, बी \u003d 1।

सामान्य समीकरण सीधे है।

यदि समीकरण के दोनों भाग आह + वो + सी \u003d 0 संख्या को विभाजित करें बुला हुआ

गुणात्मक बनाना, मैंने पाया

xcosφ + ysinφ - p \u003d 0 -सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष है.

एक संकेत ± सामान्यीकरण गुणक को चुना जाना चाहिए ताकि μ * एस।< 0.

आर - लंबवत की लंबाई, प्रत्यक्ष रूप से निर्देशांक की शुरुआत से कम,

लेकिन अ φ - एक सकारात्मक धुरी दिशा के साथ इस लंबवत द्वारा गठित कोण ओह।

उदाहरण। सामान्य समीकरण दिया जाता है 12x - 5 वीं - 65 \u003d 0। यह विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है

यह सीधे।

खंडों में इस लाइन का समीकरण:

एक कोणीय गुणांक के साथ इस सीधी रेखा का समीकरण: (हम 5 पर विभाजित हैं)

समीकरण प्रत्यक्ष:

cos φ \u003d 12/13; पाप φ \u003d -5/13; पी \u003d 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधे सेगमेंट में समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष,

समानांतर अक्ष या मूल के माध्यम से गुजरना।

सीधे विमान पर कोण।

परिभाषा। अगर दो प्रत्यक्ष y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 , फिर इन सीधे के बीच तेज कोने

के रूप में परिभाषित किया जाएगा

दो सीधे समानांतर अगर के 1 \u003d के 2। दो सीधे लंबवत,

यदि एक के 1 \u003d -1 / के 2 .

प्रमेय.

सीधे आह + वो + सी \u003d 0तथा 1 y + c 1 \u003d 0 में 1 x + समानांतर जब गुणांक के लिए आनुपातिक

और 1 \u003d λa, 1 \u003d λ में। अगर आज मैं C 1 \u003d λС, फिर प्रत्यक्ष संयोग। दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक

इन प्रत्यक्ष के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में स्थित है।

इस बिंदु के माध्यम से सीधे गुजरने का समीकरण इस प्रत्यक्ष के लिए लंबवत है।

परिभाषा। सीधे, बिंदु के माध्यम से गुजर रहा है एम 1 (x 1, 1 में) और प्रत्यक्ष करने के लिए लंबवत y \u003d kx + b

यह समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से सीधे दूरी तक।

प्रमेय। यदि बिंदु सेट है मीटर (x 0, y 0), फिर सीधे की दूरी आह + वो + सी \u003d 0के रूप में निर्धारित:

सबूत। चलो एम 1 (x 1, 1 में) - लंबवत का आधार, बिंदु से कम हो गया म।निर्दिष्ट पर

सीधे। फिर अंक के बीच की दूरी म।तथा एम 1।:

(1)

COORDINATES एक्स 1 तथा 1 में। समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण निर्दिष्ट बिंदु m 0 लंबवत के माध्यम से प्रत्यक्ष पासिंग का समीकरण है

प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष। यदि आप पहले सिस्टम समीकरण को दिमाग में परिवर्तित करते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + कुल्हाड़ी 0 + 0 + सी \u003d 0,

वह, हल, हमें मिलता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना, हम पाते हैं:

प्रमेय साबित हुआ है।

विमान पर रेखा समीकरण।

जैसा कि जाना जाता है, विमान पर कोई भी बिंदु किसी भी समन्वय प्रणाली में दो निर्देशांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। समन्वय प्रणाली के आधार और निर्देशांक की उत्पत्ति के आधार पर समन्वय प्रणाली अलग हो सकती है।

परिभाषा। रेखा समीकरण अनुपात y \u003d f (x) को इस पंक्ति का गठन करने वाले बिंदुओं के निर्देशांक के बीच कहा जाता है।

ध्यान दें कि लाइन समीकरण को पैरामीट्रिक विधि द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यानी, प्रत्येक बिंदु के प्रत्येक समन्वय कुछ स्वतंत्र पैरामीटर में व्यक्त किया जाता है टी.

एक विशेषता उदाहरण एक चलती बिंदु का प्रक्षेपण है। इस मामले में, पैरामीटर की भूमिका समय खेलती है।

विमान पर सीधे समीकरण।

परिभाषा। विमान पर कोई भी प्रत्यक्ष आदेश समीकरण द्वारा निर्धारित किया जा सकता है

आह + वीओ + सी \u003d 0,

इसके अलावा, निरंतर ए, एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, यानी 2  0. में एक 2 + यह पहला ऑर्डर समीकरण है सामान्य समीकरण सीधे है।

निरंतर ए, बी और सी के मूल्यों के आधार पर निम्नलिखित विशेष मामले हैं:

C \u003d 0,  0,  0 में - निर्देशांक की उत्पत्ति के माध्यम से प्रत्यक्ष पास

A \u003d 0,  0 में, s  0 (+ c \u003d 0 द्वारा) - एक्सिस ओह के लिए सीधे समानांतर

बी \u003d 0, एक  0, सी  0 (कुल्हाड़ी + सी \u003d 0) - ओयू एक्सिस के लिए प्रत्यक्ष समानांतर

बी \u003d सी \u003d 0, और  0 - ओयू की धुरी के साथ प्रत्यक्ष मेल खाता है

A \u003d c \u003d 0,  0 में - अक्ष के साथ प्रत्यक्ष मेल खाता है ओह

किसी भी प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर प्रत्यक्ष समीकरण को एक अलग रूप में एक अलग रूप में दर्शाया जा सकता है।

समीकरण बिंदु और सामान्य के वेक्टर पर प्रत्यक्ष है।

परिभाषा। कार्टेशियन आयताकार समन्वय प्रणाली में, घटकों के साथ वेक्टर (ए, बी) समीकरण आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0 द्वारा निर्दिष्ट सीधी रेखा के लिए लंबवत है।

उदाहरण। वेक्टर के लंबवत बिंदु (1, 2) बिंदु के माध्यम से समीकरण प्रत्यक्ष रूप से प्राप्त करें (3, -1).

हम ए \u003d 3 और बी \u003d -1 पर होते हैं समीकरण सीधे होता है: 3x - y + c \u003d 0. किसी दिए गए बिंदु के समन्वय की परिणामी अभिव्यक्ति के लिए प्रतिस्थापन के साथ गुणांक खोजने के लिए।

हमें मिलता है: 3 - 2 + सी \u003d 0, इसलिए सी \u003d -1।

कुल: वांछित समीकरण: 3 एक्स - वाई - 1 \u003d 0।

समीकरण दो बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजर रहा है।

अंतरिक्ष में दो अंक एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और एम 2 (एक्स 2, वाई 2, जेड 2) में मान लें, फिर समीकरण इन बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजर रहा है:

यदि कोई भी संप्रदाय शून्य है, तो संबंधित संख्या शून्य को समान करना आवश्यक है।

समीकरण के ऊपर दर्ज किए गए विमान पर सरलीकृत किया गया है:

यदि x 1  x 2 और x \u003d x 1, यदि 1 \u003d x 2।

अंश
\u003d K ने कहा कोणीय गुणांक सीधे।

उदाहरण। समीकरण सीधे अंक (1, 2) और (3, 4) के माध्यम से पारित समीकरण खोजें।

ऊपर दर्ज सूत्र को लागू करना, हमें मिलता है:

समीकरण बिंदु और कोणीय गुणांक पर प्रत्यक्ष है।

यदि सामान्य समीकरण सीधे आह + वीओ + सी \u003d 0 दिमाग के लिए लीड है:

और सूचित करें
फिर परिणामी समीकरण कहा जाता है एक कोणीय गुणांक के साथ सीधे समीकरणक।.

समीकरण सीधे बिंदु और गाइड वेक्टर पर है।

सामान्य के वेक्टर के माध्यम से समीकरण पर विचार करते हुए आइटम के साथ समानता से, आप बिंदु और रेखा गाइड वेक्टर पर सीधे कार्य दर्ज कर सकते हैं।

परिभाषा। प्रत्येक nonzero वेक्टर ( 1,  2), जिनके घटक शर्त को पूरा करते हैं A 1 + 2 \u003d 0 को प्रत्यक्ष वेक्टर कहा जाता है

आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0।

उदाहरण। एक गाइड वेक्टर के साथ एक सीधे समीकरण खोजें (1, -1) और बिंदु ए (1, 2) के माध्यम से गुजर रहा है।

वांछित रेखा का समीकरण निम्नानुसार होगा: कुल्हाड़ी + द्वारा + सी \u003d 0. परिभाषा के अनुसार, गुणांक को शर्तों को पूरा करना होगा:

1a + (-1) B \u003d 0, यानी ए \u003d वी।

फिर समीकरण रेखा दिखता है: कुल्हाड़ी + ay + c \u003d 0, या x + y + c / a \u003d 0।

एक्स \u003d 1 पर, वाई \u003d 2 हम सी / ए \u003d -3 प्राप्त करते हैं, यानी वांछित समीकरण:

समीकरण सीधे सेगमेंट में है।

यदि प्रत्यक्ष आह + वी / सी \u003d 0 С 0 के समग्र समीकरण में, तो, ऑन-डिग्री सेल्सियस को अलग करना, हमें मिलता है:
या

कहां है

गुणांक का ज्यामितीय अर्थ गुणांक है लेकिन अ धुरी के साथ सीधे चौराहे का समन्वय बिंदु है ओह, और बी - ओयू की धुरी के साथ एक सीधी रेखा के चौराहे का समन्वय बिंदु।

उदाहरण। सामान्य समीकरण X - y + 1 \u003d 0. को निर्देशित करने के लिए सेट किया गया है। इसे सीधे सेगमेंट में समीकरण खोजें।

C \u003d 1,
, ए \u003d -1, बी \u003d 1।

सामान्य समीकरण सीधे है।

यदि समीकरण के दोनों भागों आह + वी / सी \u003d 0 संख्या से विभाजित है
बुला हुआ गुणात्मक बनाना, मैंने पाया

xcos + ysin - p \u003d 0 -

सामान्य समीकरण सीधे है।

एक संकेत  सामान्यीकरण गुणक को चुना जाना चाहिए ताकि< 0.

पी लंबवत की लंबाई है, निर्देशांक की शुरुआत से लेकर निर्देशित करने के लिए, एक  एक सकारात्मक अक्ष अक्ष के साथ इस लंबवत द्वारा गठित एक कोण है।

उदाहरण। कुल समीकरण सीधे पंक्ति 12x - 5th - 65 \u003d 0. को दिया जाता है। इस लाइन के विभिन्न प्रकार के समीकरणों को लिखना आवश्यक है।

खंडों में इस पंक्ति का समीकरण:

एक कोणीय गुणांक के साथ इस सीधी रेखा का समीकरण: (5 पर विभाजित)

सामान्य समीकरण प्रत्यक्ष:

; cos \u003d 12/13; sin \u003d -5/13; पी \u003d 5।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि प्रत्येक सीधे सेगमेंट में समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष, समानांतर अक्ष या मूल के माध्यम से गुजरना।

उदाहरण। समन्वय अक्ष पर प्रत्यक्ष डिब्बे समान सकारात्मक खंड। समीकरण को सीधे बनाएं, यदि इन सेगमेंट द्वारा गठित त्रिभुज का क्षेत्र 8 सेमी 2 है।

प्रत्यक्ष समीकरण में फॉर्म है:
, ए \u003d बी \u003d 1; एबी / 2 \u003d 8; ए \u003d 4; -चार।

a \u003d -4 कार्य की स्थिति के लिए उपयुक्त नहीं है।

संपूर्ण:
या एक्स + वाई - 4 \u003d 0।

उदाहरण। बिंदु ए (-2, -3) और निर्देशांक की शुरुआत के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण बनाएं।

प्रत्यक्ष समीकरण में फॉर्म है:
जहां x 1 \u003d 1 \u003d 0 में; x 2 \u003d -2; Y 2 \u003d -3।

सीधे विमान पर कोण।

परिभाषा। यदि दो सीधे y \u003d k 1 x + b 1, y \u003d k 2 x + b 2 दिए जाते हैं, तो इन के बीच तेज कोण के रूप में निर्धारित किया जाएगा

.

दो सीधे समानांतर, यदि के 1 \u003d के 2।

दो सीधी रेखाएं लंबवत यदि के 1 \u003d -1 / के 2।

प्रमेय। सीधे आह + वी / सी \u003d 0 और ए 1 एक्स + बी। 1 यू + एस। 1 \u003d 0 समानांतर जब गुणांक आनुपातिक होते हैं 1 =  ए, बी। 1 =  बी के साथ भी 1 =  सी, फिर सीधे मेल खाता है।

दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक इन प्रत्यक्ष के समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में हैं।

इस बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण

इस प्रत्यक्ष के लिए लंबवत।

परिभाषा। प्रत्यक्ष, बिंदु एम 1 (x 1, 1 में) के माध्यम से गुजर रहा है और सीधी रेखा के लिए लंबवत वाई \u003d केएक्स + बी समीकरण द्वारा दर्शाया गया है:

बिंदु से सीधे दूरी तक।

प्रमेय। अगर बिंदु m (x) 0 , यू। 0 ), तो एक सीधी रेखा की दूरी आह + डब्ल्यू + सी \u003d 0 के रूप में परिभाषित किया गया है

.

साक्ष्य। बिंदु एम 1 (x 1, 1 में) को लंबवत के आधार पर रखें, प्रति प्रत्यक्ष बिंदु मीटर से कम हो गया। फिर अंक एम और एम 1 के बीच की दूरी:

निर्देशांक x 1 और 1 में समीकरणों की प्रणाली के समाधान के रूप में पाया जा सकता है:

सिस्टम का दूसरा समीकरण निर्दिष्ट प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष के लिए एक दिए गए बिंदु एम 0 लंबवत के माध्यम से प्रत्यक्ष पासिंग का समीकरण है।

यदि आप पहले सिस्टम समीकरण को दिमाग में परिवर्तित करते हैं:

ए (एक्स - एक्स 0) + बी (वाई - वाई 0) + कुल्हाड़ी 0 + 0 + सी \u003d 0,

वह, हल, हमें मिलता है:

इन भावों को समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करना, हम पाते हैं:

.

प्रमेय साबित हुआ है।

उदाहरण। सीधे के बीच कोण निर्धारित करें: y \u003d -3x + 7; Y \u003d 2x + 1।

के 1 \u003d -3; k 2 \u003d 2 tg \u003d
;  \u003d  / 4।

उदाहरण। यह दिखाएं कि सीधे 3x - 5y + 7 \u003d 0 और 10x + 6u - 3 \u003d 0 लंबवत।

हम पाते हैं: के 1 \u003d 3/5, के 2 \u003d -5/3, के 1 के 2 \u003d -1, इसलिए, प्रत्यक्ष लंबवत।

उदाहरण। त्रिकोण के शिखर (0; 1), बी (6; 5), सी (12; -1) दिया जाता है। एस के शीर्ष से आयोजित ऊंचाई समीकरण खोजें।

एवी के हिस्से का हिस्सा खोजें:
; 4x \u003d 6y - 6;

2x - 3Y + 3 \u003d 0;

वांछित ऊंचाई समीकरण है: कुल्हाड़ी + द्वारा + c \u003d 0 या y \u003d kx + b।

के \u003d। । फिर y \u003d।
। चूंकि ऊंचाई बिंदु सी के माध्यम से गुजरती है, फिर इसके निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं:
जहां बी \u003d 17. कुल:
.

उत्तर: 3x + 2y - 34 \u003d 0।

अंतरिक्ष में विश्लेषणात्मक ज्यामिति।

अंतरिक्ष में रेखा समीकरण।

समीकरण बिंदु पर अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष है और

गाइड वेक्टर।

एक मनमाने ढंग से और वेक्टर लें (एम, एन, पी), इस लाइन के समानांतर। वेक्टर बुला हुआ निर्देशित वेक्टर सीधे।

सीधी रेखा पर हम दो मनमानी अंक एम 0 (x 0, वाई 0, जेड 0) और एम (एक्स, वाई, जेड) लेते हैं।

जेड

एम 1।

इन बिंदुओं के त्रिज्या द्वारा निरूपित करें तथा , यह स्पष्ट है कि - =
.

चूंकि वैक्टर
तथा कॉललाइनर, फिर अनुपात सत्य है
= टी, जहां टी कुछ पैरामीटर है।

कुल, आप लिख सकते हैं: = + टी

चूंकि यह समीकरण किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट करता है, परिणामी समीकरण - पैरामीट्रिक समीकरण प्रत्यक्ष.

इस वेक्टर समीकरण को समन्वय रूप में दर्शाया जा सकता है:

इस प्रणाली को परिवर्तित करना और पैरामीटर टी के मूल्य को समझना, हम अंतरिक्ष में कैननिकल समीकरण प्राप्त करते हैं:

.

परिभाषा। गाइड Cosineesसीधे वेक्टर कोसाइन गाइड कहा जाता है जो सूत्रों द्वारा गणना की जा सकती है:

;

.

यहां से हमें मिलता है: m: n: p \u003d cos: cos: cos।

नंबर एम, एन, पी ने कहा कोने गुणांक सीधे। चूंकि - नॉनज़रो वेक्टर, टीएम, एन और पी एक साथ शून्य नहीं हो सकते हैं, लेकिन इनमें से एक या दो संख्या शून्य हो सकती है। इस मामले में, समीकरण में, संबंधित संख्याओं को बराबर किया जाना चाहिए।

अंतरिक्ष पास में समीकरण प्रत्यक्ष

दो बिंदु।

यदि अंतरिक्ष में दो मनमानी अंक एम 1 (एक्स 1, वाई 1, जेड 1) और एम 2 (एक्स 2, जेड 2, जेड 2) हैं, तो इन बिंदुओं के निर्देशांक को ऊपर प्राप्त सीधे समीकरण से संतुष्ट होना चाहिए:

.

इसके अलावा, बिंदु एम 1 के लिए आप लिख सकते हैं:

.

इन समीकरणों को एक साथ तय करके, हमें मिलता है:

.

यह अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के माध्यम से गुजर रहा एक प्रत्यक्ष समीकरण है।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष समीकरण प्रत्यक्ष।

प्रत्यक्ष समीकरण को दो विमानों की क्रॉसिंग लाइन के समीकरण के रूप में माना जा सकता है।

जैसा कि ऊपर माना जाता है, वेक्टर फॉर्म में विमान को समीकरण द्वारा सेट किया जा सकता है:

+ डी \u003d 0, कहाँ

- सामान्य विमान; - त्रिज्या - वेक्टर मनमानी बिंदु विमान।

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष के कैनोलिक समीकरणों को समीकरण कहा जाता है जो प्रत्यक्ष निर्धारित करते हैं, कॉललाइनरली गाइड वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट बिंदु के माध्यम से गुजरते हैं।

बिंदु और गाइड वेक्टर दिए जाने दें। मनमाना बिंदु एक सीधे पर है एल केवल अगर वैक्टर और कॉललाइनर, यानी, स्थिति उनके लिए संतुष्ट है:

.

उपरोक्त समीकरण सीधे कैनोलिक समीकरण हैं।

नंबर म। , एन तथा पी समन्वय कुल्हाड़ियों पर गाइड वेक्टर के अनुमान हैं। चूंकि वेक्टर नॉनज़ेरो, फिर सभी संख्याएं म। , एन तथा पी एक साथ शून्य नहीं हो सकता। लेकिन उनमें से एक या दो शून्य के बराबर हो सकता है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, उदाहरण के लिए, इस तरह का रिकॉर्ड:

,

जिसका अर्थ है कि अक्ष पर वेक्टर अनुमान ओवाई। तथा ओज़। बराबर शून्य। इसलिए, वेक्टर, और सीधे, अक्षीय समीकरणों द्वारा, अक्षीय के लंबवत द्वारा दिया गया ओवाई। तथा ओज़। , यानी विमान योज। .

उदाहरण 1। अंतरिक्ष लंबवत विमान में समीकरण प्रत्यक्ष करें और धुरी के साथ इस विमान के चौराहे बिंदु के माध्यम से गुजर रहा है ओज़। .

फेसला। धुरी के साथ इस विमान के चौराहे बिंदु का पता लगाएं ओज़। । चूंकि किसी भी बिंदु को धुरी पर लेटा हुआ है ओज़। , निर्देशांक हैं, फिर विमान के निर्दिष्ट समीकरण में विश्वास करते हैं x \u003d y \u003d0, हमें 4 मिलता है जेड - 8 \u003d 0 या जेड \u003d 2। नतीजतन, धुरी के साथ इस विमान के चौराहे बिंदु ओज़। इसमें समन्वय (0; 0; 2) है। वांछित प्रत्यक्ष लंबवत विमान के बाद से, यह अपने सामान्य के वेक्टर के समानांतर है। इसलिए, सीधी रेखा सामान्य के वेक्टर के रूप में काम कर सकती है निर्दिष्ट विमान।

अब वांछित समीकरणों को सीधे बिंदु से गुजरना लिखें ए। \u003d (0; 0; 2) वेक्टर की दिशा में:

समीकरण प्रत्यक्ष दो बिंदुओं के माध्यम से गुजर रहा है

प्रत्यक्ष रूप से दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। तथा इस मामले में, सीधे गाइड वेक्टर एक वेक्टर के रूप में काम कर सकते हैं। फिर कैनोनिकल समीकरण सीधे हैं

.

उपरोक्त समीकरण और प्रत्यक्ष निर्धारित करते हैं, दो सेटपॉइंट के माध्यम से गुजरते हैं।

उदाहरण 2। अंक के माध्यम से गुजरने वाले अंतरिक्ष में समीकरण प्रत्यक्ष बनाएं और।

फेसला। हम सैद्धांतिक संदर्भ में उपरोक्त रूप में सीधे सही समीकरण लिखते हैं:

.

तब से, वांछित प्रत्यक्ष लंबित धुरी ओवाई। .

विमानों की रेखा चौराहे के रूप में प्रत्यक्ष

अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष रूप से दो गैर-समानांतर विमानों के चौराहे की एक पंक्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, यानी, विभिन्न बिंदुओं के रूप में, जो दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करता है

सिस्टम समीकरणों को अंतरिक्ष में प्रत्यक्ष समीकरण भी कहा जाता है।

उदाहरण 3। सामान्य समीकरणों द्वारा दी गई अंतरिक्ष में सीधे कैनोलिक समीकरण बनाएं

फेसला। कैनोलिक समीकरणों को सीधे लिखने के लिए या, वही, दो बिंदु डेटा के माध्यम से सीधे पास होने का समीकरण, आपको किसी भी दो बिंदुओं के निर्देशांक को सीधे ढूंढना होगा। वे उदाहरण के लिए, कुछ दो समन्वय विमानों के साथ प्रत्यक्ष चौराहे के बिंदु के रूप में कार्य कर सकते हैं योज। तथा xoz। .

विमान के साथ डायरेक्ट इंटरसेक्शन डायरेक्ट योज। यह Abscissa है एक्स। \u003d 0। इसलिए, समीकरणों की इस प्रणाली में विश्वास करना एक्स। \u003d 0, हमें दो चर के साथ एक प्रणाली मिलती है:

उसका निर्णय वाई = 2 , जेड \u003d 6 के साथ एक साथ एक्स। \u003d 0 बिंदु निर्धारित करता है ए। (0; 2; 6) वांछित प्रत्यक्ष। समीकरणों की किसी दिए गए सिस्टम में विश्वास करना वाई \u003d 0, हमें सिस्टम मिलता है

उसका निर्णय एक्स। = -2 , जेड \u003d 0 साथ एक साथ वाई \u003d 0 बिंदु निर्धारित करता है बी (-2; 0; 0) एक विमान के साथ सीधे चौराहे xoz। .

अब बिंदुओं के माध्यम से समीकरण प्रत्यक्ष रूप से लिखें ए। (0; 2; 6) और बी (-2; 0; 0) :

,

या denominators को -2 को विभाजित करने के बाद:

,

प्रत्यक्ष, बिंदु के (x 0; y 0) के माध्यम से गुजर रहा है और समानांतर सीधे वाई \u003d kx + a सूत्र के अनुसार स्थित है:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

जहां k प्रत्यक्ष का एक कोणीय गुणांक है।

वैकल्पिक सूत्र:
प्रत्यक्ष, बिंदु एम 1 (x 1; y 1) के माध्यम से गुजर रहा है और समानांतर प्रत्यक्ष कुल्हाड़ी + + c \u003d 0 द्वारा समीकरण द्वारा दर्शाया गया है

ए (एक्स - एक्स 1) + बी (वाई-वाई 1) \u003d 0। (2)

बिंदु के माध्यम से एक प्रत्यक्ष समीकरण गुजरना ( ;) समानांतर सीधे y \u003d x +। .

उदाहरण संख्या 1। बिंदु एम 0 (-2.1) के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाएं, और एक ही समय में:
ए) प्रत्यक्ष 2x + 3y -7 \u003d 0 के समानांतर;
बी) सीधी रेखा 2x + 3y -7 \u003d 0 के लिए लंबवत।
फेसला । फॉर्म y \u003d kx + a में कोणीय गुणांक के साथ एक समीकरण का प्रतिनिधित्व करें। ऐसा करने के लिए, हम सही तरफ से y को छोड़कर सभी मूल्यों को स्थानांतरित करते हैं: 3y \u003d -2x + 7। फिर हम गुणांक 3 के दाईं ओर विभाजित करते हैं। हमें मिलता है: y \u003d -2 / 3x + 7/3
हम बिंदु के (-2; 1) के माध्यम से गुजरने वाले एनके समीकरण पाएंगे, सीधी रेखा y \u003d -2 / 3 x + 7/3 के समानांतर
एक्स 0 \u003d -2, के \u003d -2/3 को प्रतिस्थापित करना, वाई 0 \u003d 1 हमें मिलता है:
वाई - 1 \u003d -2 / 3 (एक्स - (- 2))
या
y \u003d -2 / 3 x - 1/3 या 3y + 2x +1 \u003d 0

उदाहरण संख्या 2। एक सीधी रेखा, समांतर प्रत्यक्ष 2x + 5y \u003d 0 के समीकरण को लिखें और निर्देशांक अक्षों के साथ एक त्रिभुज निर्देशांक बनाना, जिसका क्षेत्र 5 है।
फेसला । सीधे समानांतर के बाद से, समीकरण वांछित प्रत्यक्ष 2x + 5y + c \u003d 0. आयताकार त्रिभुज का क्षेत्र है, जहां इसके kartets के ए और बी। निर्देशांक की अक्षों के साथ वांछित प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदुओं को ढूंढें:
;
.
तो, ए (-सी / 2.0), बी (0, -सी / 5)। वर्ग के लिए एक सूत्र में स्थानापन्न: । हमें दो समाधान मिलते हैं: 2x + 5y + 10 \u003d 0 और 2x + 5y - 10 \u003d 0।

उदाहरण संख्या 3। बिंदु (-2; 5) और समांतर प्रत्यक्ष 5x-7y-4 \u003d 0 के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा का समीकरण बनाएं।
फेसला। इस प्रत्यक्ष का प्रतिनिधित्व वाई \u003d 5/7 x - 4/7 समीकरण (यहां ए \u003d 5/7) द्वारा किया जा सकता है। वांछित डायरेक्ट का समीकरण वाई - 5 \u003d 5/7 (एक्स - (-2)) है, यानी 7 (y-5) \u003d 5 (x + 2) या 5x-7y + 45 \u003d 0।

उदाहरण संख्या 4। फॉर्मूला (2) द्वारा उदाहरण 3 (ए \u003d 5, बी \u003d -7) का निर्णय लेना, हमें लगता है कि 5 (x + 2) -7 (y-5) \u003d 0।

उदाहरण संख्या 5। बिंदु (-2; 5) और समांतर प्रत्यक्ष 7x + 10 \u003d 0 के माध्यम से सीधे गुजरने का समीकरण बनाएं।
फेसला। यहां ए \u003d 7, बी \u003d 0। फॉर्मूला (2) 7 (x + 2) \u003d 0 देता है, यानी देता है। x + 2 \u003d 0। फॉर्मूला (1) लागू नहीं है, क्योंकि इस समीकरण को वाई (यह सीधे एक्सिस के समानांतर) के सापेक्ष हल नहीं किया जा सकता है।

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से सबक

हैलो, प्रिय पाठक!

आज हम ज्यामिति से जुड़े एल्गोरिदम का अध्ययन करना शुरू कर देंगे। तथ्य यह है कि कंप्यूटिंग ज्यामिति के साथ जुड़े कंप्यूटर विज्ञान के ओलंपिक कार्य, काफी और ऐसे कार्यों का समाधान अक्सर कठिनाइयों का कारण बनता है।

कई पाठों के लिए, हम कई प्राथमिक उप-वर्गों पर विचार करते हैं, जो कंप्यूटिंग ज्यामिति की अधिकांश समस्याओं के समाधान के साथ निर्भर करता है।

इस पाठ में, हम एक कार्यक्रम बनाएंगे लेआउट समीकरण प्रत्यक्ष हैंनिर्दिष्ट के माध्यम से गुजर रहा है दो बिंदु। ज्यामितीय कार्यों को हल करने के लिए, हमें कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होगी। पाठ का एक हिस्सा हम उनसे मिलने के लिए समर्पित होंगे।

कंप्यूटिंग ज्यामिति से जानकारी

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति कंप्यूटर विज्ञान का एक अनुभाग है जो ज्यामितीय कार्यों को हल करने के लिए एल्गोरिदम का अध्ययन करता है।

ऐसे कार्यों के लिए स्रोत डेटा एक विमान पर विभिन्न बिंदुओं, सेगमेंट का एक सेट हो सकता है, एक बहुभुज (उदाहरण के लिए निर्दिष्ट, मोशन क्लॉकवाइज के क्रम में इसके शिखर की एक सूची), आदि।

नतीजा या तो कुछ प्रश्न का उत्तर हो सकता है (जैसे कि एक बिंदु सेगमेंट से संबंधित है, चाहे दो खंड चौराहे कर रहे हों, ...), या कुछ ज्यामितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, निर्दिष्ट बिंदुओं को जोड़ने वाले सबसे छोटे उत्तल पॉलीगॉन, बहुभुज क्षेत्र, आदि)।

हम केवल प्लेन पर और केवल कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कार्यों पर विचार करेंगे।

वैक्टर और निर्देशांक

ज्यामिति कंप्यूटिंग के तरीकों को लागू करने के लिए, ज्यामितीय छवियों को संख्याओं में अनुवाद करना आवश्यक है। हम मानते हैं कि डिकार्टियन समन्वय प्रणाली विमान पर दी गई है, जिसमें घूर्णन की दिशा को पॉजिटिव कहा जाता है।

अब ज्यामितीय वस्तुओं को एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। तो, बिंदु सेट करने के लिए, इसके निर्देशांक निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है: कुछ संख्याएं (x; y)। सेगमेंट को अपने सिरों के निर्देशांक निर्दिष्ट करके निर्दिष्ट किया जा सकता है, आप अपने अंक की जोड़ी के प्रत्यक्ष निर्देशांक निर्दिष्ट कर सकते हैं।

लेकिन मुख्य उपकरण जब कार्यों को हल करते हैं तो हमारे पास वैक्टर होंगे। मुझे आपको उनके बारे में कुछ जानकारी याद दिलाएं।

अनुभाग ए.यू.जिसके पास एक बिंदु है लेकिन अ शुरुआत (आवेदन का बिंदु), और बिंदु माना जाता है में - अंत, जिसे वेक्टर कहा जाता है ए.यू. और उदाहरण के लिए, या तो वसा लोअरकेस अक्षर को दर्शाता है लेकिन अ .

वेक्टर की लंबाई को नामित करने के लिए (यानी, संबंधित खंड की लंबाई) मॉड्यूल प्रतीक का उपयोग करेगा (उदाहरण के लिए,)।

मनमाने ढंग से वेक्टर के अंत के इसी निर्देशांक में अंतर के बराबर निर्देशांक होंगे और शुरू किया जाएगा:

,

यहां बिंदु ए। तथा बी समन्वय करता है क्रमशः।

कंप्यूटिंग के लिए, हम अवधारणा का उपयोग करेंगे उन्मुख कोण, यानी, कोण जो वैक्टर के रिश्तेदार को ध्यान में रखता है।

वैक्टर के बीच उन्मुख कोण ए। तथा बी सकारात्मक, अगर वेक्टर से घूर्णन ए। वेक्टर के लिए बी एक और मामले में सकारात्मक दिशा (वामावर्त) और नकारात्मक में प्रदर्शन किया। चित्र 1 ए, चित्र 1 बी देखें। वे यह भी कहते हैं कि वैक्टर की एक जोड़ी ए। तथा बी सकारात्मक (नकारात्मक) उन्मुख।

इस प्रकार, उन्मुख कोण की परिमाण वैक्टरों के संचरण के क्रम पर निर्भर करती है और अंतराल में मूल्यों को ले सकती है।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के कई कार्य वेक्टर (तिरछी या छद्मकोश) की अवधारणा का उपयोग वैक्टर के कार्यों का उपयोग करते हैं।

वेक्टर ए और बी के वेक्टर उत्पाद उनके बीच साइन कॉर्नर पर इन वैक्टरों की लंबाई के उत्पाद को कॉल करेंगे:

.

निर्देशांक में वैक्टर की वेक्टर आर्टवर्क:

दाईं ओर अभिव्यक्ति दूसरा आदेश निर्धारक है:

परिभाषा के विपरीत, जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति में दिया जाता है, यह एक स्केलर है।

वेक्टर उत्पाद संकेत एक दूसरे के सापेक्ष वैक्टर की स्थिति निर्धारित करता है:

ए। तथा बी सकारात्मक रूप से उन्मुख।

यदि मात्रा, फिर वैक्टर की एक जोड़ी ए। तथा बी नकारात्मक रूप से उन्मुख।

नॉनज़रो वैक्टर का वेक्टर उत्पाद शून्य है और केवल अगर वे कॉललाइनर हैं ( )। इसका मतलब है कि वे एक सीधी रेखा या समानांतर सीधी रेखाओं पर झूठ बोलते हैं।

अधिक जटिल को हल करते समय आवश्यक कई सरल कार्यों पर विचार करें।

हम दो बिंदुओं के निर्देशांक के साथ समीकरण प्रत्यक्ष परिभाषित करते हैं।

समीकरण इसके निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट दो अलग-अलग बिंदुओं के माध्यम से सीधे गुजर रहा है।

दो को निर्देशांक से मेल न करें: निर्देशांक (x1; y1) और निर्देशांक (x2; y2) के साथ। तदनुसार, बिंदु पर शुरुआत के साथ वेक्टर और अंत में अंत में समन्वय (x2-x1, y2-y1) है। यदि पी (एक्स, वाई) हमारे सीधे पर एक मनमाना बिंदु है, तो वेक्टर निर्देशांक बराबर हैं (x - x1, y - y1)।

वेक्टर उत्पाद की मदद से, वैक्टर की कॉललाइनरिटी की स्थिति और निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

वे। (x - x1) (Y2-Y1) - (y-y1) (x2-x1) \u003d 0

(y2-y1) x + (x1-x2) y + x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1) \u003d 0

अंतिम समीकरण निम्नानुसार फिर से लिखेगा:

कुल्हाड़ी + + सी \u003d 0, (1)

c \u003d x1 (y1-y2) + y1 (x2-x1)

तो, प्रत्यक्ष रूप (1) के समीकरण द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।

कार्य 1. दो बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट हैं। कुल्हाड़ी + से + c \u003d 0 के रूप में उसका प्रतिनिधित्व खोजें।

इस पाठ में, हम कम्प्यूटेशनल ज्यामिति से कुछ जानकारी से परिचित हो गए। हम दो बिंदुओं के निर्देशांक के साथ लाइन समीकरण खोजने के लिए समस्या को हल करते हैं।

अगले पाठ में, हम आपके समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट दो पंक्तियों के चौराहे बिंदु को खोजने के लिए एक कार्यक्रम बनाएंगे।